強い相互作用(湯川相互作用)(16)

現在,「弱い相互作用の旧理論」というシリーズ記事を連載中 

ですが,次にアップ予定の項目の「ベクトルカレントの保存:

CVC(Conserved Vector Current)についての草稿を準備中に, 

かつての「強い相互作用(湯川相互作用)」のシリーズ記事に

おける,核子のまわりの光子の雲による電磁形状因子:

(Electric Form Factor)を参照する必要に迫られました。
 

しかしながら,私の参照ノートには,もちろん,その項目も欠損

なく記述されていますが,

　ブログ過去記事を調べてみると,「強い相互作用(湯川相互作用)」

は,2013年3月に,このテーマが終了する直前に,当時63歳の誕生日

(2013年2月1日)に就職したばかりだった練馬区の会社を足の不調

で,１ヶ月ちょっとの,まだ見習い中の3月4日に残念ながら辞職し,

翌々週の3月19日には.順天堂大学付属医院の形成外科に入院して,

足の指を切除する手術をし,以後６月初めまで長期入院となり闘病

生活に入ったため,2013年3月８日にアップした

「強い相互作用(湯川相互作用)(15)」を最後にPending状態に陥り,

そのまま,今まで放置していたのでした。
 

その後,日本人のノーベル賞受賞に刺激されて,2015年の秋

からは, 「弱い相互作用の旧理論」なるテーマに飛躍したので,

電磁形状因子を含む欠損部分が生じていました。

　この部分もその後の素粒子理論の展開に必要な項目なので,

これを機会に,ここ２～３回程度の科学記事として,

「強い相互作用(湯川相互作用)」の残りの部分を続きとして

再開して,このシリーズ記事を完了し,その後,また, 

「弱い相互作用の旧理論」に戻りたいと思います。
 

まず,当時のテーマは,核子Ｎ(陽子ｐと中性子ｎ)同士の散乱

の項目を終了して,π中間子と核子の散乱：π-Ｎ散乱の散乱

振幅をπ中間子を交換する湯川相互作用をメインとする核力

の相互作用(強い相互作用)や,アイソスピン対称性

(＝荷電スピンのSU(2)対称性)などに基づいて,計算する項目

でした。

　記事:「強い相互作用(湯川相互作用)(15)」は,ほとんどが私の

注だけという内容なので,注以外の本文説明がある,それより1つ

前の過去記事: 「強い相互作用(湯川相互作用)(14)」の大部分を

再掲載するところから,思い出しつつ始めようと思います。
 

(※↓以下,まず「強い相互作用(湯川相互作用)(14)」の再掲載

です。)
 

π-N散乱の散乱断面積σが,その観測における比の通り, 

σ(π^＋ｐ→π^＋ｐ)：σ(π^－ｐ→π⁰ｎ)：σ(π^－ｐ→π^－ｐ) 

