弱い相互作用の旧理論(13)(Fermi理論)

「弱い相互作用の旧理論(12)」からの続き:π中間子 

の崩壊の続きです
。

　最近は時間が残り少ないこともあり,つい一遍に長い記事を

アップしようとしてしまいます。

　以前は,WordでA4の６頁くらいの記事までにしていました。

それ以上になるとココログフリーが受け付けず,エラーに

なっていたからです。

　　どうしても原稿が大きいときは,仕方なく分割して

　いましたが,最近は10頁を超えても大丈夫になったよう

　です。

　まあ,時代の流れでしょうか？ドメインも昔より大きいサイズ

 が普通になったのかも知れません。

　この記事もつい11ページくらいになりました。

　時間が少ないというのは私の残りの寿命のことですが,

決闘前夜の天才ガロアでもあるまいに。。凡人のくせに。。

　さて,前回最後では,π崩壊の崩壊率ωが 

ω＝1/τ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ/μ)²(1－ｍ²/μ²)² 

で,与えられることを見ました。(τは崩壊の寿命)

　これはｍ＝ｍ_eを代入すれば,π^-→ｅ^-＋ν~の崩壊率:

ω_e＝1/τ_eを,ｍ＝ｍ_μを代入すれば,π^-→μ^-＋ν'~

の崩壊率:ω_μ＝1/τ_μを与えます。
 

一方,これらの現象で観測されているπの寿命は, 

τ＝(2.55±0.03)×10^－8secです。
 

ω_μ＞＞ω_eであり,τ_μ＜＜τ_ｅですから,πの寿命の観測値 

は崩壊：π^－→μ^－＋ν’~によるそれ＝τ_μを反映したもの

と考えられます。
 

そこで,ω_μの予測値: 

ω_μ＝1/τ_μ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)² 

を観測値のω＝1/τ ～ 1/{(2.55±0.03)×10^－8sec}に等しい 

と置くことから,|ａ|の値を決めることができます。
 

計算を実行した結果,|ａ|～ 0.93μと評価されました。
 

※(注13-1):上記のように,τ_μ＝(2.55±0.03)×10^－8sec 

から|ａ|～ 0.93μの評価値を得る計算内容を示します。
 

まず,1/τ_μ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)² 

の両辺の単位が合致するように単位(次元)を調節します。
 

1/τ_μの右辺は,ｈ_c＝ｃ＝1(ｈ_c＝ｈ/2π;ｈはPlanck定数) 

とする自然単位の評価式であり,この表現ではｈ_cもｃも単に 

1に過ぎないので両辺にこれらｈ_cやｃをいくつ掛けても式 

としての意味は同じです。
 

それら,右辺に(ｈ_c^rｃ^s)を乗じた無数の同値な式を, 

1/τ_μ＝(ｈ_c^ｒｃ^s)}{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)² 

と書きます。
 

これらの中から,右辺を通常の単位に換算して単位が左辺 

　の(1/τ_μ)の単位(＝Ｔ^-1)に一致する場合が通常の単位での 

正しい等式であり,それを探すのを次元解析と呼ぶのでした。
 

そこで,単位のみを問題とする次元解析の等式は, 

Ｔ^-1＝[Ｇａ]²Ｍ³[ｈ_c^ｒｃ^s]と書けます。

　(※[Ａ]は物理量Ａの単位です。)

　この次元解析の等式を解析する際には,[ｈ_c]＝ＭＬ²Ｔ^-1,

[ｃ]＝ＬＴ^-1,および,{Ｇａ}を代入する必要があります

が,今のところ,単位:[Ｇａ]が全く不明です。
 

この不明な単位を,崩壊振幅の因子の運動量表示での形から 

求めます。
 

π崩壊の運動量表示の頂点での相互作用の振幅は,

(Ｇａ/√2)[Ｐ_μｕ_μ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν'(ｐ_ν'~)] 

で与えられることを見ましたが,

　　これは,座標表示 では,Hamiltonian密度をＨとするとき,

係数を除き,Ｈ＝(Ｇａ/√2)∂_μφ_πΨ_μ~γ^μ(1－γ₅)Ψ_ν~

であることを意味します。
 

単位の等式では,単位のない係数は無関係であり, 

[Ｈ ]＝[Ｇａ][∂_μφ_π][Ψ_μ~γ^μ(1－γ₅)Ψ_ν~]

