Dirac方程式の解
Dirac方程式の導出の続きとして,その自由粒子の平面波の解
の導出過程を2010年の過去記事「散乱の伝播関数の理論(8)」,
および,「散乱の伝播関数の理論(9)」から抜粋して再掲しよう
と思います。要するに得意の手抜き記事のiつですが。。
ただし，以下では素粒子理論などでは普通のｃ＝ｈc＝1の
自然単位 を用います。(hはPlank定数；ｈc＝ｈ/(2π))
※↓以下,過去記事の再掲載です。
自由粒子のDirac方程式:
(iγμ∂μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 の一般解Ψ(ｘ)の導出過程を
記述します。
２行２列のPauliのスピン行列をσ＝(σ1,σ2,σ3)とします。
また,同じく２×２行列ですが単位行列を１2とします。
です。
Pauli行列の主要な性質としては,交換関係:
[σi,σj]＝σiσj－σjσi＝2iεijkσk,および,
反交換関係:{σi,σj}＝{σi,σj}＋＝σiσj＋σjσi＝2δij
が成立する。ということがあります。
ただし,[Ａ,Ｂ]≡ＡＢ－ＢＡ,{Ａ,Ｂ}≡{Ａ,Ｂ}＋≡ＡＢ＋ＢＡ
です。
４行４列の行列:βを２つの２×２対角細胞が１2,－１2で
非対角細胞が02の対角細胞型行列とします。
また,４行４列の行列ベクトル:α＝(α1,α2,α3)を対角成分
が 02で,２つの非対角成分が共にσ＝(σ1,σ2,σ3)である行列
とします。
容易にわかるように,{αi,αj}＋＝αiαj＋αjαi＝2δij,
{αi,β}＋＝αiβ＋βαi＝0,β2＝1です。
そこで,γ0≡β,γ≡βα,or (γ1,γ2,γ3)≡(βα1,βα2,βα3)
なる表示を採用すると,これらの{γμ}μ=0,1,2,3は確かにDirac行列
が満たすべき条件:{γμ,γν}＋＝2ｇμνを満足します。
ただし,Minkowski計量(metric)としては,ｇ00＝1,ｇ0i＝0,
ｇij＝－δijを採用しています。
Dirac方程式(iγμ∂μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 の解である波動関数
(Dirac-spinor):Ψ(ｘ)は４行１列の縦ベクトルです。
(※ 余談ですが,世界がｄ次元のMinkowski時空なら,その時空で
の Dirac-spinor(スピノール)は,２成分-spinorの(ｄ/2)個の直積
(＝tensot:テンソル)で与えられるため,その次数は,2d/2 です。)
このDirac方程式の変数分離解をΨ(ｘ)＝ｗ(ｐ)exp(－iｐｘ)と
書けば,ｗ(ｐ)も４元spinorで,方程式:(γμｐμ－ｍ)ｗ(ｐ)＝0
を満足します。
粒子の４元運動量は自然単位でｐμ＝(Ｅ,ｐ)ですが,特に粒子と
共に運動していて,粒子が静止している(ｐ＝0)と見える"運動座
標系＝静止系"Ｓ0では,ｐμ＝(Ｅ,ｐ)＝ｐ0μ≡(±ｍ,0)です。
(↑ ※ｐ0μ＝(±ｍ,0)として,負の静止エネルギー:Ｅ＝－ｍの解
も捨てず,率直に独立解として採用するのがミソです。)
このＳ0系での変数分離解は,ｐ0μ＝(±ｍ,0)の±に応じて,
Ψ0(ｘ)＝ｗ(0)exp(－iｍｔ),または,Ψ0(ｘ)＝ｗ(0)exp(iｍｔ)
です。
そこで,(iγμ∂μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0;Ψ(ｘ)＝ｗ(ｐ)exp(－iｐｘ)
による(γμｐμ－ｍ)ｗ(ｐ)＝0 は,ｐ00＝ｍならγ0ｗ(0)＝ｗ(0),
ｐ00＝－ｍならγ0ｗ(0)＝－ｗ(0) です。
したがって,静止系での変数分離解Ψ0(ｘ)は,γ0ｗ±(0)＝±ｗ±(0)
(複号同順)を満たすγ0の２つの独立な固有ベクトルｗ±(0)を用いて
Ψ0＋(ｘ)＝ｗ+(0)exp(－iｍｔ),および,
Ψ0－(ｘ)＝ｗ－(0)exp(iｍｔ) と表わされます。
γ0の固有ベクトルｗ±(0)のうち,固有値＋1の固有ベクトル:
ｗ+(0)は,(1,0,0,0)T,(0,1,0,0)Tの１次結合で与えられます。
また,固有値が－1の固有ベクトルｗ(-)(0)は,(0,0,1,0)T,
(0,0,0,1)Tの１次結合です。
