弱い相互作用の旧理論(7)(Fermi理論)

弱い相互作用の旧理論の続きです。
 

前回記事の最後では,

(※)例えばν~＋ｐ → ｎ＋ｅ^＋のような散乱過程における

断面積は,エネルギーの２乗と共に増加します。

そして,Ｇ²Ｅ_c.m ² ～ {Ｅ_c.m/(300Ｍ_ｐ)}⁴/Ｅ_c.m²)ですから,

重心系のエネルギーＥ_c.m がＥ_c.m  ～ 300Ｍ_ｐ ～ 300BeV

に達するまでに,弱い相互作用は強い相互作用と同程度に

なり非局所性や高次の作用の効果が非常に重要になると

予測されます。(※)

と書きました。
 

今日は具体的にν~＋ｐ → ｎ＋ｅ^＋の散乱断面積を求めて上記

の言明が成立することを確かめる私の注釈のみをアップします。
 

※(注7-1)：ｍ_ｐ＝ｍ_ｎ＝Ｍ_Ｎとすると,陽子ｐの反ニュートリノ

による散乱(逆β崩壊)：ν~＋ｐ → ｎ＋ｅ^＋のＳ行列要素は,
 

Ｓ_fi＝(－ｉ)(2π)^-6{Ｍ_Ｎ²ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

×(2π)^４δ^４(Ｐ_ｎ＋ｐ_ｅ－Ｐ_ｐ－ｐ_ν~)Ｍ　と書けます。
 

そして,前回確立されたように不変振幅は,
 

Ｍ ＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)γ _μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｐ)] 

×[ｖ_ｅ~(ｐ_ｅ)γ ^μ (1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν=)} 

です。
 

散乱の微分断面積ｄσは,Ｖ,Ｔをそれぞれ散乱相互作用

の体積,時間とすると,
 

ｉ(始状態)からｆ(終状態)への遷移率に,終状態のｎの密度：

(2π)^-3Ｖｄ³Ｐ_ｎ,および,ｅの密度：(2π)^-3Ｖｄ³Ｐ,さらに標的粒子ｐ

の密度：(1/Ｖ)を掛けた遷移率密度：

{|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)(2π)^-6Ｖ³ｄ³Ｐ_ｎｄ³ｐ_ｅを入射流束：

(|ｖ_ν~－ｖ_ｐ|/Ｖ)で割ったもので与えられます。
 

ただし,散乱現象では。Ｖ＝(2π)³δ³(0),Ｔ＝(2π)δ(0)で, 

ＶＴ＝(2π)^４δ^４(0)と同定されるので, 

|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)＝(2π)^-6{Ｍ_Ｎ²ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ) 

×(2π)^４δ^４(Ｐ_ｎ＋ｐ_ｅ－Ｐ_ｐ－ｐ_ν~)|Ｍ |<sup>2

　</sup>であり, また,δ関数式規格化ではＶ＝(2π)³です。
 

それ故,微分断面積は, 

ｄσ＝{(2π)³/(|ｖ_ν~－ｖ_ｐ|)(2π)^-12

{Ｍ_Ｎ²ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}(2π)^-6ｄ³Ｐ_ｎｄ³ｐ_ｅ

×(2π)^４δ^４(Ｐ_ｎ＋ｐ_ｅ－Ｐ_ｐ－ｐ_ν~)|Ｍ |²

です。
 

ところが,慣性中心系(Ｃ.Ｍ系;CM重心系)では

ｐ_ν~＋Ｐ_ｐ＝Ｐ_ｎ＋ｐ_ｅ＝0 ,or Ｐ_ｐ＝－ｐ_ν~,Ｐ_ｎ＝－ｐ_ｅ

です。
 

故に,|ｖ_ν~|＝ｃ＝1＝Ｅ_ν~であり,ｖ_ν~＝ｐ_ν~/Ｅ_ν~,

ｖ_ｐ＝Ｐ_ｐ/Ｅ_ｐ より,

|ｖ_ν~－ｖ_ｐ|＝|(ｐ_ν~/Ｅ_ν~)－(Ｐ_ｐ/Ｅ_ｐ)|

＝|ｐ_ν~|{(1/Ｅ_ν~)＋(1/Ｅ_ｐ)|＝(Ｅ_ν~＋Ｅ_ｐ)/(Ｅ_ν~Ｅ_ｐ)