ですが,単位が既知のものについては具体的な単位

を代入します。

　　まず,左辺のＨはエネルギー密度なので,

[Ｈ]＝[エネルギー]Ｌ^-3です。

ただし,[エネルギー]＝Ｍ[加速度]Ｌ＝ＭＬ²Ｔ^-2です。
 

次に,スピノル Ψについては,Ψ~ΨがFermi粒子の確率密度 

を与えるため,[Ψ~Ψ]＝L^-3ですが,Ψ_μ~γ^μ(1－γ₅)Ψ_ν'も

Ψ~Ψと同じ単位と考えられるので,[Ψ_μ~γ^μ(1－γ₅)Ψ_ν']

＝L^-3です。
 

また,ｈ_c＝ｃ＝1の単位では,φ_πのような質量ｍのスカラー 

粒子の状態関数φについて,相互作用のないLagrangian密度

は.Ｌ_φ＝(1/2)(∂_μφ∂^μφ－ｍ²φ²)　ですが,

左辺のＬ_φの単位は,Ｈと同じで,[Ｌ_φ]＝[エネルギー]Ｌ^-3

なので,[∂_μφ_π]＝[エネルギー]^1/2Ｌ^-3/2 であることが

わかります。
 

故に, [Ｈ]＝[Ｇａ][∂_μφ_π][Ψ_μ~γ^μ(1－γ₅)Ψ_ν']は,

[エネルギー] Ｌ^-3＝[Ｇａ][エネルギー]^1/2Ｌ^-3/2Ｌ^-3

となるため,Ｇａの単位として,

[Ｇａ]＝[エネルギー]^1/2Ｌ^3/2が得られます。

　[エネルギー]＝ＭＬ²Ｔ^-2を用いるなら,

 [Ｇａ]＝Ｍ^1/2ＬＴ^-1です。

したがって,Ｔ^-1＝[Ｇａ]²Ｍ³[ｈ_c^ｒｃ^s]＝ＭＬ⁵Ｔ^-2[ｈ_c^ｒｃ^ｓ]

より.[ｈ_c^ｒｃ^ｓ]＝Ｍ^－4Ｌ^-5Ｔ を得ます。
 

これと,[ｈ_c]＝ＭＬ²Ｔ^-1,[ｃ]＝ＬＴ^-1より, 

　－4＝ｒ,－5＝2ｒ＋ｓ,－1＝－ｒ－ｓ　ですから,

　結局,ｒ＝－4,ｓ＝3　を得ます。
 

つまり,通常の単位なら, 

1/τ_μ＝ｈ_c^－4ｃ³{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ_μ/μ)²×(1－ｍ_μ²/μ²)² 

というのが正しい等式です。
 

ここで,πの質量μを単位として,|ａ|≡αμと置くと, 

自然単位では,1/τ_μ＝{Ｇ²|ａ|²/(8π)}μ³(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)² 

から,1/τ_μ＝{Ｇ²α²/(8π)}μ⁵(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)²であり
 

通常単位では, 

1/τ_μ＝ｈ_c^－4ｃ³{Ｇ²α²/(8π)}μ⁵(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)² 

