弱い相互作用の旧理論(13)(Fermi理論)
「弱い相互作用の旧理論(12)」からの続き:π中間子
の崩壊の続きです
。
最近は時間が残り少ないこともあり,つい一遍に長い記事を
アップしようとしてしまいます。
以前は,WordでA4の６頁くらいの記事までにしていました。
それ以上になるとココログフリーが受け付けず,エラーに
なっていたからです。
どうしても原稿が大きいときは,仕方なく分割して
いましたが,最近は10頁を超えても大丈夫になったよう
です。
まあ,時代の流れでしょうか？ドメインも昔より大きいサイズ
が普通になったのかも知れません。
この記事もつい11ページくらいになりました。
時間が少ないというのは私の残りの寿命のことですが,
決闘前夜の天才ガロアでもあるまいに。。凡人のくせに。。
さて,前回最後では,π崩壊の崩壊率ωが
ω＝1/τ＝{Ｇ2|ａ|2/(8π)}μ3(ｍ/μ)2(1－ｍ2/μ2)2
で,与えられることを見ました。(τは崩壊の寿命)
これはｍ＝ｍeを代入すれば,π-→ｅ-＋ν~の崩壊率:
ωe＝1/τeを,ｍ＝ｍμを代入すれば,π-→μ-＋ν'~
の崩壊率:ωμ＝1/τμを与えます。
一方,これらの現象で観測されているπの寿命は,
τ＝(2.55±0.03)×10－8secです。
ωμ＞＞ωeであり,τμ＜＜τｅですから,πの寿命の観測値
は崩壊：π－→μ－＋ν’~によるそれ＝τμを反映したもの
と考えられます。
そこで,ωμの予測値:
ωμ＝1/τμ＝{Ｇ2|ａ|2/(8π)}μ3(ｍμ/μ)2(1－ｍμ2/μ2)2
を観測値のω＝1/τ ～ 1/{(2.55±0.03)×10－8sec}に等しい
と置くことから,|ａ|の値を決めることができます。
計算を実行した結果,|ａ|～ 0.93μと評価されました。
※(注13-1):上記のように,τμ＝(2.55±0.03)×10－8sec
から|ａ|～ 0.93μの評価値を得る計算内容を示します。
まず,1/τμ＝{Ｇ2|ａ|2/(8π)}μ3(ｍμ/μ)2(1－ｍμ2/μ2)2
の両辺の単位が合致するように単位(次元)を調節します。
1/τμの右辺は,ｈc＝ｃ＝1(ｈc＝ｈ/2π;ｈはPlanck定数)
とする自然単位の評価式であり,この表現ではｈcもｃも単に
1に過ぎないので両辺にこれらｈcやｃをいくつ掛けても式
としての意味は同じです。
それら,右辺に(ｈcrｃs)を乗じた無数の同値な式を,
1/τμ＝(ｈcｒｃs)}{Ｇ2|ａ|2/(8π)}μ3(ｍμ/μ)2(1－ｍμ2/μ2)2
と書きます。
これらの中から,右辺を通常の単位に換算して単位が左辺
の(1/τμ)の単位(＝Ｔ-1)に一致する場合が通常の単位での
正しい等式であり,それを探すのを次元解析と呼ぶのでした。
そこで,単位のみを問題とする次元解析の等式は,
Ｔ-1＝[Ｇａ]2Ｍ3[ｈcｒｃs]と書けます。
(※[Ａ]は物理量Ａの単位です。)