＝9：2：1 と計算される理由を記述する注からです。
 

※(注14-1): さらに前の記事:「強い相互作用(湯川相互作用)(13)」 

で示した,アイソスピンによる核子,π中間子,および,その合成状態 

の記述を示します。
 

　Ｉをアイソスピン(Isotopic-spin：荷電スピン)の固有値,その

第３軸成分の固有値をI^３とすると,Ｉ＝1/2の核子Ｎにおいて,陽子

ｐの状態はＩ³＝＋1/2の状態であり,これを示す２成分スピノル

状態関数をχ_p,Ｉ³＝－1/2の中性子ｎの状態をχ_nとします。
 

　一方,Ｉ＝1のπ中間子では,Ｉ³＝＋1のπ^＋状態を|φ_＋＞,

Ｉ³＝0のπ⁰状態を|φ₀＞,Ｉ³＝－1のπ^－状態を|φ_－＞

とします。

　φ_＋,φ₀,φ_＋は,それぞれ,Ｉ＝1の状態を示す独立な３次元

縦ベクトルです。

 このとき,Ｐ_3/2^をπ-Ｎ状態のＩ＝3/2でＩ³＝3/2である状態

の射影演算子とすると,χ_p^＋＜φ_＋|Ｐ_3/2^|φ_＋＞χ_p＝1　です。
 

一方,χ_n^＋＜φ₀|Ｐ_3/2^|φ_－＞χ_p

＝χ_n^＋{φ₀^＊φ_－－(1/3)(τφ₀^＊)(τφ_－)}χ_p 

＝χ_n^＋{(2/3)φ₀^＊φ_－－(1/3)iτ(φ₀^＊×φ_－)}χ_p

も成立します。
 

φ₀^＊φ_－＝φ⁽³⁾(φ⁽¹⁾－iφ⁽²⁾)/√2＝0 

φ₀^＊×φ_－＝(φ⁽³⁾×φ⁽¹⁾－iφ⁽³⁾×φ⁽²⁾)/√2 

＝(φ⁽²⁾＋iφ⁽¹⁾)/√2＝i⁾(φ⁽¹⁾－iφ⁽²⁾)＝iφ_－ より, 

－(1/3)iτ(φ₀^＊×φ_－)＝(τ¹－iτ²)/(3√2)　です。
 

(τ¹－iτ²)χ_p ＝2τ-χ_p＝2χ_nなので. 