です。
 

τ_μ＝{(8π)/(Ｇ²α²)}(ｈ_c⁴/ｃ³)μ^-5(μ/ｍ_μ)²{μ²/(μ²－ｍ_μ²)}² 

Ｇ²α²＝(1/τ_μ)(8πｈ_c⁴ｃ⁷)(μc²) ^-5(μ/ｍ_μ)²{μ²/(μ²－ｍ_μ²)}² 

です。
 

右辺に,τ_μ～ 2.55×10^－8sec,μc² ～ 140MeＶ,ｍ_μｃ²～ 106MeV,

そして,c＝3×10¹⁰cm/sec,ｈ_c＝6.6×10^－16eVsec, MeV＝10⁶eV

を代入して計算すると,結局,

   Ｇ²α² ～ 7.135×10^-19cm⁷sec^-4eV^-1

   を得ます。
 

　よって,Ｇα ～ 8.447×10^-9(cm⁷sec^-4eV^-1)^1/2

　です。
 

　ところで,以前のμ粒子の崩壊寿命を計算した際の考察では

  [Ｇ]＝ＭＬ⁵Ｔ^-2であり,Ｇ ～ 8.88×10^-38 (eVcm³)でした。

　Ｇα ～ 8.447×10^-9(cm⁷sec^-4eV^-1)^1/2を上のＧで割って 

　α  ～ 9.503×10²⁷(cm^1/2sec^-2eV^-3/2)　が得られます。

　これによると,[α]＝Ｌ^1/2Ｔ^-2(ＭＬ²Ｔ^-2)^-3/2＝Ｍ^-3/2Ｌ^-5/2Ｔ

であり,[Ｇα]＝Ｍ^1/2Ｌ^5/2Ｔ^-1です。

　実はこのαにも(ｈ_c^ｐｃ^ｑ)の因子が陰伏していて,真のα

は, 無次元(単位なし)のただの数であって,Ｇαの単位は

Ｇと同じであるとすると,

ｈ_c＝6.6×10^－16(eVsec),c＝3×10¹⁰(cm/sec)により,

α  ～ 9.503×10²⁷(cm^1/2sec^-2eV^-3/2)ｈ_c^3/2ｃ^-1/2です。

計算して,0.93に近い値のα ～ 0.927 が得られました。

　この単位選択では,|ａ|＝αμ ～ 0.927μ,(μ～140MeV)

であり,ａはμ,またはμｃ²と同じく,質量Ｍ,または

エネルギーの単位です。
 

つまり,端的に言えば,最初から|ａ|＝0.927μとして, 

1/τ_μ＝(ｈ_c^ｐｃ^ｑ){0.927²Ｇ²/(8π)}μ⁵(ｍ_μ/μ)²(1－ｍ_μ²/μ²)² 

と書いて,右辺の単位がＴ^-1となるようにｐ,ｑを決めれば 

τ_μ  ～ 2.55×10^－8sec が得られるわけです。 

  (注13.1終わり)※
 

さて,あらゆるレプトンを含む崩壊においては,普遍的に,

Ｖ-Ａ結合:[ｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)]が寄与すると

いう仮定によって,π中間子の崩壊からμ粒子の偏極が

決まります。
 

これは,崩壊の連鎖:π^-→ μ^-＋ν'~→ ｅ^-＋ν~＋ν'~

におけるμのスピン方向と崩壊電子のスピン方向を

互いに関連付ける,μ崩壊スペクトルにおける非対称(ひずみ)

パラメータのユニークな予測に導きます。
 

　これを見るため,まず,与えられた立体角要素に出現する

μ粒子の偏極を計算し,それから,これらのμ粒子からの崩壊

電子のスペクトルを計算します。
 

　π崩壊におけるμ粒子の偏極を計算するために,Ｓ行列要素: 

Ｓ_fi^(π)＝(－ｉ)(2π)^-9/2{ｍ_μ/(4Ｅ_ＰＥ_k~Ｅ_ｐ)}^1/2(Ｇａ/√2)

Ｐ_μｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)] (2π)⁴δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ~) 

に戻り,与えられたμのスピン偏極ｓの状態への微分崩壊率 

を計算します。
 

終状態のν'~のスピンｓ_ｋ~では総和し.始状態のπのスピン 

Ｓでは相和して平均しますが,終状態のμのスピンｓは固定

なので.崩壊率を求める際には, (1/2)Σ_S,ｓk~|Ｓ_fi^(π)|²に,

状態密度や,位相体積Ｖ,そして反応時間Ｔを掛けます。
 

すなわち,

ｄω＝(1/2)Σ_S,sk~|Ｓ_fi^(π)|²²∫ｄ³ｋ~ｄ³ｐ(ＶＴ)^-1Ｖ

です。

　　これに,(ＶＴ)^－1Ｖ＝[(2π)⁴δ⁴(0)]^－1,Ｖ＝(2π)³

を代入すると,

ｄω＝(1/2){(2π)³/(2π)⁵}(2Ｅ_Ｐ)^-1(Ｇ²|ａ|²/2) 

