弱い相互作用の旧理論(12)(Fermi理論)

 「弱い相互作用の旧理論」の続きです。
 

予告した通り,π中間子の崩壊に移ります。
 

§10.14 π中間子の崩壊(Pi-meson Decay) 

　π中間子の崩壊:π^－→μ^－＋ν'~,および,π^－→ｅ^－＋ν~ 

に対するＳ行列要素を書くに当たって,中性子ｎのβ崩壊

やμ粒子の崩壊のケース同様,楽観的に(ｅ,ν~)のレプトン

のペアに対しては,[ｕ_e~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)]の

Ｖ-Ａ結合が寄与するという仮定から始めます。
 

この仮定は中性子ｎのβ崩壊とμ粒子の崩壊の評価においては 

うまくいきました。
 

また,このアプローチは,２つの実験的発見によって強く後押し

されます。

第一に,π^－→μ^－＋ν'~の崩壊において放出されるμ^-粒子

は,全て縦方向の偏極で右巻きであると観測されました。
 

　π^－のスピンはゼロなので,μ^－粒子が右巻きなら

反ニュートリノν'~もまた右巻きのはずです。
 

何故なら,まず,π^-の静止系では,ｐ_μ＋ｐ_ν~＝0であり, 

μ^-とν'~は大きさ等しく正反対の向きの運動量で出現 

します。

　μとν'~は放出される方向が同じで向きは正反対です。
 

そして,角運動量の保存則によって要求されるように, 

π^－のスピン角運動量がゼロであることから,μとν'~ 

の同じ方向の角運動量成分は打ち消し合う必要があり

ます。
 

 ところが,放出されるμとν'~ではたった今述べたように,

運動の向きが正反対なので,運動方向のスピン成分が打ち

消し合うには,共に右巻きか共に左巻きでなければならない

わけです。

　　したがって,この放出されたμ^-が右巻きであるという観測

結果は,反ニュートリノν'~もまた右巻きであることを意味

します。

　　これは,π崩壊の(μ,ν'~)ペアに対しても,

[ｕ_μ~(ｐ_μ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν'(ｐ_ν'~)]のＶ-Ａ結合が寄与する

という仮定が妥当であるという主張に一致します。

 何故なら,μ^-→ｅ^-＋ν~の崩壊のケースと同じく,この

レプトン結合因子の存在は,π^-→μ^-＋ν'~と,π^-→ｅ^-＋ν~の

崩壊でも100％右巻きの反ニュートリノ:ν'~,ν~が放出され,

　　また,μ^＋崩壊と同じく,２種類のπ^＋崩壊:π^＋→μ^＋＋ν',

π⁺→ｅ⁺＋νでは,100％左巻きのニュートリノ：ν',νが

放出されることを予測するからです。
 

　この仮定が妥当であることをサポートする第二の実験的発見

は次の観測された非常に小さい崩壊率の分岐比Ｒの値です。
 

　すなわち,Ｒ(π^-→ｅ^-＋ν~/π^-→μ^-＋ν'~) ～ 1.3×10^-4

　です。
 

　ニュートリノスピノルに左からかかる因子:(1－γ₅)は完全

に左偏極のニュートリノ,または,右偏極の反ニュートリノを誘導

するので,π^-崩壊では,[ｕ_e~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)]のＶ-Ａ

因子によって電子の放出率が極めて強く抑制されることが予測

されます。

　　Ｖ-Ａ因子の(1－γ₅)を,すぐ左のγ^μと交換させると

ｕ_e~(ｐ_e)(1＋γ₅)γ^μが得られ,これは,β_e＝ｖ_e/ｃ→1

の極限では,左巻き電子のみ,(または左巻き陽電子のみ)