この次元解析の等式を解析する際には,[ｈc]＝ＭＬ2Ｔ-1,
[ｃ]＝ＬＴ-1,および,{Ｇａ}を代入する必要があります
が,今のところ,単位:[Ｇａ]が全く不明です。
この不明な単位を,崩壊振幅の因子の運動量表示での形から
求めます。
π崩壊の運動量表示の頂点での相互作用の振幅は,
(Ｇａ/√2)[Ｐμｕμ~(ｐ)γμ(1－γ5)ｖν'(ｐν'~)]
で与えられることを見ましたが,
これは,座標表示 では,Hamiltonian密度をＨとするとき,
係数を除き,Ｈ＝(Ｇａ/√2)∂μφπΨμ~γμ(1－γ5)Ψν~
であることを意味します。
単位の等式では,単位のない係数は無関係であり,
[Ｈ ]＝[Ｇａ][∂μφπ][Ψμ~γμ(1－γ5)Ψν~]
ですが,単位が既知のものについては具体的な単位
を代入します。
まず,左辺のＨはエネルギー密度なので,
[Ｈ]＝[エネルギー]Ｌ-3 です。
ただし,[エネルギー]＝Ｍ[加速度]Ｌ＝ＭＬ2Ｔ-2 です。
次に,スピノル Ψについては,Ψ~ΨがFermi粒子の確率密度
を与えるため,[Ψ~Ψ]＝L-3ですが,Ψμ~γμ(1－γ5)Ψν'も
Ψ~Ψと同じ単位と考えられるので,[Ψμ~γμ(1－γ5)Ψν']
＝L-3 です。
また,ｈc＝ｃ＝1の単位では,φπのような質量ｍのスカラー
粒子の状態関数φについて,相互作用のないLagrangian密度
は.Ｌφ＝(1/2)(∂μφ∂μφ－ｍ2φ2) ですが,
左辺のＬφの単位は,Ｈと同じで,[Ｌφ]＝[エネルギー]Ｌ-3
なので,[∂μφπ]＝[エネルギー]1/2Ｌ-3/2 であることが
わかります。
故に, [Ｈ]＝[Ｇａ][∂μφπ][Ψμ~γμ(1－γ5)Ψν']は,
[エネルギー] Ｌ-3＝[Ｇａ][エネルギー]1/2Ｌ-3/2Ｌ-3
となるため,Ｇａの単位として,
[Ｇａ]＝[エネルギー]1/2Ｌ3/2 が得られます。
[エネルギー]＝ＭＬ2Ｔ-2 を用いるなら,
[Ｇａ]＝Ｍ1/2ＬＴ-1 です。
したがって,Ｔ-1＝[Ｇａ]2Ｍ3[ｈcｒｃs]＝ＭＬ5Ｔ-2[ｈcｒｃｓ]
より.[ｈcｒｃｓ]＝Ｍ－4Ｌ-5Ｔ を得ます。
これと,[ｈc]＝ＭＬ2Ｔ-1,[ｃ]＝ＬＴ-1 より,
－4＝ｒ,－5＝2ｒ＋ｓ,－1＝－ｒ－ｓ ですから,
結局,ｒ＝－4,ｓ＝3 を得ます。
つまり,通常の単位なら,
1/τμ＝ｈc－4ｃ3{Ｇ2|ａ|2/(8π)}μ3(ｍμ/μ)2×(1－ｍμ2/μ2)2
というのが正しい等式です。
ここで,πの質量μを単位として,|ａ|≡αμと置くと,
自然単位では,1/τμ＝{Ｇ2|ａ|2/(8π)}μ3(ｍμ/μ)2(1－ｍμ2/μ2)2
から,1/τμ＝{Ｇ2α2/(8π)}μ5(ｍμ/μ)2(1－ｍμ2/μ2)2であり
通常単位では,
1/τμ＝ｈc－4ｃ3{Ｇ2α2/(8π)}μ5(ｍμ/μ)2(1－ｍμ2/μ2)2
です。