∫ｄ³ｋ~ｄ³ｐ{ｍ_μ/(2Ｅ_k~Ｅ_ｐ)}δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ~) 

Σ_S,sk~|Ｐ_μｕ~(ｐ,ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~,ｓ_k~)|² 

　＝{1/(4π²)}(2Ｅ_Ｐ)^-1(Ｇ²|ａ|²ｍ_μ/2) 

∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1ｄ³ｐ(2Ｅ_ｐ) ^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ~) 

Σ_S,sk~|Ｐ_μｕ~(ｐ,ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~,ｓ_k~)|² 

です。

　　スピン射影演算子:Σ(ｓ)＝(1＋γ₅ｓ)/2 は, 

　Σ(ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),Σ(ｓ)ｕ(ｐ,－ｓ)＝0

　を満たす演算子です。これを用います。 

　
　　　ｍ_μΣ_S,ｓｋ~|Ｐ_μｕ~(ｐ,ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~,ｓ_k~)|²

＝ｍ_μ(Ｐ_μＰ_ν)Σ_S,sk~[{ｕ~(ｐ,ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~,ｓ_k~)}

×{ｖ~(ｋ~,ｓ_k~)γ^ν(1－γ₅)ｕ(ｐ,ｓ)}]

＝(Ｐ_μＰ_ν)(ｍ_μ/2)

Σ_S,sk~[{ｕ~(ｐ,ｓ)(1＋γ₅ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~,ｓ_k~)}

×{ｖ~(ｋ~,ｓ_k~)γ^ν(1－γ₅)ｕ(ｐ,ｓ)}]

＝(1/4)(Ｐ_μＰ_ν)

Ｔr[(ｐ＋ｍ_μ)(1＋γ₅ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)]

＝(1/2)(Ｐ_μＰ_ν)

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_μ)(1＋γ₅ｓ)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν]

＝(1/2)Ｔr[(ｐ＋ｍ_μ)(1＋γ₅ｓ)Ｐ(1－γ₅)ｋ~Ｐ]

です。

したがって,

ｄω＝{1/(8π²)}(2Ｅ_Ｐ)^-1(Ｇ²|ａ|²/2) 

∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1ｄ³ｐ(2Ｅ_ｐ) ^-1δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~)

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_μ)(1＋γ₅ｓ)Ｐ(1－γ₅)ｋ~Ｐ] 

となります。
 

　故に,ｄω＝{Ｇ²|ａ|²/(8π²)}(μ/Ｅ_Ｐ)μ³(ｍ_μ/μ)² 

∫ｄ³ｐ(2Ｅ_ｐ) ^-1δ((Ｐ－ｐ)²)

×[(1/2)(1－ｍ_μ²/μ²)＋ｍ_μ(ｓｐ)/μ²]　を得ます。
 

※(注13-2): ∫ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~)^-1δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~) 

＝∫ｄ⁴ｋ~θ(Ｅ_k~~)δ(ｋ~²)δ^４(Ｐ－ｐ－ｋ~) 

＝θ(Ｅ_P－Ｅ_p)δ((Ｐ－ｐ)²) です。

　そして,Ｔr[(ｐ＋ｍ_μ)(1＋γ₅ｓ)Ｐ(1－γ₅)ｋ~Ｐ] 

＝ Ｔr[(ｐ＋ｍ_μ)Ｐ(1－γ₅)ｋ~Ｐ]

－Ｔr[γ₅(ｐ＋ｍ_μ)ｓＰ(1－γ₅)ｋ~Ｐ]  

＝4{2(ｐＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｋｐ)Ｐ²} 

－ｍ_μ{Ｔr(ｓＰｋ~Ｐ])－Ｔr(γ₅ｓＰｋ~Ｐ)} 

＝4{2(ｐＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｋｐ)Ｐ²}

－ｍ_μ{2(ｓＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｓｋ~)Ｐ²} (ｋ~＝P－ｐ－ｋ)
}

