散乱電子の偏極について

 前記事までの「散乱問題の復習」シリーズは５年前の2010年６月

から最後は2011年3/31までの過去記事「散乱の伝播関数の理論」

シリーズの(11)以降の応用編を再掲載したもので,最後はこの

シリーズの一番最後の「散乱の伝播関数の理論(21)」からで,

これは,Bjorken-Drellのテキストの第７章の§7.9を紹介した

記事でした。

　しかし,実は第７章は§7.9が最後ではなく,§7.10で

終わって,次の第８章の輻射補正(＝繰り込み)へと続いて

います。

 この最後の§7.10の電子散乱における偏極という項目は,

2010年,2011年に「散乱の伝播関数の理論」のシリーズ記事

をアップした当時は,それほど重要ではないと考えて,これを

省略してさっさと次に進む道を選んだのでした。

　しかし,今,電磁相互作用で行なった話を弱い相互作用の理論の

説明で参照しようという段階では,寧ろこれこそ重要な論題である

と思われるため,自分のノートから,この最後の節についても記事

にしてアップします。

したがって,この記事は再掲載ではないですが前の続きです。

「散乱の伝播関数の理論」シリーズとしては(22)に相当する

ので私の付加した注釈＝※(注)では,※(注22－)という番号を

入れました。

※さて,以下本題です。

§7.10 Polarization in Electron Scattering

(電子散乱における偏極)

「散乱の伝播関数の理論(10)」において展開したスピン射影演算子
の実用的な応用として,電子のCoulomb散乱でのMott散乱の断面積に

立帰ります。

　後に弱い相互作用の項で論じるように,μ中間子の崩壊における

電子はその運動の向きに反平行なスピンに偏っています。

　中心に－Ｚｅ＞0の電荷が固定されている場合の,ｓ_iｐ_i＝0

を満たすスピンｓ_iと４元運動量ｐ_iを持ち,電荷がｅ＜0,質量が

ｍの入射電子のCoulomb散乱の微分断面積を,終状態でのスピン

±ｓ_ｆで総和したものは次式で与えられます。

 すなわち,ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)

Σ_±sf|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|²

です。

　　この式を評価計算するには射影演算子を用いてトレースを

取るというテクニックを利用します。

Σ(ｓ)＝(1＋γ₅ｓ)/2とすると,　これは, 

Σ(ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),Σ(ｓ)ｕ(ｐ,－ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ) 

を満たすスピン射影演算子です。
 

　微分断面積を与える式：ｄσ/ｄΩ

＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)Σ_±sf|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|² 

に,Σ(ｓ_i)を挿入すれば,

　ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴) 

Σ_±si,±sf{ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰Σ(ｓ_i)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|

{ｕ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｕ(ｐ_f,ｓ_f)|
 

＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)(8ｍ²)^-1Ｔr[γ⁰(1＋γ₅ｓ)(ｐ_i＋ｍ)(ｐ_i＋ｍ)]
 

※(注22-1)： 

　Σ_±si,±sf{ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰Σ(ｓ_i)ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|

{ｕ~(ｐ_i,ｓ_i)γ⁰ｕ(ｐ_f,ｓ_f)| 

＝Σ_±si,±sfΣ_αβγδλ[ｕ~_α(ｐ_f,ｓ_f)(γ⁰)_αβ{

(1＋γ₅ｓ)/2}_βγｕ_γ(ｐ_i,ｓ_i)] 

[ｕ~_δ(ｐ₁,ｓ_i)(γ⁰)_δλｕ_λ(ｐ_i,ｓ_i)]
 

＝Σ_αβγδλ(γ⁰)_αβ(1＋γ₅ｓ)_βγ(ｐ＋ｍ)_γα

(γ⁰)_δλ(ｐ＋ｍ)_λδ 

＝(8ｍ²)^-1Ｔr[γ⁰(1＋γ₅ｓ)(ｐ_i＋ｍ)(ｐ_i＋ｍ)]
 

何故なら,Σ_±sｕ_α(ｐ,ｓ)ｕ~_β(ｐ,ｓ)＝(ｐ＋ｍ)_αβ/(2ｍ)