が放出されることに対応します。
 

　しかしながら,既に示したように,そして下図10.18 から

見てとれるように,角運動量の保存則はπ^-→ｅ^-＋ν~崩壊

の右巻き反ニュートリノν~には右巻き電子ｅが伴なう 

　ことを要求します。
 

それ故,[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)]から計算される

遷移率は,1－(ｖ_e/ｃ)² ～ (2ｍ_e/μ)²なる因子で抑制

されます。
 

ただし,μはπ中間子の質量であり,この(2ｍ_e/μ)²は右巻き

電子が放出される確率を示しています。
 

※(注12.1):上記の放出電子の抑制確率の根拠を示します。

　　すぐ前のブログj記事:「粒子の弱崩壊におけるＶ－Ａ結合

電子の偏極 」によれば,崩壊:π^-→ｅ^-＋ν~においても電子

ｅがＶ-Ａ結合する[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｐ_ν~)]なる

相互作用をすると仮定した場合,

　　放出電子の偏極期待値は,

　Ｐ_Ｒ＝(Ｎ_Ｒ－Ｎ_Ｌ)/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝－ｐ_e/Ｅ_e＝－β_e

　＝－ｖ_e/ｃで与えられます。
 

したがって,右偏極電子のみの比率は,

Ｐ_Ｒ＝Ｎ_Ｒ/(Ｎ_Ｒ＋Ｎ_Ｌ)＝(1＋Ｐ_e)/2＝(1－ｖ_e/ｃ)/2

＝(1－ｐ_e/Ｅ_e)/2＝(Ｅ_e－ｐ_e)/(2Ｅ_e)と表わすことが

できます。
 

ところが,π^-→ｅ^-＋ν~におけるエネルギー・運動量の

保存則は,πの質量をμ,ｅ^-,ν~のエネルギーをそれぞれ,

Ｅ_e,Ｅ_ν~,運動量をそれぞれ,ｐ_e,ｐ_ν~とすると,

πの静止系で,(μ,0)＝(Ｅ_e,ｐ_e)＋(Ｅ_ν~,ｐ_ν~)です。
 

すなわち,これはμ＝Ｅ_e＋Ｅ_ν~,ｐ_ν~＝－ｐ_eを意味します

が, νの質量はゼロであるとしているので,Ｅ_ν~＝|ｐ_ν~|

＝|ｐ_e|です。
 

　故に,ｐ_e≡|ｐ_e|とおけば,μ＝Ｅ_e＋Ｅ_ν~＝Ｅ_e＋ｐ_eが

成立します。
 

一方,電子の質量:ｍ_eは,およそ 0.51MeVであり,これは, 

Ｅ_e＋ｐ_e＝μ～140MeVを満たして放出される高速電子の

ｐ_eに比べ,極めて小さいので,Ｅ_e＝(ｐ_e²＋ｍ_e²)^1/2～

ｐ_e{1＋(1/2)ｍ_e²/ｐ_e²}＝ｐ_e＋ｍ_e²/(2ｐ_e)の近似が可能

であり,Ｅ_e－ｐ_e ～ ｍ_e²/(2ｐ_e)と表わせます。

　　先述したように,放出電子の右偏極率は,

Ｐ_Ｒ＝(Ｅ_e－ｐ_e)/(2Ｅ_e) ですから,この右辺の分子に

Ｅ_e－ｐ_e ～ ｍ_e²/(2ｐ_e)を代入すると, 

Ｐ_Ｒ ～ ｍ_e²/(4Ｅ_eｐ_e)を得ますが,

　Ｐ_Ｒ＝(Ｅ_e－ｐ_e)/(2Ｅ_e)の式で極めて小さい電子質量の平方:

ｍ_e²がオーダーの評価として意味を持つのは分子(Ｅ_e－ｐ_e)に

おけるのみで,分母の(2Ｅ_e)ではｍ_e²が無視できて 

μ＝Ｅ_e＋ｐ_e＝(ｐ_e²＋ｍ_e²)^1/2＋ｐ_e ～ 2Ｅ_e  なる近似が妥当

です。

　さらに.ｐ_e～Ｅ_e ～μ/2ですから,Ｐ_Ｒ ～ ｍ_e²/(4Ｅ_eｐ_e)なる

近似と同じ精度で4Ｅ_eｐ_e)～μ²です。
 

したがって,本文に書かれた右巻き電子の放出確率の評価: 