＝4[μ²{(ｐＰ)＋ｍ_μ²}－2(ｐＰ)²

－ｍ_μ{μ²(ｓＰ)－2(ｓＰ)(ｐＰ)}] ですが,
 

(Ｐ－ｐ)²＝ｋ~²＝0より,Ｐ²－2(ｐＰ)＋ｐ²＝0, 

そして,Ｐ²＝μ²,ｐ²＝ｍ_μ²なので,

(ｐＰ)＝(μ²＋ｍ_μ²)/2　です。
 

　　故に,μ²{(ｐＰ)＋ｍ_μ²}－2(ｐＰ)²＝(μ²ｍ_μ²－ｍ_μ⁴)/2 

＝μ²ｍ_μ²(1－ｍ_μ²/μ²)/2 であり,

－ｍ_μ{μ²(ｓＰ)－2(ｓＰ)(ｐＰ)}

＝－ｍ_μ(ｓＰ){μ²－2(ｐＰ)} 

　＝ｍ_μ³(ｓＰ)です。

　以上から.Ｔr[(ｐ＋ｍ_μ)(1＋γ₅ｓ)Ｐ(1－γ₅)ｋ~Ｐ] 

＝4μ²ｍ_μ²{(1/2)(1－ｍ_μ²/μ²)＋ｍ_μ(ｓＰ)/μ²} 
　です。　　　　

　(注13-2終わり)※
 

この崩壊率:ｄω＝|Ｇ²|ａ|²/(8π²)}(μ/Ｅ_Ｐ)μ³(ｍ_μ/μ)² 

∫ｄ³ｐ(2Ｅ_ｐ) ^-1δ((Ｐ－ｐ)²)

×{(1/2)(1－ｍ_μ²/μ²)＋ｍ_μ(ｓＰ)/μ²}

は,μ粒子の正のhelicity(右巻き:ｓ＝ｓ_Ｒ)で最大です。

このとき,ｓＰ＝ｓ_ＲＰ＝{(1/2)(μ²/ｍ_μ)(1－ｍ_μ²/μ²)

です。
 

※(注13-3) ｓＰ＝ｓ⁰Ｅ_P－ｓＰですが,一方,既に以前の

記事で.４元運動量ｐを持つDirac粒子のスピン４元ベクトル

ｓ^μの満たすべき条件を与えました。

　それによると,ｓｐ＝ｓ⁰Ｅ_p－ｓｐ＝0 なので,

ｓ⁰＝ｓｐ/Ｅ_p＝ｓβ_μであり,ｓ²＝(ｓ⁰)²－ｓ²＝－1なので

μ粒子の場合,|ｓ|＝(1－β_μ²)^1/2＝Ｅ_p/ｍ_μです。

　ただし,ｃ＝1の自然単位では,β_μ≡ｖ_μ/ｃ＝ｖ_μで,

β_μ＝|ｐ|/Ｅ_pです。

 故に,ｓＰ＝ｓ(β_μＥ_Ｐ－Ｐ)と書けますが,この

(ｓＰ)は,初期の崩壊前のπの運動量:Ｐが決まっている

とき,明らかに,放出されたμのスピンｓの向きが,その

μ自身の運動量ｐ＝β_μＥ_ｐの向きに一致するとき,最大

になります。
 

　πの静止系では,Ｐ＝0で,Ｅ_Ｐ＝μなので, 

ｓＰ＝ｓ(β_μＥ_Ｐ－Ｐ)＝ｓβ_μμですから,

ｓの向きがｐ＝β_μＥ_ｐの向きに一致するとき,このとき

ｓはhelicityが＋1のｓ＝ｓ_Ｒを意味しますが,

ｓＰ＝ｓ_ＲＰ＝ｓ_Ｒβ_μμ＝|ｓ_Ｒ||β_μ|μ 

＝(Ｅ_p/ｍ_μ)(|ｐ|/Ｅ_p)μ＝|ｐ|μ/ｍ_μ

を得ます。
 

前記事の最後で記述したように,|ｐ|＝|ｋ~|＝Ｅ_ｋ~

＝μ－Ｅ_p,かつ,Ｅ_p＝(ｐ²＋ｍ_μ²)^1/2より,

|ｐ|＝(μ²－ｍ_μ²)/(2μ)なので. 

