Dirac方程式の導出(3)

Dirac方程式の導出の続きです。

§1.4 非相対論との対応(Nonrelativisticcorrespondence)

　　Dirac方程式のLorentz不変性を確立するという問題を論じる前に,

まず,方程式が物理的意味をなすことを見ることの方が,

恐らくより切実な課題です。
 

　単一の自由電子を想定し,静止した１つの電子に対応する独立な解

の個数をカウントすることから始めます。

　４元運動量がｐ^μ＝(Ｅ/ｃ,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)＝(Ｅ/ｃ.ｐ)の自由粒子の 

波動関数をΨとすると,このΨは,iｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝ＥΨ, 

iｈ_c(∂Ψ/∂ｘ_k)＝－iｈ_c(∂Ψ/∂ｘ^k)＝ｐ^kΨ　(ｋ＝1,2,3)

を満たす,4元運動量の同時固有状態です。

　静止した粒子の4元運動量は,ｐ^μ＝(Ｅ/ｃ,ｐ)＝(ｍｃ,0)ですから, 

この場合はΨはiｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝ｍｃ²Ψ, －iｈ_c(∂Ψ/∂ｘ^k)＝0  

(ｋ＝1,2,3)を満たすはずです。
 

したがって,この場合はDirac方程式: 

iｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝Σ_k=1³(－iｃｈ_c)α_k(∂Ψ/∂ｘ^k)＋βｍｃ^２Ψは 

単にiｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝βｍｃ^２Ψ　となります。
 

βの固有値は２個が＋１で２個がー1ですが,先に与えたβを対角成分

が1,－１の4×4対角行列とする特別な標示では,βの＋1に属する

固有ベクトルは係数を除いて.ｗ⁽¹⁾≡[1,0,0,0]^T,および,

ｗ⁽²⁾≡[0,1,0,0]^Tです。
 

また,固有値－1に属する固有ベクトルはｗ⁽³⁾≡[0,0,1,0]^T, 

および,ｗ⁽⁴⁾≡[0,0,1,0]^Tです。
 

そこで, iｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝βｍｃ^２Ψの独立な解は, 

Ψ⁽¹⁾＝exp(-iｍｃ^２ｔ/ｈ_ｃ)ｗ⁽¹⁾,Ψ⁽²⁾＝exp(-iｍｃ^２ｔ/ｈ_ｃ)ｗ⁽²⁾, 

Ψ^(３)＝exp(iｍｃ^２ｔ/ｈ_c)ｗ^(3),,Ψ⁽⁴⁾＝exp(iｍｃ^２ｔ/ｈ_c)ｗ⁽⁴⁾ 

のように具体的な形で表わすことができます。
 

最初の２つΨ⁽¹⁾,Ψ⁽²⁾はiｈ_c(∂Ψ^(ｋ)/∂ｔ)＝ｍｃ²Ψ^(ｋ),(ｋ＝1,2)

を満たし,正エネルギー＋ｍｃ²に対応しますが,後の２つΨ⁽³⁾,Ψ⁽⁴⁾

は,iｈ_c(∂Ψ^(ｋ)/∂ｔ)＝－ｍｃ²Ψ^(ｋ),(ｋ＝3,4)を満たし

負エネルギー(負質量)Ｅ＝－ｍｃ²に対応します。
 

２次形式:Ｈ^２＝ｐ²ｃ²＋ｍ²ｃ⁴をそのまま量子論の波動方程式に

定式化したために,異質な負エネルギー解という非常な困難を

導きましたが,これの解決が.反粒子の形成理論において重要な役目

を果たすことに導きます。

しかし,こうしたことは第５章の空孔理論において到達することで,

今のところは受け入れ可能な正エネルギーの解のみに限定して考察

します。
 

特にそれらは非相対論的極限でPauliの２成分スピン理論に帰着

することを示します。
 

この目的のために４元ポテンシャル:Ａ^μ＝(Φ/ｃ,Ａ)で記述される

電磁場との相互作用を導入します。
 

ただし,ここでの電磁場＝電磁ポテンシャルＡ^μは,電機場を

光子(電磁波)の集まりとして量子化(第２量子化＝場の量子化)