であるからです。(注22-1終わり)※
 

Ｔr[γ⁰(1＋γ₅ｓ)(ｐ_i＋ｍ)(ｐ_i＋ｍ)]の計算において, 

ｎが奇数なら,Ｔrａ₁..ａ_n＝0 となること,

および,Ｔrγ₅＝0,Ｔr(γ₅ａｂ)＝0,

Ｔr(γ₅ａｂｃｄ)＝4ｉε_αβγδａ^αｂ^βｃ^γｄ^δ の

公式を用いると,

　結局,以前の式に追加されたスピンベクトルｓを含むΣ(s)

＝(1＋γ₅ｓ)/2のうちの(γ₅ｓ)に比例する項のトレースは消え,

入射電子のスピンで平均した(1/2)の係数が掛かるのみの次の

単なる非偏極電子のCoulomb散乱のMottの公式が再現されます。
 

ｄσ/ｄΩ＝{Ｚ²α²/{4ｐ²β²sin⁴(θ/2)}{1－β²sin²(θ/2)}
 

かくして,入射電子ビ－ムのスピンが偏極していても偏極して

いなくても,その散乱の微分断面積が同じであるという計算結果

を得ましたが,

　　この結果は実は,最低次の摂動計算においてのみの特殊な結果

であり,一般には正しくないことがわかっています。

　　最低次の計算でも,スピン偏極の観測できる効果を描写する

ため,運動方向に沿って整列したスピンを持つ入射電子を考察

します。
 

　整列したスピンの偏極入射電子に対して散乱角の関数として

散乱電子の偏極を計算します。
 

　まず,運動する電子のスピン４元ベクトルｓをｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)

 とすると,これは次の条件を満足します。

　(※ただし,ここでの議論に限り相対論を意識して,ｃ＝1の

　自然単位でなく光速ｃを陽に書く通常の単位を用いることに

　します。)

　すなわち,同じ電子の４元運動量をｐ^μ＝(Ｅ/ｃ,ｐ)

　とするとき, 

　(1) ｓ²＝ｓ^μｓ_μ＝(ｓ⁰) ²－ｓ ²＝－1

　(2) ｓｐ＝0,あるいは,ｓ⁰＝ｓβ　 

　(※ここで,β＝ｃｐ/Ｅ＝ｖ/ｃ;ｖは速度です。)

