弱い相互作用の旧理論(5)(Fermi理論)

弱い相互作用の旧理論の続きです。

前回の最後ではβ崩壊において,核子の反跳が小さいときの

不変振幅Ｍ の近似式:

Ｍ　～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

　＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　

においてγ₅の係数 α_iの値が全て＋1に決まり,Ｍが
 

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}  

　　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

　　＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　
 

のように簡単になるとわかったところからの続きです。
 

今日は,残る係数Ｃ_Ｓ,Ｃ_Ｖ,Ｃ_Ｔ,Ｃ_Ａを決定する作業に向かいます。

　再び,β崩壊の行列要素Ｓ_ｆｉ^(ｅ-) を書き下すところから始めます。
 

　Ｓ_fi^(ｅ-)＝(2π)^-6{ｍ_ｐｍ_ｎｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

　×(2π)^４δ^４(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)Ｍ　　です。
 

崩壊の微分断面積を与える遷移率は,これから得られる

|Ｓ_fi^(ｅ-)|²/(ＶＴ)に比例しますから,Ｍ の絶対値を平方して

終状態粒子のスピンについて総和を取り,始状態粒子非偏極

のときはそのスピンについて平均する必要があります。
 

このとき,非偏極の核子ｐ,ｎに対してはFermi遷移(Ｓ,Ｖ)と,

Gamow-Teller遷移(Ａ,Ｔ)の間に干渉項はないことがわかります。
 

※(注5-1)：Fermi遷移とGamow-Teller遷移の間の干渉項が無い

ことを証明します。
 

まず,上に与えたＭの式のFermi項の(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)の係数を, 

　Ｆ＝[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}],
 

　Gamow-Teller項の(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)の係数を,

　Ｇ＝[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

 ＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]

と置けば,Ｍ＝(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)Ｆ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Ｇ　です。

そこで,
|Ｍ⁾|² ∝ Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}|(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)Ｆ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Ｇ|² 

＝Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}[|(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)| ²|Ｆ|²＋|(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)|²|Ｇ|² 

＋(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)^＊ＦＧ^＊＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)^＊ＧＦ^＊] 

と書けます。

この右辺の第３,４項がＦとＧの干渉項です。

β崩壊する前の始状態の中性子ｎが非偏極で,これのスピン平均を取るだけでなく,終状態のｐ,ｅ,ν~のスピンについても総和すれば,

|Ｍ⁾|² ∝ Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}Σ_{ｓｅ,ｓν~}|(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)Ｆ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Ｇ|² 

ですが,ＦとＧの干渉項は,

Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Σ_ｓｅ,ｓν^＊ＦＧ^＊

＋Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)^＊Σ_ｓｅ,ｓνＧＦ^＊

です。

この干渉項第３項,および,第４項のＦＧ^＊の係数:

(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)^＊,および,ＧＦ^＊の係数:

(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)^＊の双方において,

(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)≠0となるのは,核子の反跳が無視できる非相対論的

極限の核子の２成分スピノルではＳ_ｐ,＝Ｓ_ｎのときのみです。

しかし,実は後で気づいたのですが,このこととは関係なく,

中性子ｎの静止系でのスピン部分は,spin-upのｕ_ｎ＝[1.0]^Ｔ

でも,spin-downのｕ_ｎ＝[0,1]^ＴでもPauliのスピン行列の表示

では,σ¹ｕ_ｎ＝σ²ｕ_ｎ＝0 です。
 

　また, spin-upの[1.0]^Ｔ,なら,σ³ｕ_ｎ＝＋ｕ_ｎ,より,

(ｕ_ｐ^＋σ³ｕ_ｎ)＝(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)であり,spin-downの[0,1]^Ｔ

なら,σ³ｕ_ｎ＝－ｕ_ｎ,より,(ｕ_ｐ^＋σ³ｕ_ｎ)＝－(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)

