弱い相互作用の旧理論(11)(Fermi理論)

「弱い相互作用の旧理論」μ粒子の崩壊の続きです。
 

前回最後で示したように,
 

μ^-の崩壊で全ての粒子が非偏極の場合の崩壊率の分布は. 

ｄω＝(1/2)(2π)^-5(2Ｅ_P)^-1

∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)

×(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ] 

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)]　ですが,

これの,

∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)

より右の因子を計算すると,

(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ] 

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)] 

＝32|Ｇ~|²(1＋|λ|²)[(Ｐｋ~)(ｋｐ)＋(ｋｋ~)(Ｐｐ)]

＋|Ｇ~|²(λ＋λ^＊)Ｔr(ｋγ_μＰγ_νγ₅)Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ₅) 

     となります。

　　今日は,まず,この式を証明する私の(注釈)から始めます。

 ※(注11.1):上の最後の式で,(|Ｇ~|²/2)を除く上記トレースは,

Ｔr[γ _μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ]

＝Ｔr(γ_μＰγ_νｋ)＋|λ|²Ｔr(γ_μγ₅Ｐγ_νγ₅ｋ)

－λＴr(γ_μγ₅Ｐγ_νｋ)－λ^＊Ｔr(γ_μＰγ_νγ₅ｋ)

＝(1＋|λ|²)Ｔr(γ_μＰγ_νｋ)＋(λ＋λ^＊)

×Ｔr(ｋγ_μＰγ_νγ₅)　です。

　　そして,Ｔr(γ_μＰγ_νｋ)

　＝4{Ｐ_μｋ_ν＋Ｐ_νｋ_μ－ｇ_μν(Ｐｋ)}　です。

　　一方,Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)(ｋ~γ^ν(1－γ₅)]

＝2Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^ν)＋2Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ₅)であり, 

Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^ν)＝4{ｐ^μｋ~^ν＋ｐ^νｋ~^μ－ｇ^μν(ｐｋ~)}

です。

　　故に,Ｔr[γ _μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ]

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)(ｋ~γ^ν(1－γ₅)]

＝32(1＋|λ|²){2(Ｐｐ)(ｋｋ~)＋2(Ｐｋ~)(ｋｐ)}

＋2(λ＋λ^＊)Ｔr(ｋγ _μＰγ_νγ₅ｋ)Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ₅)

＝64(1＋|λ|²){(Ｐｐ)(ｋｋ~)＋(Ｐｋ~)(ｋｐ)}

＋2(λ＋λ^＊)Ｔr(ｋγ _μＰγ_νγ₅ｋ)Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ₅)　

　それ故,

(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ]

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)] 

＝32|Ｇ~|²(1＋|λ|²){(Ｐｐ)(ｋｋ~)＋(Ｐｋ~)(ｋｐ)}

＋|Ｇ~|²(λ＋λ^＊)Ｔr(ｋγ _μＰγ_νγ₅ｋ)

×Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ₅)
　が得られます。

　(注11.1終わり)※

　　次に,まだ手を付けてないトレース項:

Ｔr(ｋγ_μＰγ_νγ₅)Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ ₅)を評価します。

まず,これはｋとＰ,およびｋ~とｐについて,それぞれ,

交換反対称です。

　　そして,４元運動量Ｐ,ｐ,ｋ,ｋ~のどれについても線型で

γ₅因子を偶数個含み,μ,νについて縮約するのでLorentz

スカラーです。

　　４元運動量:Ｐ,ｐ,ｋ,ｋ~から構成可能な,こうしたどれに

ついても線型なLorentzスカラーの一般形を書き下すと,

ａ(ｋｋ~)(Ｐｐ)＋ｂ(ｋＰ)(ｋ~ｐ)＋ｃ(ｋｐ)(ｋ~Ｐ)

です。
 

　これが,さらにｋとＰ,および,ｋ~とｐについて,それぞれ

交換反対称という条件は, 

ａ(Ｐｋ~)(ｋｐ)＋ｂ(ＰＰ)(ｋ~ｐ)＋ｃ(Ｐｐ)(ｋ~Ｐ) 

＝－ａ(ｋｋ~)(Ｐｐ)－ｂ(ｋＰ)(ｋ~ｐ)－ｃ(ｋｐ)(Ｐｋ~) 

＝ａ(ｋｐ)(Ｐｋ~)＋ｂ(ｋＰ)(ｋ~ｋ~)＋ｃ(ｋｋ~)(Ｐｐ) 

です。

　　これが恒等式であるという条件より,ｂ＝0,ｃ＝－ａ

を得ます。
 

したがって,

Ｔr(ｋγ_μＰγ_νγ₅)Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ ₅) 

＝ａ{(ｋｋ~)(Ｐｐ)－(ｋｐ)(Ｐｋ~)}　

と書けるはずです。
 

係数ａを求めるために,具体的にＰ^μ＝ｐ^μ＝(1,0,0,0)^T, 

ｋ^μ＝ｋ~^μ＝(0,1,0,0)を代入すると.まず右辺＝－ａです。
 

一方,Ｔr(ｋγ_μＰγ_νγ₅)＝Ｔr(γ₁γ_μγ₀γ_νγ₅), 

かつ,Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ ₅)＝Ｔr(γ⁰γ^μγ¹γ^νγ₅)ですが, 

この積でμ,νについて和を取ると,μ＝2,ν＝3と 

μ＝3,ν＝2以外はゼロで寄与しません。
 

そして,γ₅＝iγ⁰γ¹γ²γ³＝－iγ₀γ₁γ₂γ₃より, 

μ＝2,ν＝3のγ⁰γ²γ¹γ³γ₅＝－i(γ₅)²＝－i,
 γ₁γ₂γ₀γ₃γ₅＝i(γ₅)²＝i　です。

　　また,μ＝3,ν＝2のγ⁰γ³γ¹γ²γ₅＝i(γ₅)²＝－i,

γ₁γ₃γ₀γ₂γ₅＝i(γ₅)²＝iです。
 

故に,Ｔr(γ₁γ₂γ₀γ₃γ₅)＝－Ｔr(γ⁰γ²γ¹γ³γ₅)＝4i. 

Ｔr(γ₁γ₃γ₀γ₂γ₅)＝－Ｔr(γ⁰γ³γ¹γ²γ₅)＝4iです。
 

結局,Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ ₅)Ｔr(γ⁰γ^μγ¹γ^νγ₅)

＝32＝－ａなので,ａ＝－32　を得ます。
 

つまり,Ｔr(ｋγ_μＰγ_νγ₅)Ｔr(ｐγ^μｋ~γ^νγ₅) 

＝32{(ｋｐ)(Ｐｋ~)-(ｋｋ~)(Ｐｐ)}　です。

　　故に,(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ] 

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)]  

＝32|Ｇ~|²(1＋|λ|²){ｋｐ)(Ｐｋ~)＋(ｋｋ~)(Ｐｐ)}

＋32|Ｇ~|²(λ＋λ^＊){ｋｐ)(Ｐｋ~)-(ｋｋ~)(Ｐｐ)} 

＝32|Ｇ~|²{|1－λ|²(Ｐｐ)(ｋｋ~)＋|1＋λ|²(Ｐｋ~)(ｋｐ)} 

です。

　よって,崩壊率の式は,
　　ｄω＝(1/2)(2π)^-5(2Ｅ_P)^-1

∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)

×32|Ｇ~|²{|1－λ|²(Ｐｐ)(ｋｋ~)＋|1＋λ|²(Ｐｋ~)(ｋｐ)} 

　　となります。

　　さらに進むためには,一般には観測にかからない

ニュートリノの変数ｋとｋ~にわた積分:∫ｄ³ｋｄ³ｋ~

を実行する必要があります。

    {|1－λ|²(Ｐｐ)(ｋｋ~)＋|1＋λ|²(Ｐｋ~)(ｋｐ)}はｋとｋ~

について線型ですから,次の形の積分Ｉ^αβ(Ｑ)を計算できれば

積分:∫ｄ³ｋｄ³ｋの実行結果が評価できるはずです。

すなわち,Ｉ^αβ(Ｑ)

≡:∫ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1ｋ^αｋ~^βδ⁴(Ｑ－ｋ－ｋ~),

;ただし,Ｑ＝Ｐ－ｐです。

　そして,このＩ^αβ(Ｑ)は２階のLorentzテンソルとして

変換します。

　※(注11.2):何故なら,それぞれの積分の寄与はスカラーです。
　　
　すなわち,∫ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1＝∫ｄ³ｋ~∫₀^∞ｄｋ⁰δ(ｋμｋ^μ) 

＝∫ｄ⁴ｋθ(ｋ⁰)δ(ｋ²)です。
 

同様に,∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_ｋ~)^-1＝∫ｄ⁴ｋ~θ(ｋ~⁰)δ(ｋ~²) 

ですから,　∫ｄ³ｋ(2Ｅ_ｋ)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1は確かに

Lorentzスカラー　です。　　(注11.2)終わり)※
 

この積分:Ｉ^αβ(Ｑ)は,２つのニュートリノの慣性中心系:

ｋ＋ｋ~=0,つまり,Ｑ＝Ｐ－ｐ＝0 の系で最も良く評価

できます。
 

このとき,Ｑは純粋に時間的(time-like)です。 

つまり,Ｑ²＝Ｑ₀²－Ｑ²＝Ｑ₀²≧0 です。
 

そこで,ニュートリノの慣性中心系では,簡単な計算の後に

次式を得ます。
 

すなわち,この系でのＩ^αβ(Ｑ)をＩ₍₀₎^αβ(Ｑ)と書けば,

Ｉ₍₀₎^αβ(Ｑ)＝(π/24)Ｑ₀²(ｇ^αβ＋2ｇ^α0ｇ^β0)です。

 ※(注11.3):Ｉ₍₀₎^αβ(Ｑ)

　＝(1/4)∫ｄ³ｋｄ³ｋ~(Ｅ_kＥ_k~)^-1ｋ^αｋ~^βδ⁴(Ｑ－ｋ－ｋ~)_{ｋ~＝－ｋ}

　＝(1/4)∫ｄＥ_kｄΩ_k(Ｅ_k/Ｅ_k~)^-1ｋ^αｋ~^βδ(Ｑ₀－Ｅ_k－Ｅ_k~)_{ｋ~＝－ｋ}

　＝(1/4)∫ｄＥ_kｄΩ_k(Ｅ_k/Ｅ_k~)^-1ｋ^αｋ~^βδ(Ｑ₀－2Ｅ_ｋ)です。
 

これは,α＝i,β＝ｊ(i,ｊ＝1,2,3)なら,Ｉ₍₀₎^αβ(Ｑ)

＝Ｉ₍₀₎^ij(Ｑ)＝(1/4)∫ｄＥ_kｄΩ_k(Ｅ_k/Ｅ_k~)^-1ｋⁱｋ~^j

δ⁴(Ｑ₀－2Ｅ_ｋ) ですが,i≠ｊなら被積分関数はｋⁱ,

またはｋ^ｊの奇関数なので∫ｄΩ_ｋによって,Ｉ₍₀₎^ij(Ｑ)

は消えます。

　これは,α＝0,β＝ｊ,α＝I,β＝0 のケースでもそうです。

　他方,α＝ｉ,β＝ｊで,かつｉ＝ｋなら質量ゼロのニュートリ

では,Ｅ_ｋ²＝ｋ²であり,

ｋ－Ｅ_ｋ(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)なので,

(Ｉ₍₀₎¹¹(Ｑ),Ｉ₍₀₎²²(Ｑ),Ｉ₍₀₎³³(Ｑ))

＝(1/4)∫∫ｄＥ_kｄΩ_k(Ｅ_k/Ｅ_k~)^-1((ｋ¹)²,(ｋ²)²,(ｋ³)²)

δ(Ｑ₀－2Ｅ_ｋ)