ｓ_ＲＰ＝|ｐ|μ/ｍ_μ＝(μ²－ｍ_μ²)/(2ｍ_μ)

 ＝{(1/2)(μ²/ｍ_μ)(1－ｍ_μ²/μ²)と変形できます。

(注13－3終わり)※
 

次に,与えられたスピンｓを持つμ粒子が,μ^- →ｅ^-＋ν~＋ν'~ 

　と崩壊する崩壊率を得るために.「弱い相互作用の旧理論(10)」 

のμ粒子の崩壊の項を参照すると,
 

μ^－,ｅ^－,ν',ν~の４元運動量:Ｐ_μ,ｐ_ｅ,ｐ_ν',ｐ_ν~

をＰ,ｐ,ｋ,ｋ~に, それに伴なってＥ_μ,Ｅ_ｅ,Ｅ_ν',Ｅ_μ~

を,Ｅ_P,Ｅ_ｐ,Ｅ_k,Ｅ_k~と書き,さらにμとｅの規格化定数: 

(ｍ_μ/Ｅ_P)^1/2,(ｍ_e/Ｅ_p)^1/2をそれぞれ,{1/(2Ｅ_P)}^1/2,  

{1/(2Ｅ_p)}^1/2に置換して整理したμ崩壊のＳ行列要素は,
 

Ｓ_fi＝(－ｉ)(2π)^-6[1/{(2Ｅ_P)(2Ｅ_p)(2Ｅ_ｋ)(2Ｅ_ｋ~)}]^1/2  

×(2π)⁴δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)Ｍ ~；および,
 

Ｍ ~＝(Ｇ~/√2)(4ｍ_μｍ_e)^1/2[ｕ_ν'~(ｋ)γ^μ(1－λγ₅)ｕ_μ(Ｐ)] 

×[ｕ_e~(ｐ)γ_μ(1－γ₅)ｖ_ν~(ｋ~)]　で与えられるのでした。

　　このＳ行列要素から,粒子が非偏極のとき,μの崩壊率は, 

ｄω＝(1/2)(2π)^-5{1/(2Ｅ_P)}∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p) ^-1

ｄ³ｋ(2Ｅ_k) ^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_p) ^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)Σ_spins|Ｍ ~|², 

　および, Σ_spins|Ｍ ~|²

＝(|Ｇ~|²/2)(4ｍ_μｍ_e) 

Σ_spins |[ｕ_ν'~(ｋ)γ^μ(1－λγ₅)ｕ_μ(Ｐ)] 

×[ｕ_e~(ｐ)γ_μ(1－γ₅)ｖ_ν~(ｋ~)]|²

　＝(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ^μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ^ν(1－λ^＊γ₅)ｋ] 

 ×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ_μ(1－γ₅)ｋ~γ_ν(1－γ₅)]
　　
　で与えられます。

　　これに,μ崩壊の測定結果から得られた値:λ＝＋１

を代入します。
 

　π崩壊での終状態のμが偏極していて,そのスピンｓ

を持って継続してμが崩壊する際の始状態の μのスピンを

ｓに固定するため,スピ射影演算子:Σ(ｓ)＝(1＋γ₅ｓ)/2を挿入して,

Σ_spins|Ｍ ~|²＝(|Ｇ~|²/2)

(1/2)Ｔr[γ_μ(1－γ₅)(1＋γ₅ｓ)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－γ₅)ｋ] 

 ×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)](|Ｇ~|²/2)

としたもの　を計算する必要があります。

　以前の非偏極のケースのトレース計算では,

(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ^μ(1－λγ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ^ν(1－λ^＊γ₅)ｋ] 

 ×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ_μ(1－γ₅)ｋ~γ_ν(1－γ₅)]

＝32|Ｇ~|²{|1－λ|²(ｋｋ~)(Ｐｐ)＋|1＋λ|²(ｋｐ)(ｋ~Ｐ)}

でした。

　これに,λ＝＋1を代入すると,

(|Ｇ~|²/2)Ｔr[γ^μ(1－γ₅)(Ｐ＋ｍ_μ)γ^ν(1－γ₅)ｋ] 

×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ_μ(1－γ₅)ｋ~γ_ν(1－γ₅)]

＝128(|Ｇ~|²(ｋｐ)(ｋ~Ｐ)　です。

　
　　一方,今回の計算は,

Σ_spins|Ｍ ~|²＝(|Ｇ~|²/4)