なる2つの条件を満たします。

これらの条件は,質量がｍの電子の静止系:ｐ^μ＝(ｍ/ｃ,0),

　では,スピンｓがｓ^μ＝(0,ｓ),|ｓ|＝1であり,ｓｐ＝－ｓｐ＝0,

　ｓ²＝－ｓ²＝－1ですが,これらの等式の両辺は慣性座標系に

　依らない不変量(＝Lorentzスカラー)であることに由来します。

　ただし,ここでの3次元スピン:ｓは,大きさが1/2の電子の

　スピン角運動量そのものではなくて,通常はｓ＝σ/2で定義

　される大きさが1のPauliのσに相当します。


そして,この2条件から,ｓ²＝(ｓβ)²－ｓ²＝－1 ですから,

|ｓ|＝{1＋(ｓβ)²}^1/2です。あるいは,s²(1－β²cos²θ)＝1

より,|ｓ|＝1/(1－β²cos²θ)^1/2 です。

　４元スピンｓが空間的(spacelike;ｓ²＜0)なので,

β＝|β|＝ｖ/ｃと書くとき,β＞0 なら|ｓ|＞1 となり,

電子の3次元スピンはその静止時よりも大になります。
 

特にｖ,またはβ_iに沿って偏極したスピン偏極を右巻き電子

(right-handed electron)と呼び,そのスピンベクトルをｓ^Ｒ

で記述すると,ｓ^Ｒβ＝β|ｓ^Ｒ|なので,|ｓ^Ｒ|＝1/(1－β²)^1/2

＝Ｅ/ｍｃ²であり,ｓ^Ｒ0＝β/(1－β²)^1/2です。
 

　同様に,β_iに反平行に偏極したスピン偏極を左巻き電子

(left-handed electron)と呼び,そのスピンベクトルをｓ^Ｌ

で記述すると,ｓ^Ｌβ＝－β|ｓ^Ｌ|なので,右巻き電子の

スピン同様,|ｓ^Ｌ|＝1/(1－β²)^1/2＝Ｅ/ｍｃ²であり,他方,

ｓ^Ｌ0＝－β/(1－β²)^1/2です。

　特に始状態の入射電子と終状態の散乱電子の運動量ベクトル 

がｐ_i^μ＝(Ｅ_i/ｃ,ｐ_i),ｐ_f^μ＝(Ｅ_f/ｃ,ｐ_f),のときのスピン 

ベクトル:ｓ_i,ｓ_fについての記述は,単に,上記のｐ^μ,ｓ^μを, 

それぞれ,始状態のｐ_i^μ,ｓ_i^μ,終状態のｐ_f^μ,ｓ_f^μに置き換 

えるだけで,そのまま成立します。

　右巻き,および,左巻きのスピンべクトル：ｓ^Ｒ,および,ｓ^Ｌは,

ｓ^Ｌ＝－ｓ^Ｒを満たし.特に,よく参照される電子の偏極を記述

する便利な基礎を形成します。

　スピノルｕ(ｐ,ｓ),ｖ(ｐ,ｓ)のスピン射影演算子:

Σ(ｓ)＝(1＋γ₅ｓ)/2 のｓ＝±ｓ^Ｒ＝－(±ｓ^Ｌ)に対応する

固有状態は正,または負のhelicity(ヘリシティー)固有状態

として知られています。

　散乱電子の偏極は,Ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)なる量で

測られます。(偏極とはhelicityの期待値(平均値)です。)

　ただし,Ｎ_Ｒは正のhelicity(右巻き)で出現する電子の個数,

Ｎ_Ｌは負のhelicity(左巻き)で出現する電子の個数です。

　Ｎ_Ｒ,Ｎ_Ｌ,および,Ｐは散乱のエネルギーや散乱角の関数で

与えられます。

　さて,右巻きに偏極した入射電子のCoulomb散乱による

散乱電子の偏極Ｐを求めてみます。

　これは,公式：ｄσ/ｄΩ＝(4Ｚ²α²ｍ²/|ｑ|⁴)

Σ_±sf|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i)|² ,および,

定義：Ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)　によって,

次のように与えられます。

すなわち, 

Ｐ＝[|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^Ｒ)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_f^Ｒ)|²

－|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^Ｌ)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i^Ｒ)|²] 

/[|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^Ｒ)γ⁰ｕ(ｐ_i,ｓ_i^Ｒ)|²

＋|ｕ~(ｐ_f,ｓ_f^L)γ⁰ｕ(ｐ_f,ｓ_i^Ｒ)|²]

です。

したがって, 

Ｐ＝[Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｒ)(ｐ_f＋ｍ)} 

－Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｌ)(ｐ_f＋ｍ)}] 

/[Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｒ)(ｐ_f＋ｍ)} 

＋Ｔr{γ⁰(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(1＋γ₅ｓ_f^Ｌ)(ｐ_f＋ｍ)}]
 

＝Ｔr{γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒ(ｐ_i＋ｍ)γ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ(ｐ_f＋ｍ)}

/Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰ (ｐ_f＋ｍ)} です。

(※何故なら,γ₅の後にｓ_i^Ｒ,ｓ_f^Ｒ,ｓ_f^Lを１次でしか含まないもの

のトレースは全て消えるからです。※)
 

結局,入射電子が完全に右巻きである場合の散乱電子

の偏極Ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝Ｐ_Ｒは,

摂動の最低次では,Ｐが, 

Ｐ＝Ｔr{γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒ(ｐ_i＋ｍ)γ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ(ｐ_f＋ｍ)}

/Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)} 

で与えられることがわかりました。

　これのγ₅が含まれない分母＝Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)}

については,既に以前の例で計算済みで, 

分母＝Ｔr{γ⁰(ｐ_i＋ｍ)γ⁰(ｐ_f＋ｍ)}

＝8Ｅ_iＥ_f－4ｐ_iｐ_f＋4ｍ²です。

Coulomb散乱は電子のエネルギーが保存される弾性散乱なので,

Ｅ_f＝Ｅ_i＝Ｅ,ｐ_iｐ_f＝Ｅ²－ｐ²cosθ＝ｍ²＋2β²Ｅ²sin²(θ/2)