　＝(1/2)(Ｑ₀/2)²∫_-1¹ｄ(cosθ)∫₀^2πｄφ(sin²θcos²φ,sin²θsin²φ,cos²θ)＝(1/2)(Ｑ₀/2)²

(4π/3,4π/3,4π/3)ですから,
 

Ｉ₍₀₎^αβ(Ｑ)＝Ｉ₍₀₎ⁱⁱ(Ｑ)

＝(－1/4)∫ｄＥ_kｄΩ_kｋⁱｋ^jδ(Ｑ₀－2Ｅ_ｋ)

＝－(π/24)Ｑ₀²です。

　　一方,α＝β＝0 ならｋ^αｋ^β＝Ｅ_ｋ²より

∫ｄＥ_kＥ_ｋ²δ(Ｑ₀－2Ｅ_ｋ)＝(1/2)(Ｑ₀/2)²ですが,

∫ｄΩ_k＝4πよりＩ₍₀₎^αβ(Ｑ)＝Ｉ₍₀₎⁰⁰(Ｑ)

＝(1/4)∫ｄＥ_kｄΩ_kＥ_ｋ²δ(Ｑ₀－2Ｅ_ｋ) 

＝(π/8)Ｑ₀²を得ます。
 

したがって,Ｉ₍₀₎^αβ(Ｑ)＝(π/24)Ｑ₀²(ｇ^αβ＋2ｇ^α0ｇ^β0)

が成立しています。(注11.3終わり)※
 

そして,Ｉ^αβ(Ｑ)は2階のLorentzテンソルであることが

わかっているので,ニュートリノの慣性中心系でなく任意

のLorentz系では,Ｉ^αβ(Ｑ)＝(π/24)(ｇ^αβＱ²＋2Ｑ^αＱ^β)　

となります。
 

※'(注11.4):以下,上式の証明です。
 

　ニュートリノの慣性中心系でＱ＝Ｑ₍₀₎を与える時空座標系 

をｘ-座標系,一般のＱを与える任意座標系をx~系として, 

この座標系の変換をｘ~^μ＝ａ^μ_νｘ_νとするとき,

　　これがLorentz変換であるための条件は,

恒等的に,ｇ^μνｘ~_μｘ~_ν＝ｇ^μνａ_μ^λａ_ν^σｘ_λｘ^σ 

＝ｇ^λσｘ_λｘ^σ,が成立すること: つまり,

ｇ^μνａ_μ^λａ_ν^σ＝ｇ^λσが成立することです。
 

それ故,添字の上げ下げ(共変⇔反変)の規則から, 

ａ^λ_μａ^σ_νｇ^μν＝ｇ^λσが成立します。
 

そして,Ｑ^μ＝ａ^μ_νＱ₍₀₎^νであり,Ｑ₍₀₎^μ＝(Ｑ₀,0.0.0)

＝ｇ^μ0Ｑ₀ですから,Ｑ^μ＝ａ^μ₀Ｑ₀です。

　また,Ｑ²＝Ｑ_μＱ^μ＝Ｑ₀²です。
 

したがって,２階テンソルの変換性から, 

Ｉ^αβ(Ｑ)＝ａ^α_μａ^β_νＩ₍₀₎^μν 

＝(π/24)ａ^α_μａ^β_νＱ₀²(ｇ^μν＋2ｇ^μ0ｇ^ν0) 

＝(π/24)Ｑ₀²(ａ^α_μａ^βμ＋2ａ^α0ａ^β0) 

＝(π/24)(ｇ^αβＱ²＋2Ｑ^αＱ^β)を得ます。　(注11.4終わり)※

さて,

Ｉ^αβ(Ｑ)≡ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1ｋ^αｋ^β

δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)＝(π/24))(ｇ^αβＱ²＋2Ｑ^αＱ^β)

；Ｑ＝Ｐ－ｐ　ですから,

　　ｄω＝(1/2)(2π)^-5(2Ｅ_Ｐ)^-1

∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)

×{6|1－λ|²(Ｐｐ)Ｑ²＋|1＋λ|²{(Ｐｐ)Ｑ²＋2(ＰＱ)(Ｑｐ)} 

ですが,

　　まず,Ｑ²＝(Ｐ－ｐ)²＝ｍ_μ²＋ｍ_ｅ²－2(Ｐｐ)　です。
 

　また,ＰＱ＝Ｐ(Ｐ－ｐ)＝ｍ_μ²－(Ｐｐ),

　Ｑｐ＝ｐ(Ｐ－ｐ)＝(Ｐｐ)－ｍ_e²,なので,

　(ＰＱ)(Ｑｐ)＝{ｍ_μ²－(Ｐｐ)}{(Ｐｐ)－ｍ_e²} 

　＝(ｍ_μ²＋ｍ_e²)(Ｐｐ)－ｍ_μ²ｍ_e²－(Ｐｐ)²です。
 

　Ｅ_p²＝ｐ²＋ｍ_ｅ²,より, Ｅ_pｄＥ_p＝|ｐ|ｄ|ｐ|であり,

　ｄ³ｐ＝|ｐ|²ｄ|ｐ|ｄΩ_p＝|ｐ|Ｅ_pｄＥ_pｄΩ_pです。

したがって,ｄω＝{|Ｇ~|/(192π⁴)|ｐ|ｄＥ_pｄΩ_p 

(6|1－λ|²(Ｐｐ)|{1＋(ｍ_μ/ｍ_e)²－2(Ｐｐ)}

 ＋|1＋λ|²[3{(ｍ_μ²＋ｍ_e²)(Ｐｐ)－2ｍ_μ²ｍ_e²－4(Ｐｐ)²}|)

です。

　ところが,ｐ＝(Ｅ_p,ｐ)なのでμ粒子の静止系:Ｐ＝(ｍ_μ,0)

　を考えると,Ｐｐ＝Ｅ_PＥ_p－Ｐｐ＝ｍ_μＥ_pです。

　　そこで,ｄω＝{|Ｇ~|²ｍ_μＥ_p/(192π³Ｅ_P)}|ｐ|ｄＥ_pｄΩ_p 

 ＝(6|1－λ|²{1＋(ｍ_μ/ｍ_e)²－2(Ｅ_p/ｍ_μ)} 

　＋|1＋λ|²[{3＋3(ｍ_μ/ｍ_e)²－2ｍ_e²－4(Ｅ_p/ｍ_μ)|

　ですが,Ｅ_P＝ｍ_μであり,

　　また.ｍ_e＜＜ｍ_μなのでｍ_e²に比例する項を無視する近似

をすると,|ｐ|～Ｅ_pであり,電子の立体角での積分:∫ｄΩ_p

を実行すれば,

　　dω/ｄＥ_p～{|Ｇ~|²ｍ_μ²Ｅ_p²/(48π³)} 

[6|1－λ|²{1－2(Ｅ_p/ｍ_μ)}＋|1＋λ|²[{3－4(Ｅ_p/ｍ_μ)|]
　 を得ます。

この段階で,このエネルギー分布予測を観測と比較すると,

観測は良い精度でλ＝＋1を支持しています。
 

これはν'で表わされるニュートリノも左巻きであること

を示すものです。(※これは言いかえると,ν'の質量も

ゼロであることを意味します。※)

そこで,λ＝＋1であるとして,これを代入すると,

dω/ｄＥ_p～{|Ｇ~|²ｍ_μ²Ｅ_p²/(12π³)}{3－4(Ｅ_p/ｍ_μ)}

ですから,

0≦Ｅ_ｐ≦ｍ_μの」範囲で∫ｄＥ_ｐを実行すると.

結局,μ粒子の崩壊率として,ω＝|Ｇ~|²ｍ_μ⁵/(192π³)

が得られます。

μの平均寿命をτ_μとするとω－1/τ_μですから

τ_μ＝192π³/(|Ｇ~|²ｍ_μ⁵)です。

　※(注11.5):μ粒子静止系でのエネルギー・運動量保存則: 

Ｅ_P＝ｍ_μ＝Ｅ_p＋Ｅ_ｋ＋Ｅ_k~,Ｐ＝0＝ｐ＋ｋ＋ｋ~より,

(ｋ＋ｋ~)＝ｐ², すなわち,Ｅ_ｋ²＋Ｅ_k~²＋2Ｅ_ｋＥ_k~cosθ 

＝Ｅ_p²－ｍ_e²です。

　　これに,Ｅ_p＝ｍ_μ－Ｅ_k－Ｅ_k~を代入してＥ_pを消去します。 

Ｅ_k²＋Ｅ_k~²＋2Ｅ_kＥ_k~cosθ＝(ｍ_μ－Ｅ_k－Ｅ_k~)²－ｍ_e², 

　つまり,ｍ_μ²－2ｍ_μ(Ｅ_k＋Ｅ_k~)

 ＝2Ｅ_kＥ_k~(cosθ－1)＋ｍ_e²を得ます。
　 

　ところが,既にｄωの評価の際,ｍ_e＜＜ｍ_μゆえ,ｍ_e²に

　比例する項を無視する近似を実施しましたが,ここでも,

 ｍ_e² ～ 0という近似を行なうと,右辺＝2Ｅ_kＥ_k~(cosθ－1)≦0

 です。
 

　これは,ｍ_μ{ｍ_μ－2(Ｅ_k＋Ｅ_k~)}≦0 より,

　(Ｅ_k＋Ｅ_k~)≦ｍ_μ/2を意味するので,

 Ｅ_p＝ｍ_μ－(Ｅ_ｋ＋Ｅ_k~)≦ｍ_μ/2　です。
 

　そこで∫ｄＥ_pの積分範囲は0≦Ｅ_p≦ｍ_μ/2であり, 

　ω＝∫₀^ｍμ/2(ｄω/ｄＥ_p)ｄＥ_p 

　　＝|Ｇ~|²ｍ_μ²/(12π³)∫₀^ｍμ/2ｄＥ_p [Ｅ_p²(3－4Ｅ_p/ｍ_μ)] 

　　＝|Ｇ~|²ｍ_μ²/(12π³){(ｍ_μ/2)³－(ｍ_μ/2)⁴/ｍ_μ}

　　　結局,ω＝|Ｇ~|²ｍ_μ⁵/(192π³) が得られます。 

　　　(注11.5終わり)※
 

　さて.μの崩壊の平均寿命の信頼できる観測値は, 

　τ_μ＝(2.21±0.003)×10^-6secです。
 

　これを,上に求めた表式:ω＝1/τ_μ＝|Ｇ~|²ｍ_μ⁵/(192π³)

と比較対照して,|Ｇ~|はＣ_Ｖを中性子ｎのβ崩壊のベクトル

結合定数としてＧ＝√2Ｃ_Ｖとした中性子のβ崩壊の結合定数

Ｇと2％以内の誤差で等しいことがわかります。
 

　こうしたことからFermi粒子の弱いβ崩壊結合における

普遍性が強く示唆されるため,ここでμ崩壊に対して仮定

した相互作用の形の妥当性へのさらなる支持が得られたと

考えられます。
 

※(注11.6):まず,中性子ｎのβ崩壊における弱い相互作用

のHamiltonian密度をＨとし,単位の無い係数を除いて,

Ｈ＝ＧΨ_p~Ψ_nΨ_e~Ψ_ν,Ｇ＝√2Ｃ_Ｖと書き,両辺の 

単位(次元)を等置します。(次元解析です。)
 