した場＝演算子ではなく,取りあえず.対象の電子とは独立に外部

から与えられた外場＝ｃ数の古典場とします。
 

この外電磁場と元の自由電子とが相互作用する合成系の記述は,

古典相対論力学での点電荷の電磁場との相互作用の記述において

実施され,謂わゆる極小相互作用(minimal coupling)として知られて

いるゲージ不変な置換:ｐ^μ → ｐ^μ－ｅＡ^μによって導入されます。
 

今の量子論のケース「では,ｐ^μはｐ^μ → iｈ_c(∂/∂ｘ_μ)と量子化

されて4元運動量演算子となっているので,極小作用の電磁相互作用

はiｈ_c(∂/∂ｘ_μ) → iｈ_c(∂/∂ｘ_μ)－ｅＡ^μなるっ置換で実現

されます。
 

これは,演算子としては,

Ｈ＝iｈ_c(∂/∂ｔ) → Ｈ－ｅΦ＝iｈ_c(∂/∂ｔ)－ｅΦ 

ｐ＝－iｈ_c∇ → ｐ－ｅＡ＝－iｈ_c∇－ｅＡ 

を意味します。
 

それ故, 自由粒子のDirac方程式: 

iｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝Σ_k=1³(－iｃｈ_c)α_k(∂Ψ/∂ｘ^k)＋βｍｃ^２Ψ

において４次の係数行列の組:(α₁,α₂,α₃)を,3次元ベクトルと

見なしてαで表現した方程式:

ＨΨ＝iｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝－ｃα(iｈ_c∇Ψ)＋βｍｃ^２Ψ 

に相互作用を導入すると,
 

iｈ_c(∂Ψ/∂ｔ)＝[ｃα(ｐ－ｅＡ)＋βｍｃ^２＋ｅΦ]Ψ 

となります。(ｅ＜0は電子の電荷です。)
 

この方程式が,Dirac粒子に対して極小相互作用を導入した式です。
 

Dirac粒子は点電荷であることが想定されていて周りに電磁場を

纏っています。
 

非相対論的量子論で扱った摂動論との比較を強調するなら, 

系のHamiltonianＨをＨ＝Ｈ₀＋Ｈ'としてＨは自由粒子単独の 

Hamiltonian:Ｈ₀＝ｃαｐ＋βｍｃ^２に相互作用の

摂動Hamiltonian:Ｈ’＝－ｅｃαＡ＋ｅΦが加わったという形

になります。
 

このとき,行列ｃαは,電荷がｅの点電荷の相互作用の古典表現

での速度ｖを演算子に書き換えたものとして出現しています。
 

すなわち,古典論でのこうした系の摂動Ｈ'に対応する」Hamilton

関数は,Ｈ_classical＝－ｅｖＡ＋ｅΦで与えられるからです。
 

この演算子としての対応:ｖ_op＝ｃαは, ここでの流速ベクトルｊ

の表現:ｊ^ｋ＝ｃΨ^＋α_kΨ,orｊ=Ψ^＋(ｃα)Ψが,古典的には

ｊ＝ρｖに対応することを見ても明らかです。
 

これはまた,Ehrenfestの方程式の相対論的拡張を行なえば直接

導かれます。
 

※(注1):空間座標ｘに対するHeisenbergの運動方程式は, 

ｄｘ/ｄｔ＝(i/ｈ_c)[Ｈ,ｘ]＝(i/ｈ_c) [Ｈ₀－ｅｃαＡ＋ｅΦ,ｘ] 