を代入すると,分母＝8Ｅ²{1＋β²sin²(θ/2)}　です。

　一方, 分子＝Ｔr{γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒ(ｐ_i＋ｍ)γ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ(ｐ_f＋ｍ)} 

　＝Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒｐ_iγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒｐ_f)

　＋ｍ²Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ)　です。

　これの右辺第１項＝Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒｐ_iγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒｐ_f) 

　＝4ｓ_i^{Ｒ 0}ｓ_f^{Ｒ 0}×2ｐ_iｐ_f－4ｓ_i^Ｒ0ｐ_f ⁰×2ｐ_iｓ_f^Ｒ

　－4ｓ_f^{Ｒ 0}ｐ_i ⁰×2ｓ_i^Ｒｐ_f＋4ｐ_f ⁰ｐ_i ⁰×2ｓ_i^Ｒｓ_f^Ｒ

　－4ｓ_f ^Ｒｓ_i ^Ｒ×ｐ_iｐ_f＋4ｓ_i^Ｒｐ_f ×ｓ_f^Ｒｐ_iですが,
 

ｓ_f ^Ｒｓ_i ^Ｒ＝(Ｅ²/ｍ²)(β²－cosθ),

ｓ_i^Ｒｐ_f＝(Ｅ²β/ｍ)(1－cosθ)＝ｓ_f^Ｒｐ_i etc.より,

結局,右辺第１項＝(4Ｅ⁴/ｍ²)(1－β²)²cosθを得ます。
 

同様にして,右辺第２項＝ｍ²Ｔr(γ⁰γ₅ｓ_i^Ｒγ⁰γ₅ｓ_f^Ｒ)

＝4Ｅ²(β²＋cosθ)　です。

それ故, 分子＝8Ｅ²{1＋(β²－2)sin²(θ/2)}　です。
 

以上から, Ｐ＝(分子)/(分母)

＝{1＋(β²－2)sin²(θ/2)}/{1＋β²sin²(θ/2)} 

＝1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}}

が得られます。
 

これから,相対論的極限(ｍ/Ｅ) → 0,or β → 1では,

Ｐ → 1を見て取れますが,これはCoulomb散乱の高エネルギー

極限では,入射電子の偏りがこの散乱の影響を受けないこと

を示唆しています。
 

もしも入射電子の右巻きの偏極が完全ではなくて,運動方向

に沿って部分的に偏極した入射ビームの場合には,散乱された

電子の偏極Ｐは,入射電子が完全右巻きのときのＰを,

Ｐ₀≡(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}} 

　と書きなおすとき,

　Ｐ＝ｐＰ₀

　＝ｐ(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}} 

　と修正されるはずです。
 

ただし,ｐは入射電子の偏極であり,Ｎ_Ｒ,Ｎ_Ｌをそれぞれ,

入射電子ビームの正,負helicityの電子の個数として,

ｐ＝(Ｎ_Ｒ―Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝Ｐ_Ｒ－Ｐ_Ｌ で与えられます。

　ここで,Ｐ_Ｒ＝Ｎ_Ｒ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)は右偏極率,

Ｐ_Ｌ＝Ｎ_Ｌ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝1－Ｐ_Ｒは左偏極率です。

そこで,Ｐ_Ｒ(1＋γ₅ｓ_i^Ｒ)/2＋Ｐ_Ｌ(1＋γ₅ｓ_i^Ｌ)/2

＝(1＋ｐγ₅ｓ_i^Ｒ)/2なる等式が成立しますが,これを用いれば,

直ちに,Ｐ＝ｐＰ₀

＝ｐ(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}}

なる式が得られます。
 

　したがって,特に初期の入射電子が偏極していない：ｐ＝0

のときは,Coulomb散乱による散乱電子もＰ＝0の非偏極のまま

です。

　ここで,これらの偏極の結果と関わる幾何学的描像として,

スピノル波動関数ｕ(ｐ,ｓ)を有する運動電子のスピンが

単位ベクトル：ｎ^μ＝(0.ｎ)に沿った任意方向となす角度α

を定義します。
 

　すなわち,cosα＝＜Σｎ＞

＝ｕ^＋(ｐ,ｓ)Σｕ(ｐ,ｓ)/ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ) 