物理量Ａの次元を[Ａ]と書くことにすれば,[Ｈ]は

エネルギー密度の次元なので,[Ｈ]＝ＭＬ²Ｔ^-2×Ｌ^-3

＝ＭＬ^-1Ｔ^-2です。
 

また,Ψ_P~,Ψ_n,Ψ_ｅ~,Ψ_νは全て2乗すると単位がＬ^-3の確率

密度を示すため,各々の次元はＬ^-3/2です。
 

故に,[Ψ_P~Ψ_nΨ_ｅ~Ψ_ν]＝Ｌ^-6ですから,

Ｈ＝ＧΨ_P~Ψ_nΨ_ｅ~Ψ_νは,ＭＬ^-1Ｔ^-2＝[Ｇ]Ｌ⁶を意味します。
 

故に,Ｇの単位は,[Ｇ]＝ＭＬ⁵Ｔ^-2です。
 

以前の記事:「弱い相互作用の旧理論(6)」において中性子ｎ

のβ崩壊の観測から崩壊反応は,ＶとＡのみのFermi遷移であり,

結合定数Ｇは,Ｇ＝√2Ｃ_Ｖ＝(1.015±0.03)×10^-5×(1/Ｍ_ｐ²), 

および,Ｃ_Ａ＝(1.21±0.03)Ｃ_Ｖ＝αＣ_Ｖで与えられるという

結果を得ることを見ました。
 

今までの議論はPlanck定数をｈ,ｈ_c＝ｈ/(2π),ｃを光速と

して,ｈ_c＝ｃ＝1とする自然単位での話としてきました。
 

[Ｇ]＝ＭＬ⁵Ｔ^-2,[ｈ_c]＝ＭＬ²Ｔ^-1,ｃ～3.0×10⁸(ｍ/sec)より,

[ｃ]＝ＬＴ^-1ですから,Ｇの評価式: 

Ｇ＝(1.015±0.03)×10^-5×(1/Ｍ_ｐ²)において,この中

の陽子の質量Ｍ_pをエネルギーの単位:ＭＬ²Ｔ^-2を持つ

Ｍ_pｃ² ～ 940MeVで置換えて.通常の単位での

Ｇ＝(1.015±0.03)×10^-5×(Ｍ_ｐｃ²)^-2ｈ_c^αｃ^βに換算

する ことを考えます。
　 

次元解析(両辺の単位を等置する)を行なうと, 

ＭＬ⁵Ｔ^-2＝(ＭＬ²Ｔ^-2)^-2(ＭＬ²Ｔ^-1)^α(ＬＴ^-1)^βから 

1＝－2＋α,5＝－4＋2α－β,－2＝4－2α－βより,

α＝β＝3です。
 

それ故,Ｇ＝(1.015±0.03)×10^-5×(940MeV)^-2ｈ_c³ｃ³です。
 

一方,μの崩壊率は,ω＝1/τ_μ＝|Ｇ~|²ｍ_μ⁵/(192π³)ですが 

Ｇ~は実数で,|Ｇ~|＝Ｇ~であるとすると, 

ω＝1/τ_μ＝Ｇ~²ｍ_μ⁵/(192π³)です。

ここで,さらにμ崩壊の結合定数Ｇ~も上のβ崩壊の

結合定数Ｇに等しいと仮定すると,  ω＝1/τ_μ＝Ｇ²ｍ_μ⁵/(192π³)です。

　　自然単位でなく通常の単位では,

ω＝Ｇ²(ｍ_μｃ²)⁵ｈ_c^ρｃ^σ/(192π³)であると仮定し,

[ω]＝Ｔ^-1,[Ｇ]＝ＭＬ⁵Ｔ^-2,[ｈ_c]＝ＭＬ²Ｔ^-1,

[ｃ]＝ＬＴ^-1,[ｍ_μｃ²]＝ＭＬ²Ｔ^-2を用いて次元解析

を行なうと,

　Ｔ^-1＝(ＭＬ⁵Ｔ^-2)²(ＭＬ²Ｔ^-2)⁵(ＭＬ²Ｔ^-1)^ρ(ＬＴ^-1)^σ

なので,0＝2＋5＋ρ,0＝10＋10＋2ρ＋σ,

－1＝－4－10－ρ－σより,ρ＝－7,σ＝－6

を得ます。
 

故に,ω＝Ｇ²(ｍ_μｃ²)⁵ｈ_c^-7ｃ^-6/(192π³)が得られます。
 

Ｇ＝(1.015±0.03)×10^-5×(940MeV)^-2ｈ_c³ｃ³ 

から誤差:±0.03を省いて

Ｇ²＝1.015²×10^-10×(940MeV)^-4ｈ_c⁶ｃ⁶ 

および,ｍ_μｃ²＝106MeVを代入すれば,
 

ω＝1.015²×10^-10×(940MeV)^-4(106MeV)⁵ｈ_c^-1/(192π³) 

＝2.97×10^-16MeV/ｈ_c となります。
 

　ところが,MeV単位ではｈ_c＝6.6×10^-22(MeV・sec)

なので,結局,μ粒子の崩壊率は,

ω＝(2.97×10^-16/6.6)sec^-1で,μの平均寿命は.

τ_μ＝1/ω＝2.22×10^-6secであるという予測

計算値が得られました。
 

他方,μの平均寿命の観測値は,

τ_μ＝(2.21±0.003)×10^-6secですから,上記の予測値と

ほぼ一致しています。

　　これで,Ｇ~＝Ｇの仮定が非常に良い精度で成立すると

結論されます。 (注11.6終わり)※
 

今日はここで終わります。 

次回はπ中間子の崩壊を論じる予定です。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell

"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)

弱い相互作用の旧理論(10)(Fermi理論)

「弱い相互作用の旧理論」の続きです。
 

　前回最後に余裕があればやる,と書きましたが.

理論を継続するために是非必要な手順の１つであると再認識

したので,これまでの中性子のβ崩壊の議論に続いて,余裕が

あるなしに関係なくμ中間子の崩壊の記述に移ります。
 

※(注10.1):μ粒子はその発見当時は,π中間子の他にも新粒子

が存在するはずであるという「坂田・谷川の２中間子論」の予測を

裏付ける粒子であったため,歴史的には中間子(meson)という呼称を

与えられていました。

(※※自慢ですが,私は,上記の(故)谷川先生の定年退官前の最後の

弟子の一人でした。とても不肖の弟子ではありますが。。※※)
 

しかし,近年の素粒子の分類では,(素)粒子にはハドロンとレプトン 

(軽粒子)があって,中間子はハドロンの一種であり,一方,μ粒子は 

電子やニュートリノと同じくレプトンの仲間なので中間子という 

呼称はふさわしくないと思われますから,以下ではμ中間子でなく 

単にμ,または,μ粒子(Muon)と呼ぶことにします。
 

なお,レプトンは,他に基本粒子があってそれから成る複合粒子 

ではなく,内部構造を持たない真の素粒子ですが,ハドロンには,

さらにクォークと呼ばれるより基本的な素粒子があって,それら

から形成される複合粒子であるとされています。
 

ハドロンには,スピンが半奇数のフェルミ粒子(Fermion )である 

バリオン(重粒子)とスピンがゼロ(スカラー),１(ベクトル), 

２(テンソル)etc.のような整数スピンのボーズ粒子(Boson) 

があり,メソン(中間子)はそのボーズ粒子群に属します。
 

そして,核子(陽子ｐ,中性子ｎ)や,Λ粒子,Ω粒子,etc.とその反粒子 

などから成るパリオンは,基本粒子であるスピン1/2のクォ－ク3個,

または,反クォーク3個から成る複合粒子であり,

一方,メソンはクォークと反クォークのペアから成る複合粒子である

とされています。　(注10.1終わり)※
 

§10.13 μ粒子の崩壊(Mu-meson Decay) 

μ粒子の崩壊(μ^－崩壊):μ^－ → ｅ^－＋ν'＋ν~は,４つのFermi粒子

を巻き込み,１組の(ｅ^－,ν~)を含んでいます。
 

この崩壊には,中性子ｎのβ崩壊:ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~ との類似 

が見られるため,これにβ崩壊と同じ形のＳ行列を適用することが 

示唆されます。
 

そこで,逆β崩壊: ｐ → ｎ＋ｅ^＋＋νと同様,逆μ^－崩壊のμ^＋崩壊: 

μ^＋ → ｅ⁺＋ν＋ν'~がありますが,その振幅はμ崩壊の振幅から 

「詳細釣合いの原理」で導くことができるはずです。
 

ここまでで論じたように中性子ｎのβ崩壊:ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~ 

のＳ行列要素は,
　Ｓ_fi＝(－ｉ)(2π)^-6{Ｍ_Ｎ²ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

×(2π)⁴δ⁴(Ｐ_ｎ－Ｐ_ｐ－ｐ_ｅ－ｐ_ν~)Ｍ　；
　 

Ｍ　＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)γ_μ(１－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｎ)]

×[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)γ^μ(１－γ₅)ｖ_ν~(ｐ_ν~)]　で与えられます。
 

それ故,μ粒子の崩壊:μ^－ → ｅ^－＋ν'＋ν~のＳ行列要素

における不変振幅Ｍ ~においてもβ崩壊における上記の不変振幅: 

Ｍ　＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)γ_μ(１－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｎ)] 

×[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)γ^μ(１－γ₅)ｖ_ν~(ｐ_ν~)]

のうちのレプトンペア:(ｅ^－,ν~)の寄与する因子部分:

[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)γ^μ(１－γ₅)ｖ_ν~(ｐ_ν~)]は,全く同一不変である

と仮定します。

　これは,μ粒子の崩壊でも,100%右巻き反ニュートリノと大部分が

左巻きの電子という偏極率で,このペアが放出されて出現すること

を示しています。
 

※(注10.2):(1－γ₅)γ ^μ(1－γ₅)＝0,であり,一方,

　(1＋γ₅)γ^μ(1－γ₅)＝2γ^μ(1－γ₅)　なので,
 

　因子:[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)γ^μ(１－γ₅)ｖ_ν~(ｐ_ν~)]　において,

ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)のｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)＝ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ){(1＋γ₅)/2}

＋ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ){(1－γ₅)/2}　なる分解のうち,

完全な右偏極電子成分:ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)[(1－γ₅)/2}(＝完全

右偏極スピノル:{(1＋γ₅)/2}ｕ_ｅ(ｐ_ｅ) の共役スピノル)

はこの因子には全く寄与しません。)

しかし,実際は質量がある電子の右偏極は完全ではなく,

{(1＋γ₅ｓ_Ｒ)/2}ｕ_ｅであり,質量ゼロに相当する相対論極限

ではｓ_Ｒ→1により完全になります。

(※上記の1＝{(1＋γ₅)/2}＋{(1－γ₅)/2}なる分解ではなく,

1＝{(1＋γ₅ｓ_Ｒ)/2}＋{(1＋γ₅ｓ_Ｌ)/2}なる分解を考える

べきでしょうか？※)

　そこで,比較的軽く小質量の電子の右巻き成分の寄与はゼロ

ではないですが小さいため,放出電子の大部分は左巻き電子

です。100％右巻き反ニュートリノと相互作用しながら共存

できる電子の偏極期待値は完全左偏極のＰ_e＝－1ではなく

Ｐ_e＝－β_e＝－ｖ_e/ｃであることがわかっています。

　(注10.2終わり)※

μ崩壊の実験では,上記因子から予測される反ニュートリノの

偏極は観測不可能でしたが,電子の左偏極優位性は観測されて

います。
 

それ故,μ^－,ｅ^－,ν',ν~の４元運動量:Ｐ_μ,ｐ_ｅ,ｐ_ν',ｐ_ν~

を,それぞれ,Ｐ,ｐ,ｋ,ｋ~と略記し,それに伴ない,

Ｅ_μ,Ｅ_ｅ,Ｅ_ν',Ｅ_ν~も,それぞれ,Ｅ_P,Ｅ_p,Ｅ_ｋ,Ｅ_k~と書くと,

μ崩壊のＳ行列要素は,
 

Ｓ_fi＝(－ｉ)(2π)^-6[ｍ_μｍ_ｅ/{Ｅ_PＥ_p(2Ｅ_k)(2Ｅ_ｋ~)}]^1/2 

×(2π)⁴δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)Ｍ ~；
 

および,　Ｍ ~＝(Ｇ~/√2)[ｕ_ν'(ｋ)γ_μ(１－λγ₅)ｕ_μ(Ｐ)]

×[ｕ_ｅ'(ｐ)γ^μ(１－γ₅)ｖ_ν~(ｋ~)]  