＝(i/ｈ_c)ｃα[ｐ,ｘ]＝ｃαです。

何故ならｄｘ^j/ｄｔ

＝(i/ｈ_c)ｃα[ｐ,ｘ^j]＝(i/ｈ_c)Σ_ｋ=1³α_k[ｐ^ｋ,ｘ^j] 

であって,ｐとｘの交換関係が,[ｐ^ｋ,ｘ^j]＝―iｈ_ｃδ_kjであるから

です。

　最左辺のｄｘ/ｄｔは位置座標の時間微分なので速度ｖに他なり

ません。

したがって,最右辺のｃαは速度ｖのｘ表示での演算子:ｖ_opという意味 

を持ちます。(注1終わり)※
 

※(注2):ここで古典物理学での電磁場の中の点電荷の運動の力学を

復習します。
 

一般に,系のLagrangian＝Lagrange関数を

Ｌ＝Ｌ(ｘ,ｖ,ｔ);ｖ＝ｘ^d≡ｄｘ/ｄｔとすると,この系の

LagrangianＬはその時間ｔによる積分:∫Ｌｄｔが作用Ｓを 

与えるとき,粒子の実際の軌道がこのＳを最小とするように

与えられます。
 

軌道の両端を固定したときＳが最少になる条件は変分原理：

δＳ＝δ∫Ｌｄｔ＝0から決まり、これは

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)－∂Ｌ/∂ｘ＝0なる微分方程式に帰着 

します。この方程式をEuler-Lagrange方程式といいます。
 

　質量がｍの自由粒子(質点)のLagrangian:Ｌ=Ｌ₀は,古典的には

非相対論ではＬ₀＝ｍｖ²/2ですが相対論を考慮した場合は

Ｌ₀＝－ｍｃ²(1－β²)^1/2;β＝ｖ/ｃです。

解析力学では,系の共役運動量量:ｐを,ｐ＝∂Ｌ/∂ｖで定義

します。
 

単一の粒子の他に影響されるものが何もない自由粒子１個のみ

の系の場合は,LagrangianはＬ＝Ｌ₀とおいて.この場合の共役

運動量:ｐ＝∂Ｌ₀/∂ｖは,非相対論の場合のＬ＝Ｌ₀＝ｍｖ²/2

ではｐ＝∂Ｌ₀/∂ｖ＝ｍｖであり,

相対論の場合のＬ＝Ｌ₀＝－ｍｃ²(1－β²)^1/2なら

ｐ＝∂Ｌ₀/∂ｖ＝ｍｖ(1－β²)^-1/2ですが.いずれも普通の力学で

意味する質点の運動量に一致します。
 

通常の力Ｆがｘだけに依存する位置エネルギーＶによって,Ｆ＝-∇Ｖ

で与えられる保存力の場(∇×Ｆ＝0)の場合,運動エネルギーをＴ

とすると,ｐ＝∂Ｔ/∂ｖ,Ｆ＝-∇Ｖ＝－∂Ｖ/∂ｘであり,Ｔはｘ

には無関係,Ｖはｖには無関係なので,Ｌ＝Ｔ－Ｖとおけば,

Ｌ₀＝ＴよりＬ＝Ｌ₀－Ｖでこの場合もｐ＝∂Ｌ/∂ｖ＝∂Ｌ₀/∂ｖ

となって,

Euler-Lagrange方程式:ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)－∂Ｌ/∂ｘ＝0 が