＝(1－β²)^1/2ｕ~(ｐ,ｓ)γ₅ｎｕ(ｐ,ｓ)でもって,

ｕ(ｐ,ｓ)のスピンｓがｎとなす角αを定義します。
 

　ただし,Σは対角線上にPauliのσが２つ並んだ４×４行列

です。
 

※(注22-2)：何故なら,

ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝Ｅ/ｍ＝1/(1－β²)^1/2であり, 

Σｎ＝γ⁰γ₅ｎ　です。※
 

再び,射影演算子を挿入すれば, 

cosα=(1－β²)^1/2ｕ~ｐ,ｓ)γ₅ｎｕ(ｐ,ｓ) 

＝(1－β²)^1/2ｕ~_α(ｐ,ｓ)(γ₅ｎ)_αβΣ(ｓ)_βγｕ_γ(ｐ,ｓ) 

＝(1－β²)^1/2(ｐ＋ｍ)_γα(γ₅ｎ)_αβ(1＋γ₅ ｓ)_βγ/(4ｍ) 

＝(1－β²)^1/2Ｔr[(ｐ＋ｍ)(γ₅ｎ)(1＋γ₅ ｓ)]/(4ｍ) 

です。

　さらに,Ｔr[(ｐ＋ｍ)(γ ₅ｎ)(1＋γ₅ ｓ)]

 ＝ｍＴr(γ ₅ｎγ₅ ｓ)＝－ｍＴr(ｎｓ)＝－4ｍｓｎ＝4ｍｓｎ

です。

　スピンｓの方向単位ベクトルｓ^をｓ^＝ｓ/|ｓ|で定義すると, 

|ｓ |＝1/{1－(ｓβ)²}^1/2によってｓ＝{1－(ｓβ)²}^-1/2ｓ^

ですから,結局,cosα＝(1－β²)^1/2ｓｎ

＝[(1－β²)/{1－(ｓβ)²}]^/2ｓ^ｎ  が得られました。
 

これによれば,ｓ⊥βのときは,|cosα|≦(1－β²)^1/2であり,
 

それ故,cosα＝＜Σｎ＞

＝ｕ^＋(ｐ,ｓ)Σｕ(ｐ,ｓ)/ｕ^＋(ｐ,ｓ)ｕ(ｐ,ｓ) 

で定義されたcosαは,

　スピンが運動方向に垂直な場合,電子の速度が大きくなり

β → 1の相対論的極限に達すると消えます。

　一方,スピンが運動速度ベクトルに沿っている謂わゆる

helicity状態では,cosα＝ｓ^ｎ であり,任意方向の単位

ベクトルｎを,特にスピンｓに平行, or 反平行に取った場合

にはcosα＝±1です。
 

この場合の角度αを特にδで表わすことにすれば,

cosδ＝±1です。

　そして,散乱電子ビームに対してcosαの平均値は次式

で与えられます。

すなわち,＜cosα＞＝Σ_±ｓω(ｓ,ｐ)cosα です。

　ただし, ω(ｓ,ｐ)は運動量ｐとスピンｓを持つ与えられた

終状態への遷移確率です。
 

ここでの和：Σ_±ｓは最も便利な選択としては正負のhelicity

状態にわたる和とすることができます。

　するとcosδ＝±1より,

＜cosδ＞＝ω(ｓ^Ｒ,ｐ)－ω(ｓ^Ｌ,ｐ)＝Ｐ と書けます。
 

こうして,散乱された電子のスピンの偏極Ｐがこの電子の

スピンｓと運動量ｐのなす角度δの余弦を決めるという式

を得ました。
 

初期に偏極がｐ＝1であった正helicityの偏極入射電子

のCoulomb散乱では,Ｅ＞＞ｍの高エネルギーで散乱角

がθ＜＜1のとき,

＜ｃosδ＞ ～ ＜1－δ²/2＞ 

＝1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}} 

～ 1－2ｍ²(θ/2) ²/{Ｅ²＋ｍ²(θ/2) ²}1－ｍ²θ²/(2Ｅ²)