τμ＝{(8π)/(Ｇ2α2)}(ｈc4/ｃ3)μ-5(μ/ｍμ)2{μ2/(μ2－ｍμ2)}2
Ｇ2α2＝(1/τμ)(8πｈc4ｃ7)(μc2) -5(μ/ｍμ)2{μ2/(μ2－ｍμ2)}2
です。
右辺に,τμ～ 2.55×10－8sec,μc2 ～ 140MeＶ,ｍμｃ2～ 106MeV,
そして,c＝3×1010cm/sec,ｈc＝6.6×10－16eVsec, MeV＝106eV
を代入して計算すると,結局,
Ｇ2α2 ～ 7.135×10-19cm7sec-4eV-1
を得ます。
よって,Ｇα ～ 8.447×10-9(cm7sec-4eV-1)1/2
です。
ところで,以前のμ粒子の崩壊寿命を計算した際の考察では
[Ｇ]＝ＭＬ5Ｔ-2であり,Ｇ ～ 8.88×10-38 (eVcm3)でした。
Ｇα ～ 8.447×10-9(cm7sec-4eV-1)1/2を上のＧで割って
α ～ 9.503×1027(cm1/2sec-2eV-3/2) が得られます。
これによると,[α]＝Ｌ1/2Ｔ-2(ＭＬ2Ｔ-2)-3/2＝Ｍ-3/2Ｌ-5/2Ｔ
であり,[Ｇα]＝Ｍ1/2Ｌ5/2Ｔ-1 です。
実はこのαにも(ｈcｐｃｑ)の因子が陰伏していて,真のα
は, 無次元(単位なし)のただの数であって,Ｇαの単位は
Ｇと同じであるとすると,
ｈc＝6.6×10－16(eVsec),c＝3×1010(cm/sec)により,
α ～ 9.503×1027(cm1/2sec-2eV-3/2)ｈc3/2ｃ-1/2 です。
計算して,0.93に近い値のα ～ 0.927 が得られました。
この単位選択では,|ａ|＝αμ ～ 0.927μ,(μ～140MeV)
であり,ａはμ,またはμｃ2と同じく,質量Ｍ,または
エネルギーの単位です。
つまり,端的に言えば,最初から|ａ|＝0.927μとして,
1/τμ＝(ｈcｐｃｑ){0.9272Ｇ2/(8π)}μ5(ｍμ/μ)2(1－ｍμ2/μ2)2
と書いて,右辺の単位がＴ-1となるようにｐ,ｑを決めれば
τμ ～ 2.55×10－8sec が得られるわけです。
(注13.1終わり)※
さて,あらゆるレプトンを含む崩壊においては,普遍的に,
Ｖ-Ａ結合:[ｕ~(ｐ)γμ(1－γ5)ｖ(ｋ~)]が寄与すると
いう仮定によって,π中間子の崩壊からμ粒子の偏極が
決まります。
これは,崩壊の連鎖:π-→ μ-＋ν'~→ ｅ-＋ν~＋ν'~
におけるμのスピン方向と崩壊電子のスピン方向を
互いに関連付ける,μ崩壊スペクトルにおける非対称(ひずみ)
パラメータのユニークな予測に導きます。
これを見るため,まず,与えられた立体角要素に出現する
μ粒子の偏極を計算し,それから,これらのμ粒子からの崩壊
電子のスペクトルを計算します。
π崩壊におけるμ粒子の偏極を計算するために,Ｓ行列要素:
Ｓfi(π)＝(－ｉ)(2π)-9/2{ｍμ/(4ＥＰＥk~Ｅｐ)}1/2(Ｇａ/√2)