そこで,独立な４つを改めて,ｗ(1)(0)≡(1,0,0,0)T,
ｗ(2)(0)≡(0,1,0,0)T,ｗ(3)(0)≡(0,0,1,0)T,
ｗ(4)(0)≡(0,0,1,0)T と定義します。
(↑ ※ 右上添字Ｔは行列の転置(transport)を示します。
そこで,行(横)ベクトルの右肩添字Ｔは列(縦)ベクトルを
意味します。※)
すると,静止系での４つの独立解は,
ψ0(r)(ｘ)＝ｗ(r)(0)exp(－iεrｍｔ)(ｒ＝1,2,3,4)
で与えられることになります。
ただし,符号関数εrは,εr≡1 (ｒ＝1,2),εr≡－1 (ｒ＝3,4)
で定義されます。
したがって,静止系での自由粒子の一般解Ψ0(ｘ)は,Ψ0(r)(ｘ)の
１次結合で表わせます。
一方,Lorentz変換(4次元回転):ｘ'μ＝ａμνｘν,
または略記法でｘ'＝ａｘに伴なう波動関数のLorentz回転:
Ψ'α(ｘ')＝Ψ'α(ａｘ)≡Ｓαβ(ａ)Ψβ(ｘ) (成分表記)
または,Ψ'(ｘ')＝Ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ｘ) (行列表記)
を考えます。
ｘ'＝ａｘ より,その逆変換:ａ-1対しｘ＝ａ-1ｘ'ですから,
Ψ'(ｘ')＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ-1ｘ'),つまり,
Ψ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ-1ｘ)です。
他方,Ψ(ｘ)＝Ｓ(ａ-1)Ψ'(ａｘ),Ψ(ｘ)＝Ｓ-1(ａ)Ψ'(ａｘ)より,
Ｓ(ａ-1)＝Ｓ-1(ａ)なる関係が成立することがわかります。
また,∂/∂ｘμ＝(∂ｘ'ν/∂ｘμ)(∂/∂ｘ'ν)ですから,
ｘ'ν＝ａνμｘμより.∂μ＝ａνμ∂'νです。
そこで,Dirac方程式:(iγμ∂μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝0 にｘ＝ａ-1ｘ',
および,Ψ(ｘ)＝Ｓ-1(ａ)Ψ'(ｘ')を代入して,左からＳ(ａ)を
掛けると,[iＳ(ａ)γμＳ-1(ａ)ａνμ∂'ν－ｍ]Ψ'(ｘ')＝0
を得ます。
それ故,ａνμＳ(ａ)γμＳ-1(ａ)＝γν,つまり,
ａνμγμ＝Ｓ-1(ａ)γνＳ(ａ)であれば,
上式は(iγν∂'ν－ｍ)Ψ'(ｘ')＝0 となって,
方程式が相対論的に共変(covariant)になります。
特に,ａμν＝ｇμν＋Δωμν;Δωνμ＝－Δωμνと書けて,
Δωμνが微小の場合の微小Lorents変換を考えます。
これに対する４×４変換行列Ｓ(ａ)をΔωμνの１次まで展開して
１次の係数行列を,－(i/4)σμνと表現すれば,
Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σμνΔωμν＋Ｏ(Δω2) です。
今のところ,σμνは未知の４次行列ですが,以下でそれを具体的に
決定します。
Ｏ(Δω2)が無視できる無限小変換では,
Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σμνΔωμν,
Ｓ-1(ａ)＝1＋(i/4)σμνΔωμνより,
ａμνγν＝Ｓ-1(ａ)γμＳ(ａ)は,
Δωμνγν＝－(i/4)Δωαβ(γμσαβ－σαβγμ)
となります。
ここで,Δωμνγν＝ｇμαΔωανγν
＝ｇμαΔωαβｇβνγν＝ｇμαΔωαβγβ
＝ｇμβΔωβαγαにより,
Δωμνγν＝(1/2)(ｇμαΔωαβγβ＋ｇμβΔωβαγα)
＝(1/2)Δωαβ(ｇμαΔγβ－ｇμβγα) を得ます。
故に,(1/2)Δωαβ(ｇμαΔγβ－ｇμβγα)
＝－(i/4)Δωαβ(γμσαβ－σαβγμ)ですから,
2i(ｇμαΔγβ－ｇμβγα)＝[γμ,σαβ] です。
結局,無限小変換では,Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σμνΔωμν;
σμν＝(i/2)[γμ,γν]であることがわかります。
さて,無限小ではなく一般の有限なLorentz変換を上記の無限小