＝(Ｅ_ν~＋Ｅ_ｐ)/Ｅ_ｐです。
 

ここでまず, ｄ³Ｐ_ｎを実行すると

δ⁴(Ｐ_ｎ＋ｐ_ｅ－Ｐ_ｐ－ｐ_ν~)からδ³(Ｐ_ｎ＋ｐ_ｅ－Ｐ_ｐ－ｐ_ν~)

が消えて,δ(Ｅ_ｎ＋Ｅ_ｅ－Ｅ_ｐ－Ｅ_ν~)だけが残ります。

さらに,ｄ³ｐ_ｅ＝Ｅ_ｅ|ｐ_ｅ|ｄＥ_ｅｄΩ_ｅです。
 

よって,

ｄσ＝(2π)^-2{Ｍ_Ｎ²ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ) Ｅ_ｐ/(Ｅ_ν~＋Ｅ_ｐ)  

×δ(Ｅ_ｎ＋Ｅ_ｅ－Ｅ_ｐ－Ｅ_ν~)|Ｍ |²|ｐ_ｅ|Ｅ_ｅｄＥ_ｅｄΩ_ｅ

です。
 

右辺の|Ｍ |²については,全ての粒子が各々特定に偏極している

と仮定した場合の不変振幅の絶対値の２乗である 

|Ｍ |²＝(Ｇ²/2)|ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｐ)|²

　　×|ｖ_ｅ~(ｐ_ｅ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)|² 

　の代わりに,非偏極と考えて,不変振幅の絶対値の２乗

を核子ｐ.ｎのスピンと,反ニュートリノ,電子のスピン

で総和を取って,中性子ｎのスピンで平均したもので置

き換えます。すなわち,次式で置き換えます。

　つまり,∑_ＳｐＳｎ∑_ｅe,ｓν~|Ｍ |²

＝(Ｇ²/2)(1/2)∑_ＳｐＳｎ|ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｐ)|²

 ×∑_ｅe,ｓν~|ｖ_ｅ~(ｐ_ｅ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)|²

  ＝(Ｇ²/4){1/(4Ｍ_Ｎ²)}

∑_μνＴr[(Ｐ_ｎ＋Ｍ_Ｎ)γ_μ(1－αγ₅)(Ｐ_ｐ＋Ｍ_Ｎ)γ_ν(1－αγ₅)] 

×{1/(2ｍ_ｅ)}Ｔr[ｐ_νγ^μ(1－γ₅)(ｐ_ｐ＋ｍ_ｅ)γ^ν(1－γ₅)] 

　を不変振幅による確率密度の因子とするわけです。
 

そして,核子部分のトレースは,
 

Ｔr[(Ｐ_ｎ＋Ｍ_Ｎ)γ_μ(1－αγ₅)(Ｐ_ｐ＋Ｍ_Ｎ)γ_ν(1－αγ₅)] 

＝Ｔr[(Ｐ_ｎ＋Ｍ_Ｎ)γ_μ(1＋α²－2αγ₅)Ｐ_ｐγ_ν

＋Ｍ_Ｎ(1ーα²)Ｔr[(Ｐ_ｎ＋Ｍ_Ｎ)γ_μγ_ν] 

＝(1＋α²)Ｔr(Ｐ_ｎγ_μＰ_ｐγ_ν)－2αＴr(γ₅Ｐ_ｎγ_μＰ_ｐγ_ν) 

＋Ｍ_Ｎ²(1＋－α²)Ｔr(γ_μγ_ν)
 

＝4(1＋α²)(Ｐ_ｎμＰ_ｐν＋Ｐ_ｎνＰ_ｐμ－ｇ_μνＰ_ｎＰ_ｐ)

＋4Ｍ_Ｎ²((1ーα²)ｇ_μν 

＋8iα∑_αβγδ ε^αβγδＰ_ｎαｇ_μβＰ_ｐγｇ_νδ)　です。
 

一方,レプトン部分のトレースは,
 

Ｔr[γ ^ν(1－γ₅)ｐ_νγ^μ(1－γ₅)(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)] 

＝2Ｔr[γ^ν(1－γ₅)ｐ_ν~γ ^μ(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)]
 

＝2Ｔr(γ^νｐ_ν~γ ^μｐ_ｅ)＋2Ｔr(γ₅γ^νｐ_ν~γ ^μｐ_ｅ) 