で与えられる,と考えられます。
 

※この,運動量を付記した運動学を示すμ崩壊のグラフを

下図10.17に示します。その下に,対応する中性子ｎのβ崩壊

の図10.14も示しておきます。※)

 

　　　

パラメータ－λは,ν'の左偏極率を示すものですが,これはμ崩壊

の実験において観測される崩壊率(遷移率)やスペクトル分布から 

決定さるべき結合定数Ｇ~やμ粒子の性質と共に,これらの関わり 

から決まるはずです。
 

そこで,非偏極粒子に対するμ崩壊の遷移率を得るために,

Ｓ行列要素の絶対値の２乗:|Ｓ_fi|²を取り,終状態の位相因子

(＝状態数)ｄ³ｐｄ³ｋｄ³ｋ~を掛けます。
 

そして,終状態のスピンにわたる和を取り,始状態でのμのスピン

で平均するため,始状態,終状態両方のスピンにわたる和を取った

後,全体を２で割ります。
 

この操作は,これまで通り|Ｓ_fi|²の中のスピノル因子の積をその

射影演算子に置き換えて得られるトレース計算を利用します。
 

最後に相互作用領域の体積Ｖと相互作用時間Ｔの積: 

ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0)で割って単位体積当たりの遷移率

とし,さらにμ粒子１個当たりのそれとするためにμ粒子

の密度:１/Ｖ＝1/(2π)³で割ります。
 

これらのステップを実行すると,遷移率の計算式として次式 

を得ます。
 

すなわち,ｄω＝(1/2)(2π)^-5(ｍ_μ/Ｅ_P)

∫ｄ³ｐ(ｍ_ｅ/Ｅ_p)ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_ｋ~)^-1

δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)×Σ_spins |Ｍ ~|² です。
 

そして, Σ_spins |Ｍ ~|² 

＝(|Ｇ~|²/2)Σ_spins|[ｕ_ν'~(ｋ)γ_μ(1－λγ₅)ｕ_μ(Ｐ)] 

×[u_ｅ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν~(ｋ~)]|² 

＝(4ｍ_μｍ_ｅ)^-1Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ] 

×Ｔr[γ^μ(1－γ₅)(ｐ＋ｍ_ｅ)γ^ν(1－γ₅)ｋ~] 

です。
 

※(注10.3):何故なら,

Ｊ₁^μ(ｋ,Ｐ)≡ｕ_ν'~(ｋ,ｓ_ν')γ^μ(1－λγ₅)ｕ_μ(Ｐ,Ｓ),

Ｊ₂^μ(ｐ,ｋ~)≡ｕ_ｅ~(ｐ,ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν~(ｋ~,ｓ~)

と置けば,
 

Σ_spins|[ｕ_ν'~(ｋ,ｓ_ν')γ^μ(1－λγ₅)ｕ_μ(Ｐ,Ｓ)]

×[ｕ_ｅ~(ｐ,ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν~(ｋ~,ｓ~)]|²  

＝Σ_spins|Ｊ_1μ(ｋ,Ｐ)Ｊ₂^μ(ｐ,ｋ~)|² 

＝Σ_spins[Ｊ_1μ(ｋ,Ｐ)Ｊ₂^μ(ｐ,ｋ~)][Ｊ_1ν(ｋ,Ｐ)Ｊ₂^ν(ｐ,ｋ~)]^＋ 

＝Σ_spins[Ｊ_1μ(ｋ,Ｐ)Ｊ₁^＋_ν(ｋ,Ｐ)][Ｊ₂^μ(ｐ,ｋ~)Ｊ₂^＋ν(ｐ,ｋ~)] 

＝[Σ_±sν',±S{Ｊ_1μ(ｋ,Ｐ)Ｊ₁^＋_ν(ｋ,Ｐ)}] 

×[Σ_{±sｅ,±ｓν~}{Ｊ₂^μ(ｐ,ｋ~)Ｊ₂^＋ν(ｐ,ｋ~)}]

です。
 

そして,Σ_±sν',±S[Ｊ_1μ(ｋ,Ｐ)Ｊ₁^＋_ν(ｋ,Ｐ)] 

＝Σ_±sν',±SΣ_α,βΣ_λ,σ

[ｕ_ν'~_α(ｋ,ｓ_ν'){γ_μ(1－λγ₅)}_αβｕ_μβ(Ｐ,Ｓ)]

[ｕ_μ~_λ(Ｐ,Ｓ){γ_ν(1－λγ₅)}^＋_λσｕ_ν'σ(ｋ,ｓ_ν')]

です。
 

　一般に,ガンマ行列の積:Γに対してΓ~をΓ~≡γ⁰Γ⁺γ⁰で定義

すると,|ｕ~(ｆ)Γｕ(ｉ)|²＝[ｕ~(ｆ)Γｕ(ｉ)][ｕ~(ｉ)Γ~ｕ(ｆ)]

です。
 

そして,特にγ^μ~≡γ⁰γ^μ+γ⁰＝γ^μ,(iγ₅)~＝iγ₅,

(γ^μγ₅)~＝γ^μγ₅ です。

(γ₅＝γ⁵は,γ₅＝γ⁵≡iγ⁰γ¹γ²γ³で定義されています。)
 

そこで,Σ_±sν',±S[Ｊ_1μ(ｋ,Ｐ)Ｊ_1ν(ｋ,Ｐ) ^*] 

＝Σ_±sν',±SΣ_α,βΣ_λ,σ 

[ｕ_ν'~_α(ｋ,ｓ_ν'){γ_μ(1－λγ₅)}_αβｕ_β(Ｐ,Ｓ)] 

×[ｕ_μ~_λ(Ｐ,Ｓ){γ_ν(1－λγ₅)}~_λσｕ_σ(ｋ,ｓ_ν')] 

であり,かつ,{γ_ν(1－λγ₅)}~＝γ_ν(1－λ^＊γ₅)　です。
 

ところで,ｕ(ｐ,ｓ),ｖ(ｐ,ｓ)をｗ^(r)(ｐ)で表現すると, 

Σ_±sｕ_β(ｐ,ｓ)ｕ~_λ(ｐ,ｓ)＝Σ_r=1²ε_rｗ^(r)_β(ｐ)ｗ^(r)~_λ(ｐ), 

Σ_±sｖ_β(ｐ,ｓ)ｖ~_λ(ｐ,ｓ)＝Σ_r=3⁴ε_rｗ^(r)_β(ｐ)ｗ^(r)~_λ(ｐ) 

です。
 

そして,ｍ＞0ならｒ＝1,2に対して, 

(ｐ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ)/(2ｍ)＝ｗ^(r)(ｐ),(－ｐ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ)/(2ｍ)＝0, 

ｒ＝3,4に対して,  

(－ｐ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ)/(2ｍ)＝ｗ^(r)(ｐ),(ｐ＋ｍ)ｗ^(r)(ｐ)＝0

です。
 

それ故,また,ｒ＝1,2では

ｗ^(r)~(ｐ)(ｐ＋ｍ)/(2ｍ)＝ｗ^(r)~(ｐ), 

ｗ^(r)~(ｐ)(－ｐ＋ｍ)/(2ｍ)＝0 (ｒ＝1,2),

　および,ｒ＝3,4では, 

ｗ^(r)~(ｐ)(－ｐ＋ｍ)/(2ｍ)＝ｗ^(r)~(ｐ),

ｗ^(r)~(ｐ)(ｐ＋ｍ)/(2ｍ)＝0 です。
 

そこで, ε_r＝1,(ｒ＝1.2) ε_r＝－1(ｒ＝3,4)として, 

規格化条件:Σ_r=1⁴ε_rｗ^(r)_α(ｐ)ｗ^(r)~_β(ｐ)＝δ_αβを用いると, 

Σ_±sｕ_β(ｐ,ｓ)ｕ~_λ(ｐ,ｓ)＝Σ_r=1²ε_rｗ^(r)_β(ｐ)ｗ^(r)~_λ(ｐ) 

＝Σ_r=1⁴Σ_σ=1⁴ε_rｗ^(r)_β(ｐ)ｗ^(r)~_σ(ｐ)(ｐ＋ｍ)_σλ/(2ｍ) 

＝Σ_σ=1⁴δ_βσ(ｐ＋ｍ)_σλ/(2ｍ),
 

および,Σ_±sｖ_β(ｐ,ｓ)ｖ~_λ(ｐ,ｓ)

＝－Σ_r=3⁴ε_rｗ^(r)_β(ｐ)ｗ^(r)~_λ(ｐ) 

＝－Σ_r=1⁴Σ_σ=1⁴ε_rｗ^(r)_β(ｐ)ｗ^(r)~_σ(ｐ)(－ｐ＋ｍ)_σλ/(2ｍ) 

＝Σ_σ=1⁴δ_βσ(ｐ－ｍ)_σλ/(2ｍ)　を得ます。
 

結局,Σ_±sｕ_β(ｐ,ｓ)ｕ~_λ(ｐ,ｓ)＝(ｐ＋ｍ)_βλ/(2ｍ) ,

Σ_±sｖ_β(ｐ,ｓ)ｖ~_λ(ｐ,ｓ)＝(ｐ－ｍ)_βλ/(2ｍ)　です。
 

ｍ＝0なら,Σ_±sｕ_β(ｐ,ｓ)ｕ~_λ(ｐ,ｓ)＝ｐ_βλ　,  

かつ,Σ_±sｖ_β(ｐ,ｓ)ｖ~_λ(ｐ,ｓ)＝ｐ_βλです。
 

したがって,Σ_±sν',±SΣ_α,βΣ_λ,σ 

ｕ_ν'~_α(ｋ,ｓ_ν'){γ_μ(1－λγ₅)}_αβｕ_μβ(Ｐ,Ｓ)] 

×[ｕ_μ~_λ(Ｐ,Ｓ){γ_ν(1－λ^＊γ₅)}_λσｕ_σ(ｋ,ｓ_ν')] 

＝{γ_μ(1－λγ₅)}_αβ(Ｐ＋ｍ_μ)_βλ{γ_ν(1－λ^＊γ₅)}_λσｋ_σα 

ですから,
 

Σ_±sν',±S[Ｊ_1μ(ｋ,Ｐ)Ｊ₁^＋_ν(ｋ,Ｐ)] 

＝Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ] 

を得るわけです。
 

同様に,Σ_{±sｅ,±ｓν~}[Ｊ₂^μ(ｐ,ｋ~)Ｊ₂^＋ν(ｐ,ｋ~)] 

＝Σ_{±sｅ,±ｓν~}|ｕ_ｅ~(ｐ,ｓ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν~(ｋ~,ｓ_ν~)| 

×[ｖ_ν~~(ｋ~,ｓ_ν~)γ^ν(1－γ₅)ｕ_ｅ(ｐ,ｓ_ｅ)] 

＝Ｔr[γ^μ(1－γ₅)(ｐ＋ｍ_e)γ^ν(1－γ₅)ｋ~] 

を得ます。　(注10.3終わり)※
 

さて,遷移率の計算式: 

ｄω＝(1/2)(2π)^-5(ｍ_μ/Ｅ_P)

∫ｄ³ｐ(ｍ_ｅ/Ｅ_p)ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_ｋ~)^-1

δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)×Σ_spins |Ｍ ~|²

および, 

Σ_spins |Ｍ ~|² 

＝(|Ｇ~|²/2)(4ｍ_μｍ_ｅ)^-1Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ]

Ｔr[γ^μ(1－γ₅)(ｐ＋ｍ_e)γ^ν(1－γ₅)ｋ~]

において,ｄωの表式の右辺の(ｍ_μ/Ｅ_P),(ｍ_ｅ/Ｅ_ｐ)は,

Σ_spins |Ｍ ~|²の右辺の因子(4ｍ_μｍ_ｅ)^-1と相殺されて,それぞれ

(2Ｅ_P)^-1,(2Ｅ_p)^-1に置き換えられて,
 

ｄω＝(1/2)(2π)^-5(2Ｅ_P)^-1

　∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1ｄ³ｋ(2Ｅ_k)^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_ｋ~)^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)