変換を継続的に無限回反復した結果として評価するため,Δωμν
をΔωμν≡Δω(Ｉn)μνと表現します。
ただし,Δωは軸:ｎのまわりの無限小Lorentz回転の回転角を表わす
無限小パラメータとし,Ｉnはこの軸ｎについての単位Lorentz回転を
示す４×４行列とします。
※(注):３次元空間の回転なら,例えばｚ軸の回りのｘｙ平面上の
角度φの回転なら,
ｘ'＝ｘcosφ－ｙsinφ,ｙ'＝ｘsinφ＋ｙcosφ,ｚ'＝ｚ
です。
これはφが無限小回転角:Δφなら,
ｘ'＝ｘ－ｙΔφ,ｙ'＝ｘΔφ＋ｙ,ｚ'＝ｚですから,
行列形では,t(ｘ',ｙ',ｚ')＝t(ｘ,ｙ,ｚ)＋Δφt(―ｙ,ｘ,0)
＝{1＋Δφ(Ｉz)}t(ｘ,ｙ,ｚ) と書けます。
これによって,３次元の場合の対応する３×３行列Ｉzを定義します。
ただし,t(ｘ,ｙ,ｚ)は行ベクトル(ｘ,ｙ,ｚ)の転置(transport)
である縦ベクトルを意味します。
同様に,ｘ軸,ｙ軸のまわりの回転に対する３×３行列Ｉx,Ｉyも
定義できます。(注終わり)※
さて,Δωμν＝Δω(Ｉn)μν,Δω≡ω/Ｎとして,
Δω回転のＮ回の反復でωになる変換を考えます。
刻みＮが無限大の極限では,
ａμν＝lim N→∞ Πn=1N{1＋(ω/Ｎ)Ｉn}μν
＝{exp(ωＩn)}μν,またはｘμ＝ａμνｘν
＝{exp(ωＩn)}μνｘν
が得られます。
そして,これに伴なうspinorの変換は,
Ｓ(ａ)αβ＝{1－(i/4)Δω(σμνＩnμν)}αβより,
Δωが一般の有限の角度ωなら,
Ｓ(ａ)αβ＝exp{－(i/4)ω(σμνＩnμν)}αβ
＝ exp{－(1/8)ω[γμ,γν]Ｉnμν}αβ です。
特に,ｘ軸に沿って無限小の速度Δｖ＝Δβ＝Δωで運動する
座標系への無限小変換は,
ｘ'0＝ｘ0－Δβｘ1,ｘ'1＝ｘ1－Δβｘ0
です。
そこで,Lorentz変換:ａμν＝ｇμν＋Δωμν;Δωνμ＝－Δωμν
では,Δω01＝Δω10＝－Δβ以外の全てのΔωμνはゼロです。
この場合,有限変換ではｘ'μ＝{exp(ωＩn)}μνｘνであり,
ｘ'0＝ｘ0coshω－ｘ1sinhω,ｘ'1＝ｘ1coshω－ｘ0sinhω,
ｘ'2＝ｘ2,ｘ'3＝ｘ3 と書けます。
これに対応するLorentz変換は相対速度がｖ＝β＝tanhωの変換
です。
このとき,coshω＝1/(1－β2)1/2,sinhω＝β/(1－β2)1/2です。
よって,確かに無限小変換ではΔβ＝Δωを満たしています。
さて,spinorの無限小変換はΔω01＝－Δω10＝Δω＝Δβなので,
Ｓ(ａ)＝1－(i/4)σμνΔωμνは,Ｓ(ａ)＝1－(iΔω/2)σ01で,
σ01＝(i/2)[γ0,γ1]＝iγ0γ1＝－iγ0γ1＝－iβ2α1＝－iα1
です。
それ故,Ｓ(ａ)＝1－Δωα1/2です。
有限変換では,(α1)2＝1ですからＳ(ａ)＝exp(－ωα1/2)
＝cosh(ω/2)－α1sinh(ω/2)です。
そして,系Ｓで粒子が速度ｖ＝βで運動することは,粒子に対して
静止しているＳ0系に対し系Ｓが相対速度－ｖ＝－βで運動する
ことに同等です。
したがって,静止系Ｓ0でｐμ＝(ｍ,0)の正エネルギー粒子がＳ0に
対して相対速度－ｖ＝－βで運動するＳ系では,
ｘ'0＝ｘ0coshω－ｘ1sinhω,ｘ'1＝ｘ1coshω－ｘ0sinhω,
ｘ'2＝ｘ2,ｘ'3＝ｘ3 に対応して,
ｐμ＝(Ｅ,ｐ)なる表示で,Ｅ＝ｍcoshω,ｐ1＝－ｍsinhω,
ｐ2＝ｐ3＝0 なので,β＝－tanhω＝ｐ/Ｅです。
ただし,ｐ＝|ｐ|＝ｐ1です。
故に,tanhω＝－ｐ/Ｅにより,tanh(ω/2)＝－ｐ/(Ｅ＋ｍ),
cosh(ω/2)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2を得ます。
一方,静止系Ｓ0でｐμ＝(－ｍ,0)の負エネルギー粒子がＳ0に対し
相対速度－βで運動するＳ系では,
ｐμ＝(－Ｅ,－ｐ)(Ｅ＞0)なるエネルギー表示で,
tanh(ω/2)＝ｐ/(－Ｅ＋ｍ)＝－ｐ/(Ｅ－ｍ),
cosh(ω/2)＝{(Ｅ－ｍ)/(2ｍ)}1/2 です。
以上から,自由粒子波動関数の4つの独立な解は,