Ｐ_Ｒ＝ 1－(ｖ_e/ｃ)²～(2ｍ_e/μ)²が何故そうなるのか？について

は,結局,私には明確な根拠がわからなかったのですが,
 

ここでの考察から,それとは僅かに係数だけが異なる,

Ｐ_Ｒ ～ ｍ_e²/(4Ｅ_eｐ_e) ～ (ｍ_e²/μ)² なる評価を

得ました。
 

ここでの話では,係数は重要でないので,これで良しとします。

　　(注12-1終わり)※

電子よりも,はるかに重いμ粒子(ｍ_μ ～106MeV)については,それ

は崩壊:π^-→μ^-＋ν'~においてＥ_μ＝(μ²＋ｍ_μ²)/(2μ)

～ 1.04ｍ_eμ なるエネルギーを持って,非相対論的規模でに放出

されますが,これに対しては,スピン射影演算子は(1±γ_５)/2とは

かなり異なり,それ故,感知できるほどの抑制因子はありません。

　※(注12－2):上に求めた崩壊:π^-→ｅ^-＋ν~において放出される

電子の右偏極率を与える近似前の式:Ｐ_Ｒ＝(Ｅ_e－ｐ_e)/(2Ｅ_e)に

おいて,Ｅ_e,ｐ_eを.それぞれ,Ｅ_μ,ｐ_μに置き換えると,

Ｐ_Ｒ＝(Ｅ_μ－ｐ_μ)/(2Ｅ_μ)となります。

　　これは崩壊:π^-→μ^-＋ν'~において放出されるμ粒子の

右偏極率を与えると考えられます。
 

ここで,電子とμ粒子のそれぞれの右偏極率を区別するため,

改めて,Ｐ_eＲ＝(Ｅ_e－ｐ_e)/(2Ｅ_e),Ｐ_μＲ＝(Ｅ_μ－ｐ_μ)/(2Ｅ_μ)

と書きます。
 

そして,π^－→μ^－＋ν'~におけるエネルギー・運動量の保存則

から,μ＝Ｅ_μ＋ｐ_μ＝(ｐ_μ²＋ｍ_μ²)^1/2＋ｐ_μです。
 

　よって,(μ－ｐ_μ)²＝ｐ_μ²＋ｍ_μ²より,ｐ_μ＝(μ²－ｍ_μ²)/(2μ)

ですから,Ｅ_μ＝μ－ｐ_μ＝(μ²＋ｍ_μ²)/(2μ)を得ます。
 

そこで,これを代入すると, Ｐ_μＲ＝(Ｅ_μ－ｐ_μ)/(2Ｅ_μ)

＝(2Ｅ_μ－μ)/(2Ｅ_μ)＝ｍ_μ²/(μ²＋ｍ_μ²)です。

　　前の(注12-1)ではＰ_eＲ＝(Ｅ_e－ｐ_e)/(2Ｅ_e)を評価する際,

分母ではｍ_e²を無視する近似を実行して,Ｐ_eＲ～(ｍ_e/μ)²

を得ました。＾
 

しかし,逆に今得られたμの右偏極率を示す

Ｐ_μＲ＝ｍ_μ²/(μ²＋ｍ_μ²)においてＰ_μＲをＰ_eＲに,ｍ_μ²をｍ_e²

に置き換えても,式はそのまま成立するはずですからｍ_e²

を無視すること無しで,Ｐ_eＲ＝ｍ_e²/(μ²＋ｍ_e²)です。
 

以上から,放出される電子とμの右偏極率の比としては, 

　Ｐ_eＲ/Ｐ_μＲ＝ｍ_e²(μ²＋ｍ_μ²)/{ｍ_μ²(μ²＋ｍ_e²)}が得られます。

これに,μ～140ＭｅＶ,ｍ_μ ～ 106MeV,ｍ_e ～ 0.51MeVを代入

すると,Ｐ_eＲ/Ｐ_μＲ ～ 1.47×10^-5 ですからレプトンのＶ-Ａ

因子の効果でπ^-→ｅ^-＋ν~が,π^-→μ^-＋ν'~に比して抑制

されることが確認されました。
 

　しかしながら,崩壊の散乱行列:Ｓ_fiをπ^{^}→ｅ^-＋ν~では

Ｓ_fi^π→eν~と書くと,これはＥ_e^1/2に比例し,π^－→μ^－＋ν'~

ではＳ_fi^π→μν~がＥ_μ^1/2に比例するという違いがあり,

 さらに,崩壊率はｐをμまたはｅの運動量として

|Ｓ_fi|²ｄ³ｐに比例しますから遷移率の分岐比には,これら

の要素も関連します。
 

そこで,観測された崩壊の分岐比:

Ｒ(π^－→ｅ^－＋ν~/π^－→μ^－＋ν'^) ～ 1.3×10^-4を理論計算

で正しく再現するには,[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｐ_ν~)] 

と[ｕ_μ~(ｐ_μ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｐ_ν’~)]の寄与の比を示す

Ｐ_eＲ/Ｐ_μＲだけでなく,これ以外の因子も考慮した計算が

必要です。
 

しかし,ともかく,Ｖ-Ａレプトン因子:

[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)]および,

[ｕ_μ~(ｐ_μ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν’(ｐ_ν’~)]が寄与するという

仮定が有力であることの根拠は確認されました。

　(注12-2終わり)※
 

　さて,ここまでの論拠から,π中間子の崩壊のＳ行列要素

　においては,レプトン因子として,

[ｕ_ｅ~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)],または,

[ｕ_μ~(ｐ_μ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν’(ｐ_ν’~)]を採用し,これら

に乗じて不変振幅Ｍを形成すべき相手の４元ベクトル

または４元軸性ベクトルを求める必要があります。
 

まず,崩壊に関わる3粒子の４元運動量を,πについては

Ｐ^μ,μ,ｅについてはｐ_μ^μまたはｐ_e^μをｐ^μとし,ν'~,ν~

についてはｐ_ν’~^μ,またはｐ_ν~^μをｋ~^μで表わすことに

します。
 

レプトン因子は,[ｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)]と簡素化されます。
 

π中間子はスピンを持たないので,レプトン因子に結合する 

４元ベクトルまたは４元軸性ベクトルは,これらＰ^μ,ｋ~^μ,ｐ^μ 

から形成する必要があります。

 

まず,保存則:または因子:(2π) ⁴δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ)から, 

ｐ^μ＝Ｐ^μ－ｋ~^μであることがわかるので,結局,運動量として

独立なものはＰ^μ,ｋ~^μの２つだけです。
 

そして,ニュートリノの満たすDirac方程式:γ^μｋ~_μｖ(ｋ~)＝0 

から,ｋ~^μは因子として寄与しません。
 

それ故,レプトン因子に結合する運動量のみから形成される因子 

としては,ａを定数としてａＰ_μなる形式が考えられます。
 

そこで,3粒子のエネルギー:Ｐ⁰,ｐ⁰,ｋ~⁰を,それぞれ, 

Ｅ_Ｐ,Ｅ_ｐ,Ｅ_k~と書き,放出されるμ,または電子の質量:ｍ_μまたは 

ｍ_eを単にｍと書けば,

　π中間子崩壊のＳ行列要素：Ｓ_fi^(π)は, 

Ｓ_fi^(π)＝(－ｉ)(2π)^-9/2{ｍ/(4Ｅ_ＰＥ_ｐＥ_k~)}^1/2(Ｇａ/√2)

[Ｐ_μｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)](2π)^４δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)　 

となります。
 

　定数Ｇはβ崩壊定数であり,π中間子の全体としての崩壊率 

を決める定数ａは,μ^-とｅ^-の崩壊モードに対して異なるかも 

知れません。
 

　ｎのβ崩壊やμ崩壊のケースと同様な,しかし4体でなく3体頂点 

なので,より簡単なステップで次の崩壊率ωの式を得ます。
 

ω＝1/τ＝(2π)³/(2π)⁵{1/(2μ)}(Ｇ²|ａ|²/2) 

8∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)

[2(ｐＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｋ~ｐ)Ｐ²] 

＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ/μ)²(1－ｍ²/μ²)²
 

※(注12-3):πの崩壊率は,まず,|Ｓ_fi^(π)|²について３粒子の 

スピンＳ,ｓ,ｓ_k~で総和を取り,1/2を掛けて始状態のπのスピン 

Ｓでの平均を取り,終状態の位相因子::ｄ³ｋ~ｄ³ｐを掛けて積分 

すると,単一のしかし非偏極のπがある始状態ｉから全ての終状態 

ｆへの遷移確率となります。
 

これを相互作用領域の体積Ｖ,相互作用時間Ｔで割ると単位時間 

当たり,単位体積当たりの遷移確率,つまり,単位体積当たりの

遷移率となります。
 

最後に崩壊するπ中間子の波動関数は,Ｖの中に１個存在する 

ように規格化されているので,π１個当たりの遷移率とするため 

さらにＶを掛けます。
 

すると始状態πの1個当たりの遷移率＝崩壊確率ω＝1/τ 

(τは寿命)として,

ω＝(1/2) Σ_S,s,k~~|Ｓ_fi^(π)|²∫ｄ³ｋ~ｄ³ｐ(ＶＴ)^-1Ｖ

を得ます。
 

量子論の通常の定式化では遷移現象の相互作用領域は

全空間,相互作用時間Ｔも無限大という理想化をして

いるため，ＶＴ＝(2π)⁴_δ⁴(0)として,(ＶＴ)^-1は|Ｓ_fi^(π)|²

の中の[(2π)^４δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)]²なるδ関数の２次因子

のうちの１つと相殺すると考えます。
 

また,πはＶに1個という波動関数の規格化から,遷移確率

にＶを掛けると,πが1個当たりの崩壊率にできますが,

Ｖ＝∞のδ関数式規格化では,Ｖを(2π)³で置き換えます。
 

そこで,Ｓ_fi^(π)＝(－ｉ)(2π)^-9/2{ｍ/(4Ｅ_ＰＥ_ｐＥ_k~)}^1/2

(Ｇａ/√2)Ｐ_μｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)]

(2π)^４δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)を, 

Ｓ_fi^(π)＝(－ｉ)(2π)^-9/2(8Ｅ_ＰＥ_ｐＥ_k~)^-1/2 

(2π)^４δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)Ｍ　; 

Ｍ≡(Ｇａ/√2)(2ｍ) ^1/2[Ｐ_μｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)]

と書き直し,初期の崩壊前のπは静止状態としてＥ_Ｐ＝μ

と置くと, 

　ω＝(1/2) Σ_S,s,k~~|Ｓ_fi^(π)|²∫∫ｄ³ｋ~ｄ³ｐ(ＶＴ)^-1Ｖ 

＝(1/2)(2π)³(2π)^-9(2μ)^-1∫ｄ³ｋ~ｄ³ｐ(4Ｅ_ｐＥ_k~)^-1 

(2π)⁴δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ~)Σ_S,s,k~~|Ｍ |² 

＝(2π)³/(2π)⁵(2μ)^-1∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1 

δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)Σ_S,s,k~|Ｍ |² 

となります。
 

　そして,Σ_S,s,k~~|Ｍ |²＝(Ｇ²|ａ|²/2)(2ｍ)^-1 

Σ_S,s,k~|Ｐ_μｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)|²

＝[Ｐ_μＰ_νＴr{(ｐ＋ｍ)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)}×(Ｇ²|ａ|²/2) 

＝8{2(ｐＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｋ~ｐ)Ｐ²}×(Ｇ²|ａ|²/2) 

が得られます。
 

ところが,Ｐ^μ＝(μ,0)では2(ｐＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｋ~ｐ)Ｐ²} 

＝μ²(2Ｅ_ｐＥ_ｋ~－Ｅ_ｐＥ_ｋ~＋ｋ~ｐ)＝μ²(Ｅ_ｐＥ_ｋ~－Ｅ_ｋ~²)
 

また,∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1＝∫ｄ⁴ｋ~θ(ｋ~₀)δ(ｋ~²)より, 

∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)＝θ(Ｅ_ｋ~)δ((Ｐ－ｐ)²) 