　　(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ]

Ｔr[γ^μ(1－γ₅)(ｐ＋ｍ_e)γ^ν(1－γ₅)ｋ~]　

　と書けます。

そして全ての積分∫ｄ^３ｐｄ³ｋｄ³ｋ~を実行後の遷移率で(2Ｅ_P)^-1 

より右の全ての量はLorentz不変です。
 

そこで,遷移率の逆数はμ粒子のエネルギー:Ｅ_Pに反比例する

ことがわかります。μ粒子の静止系では,遷移率の逆数は平均寿命

でありＥ_Pはμの質量:ｍ_μです。

　さらに,,(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ_μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－λ^＊γ₅)ｋ]

Ｔr[γ^μ(1－γ₅)(ｐ＋ｍ_e)γ^ν(1－γ₅)ｋ~]

＝32|Ｇ~|²(1＋|λ|²){(ｋ~Ｐ)(ｐｋ)＋(ｋｋ~)(ｐＰ)}

＋|Ｇ~|²(λ＋λ^＊)Ｔr[ｋγ_μＰγ_νγ₅]Ｔr[ｐγ^μｋ~γ^νγ₅]　

です。
 

途中ですが,長くなったので今日はここで終わります。

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic Quantum Mechanics" (McGrawHill)

弱い相互作用の旧理論(9)(Fermi理論)(ＰＳ：重力波)

「弱い相互作用の旧理論」２成分スピノルのニュートリノ理論

の続きです。
 

中途半端なので,前回最後の部分を再掲載するところから始めます。

※ 自然界で観測される正エルギーのニュートリノは 

{σｐ|/|ｐ|}ｕ(ｐ,ｓ)＝－ｕ(ｐ,ｓ)を満たすｕ(ｐ,ｓ)

＝ｕ(ｐ,－)＝[0,1]^T の100％左巻きのニュートリノですから,これは

方程式：i(∂Ψ/∂ｔ)＝－iα∇Ψの係数行列αをα＝σでなく

α＝－σと選択すべきことを意味します。
 

このα＝－σとした方程式i(∂Ψ/∂ｔ)＝iσ∇Ψの

正エネルギー解では,Ψ(ｘ)＝{(2Ｅ) (2π)³}^-1/2ｕ(ｐ,ｓ)

exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ)}のｕ(ｐ,ｓ)は,運動量表示の方程式：

Ｅｕ(ｐ,ｓ)＝－σｐｕ(ｐ,ｓ)を満たします。
 

ｐの向きを３軸の向きとするこれの２成分解においては.

確かに,ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,－)＝[0,1]^T です。※

 

ここまでが前回最後の部分の再掲です。
 

さて,こうした２成分の解と今までなじみ深い４成分スピノル

との関係をより良く理解するため,一旦質量ｍの項がある一般

のDirac方程式に戻ります。
 

ただし,係数行列α,βとしては前と異なり,次のような表示を

選択採用します。

 

すなわち,α_ｋ(ｋ＝1,2,3)は,２×2の２つの細胞対角成分が

Pauli行列σ^kとその(－1)倍の－σ^kであるような４×４の

細胞対角行列であり,一方,βは,1を２×２単位行列として.

細胞反対角成分が共に －1であり,細胞対角成分はゼロの

４×４細胞反対角行列とします。

この表示でも,Pauli行列の性質:{σⁱ,σ^j}＝2δ^ij(ｉ,ｊ＝1,2,3) 

によって,β²＝1,{β,α_k}＝0,{α_i,α_j}＝2δ^ij(ｉ,ｊ,ｋ＝1,2,3) 

なる条件が満たされることは容易に確かめることができます。
 

そして,上のα,βの表示は,これまでの.2つの細胞対角成分

がゼロで２つの細胞反対角成分がPauli行列σ^kであるような

α_ｋ(ｋ＝1,2,3)と細胞対角成分が1と－1であるβの表示:

とは,Ｕ＝(1＋γ⁵γ⁰)/2^1/2によるユニタリ変換だけ異なって

います。
 

すなわち,Ｕ＝(1＋γ⁵γ⁰)/2^1/2と置けばＵ^＋＝Ｕ^－1であり,

元々の上述の表示のα,βを改めてα~,β~と書けば,Ｕの

定義におけるガンマ行列は,この元の表示でのガンマ行列

であるγ⁰＝β~,γ＝γ⁰α~＝β~α~です。(下図参照)

そして,Ｕによってα＝Ｕα~Ｕ^＋,β＝Ｕβ~Ｕ^＋が成立します。
 

※(注9-1):γ⁵＝γ⁰γ¹γ²γ³＝であり, 

ですから,確かにα＝Ｕα~Ｕ^＋,β＝Ｕβ~Ｕ^＋が成立して

います。　　(注9-1終わり)※
 

さて,新しいα,βの表示では,４成分のΨを２成分のφ,χに

分割してΨ＝[φ,χ]^Tと書くと,

　Dirac方程式:i(∂Ψ/∂ｔ)＋iα∇Ψ－βｍΨ＝0 は, 

i(∂φ/∂ｔ)＋iσ∇φ＋ｍχ＝0 ,および, 

i(∂χ/∂ｔ)－iσ∇χ＋ｍφ＝0　

の連立方程式になります。
 

これによると,ｍがゼロでばいときには,これらの方程式は共に 

φとχが混合された形ですが,ｍ＝0なら,それぞれが未知関数 

について独立した方程式の形になります。
 

すなわち,ｍ＝0 ならi(∂φ/∂ｔ)＝－iσ∇φ ,および, 

i(∂χ/∂ｔ)＝iσ∇χ です。
 

そこで,これらは,ｍ＝0 のDirac方程式：

i(∂Ψ/∂ｔ)＝－iα∇Ψ 

でΨを2成分スピノル,αを2×2行列と考えたときの.

それぞれ,α＝σ,および,α＝－σに対応する方程式と

なっています。
 

そうして,これらの自由平面波解は,係数を省略すると, 

Φ(ｘ) ∝ ｕ_φ(ｐ)exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ), 

χ(ｘ) ∝ ｕ_χ(ｐ)exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ) であり,

　Ｅ=}ｐ|ですから,方程式をFourie変換すると,それぞれ, 

Ｅｕ_φ＝σｐｕ_φ, or　{σｐ/|ｐ|}ｕ_φ＝ｕ_φ,

および, Ｅｕ_χ＝－σｐｕ_χ, or　{σｐ/|ｐ|}ｕ_χ＝－ｕ_χ 

となります。
 

したがって,φはhelicityが＋1の右巻き粒子,χはhelicity

が－1の左巻き粒子に対応するため,ｍ＝0 のときのφをｕ_＋,

χをｕ_－と表記することにします。

粒子の運動方向のｐの向きを3軸とすると,

{σｐ/|ｐ|}ｕ_φ＝ｕ_φから ｕ_φ ∝ [1.0]^T, 

{σｐ/|ｐ|}ｕ_χ＝－ｕ_χから ｕ_χ ∝ [0,1]^T

と表わされます。
 

以上から,細胞対角成分がゼロで細胞反対角成分がσである 

表示のαでの4成分スピノルΨのｍ＝0 のときの平面波解は 

Ψ＝[ｕ_＋,ｕ_－]^T と書けることになります。
 

そして,Ψ(＋)＝[ｕ_＋,0]^T,Ψ(－)＝[0,ｕ_－]^Tと書けば,

Ψ(＋)は右巻きニュートリノ,Ψ(－)は左巻きニュートリノ

の４成分の(しかし自由度は２の)解を意味します。

(※４成分の射影演算子の意味では,(ｍ＝0では)右巻きは,

{(1＋γ⁵)/2}Ψ(＋)＝Ψ(＋) であり,左巻きは,

{(1－γ⁵)/2}Ψ(－)＝Ψ(－)　です。※)
 

質量がゼロのDirac粒子を２成分の方程式で記述できる可能性

は1929年にWeylによって初めて論じられましたが,当時,それは

真面目には取り上げられませんでした。
 

その理由は,空間反転でDirac方程式不変(理論が不変)である 

条件を与えるΨ'(－ｘ,ｔ)＝ＰΨ(ｘ)のパリティ(Parity)操作

の行列:ＰはＰ＝exp(iδ)γ⁰なる形のそれだけですが,この行列

の因子β＝γ⁰が,2成分では意味を失なうためパリティ保存則が

成立しなくなるからでした。

※(注9-2):パリティ変換については2011年12//20過去記事 

「Diracの空孔理論(2)(荷電共役)」の中の(注)で記述しました。
 

すなわち,これを再掲載すると以下の通りです。
 

※(注):既に通常のLorentz変換:ｘ→ｘ'＝ａｘ に伴なう波動関数

Ψの変換:Ψ→ Ψ'は,Dirac方程式が形を変えないための次の条件: 

ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ^-1(ａ)γ^μＳ(ａ)を満たす４×４行列Ｓ(ａ)によって 

　Ψ'(ｘ')＝Ψ'(ａｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ｘ),

またはΨ'(ｘ)＝Ｓ(ａ)Ψ(ａ^-1ｘ)

と書けることを見ました。
 

そして,特殊なLorentz変換の1つである空間反転:

ｘ'＝－ｘ,ｔ’＝ｔにおいても特にＳ(ａ)＝Ｐとおいて

Ψ'(ｘ')＝Ψ'(－ｘ,ｔ)＝ＰΨ(ｘ)でパリティ変換Ｐを定義する

と,先の条件ａ^μ_νγ^ν＝Ｓ^-1(ａ)γ^μＳ(ａ)は,

ｇ^μνγ^ν＝Ｐ^-1γ^μＰとなります。
 

この条件は,δをある実数としてＰ≡exp(iδ)γ⁰とすれば満足

されます。
 

位相因子には物理的意味がないと考えても不都合はないですが, 

波動関数(spinor)自身にも何らかの物理的意味があると考える

立場なら,２回の反転で波動関数が元に戻ること:Ｐ²＝1を要求する

ことでＰ＝±γ⁰と位相因子が限定されます。
 

さらに回転群ならspinorは2価表現であることを知っています

から,実は,4回の反転で元に戻ること:Ｐ⁴＝1を要求すれば

Ｐ＝±γ⁰,または,Ｐ＝±iγ⁰です。
 

(一般にはＰ≡exp(iδ)γ⁰で十分ですが。。)(注終わり)※
 

以上,過去記事からの再掲載です。　　(注9-2終わり)※
 

しかし,1956年にパリティ保存則が壊れることが示された後

には,２成分のWeilの方程式が,Landau,Lee,Yang,および,Salam

によって復活させられました。
 

彼らは荷電共役(Chage-conjigation)対称性でもΨ_C＝Ｃγ⁰Ψ^＊

を与える行列:Ｃ＝1γ²γ⁰が２成分では失われるため荷電共役

も壊れるが,ＣＰの結合変換の下での対称性:つまり,空間反転

と荷電共役の結合での不変性は残ることを観測しました。
 

　荷電共役対称性というのは電磁場:Ａ^μがある場合の電荷ｅの

　電子の波動関数Ψに対するDirac方程式:

　{(i∂_μ－ｅＡ_μ)γ^μーｍ}Ψ＝0　から, 

　(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μなる関係を満たす正則行列

　Ｃγ⁰を見出せれば,Ψ_c≡Ｃγ⁰Ψ^＊＝Ｃ^tΨ~とおくことで

　Ψ_cが満たす方程式:{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}Ψ_c＝0を得る

　ことから,

　Ψ_cを電荷が－ｅの電子の反粒子である陽電子の波動関数と

　見なすことができるという内容でした。。
　 

　そして,実際にＣ＝iγ²γ⁰とすれば,(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1

 ＝－γ^μなる関係が満たされるのでした。
 

　このＣは,新しい表示では細胞対角成分がiσ²と－iσ²の

　細胞対角行列となりますが,2成分のニュートリノ理論では,

 Ｃの因子の４×４行列:β＝γ⁰の存在は,２成分では意味が

　不明で,もはやＣは対称操作では有り得ないことになります。 
 

　しかしながら,ＣＰ対称性は残ることを示せます。
 

　すなわち,Ψ＝[ｕ_＋,ｕ_－]^T＝Ψ(＋)＋Ψ(－)と書くと, 

　Ψ_cp(ｘ,ｔ)＝Ｃγ⁰Ψ_p^＊(ｘ,ｔ)＝ＣΨ^＊(－ｘ,ｔ)であり, 

　Ψ_cp＝[－iσ²ｕ_＋,iσ²ｕ_－]^T＝－iσ²Ψ(＋)＋iσ²Ψ(－)　