Ψ(r)(ｘ)＝ｗ(r)(ｐ)exp(－iεrｐｘ),
ｗ(r)(ｐ)＝Ｓ(ａ)ｗ(r)(0)
＝{cosh(ω/2)－α1sinh(ω/2)}ｗ(r)(0)
であり,
ｗ(1)(0)≡(1,0,0,0)T,ｗ(2)(0)≡(0,1,0,0)T,
ｗ(3)(0)≡(0,0,1,0)T,ｗ(4)(0)≡(0,0,1,0)T
であることがわかりました。
さて,座標のLorentz変換:ｘμ→ａμνｘνに対応する運動量の
Lorentz変換:ｐμ→ａμνｐνから,
Ｅ＝ｐ0＝ｍcoshω＝ｍ/(1－β2)1/2,
ｐ＝ｐ1＝－ｍsinhω＝ｍβ/(1－β2)1/2
を得ます。
そこで,－tanh(ω/2)＝－tanhω/{1＋(1－tanh2ω)1/2}
＝β/{1＋(1－β2)1/2}＝ｐ/(Ｅ＋ｍ)であり,
cosh(ω/2)＝{1－tanh2(ω/2)}-1/2＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2
であること,がわかります。
故に,－sinh(ω/2)＝－tanh(ω/2)cosh(ω/2)
＝{ｐ/(Ｅ＋ｍ)}{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2＝ｐ/{2ｍ(Ｅ＋ｍ)}1/2
を得ます。
そして,Ｓ(ａ)＝(ｗ(1)(ｐ),ｗ(2)(ｐ),ｗ(3)(ｐ),ｗ(4)(ｐ))
＝cosh(ω/2)－α1sinh(ω/2) です。
これから,
ｗ(1)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2(1,0,0,ｐ/(Ｅ＋ｍ))T,
ｗ(2)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2(0,1,ｐ/(Ｅ＋ｍ),0)T,
ｗ(3)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2(0,ｐ/(Ｅ＋ｍ),1,0)T,
ｗ(4)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2(ｐ/(Ｅ＋ｍ),0,0,1)T
と書けます。
一般の速度:β＝(β1,β2,β3)を持つ粒子のｗ(r)(ｐ)
＝Ｓ(ａ)ｗ(r)(0)を得るには,
Ｓ(ａ)αβ＝exp{－(i/4)ω(σμνＩnμν)}αβ
＝ exp{－(1/8)ω[γμ,γν]Ｉnμν}αβの右辺の生成行列:
Ｉnμνを速度βの空間軸回転の3×3直交行列:Ｔを考慮した形
にします。
ｐμ＝(Ｅ,ｐ)は,Ｅ＝ｍ/(1－β2)1/2,ｐ＝ｍβ/(1－β2)1/2
ですが,特にｐ±≡ｐ1±iｐ2＝ｍ(β1±iβ2)/(1－β2)1/2と
定義します。
計算結果だけ書くと,
ｗ(1)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2
(1,0,ｐ3/(Ｅ＋ｍ),ｐ＋/(Ｅ＋ｍ))T,
ｗ(2)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2
(0,1,ｐ－/(Ｅ＋ｍ),－ｐ3/(Ｅ＋ｍ))T,
ｗ(3)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2
(ｐ3/(Ｅ＋ｍ),ｐ＋/(Ｅ＋ｍ),1,0)T,
ｗ(4)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍ)/(2ｍ)}1/2
(ｐ－/(Ｅ＋ｍ),－ｐ3/(Ｅ＋ｍ),0,1)T
です。
特に,ここだけ単位を復活させ光速ｃを陽に書くと,
まず,β＝ｖ/ｃ,ｐμ＝(Ｅ/ｃ,ｐ)で,
Ｅ＝ｍｃ2/(1－β2)1/2,ｐ＝ｍｖ/(1－β2)1/2,
ｐ±＝ｐ1±iｐ2＝ｍ(ｖ1±iｖ2)/(1－β2)1/2です。
ｗ(1)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ2)/(2ｍｃ2)}1/2
(1,0,ｐ3ｃ/(Ｅ＋ｍｃ2),ｐ＋ｃ/(Ｅ＋ｍｃ2))T,
ｗ(2)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ2)/(2ｍｃ2)}1/2