χ_n^＋{(2/3)φ₀^＊φ_－－(1/3)iτ(φ₀^＊×φ_－)}χ_p＝√2/3 

を得ます。
 

同様に,χ_p^＋＜φ_－|Ｐ_3/2^|φ_－＞χ_p 

＝χ_p^＋{(2/3)φ_－^＊φ_－－(1/3)iτ(φ_－^＊×φ_－)}χ_p 

＝2/3－(1/3)χ_p^＋τ³χ_p＝1/3　です。
 

よって,Ｉ＝3/2のチャネルにおいては,  

π^＋ｐ→π^＋ｐ,π^－ｐ→π⁰ｎ,π^－ｐ→π^－ｐ 

の散乱振幅(Ｓ行列要素Ｓ_fi)の比は,１：√2/3：1/3,確率

の比は9：2：1 となることがわかります。
 

あるいは,アイソスピン固有状態を|Ｉ,Ｉ³＞で表現すると, 

｜π^＋＞＝|1,1＞,|π⁰＞＝|1,0＞,｜π^－＞＝|1,－1＞, 

|ｐ＞＝|1/2,1/2＞,|ｎ＞＝|1/2,－1/2＞　です。
 

そこで,これらの合成から得られる状態のうち,Ｉ＝3/2の

固有状態は,|3/2,3/2＞＝|1,1＞|1/2,1/2＞＝|π^＋ｐ＞, 

√3 |3/2,1/2＞＝√2 |1,0＞|1/2,1/2＞＋|1,1＞|1/2,―1/2＞

より,|3/2,1/2＞＝(√2/√3)|π⁰ｐ＞＋(1/√3)|π^＋ｐ＞,
 

同様に,|3/2,－1/2＞ 

＝(√2 /√3)|1,0＞|1/2,－1/2＞＋(1/√3)|1,－1＞|1/2,1/2＞ 

＝(√2/√3)|π⁰ｎ＞＋(1/√3)|π^－ｐ＞, 

|3/2,－3/2＞＝|1,－1＞|1/2,－1/2＞＝|π^－ｎ＞　です。
 

※参考のため,Ｉ＝1/2の固有状態の合成表現も羅列してみると, 

|1/2,1/2＞ 

＝－(1/√3)|1,0＞|1/2,1/2＞＋(√2/√3))|1,1＞|1/2,－1/2＞ 

＝－(1/√3)|π⁰ｐ＞＋(√2/√3))|π^＋ｎ＞,
 

|1/2,－1/2＞ 

＝－(√2/√3)|1,－1＞|1/2,1/2＞＋(1/√3))|1,0＞|1/2,－1/2＞ 

＝－(√2/√3)|π^－ｐ＞＋(1/√3))|π⁰ｎ＞　です。※
 

以上から,逆に,|π^＋ｐ＞＝|3/2,3/2＞,|π^－ｎ＞＝|3/2,－3/2＞, 

|π⁰ｐ＞＝(√2/√3)|3/2,1/2＞－(1/√3)|1/2,1/2＞, 

|π^－ｐ＞＝(1/√3)|3/2,－1/2＞－(√2/√3)|1/2,－1/2＞,
 

|π⁰ｎ＞＝(√2/√3)|3/2,－1/2＞＋(1/√3)|1/2,－1/2＞, 

|π^＋ｎ＞＝－(1/√3)|3/2,1/2＞－(√2/√3)|1/2,1/2＞ 

と表現されます。
 

よって,Ｉ＝3/2のチャネルのみでは, 

＜π^＋ｐ|Ｐ₃₃|π^＋ｐ＞：＜π⁰ｎ|Ｐ₃₃|π^－ｐ＞

：＜π^－ｐ|Ｐ₃₃|π^－ｐ＞＝1：√2/3：1/3 です。
 

　ただし,Ｐ₃₃は,アイソスピン射影演算子:Ｐ^3/2^と,同様な 

スピンが3/2のスピン射影演算子Ｑ^3/2^の直積の(3,3)チャネル

の射影演算子を意味します。Ｐ₃₃＝Ｐ^3/2^Ｑ^3/2^です。

　(注14-1終わり)※
 

次に,このエネルギー領域では,散乱は,主として,Ｉ＝Ｊ＝3/2

のチャネルを通るというこれらの示唆で,先に求めた散乱の

微分断面積の式：

[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

の妥当性を,２つの一般的な観測の助けを借りて拡張すること

を試みます。

まず,[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

のエネルギー依存性は,ω→ ∞(ｑ→ ∞)に対して,σ→ ∞を予測

するため,低イエネルギー閾値の近傍を除いては,現実的では無いこと

に着目します。(μをπの質量としてω＝ｑ²/(2μ)です。)
 

実際の全断面積:σの大きさには,エネルギーと共に無限大に増大

するわけではなく,ユニタリ[性(確率の保存)の結果として上限が

存在します。
 

純粋に伝播関数の理論の枠内でＳ行列のユニタリ性を論じるのは

難しいので,ここでは,単に非相対論的散乱理論の一般的結果から

のいくつかのことを用いることにします。
 

1.与えられたチャネルに対して,散乱振幅は次の形を取ります。 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)} 

(※ｔは散乱振幅:ｆ(θ)をπの軌道角運動量ｌを持つ部分波

の総和に展開したときのＰ波(ｌ＝1)の項の寄与です。)
 

ｑは慣性中心系(重心系)での粒子の運動量で,δは前に述べた

ように,チャネルの散乱による位相のずれ(phase-shift)です。
 

もしも,同じ量子数について弾性散乱に匹敵する非弾性チャネル

がないならδは実数(弾性散乱)です。
 

※(注14-2):非相対論的な１粒子の中心対称ポテンシャルによる

散乱の散乱状態波動関数:Ψ(ｒ)は,

 散乱前の粒子が運動量ｑで入射する平面波が,(ｑ,ｑ')＝|ｑ|²cosθ

なる散乱角θで散乱された後の球面波と重みｆ(θ)で重ね合わせられた

定常状態になるという描像で,

ｒ→ ∞で,Ψ(ｒ) ～ exp(iｑｒ)＋ｆ(θ) exp(iｑ'ｒ)/ｒのような

漸近形を持つという境界条件で定式化されます。
 

この式で定義される散乱振幅:ｆ(θ)は角運動量ｌの部分波に展開 

され,ｆ(θ)＝{1/(2iｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){Ｓ_l(ｑ)－1}Ｐ_l(cosθ) 

＝{1/(2ｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｔ_l(ｑ)Ｐ_l(cosθ),

ただし,Ｓ_l(ｑ)＝1＋iＴ_l(ｑ)　と表わすことができます。
 

そして,位相のずれδ_lは,Ｓ行列成分:Ｓ_l(ｑ)＝1＋iＴ_l(ｑ)の散乱 

されず素通りする前方散乱成分の１を除く部分(＝Ｔ行列):Ｔ_l(ｑ) 

について:Ｔ_l(ｑ)≡2exp(iδ_l)sinδ_lで定義されます。
 

散乱が弾性散乱のときは,|Ｓ_l(ｑ)|＝1なので,Ｔ_l(ｑ)が1に比して 

微小とすれば,

{1－iＴ_l(ｑ)^＊}{1＋iＴ_l(ｑ)|～１＋i{Ｔ_l(ｑ)－Ｔ_l(ｑ)^＊}＝1 

から,Ｔ_l(ｑ)は実数であり,Ｔ_l(ｑ)＝exp(iδ_l)sinδ_l ～ δ_l

より,位相のずれ:δ_lも実数であると結論されます。
 

ｆ(θ)の展開で,ｌ＝1のＰ波の成分をｔとし,その位相のずれ:

