弱い相互作用の旧理論(6)(Fermi理論)

弱い相互作用の旧理論の続きです。

前回記事の最後の部分では次のように述べました。(※)

今のところ, 

Ｍ ＝ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν) 

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}] 

には,Ｓ,Ｖ,Ａ,Ｔの４種類の項全てが現われるとしていて, 

これらのどれを否定するか？の根拠はありません。

そこで,崩壊率を示す量の一般形：

|Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~)

×(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)

における係数Ｃを測定する実験を行ない,それによってＣ_Ｓ,Ｃ_Ｖ,

Ｃ_Ａ,Ｃ_Ｔのより多くの情報を得ること、(電子-反ニュートリノの

角相関関係を見ること)などを考える必要があります。
 

例えば,ＳとＶの寄与のみを含む純粋Fermi遷移を考察します。
 

電子と反ニュートリノのスピン変数にわたって和を取ると電子

に相対的に出現する反ニュートリノの角分布として次式を得ます。
 

Ｎ_Fermi(θ) ∝ Tr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)

(Ｃ_Ｓ＋γ⁰Ｃ_Ｖ)ｐ_ν~Ｃ_Ｓ^＊＋γ⁰Ｃ_Ｖ^＊)(1－γ₅)] 

＝8Ｅ_ｅＥ_ν~|Ｃ_Ｓ|²(1－β_ｅ(cosθ)＋|Ｃ_Ｖ|²(1＋β_ｅ(cosθ)

ただし,θは電子と反ニュートリノのなす角です。

と書きました。 (※)

今日は,この式が得られる理由を述べる私の注から始めます。

※(注6-1)：ＳとＶの寄与のみを含み,ＡとＴが無い場合

のβ崩壊の不変振幅 Ｍ は,次のように書けます。
 

Ｍ　＝ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＝(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋Ｃ_Ｖγ⁰)ｖ_ν(ｐ_ν)]

です。

　そして,電子に相対的に出現する反ニュートリノの角分布：

Ｎ_Fermi(θ)は,上式の絶対値を平方して,電子と反ニュートリノ

のスピンについて総和したものに比例します。

　ところが,

|ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋Ｃ_Ｖγ⁰)ｖ_ν(ｐ_ν)|² 

＝[ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋Ｃ_Ｖγ⁰)ｖ_ν(ｐ_ν)] 

×[ｖ_ν^＋(ｐ_ν)(Ｃ_Ｓ^＊＋Ｃ_Ｖ^＊γ⁰)(1＋γ₅) γ⁰ｕ _ｅ(ｐ_ｅ)] 

＝[ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋Ｃ_Ｖγ⁰)ｖ_ν(ｐ_ν)]

×[ｖ_ν~~(ｐ_ν)(Ｃ_Ｓ^＊＋Ｃ_Ｖ^＊γ⁰)(1－γ₅)ｕ _ｅ(ｐ_ｅ)]

です。
 

故に,Σ_{ｓｅ,ｓν~} |ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋Ｃ_Ｖγ⁰)ｖ_ν(ｐ_ν)|² 

＝Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ) (1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋Ｃ_Ｖγ⁰)ｐ_ν~

(Ｃ_Ｓ^＊＋Ｃ_Ｖ^＊γ⁰)(1－γ₅)]　ですが,

　既に見たようにＳ→ＶやＶ→Ｓの遷移は寄与しないことに対応

してＣ_ＳＣ_Ｖ^＊やＣ_ＶＣ_Ｓ^＊の項は実際に消えてゼロになることが

わかります。

一方,|Ｃ_Ｓ|²＝Ｃ_ＳＣ_Ｓ^＊の係数は, 

Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)ｐ_ν~(1－γ₅)]

＝2Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)ｐ_ν~] 

＝2Ｔr(ｐ_ｅｐ_ν~)＝8ｐ_ｅｐ_ν~＝8(Ｅ_ｅＥ_ν=－ｐ_ｅｐ_ν)

＝8Ｅ_ｅＥ_ν~(1－β_ｅcosθ)　です。
 

また,|Ｃ_Ｖ|²＝Ｃ_ＶＣ_Ｖ^＊の係数は, 

Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)γ⁰ｐ_ν~γ⁰ (1－γ₅)]

＝2Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)γ⁰ｐ_νγ⁰] 

＝2[Ｔr(ｐ_ｅγ⁰ｐ_νγ⁰_~)－Ｔr(γ₅ｐ_ｅγ⁰ｐ_νγ⁰) 

＝8(ｐ_ｅ⁰ｐ_ν~⁰＋ｐ_ｅ⁰ｐ_ν~⁰－ｐ_ｅｐ_ν)

－8ｉε_αβγδｐ_ｅ^αｇ^0βｐ_ν~^γｇ^0δ 

＝8[2Ｅ_ｅＥ_ν~－(Ｅ_ｅＥ_ν~－ｐ_ｅｐ)＝8(Ｅ_ｅＥ_ν=＋ｐ_ｅｐ_ν)
＝8Ｅ_ｅＥ_ν~(1＋β_ｅcosθ)　

です。
 

以上から, 

Ｎ_Fermi(θ) ∝ Σ_{ｓｅ,ｓν~} 

|ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋Ｃ_Ｖγ⁰)ｖ_ν(ｐ_ν)|² 

＝8Ｅ_ｅＥ_ν~[|Ｃ_Ｓ|²(1－β_ｅcosθ)＋|Ｃ_Ｖ|²(1＋β_ｅcosθ)] 

を得ました。　　　(注6-1終わり)※
 

　さて,Ｓ_if＝－Ｓ_fi^＊なので,逆β崩壊でも同じ角分布が見出される

はずです。
 

この分布を決める実験は,Ａ³⁵におけるほとんど純粋なFermi遷移

では逆βでの陽電子(Positron)と反跳核の方向を測ることで実行

され,近似的に(1＋β_ｅcosθ)に比例する結果が得られました。
 

つまり,Fermi遷移では,実際に起きるのはＶ(ベクトル)のみである
ことが示されたわけです。

一方,ＡとＴのみの純粋なGamow-Teller遷移について同様な角分布

を計算すると,これは,

Ｎ_ＧＴ(θ) ∝ Ｅ_ｅＥ_ν~×[|Ｃ_Ａ|²{1－(1/3)β_ｅcosθ}

＋4|Ｃ_Ｔ|²{1＋(1/3)β_ｅcosθ}]　となります、
 

※(注6-2)：純粋なGamow-Teller遷移：つまり,ＡとＴの寄与のみ

を含み,ＳとＶが無いβ崩壊の不変振幅Ｍ は,

4×4行列のベクトルΣ＝(Σ¹,Σ²,Σ²)の定義：

Σ^ｋ＝(1/2)Σ_ijε_kijσ^ij＝(i/4)Σ_ijε_kij[γ^ｉ,γ^ｊ]

を用いると,

Ｍ　＝ (ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＝Σ_k=1³(ｕ_ｐ^＋σ^kｕ_ｎ) 

×[ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅){2Ｃ_Ｔ(i/4)Σ_ijε_kij[γⁱ,γ^j]

＋Ｃ_Ａγ^k}ｖ_ν(ｐ_ν)]　と書けます。
 

電子に相対的に出現する反ニュートリノの角分布：

Ｎ_ＧＴ(θ)は上式の絶対値を平方して,電子と反ニュートリノ

のスピンについて総和したものに比例します。

すなわち,Ｎ_ＧＴ(θ) ∝(1/2)Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}Σ_se,sν~|Ｍ |²です 

ここで,Ｍ_ＧＴ＝(1/2)Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)と置くと,
 

Ｎ_ＧＴ(θ)∝(1/2)Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}Σ_k=1³ [(Ｍ_ＧＴＭ_ＧＴ^ｋ(Ｍ_ＧＴ^＊ｋ) 

×Σ_ｓｅｓν~|ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅){2Ｃ_Ｔ(i/4)Σ_ijε_kij[γⁱ,γ^j]

＋Ｃ_Ａγ^k}ｖ_ν(ｐ_ν)|² 

＝Σ_ｓｅｓν~Σ_k,l (Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊ｌ) 

×([ｕ _ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅){2Ｃ_Ｔ(i/4)Σ_ijε_kij[γⁱ,γ^j]

＋γ^kＣ_Ａ}ｖ_ν(ｐ_ν)] 

×[ｖ_ν~(ｐ_ν~)γ⁰{2Ｃ_Ｔ^＊(－i/4)Σ_mnε_lmn[γ^m,γⁿ]

＋γ^ｌＣ_Ａ^＊γ^k}(1－γ₅)ｕ_ｅ(ｐ_ｅ)]}　です。
 

そして,Ａ → ＴやＴ → Ａの遷移は寄与しないことに対応して

Ｃ_ＡＣ_Ｔ^＊やＣ_ＴＣ_Ａ^＊の項はゼロになることがわかります。
 

一方,|Ｃ_Ａ|²＝Ｃ_ＡＣ_Ａ^＊の係数は,因子(Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊l)を

除けば,次のトレース項になります。

すなわち,{1/2ｍ)}Ｔr [(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ) (1＋γ₅) γ^kｐ_ν~γ^l(1－γ₅)]

＝(1/ｍ_ｅ)Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ) (1＋γ₅) γ^kｐ_ν~γ^l] です。

これは,

(1/ｍ_ｅ){Ｔr(ｐ_ｅγ^kｐ_ν~γ^l)－Ｔr(γ₅ｐ_ｅγ^kｐ_ν~γ^l)} 

＝(4/ｍ_ｅ)(ｐ_ｅ^kｐ_ν~^l＋ｐ_ｅ^lｐ_ν^k－ｇ^klｐ_ｅｐ_ν~

－ｉε_αβγδｐ_ｅ^αｇ^kβｐ_ν~^γｇ^lδ) 

＝(4/ｍ_ｅ)(ｐ_ｅ^kｐ_ν~^l＋ｐ_ｅ^lｐ_ν^k＋δ^klｐ_ｅｐ_ν~

－ｉε_αｋγｌｐ_ｅ^αｐ_ν~^γ)　

となります。
 

よって,|Ｃ_Ａ|²＝Ｃ_ＡＣ_Ａ^＊の係数は,

[(Ｍ_ＧＴｐ_ｅ)(Ｍ_ＧＴｐ_ν~)＋|Ｍ_ＧＴ|²(ｐ_ｅｐ_ν~)

－ｉε_αｋγｌｐ_ｅ^αｐ_ν^γＭ_ＧＴ^ｋＭ_ＧＴ^＊ｉ] 
に比例することがわかります。
 

そして,

Ｍ_ＧＴ^kＭ_ＧＴ^＊l＝(1/4){Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ^＋σ^kｕ_ｎ)} 

×|Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ^＋σ^kｕ_ｎ)}^＊ 

～ (1/2){Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ~γ₅γ^kｕ_ｎ)(ｕ_ｎ~γ₅γ^lｕ_ｐ)} ＝{1/(8Ｍ_Ｎ²)} [Ｔr{(Ｐ_ｐ＋Ｍ_Ｎ) γ₅γ^k(Ｐ_ｎ＋Ｍ_Ｎ)γ₅γ^l}] 

＝{1/(8Ｍ_Ｎ²)}{Ｔr(Ｐ_ｐγ^kＰ_ｎ~γ^l)－Ｍ_Ｎ²Ｔr(γ^kγ^l)} 

＝{4/(8Ｍ_Ｎ²)}{Ｐ_ｐ^kＰ_ｎ^l＋Ｐ_ｐ^lＰ_ｎ^k－ｇ^kl(Ｐ_ｐＰ_ｎ＋Ｍ_Ｎ²))

です。
 

　これを中性子ｎの静止系:Ｐ_ｎ~＝(Ｈ,0)で計算すると. 

Ｐ_ｐ^kＰ_ｎ^l＋Ｐ_ｐ^lＰ_ｎ^k＝­0, Ｐ_ｐＰ_ｎ＝Ｍ_ＮＥ_ｐ なので、 

Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊l＝{1/(2Ｍ_Ｎ²)}(Ｍ_ＮＥ_ｐ＋Ｍ_Ｎ²)δ^kl

＝(1/2)}(1＋Ｅ_ｐ/Ｍ_Ｎ)δ^klです。
 

故に, Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊lは,Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊l＝(1/3)Ｍ_ＧＴ|²δ^kl

となって,これはδ^klに比例する形をしています。
 

このδ^kl因子を考慮すれば,ε_αｋγｌ＝0 より,

|Ｃ_Ａ|²の係数は,Σ_ｓｅｓν~Σ_k,l=1³ (Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊l) 

×{1/(2ｍ_ｅ)}Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)γ^kｐ_ν~γ^l(1－γ₅)]} 

＝Σ_ｓｅｓν~Σ_k,l=1³ Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊l 

×(4/ｍ_ｅ)(ｐ_ｅ^kｐ_ν~^l＋ｐ_ｅ^lｐ_ν^k＋δ^klｐ_ｅｐ_ν~

－ｉε_αｋγｌｐ_ｅ^αｐ_ν~^γ) 

＝(1/3) _ｓｅｓν~Σ_k,l=1³|Ｍ_ＧＴ|²δ^kl 

×(4/ｍ_ｅ)(ｐ_ｅ^kｐ_ν~^l＋ｐ_ｅ^lｐ_ν^k＋δ^klｐ_ｅｐ_ν~－ｉε_αｋγｌｐ_ｅ^αｐ_ν~^γ) 

＝(1/3)Σ_ｓｅｓν~|Ｍ_ＧＴ|²

×(4/ｍ_ｅ){2ｐ_ｅｐ_ν~＋3(Ｅ_ｅＥ_ν~－ｐ_ｅｐ_ν~)} 

＝(4/ｍ_ｅ)Σ_ｓｅｓν~|Ｍ_ＧＴ|²Ｅ_ｅＥ_ν~{1－(1/3)β_ｅcosθ} 

なる結果を得ます。
 

また,|Ｃ_Ｔ|²＝Ｃ_ＴＣ_Ｔ^＊の係数は,Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊lを除けば, 

次のトレース項になります。
 

(1/4){1/(2ｍ_ｅ)}Σ_ijmnＴr{(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)ε_kijε_lmn

[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γ^m,γⁿ](1－γ₅)}
 

Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊lは,Ｍ_ＧＴ ^kＭ_ＧＴ^＊l＝(1/3)|Ｍ_ＧＴ|²δ^klを掛けて

総和：Σ_klを取ると,
 

これは,{1/(12ｍ_ｅ)}Σ_ijimn(δ_iｍδ_in－δ_inδ_jm) 

×Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ) (1＋γ₅)[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γ^m,γⁿ](1－γ₅)]
 

＝{1/(6ｍ_ｅ)}Σ_ij Ｔr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ) (1＋γ₅)

[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γⁱ,γ^j](1－γ₅)]
 

です。
 

Σ_ijＴr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ) (1＋γ₅)[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γⁱ,γ^j](1－γ₅)] 

＝Σ_ijＴr(ｐ_ｅ[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γⁱ,γ^j])

－Σ_ijＴr(γ₅ｐ_ｅ[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γⁱ,γ^j])　

ですが,右辺第２項のΣ_ijＴr(γ₅ｐ_ｅ[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γⁱ,γ^j])が

ゼロとなることがすぐにわかります。
 

一方, 第１項はΣ_ijＴr(ｐ_ｅ[γⁱ,γ^j]ｐ_ν~[γⁱ,γ^j]) 

＝2Σ_ij [Ｔr(ｐ_ｅγⁱγ^jｐ_ν~γⁱγ^j) －Ｔr(ｐ_ｅγ^jγⁱｐ_ν~γ^jγ)] 

＝96Ｅ_ｅＥ_ν~|1＋(1/3)β_ｅ^~cosθ}　です。(詳細計算は省略)

したがって,|Ｃ_Ｔ|²の係数は,これに

{1/(6ｍ_ｅ)}Σ_ise,sν~|Ｍ_ＧＴ|²を掛けて得られるので,

(16/ｍ_ｅ)Σ_ise,sν~|Ｍ_ＧＴ|²Ｅ_ｅＥ_ν~|1＋(1/3)β_ｅcosθ}

です。

よって,Ａ,Ｔの寄与は,(4/ｍ_ｅ)Σ_ｓｅｓν~|Ｍ_ＧＴ|²Ｅ_ｅＥ_ν~

,×[|Ｃ_Ａ|²|1－(1/3)β_ｅcosθ}＋4,|Ｃ_Ｔ|²|1＋(1/3)β_ｅcosθ}]

です。　　(注6－2終わり)※

Ｎ_ＧＴ(θ) ∝ Ｅ_ｅＥ_ν~,×[|Ｃ_Ａ|²|1－(1/3)β_ｅcosθ}

＋4,|Ｃ_Ｔ|²|1＋(1/3)β_ｅＧＴcosθ}]なる分布式に基づいて

Ｎ_ｅ²³のβ崩壊のような純粋Gamow-Teller遷移での測定や,

Fermi遷移とGamow-Teller遷移の混合において観測された
他のデータは,|Ｃ_Ｔ/Ｃ_Ａ|＜＜１を示しています。

この結果からＣ_Ｔ/Ｃ_Ａ＝0 と考えると,結局,
 

Ｍ ＝ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)Ｃ_Ｖγ⁰(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}]

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ){ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)Ｃ_Ａγ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

が得られます。
 

かくして,β崩壊に関わる弱い相互作用は,ＶとＡのみで構成

されると結論されます。

そして,β崩壊からは,右巻きの反ニュートリノ

(左巻きニュートリノ)のみが放出されることが示されています。
 

後は,単にＣ_ＶとＣ_Ａの大きさと相対的位相のみが決定さるべき

ものとして残っているのみです。
 

大きさは中性子ｎの崩壊率とＯ14の崩壊における純粋なFermi遷移

の測定から見出されます。

　位相はＶ-Ａの混合に敏感な偏極中性子のβ崩壊中の中性子

スピン軸に相対的な電子の角分布の測定から決まります。

これらによる最終結果は次の通りです。

√2Ｃ_Ｖ＝(1.015±0.03)×10^-5×(1/Ｍ_ｐ²)＝Ｇ 

Ｃ_Ａ＝(1.21±0.03)Ｃ_Ｖ＝αＣ_Ｖ

です。

このＧの定義と数値の結果を

Ｍ ＝ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)Ｃ_Ｖγ⁰(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}]

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ){ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)Ｃ_Ａγ(1－γ₅)ｖ_ν~(ｐ_ν)} 

に代入し,相対論的表記を復活させると,β崩壊の不変振幅

として次式を得ます。

　すなわち, 

Ｍ ＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｐ~γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｎ][ｕ_ｅ~γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν~]