(0,1,ｐ－ｃ/(Ｅ＋ｍｃ2),－ｐ3ｃ/(Ｅ＋ｍｃ2))T,
ｗ(3)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ2)/(2ｍｃ2)}1/2
(ｐ3/(Ｅ＋ｍｃ2),ｐ＋ｃ/(Ｅ＋ｍｃ2),1,0)T,
ｗ(4)(ｐ)＝{(Ｅ＋ｍｃ2)/(2ｍｃ2)}1/2
(ｐ－ｃ/(Ｅ＋ｍｃ2),－ｐ3ｃ/(Ｅ＋ｍｃ2),0,1)T
です。
さて,波動関数:ψ(r)(ｘ)＝ｗ(r)(ｐ)exp(－iεrｐｘ)は,
もちろん, Dirac方程式:(γμｐ^μ－ｍ)ψ(r)(ｘ)＝0
を満足します。
そして,ｐ^μ＝(ｐ^0,－ｐ^)＝(i(∂/∂ｔ),－i∇)＝i∂μより,
γμｐ^μψ(r)(ｘ)＝iγμ∂μｗ(r)(ｐ)exp(－iεrｐｘ)
＝εrγμｐμｗ(r)(ｐ)exp(－iεrｐｘ)ですから,
(εrγμｐμ－ｍ)ｗ(r)(ｐ)＝0 が成立します。
これは,(γμｐμ－εrｍ)ｗ(r)(ｐ)＝0 とも書けます。
これらの式の両辺のHermite共役を取ると,
ｗ(r)＋(ｐ)(γμ+ｐμ－εrｍ)＝0 です。
そして,γ0＋＝γ0,γ＋＝－γですから,γμ＋γ0＝γ0γμより,
等式の両辺の右からγ0を乗じた後,４行１列の行ベクトル:
ｗ(r)~(ｐ)≡ｗ(r)＋(ｐ)γ0を用いると,
ｗ(r)~(ｐ)(γμｐμ－εrｍ)＝0 を得ます。
また,ψ(ａｘ)＝Ｓ(ａ)ψ(ｘ)より,ψ＋(ａｘ)＝ψ+(ｘ)Ｓ+(ａ)
ですから,ψ~(ａｘ)＝ψ＋(ａｘ)γ0＝ψ＋(ｘ)Ｓ＋(ａ)γ0
＝ψ~(ｘ)γ0Ｓ＋(ａ)γ0です。
容易にわかるように,γ0Ｓ＋(ａ)γ0＝Ｓ-1(ａ)なので,
ψ~(ａｘ)ψ~(ｘ)Ｓ-1(ａ)です。
故に,ψ~(ａｘ)ψ(ａｘ)＝ψ~(ｘ)ψ(ｘ)となり,ψ~(ｘ)ψ(ｘ)は
Lorentz-scalarですから,
ｗ(r)~(ｐ)exp(iεrｐｘ)ｗ(r')(ｐ)exp(－iεr'ｐｘ)
＝ｗ(r)~(ｐ)ｗ(r')(ｐ)exp{i(εr－εr')ｐｘ}はスカラー
(Lorents不変量)です。
そして,εr,ｐｘもスカラーですから,
ｗ(r)~(ｐ)ｗ(r')(ｐ)exp{i(εr－εr')ｐｘ}は,
ｗ(r)~(0)ｗ(r')(0)＝εrδrr'に一致します。
故に,ｗ(r)~(ｐ)ｗ(r')(ｐ)＝εrδrr'なる関係式を得ました。
また,証明は省略しますが,
Σr=14εrｗ(r)α(ｐ)ｗ(r)~β(ｐ)＝δαβなる式も成立します。
ψ~(ｘ)ψ(ｘ)がLorentz-scalarなので,確率密度:
ψ+(ｘ)ψ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ0ψ(ｘ)はLorentz不変では
ありません。
これは,jμ(ｘ)≡(ρ(ｘ),ｊ(ｘ))＝ψ~(ｘ)γμψ(ｘ)の第0成分
として変換します。
また,簡単な計算からｗ(r)＋(εrｐ)ｗ(r')(εr'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δrr'
を得ます。
Ｅ/ｍ＝(1－β2)1/2ですから,β＝0 での３次元体積を
ΔＶ0とすると,
ｗ(r)＋(εrｐ)ｗ(r')(εr'ｐ)ΔＶ
＝ｗ(r)+(εrｐ)ｗ(r')(εr'ｐ)ΔＶ0(1－β2)1/2
＝δrr'
となります。
よって,この規格化では確率密度でなく確率がLorentz不変です。
ψ(r)(ｘ)＝ｗ(r)(ｐ)exp(－iεrｐｘ)から,
上記のｗ(r)+(εrｐ)ｗ(r')(εr'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δrr'なる表式は,
運動量がｐの正エネルギーのｓスピノル:
ｗ(r)(ｐ)exp(－iＥｔ＋iｐｒ)(ｒ＝1,2)は,
逆符号の運動量－ｐを持つスピノル:
ｗ(r')(－ｐ)exp(iＥｔ＋iｐｒ)(ｒ'＝3,4)
のHermite共役と直交するという描像です。
そこで,同じ空間運動量ｐを持ち反対符号のエネルギーを持つ
平面波解ψ(r)(ｘ),ψ(r')(ｘ)は,ｒ＝1,2;ｒ'＝3,4,または
ｒ＝3,4;ｒ'＝1,2ならψ(r)+(ｘ)ψ(r')(ｘ)＝0 になるという意味