Ｐμｕ~(ｐ)γμ(1－γ5)ｖ(ｋ~)] (2π)4δ4(Ｐ－ｐ－ｋ~)
に戻り,与えられたμのスピン偏極ｓの状態への微分崩壊率
を計算します。
終状態のν'~のスピンｓｋ~では総和し.始状態のπのスピン
Ｓでは相和して平均しますが,終状態のμのスピンｓは固定
なので.崩壊率を求める際には, (1/2)ΣS,ｓk~|Ｓfi(π)|2に,
状態密度や,位相体積Ｖ,そして反応時間Ｔを掛けます。
すなわち,
ｄω＝(1/2)ΣS,sk~|Ｓfi(π)|22∫ｄ3ｋ~ｄ3ｐ(ＶＴ)-1Ｖ
です。
これに,(ＶＴ)－1Ｖ＝[(2π)4δ4(0)]－1,Ｖ＝(2π)3
を代入すると,
ｄω＝(1/2){(2π)3/(2π)5}(2ＥＰ)-1(Ｇ2|ａ|2/2)
∫ｄ3ｋ~ｄ3ｐ{ｍμ/(2Ｅk~Ｅｐ)}δ4(Ｐ－ｐ－ｋ~)
ΣS,sk~|Ｐμｕ~(ｐ,ｓ)γμ(1－γ5)ｖ(ｋ~,ｓk~)|2
＝{1/(4π2)}(2ＥＰ)-1(Ｇ2|ａ|2ｍμ/2)
∫ｄ3ｋ~(2Ｅk~)-1ｄ3ｐ(2Ｅｐ) -1δ4(Ｐ－ｐ－ｋ~)
ΣS,sk~|Ｐμｕ~(ｐ,ｓ)γμ(1－γ5)ｖ(ｋ~,ｓk~)|2
です。
スピン射影演算子:Σ(ｓ)＝(1＋γ5ｓ)/2 は,
Σ(ｓ)ｕ(ｐ,ｓ)＝ｕ(ｐ,ｓ),Σ(ｓ)ｕ(ｐ,－ｓ)＝0
を満たす演算子です。これを用います。
ｍμΣS,ｓｋ~|Ｐμｕ~(ｐ,ｓ)γμ(1－γ5)ｖ(ｋ~,ｓk~)|2
＝ｍμ(ＰμＰν)ΣS,sk~[{ｕ~(ｐ,ｓ)γμ(1－γ5)ｖ(ｋ~,ｓk~)}
×{ｖ~(ｋ~,ｓk~)γν(1－γ5)ｕ(ｐ,ｓ)}]
＝(ＰμＰν)(ｍμ/2)
ΣS,sk~[{ｕ~(ｐ,ｓ)(1＋γ5ｓ)γμ(1－γ5)ｖ(ｋ~,ｓk~)}
×{ｖ~(ｋ~,ｓk~)γν(1－γ5)ｕ(ｐ,ｓ)}]
＝(1/4)(ＰμＰν)
Ｔr[(ｐ＋ｍμ)(1＋γ5ｓ)γμ(1－γ5)ｋ~γν(1－γ5)]
＝(1/2)(ＰμＰν)
×Ｔr[(ｐ＋ｍμ)(1＋γ5ｓ)γμ(1－γ5)ｋ~γν]
＝(1/2)Ｔr[(ｐ＋ｍμ)(1＋γ5ｓ)Ｐ(1－γ5)ｋ~Ｐ]
です。
したがって,
ｄω＝{1/(8π2)}(2ＥＰ)-1(Ｇ2|ａ|2/2)
∫ｄ3ｋ~(2Ｅk~)-1ｄ3ｐ(2Ｅｐ) -1δ４(Ｐ－ｐ－ｋ~)
×Ｔr[(ｐ＋ｍμ)(1＋γ5ｓ)Ｐ(1－γ5)ｋ~Ｐ]
となります。
故に,ｄω＝{Ｇ2|ａ|2/(8π2)}(μ/ＥＰ)μ3(ｍμ/μ)2
∫ｄ3ｐ(2Ｅｐ) -1δ((Ｐ－ｐ)2)
×[(1/2)(1－ｍμ2/μ2)＋ｍμ(ｓｐ)/μ2] を得ます。
※(注13-2): ∫ｄ3ｋ~(2Ｅk~)-1δ４(Ｐ－ｐ－ｋ~)
＝∫ｄ4ｋ~θ(Ｅk~~)δ(ｋ~2)δ４(Ｐ－ｐ－ｋ~)
＝θ(ＥP－Ｅp)δ((Ｐ－ｐ)2) です。
そして,Ｔr[(ｐ＋ｍμ)(1＋γ5ｓ)Ｐ(1－γ5)ｋ~Ｐ]
＝ Ｔr[(ｐ＋ｍμ)Ｐ(1－γ5)ｋ~Ｐ]