　です。
 

質量がゼロのニュートリノの波動関数に対する自由Dirac 

方程式は,i{i(∂/∂ｔ)＋iα∇}Ψ＝0　ですが, 

２成分では,α＝±σであり,このαに対しては,

ασ²＝－σ²α^＊が成立します。
 

(※ 何故なら,具体的なPauliの表示で計算すれば  

σ¹σ²＝－σ²σ¹＝－σ²σ^1＊,σ²σ²＝－σ²σ^2＊, 

σ³σ²＝－σ²σ³＝－σ²σ^3＊となるからです。※)
 

そこで,まず,{i(∂/∂ｔ)＋iα∇}Ψ(ｘ,ｔ)＝0　の両辺の

複素共役をとれば{－i(∂/∂ｔ)－iα^＊∇}Ψ^＊(ｘ,ｔ)＝0

　さらに空間反転:ｘ'＝－ｘの変数変換を行なうと,∇_ｘ'＝－∇ 

なので,{－i(∂/∂ｔ)＋iα^＊∇_ｘ’}Ψ^＊(－ｘ,ｔ)＝0

を得ます。
 

α＝±σの２成分方程式と考えて両辺にＣ＝±iσ²を乗じ,

σ²α^＊＝－ασ²を考慮すると,

±iσ²{－i(∂/∂ｔ)＋iα^＊∇_ｘ'}Ψ^＊(―ｘ,ｔ)＝0 

より,{－i(∂/∂ｔ)－iα∇_ｘ'}{ＣΨ^＊(－ｘ,ｔ)}＝0
 

すなわち, {i(∂/∂ｔ)－iα∇}Ψ_cp(ｘ,ｔ)＝0　を得ます。 

　(※↑α＝－σの左巻き方程式の解なら.ＣＰ変換後はα＝σの

右巻き方程式の解に変わります。※)
 

反粒子は粒子にＣＰを変換を程子板ものとして,反ニュートリノ

の波動関数を作るには,電子と陽電子の関係の場合と同じく,

負エネルギーのニュートリノの解から,複素共役をとり,

左からＣ＝iσ²を掛けます。
 

α＝－σの方程式{i(∂/∂ｔ)－iσ∇}Ψ(ｘ)＝0の解である 

左巻きの負エネルギーニュートリノ解:はＥ＝|ｐ|＞0とすれば 

Ψ(ｘ)＝{2Ｅ(2π)³}^1/2ｖ(ｐ,－)exp{i(Ｅｔ＋ｐｘ)}　です。
 

ｖ(ｐ,－)は－Ｅｖ(ｐ,－)＝－σｐｖ(ｐ,－)を満たします。 

そこで,この２成分表示ではｖ(ｐ,－)＝[1,0]^Tです。
 

そして,iσ²ｖ(ｐ,－)＝iσ²[1,0]^T＝－i[0,1]^Tですから

反ニュートリノ波動関数は,観測にはかからない位相因子(―i)

を除いて,Ψ_cp(ｘ',ｔ)＝{2Ｅ(2π)³}^1/2[0,1]^Tｖ(ｐ,－)

exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ')} となります。(ただし,ｘ'＝－ｘです。)
 

これも明らかに,左巻きWeyl方程式の解です。 

事実,上記の Ψ_cpでは,{σｐ/|ｐ|}[0,1]^T＝－[0,1]^Tであり,これは

helicity が－の左巻き粒子の波動関数であることを意味します。
 

しかし,これはパリティが反射された系:ｘ'＝－ｘでの話です。 

丁度,右向きの人が鏡の中では左向きに見えるように, 

このプライム系での左巻き反ニュートリノは,非プライム系

の我々にとっては右巻きです。
 

(※また,ｐは反ニュートリノ(または負エネルギーニュートリノ) 

の運動量を表わしていると同時にニュートリノの運動量を表わして 

いて,ＣＰ変換に対してｐはｐのまま符号を変えません。※)
 

さて,以上で中性子ｎのβ崩壊に関わる理論は終わります。 

　余裕があれば,次にはμ中間子(レプトン(軽粒子)のμ)の崩壊 

の話題に移ろうと思います。

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill)

　ＰＳ：重力波が発見されたというニュースがありました。 

　ヒッグス(Higgs)粒子とか重力波とか,いずれ確実に見つかる

だろうと考えられていたものが,次々と発見できる観測レベルに

到達したようです。

　　　ただし,こうしたもの見つかって検証できたとしても,例えば, 

青色ダイオードの発見のように直ちに我々にとって何かが 

大きく変わったり影響されるようなものではないと

思われますが。。。

　　私もかつてブログを]開始した直後の2006年の６/22に「重力波」という

題名で記事を書いたのを思い出しました。

　これは短かい記事なので,そのまま再掲載してみます。

※水素原子には,古典的には"１個の原子核＝陽子の周りを１つの 

電子が回っている。"というラザフォード模型の描像があります。
　
　　　しかし,実は電荷が加速度運動をすると電磁波を放射して

エネルギーを損失するため,こうした模型では電子は運動エネルギー

を失ってほとんど瞬時に原子核と一体化してしまい,原子は安定には

存在できないことになります。

　　そこで,水素原子として安定に存在できるためには,電子が

原子核からある距離,つまり電子軌道の半径がボーア半径と呼ば

れる値:ａ_B にあれば,もはや"電磁波＝光"を放射しない,という

ような"特別な条件＝量子条件"を設けることなどが必要と

なりました。

　  これによって,前期量子論の時代が始まったのでした。

　　そして,この模型で原子核の質量をＭ,電子の質量をｍとすると,

Ｍ＞＞ｍなので電子が半径 ｒ にあるときの引力ポテンシャル

＝位置エネルギーは,陽子の電荷をｅ＞0 （電子のそれは－ｅ)

とし,静電場のクーロンの法則における比例係数ｋを

ｋ＝１/(4πε₀)とすれば,Ｕ＝－ｋｅ²/ｒ となります。

　　そこで,相対論を考慮すると水素原子の質量は Ｍ＋ｍ＋Ｕ/ ｃ²

になると思いがちですが,実はラザフォード模型では遠心力と

引力が釣り合っており,そのときの電子の運動エネルギーが

ちょうど,| U |/2 ＝－U/2 になる(ビリアル定理)ので,これ

も加えて,水素原子の質量はＭ＋ｍ＋(1/2)Ｕ/ｃ²

となります。

　　まあ,正確には２体問題の質量は換算質量を用いる必要があり

電子の回転も陽子＝原子核が中心ではなく,そのごく近くの重心

の周りの回転になるというのが本当ですが,Ｍ が ｍ の1840倍

程度もありますから気にする必要はないでしょう。

　　そして,U＜0 すから,実際水素原子の質量は Ｍ＋ｍよりも

小さくなります。

　　これと同じことが,地球と月や人工衛星のときの万有引力（重力）

にも起こると想像されます。

　　万有引力定数をＧ,地球の質量をＭ,月や人工衛星の質量をｍ

とすると,やはり Ｍ＞＞ｍであり,月または人工衛星が地球中心

から半径Ｒのところにあり,引力が遠心力と釣り合って回転

しているというのは実は常に自由落下しているわけです。

　　ですから,みかけ上は無重力なのですが,そのときの引力の

位置エネルギーは Ｕ＝－ＧＭｍ/Ｒ で"地球＋月",または

"地球＋人工衛星"の総質量はやはり Ｍ＋ｍ＋(1/2)Ｕ/ｃ²

となります。

　　重力の量子論はまだできていませんが,古典論では水素原子なら

電子が電荷を持って加速度運動するために電磁波を放出して

原子核に落ちる,という制動輻射のアナロジーから,

　　質量を持って加速度運動している月や人工衛星は重力波を放出

して地球に落下するだろうと想像されます。

　　しかも,水素原子の系とは異なり,地球と衛星との系の規模は量子論

を無視して古典論で評価できる程度に大きいので,量子条件を用いて

安定性を保証することはできません。

　　　ところで,古典論で電子が原子核に落ち込むまでの時間τを計算

するとτ＝(1/4)ｍｃ²ａ_B³/(ｋｅ²)² ～10^-11秒程度です。

　　　この式から類推すると,重力の場合の月や人工衛星が地球に

落ち込むまでの時間はτ＝(1/4)(ｍｃ²Ｒ³/(ＧＭｍ)²程度で

あろうと推測されます。

　　　電気力と重力の大きさの比率は大体,重力のほうが40桁も小さい

ということがわかっています。

　　　これは大体ｋｅ²とＧＭｍを比較したもので,上の式によるとτの

比率は,その逆数の２乗に比例すると思われるので,これだけの

効果を考えても重力の場合は電気力の場合と比べて,落下までに

80桁も長い時間がかかるだろうと予想されます。

　　しかも,Ｒ³はａ_B³よりはるかに大きいので月や衛星が重力波のため

に地球に1cmでも落下して接近するには,10⁶⁰秒以上,つまり10⁵⁰年

以上もかかることになります。

　　これは宇宙の年齢100億年 ～ 200億年よりはるかに大きくて,

事実上全く落下しないのと同じですから,全く問題になりませんね。

　 　まあ,電気力と重力では,これ以外にも"電磁波＝光"は電荷を

持っていませんから,その波自身が光源となってそれからさら

に２次の電磁波を発生することはないけれど,重力波はそれ

自身がエネルギーεを持っているので,それはε/c²に相当する

質量を持ち重力波源になるという違いがありますね。

　　　重力波が重力波源となって２次の重力波を放射し,さらにそれ

からまた３次の重力波を放射することになって,重力に関わる現象

は非線形で扱いにくい,というのは大きな違いです。

　　　その他,小石が地面に落下しているときの位置エネルギーや運動

エネルギーは小石と,地球,または空間＝重力場のどこに属する

のかを考察するのも面白いですね。

　　　また,万有引力の位置エネルギーは２つの質点が一致したとたん

に－∞ になるので,合体すると質量が－∞ になるのでしょうか？

それとも,その－∞ 分の位置エネルギーが全て＋∞ の運動

エネルギーに転化されて,熱に変わった結果,相殺されるので

問題ない　のでしょうか？

　　あるいは電子の自己エネルギーと同じく,重力の場合も

自己エネルギーをくりこんだのだと考えればよいのか？,とかの

問題について論じるのも興味深いですが,

これらはまたの機会にしましょう。　※

　以上,10年近く前に書いた記事の回顧的な再掲載でした。

弱い相互作用の旧理論(8)(Fermi理論)

2015年の12月1日に弱い相互作用の旧理論(7)」をアップした後, 

12月15日に入院予定となりました。
　
　結局,入院は2016年1月12日に延期となり予想外で1月15日には

退院しました。この間,昨年12月5日に私がメインに使用してた

デスクトップＰＣが壊れ,代替のノートＰＣではワードの更新

ができず,結局,12月17日に購入した中古デスクトップＰＣで,

プリインストールされていた MS-office 2010のワードを用い

てブログ記事の草稿書きを再開しましたが。。。

でも,「弱い相互作用の旧理論」の続きをアップするのでなく,

Dirac方程式の導出というトピックに脱線しました。


　しかし,この脱線には理由があります。
 

そもそも,この「弱い相互作用の旧理論」ではニュートリノの質量

はゼロであるとしています。

 