です。
 

これらは干渉項のＦＧ^＊,ＧＦ^＊の係数がゼロであることを

意味するので,結局,Fermi項とGamow-Teller項の干渉は無

いことが示されました。

(注5-1終わり)※
 

さらに,同じ

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　において,
 

ＳとＶ,あるいはＡとＴの間にも干渉項はありません。

　何故なら,これらは異なる反ニュートリノの状態へと

導くからです。

　すなわち,因子(1＋γ₅)を順序を交換させて最も右の

反ニュートリノ波動関数(負エネルギーニュートリノ

波動関数)：ｖ_ν(ｐ_ν)のすぐ左まで移動させたとき,
 

ＳとＴでは(1＋γ₅)のままなので,この遷移は左巻きの

反ニュートリノ(＝右巻きの負エネルギーニュートリノ)： 

ｖ_ν^ＬＨ(ｐ_ν)＝|(1＋γ₅)/2}ｖ_ν^ＬＨ(ｐ_ν) へと導きます。
 

　これに対して,ＶとＡでは(1＋γ₅)から（1－γ₅)に変わる

ため,遷移は右巻きの反ニュートリノへと導くわけです。
 

　こうして,ＳとＶの間にもＡとＴの間にも干渉が無いことは,

先に 「弱い相互作用の旧理論(3)」で実験からもそれが無いこと

が確認されているFielz項というものが無いことを意味します。
 

※(注5－2)：「弱い相互作用の旧理論(3)」では,β崩壊の

Ｓ行列要素が,次のように与えられると仮定しました。,

　Ｓ_fi^(ｅ-)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｎ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν) (ｘ₄)

×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,..,.ｘ₄)
 

　　そして,始状態の中性子が非偏極の場合の遷移率,または

　微分断面積に比例する量：|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)は,

 始状態のｎ,終状態のｐ,ｅ,ν~　のスピンについて総和を取る

　とき,波動関数部分は次のようにトレース因子に帰着します。

　すなわち,|Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ) 

(4Ｅ_ｅＥ_ν)^-1 Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ 

　なる式を得ます。
 

　この式のトレース因子：Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂは

　計算すると,

　Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ

　＝ＡＥ_ν~＋ＢＥ_ｅＥ_ν~＋ＣＥ_ｅＥ_ν~β_ｅｐ^_ν~ 

　なる一般形を持つことがわかります。

　ただし,Ａ,Ｂ,Ｃは定数です。

 (※何故なら,Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ_e)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ 

＝Σ_Ａ,ＢＴrｐ_ｅΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ＋ｍΣ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ

において, 

右辺第２項：ｍ_eΣ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂは明らかに

ｐ_ν~に比例しますが,ｐ_ν~⁰＝Ｅ_ν~,より特にｐ_νに平行な方向

をｚ軸(３軸)に採用すればｐ_ν~＝Ｅ_ν~(γ^０－γ³)ですから,

一般にこれはＥ_ν~に比例します。
 

一方,右辺の第１項：Σ_Ａ,ＢＴrｐ_ｅΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂはｐ_ｅｐ_ν~の

スカラー積やｐ_ｅ^μｐ_ν~^νａ_μνのような係数がつく形なので.

Ｅ_ｅＥ_ν~に比例する項 とｐ_ｅｐ_ν~に比例する項に分割される

からです｡　※)
 

　そこで,始状態：|ｉ＞から終状態：|ｆ＞への遷移率として, 

 |Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~)

　×(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ) 

　なる表式を得ました。
 

これに基づき, 終状態：|ｆ＞＝|ｐ_ｅ,ｐ_ν,Ｐ_ｐ＞に対する

位相空間因子：ｄ^３ｐ_ｅ, ｄ^３ｐ_ν~,ｄ^３Ｐ_ｐを掛けて陽子と

ニュートリノの運動量Ｐ_ｐとｐ_ν~にわたって積分すると,

中性子ｎのβ崩壊における電子ｅのスペクトル分布 

　を見出すことができます。
 

特に,ニュートリノの運動量にわたる積分では,

ｄ^３ｐ_ν~＝|ｐ_ν~|²ｄ|ｐ_ν~|ｄΩ_ν~＝Ｅ_ν~²ｄＥ_ν~ｄΩ_ν

であり,ｐ^_ν~を含む項は奇関数なので積分の結果ゼロです。
 

　それ故,電子ｅのスペクトル分布は, 

ｄω_ｅ ∝ ｐ_ｅＥ_ｅ(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ)²(Ａ/Ｅ_e~＋Ｂ)ｄＥ_ｅなる

形になります。
 

実験によると,自由中性子だけでなく,許される遷移として

知られている広いクラスの原子核のβ崩壊についても電子

スペクトルはこの依存性を持ち,さらにＡ＝0となることが

実験において観測されました。
 

この(Ａ/Ｅ_ｅ~＋Ｂ)依存性のうち消えるＡ/Ｅ_ｅ項は,Fierz

の干渉項と呼ばれるものの１つです。

(注5＾2終わり)※
 

　と「弱い相互作用の旧理論(3)」で書きました。

　この内容から,Fielz項：Ａ/Ｅ_ｅは,トレース因子のうちの,

　ｍ_eΣ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂなる項によるＡＥ_ν~に起因している

　ことがわかります。
 

ＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂは.Γ^Ａ,ｐ_ν,Γ^Ｂに合計で奇数個のγ行列因子