－Ｔr[γ5(ｐ＋ｍμ)ｓＰ(1－γ5)ｋ~Ｐ]
＝4{2(ｐＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｋｐ)Ｐ2}
－ｍμ{Ｔr(ｓＰｋ~Ｐ])－Ｔr(γ5ｓＰｋ~Ｐ)}
＝4{2(ｐＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｋｐ)Ｐ2}
－ｍμ{2(ｓＰ)(ｋ~Ｐ)－(ｓｋ~)Ｐ2} (ｋ~＝P－ｐ－ｋ)
}
＝4[μ2{(ｐＰ)＋ｍμ2}－2(ｐＰ)2
－ｍμ{μ2(ｓＰ)－2(ｓＰ)(ｐＰ)}] ですが,
(Ｐ－ｐ)2＝ｋ~2＝0より,Ｐ2－2(ｐＰ)＋ｐ2＝0,
そして,Ｐ2＝μ2,ｐ2＝ｍμ2 なので,
(ｐＰ)＝(μ2＋ｍμ2)/2 です。
故に,μ2{(ｐＰ)＋ｍμ2}－2(ｐＰ)2＝(μ2ｍμ2－ｍμ4)/2
＝μ2ｍμ2(1－ｍμ2/μ2)/2 であり,
－ｍμ{μ2(ｓＰ)－2(ｓＰ)(ｐＰ)}
＝－ｍμ(ｓＰ){μ2－2(ｐＰ)}
＝ｍμ3(ｓＰ)です。
以上から.Ｔr[(ｐ＋ｍμ)(1＋γ5ｓ)Ｐ(1－γ5)ｋ~Ｐ]
＝4μ2ｍμ2{(1/2)(1－ｍμ2/μ2)＋ｍμ(ｓＰ)/μ2}
です。
(注13-2終わり)※
この崩壊率:ｄω＝|Ｇ2|ａ|2/(8π2)}(μ/ＥＰ)μ3(ｍμ/μ)2
∫ｄ3ｐ(2Ｅｐ) -1δ((Ｐ－ｐ)2)
×{(1/2)(1－ｍμ2/μ2)＋ｍμ(ｓＰ)/μ2}
は,μ粒子の正のhelicity(右巻き:ｓ＝ｓＲ)で最大です。
このとき,ｓＰ＝ｓＲＰ＝{(1/2)(μ2/ｍμ)(1－ｍμ2/μ2)
です。
※(注13-3) ｓＰ＝ｓ0ＥP－ｓＰですが,一方,既に以前の
記事で.４元運動量ｐを持つDirac粒子のスピン４元ベクトル
ｓμの満たすべき条件を与えました。
それによると,ｓｐ＝ｓ0Ｅp－ｓｐ＝0 なので,
ｓ0＝ｓｐ/Ｅp＝ｓβμであり,ｓ2＝(ｓ0)2－ｓ2＝－1なので
μ粒子の場合,|ｓ|＝(1－βμ2)1/2＝Ｅp/ｍμです。
ただし,ｃ＝1の自然単位では,βμ≡ｖμ/ｃ＝ｖμで,
βμ＝|ｐ|/Ｅp です。
故に,ｓＰ＝ｓ(βμＥＰ－Ｐ)と書けますが,この
(ｓＰ)は,初期の崩壊前のπの運動量:Ｐが決まっている
とき,明らかに,放出されたμのスピンｓの向きが,その
μ自身の運動量ｐ＝βμＥｐの向きに一致するとき,最大
になります。
πの静止系では,Ｐ＝0で,ＥＰ＝μなので,
ｓＰ＝ｓ(βμＥＰ－Ｐ)＝ｓβμμですから,
ｓの向きがｐ＝βμＥｐの向きに一致するとき,このとき
ｓはhelicityが＋1のｓ＝ｓＲを意味しますが,
ｓＰ＝ｓＲＰ＝ｓＲβμμ＝|ｓＲ||βμ|μ
＝(Ｅp/ｍμ)(|ｐ|/Ｅp)μ＝|ｐ|μ/ｍμ
を得ます。
前記事の最後で記述したように,|ｐ|＝|ｋ~|＝Ｅｋ~
＝μ－Ｅp,かつ,Ｅp＝(ｐ2＋ｍμ2)1/2より,
|ｐ|＝(μ2－ｍμ2)/(2μ)なので.