　です。

　さて,今や,この不変振幅：Ｍ を弱い相互作用の摂動の1次の

効果と見て,これ自身を相互作用摂動項と見なしてより高次の

Feynmanグラフの計算を試みようと考えるのは当然です。
 

　しかしながら,この相互作用頂点を単なるδ-関数に置き換える

局所相互作用の近似では,こうした高次のグラフの計算は明確には

できません。
 

何故なら,

既に,電磁相互作用の輻射補正の項で見たように閉ループグラフ

の計算などでは,無限大に発散する量が出現し,それを繰り込み

定数というものに分離して切り離すという手法を用いました。

　しかし,今の弱い相互作用の計算では,そうした操作は不可能で

あるような無限大量が生み出されるからです。
 

すなわち,今の弱い相互作用での局所相互作用近似は,高運動量

での収束を生み出すべき,核子やレプトン(軽粒子)の間で交換

されるBose粒子の運動量表示の伝播関数:Ｆ ∝ [1/(ｑ²－μ²)]

(ｑ → ∞ではＦ → 0)を単なる定数(＝座標表示ではδ関数)

に置換えることに同等ですから,例えば閉ループでの全ての運動

量にわたる積分では正しい結果に導くことはないと予想される

わけです。
 

今までの理論展開では.弱い相互作用理論は確かに非常に微小な

結合定数で扱っていますが,こうした高次での発散を処理する

には有効ではありません。

(↑※これは今の言葉で言うなら,繰り込み不可能という意味です。

繰り込み可能な理論とするには,,４重頂点はＦ＝定数ではなく,

２点間に質量μの弱ボゾンを交換するＦ ∝ [1/(ｑ²－μ²)])を割り

当てる必要があります。※)
 

例えばν~＋ｐ→ｎ＋ｅ^＋のような散乱過程における断面積

は,エネルギーの２乗と共に増加します。
 

そして,Ｇ²Ｅ_c.m ² ～{Ｅ_c.m/(300Ｍ_ｐ)}⁴/Ｅ_c.m²)ですから,重心系

のエネルギーＥ_c.m が,Ｅ_c.m  ～ 300Ｍ_ｐ ～ 300BeV に達するまで

に,弱い相互作用は強い相互作用と同程度になり非局所性や高次

の作用の効果が非常に重要になると予測されます。
 

今日はここで終わります。

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)

訃報！！原節子さん。。

　永遠の処女といわれた大女優原節子さんが今年９月に死去されていたことがわかりました。享年95歳。。。

ＮＨＫニュース　→　日本映画界の伝説的女優　　原節子さん。死去 

          

42歳で引退されたということですが,その今から53年前の1962年には私は12歳の小学６年生。。その前年にわが家にテレビが来たばかりの頃です。

　映画だけの時代のスターで,テレビ時代にはもう完全に引退されていたので,私には名前を親世代から聞かされ顔写真を知っている程度で印象は薄いです。,

　　ご冥福を祈ります。。合掌！！

訃報！！川崎敬三さん。。

俳優,ワイドショー司会などをやられていたタレントの川崎敬三さんが今年７月に死去されていたことがわかりました。82歳でした。

　※　日刊スポーツ  →  ワイドショー司会,俳優の川崎敬三さん死去,82歳

　　　

　お昼のワイドショーで一世風靡した時代がありました。

　私は丁度,学生から社会人になっていったころでしょうか。。。

　やっと自力でテレビが買える身分になって,現在のテレビっこジジイになるきっかけとなった頃ですね。なつかしいです。

　まだ生きておられらのかというのが正直な感想うです。俳優としての川崎さんは,ほとんど見ていないか？忘れて記憶にありませんが。。。

ワイドショーでは山本耕一さんや,漫才ブームに乗った「ぼんち」とか,流行語で盛り上がっていましたね。。。

 ご冥福を祈ります。合掌！！

PS：私事です。

　昨日お茶の水の順天大病院の形成外科外来に行ってきましたが。。,

　待つこと3時間半,プラス診察２時間余り,さらに薬もらうのに20分。。。

　,14時半の予約だったので自宅を昼過ぎに出て13時半ごろ病院に到着。。帰宅したのは夜の９時前でした。軽く食事後,疲れて夜中まで爆睡。。。

　そして朝４時頃には起床してそのままです。

　またまた近々入院するかも。。という話になり.来週も12/１の火曜午後に同じ先生の診察を受けに行くことになりました。ついでに予約無しで循環器に相談。。。

　でもオカシイなあ。。先週来たときはお休みで代診で,」「また来週来てほしい」と言われたとき,「毎週来るのはシンドイから来週でなくさ来週にしてくれ」と私が言うと,「さ来週はまたいないから。」と聞いたので来たのにね。。。。

　今回入院することになれば,それは病気のために入院というより.も,もう１年くらい自然治癒しない右足かかとの傷穴が治りやすくなる措置のためです。

　循環器内科で右足の動脈にカテーテルを通して必要ならステントを入れて足首までの動脈血流を確保するための施術をするためです。

　2013年５月に同じことやったのに.また塞がったからということですが。。。　左足は今年5月にやったばかりです。

 ナラ,2年ごとに片足ずつヤルの？？イヤその前に足も命も無いかも。。

　足のつけねのカテーテル入口の局所麻酔だけで2時間くらい我慢する。　内科治療だし手術じゃないというけれど逆にツライという記憶があります。。

　日帰りは無理でしょうから入院するという程度でしょうが。。。

　入院手術慣れしているとはいっても面倒くさいコトです。。。

弱い相互作用の旧理論(5)(Fermi理論)

弱い相互作用の旧理論の続きです。

前回の最後ではβ崩壊において,核子の反跳が小さいときの

不変振幅Ｍ の近似式:

Ｍ　～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

　＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　

においてγ₅の係数 α_iの値が全て＋1に決まり,Ｍが
 

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}  

　　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

　　＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　
 

のように簡単になるとわかったところからの続きです。
 

今日は,残る係数Ｃ_Ｓ,Ｃ_Ｖ,Ｃ_Ｔ,Ｃ_Ａを決定する作業に向かいます。

　再び,β崩壊の行列要素Ｓ_ｆｉ^(ｅ-) を書き下すところから始めます。
 

　Ｓ_fi^(ｅ-)＝(2π)^-6{ｍ_ｐｍ_ｎｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

　×(2π)^４δ^４(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)Ｍ　　です。
 

崩壊の微分断面積を与える遷移率は,これから得られる

|Ｓ_fi^(ｅ-)|²/(ＶＴ)に比例しますから,Ｍ の絶対値を平方して

終状態粒子のスピンについて総和を取り,始状態粒子非偏極

のときはそのスピンについて平均する必要があります。
 

このとき,非偏極の核子ｐ,ｎに対してはFermi遷移(Ｓ,Ｖ)と,

Gamow-Teller遷移(Ａ,Ｔ)の間に干渉項はないことがわかります。
 

※(注5-1)：Fermi遷移とGamow-Teller遷移の間の干渉項が無い

ことを証明します。
 

まず,上に与えたＭの式のFermi項の(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)の係数を, 

　Ｆ＝[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}],
 

　Gamow-Teller項の(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)の係数を,

　Ｇ＝[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

 ＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]

と置けば,Ｍ＝(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)Ｆ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Ｇ　です。

そこで,
|Ｍ⁾|² ∝ Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}|(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)Ｆ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Ｇ|² 

＝Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}[|(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)| ²|Ｆ|²＋|(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)|²|Ｇ|² 

＋(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)^＊ＦＧ^＊＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)^＊ＧＦ^＊] 

と書けます。

この右辺の第３,４項がＦとＧの干渉項です。

β崩壊する前の始状態の中性子ｎが非偏極で,これのスピン平均を取るだけでなく,終状態のｐ,ｅ,ν~のスピンについても総和すれば,

|Ｍ⁾|² ∝ Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}Σ_{ｓｅ,ｓν~}|(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)Ｆ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Ｇ|² 

ですが,ＦとＧの干渉項は,

Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)Σ_ｓｅ,ｓν^＊ＦＧ^＊

＋Σ_{Ｓｐ,Ｓｎ}(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)^＊Σ_ｓｅ,ｓνＧＦ^＊

です。

この干渉項第３項,および,第４項のＦＧ^＊の係数:

(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)^＊,および,ＧＦ^＊の係数:

(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)^＊の双方において,

(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)≠0となるのは,核子の反跳が無視できる非相対論的

極限の核子の２成分スピノルではＳ_ｐ,＝Ｓ_ｎのときのみです。

しかし,実は後で気づいたのですが,このこととは関係なく,

中性子ｎの静止系でのスピン部分は,spin-upのｕ_ｎ＝[1.0]^Ｔ

でも,spin-downのｕ_ｎ＝[0,1]^ＴでもPauliのスピン行列の表示

では,σ¹ｕ_ｎ＝σ²ｕ_ｎ＝0 です。
 

　また, spin-upの[1.0]^Ｔ,なら,σ³ｕ_ｎ＝＋ｕ_ｎ,より,

(ｕ_ｐ^＋σ³ｕ_ｎ)＝(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)であり,spin-downの[0,1]^Ｔ

なら,σ³ｕ_ｎ＝－ｕ_ｎ,より,(ｕ_ｐ^＋σ³ｕ_ｎ)＝－(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)

です。
 

これらは干渉項のＦＧ^＊,ＧＦ^＊の係数がゼロであることを

意味するので,結局,Fermi項とGamow-Teller項の干渉は無

いことが示されました。

(注5-1終わり)※
 

さらに,同じ

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　において,
 

ＳとＶ,あるいはＡとＴの間にも干渉項はありません。

　何故なら,これらは異なる反ニュートリノの状態へと

導くからです。

　すなわち,因子(1＋γ₅)を順序を交換させて最も右の

反ニュートリノ波動関数(負エネルギーニュートリノ

波動関数)：ｖ_ν(ｐ_ν)のすぐ左まで移動させたとき,
 

ＳとＴでは(1＋γ₅)のままなので,この遷移は左巻きの

反ニュートリノ(＝右巻きの負エネルギーニュートリノ)： 

ｖ_ν^ＬＨ(ｐ_ν)＝|(1＋γ₅)/2}ｖ_ν^ＬＨ(ｐ_ν) へと導きます。
 

　これに対して,ＶとＡでは(1＋γ₅)から（1－γ₅)に変わる

ため,遷移は右巻きの反ニュートリノへと導くわけです。
 

　こうして,ＳとＶの間にもＡとＴの間にも干渉が無いことは,

先に 「弱い相互作用の旧理論(3)」で実験からもそれが無いこと

が確認されているFielz項というものが無いことを意味します。
 

※(注5－2)：「弱い相互作用の旧理論(3)」では,β崩壊の

Ｓ行列要素が,次のように与えられると仮定しました。,

　Ｓ_fi^(ｅ-)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｎ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν) (ｘ₄)

×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,..,.ｘ₄)
 

　　そして,始状態の中性子が非偏極の場合の遷移率,または

　微分断面積に比例する量：|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)は,

 始状態のｎ,終状態のｐ,ｅ,ν~　のスピンについて総和を取る

　とき,波動関数部分は次のようにトレース因子に帰着します。

　すなわち,|Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ) 

(4Ｅ_ｅＥ_ν)^-1 Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ 

　なる式を得ます。
 

　この式のトレース因子：Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂは

　計算すると,

　Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ

　＝ＡＥ_ν~＋ＢＥ_ｅＥ_ν~＋ＣＥ_ｅＥ_ν~β_ｅｐ^_ν~ 

　なる一般形を持つことがわかります。

　ただし,Ａ,Ｂ,Ｃは定数です。

 (※何故なら,Σ_Ａ,ＢＴr(ｐ_ｅ＋ｍ_e)Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ 

＝Σ_Ａ,ＢＴrｐ_ｅΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ＋ｍΣ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ

において, 

右辺第２項：ｍ_eΣ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂは明らかに

ｐ_ν~に比例しますが,ｐ_ν~⁰＝Ｅ_ν~,より特にｐ_νに平行な方向

をｚ軸(３軸)に採用すればｐ_ν~＝Ｅ_ν~(γ^０－γ³)ですから,

一般にこれはＥ_ν~に比例します。
 

一方,右辺の第１項：Σ_Ａ,ＢＴrｐ_ｅΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂはｐ_ｅｐ_ν~の

スカラー積やｐ_ｅ^μｐ_ν~^νａ_μνのような係数がつく形なので.

Ｅ_ｅＥ_ν~に比例する項 とｐ_ｅｐ_ν~に比例する項に分割される

からです｡　※)
 

　そこで,始状態：|ｉ＞から終状態：|ｆ＞への遷移率として, 

 |Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~)

　×(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ) 

　なる表式を得ました。
 

これに基づき, 終状態：|ｆ＞＝|ｐ_ｅ,ｐ_ν,Ｐ_ｐ＞に対する

位相空間因子：ｄ^３ｐ_ｅ, ｄ^３ｐ_ν~,ｄ^３Ｐ_ｐを掛けて陽子と

ニュートリノの運動量Ｐ_ｐとｐ_ν~にわたって積分すると,

中性子ｎのβ崩壊における電子ｅのスペクトル分布 

　を見出すことができます。
 

特に,ニュートリノの運動量にわたる積分では,

ｄ^３ｐ_ν~＝|ｐ_ν~|²ｄ|ｐ_ν~|ｄΩ_ν~＝Ｅ_ν~²ｄＥ_ν~ｄΩ_ν

であり,ｐ^_ν~を含む項は奇関数なので積分の結果ゼロです。
 

　それ故,電子ｅのスペクトル分布は, 

ｄω_ｅ ∝ ｐ_ｅＥ_ｅ(Ｍ_ｎ－Ｍ_ｐ－Ｅ_ｅ)²(Ａ/Ｅ_e~＋Ｂ)ｄＥ_ｅなる

形になります。
 

実験によると,自由中性子だけでなく,許される遷移として

知られている広いクラスの原子核のβ崩壊についても電子

スペクトルはこの依存性を持ち,さらにＡ＝0となることが

実験において観測されました。
 

この(Ａ/Ｅ_ｅ~＋Ｂ)依存性のうち消えるＡ/Ｅ_ｅ項は,Fierz

の干渉項と呼ばれるものの１つです。

(注5＾2終わり)※
 

　と「弱い相互作用の旧理論(3)」で書きました。

　この内容から,Fielz項：Ａ/Ｅ_ｅは,トレース因子のうちの,

　ｍ_eΣ_Ａ,ＢＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂなる項によるＡＥ_ν~に起因している

　ことがわかります。
 

ＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂは.Γ^Ａ,ｐ_ν,Γ^Ｂに合計で奇数個のγ行列因子

が含まれていればゼロですから,

(Ｓ,Ｖ)の組ではΓ^ＡがＳ(スカラー)でΓ^ＢがＶ(ベクトル),

またはその逆, 

(Ａ,Ｔ)の組では,Γ_Ａ＝(1＋)^ＡがＡ(軸性ベクトル)でΓ^Ｂが

Ｔ(テンソル),またはこの逆 

のケース以外はこのトレースにゼロでない寄与をしません。
 

　したがって,ＳとＶの間にも,ＡとＴの間にも干渉が無いことは

　Ａ＝0を意味するわけです。

　もしもニュートリノが100％より小さい偏極で放出される

　なら,Fielz項が無いことはＳかＶのどちらか一方,および,

　ＡとＴのどちらか一方の項のみが含まれる相互作用の形が

　要求されます。
 

つまり,完全に左回りと決まらないときは(1＋γ₅)(1－γ₅)＝0

が効かないので,ＳとＶ,ＡとＴの項は消えるとは限らないので

Ａ＝0となるためには,ＳかＶ,ＡかＴのそれぞれ,どちらかの

寄与がゼロと考える他にはありません。

※(注5-3)：すぐ前に述べたように,

Ａ/Ｅ_ｅのFielz項はＴrΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂに起因し.(Ｓ,Ｖ)の組では

Γ^ＡがＳでΓ^ＢがＶ,またはその逆,(Ａ,Ｔ)の組では,Γ^ＡがＡで

Γ^ＢがＴ,またはこの逆のみがこれに寄与します。

ただし,Γ^ＡがＳでΓ^ＢがＶとはΓ^Ａ＝(1＋γ₅)1,Γ^Ｂ＝(1＋γ₅)γ^λ

を意味するので.Γ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ＝2(1＋γ₅)γ^λｐ_ν~,となります。
 

また,Γ^ＡがＡでΓ^ＢがＴとはΓ^Ａ＝(1＋γ₅)γ₅γ^λ,Γ^Ｂ＝(1－γ₅)σ^ρτ

を意味するのでΓ^Ａｐ_ν~Γ^Ｂ＝2(1＋γ₅)γ^λσ^ρτｐ_ν~となります。
 

　ところが,ニュートリノの波動関数_~が完全に左巻きなら,それ

に由来するｐ_νは左巻き反ニュートリノなので.これは

ｐ_ν＝(1＋γ₅)ｐ_ν/2を満たします。
 

　この場合,2(1＋γ₅)γ^λｐ_ν~＝2(1＋γ₅)γ^λ(1＋γ₅)ｐ_ν~/2 

　＝(1＋γ₅)(1－γ₅)γ^λｐ_ν~＝0 で,かつ,

 2(1＋γ₅)γ^λσ^ρτｐ_ν~＝2(1＋γ₅)γ^λσ^ρτ(1＋γ₅)ｐ_ν~/2

 ＝(1＋γ₅)(1－γ₅) γ^λσ^ρτｐ_ν~,＝0　となり,

そもそも|Ｍ|²に寄与するFielz項は存在しません。

それ故,ニュートリノが完全に左巻きではないのにＡ＝0になる

のは,(Ｓ,Ｖ)の組ではＳ,Ｖのどちらかがゼロ,(Ａ,Ｔ)の組では

Ａ,Ｔのどちらかがゼロである場合しかありません。

(注5-3終わり)※

しかし,今のところ, 

Ｍ ＝ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

　＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

　＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]
 

にはＳ,Ｖ,Ａ,Ｔの４種類の項全てが現われるとしていて,

これらのどれを否定するか？の根拠はありません。
 

そこで, |Ｓ_fi|²/(ＶＴ) ∝ (Ａ/Ｅ_ｅ＋Ｂ＋Ｃβ_ｅｐ^_ν~) 

(2π)⁴δ⁴(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)における係数Ｃを測定する

実験を行ない,それによってＣ_Ｓ,Ｃ_Ｖ,Ｃ_Ａ,Ｃ_Ｔのより多くの情報

を得ること(＝電子-反ニュートリノの角創刊関係を見ること)を

考える必要があります。
 

例えば,ＳとＶの寄与のみを含む純粋Fermi遷移を考察します。

電子と反ニュートリノのスピン変数にわたって和を取ると電子

に相対的に出現する反ニュートリノの角分布として次式を得ます。
 

Ｎ_Fermi(θ) ∝ Tr[(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)(1＋γ₅)(Ｃ_Ｓ＋γ⁰Ｃ_Ｖ)ｐ_ν~

(Ｃ_Ｓ^＊＋γ⁰Ｃ_Ｖ^＊)(1－γ₅)]

