散乱問題の復習(9)(Compton散乱補遺)

　これは,すぐ前の記事「散乱問題の復習(9)」の

　Compton散乱断面積の計算の補足です。

　前回の記事でCompton散乱に対するKlein-Nishina

　(クライン・仁科の公式):

　ｄσ_Ave/ｄΩ

　＝{α²/(4ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}

　を導く際に,"途中計算を省略して,

　Ｔr[(ｐ_f＋ｍ){ε'εｋ/(2ｋｐ_i)＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)}(ｐ_i＋ｍ)]

　{ｋεε'/(2ｋｐ_i)＋ｋ'ε'ε/(2ｋ'ｐ_i)}]

　＝2{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}　です。

と書きました。

しかし,"私独自に行間を埋めた部分＝計算の詳細"を省略しては,

本記事が単に参考テキストの垂れ流しに過ぎず,画龍天晴を欠く

と感じたので,計算結果の証明として詳細内容を書くことにしま

した。

以下,式の証明です。

(証明):まず,Ｔ₁≡Ｔr(ｐ_f＋ｍ)ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'と置けば,

　右辺のトレースにおいて,因子としてｍを１個含む項は奇数個の

　γ行列の積なのでその寄与はゼロです。

　また,ｍ²に比例する項はｋｋ＝ｋ²＝0 を因子に持つので消えます。

　結局,Ｔ₁＝Ｔrｐ_fε'εｋｐ_iｋεε'　を得ます。

　(何故なら,ａｂ＝2ａｂ－ｂａよりａａ＝2ａ²－ａａなので,

　ａａ＝ａ²です。)

　それ故,Ｔ₁＝Ｔrｐ_fε'εｋｐ_iｋεε'

　＝Ｔrｐ_fε'ε(2ｋｐ_i－ｐ_iｋ)ｋεε'

　＝2ｋｐ_iＴrｐ_fε'εｋεε'

　＝2ｋｐ_iＴrｐ_fε'(2εｋ－ｋε)εε'

　と書けます。

そして,εｋ＝0,かつε²＝－1なので,

Ｔ₁＝－2ｋｐ_iＴrｐ_fε'ｋεεε'

＝－2ｋｐ_iＴrｐ_fε'ｋε²ε'

＝2ｋｐ_iＴrｐ_fε'ｋε'

＝8ｋｐ_i[ｐ_fε'(ｋε')＋ｐ_fε'(ε'ｋ)－(ｐ_fｋ)ε'²]

＝8ｋｐ_i{ｋｐ_f＋2(ｋε')(ｐ_fε')}

＝8ｋｐ_i{ｋ'ｐ_i＋2(ｋε')²}

を得ます。

ただし,Ｔrｐ_fε'ｋε'を展開する変形では,2010年６/14の記事

「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」で与えた.

※(付録):γ行列のトレース中心の公式集における

[性質4]を用いました。

また,最後の式変形では,エネルギー・運動量の保存:

ｋ＋ｐ_i＝ｋ'＋ｐ_f or ｋ－ｐ_f＝ｋ'－ｐ_i

を用いました。

すなわち,(ｋ－ｐ_f)²＝(ｋ'－ｐ_i)²,かつ,

ｐ_f²＝ｐ_i²＝ｍ² より,ｋｐ_f＝ｋ'ｐ_i,

および.ε'ｋ＋ε'ｐ_i＝ε'ｋ'＋ ε'ｐ_fにおいて,

ε'ｋ'＝0 であり,準拠系の実験室系ではｐ_i＝(ｍ,0),

ε'＝(0,ε')よりε'ｐ_i＝0 ですから,

ｐ_fε'＝ｋε'　となるからです。

同じやり方で,Ｔ₂≡Ｔr(ｐ_f＋ｍ)εε'ｋ'(ｐ_i＋ｍ)ｋ'ε'ε

を評価します。

エネルギー・運動量の保存則:

ｋ＋ｐ_i＝ｋ'＋ｐ_f ⇔－ｋ'＋ｐ_i＝－ｋ＋ｐ_f も含めて.