ｓＲＰ＝|ｐ|μ/ｍμ＝(μ2－ｍμ2)/(2ｍμ)
＝{(1/2)(μ2/ｍμ)(1－ｍμ2/μ2)と変形できます。
(注13－3終わり)※
次に,与えられたスピンｓを持つμ粒子が,μ- →ｅ-＋ν~＋ν'~
と崩壊する崩壊率を得るために.「弱い相互作用の旧理論(10)」
のμ粒子の崩壊の項を参照すると,
μ－,ｅ－,ν',ν~の４元運動量:Ｐμ,ｐｅ,ｐν',ｐν~
をＰ,ｐ,ｋ,ｋ~に, それに伴なってＥμ,Ｅｅ,Ｅν',Ｅμ~
を,ＥP,Ｅｐ,Ｅk,Ｅk~と書き,さらにμとｅの規格化定数:
(ｍμ/ＥP)1/2,(ｍe/Ｅp)1/2をそれぞれ,{1/(2ＥP)}1/2,
{1/(2Ｅp)}1/2に置換して整理したμ崩壊のＳ行列要素は,
Ｓfi＝(－ｉ)(2π)-6[1/{(2ＥP)(2Ｅp)(2Ｅｋ)(2Ｅｋ~)}]1/2
×(2π)4δ4(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)Ｍ ~；および,
Ｍ ~＝(Ｇ~/√2)(4ｍμｍe)1/2[ｕν'~(ｋ)γμ(1－λγ5)ｕμ(Ｐ)]
×[ｕe~(ｐ)γμ(1－γ5)ｖν~(ｋ~)] で与えられるのでした。
このＳ行列要素から,粒子が非偏極のとき,μの崩壊率は,
ｄω＝(1/2)(2π)-5{1/(2ＥP)}∫ｄ3ｐ(2Ｅp) -1
ｄ3ｋ(2Ｅk) -1ｄ3ｋ~(2Ｅp) -1δ4(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)Σspins|Ｍ ~|2,
および, Σspins|Ｍ ~|2
＝(|Ｇ~|2/2)(4ｍμｍe)
Σspins |[ｕν'~(ｋ)γμ(1－λγ5)ｕμ(Ｐ)]
×[ｕe~(ｐ)γμ(1－γ5)ｖν~(ｋ~)]|2
＝(|Ｇ~|2/2)Ｔr[γμ(1－λγ5)(Ｐ＋ｍμ)γν(1－λ＊γ5)ｋ]
×Ｔr[(ｐ＋ｍe)γμ(1－γ5)ｋ~γν(1－γ5)]
で与えられます。
これに,μ崩壊の測定結果から得られた値:λ＝＋１
を代入します。
π崩壊での終状態のμが偏極していて,そのスピンｓ
を持って継続してμが崩壊する際の始状態の μのスピンを
ｓに固定するため,スピ射影演算子:Σ(ｓ)＝(1＋γ5ｓ)/2を挿入して,
Σspins|Ｍ ~|2＝(|Ｇ~|2/2)
(1/2)Ｔr[γμ(1－γ5)(1＋γ5ｓ)(Ｐ＋ｍμ)γν(1－γ5)ｋ]
×Ｔr[(ｐ＋ｍe)γμ(1－γ5)ｋ~γν(1－γ5)](|Ｇ~|2/2)
としたもの を計算する必要があります。
以前の非偏極のケースのトレース計算では,
(|Ｇ~|2/2)Ｔr[γμ(1－λγ5)(Ｐ＋ｍμ)γν(1－λ＊γ5)ｋ]
×Ｔr[(ｐ＋ｍe)γμ(1－γ5)ｋ~γν(1－γ5)]
＝32|Ｇ~|2{|1－λ|2(ｋｋ~)(Ｐｐ)＋|1＋λ|2(ｋｐ)(ｋ~Ｐ)}
でした。
これに,λ＝＋1を代入すると,
(|Ｇ~|2/2)Ｔr[γμ(1－γ5)(Ｐ＋ｍμ)γν(1－γ5)ｋ]