δ₁を単にδと書けば,Ｐ₁(cosθ)＝cosθより, 

ｔ＝(3/2)(1/ｑ)exp(iδ)sinδcosθです。
 

そして,exp(iδ)sinδ＝sinδ/exp(－iδ)

＝sinδ/(cosδ－isinδ)＝1//(cosδ/sinδ－i)

＝1//(cotδ－i)　ですから.
 

ｔ＝(3/2)cosθ[1/{ｑ(cotδ－i)}となります。
 

したがって,ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)}

なることが示されました。

(注14-2終わり)※ 
 

2.軌道角運動量が,～ｌで,全角運動量がＪ＝ｌ＋1/2のチャネル

の全断面積への寄与は,σ_tot^J,l≦{4π(2Ｊ＋1)/2}/ｑ² のように

限定されます。
 

つまり,ユニタリ性の結果,|Ｓ_ｌ(ｑ)|≦1から,断面積σに上限が

あることが示されます。
 

※(注14-3): 入射波の方向を特にｚ軸に取り,exp(iｑｒ)＝exp(iｑｚ) 

とした場合,χ_±をスピン1/2がある場合のスピンが±の状態関数 

とすれば,

　Ψ(ｒ)χは,ｒ～ ∞で, 

exp(iｑｚ)χ_± ～ {1/(2iｑｒ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1) 

{exp(iｑｒ)－(－1)^lexp(-iｑｒ)}Ｐ_l(cosθ)]χ_± 

です。

　(※:スピンがゼロの１粒子πが固定されたスピンが1/2の標的ｐ

またはｎの作る中心対称ポテンシャルで散乱されるという1粒子

量子力学の散乱では,散乱される1粒子πの状態関数は,単に

Ψ(ｒ)であって,標的であるスピンが1/2のｐまたはｎのスピン

状態関数：χ＝[χ_＋,χ_－]^Tなどは無関係のはずですが,

　ここでは,角運動量に関しては散乱された状態をπと核子N 

(ｐ,またはｎ)が合成された,スピンとしては,1/2の|πN＞

状態のΨ(ｒ)χのような状態関数で表現されるよう拡張

しました。

　そして,(3,3) チャネルは,全角運動量としては,Ｊ＝3/2の

状態への部分波散乱を意味しますが,これはスピンだけで

なく軌道角運動量ｌとの合成が3/2という意味です。※)

　Ｊ＝ｌ＋1/2で,Ｊ_z＝Ｊ³＝±1/2の場合:ｌ_＋≡Ｊ－1/2＝ｌ, 

ｌ_－≡ｌ＋1/2＝ｌ＋1と定義します。

　くどいようですが,間違いやすいので念を押すと,

Ｊ＝ｌ_＋＋1/2＝ｌ_－－1/2　です。
 

ｌ_＋＝ｌを用いた表現では, 

|Ｊ,1/2＞＝|ｌ_＋＋1/2,1/2＞ 

＝{(ｌ_＋＋1)/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l+⁰χ_＋
　＋{ｌ_＋/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l＋¹χ_－
 

|Ｊ,－1/2＞＝|ｌ_＋＋1/2,－1/2＞ 

＝{(ｌ₊＋1)/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l+⁰χ_－

＋{ｌ₊/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l+^-1χ_＋ であり,
 

他方,同じものを,ｌ_－＝ｌ＋1を用いて表現すると, 

|Ｊ,1/2＞＝|ｌ_－－1/2,1/2＞ 

＝{ｌ_－/(2ｌ_－＋1)}^1/2Ｙ_l－⁰χ_＋

－{{(ｌ_-＋1)/(2ｌ_-＋1)}^1/2Ｙ_l－¹χ_－
 

|Ｊ,－1/2＞＝|ｌ_－－1/2,－1/2＞ 

＝－{ｌ_－/(2ｌ_－＋1)}^1/2Ｙ_l－⁰χ_－
　＋{{(ｌ_－＋1)/(2ｌ_－＋1)}^1/2Ｙ_l－^-1χ_＋です。
 

Spinのない場合には, 入射波がΨ(ｒ)＝exp(iｑｚ)のとき,

ｒ～∞で,Ψ(ｒ) ～ {1/(2iｑｒ)}

[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){Ｓ_ｌexp(iｑｒ)－(－1)^lexp(-iｑｒ)}Ｐ_l(cosθ)] 