古典力学の質点の運動方程式:ｄｐ/ｄｔ＝-∇Ｖ＝Ｆに一致します。
 

一方,質量ｍの自由粒子が電荷ｅを持つ点電荷で,周りに電場Ｅ,

磁場Ｂがあるとき,電磁気学によるとスカラーポテンシャルをΦ,

ベクトルポテンシャルをＡとして,Ｅ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ,

Ｂ＝∇×Ａと表現できます。
 

そして,電荷がｅの点電荷が電場,磁場から受ける力Ｆは

Ｆ＝ｅ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)と書けます。
 

ところが,(ｖ×Ｂ)ⁱ＝(ｖ×∇×Ａ)ⁱ＝Σ_jkΣ_lmε_ijkｖ^jε_klm∂_lＡ^m 

＝Σ_jlmδ(δ_ilδj_m－δ_iｍδ_jl)ｖ^j∂_lＡ^m＝ｖ^j∂_iＡ^j－ｖ^j∂_jＡⁱ

＝∂_i(ｖＡ)－(ｖ∇)Ａ^jですから, 

Ｅ＋ｖ×Ｂ＝－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ＋∇(ｖＡ)－(ｖ∇)Ａ　

です。
 

故に, Ｆ＝ｅ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)

＝ｅ{－∇Φ－∂Ａ/∂ｔ＋∇(ｖＡ)－(ｖ∇)Ａ}

と書けます。
 

しかし,さらにｄＡ/ｄｔ＝∂Ａ/∂ｔ＋(ｖ∇)Ａと変形できます

から,結局,Ｆ＝－ｅ∇Φ＋ｅ∇(ｖＡ)－ｅｄＡ/ｄｔと書けます。
 

仮に,Ｅ＝－∇Φ,Ｂ＝0の静電気のみの場合なら,

Ｆ＝ｅＥ＝－ｅ∇Φですから,Ｔ＝Ｌ₀,Ｖ＝ｅΦとすれば

通常のＬ＝Ｔ－Ｖの形を採用して,

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)－∂Ｌ/∂ｘ＝0 が,相対論,非相対論

共通の運動方程式:ｄｐ/ｄｔ＝－∇Ｖ＝Ｆに一致するのは

明らかで,このときは保存力場の方法が当てはまります。
 

しかし,今のＥもＢも存在してゼロではなく,受ける電磁的力

がＦ＝ｅ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)＝－ｅ∇Φ－ｅｄＡ/ｄｔ＋ｅ∇(ｖＡ)で

与えられるときには,
 

(ｄ/ｄｔ){∂(ｖＡ)/∂ｖ)－∂(ｖＡ)/∂ｘ

＝ｄＡ/ｄｔ－∇(ｖＡ)ですから,
 

Ｌ＝Ｔ－Ｖ＝Ｌ₀－ｅΦだけでなく,Ｌ＝Ｌ₀－ｅΦ＋ｅｖＡと

すれば,共役運動量はｐ＝∂Ｌ/∂ｖ＝∂Ｌ₀/∂ｖ＋ｅＡですが,

これは自由な質点粒子の運動量：∂Ｌ₀/∂ｖ(＝ｍｖ(非相対論),

＝ｍｖ(1－β²)^-1/2(相対論))とそれに付随する電磁場の運動量:

ｅＡの和です。
 

Euler-Lagrange方程式:(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)－∂Ｌ/∂ｘ＝0 

は,ｄｐ/ｄｔ＝∂Ｌ/∂ｘ＝∇Ｌ,ｐ＝∂Ｌ₀/∂ｖ＋ｅＡより, 

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ₀/∂ｖ)＋ｅｄＡ/ｄｔ＝－ｅ∇Φ＋ｅ∇(ｖＡ) 

となって,

運動方程式:(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ₀/∂ｖ)＝ｅ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)

を得ます。
 

これは非相対論ならｄ(ｍｖ)/ｄｔ＝ｅ(Ｅ＋ｖ×Ｂ),

相対論なら, 

ｄ{ｍｖ(1－β²)^-1/2}/ｄｔ＝ｅ(Ｅ＋ｖ×Ｂ)ですから正しい

運動方程式に一致します。
 

このとき,HamiltonianＨは,Ｈ＝ｐｖ－Ｌで与えられるため. 