Ｔ₁≡Ｔr(ｐ_f＋ｍ)ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'との違いは,

(ε,ｋ) ⇔ (ε',－ｋ') なる置換のみです。

よって,Ｔ₂＝8ｋ'ｐ_i{ｋｐ_i－2(ｋ'ε)²}　です。

第３のトレースＴ₃は,Ｔ₃≡Ｔr(ｐ_f＋ｍ)ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋ'ε'ε

で定義します。

これは,ｐ_f＝ｐ_i＋(ｋ－ｋ')により,

Ｔ₃＝Ｔr(ｐ_i＋ｍ)ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋ'ε'ε＋Ｔr(ｋ－ｋ')

ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋ'ε'ε　と書けます。

そして,ｐ_iε'＝－ε'ｐ_i,かつ,ｐ_iε＝－εｐ_iより,

Ｔ₃＝Ｔrε'ε(ｐ_i＋ｍ)ｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋ'ε'ε

＋Ｔrｋε'εｋｐ_iｋ'ε'ε－Ｔrｋ'ε'εｋｐ_iｋ'ε'ε

＝Ｔr(ｐ_i＋ｍ)ｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋ'ε'εε'ε

＋Ｔrｋε'εｋｐ_iｋ'ε'ε－Ｔrｋ'ε'εｋｐ_iｋ'ε'ε

です。

　そこで,Ｔ₃＝Ｔr(2ｋｐ_i－ｋｐ_i＋ｍｋ)(ｐ_i＋ｍ)ｋ'ε'εε'ε

 ＋2ｋε'Ｔrεｋｐ_iｋ'ε'ε－2ｋ'ε'Ｔrεｋｐ_iｋ'ε'ε

 となります。

何故なら,まずＴrｋε'εｋｐ_iｋ'ε'ε

＝2ｋε'Ｔrεｋｐ_iｋ'ε'ε－Ｔrε'ｋεｋｐ_iｋ'ε'εですが,

これの右辺第２項はｋεｋなる因子を含んでいて,この因子は

(2ｋε)ｋ－ｋ²ε＝0ですから,これの寄与はゼロです。

同様に,Ｔrｋ'ε'εｋｐ_iｋ'ε'ε＝Ｔrε'εｋｐ_iｋ'ε'εｋ'

＝2εｋ'Ｔrε'εｋｐ_iｋ'ε'－Ｔrε'εｋｐ_iｋ'ε'ｋ'εですが,

これの右辺第２項もｋ'ε'ｋ'＝0 を因子に持つためゼロです。

したがって,Ｔ₃＝2ｋｐ_iＴrｐ_iｋ'ε'εε'ε

－Ｔrｋ(ｐ_i²－ｍ²)ｋ'ε'εε'ε

＋2ｋε'Ｔrεｋｐ_iｋ'ε'ε－2ｋ'εＴrε'εｋｐ_iｋ'ε'

＝2ｋｐ_iＴrｐ_iｋ'ε'εε'ε－2ｋε'Ｔrｋｐ_iｋ'ε'

＋2ｋ'εＴrεｋｐ_iｋ'　です。

故に,Ｔ₃＝2ｋｐ_i(2ε'εＴrｐ_iｋ'ε'ε－Ｔrｐ_iｋ')

－8(ｋε')²(ｐ_iｋ')＋8(ｋε')²(ｐ_iｋ)　です。

よって,Ｔ₃＝2ｋｐ_i(ｋ'ｐ_i){2(ε'ε)²－1}

－8(ｋε')²(ｋ'ｐ_i)＋8(ｋε')²(ｋｐ_i)

を得ます。

したがって,Ｔr[(ｐ_f＋ｍ){ε'εｋ/(2ｋｐ_i)

＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)(ｐ_i＋ｍ){ｋεε'/(2ｋｐ_i)

＋ｋ'ε'ε/(2ｋ'ｐ_i)}]

＝(1/4)[Ｔ₁/(ｋｐ_i)²＋Ｔ₂/(ｋ'ｐ_i)²＋2Ｔ₃/{(ｋｐ_i)(ｋ'ｐ_i)}]

＝2{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(ε'ε)²－2}

を得ました。(証明終わり)

下に参考文献を示してはいますが,今日の記事内容は35年くらい

前の学生時代に一応自力で計算したものです。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGraw-Hill) 

以上,短いですが現在の住所に引っ越し直後,ネット復活開通後の 

最初の記事2010年８/17の記事「散乱の伝播関数の理論(18－2)」 

からの再掲載でした。