＝exp(iｑｚ)＋{exp(iｑｒ)/(2iｑｒ)}

[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(Ｓ_ｌ－1)Ｐ_l(cosθ)]　であり,
 

ｆ(θ)＝{1/(2iｑ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(Ｓ_ｌ－1)Ｐ_l(cosθ)] 

＝(1/ｑ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)exp(iδ_l)sinδ_lＰ_l(cosθ)]

でした。
 

一方,Spin:1/2がある場合は,まず,軌道角運動量ｌが固定なら, 

|ｌ＋1/2,1/2＞ 

＝{(ｌ＋1)/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l⁰χ_＋＋{ｌ/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l¹χ_－
 

|ｌ－1/2,－1/2＞ 

＝－{ｌ/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l⁰χ_－＋{{(ｌ＋1)/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l^-1χ_＋

より,
 

(2ｌ＋1)^1/2Ｙ_l⁰χ_＋

＝(ｌ＋1) ^1/2|ｌ＋1/2,1/2＞－ｌ^1/2|ｌ－1/2,1/2＞,
 

(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ)χ_＋ 

＝(4π) ^1/2{(ｌ＋1)^1/2|ｌ＋1/2,1/2＞－ｌ^1/2|ｌ－1/2,1/2＞

です。
 

同様に,(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ)χ_－ 

＝(4π) ^1/2{(ｌ＋1)^1/2|ｌ＋1/2,－1/2＞＋ｌ^1/2|ｌ－1/2,－1/2＞ 

です。
 

Spin波動関数以外の座標の波動関数は,

Ψ(ｒ) ～ {1/(2iｑｒ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)

{Ｓ_ｌexp(iｑｒ)－(－1)^lexp(-iｑｒ)}Ｐ_l(cosθ)] 