＝8(ｐ_ν~^νｐ_ｅ^μ＋ｐ_ν~^μｐ_ｅ^ν＋－ｇ^νμｐ_ν~ｐ_ｅ) 

＋8i∑_ρστηε_ρστηｐ_ν~^ρｇ^νσｐ_ｅ^τｇ^μη)　です。
 

核子のトレースとレプトンのトレースの積を取り,

総和∑_μνを取ると,μ,νについて対称な項と反対称な項

の積は消えます。
 

反対称項同同士の積は, 

＝－64α∑_μν∑_αγρτ [ε^αβμγνε_ρντμＰ_ｎαＰ_ｐγｐ_ν~^ρｐ_ｅ^τ]

ですが,
 

∑_μνε^αμγδε_ρντμ ＝ 2(δ^α_ρδ^γ_τ－δ^α_τδ^γ_ρ)

なので,これは, 

－128α∑_αγρτ(δ^α_ρδ^γ_τ－δ^α_τδ^γ_ρ)Ｐ_ｎαＰ_ｐγｐ_ν~^ρｐ_ｅ^τ 

＝－128α[(Ｐ_ｎｐ_ν~)(Ｐ_ｐｐ_ｅ)－(Ｐ_ｎｐ_ｅ)(Ｐ_ｐｐ_ν~)]

となります。
 

また,対称項同同士の積は, 

32(1＋α²)(Ｐ_ｎｐ_ν~)(Ｐ_ｐｐ_ｅ)＋(Ｐ_ｎｐ_ｅ)(Ｐ_ｐｐ_ν~)

－32Ｍ_Ｎ²(1－α²)( ｐ_ν~ｐ_ｅ)　です。
 

それ故,

∑_ＳｐＳｎ∑_ｅe,ｓν~|Ｍ |²＝{Ｇ²/(ｍ_ｅＭ_Ｎ²)} 

×[(1＋α)²(Ｐ_ｎｐ_ｅ)(Ｐ_ｐｐ_ν~)＋(1ーα)²(Ｐ_ｎｐ_ν~)(Ｐ_ｐｐ_ｅ)

－Ｍ_Ｎ²((1ーα²)(ｐ_ν~ｐ_ｅ)]　です。
 

そして,(Ｐ_ｎｐ_ｅ)(Ｐ_ｐｐ_ν~)

＝(Ｅ_ｎＥ_ｅ＋ｐ_ｅ²)(Ｅ_ν~Ｅ_ｐ＋Ｅ_ν~²) ,かつ,

(Ｐ_ｎｐ_ν~)(Ｐ_ｐｐ_ｅ)

＝(Ｅ_ｎＥ_ν^＋ｐ_ｅｐ_ν~)(Ｅ_ｐＥ_ｅ＋ｐ_ν~ｐ_ｅ),
 

そして, ｐ_ν~ｐ_ｅ＝Ｅ_ν~Ｅ_ｅ－ｐ_ν~ｐ_ｅです。 

ｐ_ｅ²＝Ｅ_ｅ²β_ｅ²,ｐ_ｅｐ_ν~＝Ｅ_ｅＥ_ν^β_ｅcosθ_C.M
 

故に, 

(1＋α)²(Ｐ_ｎｐ_ｅ)(Ｐ_ｐｐ_ν~)＋(1－α)²(Ｐ_ｎｐ_ν~)(Ｐ_ｐｐ_ｅ)

－Ｍ_Ｎ²((1ーα²)(ｐ_ν~ｐ_ｅ)] 

＝(1＋α)²(Ｅ_ｎＥ_ｅ＋Ｅ_ｅ²β_ｅ²²)(Ｅ_ν~Ｅ_ｐ＋Ｅ_ν~²) 

＋(1－α)²(Ｅ_ｎＥ_ν^＋Ｅ_ｅＥ_ν^β_ｅcosθ_C.M)

(Ｅ_ｐＥ_ｅ＋Ｅ_ｅＥ_ν^β_ｅcosθ_C.M)

－Ｍ_Ｎ²((1ーα²)(Ｅ_ν~Ｅ_ｅ－Ｅ_ｅＥ_ν^β_ｅcosθ_C.M) 