これを電磁場のない自由点電荷のそれＨ₀＝ｐｖ－Ｌ₀と比較すれば, 

Ｈ＝ｐｖ－Ｌ₀＋ｅΦ－ｅｖＡ＝Ｈ₀＋ｅΦ－ｅｖＡです。
 

しかし,上の手順では,Ｈ,Ｈ₀はｘとｐの関数ですから,ｖをｐで

表わす操作が抜けていて,結果は信頼性に欠けます。
 

具体的に書いてみると,非相対論では自由質点ではＬ₀＝ｍｖ ²/2

ですがｖ＝ｐ/ｍなのでＨ₀＝ｐｖ－Ｌ₀＝ｐｖ－ｍｖ ²/2＝ｐ²/(2ｍ),

電磁場のある場合はＬ＝Ｌ₀－ｅΦ＋ｅｖＡで,ｖ＝(ｐ－ｅＡ)/ｍ

ですから,Ｈ＝ｐｖ－Ｌ＝ｐｖ－ｍｖ ²/2＋ｅΦ－ｅｖＡ 

＝ｐ(ｐ－ｅＡ)/ｍ－(ｐ－ｅＡ)²＋ｅΦ－ｅ(ｐ－ｅＡ)Ａ/ｍ 

＝(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)＋ｅΦ　です。
 

それ故,Ｈ＝Ｈ₀＋Ｈ'と書けば,ｐ＝ｍｖ＋ｅＡで 

Ｈ'＝－ｐｅＡ/ｍ＋ｅ²Ａ²/(2ｍ)＋ｅΦより,確かに 

Ｈ'＝－ｅｖＡ＋eΦが得られます。
 

Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)とＨ＝(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)＋ｅΦ　の比較から, 

Ｈ＝ｐ²/(2ｍ)においてｐ → ｐ－ｅＡ,Ｈ → Ｈ－ｅΦなる変換

を行なうと正しい関係式：Ｈ－ｅΦ＝(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)を得る

ことがわかります。

これが極小相互作用変換の意味でした。
 

一方,相対論ではＬ₀＝－ｍｃ²(1－β²)^1/2,ｐ＝ｍｖ(1－β²)^-1/2,

Ｈ₀＝ｐｖ－Ｌ₀＝ｍｃ²β²(1－β²)^-1/2＋ｍｃ²(1－β²)^1/2 

＝ｍｃ²(1－β²)^-/2より,Ｈ₀＝(ｃ²ｐ²＋ｍ²ｃ⁴)^1/2です。
 

これは,相対論的関係式Ｅ²＝ｃ²ｐ²＋ｍ²ｃ⁴からＨ₀＝Ｅを意味

しています。
 

非相対論と同じ手順で,Ｈ＝(ｃ²ｐ²＋ｍ²ｃ⁴)^1/2でｐをｐ－ｅＡ)に

置き換えてｅΦを加えればＨになることもわかります。

Ｈ＝{ｃ²(ｐ－eＡ)²＋ｍ²ｃ⁴)}^1/2＋ｅΦ です。
 

故に,,Ｈ’＝{ｃ²(ｐ－ｑＡ)²＋ｍ²ｃ⁴)}^1/2＋eΦ－(ｃ²ｐ²＋ｍ²ｃ⁴)^1/2 

です。
 

なお,電磁場の単位は有理単位,ヘビサイド,ＳＩ,ＭＫＳＡなどと 

色々あるので係数を明確には書きませんが,ここまでの論議は 

∫ｄ³ｘ(Ｅ²＋Ｂ²)＝∫ｄ³ｘ[(∇Φ＋∂Ａ/∂ｔ)²＋(∇×Ａ)²] 

に比例した電磁場自身のエネルギーなどの存在を度外視して

います。
 

部分的には,系の運動量ｐは.電荷の運動量ｍｖの他に電磁場

の運動量ｅＡが加わり,また,エネルギーとしてもｅΦが加えられ

ていて点電荷の運動に直接影響する部分だけは取り入れられて

います。 (注2終わり)※
 

さて,長くなったのでひとまず終わります。

参考文献: J.D.Bjorken & S.D.Drell“Relativistic QuantumMechanics"(MacGrawHill)