＝8Ｅ_ｅＥ_ν~[|Ｃ_Ｓ|²(1－β_ｅcosθ)＋|Ｃ_Ｖ|²(1＋β_ｅcosθ)]

ただし,θは電子と反ニュートリノのなす角です。
 

この式の導出の詳細は次回にまわして,今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)

訃報！！北の湖理事長

　大相撲の元横綱で現在理事長の北の湖さんが20日急死されました。直腸ガンで多臓器不全が死因らしいです。享年62歳。。まだ若い。。

日刊スポーツ　→　北の湖さん死去,,62歳,,直腸ガン。命削り九州場所

　テレビではいつも苦虫を噛みつぶしたような表情で笑った顔を見た記憶がありません。

　ある意味で高倉健さんもそういう印象でしたから,とても男らしい勝負師そのものの日本男児だったのでしょう。

　花の昭和28年(ニッパチ)組です。。若三杉→若の花もいますが。。　

　強すぎて憎たらしいほどでした. 。

大鵬さんも強すぎたけれど憎たらしくなくむしろ親しまれていましたから,見かけで損ししていたのかな。。

　ご冥福を祈ります。合掌！！

ＰＳ：昨日21日(土)は未明に左足が痛くて眠れず３時頃から起きてました。

　出勤予定をキャンセルして自宅で寝ていましたが急に寒くなったせいか,夜８時ころ熱をはかると38.1度でその語37度前後の微熱になりました。

　これを書いている最中の10時ころに訪問看護師が来て30分余りいたので,それから誤字脱字を直しました。

パリの事件に思う。。ヨーロッパの人種差別

　,金曜の夜にスポーツ観戦や観劇などをする余裕がある,謂わゆる有閑階層で,かつ飽食階級からの呼び名である「テロ」を肯定するつもりはないけれど,かつて米国の貿易センタービルへの旅客機突撃事件の際も「本土爆撃万歳」とか述べて多くの顰蹙コメントをもらった自分が,またまた,恐らく「先進国」の巷の大勢の人々とは異なる見方の感想を持ったと思います。

　そもそも,ＥＵやイギリス,特にフランスは日本人も含め,有色人種(カラード)への人種差別は激しく,旅行者にはわからなくても住んでみると凄いらしいです。

　特にアラブ系の人への差別は日常茶飯事らしいです。

　また,日本人のプロサッカー選手でも滞在中に差別的イジメにあって逃げ帰った人がいると聞いたことあります。

　以下,別のホームページでのニュースから転載します。最初は参照のＵＲＬだけにしておこうと思いましたが,ブログ記事にする都合上.無断転載ですが参照元を明示した後に写真以外は丸写しコピーです。

→　ＭＡＤＡＭＥ　ＲＩＲＩ　より　

[フランスの人種差別事情]他民族が乗る"パリの地下鉄"で毎日思うこと

(※以下,記事の全文コピーです。※)

　フランスで地下鉄に乗車しようとした黒人の男性が、人種差別主義者を自称するサッカーファンから繰り返し乗車を妨害されるという事件があり、波紋を呼んでいる。「俺らは人種差別主義者。それの何が悪いんだ！」と繰り返し叫ぶチェルシーサポーターの動画を見て、悲しい気持ちになったのは筆者だけではないだろう。

　今回の騒ぎを起こしたのはイギリス人たちであり、フランス人からすれば”いい迷惑”な事件であるが、フランス人に人種差別意識がないかといえば嘘になる。

白人、黒人、アラブ人、インド人、アジア人など、他民族が暮らすパリ。パリの地下鉄のなかは当然、毎日様々な人種や宗教の人たちが一緒に乗る”他民族コンテナ”と化する。

　そんなパリで暮らす日本人在住者は、「フランス人は人種差別的な人が多い」と言う。

フランスで人種差別を一番受けるのは、アラブ人たち。先月のシャルリーエブド事件の影響もあって、特にイスラム教徒のアラブ人に対する偏見や差別意識は強い。筆者の周りのフランス人も、声を大きくしては言わないが、ムスリムへの風当たりが厳しい。知り合いのフランス人女性はシャルリーエブド事件について、このようなことを言っていた。

「アメリカでの9.11以降、パリでもブルカやベールをしている人が増えたわよね。私はずっと前から彼らが何か計画しているんじゃないかと思っていたのよ。ムスリムはみんな信用できない。」

筆者の感覚からするとゾッとするような思想を、さも真実かのように語る人がいる。ムスリ　ムがフランスを乗っ取ろうとしていると信じている人が現実にいる。人間の恐怖心や憎しみは、ユダヤ人を迫害したヒットラーのように、冷静さを欠いたゾッとする思想をつくりあげてしまうのかもしれない。

そして、多民族都市パリでは、日本人がこのような偏見の被害者になることもある。筆者の知り合いの日本人女性は、交差点で信号待ちをしている時、急に背後から突き飛ばされた。背後にいたのは黒人男性で、「何するんですか！」という問いに、「俺はアジア人が大っ嫌いなんだ！」と答え、尚も突き飛ばしてきたそうだ。

この黒人がアジア人にどんな因縁があるのかは知らないが、突き飛ばされた女性には全く持って関係ないことだ。アジア人全てを一括りにして、同じものとして接することに問題がある。

また、パリで暮らす日本人の中には”フランス人に対して”の偏見が強かったり、差別的な発言をする人もいる。こういう日本人もまた、フランス人全てを”だらしがなく、高慢で、信用できない人”を決めつけ、真面目な日本人とは差別して扱うのだ。

これら人種差別的な言動をする人に共通しているのは、「ある民族や宗教グループを全て同じもの」として見る点である。白人はみんないっしょ、黒人はみんな同じ、アジア人もみんな同じという見方が人種差別の根源にある。その人本人がどういう人なのかを知ろうとせず、「○○人はこういう人」という決めつけ、凝り固まった偏見から抜け出さない。

”つきあってみたら意外に話が合ういいヤツ”かもしれないのに、つきあってみるという最初の一歩を踏み出さず、人間関係を遮断してしまう。これは非常にもったいないことだと思う。「お寿司は食べたことないけど、嫌いなんです」という外国人のようだ。

とはいえ、フランス人と外国人、外国人同士、フランス人同士など、それぞれがそれぞれに偏見があるのがフランス社会。筆者も他国の人に偏見が全くないとは正直言い切れない。

ただ、パリという他民族社会で生活する以上、相手が日本人であれ、フランス人であれ、イスラム教徒であれ、”その人自身”をまっすぐ見つめることが大切だと思う。人種や民族の「枠」にとらわれず、相手のことを知る努力をすることが必須だ。逆にそれができないと、他民族社会のバランスが崩れ、”異”が“共生”することはできなくなってしまう。

今月、後藤さんが殺害されたことを受け、日本だけでなく世界中でイスラム過激派にどう対抗していくかという話がよく挙げられるようになった。「イスラム教徒＝悪」というイメージがマスコミを通して知らぬ間に伝わってしまっているように思う。

筆者と同じフランス語教室に通うリビア人女性はイスラム教徒だ。先週、彼女はこのようなことを聞いてきた。

「みなさん、イスラム教徒は怖いですか？私は、イスラム教徒はみんな悪だと思われているように感じます。先日、友人とレストランに入ったら、入店を断られました。私がベールをしたイスラム教徒だからです。」

人種や民族の「枠」を取っ払うというのは、口で言うほど簡単なことではない。偏見も、差別もなくならない。世界も変えられない。

要するに問題は、「自分がどう動くか」。他民族と平和に暮らすために、自分がどんな人間になるべきか。パリの地下鉄の中で、人種、民族、宗教様々な人を目にしながら考える。

　以上,,転載でした。※

　「アラビアのロレンス」をはじめ,植民地政策時代のイギリスやヨーロッパ列強の所業が原因で,現在の中東戦争があることを思えば,明日の命もままならず命がけの生活の毎日に明け暮れる民が週末の遊興に興じている人々を恨めしく思うのは当然でしょう。

　9.11については戦争景気が大好きなサウジ資本や死の商人の陰謀説もありますが,,最初のアメリカでの犠牲者は二千人余りでした。

　,数の問題ではないというけれど,その後,報復と称して米国を中心とした諸国がアフガンや中東に兵を送り込んだり爆撃したりで自国の兵士も含め,十万人以上の死者累々。。。日本も共犯です。。もちろん私も例外ではないです。

　自らが起ここしたことの後始末もしないで,鉄砲の弾が飛んでこないところでマネーゲームに興じているとやがて報いが来るでしょうね。。。

　罪が無いという言い方をしますが,それは神の冒涜だとも言われます。

　何もせず傍観していることも罪の一つです。。。

訃報！！阿藤快さん。

　俳優の阿藤快さんが自宅で亡くなっているのが発見されました。11月15日までに病死されていたようで,死因は大動脈破裂ということです。

　享年69歳。。。まだまだ惜しい人です。

　デイリースポーツニュース→　阿藤快さん。死去69歳。自宅で発見

　　　　　　　　　

　大動脈瘤があるという病気は,それが急に破裂して命取りになる病気で,脳梗塞やクモも膜下出血などと同じく.前兆があって,気分が悪くなったりして倒れたりした直後に,病院に運んで医者の手当を受けていれば助かったかもしれない。。ということらしいです。

　独居で事務所のスタッフが訪ねて行って発見したということですから,独居老人の悲劇ですかね。。。

　私の場合なら,いつでも死と隣り合わせであることを自覚しているので自力で救急車を呼ぶ心の用意は常にしていて,実際119番にコールしたこともすでに何度かありますが。。

　阿藤快さんというのは本名ではないので改名は自由でしょうが,,私がＴＶでよく見ていた当時は,名前の快は海でなかったかと記憶しています。

　悪役顔ですが独特の個性でインテリジェンスも感じていました。

　私[,本来インテリは生理的に受け付けないのですが,,彼は悪役顔があるためか,私の好きなキャラのお一人でした。残念です。。

　60代です。冥途に行くのはまだまだ早いです。

　ご冥福をお祈りします。合掌！！

弱い相互作用の旧理論(4)(Fermi理論)

弱い相互作用の旧理論の続きです。
 

前回から回り道をしたためもあり,大分間が空いたので,

まず前回までの内容を要約しておきます。
 

まず,β崩壊のＳ行列要素Ｓ_fi^(ｅ-)が±1や±ｉなど大きさ１

の位相因子を除いて次式で与えられるとします。
 

Ｓ_fi^(ｅ-)＝(2π)^-6{ｍ_ｐｍ_ｎｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

×(2π)^４δ^４(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)Ｍ　です。 
 

Ｍは不変振幅と呼ばれますが,これはスピノルｕ(ｐ,ｓ),

ｖ(ｐ,ｓ)etc.をスピンｓへの依存性を無視して,ｕ(ｐ),

ｖ(ｐ)etc.と書けば, 

Ｍ＝Σ_{i＝Ｓ,Ｐ,ＶＡ,Ｔ}Ｃ_i [ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)] 

[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γⁱｖ_ν(ｐ_ν)]

です。
 

ここで,Γ_i＝{１,γ₅,γ_μ,γ₅γ_μ,σ_μν}, 

Γⁱ＝{１,γ⁵,γ^μ,γ⁵γ^μ,σ^μν}　　です。
 

これらの16種類のガンマ行列：

Γ_i＝{１,γ₅,γ_μ,γ₅γ_μ,σ_μν}は,

それぞれをΨ~(ｘ)とΨ (ｘ)で挟んだ双一次形式：

Ψ~(ｘ)Γ_iΨ(ｘ)で与えられるカレントが示す４次元空間

の上での変換性によって,

1はスカラー(Ｓ),γ₅は擬スカラー(Ｐ),γ_μはベクトル(Ｖ),

γ₅γ_μは軸性ベクトル(Ａ), σ_μν＝(ｉ/2)[γ_μ, γ_ν]

は２階テンソル(Ｔ)と分類されます。
 

また,逆β崩壊のＳ行列要素Ｓ_fi^(ｅ+)も同一の形になります

が,このときは反応と逆反応の,「詳細釣り合いの原理

(Principle of detailed-balance)」から,係数Ｃ_i,α_iをその

複素共役に置き換える必要があります。
 

このとき,スピノルの積でのラベルも次のように変わります。 

ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)　→ ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)Γ_iｕ_ｐ(Ｐ_ｐ), 

ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γⁱ_ｉｖ_ν(ｐ_ν)]  

→ ｕ_ν~~(ｐ_ν~)(1＋α_iγ₅)Γⁱｕ_ｅ(ｐ_ｅ)]　

です。
 

さらにα_i は単に複素共役でなく,ｉ＝Ａ,Ｖではα_i →＋α_i^＊, 

ｉ＝Ｓ,Ｐ,Ｔではα_i → －α_i^＊ と変える必要があります。
 

核子のスピノルについては,あらゆる運動量依存性を無視し,

それによって注意を許容される遷移のみに限定すれば,

不変振幅Ｍは,Pauliの２成分スピノルを用いた簡単な表現

になります。
 

すなわち,

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]

です。
 

ただし,ｕ_ｐ,ｕ_ｎは４成分スピノルの上２成分(大成分)

で与えられる核子の２成分スピノルで,σ＝(σ¹,σ²,σ³)

はPauliの２×２スピン行列です。

Σ＝(Σ¹,Σ²,Σ³)は,２つのPauliの２×２行列σを対角

要素とする４×４細胞対角行列を意味します。
 

(ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)に比例する項：Ｓ,ＶはFermi遷移と呼ばれ,これは 

核子ｎ,ｐについて,スピンＳの変化がゼロ：|ΔＳ|＝0です。
 

他方, (ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)に比例する項：Ａ,ＴはGamow-Teller遷移

と呼ばれ, 核子ｎ,ｐについて,|ΔＳ|＝1です。
 

原子核内のβ崩壊の観測では,Fermi遷移が,Gamow-Teller遷移

から分離されて分類されます。
 

一方,核内遷移では都合よく定義された角運動量状態間で 

遷移が生じますが,他方,自由中性子ｎのβ崩壊ではFermi遷移

とGamow-Teller遷移の両方が同時に寄与しています。
 

また,Ｍ  ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)×[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)×[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}] 

における因子：(1＋α_iγ₅)(ｉ＝Ｓ,Ｖ,ＴＡ)のうち,
α_iγ₅に比例する項はパリティの保存則を破るため,

1956年のLeeとYangによる仕事＝パリティ非保存の予想(とWuに

よる検証)の以前には,非本義Lorent変換の１つである空間反転

(パリティ変換)の下でのＳ行列要素：Ｓ_fiの不変性を破らない

よう全て廃棄されていました。

 

しかし,LeeとYangに従う弱い相互作用でのパリティの破れの

実験的発見以後,今やキーとなるシリーズ実験により,あらゆる

Ｃ_i,α_iの完全な決定へと導くことになりました。

　パリティを破る項での定数α_iは電子の縦偏極を測定すること

で決定されます。
 

　この偏極を決める１つの方法は,原子内の崩壊に伴う電子散乱

の左右対称性を測定することに依ります。
 

　すなわち,電子の偏極ＰをＰ＝(Ｎ_Ｒ－Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)

で定義します。
 

　ただし, 電子のスピンはｓ＝(1/2)σと書けますが,ｐをその

電子の運動量,ｐ^＝ｐ/|ｐ|を運動の向きを示す単位ベクトル

とするとき,σｐ^＝＋1(右巻き(right-handed：正のhelicity)

の電子の個数：つまり,電子自身の運動の向きに偏極したスピン

を持つ電子数をＮ_Ｒ,
 

　σｐ^＝－1(左巻き(left-handed：負のhelicity)の電子の個数： 

つまり運動と逆向きスピンを持つ電子数をＮ_Ｌとしました。
 

自由中性子ｎの崩壊同様,核内でのFermi遷移とGamow-Teller

遷移の両方で電子の反跳が無いという極限では,ニュートリノ

の放出角全体にわたって積分した後,電子の偏極Ｐは良い精度

で次のように与えられます。
 

すなわち,Ｐ＝－|ｐ_ｅ|/Ｅ_ｅ＝－|β_ｅ|です。 

そこで,相対論的極限の|β_ｅ|→ 1(光速)の極限では左巻きの

電子のみが放出されることになります。
 

Ｐ_Ｒ＝Ｎ_Ｒ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ),Ｐ_Ｌ＝Ｎ_Ｌ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)とおけば, 

これらはそれぞれを電子の右偏極率,Ｐ_Ｌを左偏極率であり 

Ｐ_Ｒ＋Ｐ_Ｌ＝1であり,Ｐ＝Ｐ_Ｒ－Ｐ_Ｌです。
 

それ故,Ｐ＝－|β_ｅ| ～ －1 は,Ｐ_Ｒ＝0, Ｐ_Ｌ＝1を意味します。
 

  Coulomb散乱で入射電子の偏極がｐ≦1の場合,散乱角をθとすると

その角度に散乱された電子の偏極Ｐは,

Ｐ＝ｐ(1－2ｍ_ｅ²sin²(θ/2)/{Ｅ_ｅ²cos²(θ/2))＋ｍ_ｅ²sin²(θ/2)}) 

となることが知られています。
 

これは,つまり原子内でβ崩壊があった場合,崩壊によって放出

された電子が原子内で散乱された結果,中心の核の反跳が無視

できるならCoulomb散乱と見なすことができて,その際の散乱

電子の偏極をも示す式と考えられます。
 

そこで, Ｅ_ｅ＝ｍ_ｅ/(1－β_ｅ²)^1/2より相対論的極限|β_ｅ|→ 1

では,ｍ_ｅ/Ｅ_ｅ → 0 なのでＰ → ｐです。

   相対論的極限でβ崩壊で放出される電子が左巻きのみなら

ｐ＝－1なので,この高エネルギーの極限では崩壊後に原子

内で散乱された後に観測される電子の偏極もＰ＝－1の

左巻きのみのはずです。
 

そうして,同じ極限で,左巻き電子に対するスピン射影演算子

は(1－γ₅)/2となりますから, 左巻き電子の波動関数Ψ^ＬＨ

はΨ^ＬＨ＝(1－γ₅)Ψ/2で与えられることもわかります。
 

このとき,Ψ^ＬＨ~＝(1＋γ₅)Ψ~/2です。
 

したがって,相対論的極限において正しい結果が実現されるため

には,全てのγ₅の係数α_iは＋1 に等しくなければならないと結論

されます。

　ここまで,要約と前回の「弱い相互作用の旧理論(3)」の最後の

　部分の再掲載でした。(※)

さて,ここからが今日の新しい内容ですが,いきなり,私自身の注

から入ります。
 

β崩壊で放出される電子の偏極Ｐが,β_e＝ｖ_e/ｃ＝ｐ_e/Ｅ_eに対し,

Ｐ＝－β_e＝－|β_e |で与えられること,従って,相対論的極限:

β_e →１(ｖ_e → ｃ)では,Ｐ→ －1と左巻き電子のみになること ,

  それ故,次の不変振幅Ｍ の表現式： 

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){Ｃ_Ｓｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅) γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}] 

における全てのγ₅の係数α_iが符号(＋)も含め,正確に＋1でなければ

ならないことを実験結果からだけでなく,理論の側からも証明を与え

たいのです。
 

ただし,厳密で完全な証明は難しいので,下記の私の(※注)では,

α_i＝＋1 が,Ｐ＝－β_e＝－|β_e |なることと無矛盾であり,少なく

ともこれが理論の辻褄が合うための十分条件であることを示します。
 

※(注4-1)：まず,前提として,β崩壊のＳ行列要素：Ｓ_fi^(ｅ-)の

最低次の形が,今まで通り次式で与えられるとします。
 

Ｓ_fi^(ｅ-)＝(2π)^-6{ｍ_ｐｍ_ｎｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2  

×(2π)^４δ^４(ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ－Ｐ_ｎ)Ｍ　；  

Ｍ＝Σ_{i,j＝Ｓ,Ｐ,ＶＡ,Ｔ}Ｃ_i   

[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)][ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γ^jｖ_ν(ｐ_ν)]

です。
 

因子Ｍは,さらに反跳が小さいという近似で   

Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ)[Ｃ_Ｓ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}  

＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　 

と簡単になります。
 
そこで,β崩壊で放出される電子の偏極Ｐは,係数Ｃ_iへの依存性

を除けば次の式で与えられます。

(※各項の寄与が共通値であることを示せば係数は無関係です。)

Ｐ＝(Ｎ_Ｒ－Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ) 

＝[Σ_Ａ,Ｂ|Ｔr{(1＋γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

－Ｔr|(1－γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

/[Σ_Ａ,ＢＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

これは,Ｐ＝[Σ_Ａ,Ｂ|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

/[Σ_Ａ,ＢＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}] 

と書けます。
 

上式のΣ_Ａ,Ｂを,(Ａ,Ｂ)＝(ｉｊ)＝{Ｓ,Ｐ,Ｖ,Ａ,Ｔ}の総和Σ_i,j

とし,Γ_ＡはΓ_Ａ＝(1＋α_iγ₅)Γ_i,Γ_ＢはΓ_Ｂ＝(1±α_j^＊γ₅)Γ^jで

あるとします。
 
ただし.Γ_Ｂの式の右辺の(±)符号は,ｊ＝Ｖ,Ａのとき(＋)であり, 

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔのとき(ー)です。
 

こうすれば不変振幅Ｍの形を偏極に体現したことになります。
 

しかし,特に初めから全てのｉ,ｊについてα_i＝α_i^＊＝＋1と

仮定します。

すると, Γ_Ａ＝(1＋γ₅)Γ_i,Γ_Ｂ＝(1±γ₅)Γ^j です。
 

このとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂは,

Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)Γ_iｐ_ν~(1±γ₅)Γ^jなる形になります。
 

そこでまず,ｉの分類ごとに,これを計算します。
 

(1) ｉ＝Ｓのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j　 

＝(1＋γ₅){1－(±γ₅)}ｐ_ν~Γ^j なので,
 

ｊ＝Ｖ,Ａなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)(1－γ₅) ｐ_ν~Γ^j＝0

 であり,

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)²ｐ_ν~Γ^j

＝2(1＋γ₅)ｐ_ν~Γ^j です。
 

(2)ｉ＝Ｐのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅) γ₅ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(γ₅ ＋1)ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^jなので,ｉ＝Ｓのときと同じです。
 

故に,ｊ＝Ｖ,Ａなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝0 であり, 

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝2(1＋γ₅)ｐ_ν~Γ^j です。
 

(3)ｉ＝Ｖのとき, Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)γ_λｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(1＋γ₅)(±γ₅)γ_λｐ_ν~Γ^j なので,
 

ｊ＝Ｖ,ＡならΓ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)²γ_λｐ_ν~Γ^j 

＝2(1＋γ₅)γ_λｐ_ν~Γ^j であり,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら, 

Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)(1－γ₅) γ_λｐ_ν~Γ^j ＝0 です。
 

(4)ｉ＝Ａのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)γ₅γ_λｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(γ₅＋1)γ_λｐ_ν~(1±γ₅)Γ^jなので,ｉ＝Ｖのときと同じです。
 

すなわち,ｊ＝Ｖ,ＡならΓ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝2(1＋γ₅)γ_λｐ_ν~Γ^j 

であり,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝0 です。
 

(5)i＝Ｔのとき, Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋γ₅)σ_λτｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(ｉ/2)(1＋γ₅)[γ_λ,γ_τ]ｐ_ν~(1±γ₅)Γ^j 

＝(ｉ/2)(1＋γ₅){－(±γ₅)}[γ_λ,γ_τ]ｐ_ν~Γ^jなので,
 

ｊ＝Ｖ,Ａのときは,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝0 であり, 

ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔのとき,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝2(1＋γ₅)0σ_λτｐ_ν~Γ^j

です。
 

以上から,ｉ＝Ｖ,Ａなら,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔではゼロ, 

ｉ＝Ｓ,Ｐ,Ｔならｊ＝Ｖ,Ａではゼロとなって,(Ｖ,Ａ)の組

と(Ｓ,Ｐ,Ｔ)の組は独立であることがわかります.
 

そして,既にＰ(擬スカラー)はFermi項にもGamow^Teller項にも

出現しない許容されない遷移カレントであるとわかっているので

以下では考察からはずします。
 

次に, 

Ｐ＝[Σ|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ} 

/[ΣＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]
 

の分母,分子において,Σをはずした各項を評価します。
 

上述のようにＰ(擬スカラー)のケースは排除し,( Ｖ,Ａ)と(Ｓ,Ｔ)

の独立性を考慮して考察します。
 

①ｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｓなら 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_ν}

＝8ｐ_ｅｐ_ν~ であり,

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

 ＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_ν}＝－8ｍ_eｓ^Ｒｐ_ν~

です。
 

核子側の因子の同じＳ(スカラー)についてもトレースを求め,

反ニュートリノの放出される方向の立体角ｄΩ_ν~についての積分

を実行すると,ｐ_ν~の奇関数についての項はゼロとなって消える

ことを考慮すれば,

結局,分母＝8Ｅ_ｅＥ_ν~であり,分子＝－8ｍｓ^Ｒ0Ｅ_ν~です。
 

②ｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｔなら,

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_νσ^λτ} 

＝i(Ｔr{ｐ_eｐ_ν~[γ^λ,γ^τ]}＋Ｔr{ｐ_eｐ_ν~γ₅ [γ^λ,γ^τ]}) 

＝8i(ｐ_ｅ^τｐ_ν~^λ－ｐ_ｅ^λｐ_ν~^τ)＋8ε_αβλτｐ_ｅ^αｐ_ν~^β,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)ｐ_νσ^λτ} 

＝i(－ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~[γ^λ,γ^τ]}

＋ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ₅ｐ_ν~[γ^λ,γ^τ]}) 

＝8ｍ_ei(ｓ^Ｒτｐ_ν~^λ－ｓ^Ｒλｐ_ν~^τ)－8ｍ_eε_αβλτｓ^Ｒαｐ_ν~^β

です。
 

これらは,λ,τについて反対称ですから,同じく反対称なΓ_Ｔ

の核子カレントと積和し,かつｄΩ_ν~についての積分の結果,

α＝β＝0以外の寄与はゼロのため,分母＝分子＝0 で偏極Ｐ

には寄与しません。
 

③ｉ＝Ｖ,Ａ,ｊ＝Ｖなら,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ^τ} 

＝2[Ｔr(ｐ_eγ_λｐ_νγ^τ)＋Ｔr(ｐ_eγ₅γ_λｐ_νγ^τ)] 

＝8(ｐ_ｅλｐ_ν~^τ＋ｐ_ｅ^τｐ_ν~λ－ｇ_λ^τｐ_ｅｐ_ν~)

－8ｉε_αβλ^τｐ_ｅ^αｐ_ν~^β,
 

­分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ^τ} 

＝－2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~γ_λｐ_νγ^τ)＋2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ₅γ_λｐ_νγ^τ)
 

＝－8ｍ_e(ｓ^Ｒ_λｐ_ν~^τ＋ｓ^Ｒτｐ_ν~λｇ_λ^τｓ^Ｒｐ_ν~)

＋8ｍ_eiε_αβλτｓ^Ｒαｐ_ν~^β,
 

故に,前のｉ＝Ｓと同様,

分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~です。
 

④ｉ＝Ｖ,Ａ,ｊ＝Ａなら,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ₅γ^τ} 

＝2[Ｔr(ｐ_eγ_λｐ_νγ^τ)＋Ｔr(ｐ_eγ_λｐ_νγ₅γ^τ)]
 

＝ 8(ｐ_ｅλｐ_ν~^τ＋ｐ_ｅ^τｐ_ν~λ－ｇ_λ^τｐ_ｅｐ_ν~)

－8ｉε_αβλ^τｐ_ｅ^αｐ_ν~^β,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)γ_λｐ_νγ₅γ^τ} 

＝－2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~γ_λｐ_νγ^τ)＋2ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ_λｐ_νγ₅γ^τ)
 

＝－8ｍ_e(ｓ^Ｒ_λｐ_ν~^τ＋ｓ^Ｒτｐ_ν~λｇ_λ^τｓ^Ｒｐ_ν~)

＋8ｍ_eiε_αβλτｓ^Ｒαｐ_ν~^βです。
 

故に,やはり,分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~

です。
 

⑤ｉ＝Ｔ,ｊ＝Ｓ,のときは,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)σ_λτｐ_ν} 

＝8i(ｐ_ｅτｐ_ν~λ－ｐ_ｅλｐ_ν~τ)＋8ε_αβλτｐ_ｅαｐ_ν~β,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅) σ_λτｐ_ν} 

＝i(－ｍ_eＴr{ｓ^Ｒｐ_ν~[γ_λ,γ_τ]}＋ｍ_eＴr{ｓ^Ｒγ₅ｐ_ν~[γ_λ,γ_τ]}) 

＝8ｍ_ei(ｓ^Ｒ_τｐ_ν~λ－ｓ^Ｒ_λｐ_ν~^τ)－8ｍ_eε_αβλτｓ^Ｒ_αｐ_ν~β,
 

故に,　分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~

です。

最後に,⑥ｉ＝ｊ＝Ｔでも,
 

分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

＝2Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅)σ_λτｐ_νσ^ρσ}
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)(1＋γ₅) σ_λτｐ_νσ^ρσ}

以下,同様な詳細計算は省略しますが,

やはり,分母＝8Ｅ_eＥ_ν~,　分子＝－－8ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~

です。
 

以上から,

Ｐ＝[Σ|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

/[ΣＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}] 

＝－ｍ_eｓ^Ｒ0Ｅ_ν~/(Ｅ_eＥ_ν~)＝－ｍ_eｓ^Ｒ0/Ｅ_e

が得られました。
 

ここで,|ｓ^Ｒ|＝1/(1－β_e²)^1/2＝Ｅ_e/ｍ_eより,

ｓ^Ｒ0＝|1－|ｓ^Ｒ|²)^1/2＝β_e /(1－β_e²)^1/2＝β_e Ｅ_e/ｍ_e

です。
 

したがって,確かに,

Ｐ＝－ｍ_eｓ^Ｒ0/Ｅ_e＝－β_e＝－|β_e |　が得られました。
 

しかし,もしもαi＝＋1を仮定しないなら,どうなるか？？

を簡単な例で見てみます。
 

電子の偏極Ｐの式：

Ｐ＝(Ｎ_Ｒ－Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ) 

＝[Σ_A,B|Ｔr{(1＋γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

－Ｔr|(1－γ₅ｓ^Ｒ)/2}(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]

/[Σ_A,BＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]
 

＝[Σ_A,B|Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}

/[Σ_A,BＴr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}]
 

上式のΣ_A,Bを(Ａ,Ｂ)=(ｉ,ｊ)＝{Ｓ,Ｐ,Ｖ,Ａ,Ｔ}で

Σ_i,jとし,,Γ_Ａ＝(1＋α_iγ₅)Γ_i,Γ_Ｂ＝(1±α_j^＊γ₅)Γ^jとするところ

までは前と同じです。

　ここで,前はα_i＝α_j^＊＝＋1とは仮定しましたが,これを仮定せず

このままで計算してみます。

　すると,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂは, 

Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋α_iγ₅)Γ_iｐ_ν~(1±α_j^＊γ₅)Γ^j　

となります。

　したがって,特にｉ＝Ｓ(スカラー)のときは, 

　Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋α_iγ₅)ｐ_ν~(1±α_j^＊γ₅)Γ^j　 

　＝(1＋α_iγ₅){1－(±α_j^＊γ₅)}ｐ_ν~Γ^j なので,

　さらに,ｊ＝Ｖ,Ａなら,Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ

　＝(1＋α_Ｓγ₅)(1－α_ｊ^＊γ₅)ｐ_ν~Γ^j 

　＝(1－α_Ｓα_j^＊)ｐ_ν~Γ^jであり,
 

　他方,ｊ＝Ｓ,Ｐ,Ｔなら、

　Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ＝(1＋α_Ｓγ₅)(1＋α_j^＊γ₅))ｐ_ν~Γ^j 

　＝{1＋α_Ｓα_j^＊＋(α_Ｓ＋α_j^＊)γ₅}ｐ_ν~Γ^j 

　です。
 

　特に,簡単な場合として,ｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｓとすると,

Ｐの分母＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ}] 

＝Ｔr{(ｐ_e＋ｍ_e){1＋|α_Ｓ|²＋(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)γ₅}ｐ_ν}

＝4(1＋|α_Ｓ|²)ｐ_ｅｐ_ν~,
 

分子＝Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e)Γ_Ａｐ_ν~Γ_Ｂ} 

＝2Ｔr{γ₅ｓ^Ｒ(ｐ_e＋ｍ_e){1＋|α_Ｓ|²＋(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)γ₅}ｐ_ν} 

＝－4ｍ_e(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)ｓ^Ｒｐ_{ν~　です。}
 

　前と同じく,反ニュートリノの放出される方向の立体角ｄΩ_ν~

について積分すると,ｐ_ν~の奇関数についての項はゼロとなって

消えることから,
 

　結局,分母＝4(1＋|α_Ｓ|²)Ｅ_ｅＥ_ν~であり,

　分子＝－4ｍ_e(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)ｓ^Ｒ0Ｅ_ν~です。
 

　それ故,もしも電子の偏極Ｐへの寄与がｉ＝Ｓ,ｊ＝Ｓの項しか

ないとした場合には,
 

　Ｐ＝(分子)/(分母)

　＝－{(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)/{(1＋|α_Ｓ|²)}(ｍ_eｓ^Ｒ0/Ｅ_e)であり,

　結局,Ｐ＝－{(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊)/(1＋|α_Ｓ|²)}|β_e |

　となります。
 

　この右辺の値が,正確に,Ｐ＝－|β_e |となるのは, 

　(α_Ｓ＋α_Ｓ^＊) /(1＋|α_Ｓ|²)＝1：つまり,

　α_Ｓ＋α_Ｓ^＊＝1＋α_Ｓα_Ｓ^＊,or |1－α_Ｓ|²＝1のときに限るため,

　α_Ｓ＝＋1は,先に示したように,(分子)/(分母)＝－|β_e |と

　なるための十分条件であるだけでなく,
 

　恐らく,ｉ,ｊ＝Ｓ,Ｖ,Ａ,Ｔの全てに共通に

　(分子)/(分母)＝－|β_e |となるための必要条件でもあるはず

　です。

　(※元々仮定したＭの形では,ｉ＝ｊのケース以外を考察

　する必要はなかったのに,ついやってしまいました。

　(注4-1終わり)※
 

　かくして,不変振幅： 

　Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){Ｃ_Ｓｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｓγ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

 ＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｖγ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ｔγ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_Ａγ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]　は,
 

　Ｍ ～ (ｕ_ｐ^＋ｕ_ｎ){Ｃ_Ｓｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν)}

  ＋Ｃ_Ｖ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ⁰ｖ_ν(ｐ_ν)}] 

  ＋(ｕ_ｐ^＋σｕ_ｎ)[2Ｃ_Ｔ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)Σｖ_ν(ｐ_ν)} 

  ＋Ｃ_Ａ{ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋γ₅)γ₅γｖ_ν(ｐ_ν)}]
 

　とやや簡単になり,後は,係数Ｃ_Ｓ,Ｃ_Ｖ,Ｃ_Ｔ,Ｃ_Ａを決定する

作業が残っているのみとなりました。
 

　今日は,ほとんど式の説明を与える私自身の注釈だけで,

テキストなどでは,通常,きれいな見かけの計算結果だけを表示

して書かないような,舞台裏の内容である,だらだらと長くて

泥臭い計算の羅列でしたが,　一応,これで終わります。
 

 (参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell

"Relativistic QantumMechanics" (McGrawHill)

散乱電子の偏極について

 前記事までの「散乱問題の復習」シリーズは５年前の2010年６月

から最後は2011年3/31までの過去記事「散乱の伝播関数の理論」

シリーズの(11)以降の応用編を再掲載したもので,最後はこの

シリーズの一番最後の「散乱の伝播関数の理論(21)」からで,

これは,Bjorken-Drellのテキストの第７章の§7.9を紹介した

記事でした。

　しかし,実は第７章は§7.9が最後ではなく,§7.10で

終わって,次の第８章の輻射補正(＝繰り込み)へと続いて

います。

 この最後の§7.10の電子散乱における偏極という項目は,

2010年,2011年に「散乱の伝播関数の理論」のシリーズ記事

をアップした当時は,それほど重要ではないと考えて,これを

省略してさっさと次に進む道を選んだのでした。

　しかし,今,電磁相互作用で行なった話を弱い相互作用の理論の

説明で参照しようという段階では,寧ろこれこそ重要な論題である

と思われるため,自分のノートから,この最後の節についても記事

にしてアップします。

したがって,この記事は再掲載ではないですが前の続きです。

「散乱の伝播関数の理論」シリーズとしては(22)に相当する

ので私の付加した注釈＝※(注)では,※(注22－)という番号を

入れました。

※さて,以下本題です。

§7.10 Polarization in Electron Scattering

(電子散乱における偏極)

「散乱の伝播関数の理論(10)」において展開したスピン射影演算子
の実用的な応用として,電子のCoulomb散乱でのMott散乱の断面積に

立帰ります。

　後に弱い相互作用の項で論じるように,μ中間子の崩壊における

電子はその運動の向きに反平行なスピンに偏っています。

　中心に－Ｚｅ＞0の電荷が固定されている場合の,ｓ_iｐ_i＝0

を満たすスピンｓ_iと４元運動量ｐ_iを持ち,電荷がｅ＜0,質量が

ｍの入射電子のCoulomb散乱の微分断面積を,終状態でのスピン

±ｓ_ｆで総和したものは次式で与えられます。

 すなわち,ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)