カミオカンデで,ニュートリノには質量があることの証拠とされた

「ニュートリノ振動」の観測ですが,これについて私が完全に理解

しているわけではないので,若干の誤解があるかもしれないとは思

うのですが。。

 これは,"３世代のニュートリノである電子(ｅ) ニュートリノ:

ν_ｅ,μ-ニュートリノ:ν_μ,τ-ニュートリノ:ν_τの間に質量差

が　あること"を検証したものである。と理解しています。
 

そこで,例えば,今参照中のテキストの中性子ｎのβ崩壊に関わる 

　電子(ｅ)ニュートリノ:ν_ｅについては,質量がゼロであるという

　旧理論もまだ存在価値があるのでは？と思っています。
 

　そして,「中性子のβ崩壊に関わるニュートリノの質量がゼロ

であるなら,Dirac方程式でのニュートリノの波動関数を与える

スピノルΨが質量ｍを係数とする項を持たないため.Ψは４成分

である必要はなく,Pauliの２成分スピノルで十分記述できる。

という話に移行するところを記述中,私の悪いクセで,またまた,

詳細が気になったので蒸し返しです。
。

　あえて,Dirac方程式で波動関数を何故４成分にしたのか？

ということなどをも含む導出過程を復習しよう。と考えたため

でした。
 

　そして,一応,Dirac方程式関連の個人的な疑問も解消,準備

が終わったので,また,「弱い相互作用の旧理論」の続き,に

戻ろうと思います。
 

しかしながら,前の記事からずい分間も空いたし,いろいろと

情報が錯綜してきたので,まず,ここまでのストーリ－の連続性

を確認し要約しておくことから始めます。
 

まず, 中性子ｎのβ崩壊：ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~の最低次の

Ｓ行列要素は,

　　 Ｓ_fi^(ｅ-0)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

　Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｎ)(ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν) (ｘ₄)

　×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄) 

　
　で与えられるとします。
 

そして,４個の粒子の相互作用頂点の因子：

Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)は局所相互作用であると仮定します。
 

すなわち,Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)  

＝Ｆ_αβγδ・δ^４(ｘ₁－ｘ₂)δ^４(ｘ₁－ｘ₃) δ^４(ｘ₁－ｘ₄) 

なる形であるとします。

このＦ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)を運動量空間にFourier変換

すれば,Ｆ_αβγδ(ｐ₁,ｐ_２,ｐ_３,ｐ₄) ＝∫ｄ⁴ｐ₁..ｄ⁴ｐ₄ 

×exp{i(ｐ₁ｘ₁＋ｐ_２ｘ_２,＋ｐ_３ｘ_３＋ｐ₄ｘ₄)}

Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)

＝(2π)^４δ^４(ｐ₁＋ｐ_２＋ｐ_３＋ｐ₄)Ｆ_αβγδ 

なる形式になります。
 

ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~のｎ ,ｐ,ｅ^－,ν~のそれぞれの4元運動量 

ｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,ｐ₄は全て頂点に向かう向きを正として取ったもの 

ですが,これらを改めて頂点に向かう向きを正,頂点から出る向き 

を負として, それぞれ,ｐ₁＝－Ｐ_ｐ,ｐ₂＝Ｐ_ｎ,ｐ₃＝－ｐ_ｅ, 

ｐ₄＝―ｐ_ν~とします。
 

すると,Ｆ_αβγδ(－Ｐ_ｐ,Ｐ_ｎ,－ｐ_ｅ,－ｐ_ν~) 

＝(2π)^４δ^４(Ｐ_ｎ－Ｐ_ｐ－ｐ_ｅ－ｐ_ν~)Ｆ_αβγδです。
 

４粒子のスピノルとして,核子ｎ,ｐの質量をＭ_Ｎ,電子の質量をｍ_ｅ, 

ニュートリノの質量をゼロとして規格化された定運動量,定スピンの 

次の平面波スピノルを代入します。
 

Ψ^(ｐ)(ｘ₁)＝(2π)^-3/2(Ｅ_ｐ/Ｍ_Ｎ)^1/2ｕ_ｐ(Ｐ_ｐ,Ｓ_ｐ)exp（－iＰ_ｐｘ₁） 

Ψ^(ｎ)(ｘ₂)＝(2π)^-3/2(Ｅ_ｎ/Ｍ_Ｎ)^1/2ｕ_ｎ(Ｐ_ｎ,Ｓ_ｎ)exp（－iＰ_ｎｘ₂） 

Ψ^(ｅ)(ｘ₃)＝(2π)^-3/2(Ｅ_ｅ/ｍ_ｅ)^1/2ｕ_ｅ(ｐ_ｅ,ｓ_ｅ)exp（－iｐ_ｅｘ₃） 

Ψ^(ν)(ｘ₄)＝(2π)^-3/2|1/(2Ｅ_ν~)}^1/2ｖ_ν(ｐ_ν~,ｓ_ν~)

×exp（－iｐ_ν~ｘ₄）です。
 

すると,座標表示のＳ行列要素: 

Ｓ_fi^(ｅ-)＝(－i)Σ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

Ψ_α^(ｐ)＋(ｘ₁1Ψ_β^(ｎ)(ｘ₂)Ψ_γ^(ｅ)＋(ｘ₃)Ψ_α^(ν) (ｘ₄) 

×Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄)　は,

運動量空間にFourier変換して, 

Ｓ_fi＝(－ｉ)(2π)^-6{Ｍ_Ｎ²ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

×(2π)^４δ^４(Ｐ_ｎ－Ｐ_ｐ－ｐ_ｅ－ｐ_ν~)Ｍ　　

と書けます。
 

ただし,不変振幅：Ｍ は, 

Ｍ　＝Σ_αβγδ＝1 ⁴Ｆ_αβγδｕ_ｐ^＋_α(Ｐ_ｐ)ｕ_ｎ^β(Ｐ_ｎ)

×ｕ_ｅ^＋_γ(ｐ_ｅ)ｖ_νδ(ｐ_ν)　で定義されます。

これを,Ｓ(スカラー:１),Ｐ(擬スカラー:γ₅),Ｖ(ベクトル:γ_μ), 

Ａ(軸性ベクトル:γ₅γ_μ),Ｔ(テンソル:σ_μν＝(i/2[γ_μ,γ_ν])) 

による双一次形式(カレント)の縮約積の線形結合に展開して,
 

Ｍ　＝Σ_{i＝Ｓ,Ｐ,ＶＡ,Ｔ}Ｃ_i[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)] 

×[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γⁱｖ_ν(ｐ_ν)] 

と書き直すと,
 

逆反応の対称性(詳細釣り合いの原理)や実験データとの対照から 

結局,弱い相互作用はＶとＡのみが関与するという結論に到達し
 

Ｍ　＝ (Ｇ/√2)[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)γ _μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｎ)] 

×[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ~)γ ^μ (1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)}
 

なる形になることがわかります。
 

一方,逆β崩壊: ｐ＋ｅ^－＋ν~→ｎも同じ形のＳ行列要素で記述

されます。
 

Ｓ_fi^(ｅ＋)＝－iΣ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

Ψ_α^(ｎ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｐ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ν)＋(ｘ₃)Ψ_δ^(ｅ) (ｘ₄) 

×Ｆ~_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)　

です。
 

ここで,散乱,崩壊現象で成立することを仮定している 

「詳細釣り合いの原理」は次のことを意味します。
 

すなわち,ｉ(始状態)からｆ(終状態)へのＳ行列要素:Ｓ_fi 

について,

Ｓ_fi＝1＋iＴ_fi,Ｓ_fiＳ_if’^＊＝δ_fi より,Ｔ_fi＝－Ｔ_if^＊, 

ｉ≠ｆならＳ_fi＝－Ｓ_if^＊です。
 

つまり,Ｓ_fi^(ｅ＋)＝(－i)Σ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

Ψ_α^(ｎ)＋(ｘ₁)Ψ_β^(ｐ) (ｘ₂)Ψ_γ^(ν)＋(ｘ₃)Ψ_δ^(ｅ) (ｘ₄) 

×Ｆ~_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)
 

＝－Ｓ_if^(ｅ-)＊ 

＝(－i)Σ_αβγδ＝1 ⁴∫ｄ⁴ｘ₁..ｄ⁴ｘ₄ 

[Ψ_β^(ｐ)＋(ｘ₂)Ψ_α^(ｎ) (ｘ₁)Ψ_δ^(ｅ)＋(ｘ₄)Ψ_γ^(ν) (ｘ₃)] ^＊ 

×Ｆ_βαδγ^＊(ｘ₂,ｘ₁,ｘ₄,ｘ₃)
 

ですから,これは,

Ｆ~_αβγδ(ｘ₁,ｘ_２,ｘ_３,ｘ₄)＝Ｆ_βαδγ^＊(ｘ₂,ｘ₁,ｘ₄,ｘ₃) 

であるべきことを意味します。
 

そこで,運動量空間での表現式を. 

Ｓ_fi^ｅ＋)＝(－ｉ)(2π)^-6{Ｍ_Ｎ^/2ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2 

×(2π)^４δ^４(Ｐ_ｐ＋ｐ_ｅ~＋ｐ_ν~－Ｐ_ｎ)Ｍ　と書くと,
 

Ｍ　＝Σ_αβγδ＝1 ⁴Ｆ_βαδγ^＊ｕ_ｎ^＋_β(Ｐ_ｎ)ｕ_ｐα(Ｐ_ｐ)

ｖ_ν^＋_δ(ｐ_ν~)ｕ_ｅγ(ｐ_ｅ)

　Ｍ　＝Σ_{i＝Ｓ,Ｐ,ＶＡ,Ｔ}Ｃ~_i ^＊[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)Γ_iｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)] 

×[ｖ_ν~(ｐ_ν~)(1＋α_iγ₅)Γⁱｕ_ｅ(ｐ_ｅ)] 

＝Σ_{i＝Ｓ,Ｐ,ＶＡ,Ｔ}Ｃ_i^＊ [ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)Γ_iｕ_ｐ(Ｐ_ｐ)] ^＊ 

×[ｕ_ｅ~(ｐ_ｅ)(1＋α_iγ₅)Γⁱｖ_ν~(ｐ_ν~)]^＊
 

この原理は結局, 

Ｍ ＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｐ)]^＊  

×[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)}^＊ 

＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｎ)] 

×[ｖ_ν~(ｐ_ν~)γ^μ(1－γ₅)ｕ_e(ｐ_e)} 

という意味であるとされます。
　　
　今,想定の反応は,ｐ＋ｅ^-＋ν~→ｎですが,同じく逆β崩壊

と呼ばれる同等な反応：ｐ→ ｎ＋ｅ^＋＋νでもこれと同じ

行列要素です。

　ただし,ｐ→ ｎ＋ｅ^＋＋νでは正エネルギ－の陽電子の放出

(＝負エネルギーの電子の吸収),および, 正エネルギ－ 

のニュートリノの放出に変わるので,レプトン部分： 

[ｖ_ν~(ｐ_ν~)γ^μ(1－γ₅)ｕ_e(ｐ_ｅ)}は,少し異なる形の 

　[ｕ_ν~(ｐ_ν)γ^μ(1－γ₅)ｖ_e(ｐ_e+)}になります。
 

　さて,ここまでの準備の下でニュートリノのスピノルは,

その質量がゼロのため特別に扱えるという話をします。
 

　§10.12 ２成分ニュートリノの理論 

　(Two-component newtrino Theory)
 