×Ｔr[(ｐ＋ｍe)γμ(1－γ5)ｋ~γν(1－γ5)]
＝128(|Ｇ~|2(ｋｐ)(ｋ~Ｐ) です。
一方,今回の計算は,
Σspins|Ｍ ~|2＝(|Ｇ~|2/4)
Ｔr[γμ(1－γ5)(1＋γ5ｓ)(Ｐ＋ｍμ)γν(1－γ5)ｋ]
×Ｔr[(ｐ＋ｍe)γμ(1－γ5)ｋ~γν(1－γ5)] ですが,
これの,Ｔr[γμ(1－γ5)(1＋γ5ｓ)(Ｐ＋ｍμ)γν(1－γ5)ｋ]
因子のｓを含む項としてはｍμを含むものだけが寄与します。
結局,複雑な計算プロセスを省略して結果だけ書くと,
この後者の偏極時のトレース計算では,
Σspins|Ｍ ~|2＝64|Ｇ~|2(ｋｐ){ｋ~(Ｐ－ｍμｓ)}
となります。
ただし,ここでのΣspinsは,射影演算子:：Σ(ｓ)＝(1＋γ5ｓ)/2
を挟んだ総和なので実質的にはμのスピンｓは固定して総和
から除外した和を意味します。
これを前者(＝非偏極)の不変振幅:Ｍ~での総和式：
Σspins|Ｍ ~|2＝128|Ｇ~|2(ｋｐ)(ｋ~Ｐ)と比較すると,
非偏極式に(1/2)を掛けてＰ → Ｐ－ｍμｓ とすることで
μのスピンがｓに偏極した場合の結果となることがわかります。
しかし,遷移率ｄωの評価では非偏極の場合はΣspins|Ｍ ~|2をμ
のスピンｓで平均するために(1/2)を掛けるのですが,ｓ固定
の場合は逆に(1/2)を掛ける必要はありませんから,(1/2)は
不要で,Ｐ→(Ｐ－ｍμｓ)なる操作のみ意味を持ちます。
そして,ｄωは
ｄω＝(1/2)(2π)-5{1/(2ＥP)}∫ｄ3ｐ(2Ｅp) -1
ｄ3ｋ(2Ｅk) -1ｄ3ｋ~(2Ｅｋ~) -1δ4(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)
×64|Ｇ~|2(ｋｐ){ｋ~(Ｐ－ｍμｓ)} です。
「弱い相互作用の旧理論(11)」で記述した非偏極
のμ崩壊率:
ｄω＝(1/2)(2π)-5{1/(2ＥP)}∫ｄ3ｐ(2Ｅp) -1
ｄ3ｋ(2Ｅk) -1ｄ3ｋ~(2Ｅk~) -1δ4(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)
×128|Ｇ~|2(ｋｐ)(ｋ~Ｐ) の
ｋ,ｋ~による積分の実行では,
Iαβ(Ｑ)≡∫ｄ3ｋ(2Ｅk) -1ｄ3ｋ~(2Ｅk~) -1ｋαｋβ
δ4(Ｑ－ｋ－ｋ~) ；ただし,Ｑ≡Ｐ－ｐと置き,これが,
Iαβ(Ｑ)＝(π/24)(ｇαβＱ2＋2ＱαＱβ)となるいう公式
を求めて使用しました。
これを用いると,偏極の崩壊率は,
ｄω＝(2π)-5{1/(2ＥP)}∫ｄ3ｐ(2Ｅp) -1
ｄ3ｋ(2Ｅk) -1ｄ3ｋ~(2Ｅk~) -1δ4(Ｐ－ｐ－ｋ－ｋ~)
×64|Ｇ~|2(ｋｐ){ｋ~(Ｐ－ｍｓ))
＝(2π)-5{1/(2ＥP)}∫ｄ3ｐ(2Ｅp) -1|Ｇ~|2
(64π/24)(ｇαβＱ2＋2ＱαＱβ)ｐα(Ｐ－ｍμｓ)β
となります。
ｓＰ＝0 なので,)(ｇαβＱ2＋2ＱαＱβ)ｐα(Ｐ－ｍμｓ)β