Ｔr[γ_μ(1－γ₅)(1＋γ₅ｓ)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－γ₅)ｋ] 

 ×Ｔr[(ｐ＋ｍ_e)γ^μ(1－γ₅)ｋ~γ^ν(1－γ₅)] ですが,

これの,Ｔr[γ_μ(1－γ₅)(1＋γ₅ｓ)(Ｐ＋ｍ_μ)γ_ν(1－γ₅)ｋ]

因子のｓを含む項としてはｍ_μを含むものだけが寄与します。

　結局,複雑な計算プロセスを省略して結果だけ書くと,

この後者の偏極時のトレース計算では,

Σ_spins|Ｍ ~|²＝64|Ｇ~|²(ｋｐ){ｋ~(Ｐ－ｍ_μｓ)}

となります。

　ただし,ここでのΣ_spinsは,射影演算子:：Σ(ｓ)＝(1＋γ₅ｓ)/2

を挟んだ総和なので実質的にはμのスピンｓは固定して総和

から除外した和を意味します。

　　これを前者(＝非偏極)の不変振幅:Ｍ~での総和式：

　Σ_spins|Ｍ ~|²＝128|Ｇ~|²(ｋｐ)(ｋ~Ｐ)と比較すると,

　非偏極式に(1/2)を掛けてＰ → Ｐ－ｍ_μｓ とすることで

μのスピンがｓに偏極した場合の結果となることがわかります。

　　しかし,遷移率ｄωの評価では非偏極の場合はΣ_spins|Ｍ ~|²をμ

のスピンｓで平均するために(1/2)を掛けるのですが,ｓ固定

の場合は逆に(1/2)を掛ける必要はありませんから,(1/2)は

不要で,Ｐ→(Ｐ－ｍ_μｓ)なる操作のみ意味を持ちます。

そして,ｄωは

ｄω＝(1/2)(2π)^-5{1/(2Ｅ_P)}∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p) ^-1

ｄ³ｋ(2Ｅ_k) ^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_ｋ~) ^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)  

×64|Ｇ~|²(ｋｐ){ｋ~(Ｐ－ｍ_μｓ)}　です。

    「弱い相互作用の旧理論(11)」で記述した非偏極

　のμ崩壊率:

　ｄω＝(1/2)(2π)^-5{1/(2Ｅ_P)}∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p) ^-1

ｄ³ｋ(2Ｅ_k) ^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~) ^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)  

×128|Ｇ~|²(ｋｐ)(ｋ~Ｐ)　の

　　ｋ,ｋ~による積分の実行では,

I^αβ(Ｑ)≡∫ｄ³ｋ(2Ｅ_k) ^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~) ^-1ｋ^αｋ^β

δ⁴(Ｑ－ｋ－ｋ~) ；ただし,Ｑ≡Ｐ－ｐと置き,これが,

I^αβ(Ｑ)＝(π/24)(ｇ^αβＱ²＋2Ｑ^αＱ^β)となるいう公式

を求めて使用しました。

　　　これを用いると,偏極の崩壊率は,

ｄω＝(2π)^-5{1/(2Ｅ_P)}∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p) ^-1

ｄ³ｋ(2Ｅ_k) ^-1ｄ³ｋ~(2Ｅ_k~) ^-1δ⁴(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~) 

×64|Ｇ~|²(ｋｐ){ｋ~(Ｐ－ｍｓ))