β崩壊：ｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~ では右巻きの反ニュートリノ

のみが放出されることを既に見ました。
 

対応して逆過程：ｐ → ｎ＋ｅ^＋＋νでは左巻きのニュートリノ 

のみが放出されることもわかっています。
 

先に述べたＳ行列要素： 

Ｓ_fi＝(－ｉ)(2π)^-6{Ｍ_Ｎ^/2ｍ_ｅ/(2Ｅ_ν~Ｅ_ｐＥ_ｎＥ_ｅ)}^1/2  

×(2π)^４δ^４(Ｐ_ｎ－Ｐ_ｐ－ｐ_ｅ－ｐ_ν~)Ｍ 

におけるβ崩壊,および,逆β崩壊のそれぞれの不変振幅： 

Ｍ　＝Σ_αβγδ＝1 ⁴Ｆ_αβγδｕ_ｐ^＋_α(Ｐ_ｐ)ｕ_ｎ^β(Ｐ_ｎ) 

ｕ_ｅ^＋_γ(ｐ_ｅ)ｖ_νδ(ｐ_ν)

および,  

Ｍ　＝Σ_αβγδ＝1 ⁴Ｆ_βαδγ^＊ｕ_ｎ^＋_β(Ｐ_ｎ)ｕ_ｐα(Ｐ_ｐ) 

ｖ_ν^＋_δ(ｐ_ν~)ｕ_ｅγ(ｐ_ｅ)　において, 

「詳細釣り合いの原理」から, 

Ｆ_αβγδ(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄)＝Ｆ^＊_βαδγ(ｘ₂,ｘ₁,ｘ₄,ｘ₃)

が成立し,それ故,結果的に確立された表現では,

β崩壊 については 

Ｍ　＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｐ~(Ｐ_ｐ)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｎ(Ｐ_ｎ)] 

××[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)}であって,

　レプトン部分の因子:[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)} 

における,(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)がｎ → ｐ＋ｅ^－＋ν~ では, 

左巻きの負エネルギーニュートリノのみの吸収 

(＝右巻きの反ニュートリノのみの放出)を示しています。

一方,逆β崩壊:ｐ＋ｅ^－＋ν~→ｎでは,

Ｍ＝(Ｇ/√2)[ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｐ)] 

×[ｖ_ν~(ｐ_ν~)γ^μ(1－γ₅)ｕ_ｅ(ｐ_ｅ)}　なので
,

レプトン部分因子は[ｖ_ν~(ｐ_ν~)γ^μ(1－γ₅)ｕ_ｅ(ｐ_ｅ)}  

＝[ｖ_ν~(ｐ_ν~)(1＋γ₅)γ^μｕ_ｅ(ｐ_ｅ)}であり,右辺における  

ｖ_ν~(ｐ_e)(1＋γ₅)が左巻きの負エネルギーニュートリノ

の放出(＝右巻きの正エネルギー反ニュートリノの

吸収)を示します。

　同じ逆β崩壊の別バージョン：ｐ→ｎ＋ｅ^＋＋νでの

Ｍ＝(Ｇ/√2))[ｕ_ｎ~(Ｐ_ｎ)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｐ(Ｐ_ｐ)] 

×[ｕ_ν~(ｐ_ν)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ｅ(ｐ_ｅ)}における
　レプトン[部分:[ｕ_ν~(ｐ_ν)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ｅ(ｐ_ｅ)} 

＝[ｕ_ν~(ｐ_ν)(1＋γ₅)γ^μｖ_ｅ(ｐ_ｅ)}のｕ_ν~(ｐ_ν)(1＋γ₅)  

が,ｐ→ｎ＋ｅ^＋＋νでは,左巻きの正エネルギーニュートリノ  

のみが放出されることを示しています。

　こうして,現実に観測される正エネルギー粒子としては 

左巻きニュートリノと右巻き反ニュートリノのみであり, 

右巻きニュートリノや左巻き反ニュートリノは。こうした 

β崩壊プロセスや,他のあらゆる弱い相互作用過程に欠如 

していることがわかります。
 

　それ故,それらはニュートリノのような質量が無いDirac 

粒子に対するDirac方程式において,不要で余分な自由度が 

あることを表わしていると考えられ,今からそうした自由度 

を除去することを試みます。

 

　さて,質量がｍの自由粒子の波動関数Ψ(ｘ)に対する

Dirac方程式は,相対論的共変な形では,(iγ^μ∂_μ－ｍ) Ψ＝0

ですが,β＝γ⁰, α＝βγとして,

i(∂Ψ/∂ｔ)＋iα∇Ψ－βｍΨ＝0 とも書けます。

　(※「Dirac方程式の導出」の項では後者を先に求め前者に書き

換えたのでした。

　　なお,Dirac方程式の導出項目では.通常のｈ_cやｃを陽に書く

単位を使用しましたが,ここでは素粒子論で慣例のｈ_c＝ｃ＝1

とする自然単位に戻しました。以下,自然単位を使用します。)
 

そして,ガンマ行列の反交換関係：{γ^μ,γ^ν}＝2ｇ^μν

(μ,ν＝0,1,2,3)は.αとβの表現では,β²＝1,{β,α_k}＝0,

{α_i,α_j}＝2δ^ij(ｉ,ｊ,ｋ＝1,2,3)となります。
 

しかし,質量ｍがゼロのニュートリノの波動関数(スピノル):

Ψ_ν(ｘ)に対する自由Dirac方程式は,

i(∂Ψ_ν/∂ｔ)＝－iα∇Ψ_νです。
 

そこで,ｍ＝0の方程式の左辺には,－βｍΨという項が消え

係数行列としてのβを全く含まないので,

　{α_i,α_j}＝2δ^ij(ｉ,ｊ＝1,2,3)を満たす３個の行列：

　α＝(α₁,α₂,α₃)のみあれば十分です。

　　このα＝(α₁,α₂,α₃)の満たすべき反交換関係は,既に

２×２のPauli行列σ＝(σ¹,σ²,σ³)によって満たされること

がわかっていました。

　つまり{σⁱ,σ^j}＝2δ^ij(ｉ,ｊ＝1,2,3)　です。
 

　そこでα_j＝σ^j,(ｊ＝1,2,3)と置けば,

　{α_i,α_j}＝2δ^ij(ｉ,ｊ＝1,2,3)なる条件は満たされます。

 Dirac方程式を導出する過程で係数が４×４行列で

　あること(＝スピノルが４成分であること)を強いたの

　は,α＝(α₁,α₂,α₃)とは独立な第４の係数行列βを

　得る必要性があり,そのためには２×２行列では自由度

　が不足するからでした。
 

ところで,i(∂Ψ_ν/∂ｔ)＝－iα∇Ψ_νの正エネルギ－の

自由平面波解はΨ_ν(ｘ)＝{(2Ｅ) (2π)³}^-1/2ｕ(ｐ,ｓ)

×exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ)}です。ただし,Ｅ＝|ｐ|です。
 

方程式：i(∂Ψ/∂ｔ)＝－iα∇Ψの運動量表示は

ＥΨ＝αｐΨであり,４成分スピノル:ｕ(ｐ,ｓ)は

Ｅｕ(ｐ,ｓ)＝αｐｕ(ｐ,ｓ)を満たします。
 

　しかし,Ψを２成分スピノルと考えると,

 方程式：i(∂Ψ/∂ｔ)＝－iα∇Ψは

　i(∂Ψ/∂ｔ)＝－iσ∇Ψとなり.自由平面波解: 

　Ψ_ν(ｘ)＝{(2Ｅ) (2π)³}^-1/2ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ)}

 の今の場合,２成分のスピノルｕ(ｐ,ｓ)は,

　Ｅｕ(ｐ,ｓ)＝σｐｕ(ｐ,ｓ)を満たすことになります。
 

そこで,運動方向のｐの向きをスピンのｚ軸(3軸)の正の向きに

取ると,|ｐ|＝Ｅにより,σｐ＝Ｅσ³ですから,

Ｅｕ(ｐ,ｓ)＝σｐｕ(ｐ,ｓ)は,

σ³ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ)を意味します。
 

　通常のPauliの表示でこの固有値＋1の固有値方程式を満たす 

　規格化された2成分スピノルの解はｕ(ｐ,＋)＝[1.0]^Tです。
 

　ｐの向きがスピンの3軸の向きのときは,σ³＝σｐ/|ｐ|ですから, 

　このｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,＋)＝[1.0]^Tが満たす

　σ³ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ)は,

　{σｐ/|ｐ|}ｕ(ｐ,ｓ)＝＋ｕ(ｐ,ｓ)の,helicityが＋1の

　右巻きのニュートリノを意味します。
 

 しかし,自然界で観測される正エルギーのニュートリノは 

　σｐ/|ｐ|ｕ(ｐ,ｓ)＝－ｕ(ｐ,ｓ)を満たす

 ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,－)＝[0,1]^T の100％左巻きのニュートリノ 

ですから,

 これは,方程式：i(∂Ψ/∂ｔ)＝－iα∇Ψの係数行列α 

をα＝σではなくα＝－σと選択すべきことを意味します。
 

このα＝－σとした方程式i(∂Ψ/∂ｔ)＝iσ∇Ψの正エネルギー 

の解では

Ψ_ν(ｘ)＝{(2Ｅ) (2π)³}^-1/2ｕ(ｐ,ｓ)exp{－i(Ｅｔ－ｐｘ)} 

のｕ(ｐ,ｓ)は運動量表示の方程式：Ｅｕ(ｐ,ｓ)＝－σｐｕ(ｐ,ｓ) 

を満たします。
 

そこで,ｐの向きを３軸の向きとする２成分解においては,確かに

ｕ(ｐ,ｓ)はｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,－)＝[0,1]^T で与えられます。
 

長くなったので,ここで一旦終わって続きは次回にします。

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell”Relativistic Qantum　Mechanics"

　(McGrawHill)

今日は私の誕生日(66歳)

　今日２月１日は私の誕生日です。

　私は昭和25年(1950年)２月１日生まれなので満66歳。。

　正月と同じく,「冥途の旅の一里塚,めでたくもありめでたくもなし」です。

　病気入院を繰り返しながらも,また１年生き延びました。

　昨年の誕生日頃の予想では,この誕生日には,既にこのブログは100万アクセス超えていると思いましたが,ここまで99万4000程度。。来月ですかね。。

　芸能人など有名人のブログでは1日で100万を超えていそうなものもあるし,アダルト関係の記事や画像,動画でも載せていれば,アクセスなんていくらでも増えるでしょうが,それは私の日記ではなくなってしまいます。まあ,商売してるのじゃないので有志だけ来訪してくれればいいですが。。。 

　　私はトラ年,五黄の寅で星座はみずがめ座,血液型はＯです。

　　初対面の人にはあなたの血液型はB型でしょう？と言われることが多いですが,まだ岡山県の故郷にいて祖母まで健在だった子供の頃,家族７人全員がO型でしたね。。。

　まあ血液型と性格の関係をつづった本も多々あります。一応,ABO型の血液型も遺伝子のタイプの１つですから,丸っきし当てずっぽうというワケではないかもしれないけれど。。。当たるも八卦の占いのようなものでしょう。。

　干支のほうも２月１日というのは微妙で旧暦の立春,節分,旧正月より前なので旧暦だと寅(トラ)ではなく丑(ウシ)年です。。

　私は勝手にエトは丑寅(ウシトラ)であり,,ときには鬼(オニ)年であると称しています。(昔からトラ皮パンツにウシの角でウシトラは鬼,ウシトラの方角(北東)は鬼門(キモン)と言われ，ウシの時からトラの時に変わる直前のウシミツどき(丑満ツ時)は,丁度真夜中で,.鬼や魔物,化ケモノでも出そうな,昔の月の出ていないときは闇夜の不気味な時刻でした。。。)

こんな干支のヤツなんてロクなもんじゃないネ。。。

　そういえば,私のまわりには,お面をカブらなくても節分の鬼がやれるような人もイッパイいますが。。。。

(※↓下図はYahoo知恵袋の「干支で表わす時刻・方角、恵方の決め方など」のホームページから無断借用しました。※)

　　　　

　毎年書いてるけど,,取りあえず,誕生日恒例の,

　誰も歌ってくれないので「Happy　Birthday　To　Me！！」　を歌って自己満足で誕生祝いでもしますか。。。。