が含まれていればゼロですから,

(Ｓ,Ｖ)の組ではΓ^ＡがＳ(スカラー)でΓ^ＢがＶ(ベクトル),

またはその逆, 

(Ａ,Ｔ)の組では,Γ_Ａ＝(1＋)^ＡがＡ(軸性ベクトル)でΓ^Ｂが

Ｔ(テンソル),またはこの逆 

のケース以外はこのトレースにゼロでない寄与をしません。
 

　したがって,ＳとＶの間にも,ＡとＴの間にも干渉が無いことは

　Ａ＝0を意味するわけです。

　もしもニュートリノが100％より小さい偏極で放出される

　なら,Fielz項が無いことはＳかＶのどちらか一方,および,

　ＡとＴのどちらか一方の項のみが含まれる相互作用の形が

　要求されます。
 

つまり,完全に左回りと決まらないときは(1＋γ₅)(1－γ₅)＝0

が効かないので,ＳとＶ,ＡとＴの項は消えるとは限らないので

Ａ＝0となるためには,ＳかＶ,ＡかＴのそれぞれ,どちらかの

寄与がゼロと考える他にはありません。

※(注5-3)：すぐ前に述べたように,

Ａ/Ｅ_ｅのFielz項はＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂに起因し.(Ｓ,Ｖ)の組では

Γ^ＡがＳでΓ^ＢがＶ,またはその逆,(Ａ,Ｔ)の組では,Γ^ＡがＡで

Γ^ＢがＴ,またはこの逆のみがこれに寄与します。

ただし,Γ^ＡがＳでΓ^ＢがＶとはΓ^Ａ＝(1＋γ₅)1,Γ^Ｂ＝(1＋γ₅)γ^λ

を意味するので.Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ＝2(1＋γ₅)γ^λｐ_ν~,となります。
 

また,Γ^ＡがＡでΓ^ＢがＴとはΓ^Ａ＝(1＋γ₅)γ₅γ^λ,Γ^Ｂ＝(1－γ₅)σ^ρτ

を意味するのでΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ＝2(1＋γ₅)γ^λσ^ρτｐ_ν~となります。
 

　ところが,ニュートリノの波動関数_~が完全に左巻きなら,それ

に由来するｐ_νは左巻き反ニュートリノなので.これは

ｐ_ν＝(1＋γ₅)ｐ_ν/2を満たします。
 

　この場合,2(1＋γ₅)γ^λｐ_ν~＝2(1＋γ₅)γ^λ(1＋γ₅)ｐ_ν~/2 

　＝(1＋γ₅)(1－γ₅)γ^λｐ_ν~＝0 で,かつ,

 2(1＋γ₅)γ^λσ^ρτｐ_ν~＝2(1＋γ₅)γ^λσ^ρτ(1＋γ₅)ｐ_ν~/2

 ＝(1＋γ₅)(1－γ₅) γ^λσ^ρτｐ_ν~,＝0　となり,

そもそも|Ｍ|²に寄与するFielz項は存在しません。

それ故,ニュートリノが完全に左巻きではないのにＡ＝0になる

のは,(Ｓ,Ｖ)の組ではＳ,Ｖのどちらかがゼロ,(Ａ,Ｔ)の組では

Ａ,Ｔのどちらかがゼロである場合しかありません。

(注5-3終わり)※

しかし,今のところ, 

Ｍ ＝ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

　＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]
 

にはＳ,Ｖ,Ａ,Ｔの４種類の項全てが現われるとしていて,

これらのどれを否定するか？の根拠はありません。
 

そこで, |Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~) 

(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)における係数Ｃを測定する

実験を行ない,それによってＣ_Ｓ,Ｃ_Ｖ,Ｃ_Ａ,Ｃ_Ｔのより多くの情報

を得ること(＝電子-反ニュートリノの角創刊関係を見ること)を

考える必要があります。
 

例えば,ＳとＶの寄与のみを含む純粋Fermi遷移を考察します。

電子と反ニュートリノのスピン変数にわたって和を取ると電子

に相対的に出現する反ニュートリノの角分布として次式を得ます。
 

Ｎ_Fermi(θ) ∝ Tr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋γ⁰Ｃ_Ｖ)ｐ_ν~

(Ｃ_Ｓ^＊＋γ⁰Ｃ_Ｖ^＊)(1－γ₅)]

＝8Ｅ_ｅＥ_ν~[|Ｃ_Ｓ|²(1－β_ｅcosθ)＋|Ｃ_Ｖ|²(1＋β_ｅcosθ)]

ただし,θは電子と反ニュートリノのなす角です。
 

この式の導出の詳細は次回にまわして,今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)