＝{ｐ(Ｐ－ｍμｓ)}Ｑ＋2(ｐＱ){(Ｐ－ｍμｓ)Ｑ}
＝(ｐＰ){ｍμ2＋ｍe2－2(ｐＰ)}
－ｍμ(ｓｐ){ｍμ2＋ｍｅ2－2(ｐＰ)}
＋{2(ｐＰ)－2ｍe2}{ｍμ2＋－(ｐＰ)＋ｍμ(ｓｐ)}
＝－4(ｐＰ)2＋3(ｐＰ)(ｍμ2＋ｍｅ2)－2ｍμ2ｍｅ2
－ｍμ(ｓｐ){ｍμ2＋3ｍｅ2－4(ｐＰ)} です。
μの静止系では,Ｅp＝ｍμであり,
上式右辺＝－4(ｐＰ)2＋3(ｐＰ)(ｍμ2＋ｍｅ2)－2ｍμ2ｍｅ2
－ｍμ(ｓｐ){ｍμ2＋3ｍｅ2－4(ｐＰ)}
＝－4ｍμ2Ｅp2＋3ｍμＥp(ｍμ2＋ｍｅ2)－2ｍμ2ｍｅ2
－ｍμ(ｓｐ){ｍμ2＋3ｍｅ2－4(ｍμＥp)} です。
ここで,微小なｍｅ2を無視すると,
右辺 ～ －4ｍμ3Ｅp{3－(Ｅp/ｍμ)}－ｍμ3{(ｓｐ)/Ｅp}
{4(Ｅp/ｍμ)－1} となります。
ｄ3ｐ(2Ｅp)-1＝(1/2)|ｐ|ＥpｄＥpｄΩpであり,
|ｐ| ～ Ｅpなのでｄω ～ |Ｇ~|2ｍμ2/(48π4)Ｅp2ｄＥpｄΩp
×[{3－4(Ｅp/ｍμ)}－{(ｓｐ)/Ｅp}{4(Ｅp/ｍμ)－1}]
が得られます。
既に見たように,π崩壊では角運動量保存則から
μ粒子は正のhelicityで生成され放出されます。
そこで,μのスピンｓと電子の運動量ｐについて
＜(ｓｐ)/Ｅp＞＝－ｓ^ｐ^＝－cosθ です。
θは,μ粒子のスピンと,その崩壊で放出された電子ｅ
の進行方向：ｐ^のなす角です。
(※何故なら,μの静止系では|ｓ|＝1より,ｓ＝ｓ^です。
また,ｍe ～ 0 から,ｐ/Ep ～ ｐ^です。
2015年11/12の過去記事:「散乱電子の偏極について」を参照
してください。※)
これから,＜ｄω＞ ～ |Ｇ~|2ｍμ2/(24π3)ｄＥpｄ(cosθ)
{3－4(Ｅp/ｍμ)}(1－αhcosθ) を得ます。
ここに,αh≡(4Ep-ｍμ)/(3ｍμ-4Ｅp)は非対称パラメータと
呼ばれる量です。
他方,先に計算した偏極していない自由μ粒子の崩壊の
エネルギー分布は,
,(ｄω /ｄＥｐ)～ |Ｇ~|2ｍμ2/(12π3){3－4(Ｅp/ｍμ)}
でした。
電子の放出角での積分は∫ｄ(cosθ)＝2,∫ｄ(cosθ)(1－αh)
＝2－αhですから,自由μ粒子でなく,π崩壊から正のhelicityに
偏極して放出されたμ粒子では,,崩壊のエネルギー分布が
(ｄω /ｄＥｐ)～ |Ｇ~|2ｍμ2/(12π3){3－4(Ｅp/ｍμ)}(１－αh/2)
となることが観測されるはずです。
今日も長くなり過ぎたので,ここで終わります。
(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell
”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)
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