Σ_±sf|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

です。

　　この式を評価計算するには射影演算子を用いてトレースを

取るというテクニックを利用します。

Σ(ｓ)＝(1＋γ₅ｓ)/2とすると,　これは, 

Σ(ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),Σ(ｓ)ｕ(ｐ,－ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ) 

を満たすスピン射影演算子です。
 

　微分断面積を与える式：ｄσ/ｄΩ

＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)Σ_±sf|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|² 

に,Σ(ｓ_i)を挿入すれば,

　ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴) 

Σ_±si,±sf{ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰Σ(ｓ_i)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|

{ｕ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｕ(ｐ_f,ｓ_f)|
 

＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)(8ｍ²)^-1Ｔr[γ⁰(1＋γ₅ｓ)(ｐ_i＋ｍ)(ｐ_i＋ｍ)]
 

※(注22-1)： 

　Σ_±si,±sf{ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰Σ(ｓ_i)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|

{ｕ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｕ(ｐ_f,ｓ_f)| 

＝Σ_±si,±sfΣ_αβγδλ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)(γ⁰)_αβ{

(1＋γ₅ｓ)/2}_βγｕ_γ(ｐ_i,ｓ_i)] 

[ｕ~_δ(ｐ₁,ｓ_i)(γ⁰)_δλｕ_λ(ｐ_i,ｓ_i)]
 

＝Σ_αβγδλ(γ⁰)_αβ(1＋γ₅ｓ)_βγ(ｐ＋ｍ)_γα

(γ⁰)_δλ(ｐ＋ｍ)_λδ 

＝(8ｍ²)^-1Ｔr[γ⁰(1＋γ₅ｓ)(ｐ_i＋ｍ)(ｐ_i＋ｍ)]
 

何故なら,Σ_±sｕ_α(ｐ,ｓ)ｕ~_β(ｐ,ｓ)＝(ｐ＋ｍ)_αβ/(2ｍ)

であるからです。(注22-1終わり)※
 

Ｔr[γ⁰(1＋γ₅ｓ)(ｐ_i＋ｍ)(ｐ_i＋ｍ)]の計算において, 

ｎが奇数なら,Ｔrａ₁..ａ_n＝0 となること,

および,Ｔrγ₅＝0,Ｔr(γ₅ａｂ)＝0,

Ｔr(γ₅ａｂｃｄ)＝4ｉε_αβγδａ^αｂ^βｃ^γｄ^δ の

公式を用いると,

　結局,以前の式に追加されたスピンベクトルｓを含むΣ(s)

＝(1＋γ₅ｓ)/2のうちの(γ₅ｓ)に比例する項のトレースは消え,

入射電子のスピンで平均した(1/2)の係数が掛かるのみの次の

単なる非偏極電子のCoulomb散乱のMottの公式が再現されます。
 

ｄσ/ｄΩ＝{Ｚ²α²/{4ｐ²β²sin⁴(θ/2)}{1－β²sin²(θ/2)}
 

かくして,入射電子ビ－ムのスピンが偏極していても偏極して

いなくても,その散乱の微分断面積が同じであるという計算結果

を得ましたが,

　　この結果は実は,最低次の摂動計算においてのみの特殊な結果

であり,一般には正しくないことがわかっています。

　　最低次の計算でも,スピン偏極の観測できる効果を描写する

ため,運動方向に沿って整列したスピンを持つ入射電子を考察

します。
 

　整列したスピンの偏極入射電子に対して散乱角の関数として

散乱電子の偏極を計算します。
 

　まず,運動する電子のスピン４元ベクトルｓをｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)

 とすると,これは次の条件を満足します。

　(※ただし,ここでの議論に限り相対論を意識して,ｃ＝1の

　自然単位でなく光速ｃを陽に書く通常の単位を用いることに

　します。)

　すなわち,同じ電子の４元運動量をｐ^μ＝(Ｅ/ｃ,ｐ)

　とするとき, 

　(1) ｓ²＝ｓ^μｓ_μ＝(ｓ⁰) ²－ｓ ²＝－1

　(2) ｓｐ＝0,あるいは,ｓ⁰＝ｓβ　 

　(※ここで,β＝ｃｐ/Ｅ＝ｖ/ｃ;ｖは速度です。)

なる2つの条件を満たします。

これらの条件は,質量がｍの電子の静止系:ｐ^μ＝(ｍ/ｃ,0),

　では,スピンｓがｓ^μ＝(0,ｓ),|ｓ|＝1であり,ｓｐ＝－ｓｐ＝0,

　ｓ²＝－ｓ²＝－1ですが,これらの等式の両辺は慣性座標系に

　依らない不変量(＝Lorentzスカラー)であることに由来します。

　ただし,ここでの3次元スピン:ｓは,大きさが1/2の電子の

　スピン角運動量そのものではなくて,通常はｓ＝σ/2で定義

　される大きさが1のPauliのσに相当します。


そして,この2条件から,ｓ²＝(ｓβ)²－ｓ²＝－1 ですから,

|ｓ|＝{1＋(ｓβ)²}^1/2です。あるいは,s²(1－β²cos²θ)＝1

より,|ｓ|＝1/(1－β²cos²θ)^1/2 です。

　４元スピンｓが空間的(spacelike;ｓ²＜0)なので,

β＝|β|＝ｖ/ｃと書くとき,β＞0 なら|ｓ|＞1 となり,

電子の3次元スピンはその静止時よりも大になります。
 

特にｖ,またはβ_iに沿って偏極したスピン偏極を右巻き電子

(right-handed electron)と呼び,そのスピンベクトルをｓ^Ｒ

で記述すると,ｓ^Ｒβ＝β|ｓ^Ｒ|なので,|ｓ^Ｒ|＝1/(1－β²)^1/2

＝Ｅ/ｍｃ²であり,ｓ^Ｒ0＝β/(1－β²)^1/2です。
 

　同様に,β_iに反平行に偏極したスピン偏極を左巻き電子

(left-handed electron)と呼び,そのスピンベクトルをｓ^Ｌ

で記述すると,ｓ^Ｌβ＝－β|ｓ^Ｌ|なので,右巻き電子の

スピン同様,|ｓ^Ｌ|＝1/(1－β²)^1/2＝Ｅ/ｍｃ²であり,他方,

ｓ^Ｌ0＝－β/(1－β²)^1/2です。

　特に始状態の入射電子と終状態の散乱電子の運動量ベクトル 

がｐ_i^μ＝(Ｅ_i/ｃ,ｐ_i),ｐ_f^μ＝(Ｅ_f/ｃ,ｐ_f),のときのスピン 

ベクトル:ｓ_i,ｓ_fについての記述は,単に,上記のｐ^μ,ｓ^μを, 

それぞれ,始状態のｐ_i^μ,ｓ_i^μ,終状態のｐ_f^μ,ｓ_f^μに置き換 

えるだけで,そのまま成立します。

　右巻き,および,左巻きのスピンべクトル：ｓ^Ｒ,および,ｓ^Ｌは,

ｓ^Ｌ＝－ｓ^Ｒを満たし.特に,よく参照される電子の偏極を記述

する便利な基礎を形成します。

　スピノルｕ(ｐ,ｓ),ｖ(ｐ,ｓ)のスピン射影演算子:

Σ(ｓ)＝(1＋γ₅ｓ)/2 のｓ＝±ｓ^Ｒ＝－(±ｓ^Ｌ)に対応する

固有状態は正,または負のhelicity(ヘリシティー)固有状態

として知られています。

　散乱電子の偏極は,Ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)なる量で

測られます。(偏極とはhelicityの期待値(平均値)です。)

　ただし,Ｎ_Ｒは正のhelicity(右巻き)で出現する電子の個数,

Ｎ_Ｌは負のhelicity(左巻き)で出現する電子の個数です。

　Ｎ_Ｒ,Ｎ_Ｌ,および,Ｐは散乱のエネルギーや散乱角の関数で

与えられます。

　さて,右巻きに偏極した入射電子のCoulomb散乱による

散乱電子の偏極Ｐを求めてみます。

　これは,公式：ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)

Σ_±sf|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|² ,および,

定義：Ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)　によって,

次のように与えられます。

すなわち, 

Ｐ＝[|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^Ｒ)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_f^Ｒ)|²

－|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^Ｌ)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i^Ｒ)|²] 

/[|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^Ｒ)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i^Ｒ)|²

＋|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^L)γ⁰ｕ(ｐ_f,ｓ_i^Ｒ)|²]

です。

したがって, 

Ｐ＝[Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｒ)(ｐ_f＋ｍ)} 

－Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｌ)(ｐ_f＋ｍ)}] 

/[Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｒ)(ｐ_f＋ｍ)} 

＋Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｌ)(ｐ_f＋ｍ)}]
 

＝Ｔr{γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒ(ｐ_i＋ｍ)γ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ(ｐ_f＋ｍ)}

/Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰ (ｐ_f＋ｍ)} です。

(※何故なら,γ₅の後にｓ_i^Ｒ,ｓ_f^Ｒ,ｓ_f^Lを１次でしか含まないもの

のトレースは全て消えるからです。※)
 

結局,入射電子が完全に右巻きである場合の散乱電子

の偏極Ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝Ｐ_Ｒは,

摂動の最低次では,Ｐが, 

Ｐ＝Ｔr{γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒ(ｐ_i＋ｍ)γ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ(ｐ_f＋ｍ)}

/Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)} 

で与えられることがわかりました。

　これのγ₅が含まれない分母＝Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)}

については,既に以前の例で計算済みで, 

分母＝Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)}

＝8Ｅ_iＥ_f－4ｐ_iｐ_f＋4ｍ²です。

Coulomb散乱は電子のエネルギーが保存される弾性散乱なので,

Ｅ_f＝Ｅ_i＝Ｅ,ｐ_iｐ_f＝Ｅ²－ｐ²cosθ＝ｍ²＋2β²Ｅ²sin²(θ/2)

を代入すると,分母＝8Ｅ²{1＋β²sin²(θ/2)}　です。

　一方, 分子＝Ｔr{γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒ(ｐ_i＋ｍ)γ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ(ｐ_f＋ｍ)} 

　＝Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒｐ_iγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒｐ_f)

　＋ｍ²Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ)　です。

　これの右辺第１項＝Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒｐ_iγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒｐ_f) 

　＝4ｓ_i^{Ｒ 0}ｓ_f^{Ｒ 0}×2ｐ_iｐ_f－4ｓ_i^Ｒ0ｐ_f ⁰×2ｐ_iｓ_f^Ｒ

　－4ｓ_f^{Ｒ 0}ｐ_i ⁰×2ｓ_i^Ｒｐ_f＋4ｐ_f ⁰ｐ_i ⁰×2ｓ_i^Ｒｓ_f^Ｒ

　－4ｓ_f ^Ｒｓ_i ^Ｒ×ｐ_iｐ_f＋4ｓ_i^Ｒｐ_f ×ｓ_f^Ｒｐ_iですが,
 

ｓ_f ^Ｒｓ_i ^Ｒ＝(Ｅ²/ｍ²)(β²－cosθ),

ｓ_i^Ｒｐ_f＝(Ｅ²β/ｍ)(1－cosθ)＝ｓ_f^Ｒｐ_i etc.より,

結局,右辺第１項＝(4Ｅ⁴/ｍ²)(1－β²)²cosθを得ます。
 

同様にして,右辺第２項＝ｍ²Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ)

＝4Ｅ²(β²＋cosθ)　です。

それ故, 分子＝8Ｅ²{1＋(β²－2)sin²(θ/2)}　です。
 

以上から, Ｐ＝(分子)/(分母)

＝{1＋(β²－2)sin²(θ/2)}/{1＋β²sin²(θ/2)} 

＝1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}}

が得られます。
 

これから,相対論的極限(ｍ/Ｅ) → 0,or β → 1では,

Ｐ → 1を見て取れますが,これはCoulomb散乱の高エネルギー

極限では,入射電子の偏りがこの散乱の影響を受けないこと

を示唆しています。
 

もしも入射電子の右巻きの偏極が完全ではなくて,運動方向

に沿って部分的に偏極した入射ビームの場合には,散乱された

電子の偏極Ｐは,入射電子が完全右巻きのときのＰを,

Ｐ₀≡(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}} 

　と書きなおすとき,

　Ｐ＝ｐＰ₀

　＝ｐ(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}} 

　と修正されるはずです。
 

ただし,ｐは入射電子の偏極であり,Ｎ_Ｒ,Ｎ_Ｌをそれぞれ,

入射電子ビームの正,負helicityの電子の個数として,

ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝Ｐ_Ｒ－Ｐ_Ｌ で与えられます。

　ここで,Ｐ_Ｒ＝Ｎ_Ｒ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)は右偏極率,

Ｐ_Ｌ＝Ｎ_Ｌ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝1－Ｐ_Ｒは左偏極率です。

そこで,Ｐ_Ｒ(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)/2＋Ｐ_Ｌ(1＋γ₅ｓ_i^Ｌ)/2

＝(1＋ｐγ₅ｓ_i^Ｒ)/2なる等式が成立しますが,これを用いれば,

直ちに,Ｐ＝ｐＰ₀

＝ｐ(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}}

なる式が得られます。
 

　したがって,特に初期の入射電子が偏極していない：ｐ＝0

のときは,Coulomb散乱による散乱電子もＰ＝0の非偏極のまま

です。

　ここで,これらの偏極の結果と関わる幾何学的描像として,

スピノル波動関数ｕ(ｐ,ｓ)を有する運動電子のスピンが

単位ベクトル：ｎ^μ＝(0.ｎ)に沿った任意方向となす角度α

を定義します。
 

　すなわち,cosα＝＜Σｎ＞

＝ｕ^＋(ｐ,ｓ)Σｕ(ｐ,ｓ)/ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ) 

＝(1－β²)^1/2ｕ~(ｐ,ｓ)γ₅ｎｕ(ｐ,ｓ)でもって,

ｕ(ｐ,ｓ)のスピンｓがｎとなす角αを定義します。
 

　ただし,Σは対角線上にPauliのσが２つ並んだ４×４行列

です。
 

※(注22-2)：何故なら,

ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝Ｅ/ｍ＝1/(1－β²)^1/2であり, 

Σｎ＝γ⁰γ₅ｎ　です。※
 

再び,射影演算子を挿入すれば, 

cosα=(1－β²)^1/2ｕ~ｐ,ｓ)γ₅ｎｕ(ｐ,ｓ) 

＝(1－β²)^1/2ｕ~_α(ｐ,ｓ)(γ₅ｎ)_αβΣ(ｓ)_βγｕ_γ(ｐ,ｓ) 

＝(1－β²)^1/2(ｐ＋ｍ)_γα(γ₅ｎ)_αβ(1＋γ₅ ｓ)_βγ/(4ｍ) 

＝(1－β²)^1/2Ｔr[(ｐ＋ｍ)(γ₅ｎ)(1＋γ₅ ｓ)]/(4ｍ) 

です。

　さらに,Ｔr[(ｐ＋ｍ)(γ ₅ｎ)(1＋γ₅ ｓ)]

 ＝ｍＴr(γ ₅ｎγ₅ ｓ)＝－ｍＴr(ｎｓ)＝－4ｍｓｎ＝4ｍｓｎ

です。

　スピンｓの方向単位ベクトルｓ^をｓ^＝ｓ/|ｓ|で定義すると, 

|ｓ |＝1/{1－(ｓβ)²}^1/2によってｓ＝{1－(ｓβ)²}^-1/2ｓ^

ですから,結局,cosα＝(1－β²)^1/2ｓｎ

＝[(1－β²)/{1－(ｓβ)²}]^/2ｓ^ｎ  が得られました。
 

これによれば,ｓ⊥βのときは,|cosα|≦(1－β²)^1/2であり,
 

それ故,cosα＝＜Σｎ＞

＝ｕ^＋(ｐ,ｓ)Σｕ(ｐ,ｓ)/ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ) 

で定義されたcosαは,

　スピンが運動方向に垂直な場合,電子の速度が大きくなり

β → 1の相対論的極限に達すると消えます。

　一方,スピンが運動速度ベクトルに沿っている謂わゆる

helicity状態では,cosα＝ｓ^ｎ であり,任意方向の単位

ベクトルｎを,特にスピンｓに平行, or 反平行に取った場合

にはcosα＝±1です。
 

この場合の角度αを特にδで表わすことにすれば,

cosδ＝±1です。

　そして,散乱電子ビームに対してcosαの平均値は次式

で与えられます。

すなわち,＜cosα＞＝Σ_±ｓω(ｓ,ｐ)cosα です。

　ただし, ω(ｓ,ｐ)は運動量ｐとスピンｓを持つ与えられた

終状態への遷移確率です。
 

ここでの和：Σ_±ｓは最も便利な選択としては正負のhelicity

状態にわたる和とすることができます。

　するとcosδ＝±1より,

＜cosδ＞＝ω(ｓ^Ｒ,ｐ)－ω(ｓ^Ｌ,ｐ)＝Ｐ と書けます。
 

こうして,散乱された電子のスピンの偏極Ｐがこの電子の

スピンｓと運動量ｐのなす角度δの余弦を決めるという式

を得ました。
 

初期に偏極がｐ＝1であった正helicityの偏極入射電子

のCoulomb散乱では,Ｅ＞＞ｍの高エネルギーで散乱角

がθ＜＜1のとき,

＜ｃosδ＞ ～ ＜1－δ²/2＞ 

＝1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}} 

～ 1－2ｍ²(θ/2) ²/{Ｅ²＋ｍ²(θ/2) ²}1－ｍ²θ²/(2Ｅ²)

.なので,＜δ＞ ～ (ｍ/Ｅ)θ です。

　つまり,散乱電子のスピンと運動量のなす角度δは散乱角θ

　の(ｍ/Ｅ)倍となります。
 

偏極の相対論的極限の評価は,直接,(ｍ/Ｅ) → 0 (or β → 1)

に対して偏極射影演算子を縮約することで,最も簡単に計算を

実行することができます。

この極限では,ｐに平行なｓを持つ縦方向に偏った電子に対

するスピンの射影演算子は,さらに簡単にできます。
 

　β → 1に対して,

ｓ^μ＝ｐ^μ/(ｍβ)－{(1－β²)^1/2/β}ｇ^μ0 

より, β → 1に対して,ｓ^μ → ｐ^μ/ｍ　です。

※(注22－3)：何故なら,|ｓ |＝1/{1－(ｓβ)²}^1/2によって, 

|ｓ^Ｒ|＝1/(1－β²)^1/2ですから,ｓ^Ｒ＝{1/(1－β²)^1/2}(ｐ/|ｐ1 

＝[1/(1－β²)^1/2}ｐ/{ｍβ/(1－β²)^1/2}＝ｐ/(ｍβ) です。
 

また,

ｓ^Ｒ0＝(1－ｓ^Ｒ2)^1/2＝{1－1/(1－β²)}^1/2

＝β/(1－β²) ^1/2＝Ｅβ/ｍ

＝Ｅ/(ｍβ)－Ｅ(1－β²)/(ｍβ) 