ですから,ｌが保存される散乱の場合,Ｊ_z＝Ｊ³＝±1/2の寄与

は,前方散乱以外では,ｒ～∞で,Ｊ＝ｌ＋1/2とＪ＝ｌ－1/2,

の重ね合わせとなります。
 

例えば,入射波のスピンが＋のときには,

Ψχ_＋～ {exp(iｑｒ)1/(2iｑｒ)}

[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(Ｓ_ｌ－1)Ｐ_l(cosθ)χ_＋ 

 ～ {exp(iｑｒ)1/(2iｑｒ)}(4π)^1/2 

[Σ_l=0^∞(Ｓ_ｌ－1){(ｌ＋1)^1/2|ｌ＋1/2,1/2＞

＋ｌ^1/2|ｌ－1/2,－1/2＞}] と書けるはずです。
 

しかし,今問題としている散乱では軌道角運動量ｌではなく

全角運動量Ｊが保存されるため,Ｊ_z＝Ｊ³＝±1/2の場合の寄与

には,同じJに対してＪ＝ｌ_＋＋1/2＝ｌ_－－1/2で与えられる軌道

角運動量のペア:ｌ_＋＝ｌ＝J－1/2.とｌ_－＝ｌ＋１＝J＋1/2の寄与

があります。
 

それ故,前方散乱以外では,ｒ～∞で,スピノルをΨ＝[ψ_＋,Ψ_－]^T 

と2成分で表現すると,上成分:Ｊ³＝＋1/2の成分は, 

Ψ_＋ ～ {1/(2iｑｒ)}exp(iｑｒ)(4π)^1/2 

[Σ_l=0^∞{(Ｓ_ｌ+－1)(ｌ₊＋1)^1/2|ｌ_＋＋1/2,1/2＞ 

－(Ｓ_ｌ-－1)ｌ_-^1/2|ｌ_-－1/2,1/2＞}　です。
 

また,Ｊ³＝－1/2の下成分は, 

Ψ_－ ～ {1/(2iｑｒ)}exp(iｑｒ)(4π)^1/2 

[Σ_l=0^∞{(Ｓ_ｌ＋－1)(ｌ₊＋1)^1/2|ｌ_＋＋1/2,－1/2＞ 

＋(Ｓ_ｌ－－1)(ｌ_－＋1)^1/2|ｌ_－－1/2,－1/2＞}　

です。
 

ただし,上の表現式でのΣ_l=0^∞は,ｌ＝ｌ_－＝ｌ_＋＋1のｌによる

総和を意味します。
 

ここで,ｆ_l±を

ｆ_l±≡(Ｓ_ｌ±－1)/(2iｑ)＝exp(iδ_ｌ±)sinδ_ｌ±/ｑ 

と定義すると,散乱振幅:ｆ(θ)＝[ｆ(θ)_＋,ｆ(θ)_－]^T

についても
 

ｆ(θ)_＋(4π)^-1/2 

＝Σ_l=0^∞{(Ｓ_ｌ－－1)(ｌ_－＋1)^1/2|ｌ＋1/2,－1/2＞ 

＋(Ｓ_ｌ-－1)(ｌ_-＋1)^1/2|ｌ_-－1/2,－1/2＞} 

＝Σ_l=0^∞[(2ｌ₊＋1)^-1/2{ｆ_ｌ+(ｌ₊＋1)Ｙ_ｌ+⁰χ_＋

＋ｆ_ｌ+{ｌ₊(ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_ｌ+¹χ_－} 

－(2ｌ_-＋1)^-1/2{ｆ_ｌ-ｌ_-Ｙ_ｌ-⁰χ_＋

－ｆ_ｌ-{ｌ_-(ｌ_-＋1)}^1/2Ｙ_ｌ－¹χ_-}] 

＝Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_＋

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1¹χ_-} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_＋－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ¹χ_-}]
 

同様に,ｆ(θ)_－(4π)^-1/2 

＝Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_－

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1^-1χ_＋} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_－

－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ^-1χ_＋}]　となります。
 

したがって,σ^tot_±＝∫|ｆ(θ)_±|²ｄΩ 

＝4πΣ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1{ｌ²＋ｌ(ｌ－1)}|ｆ_ｌ-1|² 

＋[(2ｌ＋1)^-1{ｌ²＋ｌ(ｌ＋1)}|ｆ_ｌ|²] 

＝4πΣ_l=0^∞ｌ{|ｆ_ｌ-1|²＋|ｆ_ｌ|²}
 

固定Ｊ値のみの寄与は, 

4πｌ{|ｆ_ｌ-1|²＋|ｆ_ｌ|²}＝4π(2Ｊ＋1)/(2ｑ²)}

{|sinδ_ｌ-1|²＋|sinδ_ｌ|²}　です。
 

結局,σ^tot_Ｊ±≦4π(2Ｊ＋1)/(2ｑ²)}が満たされることが

わかります。　(注14-3終わり)※

(※以上,「強い相互作用(湯川相互作用)(14)」の再掲載終了)
 

　次の記事「強い相互作用(湯川相互作用)(15)」は,ここで必要な 

非相対論的散乱理論の一般的結果の第3の項目である: 
 

　3.有効距離展開;ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..

　が低エネルギーで良い近似を与える。

　ということの根拠を述べた私の(注15-1)のみがその内容です。
 

これの再掲載は割愛します。直接過去記事を参照してください。
 

これで,,非相対論的散乱理論の一般的結果からの必要事項は

いくつかの注により根拠を示すことができたので,再び箇条書き

にして記載しておきます。
 

1.与えられたチャネルに対して,散乱振幅ｔは次の形を取る。 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)}
 

ただし,ｑは慣性中心系(重心系)での各粒子の運動量であり,

δはチャネルの位相のずれ(phase-shift)です。

同じ量子数について,弾性衝突に匹敵する非弾性のチャネルがない

なら,δは実数です。
 

2.軌道角運動量がｌで全角運動量がＪ＝ｌ＋1/2のチャネルの

全断面積への寄与は,σ_tot^J,l≦{4π(2Ｊ＋1)/2}/ｑ² のように

限定される。
 

3.有効距離展開;ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..