であり,(Ｐ－ｐ)²＝μ²＋ｍ²－2μＥ_ｐです。

μ＝Ｅ_ｐ＋Ｅ_ｋ~から,Ｅ_ｋ~＝μ－Ｅ_ｐとしてＥ_ｋ~を消去します。
 

　すると,,ω＝{1/(16π²)}μ^-1(4Ｇ²|ａ|²μ²)

∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1θ(μ－Ｅ_ｐ)δ(μ²＋ｍ²－2μＥ_ｐ) 

{Ｅ_ｐ(μ－Ｅ_ｐ)－(μ－Ｅ_ｐ)²}　です。

　さらに,ｄ³ｐ＝4πｐ²ｄｐ＝4πｐＥ_ｐｄＥ_ｐであり,

ｐ＝|ｐ|＝|ｋ~|＝Ｅ_k~＝μ－Ｅ_ｐです。
 

　よって,Ｅ_k~＝を消去して,.ω＝{1/(4π)}}(4Ｇ²|ａ|²μ)

∫₀^μｄＥ_p δ(μ²＋ｍ²－2μＥ_ｐ) 

ｐ{Ｅ_ｐ(μ－Ｅ_ｐ)－(μ－Ｅ_ｐ)²};

ただし,ｐ＝μ－Ｅ_ｐです。
 

積分∫₀^μｄＥ_pを実行すると,δ(μ²＋ｍ²－2μＥ_ｐ)因子 

から,(2μ)^-1という因子が出現し,被積分関数では, 

Ｅ_ｐを(μ²＋ｍ²)/(2μ)に置き換える必要があります。
 

Ｅ_ｐ＝(μ²＋ｍ²)/(2μ)に対しては, 

ｐ＝μ－Ｅ_ｐ＝(μ²－ｍ²)/(2μ)であり, 

{Ｅ_ｐ(μ－Ｅ_ｐ)－(μ－Ｅ_ｐ)²}＝(μ－Ｅ_ｐ)(2Ｅ_ｐ－μ) 

＝ｍ²(μ²－ｍ²)/(2μ²)です。
 

それ故,(2μ)^-1ｐ{Ｅ_ｐ(μ－Ｅ_ｐ)－(μ－Ｅ_ｐ)²} 

＝ｍ²(μ²－ｍ²)²/(8μ⁴)=(ｍ²/8)(1－ｍ²/μ²)²  

ですから, 

結局,ω＝1/τ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ/μ)²(1－ｍ²/μ²)² 

が得られます。　(注12-3終わり)※
 

ω＝1/τ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ/μ)²(1－ｍ²/μ²)²は,

ｍ＝ｍ_eを代入すれば,π^－→ｅ^－＋ν~の崩壊率ω_ｅを,

ｍ＝ｍ_μを代入すれば,π^－→μ^－＋ν’~の崩壊率ω_μ

を与える式です。

それ故,両者でＧもａも共通の値なら,崩壊の分岐比として 

Ｒ(π^－→ｅ^－＋ν~/π^－→μ^－＋ν'~)

＝(ｍ_e/ｍ_μ)²{(μ²－ｍ_e²)/(μ²－ｍ_μ²)}² 

～ 2.31488×10^-5×5.49 ～ 1.27×10^-4 なる予測値を与えます。

(↑※μ～140MeV,ｍ_μ～106MeV,ｍ_ｅ～0.51MeVを代入しました。) 

　　　これは,πの崩壊の分岐比の観測値: 

Ｒ(π^－→ｅ^－＋ν~/π^－→μ^－＋ν'~) ～1.3×10^-4

と3%以内の誤差で一致しています。
 

そこで,この結果もレプトンを含むあらゆる弱崩壊に対する

普遍性,および、Ｖ-Ａ結合「ｕ(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)]の

妥当性を強くサポートするものです。
 

Ｖ-Ａ結合による抑制がなければ,予測分岐比は, 

Ｒ(π^－→ｅ^－＋ν~/π^－→μ^－＋ν'~)

～{(μ²－ｍ_e²)/(μ²－ｍ_μ²)}²～ 5.49程度となり,

はるかに大きい値となったはずです。

　　今回も長くなりました。切りがいいのでここで終わります。

  (参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)