＝Ｅ/(ｍβ)－(1－β²)^1/2/β　

を得ます。(注22－3終わり)※
 

そこで, β → 1の極限で

(1±γ₅ｓ^Ｒ)(ｐ＋ｍ)→ (1±γ₅)(ｐ＋ｍ)　です。

断面積を計算する際には,スピンの射影演算子が常にエネルギー

の射影演算子の前に位置するので,

相対論的極限で,(1±γ₅ｓ^Ｒ) → (1±γ₅)なる簡単化が成立

するわけです。

※(注22－4)：何故なら, β → 1の極限でｓ → ｐ/ｍなので,  

(1±γ₅ｓ^Ｒ)(ｐ＋ｍ) → (1±γ₅ｐ/ｍ)(ｐ＋ｍ)ですが, 

ｐ²＝ｐ²＝ｍ²より,(1±γ₅ｐ/ｍ)(ｐ＋ｍ)

＝(ｐ＋ｍ±γ₅ (ｐ²/ｍ＋ｐ)＝(1±γ₅ｓ^Ｒ)(ｐ＋ｍ)

となるからです。(注22－4終わり)※
 

　Coulomb散乱された散乱電子が(ｍ/Ｅ) → 0でさらに偏る

ことはないというＰ＝ｐＰ₀

＝ｐ(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}}

 → ｐ の結果は,

こうした極限操作：(1±γ₅ｓ^Ｒ) → (1±γ₅)によって直接

見ることができます。
 

すなわち,相対論的右巻き電子：

ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝{(1+＋γ₅)/2}ｕ(ｐ_i,ｓ_i) が

相対論的左巻き電子：

ｕ(ｐ_f,ｓ_f)＝{(1－γ₅)/2}ｕ(ｐ_f,ｓ_f)

 へと散乱される行列要素は,相互作用がγ^μに比例する

ときは,ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ^μｕ(ｐ_i,ｓ_i)  

＝ ｕ~(ｐ_f,ｓ_f){(1+＋γ₅)/2}γ^μ(1＋γ₅)/2}ｕ(ｐ_i,ｓ_i) 

＝－ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ^μ{(1－γ₅)/2}(1＋γ₅)/2}ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝0 

となります。

　したがって,Coulomb散乱での衝突電子が高エネルギーと

なった相対論的極限では,正のhelicityから負のhelicityへ

の脱偏極は決して起こり得ないことがわかります。
 

この項目はこれで終了なので,今日はここで終わります。


 参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell

“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)

散乱問題の復習(12)(電子-電子散乱(メラー散乱２)

　散乱問題の復習＝再掲載記事の続きです。

　前回,電子-電子散乱で終わってます。今回電子-陽電子散乱です。

Möller(メラー)の公式から,これの断面積を得るために代入則

に訴えます。

前の2010年８/27の記事「散乱の伝播関数の理論(19)(応用５)」

では次のような代入を実行しました。

すなわち,(ε,ｋ)⇔(ε₁,－ｋ₁),(ε',ｋ')⇔(ε₂,＋ｋ₂),

かつ(ｐ_i,ｓ_i)⇔(ｐ_－,ｓ_－),(ｐ_f,ｓ_f)⇔(－ｐ_＋,ｓ_＋)なる

交換 or 代入です。

これによってCompton散乱の振幅:Ｓ_fi^Compと対消滅の振幅:Ｓ_fi^Pair

が互いに変換し合うことを見ました。

電子-陽電子散乱の過程はBhaBha散乱と呼ばれていますが,

これのFeynman-diagramは以下の図7.15に示されるものです。

先述の電子-電子散乱の振幅:

Ｓ_fi^M＝(ｅ²ｍ²/ε₀Ｖ²)(Ｅ₁Ｅ₂Ｅ₁'Ｅ₂')^-1/2

[{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₁)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₂)}

(－i){(ｐ₁－ｐ₁')²＋iε}^-1－{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₂)}

{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁)}(－i){(ｐ₁－ｐ₂')²＋iε}^-1]

(2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)　において,

前例に習ってｐ₁⇔ｐ₁,ｐ₁'⇔ｐ₁',ｐ₂⇔－ｑ₁',ｐ₂'⇔－ｑ₁

なる交換(代入)を行ないます。

さらに,以前の規則:

Ｓ＝１－iε_f∫ｄ⁴ｙψ_f~(ｙ)Ａ(ｙ)ψ_i(ｙ)に従って全体に

かかる符号のチェンジを行ないます。

すると,BhaBha散乱振幅として

Ｓ_fi^B＝(ｅ²ｍ²/ε₀Ｖ²)(Ｅ_p1Ｅ_p1'Ｅ_qiＥ_q1')^-1/2

[{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₁)}{ｖ~(ｑ₁')(－iγ^μ)ｖ(ｑ₁)}

(－i){(ｐ₁－ｐ₁')²＋iε}^-1

－{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｖ(ｑ₁')}{ｖ~(ｑ₁)(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁)}

(－i){(ｐ₁＋ｑ₁)²＋iε}^-1](2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｑ₁'－ｐ₁－ｑ₁)

が得られます。

上式の右辺第１項はＳ_fi^Mの右辺第１項に類似した電子-陽電子

の直接散乱を表わし,"第２項＝消滅・生成項"は交換散乱に

対応しています。

これら２つの間の相対的(－)符号はＳ_fi^Mへの代入に起因します。

Ｓ_fi^Mの式における終状態での電子の交換反対称性は,Ｓ_fi^B

の式では入射正エネルギー電子(ｐ₁)と(時間に逆行する)"

入射"負エネルギー電子(－ｑ₁'),または散乱電子ｐ₁'と

(－ｑ₁)の反対称性になります。

この反対称性を空孔理論の言葉で理解するため,相互作用前

の時刻の初期状態が正エネルギー電子ｐ₁を含み負エネルギー

の海が負エネルギー状態(－ｑ₁)の空孔以外には全て満たされ

ていることに着目します。

特に,負エネルギー電子は状態(－ｑ₁')にあり,そこで Fermi

統計によって初期状態はｐ₁と(－ｑ₁')の交換の下で反対称です。

同様なことは終状態にもいえます。

電子陽電子の質量中心系(重心系)での散乱断面積を得るため,

代入：ｐ₁⇔ｐ₁,ｐ₁'⇔ｐ₁',ｐ₂⇔－ｑ₁',ｐ₂'⇔－ｑ₁ を,

以下の電子-電子散乱の式に適用します。

すなわち,電子-電子散乱では,

ｄσ~^M＝ε₀^-2ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｐ₂'

(2π)^-2δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)(1/4)(16ｍ⁴)^-1

[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}

{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

－(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2×

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＋(ｐ₁'⇔ｐ₂'の交換項)] 

です。

電子-陽電子散乱では,

ｄσ~^B＝ε₀^-2ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｑ₁'

(2π)^-2δ⁴(ｐ₁'＋ｑ₁'－ｐ₁－ｑ₁)(1/4)(16ｍ⁴)^-1

[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}

{Ｔr(ｍ－ｑ₁)γ^μ(ｍ－ｑ₁')γ^ν}

－(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₁＋ｑ₁)^-2×

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｍ－ｑ₁)γ^μ(ｍ－ｑ₁')γ^ν}

＋(ｐ₁'⇔－ｑ₁の交換項)]

です。

Möller散乱,つまりＥ＞＞ｍとしてトレ－ス計算を実行すれば

(ｄσ~/ｄΩ)_B

＝{α²/(8Ｅ²)}[{1＋cos⁴(θ/2)}/sin⁴(θ/2)

－2cos⁴(θ/2)/sin⁴(θ/2)＋(1＋cos²θ)/2]

を得ます。

※(注):

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｍ－ｑ₁)γ^μ(ｍ－ｑ₁')γ^ν}

＝－32(ｐ₁ｑ₁')(ｐ₁ｑ₁'＋2ｍ²)　です。

これの最右辺は明らかにｐ₁'⇔－ｑ₁に対して変化しません。

よって,

{Ｔr(ｍ－ｑ₁)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ^μ(ｍ－ｑ₁')γ^ν}

＝－32(ｐ₁ｑ₁')(ｐ₁ｑ₁'＋2ｍ²)　です。

また,

Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｍ－ｑ₁)γ^μ(ｍ－ｑ₁')γ^ν

＝－32{(ｐ₁ｐ₂)²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₂)－ｍ⁴＋ｍ⁴}

＝－32(ｐ₁ｑ₁')(ｐ₁ｑ₁'＋2ｍ²)

です。

これも,ｐ₁'⇔－ｑ₁に対して変化しません。

そして,Ｅ＞＞ｍの相対論的極限での質量中心系:

ｐ₁＝ｑ₁＝ｐ,ｐ₁'＝ｑ₁'では,

(ｐ₁'－ｐ₁)²＝2ｍ²－2ｐ₁'ｐ₁～2(ｍ²＋Ｅ²－ｐ²cosθ)

～ ｐ²(1－cosθ) ～ －4Ｅ²sin⁴(θ/2)  です。

また,(ｐ₁＋ｑ₁)²＝2ｍ²＋2ｐ₁ｑ₁～2(ｍ²＋Ｅ²＋ｐ²)

～ 4Ｅ²,そしてｐ₁ｑ₁'～Ｅ²＋ｐ²cosθ～2Ｅ²cos²(θ/2)

です。

したがって,

(ｄσ~/ｄΩ)_B

＝{α²/(2Ｅ²)}{1/(16Ｅ⁴)}

[4Ｅ⁴{1＋cos⁴(θ/2)}/sin⁴(θ/2)－8Ｅ⁴cos⁴(θ/2)/sin⁴(θ/2)

＋4Ｅ⁴{cos⁴(θ/2)＋sin⁴(θ/2)}]

です。

故に(ｄσ~/ｄΩ)_B

＝{α²/(8Ｅ²)}[{1＋cos⁴(θ/2)}/sin⁴(θ/2)

－2cos⁴(θ/2)/sin⁴(θ/2)＋(1＋cos²θ)/2]

です。(注終わり)※

このシリーズ「散乱の伝播関数の理論」はこれで終わります。

続いて題名を変更して輻射補正(繰り込み)の最低次の計算に

移る予定です。　

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)

　前記事の2010年９/６からPCトラブルなどいろいろあって,

この記事は東北大地震後の2011年３/31にアップした過去記事：

「散乱の伝播関数の理論(22)」からの再掲載です。

散乱問題の復習(11)(電子^電子散乱'(メラー散乱１)

 散乱問題の復習＝再掲記事の続きです。 

　電磁相互作用を受けての粒子散乱の最後の応用例として,

　電子－電子散乱,および電子－陽電子散乱の摂動計算を

　実行します。

　(※実は,当面の弱い相互作用論議へのツナギとしてこの記事

　を参照することが一連の記事再掲載の主目的です。※)

§7.9 Electron-Electron and Electron-Positron Scattering

　(電子－電子散乱,および電子－陽電子散乱)

　電子－電子散乱は,かつての記事「散乱の伝播関数の理論(13),

　(14),(15)(応用２)」で述べた電子－陽子散乱とほとんど同じ方法

　で扱うことができます。

　しかし,電子－電子散乱では電子の同等性のために生じるもう１つ

　のgraphがあります。

　この過程に対する２つのgraphsを下図７.13に示します。

　これらのdiagramsは関連する運動学を定義します。

まず,かつての電子－陽子散乱の散乱振幅を再掲すると,

Ｓ_fi＝(ｅｅ_p/ε₀Ｖ²){ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2{Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2

{ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)(－iγ_μ)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)}

{ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)(－iγ^μ)ｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)}(－i){(ｐ_f－ｐ_i)²＋iε}^-1

(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)　です。

ただし,エネルギー・運動量の保存から,ｐ_f－ｐ_i＝Ｐ_i－Ｐ_f です。

　そこで,同じように電子－電子散乱の振幅Ｓ_fi^Mを与えると,

　Ｓ_fi^M＝(ｅ²ｍ²/ε₀Ｖ²)(Ｅ₁Ｅ₂Ｅ₁'Ｅ₂')^-1/2

 [{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₁)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₂)}

　(－i){(ｐ₁－ｐ₁')²＋iε}^-1

 －{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₂)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁)}(－i)

　{(ｐ₁－ｐ₂')²＋iε}^-1](2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

　と書けます。

ただし,便宜上スピン添字:ｓ_i,ｓ_j'etc.は伏せました。

※(注20^1):Feynman規則に忠実に,頂点(vertex)には因子:

　(－iｅγ_μ)を,光子内線にはその伝播関数(－i)(ｑ²＋iε)^-1

 を対応させました。

実はベクトル粒子である光子の伝播関数は,正しくは,

(－i)(ｇ^μν＋縦波ゲージ項)/(ｑ²＋iε)のテンソル形なのですが,

頂点因子を含めると,(－iｅγ_μ)ｇ^μν(－iｅγ_ν)

＝(－iｅγ_μ)(－iｅγ^μ)　となります。

そして,ｑ^μに比例する縦波項は,ゲージ不変性(＝電荷の保存)を

反映して,光子の分極(偏光:spin)εの横波性:εｑ＝0 により消

えて寄与はゼロなので,伝播関数を省略したスカラー形で書きま

した。(注20-1終わり)※

　右辺の[ ]の中の"第１項＝直接項"と"第２項＝交換項

　(exchange term)"の間の相対的な(－)符号は電子の従うFermi統計

　に由来します。

　つまり,散乱振幅が２つの終状態電子の交換に対して反対称である

　ことが要求されます。

 Fermi統計はまた,初期電子の交換に対する反対称性をも要求します。

同様な論旨から,２つのBose粒子を含む状態から,またはBose粒子

状態への散乱振幅はそれらの交換の下で対称です。

この後者の性質は前の図７.11に対する電子－陽電子の対消滅過程

の散乱振幅での終状態光子の交換に対して確認されています。

さて,電子－電子散乱振幅:

Ｓ_fi^M＝(ｅ²ｍ²/ε₀Ｖ²)(Ｅ₁Ｅ₂Ｅ₁'Ｅ₂')^-1/2

[{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₁)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₂)}(－i)

{(ｐ₁－ｐ₁')²＋iε}^-1

－{ｕ~(ｐ₁')(－iγ_μ)ｕ(ｐ₂)}{ｕ~(ｐ₂')(－iγ^μ)ｕ(ｐ₁)}

(－i){(ｐ₁－ｐ₂')²＋iε}^-1](2π)⁴δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

には,交換項が入ったときの(1/√2)や1/2のような追加の規格化

因子は導入されていません。

これは,Ｓ_fiから微分断面積を作る法則が始状態,または終状態に

同種粒子が存在することによっては変わらないからです。

ただ,既に対消滅過程でも述べたように,終状態に同種粒子が存在

するとき,全断面積を得るための積分においては,

σ~＝(1/2)∫(ｄσ~/ｄΩ)ｄΩのように1/2因子を含む必要がある

ことには注意を要します。

一方,始状態(初期状態)においては同種粒子に対して特別な因子は

現われません。

何故なら,入射流束(flux)は粒子が異種か,同種かを問わず不変で

あるからです。

電子－電子散乱はこの法則の明確で単純な例になっています。

なお,Ｓ_fi^Mの右辺の"第２項＝交換項"は,移行運動量 or 運動量遷移

(momentum-transfer):(ｐ₁'－ｐ₁)が小さい前方散乱近傍では無視

できます。

この極限では,散乱振幅は正確にCoulomb散乱の振幅に等しくなり

粒子の統計には依存しません。

さて,散乱振幅から今まで通りのやり方で偏りのない電子の散乱

に対する微分断面積が得られます。

すなわち,慣性中心系(重心系)では,

ｄσ~＝ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｐ₂'(2π)^-2

δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)(1/4)(16ｍ⁴)^-1[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

－(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＋(ｐ₁'⇔ｐ₂'の交換項)]　です。

Ｅは慣性中心系での各粒子のエネルギー,βはその速度です。

２つの初期電子の相対速度は2βです。

※(注20-20):

　２体散乱の慣性中心系(重心系)では,ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'＝0

　なので,|ｐ₁|＝|ｐ₂|,|ｐ₁'|＝|ｐ₂'|です。

そして,散乱(衝突)前後のエネルギー保存則より,

Ｅ₁＋Ｅ₂＝Ｅ₁'＋Ｅ₂'であって,しかも粒子は全て電子なので質量

も同じｍですから粒子エネルギーは全て同じ値で,

Ｅ₁＝Ｅ₂＝Ｅ₁'＝Ｅ₂'です。

そこで,この全て同じのエネルギーをＥと書くわけです。

また,重心系で全ての粒子に共通な速度の大きさを,

β＝|ｖ₁|＝|ｐ₁|/Ｅ₁＝|ｖ₂|＝|ｐ₂|/Ｅ₂とおくと,

ｐ₁＋ｐ₂＝0 よりｖ₂＝－ｖ₁なので,|ｖ₁－ｖ₂|＝2β

と書けます。

また,(1/4)Σ_{s1,s2,s1',s2'}{ｕ~_α(ｐ₁')(γ_μ)_αβｕ_β(ｐ₁)}

{ｕ~_γ(ｐ₂')(γ^μ)_γδｕ_δ(ｐ₂)}{ｕ~_λ(ｐ₂)(γ^ν)_λσｕ_σ(ｐ₂')}

{ｕ~_ξ(ｐ₁)(γ_ν)_ξηｕ_η(ｐ₁')}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1{(ｐ₁'＋ｍ)_ηα(γ_μ)_αβ(ｐ₁＋ｍ)_βξ}(γ_ν)_ξη}

{(ｐ₂'＋ｍ)_σγ(γ^μ)_γδ(ｐ₂＋ｍ)_δλ(γ^ν)_λσ}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}

{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν},  

(1/4)Σ_{s1,s2,s1',s2'}{ｕ~_α(ｐ₁')(γ_μ)_αβｕ_β(ｐ₁)}

{ｕ~_γ(ｐ₂')(γ^μ)_γδｕ_δ(ｐ₂)}{ｕ~_λ(ｐ₁)(γ^ν)_λσｕ_σ(ｐ₂')}

{ｕ~_ξ(ｐ₂)(γ_ν)_ξηｕ_η(ｐ₁')}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1{(ｐ₁'＋ｍ)_ηα(γ_μ)_αβ(ｐ₁＋ｍ)_βλ(γ^ν)_λσ