＝(Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)[(1＋α)²(1＋Ｅ_ν~/Ｅ_ｐ){1＋(Ｅ_ｅ/Ｅ_ｎ)β_ｅ²} 

＋(1－α)²{1＋(Ｅ_ｐ/Ｅ_ｎ)β_ｅcosθ_C.M}{1＋(Ｅ_ν~/Ｅ_ｐ)β_ｅcosθ_C.M}

－(1－α²){Ｍ_Ｎ²/(Ｅ_ｎＥ_ｐ)(1－β_ｅcosθ_C.M)}
 

ｄΩ_ｅCM.の積分を実行するとcosθ_C.M}の１次の項は消えます。 

また,∫_-1¹cos²θｄ(cosθ)＝2/3より

∫_-cos²θｄΩ＝1/3です。
 

故に,(1/2)∑_ＳｐＳｎ∑_ｅe,ｓν~|Ｍ　|²ｄΩ_ｅCM.

＝{4πＧ²/(ｍ_ｅＭ_Ｎ²))(Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ) 

×[(1＋α)²(1＋Ｅ_ν~/Ｅ_ｐ){1＋(Ｅ_ｅ/Ｅ_ｎ)β_ｅ²}

＋(1－α)²{1＋(Ｅ_ｎ~/3Ｅ_ｎ)β_ｅ²}－(1－α²)Ｍ_Ｎ²/(Ｅ_ｎＥ_ｐ)}

です。
 

そこで,

ｄσ＝(2π)^-2{Ｍ_Ｎ²ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)[Ｅ_ｐ/(Ｅ_ν~＋Ｅ_ｐ)]  

×δ(Ｅ_ｎ＋Ｅ_ｅ－Ｅ_ｐ－Ｅ_ν~)|Ｍ　|²|ｐ_ｅ|Ｅ_ｅｄＥ_ｅｄΩ_ｅ

の|Ｍ |²ｄΩ_ｅの因子を,

すぐ上のスピン和と平均を立体角:ｄΩ_ｅC.Mで積分済みの式:

∫ｄΩ_ｅC.M(1/2)∑_ＳｐＳｎ∑_ｓe,ｓν~|Ｍ　|²ｄΩ_ｅC.M

で置き換えて,最後に残るｄＥ_ｅ積分を実行すれば,

総断面積σとして,
 

σ­＝{Ｇ²/(2π)}β_ｅＥ_ｐ²{(1＋α)²[{1＋(Ｅ_ｅ/Ｅ_ｎ)β_ｅ²}

＋(1－α)²{[Ｅ_ｐ/(Ｅ_ν~＋Ｅ_ｐ){1＋(Ｅ_ｎ~/3Ｅ_ｎ)β_ｅ²}

－{(1－α²)Ｍ_N²/(Ｅ_ｎ(Ｅ_ν~＋Ｅ_ｐ))} |_{Ｅe＝Ｅｐ＋Ｅν~－Ｅn}

　が得られます。
 

慣性中心系(Ｃ.Ｍ系)のＥ_ｐ,Ｅ_ν~,および, ｐ_ｐ,ｐ_ν~は初期条件

として与えられます。
 

そして,終状態では,ｐ_ｅ＋ｐ_ｎ＝0 により,ｐ_ｎ＝－ｐ_ｅですから,

エネルギーの保存則：

(ｐ_ｅ²＋Ｍ_Ｎ²)^1/2＋(ｐ_ｅ²＋ｍ_ｅ²)^1/2＝Ｅ_ν~＋Ｅ_ｐによって

|ｐ_ｅ|が決まります。
 

さらに,この|ｐ_ｅ|からＥ_ｅ,Ｅ_ｐ および,β_ｅ＝|β_ｅ|＝|ｐ_ｅ|/Ｅ_ｅ

も求まります。
 

高エネルギー(Ｅ_ν → 大)ではＥ_ｐ,Ｅ_ｅ,Ｅ_ｅ,Ｅ_ν~は

Ｍ_Ｎやｍ_ｅよりはるかに大きく,これら全てが,

Ｅ_ｅ ～ |ｐ_ｅ|,β_ｅ＝|β_ｅ|＝1に等しく同じオーダー

　になります。
 

したがって,σ­∝Ｇ²Ｅ_ｅ²が得られました。(注7-1終わり)※
 

(注)だけという内容で短かいですが,今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)