＝(2π)^-5{1/(2Ｅ_P)}∫ｄ³ｐ(2Ｅ_p) ^-1|Ｇ~|²

(64π/24)(ｇ^αβＱ²＋2Ｑ^αＱ^β)ｐ_α(Ｐ－ｍ_μｓ)_β

となります。

　　ｓＰ＝0 なので,)(ｇ^αβＱ²＋2Ｑ^αＱ^β)ｐ_α(Ｐ－ｍ_μｓ)_β

＝{ｐ(Ｐ－ｍ_μｓ)}Ｑ＋2(ｐＱ){(Ｐ－ｍ_μｓ)Ｑ}

＝(ｐＰ){ｍ_μ²＋ｍ_e²－2(ｐＰ)} 

－ｍ_μ(ｓｐ){ｍ_μ²＋ｍ_ｅ²－2(ｐＰ)} 

＋{2(ｐＰ)－2ｍ_e²}{ｍ_μ²＋－(ｐＰ)＋ｍ_μ(ｓｐ)} 

＝－4(ｐＰ)²＋3(ｐＰ)(ｍ_μ²＋ｍ_ｅ²)－2ｍ_μ²ｍ_ｅ²

－ｍ_μ(ｓｐ){ｍ_μ²＋3ｍ_ｅ²－4(ｐＰ)}  です。

　　　μの静止系では,Ｅ_p＝ｍ_μであり,

　上式右辺＝－4(ｐＰ)²＋3(ｐＰ)(ｍ_μ²＋ｍ_ｅ²)－2ｍ_μ²ｍ_ｅ²

－ｍ_μ(ｓｐ){ｍ_μ²＋3ｍ_ｅ²－4(ｐＰ)} 

＝－4ｍ_μ²Ｅ_p²＋3ｍ_μＥ_p(ｍ_μ²＋ｍ_ｅ²)－2ｍ_μ²ｍ_ｅ²

－ｍ_μ(ｓｐ){ｍ_μ²＋3ｍ_ｅ²－4(ｍ_μＥ_p)} です。

　　　　ここで,微小なｍ_ｅ²を無視すると,

　右辺 ～ －4ｍ_μ³Ｅ_p{3－(Ｅ_p/ｍ_μ)}－ｍ_μ³{(ｓｐ)/Ｅ_p}

{4(Ｅ_p/ｍ_μ)－1} となります。

　　　　ｄ³ｐ(2Ｅ_p)^-1＝(1/2)|ｐ|Ｅ_pｄＥ_pｄΩ_pであり,

|ｐ| ～ Ｅ_pなのでｄω ～  |Ｇ~|²ｍ_μ²/(48π⁴)Ｅ_p²ｄＥ_pｄΩ_p

×[{3－4(Ｅ_p/ｍ_μ)}－{(ｓｐ)/Ｅ_p}{4(Ｅ_p/ｍ_μ)－1}]

が得られます。

　　既に見たように,π崩壊では角運動量保存則から

　μ粒子は正のhelicityで生成され放出されます。

　　　そこで,μのスピンｓと電子の運動量ｐについて　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　＜(ｓｐ)/Ｅ_p＞＝－ｓ^ｐ^＝－cosθ　です。

　θは,μ粒子のスピンと,その崩壊で放出された電子ｅ

の進行方向：ｐ^のなす角です。

(※何故なら,μの静止系では|ｓ|＝1より,ｓ＝ｓ^です。

また,ｍ_e ～ 0 から,ｐ/E_p ～ ｐ^です。

2015年11/12の過去記事:「散乱電子の偏極について」を参照

してください。※)

　　これから,＜ｄω＞ ～ |Ｇ~|²ｍ_μ²/(24π³)ｄＥ_pｄ(cosθ)

　{3－4(Ｅ_p/ｍ_μ)}(1－α_hcosθ)　を得ます。

　　　ここに,α_h≡(4E_p-ｍ_μ)/(3ｍ_μ-4Ｅ_p)は非対称パラメータと

呼ばれる量です。

　　　他方,先に計算した偏極していない自由μ粒子の崩壊の

エネルギー分布は,

,(ｄω /ｄＥ_ｐ)～ |Ｇ~|²ｍ_μ²/(12π³){3－4(Ｅ_p/ｍ_μ)} 

でした。

電子の放出角での積分は∫ｄ(cosθ)＝2,∫ｄ(cosθ)(1－α_h)

＝2－α_hですから,自由μ粒子でなく,π崩壊から正のhelicityに

偏極して放出されたμ粒子では,,崩壊のエネルギー分布が

(ｄω /ｄＥ_ｐ)～ |Ｇ~|²ｍ_μ²/(12π³){3－4(Ｅ_p/ｍ_μ)}(１－α_h/2)

　　　となることが観測されるはずです。

　　　今日も長くなり過ぎたので,ここで終わります。
 

 (参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell  

”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)