.なので,＜δ＞ ～ (ｍ/Ｅ)θ です。

　つまり,散乱電子のスピンと運動量のなす角度δは散乱角θ

　の(ｍ/Ｅ)倍となります。
 

偏極の相対論的極限の評価は,直接,(ｍ/Ｅ) → 0 (or β → 1)

に対して偏極射影演算子を縮約することで,最も簡単に計算を

実行することができます。

この極限では,ｐに平行なｓを持つ縦方向に偏った電子に対

するスピンの射影演算子は,さらに簡単にできます。
 

　β → 1に対して,

ｓ^μ＝ｐ^μ/(ｍβ)－{(1－β²)^1/2/β}ｇ^μ0 

より, β → 1に対して,ｓ^μ → ｐ^μ/ｍ　です。

※(注22－3)：何故なら,|ｓ |＝1/{1－(ｓβ)²}^1/2によって, 

|ｓ^Ｒ|＝1/(1－β²)^1/2ですから,ｓ^Ｒ＝{1/(1－β²)^1/2}(ｐ/|ｐ1 

＝[1/(1－β²)^1/2}ｐ/{ｍβ/(1－β²)^1/2}＝ｐ/(ｍβ) です。
 

また,

ｓ^Ｒ0＝(1－ｓ^Ｒ2)^1/2＝{1－1/(1－β²)}^1/2

＝β/(1－β²) ^1/2＝Ｅβ/ｍ

＝Ｅ/(ｍβ)－Ｅ(1－β²)/(ｍβ) 

＝Ｅ/(ｍβ)－(1－β²)^1/2/β　

を得ます。(注22－3終わり)※
 

そこで, β → 1の極限で

(1±γ₅ｓ^Ｒ)(ｐ＋ｍ)→ (1±γ₅)(ｐ＋ｍ)　です。

断面積を計算する際には,スピンの射影演算子が常にエネルギー

の射影演算子の前に位置するので,

相対論的極限で,(1±γ₅ｓ^Ｒ) → (1±γ₅)なる簡単化が成立

するわけです。

※(注22－4)：何故なら, β → 1の極限でｓ → ｐ/ｍなので,  

(1±γ₅ｓ^Ｒ)(ｐ＋ｍ) → (1±γ₅ｐ/ｍ)(ｐ＋ｍ)ですが, 

ｐ²＝ｐ²＝ｍ²より,(1±γ₅ｐ/ｍ)(ｐ＋ｍ)

＝(ｐ＋ｍ±γ₅ (ｐ²/ｍ＋ｐ)＝(1±γ₅ｓ^Ｒ)(ｐ＋ｍ)

となるからです。(注22－4終わり)※
 

　Coulomb散乱された散乱電子が(ｍ/Ｅ) → 0でさらに偏る

ことはないというＰ＝ｐＰ₀

＝ｐ(1－[2ｍ²sin²(θ/2)/{Ｅ²cos²(θ/2)＋ｍ²sin²(θ/2)}}

 → ｐ の結果は,

こうした極限操作：(1±γ₅ｓ^Ｒ) → (1±γ₅)によって直接

見ることができます。
 

すなわち,相対論的右巻き電子：

ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝{(1+＋γ₅)/2}ｕ(ｐ_i,ｓ_i) が

相対論的左巻き電子：

ｕ(ｐ_f,ｓ_f)＝{(1－γ₅)/2}ｕ(ｐ_f,ｓ_f)

 へと散乱される行列要素は,相互作用がγ^μに比例する

ときは,ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ^μｕ(ｐ_i,ｓ_i)  

＝ ｕ~(ｐ_f,ｓ_f){(1+＋γ₅)/2}γ^μ(1＋γ₅)/2}ｕ(ｐ_i,ｓ_i) 

＝－ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ^μ{(1－γ₅)/2}(1＋γ₅)/2}ｕ(ｐ_i,ｓ_i)＝0 

となります。

　したがって,Coulomb散乱での衝突電子が高エネルギーと

なった相対論的極限では,正のhelicityから負のhelicityへ

の脱偏極は決して起こり得ないことがわかります。
 

この項目はこれで終了なので,今日はここで終わります。


 参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell

“Relativistic Quantum Mechanics”(McGraw-Hill)