で直交します。
さて,ｕ(ｐ,ｓ)で運動量:ｐμ＝(Ｅ,ｐ)とスピン:
ｓμ＝(ｓ0,ｓ)を持つDirac方程式の正エネルギー解を記述します。
すなわち,(γμｐμ－ｍ)ｕ(ｐ,ｓ)＝0 です。
ただし,ｓμは静止系ｐ0μ＝(ｍ,0)での偏極ベクトルｓ0により
ｓ0μ＝(0,ｓ0)で定義される４元ベクトルです。
したがって,任意の慣性座標系でｓμｓμ＝ｓ0μｓ0μ＝－ｓ02
＝－1,ｐμｓμ＝ｐ0μｓ0μ＝0 です。
そして,ｕ(ｐ,ｓ)がスピン:ｓを持つという意味を,
静止系ｐ0μ＝(ｍ,0)ではｕ(ｐ0,ｓ0)がσｓ0ｕ(ｐ0,ｓ0)
＝ｕ(ｐ0,ｓ0)を満たすことと定義します。
ただし,σｓ0＝σiｓ0iでσi≡εijkσjk＝iεijkγjγkです。
行列σi＝iεijkγjγkは,Pauliの２×２スピン行列
σi＝iεijkσjσkの４×４行列版です。
(※下図では区別する便宜のため,４×４行列の方をσ(4)k,と
表記しました。※)
静止系では,i∂ψ/∂ｔ＝βｍψ,Ｈ＝βｍですが,
よって,(γμｐμ－ｍ)ｕ(ｐ,ｓ)＝0,σｓ0ｕ(ｐ0,ｓ0)
＝ｕ(ｐ0,ｓ0)によりｕ(ｐ,ｓ)の定義が可能です。
同様に,(γμｐμ＋ｍ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0 を満たす解で,静止系で
－ｓ0のスピンを持つという条件:σｓ0ｖ(ｐ0,ｓ0)＝－ｖ(ｐ0,ｓ0)
によってｖ(ｐ,ｓ)を定義します。
この結果,ｗ(1)(ｐ)＝ｕ(ｐ,ｕz),ｗ(2)(ｐ)＝ｕ(ｐ,－ｕz),
ｗ(3)(ｐ)＝ｖ(ｐ,－ｕz),ｗ(4)(ｐ)＝ｖ(ｐ,ｕz) です。
ただし,ｕz＝(ｕz0,ｕz)は,静止系では,ｕz0μ＝(0,ｕz0)
＝(0,0,0,1)という形になる４元ベクトルです。
そして,ｕz0＝(0,0,1)はｚ方向の spin-upを意味します。
さて,天下り的ですが,Λr(ｐ)≡(εrγμｐμ＋ｍ)/(2ｍ)
(ｒ＝1,2,3,4),またはΛ±(ｐ)≡(±γμｐμ＋ｍ)/(2ｍ)
とおけば,
Λr(ｐ)Λr'(ｐ)＝(1＋εrεr')Λr(ｐ)/2 が成立するので,
Λ＋2(ｐ)＝Λ＋(ｐ),Λ－2(ｐ)＝Λ－(ｐ),
Λ＋(ｐ)Λ－(ｐ)＝0,Λ＋(ｐ)＋Λ－(ｐ)＝1 です。
Λr(ｐ)ｗ(r')(ｐ)＝(εrγμｐμ＋ｍ)ｗ(r')(ｐ)/(2ｍ)
＝{εr(γμｐμ－εr'ｍ)/(2ｍ)＋(1＋εrεr')/2}ｗ(r)(ｐ)
＝{(1＋εrεr')/2}ｗ(r)(ｐ)です。
故に,ｒ＝1,2,かつｒ'＝1,2,または,ｒ＝3,4,かつｒ'＝3,4
なら,Λr(ｐ)ｗ(r')(ｐ)＝ｗ(r')(ｐ) です。
ｒ＝1,2,かつｒ'＝3,4,または,ｒ＝3,4,かつｒ'＝1,2
なら,Λr(ｐ)ｗ(r')(ｐ)＝0 です。
そして,また,Σ(ｓ)≡(1＋γ5γμｓμ)/2と置きます。
すると,Σ(ｕz)＝(1＋γ5γμｕzμ)/2です。
ただし,γ5＝γ5≡iγ0γ1γ2γ3です。
明らかに,Σ(ｕz)ｕ(ｐ,ｕz)＝ｕ(ｐ,ｕz),
Σ(ｕz)ｖ(ｐ,ｕz)＝ｖ(ｐ,ｕz)で,
Σ(－ｕz)ｕ(ｐ,ｕz)＝Σ(－ｕz)ｖ(ｐ,ｕz)＝0 です。
Σ(ｕz)は共変形なので,Σ(ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),
Σ(ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)＝ｖ(ｐ,ｓ)で,
Σ(－ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝Σ(－ｓ)ｖ(ｐ,ｓ)＝0
が成立します。
以上から,Ｐ1(ｐ)≡Λ＋(ｐ)Σ(ｓ),Ｐ2(ｐ)≡Λ＋(ｐ)Σ(－ｓ),
Ｐ3(ｐ)≡Λ－(ｐ)Σ(－ｓ),Ｐ4(ｐ)≡Λ－(ｐ)Σ(ｓ)とおけば,
これらはＰr(ｐ)ｗ(r')(ｐ)＝δrr'ｗ(r')(ｐ),または,
Ｐr(ｐ)Ｐr'(ｐ)＝δrr'を満たす正負のエネルギー固有関数
の射影演算子となります。
Σr=14εrｗ(r)α(ｐ)ｗ(r)~β(ｐ)＝δαβ or
Σr=14εrｗ(r)(ｐ)ｗ(r)~(ｐ)＝1ですから,