(ｐ₂'＋ｍ)_σγ(γ^μ)_γδ(ｐ₂＋ｍ)_δξ(γ_ν)_ξη}

＝(1/4)(16ｍ⁴)^-1

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

です。(注20-2終わり)※

　相対論的エネルギーでは,この2βは光速の２倍の値に近づきます

　が,特殊相対性理論と矛盾するものではありません。

　事実,１つの電子の速度を他の電子から見るなら決して光速は超え

　ません。

(※相対論では有り勝ちな光速度不変に対する誤解の１つですね。) 

そして,(ｐ₁'⇔ｐ₂'の交換項)は,ｄσ~における右辺最初の２項で

ｐ₁'とｐ₂'を交換して得られる２つの付加項の存在を示しています。

　直接散乱と交換散乱の双方において出現する干渉項は唯１つの長い

　トレース因子を含みます。

微分断面積に寄与する行列要素の平方(ノルムの２乗)を表示する

図形的方法は,２つのループと２つのトレース項因子を持つ直接項

と,１つのトレース因子のみ持つ干渉項の違いを明示します。

(図７.14：Pending)

これらのdiagramsは,添字μ,νの順序を保持しつつスピノ－ル因子

を直線的に求めるときには便利です。

ライン上の白丸は分母因子:(ｐ²－ｍ²)^-1が現われないことを注意す

るものです。

以下,「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」で与えたγ行列に関

する定理を用いて具体的にトレース因子を評価します。

特に,干渉項の８個のγ行列の積のトレースの計算における縮約には

[性質6]:(ⅰ)γ_μγ^μ＝4・1,(ⅱ)γ_μａγ^μ＝－2ａ,

(ⅲ)γ_μａｂγ^μ＝4ａｂ,(ⅳ)γ_μａｂｃγ^μ＝－2ｃｂａ,

(ⅴ)γ_μａｂｃｄγ^μ＝2(ｄａｂｃ＋ｃｂａｄ)

が非常に有用です。

Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^νに

おいて,例えば相対論的エネルギーＥ＞＞ｍを想定してｍ²に比例

する項を無視すれば,奇数個のγ行列の積のトレースへの寄与は

ゼロなので,これはＴr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)となります。

そして[性質6]の(ⅳ)から,γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν＝－2ｐ₂γ^μｐ₂'

なので,Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)

＝－2Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁ｐ₂γ^μｐ₂')　です。

さらに,(ⅲ)よりγ_μｐ₁ｐ₂γ^μ＝4ｐ₁ｐ₂なので,結局,

Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)＝－8ｐ₁ｐ₂Ｔr(ｐ₁'ｐ₂')

＝－32(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁'ｐ₂')　を得ます。

※(注20-2):実際に正しくは,

　Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν

 ＝－32(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁'ｐ₂')＋ｍ²{Ｔr(γ_μγ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)

　＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νγ^μｐ₂γ^ν)＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μγ^ν)

　＋Ｔr(ｐ₁'γ_μγ_νγ^μｐ₂γ^ν)＋Ｔr(ｐ₁'γ_μγ_νｐ₂'γ^μγ^ν)

　＋Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νγ^μγ^ν)}＋ｍ⁴Ｔr(γ_μγ_νγ^μγ^ν)

　です。

そして,Ｔr(γ_μγ_νｐ₂'γ^μｐ₂γ^ν)＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νγ^μｐ₂γ^ν)

＋Ｔr(γ_μｐ₁γ_νｐ₂'γ^μγ^ν)＋Ｔr(ｐ₁'γ_μγ_νγ^μｐ₂γ^ν)

＋Ｔr(ｐ₁’γ_μγ_νｐ₂'γ^μγ^ν)＋Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ_νγ^μγ^ν)

＝－2Ｔr(γ_μｐ₂γ^μｐ₂')＋4ｐ₂^μＴr(γ_μｐ₁)

＋4ｐ₂'^μＴr(γ_μｐ₁)＋4ｐ₂^μＴr(ｐ₁'γ_μ)＋4ｐ₂'^μＴr(ｐ₁'γ_μ)

－2Ｔr(ｐ₁'γ_μｐ₁γ^μ)　です。

よって,これは16{(ｐ₂ｐ₂')＋(ｐ₁ｐ₂)＋(ｐ₁ｐ₂')＋(ｐ₁'ｐ₂)

＋(ｐ₁'ｐ₂')＋(ｐ₁'ｐ₁)}

＝16{(ｐ₁ｐ₂)＋(ｐ₁'ｐ₂')＋(ｐ₁＋ｐ₂)(ｐ₁'＋ｐ₂')}

です。

ところがｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂',それ故ｐ₁ｐ₂＝ｐ₁'ｐ₂'ですから,

さらに,16{2(ｐ₁ｐ₂)＋(ｐ₁＋ｐ₂)²}＝32{2(ｐ₁ｐ₂)＋ｍ²}

に帰します。

　また,Ｔr(γ_μγ_νγ^μγ^ν)＝－2Ｔr(γ_νγ^ν)＝―32　です。

　以上から,

　Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν

 ＝－32{(ｐ₁ｐ₂)²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₂)－ｍ⁴＋ｍ⁴}

　＝－32(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)　を得ます。

　一方,[性質4]:Ｔr(ａ₁..ａ_n)

　＝ａ₁ａ₂Ｔr(ａ₃..ａ_n)－ａ₁ａ₃Ｔr(ａ₂ａ₄..ａ_n)＋..

　＋ａ₁ａ_nＴr(ａ₂..ａ_n-1),

　特にＴr(ａ₁ａ₂ａ₃ａ₄)

　＝４(ａ₁ａ₂ａ₃ａ₄＋ａ₁ａ₄ａ₂ａ₃－ａ₁ａ₃ａ₂ａ₄)より,

　Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν

 ＝4{ｐ₁'_μｐ_1ν＋ｐ₁'_νｐ_1μ－ｇ_μν(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

　です。

同様に,Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν

＝4{ｐ₂'^μｐ₂^ν＋ｐ₂'^νｐ₂^μ－ｇ^μν(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²)}ですから,

結局,

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＝16{ｐ₁'_μｐ_1ν＋ｐ₁'_νｐ_1μ－ｇ_μν(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

{ｐ₂'^μｐ₂^ν＋ｐ₂'^νｐ₂^μ－ｇ^μν(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²)}

です。

したがって,

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＝16[(ｐ₁'ｐ₂')(ｐ₁ｐ₂)＋ (ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁'ｐ₂')＋(ｐ₁'ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂')

＋(ｐ₁ｐ₂')(ｐ₁'ｐ₂)－(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)

{(ｐ₂ｐ₂')＋(ｐ₂'ｐ₂)}－(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²){(ｐ₁ｐ₁')＋(ｐ₁'ｐ₁)}

＋4(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)(ｐ₂ｐ₂'－ｍ²)]　です。

ところが,保存則:ｐ₁＋ｐ₂＝ｐ₁'＋ｐ₂'によって,

ｐ₁ｐ₂＝ｐ₁'ｐ₂',ｐ₁ｐ₂'＝ｐ₁'ｐ₂,ｐ₁ｐ₁'＝ｐ₂ｐ₂'ですから,

結局,

{Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

＝32{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₂')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

を得ます。

(注20-3終わり)※

※(注20-4):以上から,

　ｄσ~＝ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｐ₂'(2π)^-2

 δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)(1/4)(16ｍ⁴)^-1[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²

 {Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν}{Ｔr(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

　－(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2

 {Ｔr(ｐ₁'＋ｍ)γ_μ(ｐ₁＋ｍ)γ_ν(ｐ₂'＋ｍ)γ^μ(ｐ₂＋ｍ)γ^ν}

　＋(ｐ₁'⇔ｐ₂'の交換項)]

　は次のように書けます。

ｄσ~＝ｅ⁴ｍ⁴/{Ｅ⁴(2β)}(1/2)∫ｄ³ｐ₁'ｄ³ｐ₂'(2π)^-2

δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)[{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²

{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₂')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

＋(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)

＋{1/(ｐ₂'－ｐ₁)²}²{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₁')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₂'－ｍ²)}

＋(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)]

です。

　ここで,慣性中心系では,ｐ₁ｐ₂＝Ｅ²＋ｐ²,ｐ₁ｐ₁'

　＝Ｅ²－ｐ²cosθ＝ｐ₂ｐ₂',ｐ₁ｐ₂'＝Ｅ²－ｐ₁(－ｐ₁')cosθ

　＝Ｅ²＋ｐ²cosθ＝ｐ₁'ｐ₂,(ｐ₁'－ｐ₁)²＝2ｍ²－2ｐ₁ｐ₁'

　＝2(ｍ²－Ｅ²＋ｐ²cosθ)＝－2ｐ²(1－cosθ),(ｐ₂'－ｐ₁)²

 ＝2ｍ²－2ｐ₁ｐ₂'＝2(ｍ²－Ｅ²－ｐ²cosθ)＝－2ｐ²(1＋cosθ)

　です。

　ただし,ｐ≡ｐ₁＝－ｐ₂です。

　故に,ｄσ~の右辺[ ]の中:

　{1/(ｐ₁'－ｐ₁)²}²{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₂')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₁'－ｍ²)}

　＋(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)

　＋{1/(ｐ₂'－ｐ₁)²}²{(ｐ₁ｐ₂)²＋(ｐ₁ｐ₁')²－2ｍ²(ｐ₁ｐ₂'－ｍ²)}

　＋(ｐ₂'－ｐ₁)^-2(ｐ₁'－ｐ₁)^-2(ｐ₁ｐ₂)(ｐ₁ｐ₂－2ｍ²)

　は次のように書けます。

[ ]＝(1/4)ｐ^-4

[{(Ｅ²＋ｐ²)²＋(Ｅ²＋ｐ²cosθ)²－2ｍ²ｐ²(1－cosθ)}/(1－cosθ)²

＋{(Ｅ²＋ｐ²)²＋(Ｅ²－ｐ²cosθ)²－2ｍ²ｐ²(1＋cosθ)}/(1＋cosθ)²

＋2(1－cosθ)^-1(1＋cosθ)^-1(Ｅ²＋ｐ²)(Ｅ²＋ｐ²－2ｍ²)/{(1－cosθ)

(1＋cosθ)}]＝..(中略)

＝(1/2)ｐ^-4[4(Ｅ²＋ｐ²)²/sin⁴θ－3(Ｅ²＋ｐ²)²/sin²θ

＋ｐ⁴(1＋4/sin⁴θ)]　です。

ただし,ｐ≡|ｐ|　としました。

　ｐ₁'≡|ｐ₁'|と置くと,β＝ｐ/Ｅ＝ｐ₁'/Ｅ₁'により,

　2ｐ₁'＝2Ｅ₁'β　となります。

故に,∫{ｄ³ｐ₁/(2ｐ₁')}{ｄ³ｐ₂/(2Ｅ₂')}δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

＝(4Ｅ²β)^-1∫ｄ³ｐ₁/(2Ｅβ)}{ｄ³ｐ₂/(2Ｅ)}

δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

＝(ｄΩ_p1'/2)∫₀^∞ｐ₁'ｄｐ₁'∫ｄ⁴ｐ₂'δ⁴(ｐ₁'＋ｐ₂'－ｐ₁－ｐ₂)

δ(ｐ₂'²－ｍ²)θ(Ｅ₂')

＝(ｄΩ_p1'/2)∫₀^∞ｐ₁'ｄｐ₁'δ((ｐ₁＋ｐ₂－ｐ₁') ²－ｍ²)

θ(Ｅ₁＋Ｅ₂－Ｅ₁')

＝(ｄΩ_p1/2)∫₀^2ＥＥ'ｄＥ'δ(4Ｅ ²－4ＥＥ')

＝ｄΩ_p1'/8です。。

(注20-4終わり)※

したがって,微分断面積として,

(ｄσ~/ｄΩ)_M＝{α²/(4Ｅ²)}{(Ｅ²＋ｐ²)/ｐ²}²

[4/sin⁴θ－3/sin³θ＋{ｐ²/(Ｅ²＋ｐ²)}²(1＋4/sin⁴θ)]

が得られました。

特に,Ｅ＞＞ｍでｐ～Ｅの高エネルギー極限では,

(ｄσ~/ｄΩ)_M ～ {α²/(4Ｅ²)}(3＋cos²θ)²/sin⁴θ

となります。

ｄσ~/ｄΩ

＝{α²/(8Ｅ²)}[{1＋cos⁴(θ/2)}/sin⁴(θ/2)

＋2/{sin²(θ/2)cos²(θ/2)}＋{1＋sin⁴(θ/2)}/cos⁴(θ/2)]

とも書けます。

これはｍ²が無視できるときのみ正しい式です。

これらはメラー(Möller)の公式と呼ばれています。(つづく)

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

　以上,2010年９/６の過去記事「散乱の伝播関数の理論(20)」

　の再掲載です。

散乱問題の復習(10)(対消滅)

 散乱問題の復習＝再掲記事の続きです。

　 制動輻射からCompton散乱までの話が終了しましたが,これら

　　のFeynmanグラフとの継続性から,

　今回はその双対グラフとして,荷電粒子-反粒子対(電子-陽電子対)

　が光子(γ線)へと対消滅する振幅,断面積の評価計算に入ります。

§7.8 Pair Anihilation into Gamma Rays(γ線への対消滅)

　下に再掲のCompton散乱に対するFeynman diagram(図7.10)

を横に向けると,かなり物理的に興味深いプロセスに遭遇します。

すなわち,電子-陽電子対の２つの光子への消滅です。

そして,上図７.11に示す運動学に関連したＳ行列要素は,

運動量空間では次のように書けます。

Ｓ_fi^Pair＝ｅ²{ｍ²/(4Ｅ_＋Ｅ_－ｋ₁ｋ₂ε₀²)}^1/2(2π)⁴

δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_＋－ｐ_－)ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)

[(－iε₂){ｉ/(ｐ_－－ｋ₁－ｍ)}(－iε₁)

＋(－iε₁){ｉ/(ｐ_－－ｋ₂－ｍ)}(－iε₂)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

です。

これは,Bose統計で要求されるように２つの光子の入れ換え

に対しては対称です。

これまでのFeynman伝播関数(propagator)に関する記述では,この

プロセスは過去に生成された正エネルギー:ｐ_－の電子が負エネル

ギー状態:－ｐ_＋に散乱されて伝播し過去に帰る,という描像に対

応します。

そして経路に沿って２つの光子を生成します。

つまり,エネルギーを輻射場へと２回手放します。

こうした過程が起こり得るのは最低次でｅ²のオーダーです。

何故なら,エネルギー・運動量の保存により,運動学的に対消滅

から単一の光子に転化することは有り得ないからです。

さらに,Ｓ_fi^Pairの２つの光子の入れ換え対称性が保証されるため

には両方のグラフが含まれる必要があります。

ところで,すぐ前に考察したCompton散乱振幅を見返すと,

Ｓ_fi^Comp＝{ｅ²/(ε₀Ｖ²)}(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

(4ｋ⁰ｋ' ⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε'){i/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}(－iε)

＋(－iε){i/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}(－iε')]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

です。

これと,今の対消滅の振幅: 

Ｓ_fi^Pair＝ｅ²{ｍ²/(4Ｅ_＋Ｅ_－ｋ₁ｋ₂ε₀²)}^1/2(2π)⁴

δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_＋－ｐ_－)ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)

[(－iε₂){ｉ/(ｐ_－－ｋ₁－ｍ)}(－iε₁)

＋(－iε₁){ｉ/(ｐ_－－ｋ₂－ｍ)}(－iε₂)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

を比較して見ると,

非常に強い類似性に気が付くはずです。

実際,(ε,ｋ)⇔(ε₁,－ｋ₁),(ε',ｋ')⇔(ε₂,＋ｋ₂),

かつ,(ｐ_i,ｓ_i)⇔(ｐ_－,ｓ_－),(ｐ_f,ｓ_f)⇔(－ｐ_＋,ｓ_＋) 

なる交換(代入)によって,振幅Ｓ_fi^CompとＳ_fi^Pairは互いに変換

し合うことが見て取れます。

　これは,任意の順序に対して正しく,タイプ:Ａ＋Ｂ → Ｃ＋Ｄ

　の反応を,例えばＡ＋Ｃ~ → Ｂ~＋Ｄなるプロセスに関連付ける

　"一般的な代入法則＝詳細釣り合いの原理

　(principles of detailed Valance)" の１例になっています。

　この代入規則の別の例は下の再掲:図7:8 

　に対応する制動輻射(Bremsstrahlung)の振幅:

　Ｓ_fi^Brem＝ｅ²∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙψ~_f(ｘ)[－iＡ(ｘ;ｋ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｙ)＋(－iγ⁰)Ａ⁰_Coul(ｘ)iＳ_F(ｘ－ｙ)

　{－iＡ(ｙ;ｋ)}]ψ_i(ｙ);

　Ａ⁰_Coul(ｘ)≡－Ｚｅ/(4πε₀|ｘ|)(ｅ＜0 は電子の電荷),

　および,下図７.12に示す対創生(対生成:pair production)の振幅

　です。

 

　さて,対消滅に戻って,

 Ｓ_fi^Pair＝ｅ²{ｍ²/(4Ｅ_＋Ｅ_－ｋ₁ｋ₂ε₀²)}^1/2(2π)⁴

 δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_＋－ｐ_－)ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)

　[(－iε₂){ｉ/(ｐ_－－ｋ₁－ｍ)}(－iε₁)

　＋(－iε₁){ｉ/(ｐ_－－ｋ₂－ｍ)}(－iε₂)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

　から,

　もう,お馴染みのステップで微分断面積の構成に進みます。

　偏りのない入射陽電子－電子(電子が静止の実験室系)を仮定

　した結果は,

　ｄσ~＝{ｅ⁴/(2πε₀)²}∫{ｍ/(Ｅ_＋β_＋)}(―1)(1/4)(4ｍ²)^-1

 Ｔr(ｍ－ｐ_＋){ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₂)}

　(ｐ_－＋ｍ){ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₂)}

　{ｄ³ｋ₁/(2ｋ₁)}{ｄ³ｋ₂/(2ｋ₂)}δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_－－ｐ_＋)

　 です。

ただし,β_＋≡ｐ_＋/Ｅ_＋(ｐ_＋≡|ｐ_＋|)は入射陽電子の速さです。

また,右辺の因子1/4は電子と陽電子の初期spin状態の平均に由来し,

マイナス符号は陽電子スピノールの規格化に由来します。

(※標的電子が静止の実験室系では,Ｅ_－＝ｍ,つまりｍ/Ｅ_－＝1

であり標的に向かう速さは|ｖ|＝β_＋＝|ｐ_＋|/Ｅ_＋です。)

　行列要素の単純化された形は,実験室系での横波ゲージの選択:

　ε₁ｐ_－＝0,ε₂ｐ_－＝0,および,Compton散乱で適用したのと同じ

　交換則(代入則)のためです。

　(※実験室系では,初期電子の４元運動量はｐ_－＝(ｍ,0)で,光子の

　４元spin(偏り)はそれぞれ,ε₁＝(0,ε₁),ε₂＝(0,ε₂)です。)

※(注19-1):上記ｄσ~の具体形を説明するため,まず,

　Ａ≡ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)[ε₂(ｐ_－－ｋ₁＋ｍ)ε₁/(－2ｐ_－ｋ₁)

　＋ε₁(ｐ_－－ｋ₂＋ｍ)ε₂/(－2ｐ_－ｋ₁)]ｕ(ｐ_－,ｓ_－)

　とおきます。

　すると,(ｐ_－＋ｍ)ε_iｕ(ｐ_－,ｓ_－)

　＝－ε_i(ｐ_－－ｍ)ｕ(ｐ_－,ｓ_－)＝0 なので,

　Ａ＝ｖ~(ｐ_＋,ｓ_＋)[ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)]

　ｕ(ｐ_－,ｓ_－)　と簡単化されます。

そして,電子spinによる総和の寄与は,

Σ_±s-ｕ_β(ｐ_－,ｓ_－)ｕ~_λ(ｐ_－,ｓ_－)＝(ｐ_－＋ｍ)_βλ/(2ｍ)

です。

同様に,陽電子spinによる総和の寄与は,

－Σ_±s+ｖ_δ(ｐ_＋,ｓ_＋)ｖ~_α(ｐ_＋,ｓ_＋)

＝Σ_r=3⁴ε_rｗ_δ^r(ｐ_＋)ｗ~_α^r(ｐ_＋)

＝Σ_r=1⁴ε_rｗ_δ^r(ｐ_＋)ｗ~_α^r(ｐ_＋)(ｍ－ｐ_＋)_δα/(2ｍ)

＝(ｍ－ｐ_＋)_δα/(2ｍ)

です。

故に,Σ_±s-,±s+|Ａ|²

＝Σ_±s-,±s+{ｖ~_α(ｐ_＋,ｓ_＋)

[ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)]_αβｕ_β(ｐ_－,ｓ_－)}

{ｕ~_λ(ｐ_－,ｓ_－)[ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)]_λδ

ｖ_δ(ｐ_＋,ｓ_＋)}

＝(4ｍ²)^-1(ｍ－ｐ_＋)_δα

[ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)]_αβ

(ｐ_－＋ｍ)_βλ[ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)]_λδ

と書けます。

すなわち,Σ_±s-,±s+|Ａ|²＝(4ｍ²)^-1

Ｔr(ｍ－ｐ_＋){ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₂)}

(ｐ_－＋ｍ){ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₂)}

なる式を得ます。(注19-1終わり)※

さて,トレース因子の具体的計算に入ります。

まず,Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝Ｔrε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂(ｍ－ｐ_＋)

＝Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂より,

ｄσ~の右辺トレース因子のうち分母が4(ｐ_－ｋ₁)(ｐ_－ｋ₂)の２つの

項は等しいことがわかります。

一方,Ｔ₁≡Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂とおくと,

前のCompton散乱におけるトレース計算と同じく

ε₁²＝－1,ｋ₁²＝0 によって,ｍ,ｍ²を因子に持つ項の寄与は

ゼロです。

そこで,Ｔ₁＝－Ｔrｐ_＋ε₂ｋ₁ε₁ｐ_－ε₁ｋ₁ε₂

＝－8ｋ₁ｐ_－{ｋ₁ｐ_＋＋2(ｋ₁ε₂)(ｐ_＋ε₂)}　です。

ところが,保存則:ｋ₁＋ｋ₂＝ｐ_－＋ｐ_＋よりｐ_＋－ｋ₁＝ｋ₂－ｐ_－

ですからｋ₁ｐ_＋＝ｋ₂ｐ_－です。

また,ｐ_＋ε₂－ｋ₁ε₂＝ｋ₂ε₂－ｐ_－ε₂＝0より,

ｐ_＋ε₂＝ｋ₁ε₂です。

そこで,結局,Ｔ₁＝－8ｋ₁ｐ_－{ｋ₂ｐ_－＋2(ｋ₁ε₂)²}　です。

同様に,Ｔ₂≡Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝－Ｔrｐ_＋ε₁ｋ₂ε₂ｐ_－ε₂ｋ₂ε₁

＝－8ｋ₂ｐ_－{ｋ₂ｐ_＋＋2(ｋ₂ε₁)(ｐ_＋ε₁)}　より,

Ｔ₂＝－8ｋ₂ｐ_－{ｋ₁ｐ_－＋2(ｋ₂ε₁)²}　を得ます。

最後に,Ｔ₃≡Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝Ｔr(ｍ－ｐ_＋)ε₁ｋ₂ε₂(ｐ_－＋ｍ)ε₁ｋ₁ε₂とおけば,

ｐ_＋＝－ｐ_－＋(ｋ₁＋ｋ₂)　より,

Ｔ₃＝Ｔr(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

－Ｔr(ｋ₁＋ｋ₂)ε₂ｋ₁ε₁(ｐ_－＋ｍ)ε₂ｋ₂ε₁

＝8(ｋ₁ｐ_－)(ｋ₂ｐ_－){2(ε₁ε₂)²－1}

＋8(ｋ₂ｐ_－)(ｋ₁ε₂)²＋8(ｋ₁ｐ_－)(ｋ₂ε₁)²です。

したがって,

Ｔr[(ｍ－ｐ_＋){ε₂ｋ₁ε₁/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₁ｋ₂ε₂/(2ｐ_－ｋ₂)}

(ｐ_－＋ｍ){ε₁ｋ₁ε₂/(2ｐ_－ｋ₁)＋ε₂ｋ₂ε₁/(2ｐ_－ｋ₂)}]

＝(1/4)[Ｔ₁/(ｋ₁ｐ_－)²＋Ｔ₂/(ｋ₂ｐ_－)²

 ＋2Ｔ₃/{(ｋ₁ｐ_－)(ｋ₂ｐ_－)}]

＝2{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}(ｋ_i≡|ｋ_i|)

を得ました。

　これから,ｄσ~＝{ｅ⁴/(2πε₀)²}{ｍ/(Ｅ_＋β_＋)}

　∫{ｄ³ｋ₁/(2ｋ₁)}{ｄ³ｋ₂/(2ｋ₂)}δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_－－ｐ_＋)

　(－2/4)(4ｍ²)^-1{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}

　なる表式を得ます。

最後に残る唯一の仕事は実験室運動系でのδ関数の評価です。

ｄσ~の右辺のδ関数因子に対して積分ｄ³ｋ₂,および,ｄ³ｋ₁の

うち立体角を除く変数ｋ₁≡|ｋ₁|による積分ｄｋ₁を実行します。

すると,∫{ｄ³ｋ₁/(2ｋ₁)}{ｄ³ｋ₂/(2ｋ₂)}

δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂－ｐ_－－ｐ_＋)

＝(1/2)∫₀^∞ｋ₁ｄｋ₁ｄΩ_k1δ((ｐ_＋＋ｐ_－－ｋ₁)²)

θ(Ｅ_＋＋Ｅ_－－ｋ₁)

＝(1/2)∫₀^∞ｋ₁ｄｋ₁ｄΩ_k1δ((ｐ_＋＋ｐ_－)²－2ｋ₁(ｐ_＋＋ｐ_－))

θ(Ｅ_＋＋Ｅ_－－ｋ₁)

と書けます。

すなわち,(ｄΩ_k1/2)∫₀^E+＋mｋ₁ｄｋ₁

δ(2ｍ²＋2ｍＥ_＋－2ｋ₁(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ))

＝(1/4)ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²ｄΩ_k1

(ｐ_＋≡|ｐ_＋|)　です。

そこで,β_＋＝|ｐ_＋|/Ｅ_＋＝ｐ_＋/Ｅ_＋)より,

ｄσ~/ｄΩ_k1

＝{ｅ⁴/(2πε₀)²}(ｍ/ｐ_＋)(－2/4)(4ｍ²)^-1

{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}

(1/4)ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²;

(ｐ_＋≡|ｐ_＋|)　を得ます。

ただし,ｋ₁＝|ｋ₁|＝ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)

です。

これを整理すると, 

ｄσ~/ｄΩ_k1＝α²(ｍ＋Ｅ_＋)/[8ｐ_＋(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²]

{－ｋ₂/ｋ₁－ｋ₁/ｋ₂＋4(ε₁ε₂)²－2}　です。

ただし,αは微細構造定数(structure constant)で,

ｃ＝ｈ_c＝1の自然単位ではα≡ｅ²/(4πε₀)です。

(ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはPlanck定数)

そして,エネルギー・運動量の保存則により, 

ｋ₂＝|ｋ₂|＝ｍ＋Ｅ_＋－ｋ₁

＝(ｍ＋Ｅ_＋)(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)

＝ｋ₁(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ　ですから,

ｋ₂/ｋ₁＝(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ,ｋ₁/ｋ₂

＝ｍ/(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ です。

結局,入射電子と陽電子のspinに特定の偏りを考慮しない対消滅

の微分断面積が,

ｄσ~/ｄΩ_k1＝α²(ｍ＋Ｅ_＋)/[8ｐ_＋(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²]

{(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ＋ｍ/(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)＋2－4(ε₁ε₂)²}

で与えられることがわかります。

さらに,終光子のspin(偏光)についても偏りのない対消滅の

総断面積σ~を求めるため,終光子のspinと立体角ｄΩ_k1に

わたって上記のｄσ~/ｄΩ_k1を総和し積分します。

ただし,ｄΩ_k1積分については注意が必要です。

というのは終状態は２つの同種粒子を含むからです。

上のｄσ~/ｄΩ_k1の式は光子の１つがｄΩ_k1の中に現われる事象

をカウントしたものですが,光子の区別不可能性の故,検知される

１光子が２つの光子のうちのどちらか一方であることしかわかり

ません。

ｄσ~/ｄΩ_k1は,微分断面積としてはこのままでいいのですが,

全立体角にわたって積分する場合には,各状態を正確に２回

カウント(double-count)することになります。

そこで,正しくはσ~＝(1/2)∫(ｄσ~/ｄΩ_k1)ｄΩ_k1

＝(1/2)∫₀^2πｄφ_k1∫_-1¹ｄ(cosθ_k1)(ｄσ~/ｄΩ_k1)

です。

　(※積分を模式的に総和の記号Σで表わせば,Σ_k1,k2ｄΩ_k1ｄΩ_k2

 ですが,これはｋ₁,ｋ₂が同種粒子のときには,明らかにｋ₁＜ｋ₂と

　ｋ₂＜ｋ₁を二重にカウントするので1/2を掛けるのは当然です。)

積分を実行して任意のエネルギーレベルでの全断面積σ~を計算

するのは容易ではありませんが,低エネルギーと高エネルギーの

近似式は容易に得られます。

まず,低エネルギー極限(β_＋＜＜1)では,ｐ_＋→ 0,ｋ₁→－ｋ₂

であり,光子の偏りの平均は(1/2)Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝1/2

ですから,σ~＝{α²π/(β_＋ｍ²)}{1＋Ｏ(β_＋²)}　です。

一方,高エネルギーの超相対論的極限では,

σ~＝{α²π/(ｍＥ_＋)}

{ln(2Ｅ_＋/ｍ)－1＋Ｏ((ｍ/Ｅ_＋)ln(Ｅ_＋/ｍ))＋..}　です。

高エネルギー極限では,先に示した微分断面積: 

ｄσ~/ｄΩ_k1＝α²(ｍ＋Ｅ_＋)/[8ｐ_＋(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)²]

{(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)/ｍ＋ｍ/(Ｅ_＋－ｐ_＋cosθ)＋2－4(ε₁ε₂)²}

における因子の[ ]内の最初の２項は,等しく対消滅の主オーダー

に寄与しますが,最後の２項は(ｍ/Ｅ_＋)だけ小さい寄与をします。

こうした結果は,最初1930年にDiracによって得られました。

※(注19-2):まず,低エネルギー極限では,

ｋ₁＋ｋ₂＝ｐ_＋＝0,ｋ₁＝－ｋ₂ なので,θ＝π

1/2)Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝(1＋cos²θ)/2＝1,

故にΣ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝2　です。

(ｋ₁とｋ₂のなす角がθのときΣ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝1＋cos²θとなる

理由については,Compton散乱の断面積について書いた記事

「散乱の伝播関数(17)(応用４)」の最後の部分を参照して下さい。)

そこで,低エネルギーでは,

σ~＝{πε₀²α²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

_-1¹ｄｚ[(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²}

＋ｍ/{(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)} 

～{πα²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

∫_-1¹ｄｚ[(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ){1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)²

ｍ{1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²(1＋ｐ_＋ｚ/Ｅ_＋)/{(ｍ＋Ｅ_＋)²Ｅ_＋}}

です。

故に,σ~＝{πα²(ｍ²＋Ｅ_＋²)/(2ｍｐ_＋Ｅ_＋(ｍ＋Ｅ_＋)}

∫_-1¹{1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²ｄｚ

＋(ｐ_＋/Ｅ_＋)(ｍ²－Ｅ_＋²)∫_-1¹ｚ{1＋ｐ_＋ｚ/(ｍＥ_＋)}²ｄｚ

＝{πα²/(2ｍｐ_＋Ｅ_＋(ｍ＋Ｅ_＋)}

[(ｍ²＋Ｅ_＋²)/{2＋(2/3)ｐ_＋²/(ｍ＋Ｅ_＋)²}

＋(4/3)(ｐ_＋²/Ｅ_＋)(ｍ－Ｅ_＋)]　です。

ここで,Ｅ_＋＝ｍ,β_＋＝ｐ_＋/Ｅ_＋＝ｐ_＋/ｍより,

ｐ_＋＝ｍβ_＋とおけば,結局,

σ~＝{α²π/(β_＋ｍ²)}{1＋Ｏ(β_＋²)}　を得ます。

一方,高エネルギー極限のｐ_＋→ ∞ではθは固定されないので,

Σ_ε1,ε2(ε₁ε₂)²＝1＋cos²θです。

そこで,σ~＝{πα²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

∫_-1¹ｄｚ[(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²}

＋ｍ/{(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}

＋(1－ｚ²)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²]　です。

これは,σ~＝{πα²(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}

∫_-1¹ｄｚ[1/{ｍ(Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}－2/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²}

＋(1－ｚ²)/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)²]　と書けます。

積分項

＝[{－1/(ｍｐ_＋)}ln|Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ|

－(2/ｐ_＋){1/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}

－(1/ｐ_＋){1/(ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ)}

－(1/ｐ_＋³){ｐ_＋ｚ－(ｍ＋Ｅ_＋)²/(ｐ_＋ｚ－ｍ－Ｅ_＋)

＋2(ｍ＋Ｅ_＋)ln|ｍ＋Ｅ_＋－ｐ_＋ｚ|}]_-1¹

＝{2/(ｍｐ_＋)}ln(|ｐ_＋＋Ｅ_＋|/ｍ)

－{2(ｍ＋Ｅ_＋)/ｐ_＋³}ln{2ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋＋ｐ_＋)²

－[1/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)}{1＋(ｍ＋Ｅ_＋)²/ｐ_＋²}－2/ｐ_＋²}　です。

※何と,先に,種元のテキストに結果が明示されていないこと

から予想して"計算は容易ではない"と書いたことに反して,

低エネルギー,高エネルギーを問わない一般的ケースでも

初等的に積分を実行できました。※

σ~＝{α²π(ｍ＋Ｅ_＋)/(2ｐ_＋)}[{2/(ｍｐ_＋)}ln(|ｐ_＋＋Ｅ_＋|/ｍ)

－{2(ｍ＋Ｅ_＋)/ｐ_＋³}ln{2ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍ＋Ｅ_＋＋ｐ_＋)²

－1/{ｍ(ｍ＋Ｅ_＋)}＋(ｍ＋Ｅ_＋)/(ｍｐ_＋²)－2/ｐ_＋²]

なる一般式を得ました。

これは,高エネルギー極限:ｐ_＋→ ∞では,ｐ_＋～ Ｅ_＋,

ｍ＋Ｅ_＋～ Ｅ_＋なので,

σ~～ {α²π/(ｍＥ_＋)}[ln(2Ｅ_＋/ｍ)－1＋(ｍ/Ｅ_＋)ln(2Ｅ_＋/ｍ)

－ｍ/Ｅ_＋]　と近似されます。

すなわち,

σ~＝{α²π/(ｍＥ_＋)}{ln(2Ｅ_＋/ｍ)－1

＋Ｏ((ｍ/Ｅ_＋)ln(Ｅ_＋/ｍ))＋..}

なる近似式を得ました。　　(注19-2終わり)※

PS:電磁単位の扱いにおける混乱から,散乱の伝播関数の理論(応用)

シリーズの散乱断面積に不要な真空誘電率ε₀が含まれている間違

いを発見したのでそれら一連の式の誤まった係数を修正しておき

ました。(2010年８月30日(月)夕方)

参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics"(McGraw-Hill)

　以上,2010年８/27の過去記事「散乱の伝播関数の理論(19)」

　の再掲載記事でした。

散乱問題の復習(9)(Compton散乱補遺)

　これは,すぐ前の記事「散乱問題の復習(9)」の

　Compton散乱断面積の計算の補足です。

　前回の記事でCompton散乱に対するKlein-Nishina

　(クライン・仁科の公式):

　ｄσ_Ave/ｄΩ

　＝{α²/(4ｍ²)}(ｋ'/ｋ)²{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}

　を導く際に,"途中計算を省略して,

　Ｔr[(ｐ_f＋ｍ){ε'εｋ/(2ｋｐ_i)＋εε'ｋ'/(2ｋ'ｐ_i)}(ｐ_i＋ｍ)]

　{ｋεε'/(2ｋｐ_i)＋ｋ'ε'ε/(2ｋ'ｐ_i)}]

　＝2{ｋ'/ｋ＋ｋ/ｋ'＋4(εε')²－2}　です。

と書きました。

しかし,"私独自に行間を埋めた部分＝計算の詳細"を省略しては,

本記事が単に参考テキストの垂れ流しに過ぎず,画龍天晴を欠く

と感じたので,計算結果の証明として詳細内容を書くことにしま

した。

以下,式の証明です。

(証明):まず,Ｔ₁≡Ｔr(ｐ_f＋ｍ)ε'εｋ(ｐ_i＋ｍ)ｋεε'と置けば,

　右辺のトレースにおいて,因子としてｍを１個含む項は奇数個の

　γ行列の積なのでその寄与はゼロです。

　また,ｍ²に比例する項はｋｋ＝ｋ²＝0 を因子に持つので消えます。

　結局,Ｔ₁＝Ｔrｐ_fε'εｋｐ_iｋεε'　を得ます。

　(何故なら,ａｂ＝2ａｂ－ｂａよりａａ＝2ａ²－ａａなので,

　ａａ＝ａ²です。)