Λ＋(ｐ)Σr=14εrｗ(r)(ｐ)ｗ(r)~(ｐ)
＝Σr=12ｗ(r)(ｐ)ｗ(r)~(ｐ)
＝Λ＋(ｐ),
Λ－(ｐ)Σr=14εrｗ(r)(ｐ)ｗ(r)~(ｐ)
＝－Σr=34ｗ(r)(ｐ)ｗ(r)~(ｐ)
＝Λ－(ｐ) です。
故に,規格化された波動関数を,
ψp(r)(ｘ)≡(2π)-3/2(ｍ/Ｅ)1/2ｗ(r)(ｐ)exp{－iεrｐ(ｘ－ｘ0)}
とおくと,
(2π)-3(ｍ/Ｅ)Λ＋(ｐ)exp{－iｐ(ｘ－ｘ0)}
＝Σr=12ψp(r)(ｘ)ψp(r)~(ｘ0),
－(2π)-3(ｍ/Ｅ)Λ－(ｐ)exp{－iｐ(ｘ－ｘ0)}
＝Σr=34ψp(r)(ｘ)ψp(r)~(ｘ0) となります。
(※↓ここからは,この過去記事の表題であった
「散乱の伝播関数の理論」の主要な内容であるところの
(iγμ∂μ－ｍ)ＳF(ｘ－ｘ0)＝δ4(ｘ－ｘ0) を満たす
Feynman伝播関数:ＳF(ｘ－ｘ0)の理論の項目に一足飛びに
脱線しています。
それ故,非相対論極限の「Foldy-Woutheusen変換」や,
負エネルギー解を解釈する「空孔理論」の項目などを
飛び越えて,やや飛躍した話になっています。※)
以上から,自由Dirac粒子のFeynman伝播関数は,
ＳF(ｘ－ｘ0)
＝－iθ(ｔ－ｔ0)∫ｄ3ｐΣr=12ψp(r)(ｘ)ψp(r)~(ｘ0)
＋iθ(ｔ0－ｔ)∫ｄ3ｐΣr=34ψp(r)(ｘ)ψp(r)~(ｘ0)
と書けます。
そこで,任意の正エネルギー解を,
ψ(+)(ｘ)≡∫ｄ3ｐΣr=12Ｃr(ｐ)ψp(r)(ｘ),
任意の負エネルギー解を,
ψ(-)(ｘ)≡∫ｄ3ｐΣr=34Ｃr(ｐ)ψp(r)(ｘ)と置きます。
すると,ｗ(r)+(εrｐ)ｗ(r')(εr'ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δrr' or
ｗ(r)+(ｐ)ｗ(r')(ｐ)＝(Ｅ/ｍ)δrr'によって,
ψp(r)+(ｘ)ψp(r')(ｘ)＝(2π)-3δrr' です。
また,∫ｄ3ｒ0(2π)-3exp{－iεr(ｐ'－ｐ)ｘ0}
＝δ(ｐ'－ｐ)exp{－iεr(ｐ0'－ｐ0)ｔ0}ですから,
∫ｄ3ｒ0∫ｄ3ｐΣr=12ψp(r)(ｘ)ψp(r)~(ｘ0)γ0ψ(+)(ｘ0)
＝Σr,r'=12∫ｄ3ｐｄ3ｐ'Ｃr'(ｐ')ψp(r)(ｘ)∫ｄ3ｒ0(2π)-3
(ｍ2/ＥＥ')1/2ｗ(r)+(ｐ)ｗ(r')(ｐ')exp{－iεr(ｐ'－ｐ)ｘ0}
＝Σr,r'=12∫ｄ3ｐ(ｍ/Ｅ)Ｃr'(ｐ)ψp(r)(ｘ)ｗ(r)+(ｐ)ｗ(r')(ｐ)
＝Σr=12∫ｄ3ｐＣr(ｐ)ψp(r)(ｘ)＝ψ(+)(ｘ)
を得ます。
したがって,θ(ｔ－ｔ0)ψ(+)(ｘ)
＝i∫ｄ3ｒ0ＳF(ｘ－ｘ0)γ0ψ(+)(ｘ0)が成立します。
同様にして,θ(ｔ0－ｔ)ψ(-)(ｘ)
＝－i∫ｄ3ｒ0ＳF(ｘ－ｘ0)γ0ψ(-)(ｘ0) も成立します。
これらは,ＳF(ｘ－ｘ0)が正エネルギー解ψ(+)(ｘ0)を時間
の前方(＝未来)へ,負エネルギー解ψ(-)(ｘ0)を時間の後方
(＝過去)へ運ぶことを明示しています。
ＳF(ｘ－ｘ0)は自由電子のFeyman-propagater(伝播関数)として
知られています。
これは,最初1942年に,Stükelbergによって陽電子理論に導入され
ました。
そして,1948年には,Feynmanによっても独立に導入されました。
Feynmanはそれを広範囲にわたって実際の計算に適用しました。
自由伝播関数ＳF(ｘ－ｘ0)から,正確で完全なGreen関数,そして,
Ｓ行列要素,つまり相互作用の力場が存在する場合の電子や陽電子
の種々の散乱過程に対する振幅を作ることができます。
このことを遂行するため,前の非相対論的扱いを書き直します。
まず,電磁相互作用のみ存在する場合の正確なFeyman-propagater
(伝播関数)ＳF'(ｘ;ｘ0)は,
[iγμ(∂/∂ｘμ)－ｅγμＡμ(ｘ)－ｍ]ＳF'(ｘ;ｘ0)
＝δ4(ｘ－ｘ0) を満たします。
これと,前に求めた式:{i(∂/∂ｔ)－Ｈ0(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ0)
＝∫ｄ4ｘ1δ4(ｘ－ｘ1)[δ4(ｘ1－ｘ0)＋Ｖ(ｘ1)Ｇ(ｘ1;ｘ0)],
および,Ｇ(ｘ;ｘ0)
＝∫ｄ4ｘ1Ｇ0(ｘ;ｘ1)[δ4(ｘ1－ｘ0)＋Ｖ(ｘ1)Ｇ(ｘ1;ｘ0)]
＝Ｇ0(ｘ;ｘ1)＋∫ｄ4ｘ1Ｇ0(ｘ;ｘ1)Ｖ(ｘ1)Ｇ(ｘ1;ｘ0)
を利用します。
つまり,上の表現で{i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ)}γ0,Ｖ(ｘ1)γ0を,
それぞれ,(iγμ∂μ－ｍ),－ｅγμＡμ(ｘ)に置き換え,
Ｇ0(ｘ;ｘ0),Ｇ(ｘ;ｘ0)を,それぞれ,
ＳF(ｘ－ｘ0),ＳF'(ｘ;ｘ0) に置換します。
すると,{i(∂/∂ｔ)－Ｈ0(ｘ)}Ｇ(ｘ;ｘ0)
＝∫ｄ4ｘ1δ4(ｘ－ｘ1)[δ4(ｘ1－ｘ0)＋Ｖ(ｘ1)Ｇ(ｘ1;ｘ0)]は,
(iγμ∂μ－ｍ)ＳF'(ｘ;ｘ0)
＝∫ｄ4ｙδ4(ｘ－ｙ)[δ4(ｙ－ｘ0)＋ｅγμＡμ(ｙ)ＳF'(ｙ;ｘ0)
となります。
これとδ4(ｘ－ｙ)＝(iγμ∂μ－ｍ)ＳF(ｘ－ｙ)より,
(iγμ∂μ－ｍ)ＳF'(ｘ;ｘ0)
＝(iγμ∂μ－ｍ)[ＳF(ｘ－ｘ0)
＋ｅ∫ｄ4ｙＳF(ｘ－ｙ)γμＡμ(ｙ)ＳF'(ｙ;ｘ0)]
が成立します。
すなわち,ＳF'(ｘ;ｘ0)＝ＳF(ｘ－ｘ0)
＋ｅ∫ｄ4ｙＳF(ｘ－ｙ)γμＡμ(ｙ)ＳF'(ｙ;ｘ0)
が成立します。
また,Dirac方程式;(iγμ∂μ－ｍ)Ψ(ｘ)＝ｅγμＡμ(ｘ)Ψ(ｘ)
の正確な解で,Feynmanの境界条件を満たすΨ(ｘ)を考えます。
先述したように,相互作用のない自由伝播関数は,
ＳF(ｘ－ｘ0)
＝－iθ(ｔ－ｔ0)∫ｄ3ｐΣr=12ψp(r)(ｘ)ψp(r)~(ｘ0)
＋iθ(ｔ0－ｔ)∫ｄ3ｐΣr=34ψp(r)(ｘ)ψp(r)~(ｘ0)
で与えられます。
そこで,ψ(ｘ0)が正負の両振動数成分を含む場合でも,
ｔ＞ｔ0ではψ(ｘ)は自由電子の正振動数成分のみの重ね合わせ
としてψ(ｘ)＝i∫ｄ3ｒ0ＳF(ｘ－ｘ0)γ0ψ(ｘ0)と表わされます。
一方,Ψ(ｙ)＝lim t0→-∞ i∫ｄ3ｒ0ＳF'(ｙ;ｘ0)γ0ψ(ｘ0)
です。
そこで,ＳF'(ｘ;ｘ0)
＝ＳF(ｘ－ｘ0)＋ｅ∫ｄ4ｙＳF(ｘ－ｙ)γμＡμ(ｙ)ＳF'(ｙ;ｘ0)
により,
Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ4ｙＳF(ｘ－ｙ)γμＡμ(ｙ)Ψ(ｙ)
です。
他方,ｔ＜ｔ0ではψ(ｘ)は自由電子の負振動数成分のみの
重ね合わせとして,ψ(ｘ)＝－i∫ｄ3ｒ0ＳF(ｘ－ｘ0)γ0ψ(ｘ0)
と表現され,
Ψ(ｙ)＝lim t0→ ∞ (－i)∫ｄ3ｒ0ＳF'(ｙ;ｘ0)γ0ψ(ｘ0)
です。
よって,いずれの場合も、
Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ4ｙＳF(ｘ－ｙ)γμＡμ(ｙ)Ψ(ｙ)
なる同じ表現が得られます。
そして,Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ4ｙＳF(ｘ－ｙ)γμＡμ(ｙ)Ψ(ｙ)
は,未来ｔ＞ｔ0では正振動数成分のみ,過去ｔ＜ｔ0では負振動数
成分のみを含みます。
すなわち,ｔ→ ∞ では,
Ψ(ｘ)－ψ(ｘ)＝∫ｄ3ｐΣr=12ψp(r)(ｘ)[－iｅ∫ｄ4ｙψp(r)~(ｙ)
γμＡμ(ｙ)Ψ(ｙ)],
および,ｔ→－∞ では,
Ψ(ｘ)－ψ(ｘ)＝∫ｄ3ｐΣr=34ψp(r)(ｘ)[＋iｅ∫ｄ4ｙψp(r)~(ｙ)
γμＡμ(ｙ)Ψ(ｙ)] です。
[ ]の中は,いずれもｐ,ｒに依存するｃ-数です。
こうして,電磁場Ａμ(ｙ)による散乱では,"散乱後(未来)ｔ→ ∞
には電子は決して負エネルギーの海に落ちないという空孔理論
の要請"に従う散乱定式化が得られました。
まだ,満たされてない正エネルギー状態のみを取ることができる
のです。
参考文献:J.D.Bjorken & S.D.Drell "Relativistic Quantum Mechanics" (McGraw-Hill)
※ 以上,全て過去記事の再掲載でした。※
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