が低エネルギーで良い近似を与える。　　

の3つの事項です。

　さて,既に§10.6のπ-Ｎ散乱(Meson-Nucleon Scattering)で見た

ように,小さいエネルギーの分母 ～ωと,Ｐ波相互作用の相互的に

長い時間スケール～1/ωは,Ｐ波の強いエネルギー依存性を自然に

予想させます。
 

それ故,(3,3)チャネル(I＝J＝3/2)に対する, 

ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..において,Born近似での高次

の補正は無視できません。
 

すなわち,不変振幅: 

Ｍ ～ (－iｇ₀²/Ｍ)[ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋]＜φ₂|(Ｐ_i/2^＋Ｐ_3/2^)|φ₁＞]

[ｕ(ｓ₁)χ₁] 

－{iｇ₀²/(4Ｍ²)}(4πｑ²/3)[ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋] 

＜φ₂,ｑ₂|[9Ｐ₁₁^/ω－{4Ｐ₃₃^－2Ｐ₁₃^－2Ｐ₃₁^＋Ｐ₁₁^}/ω]

|φ₁,ｑ₁＞[ｕ(ｓ₁)χ₁]　において,
 

Ｐ波に対応する第２項は,

－{iｇ₀²/(4Ｍ²ω)}(4πｑ²/3)[ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋] 

＜φ₂,ｑ₂|(8Ｐ₁₁^＋2Ｐ₁₃^＋2Ｐ₃₁^－4Ｐ₃₃^)]|φ₁,ｑ₁＞

[ｕ(ｓ₁)χ₁]　です。
 

そして,ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..　においては, 

このチャネルでのBorn近似の引力を強めるような大きさが負の 

係数ｃに導くと予想されます。
 

※(注16-1):何故なら,引力のときの位相のずれδは正で, 

ａ＝0,ｂ＞0のとき,cotδ ～ 1/δ ～ｂω＋ｃω²＋..ですが, 

これはｃ＜0ならω²に対して減少するため,δはω²と共に増加

します。　(注16-1終わり)※
 

ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ ～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

を書き直すと,

ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ ～ (1/ｑ²)|exp(iδ₃₃)sinδ₃₃}²(1＋3cos²θ),

かつ,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃]_Born ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)　

なる表現 を得ます。
 

※(注16-2): 上記を証明します。 

まず,前回までで詳述したように,ポテンシャル散乱の一般論

から,　中心対称なポテンシャルによる散乱の散乱状態の

波動関数Ψ(ｒ)は,ｒ→∞で,

Ψ(ｒ) ～ exp(iｑｒ)＋ｆ(θ) exp(iｑ'ｒ)/ｒ　のような

漸近形を持ちます。
 

この散乱される粒子にスピン1/2がある場合には状態関数を 

Ψ＝[ψ₊,ψ_－]^Tと書き,ｆ(θ)＝[ｆ(θ)_＋,ｆ(θ)_－]^Tとして, 

ｒ→∞で,Ψ ～[ exp(iｑｒ)＋ｆ(θ) exp(iｑ'ｒ)/ｒ] 

となりますが,スピン3軸成分が＋でも－でも,

散乱の微分断面積は,ｄσ/ｄΩ＝|ｆ(θ)_±|²で与えられます。
 

散乱振幅:ｆ(θ)は角運動量ｌの部分波に展開できて, 

ｆ(θ)＝{1/(2iｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){Ｓ_l(ｑ)－1}Ｐ_l(cosθ) 

＝{1/(2ｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｔ_l(ｑ)Ｐ_l(cosθ), 

Ｓ_l(ｑ)＝1＋iＴ_l(ｑ)　と表わすことができます。
 

Ｔ_l(ｑ)＝exp(iδ_l)sinδ_lと書いた時のδ_lが位相のずれです。
 

ｆ(θ)の展開においてｌ＝1のＰ波の成分をｔ,その位相のずれ

:δ₁を単にδと書けば,ｔ＝(3/2)(1/ｑ)exp(iδ)sinδcosθです。
 

そして,exp(iδ)sinδ＝sinδ/exp(－iδ)＝sinδ/(cosδ－isinδ) 

＝1//(cosδ/sinδ－i)＝1//(cotδ－i)　ですから. 

ｔ＝(3/2)cosθ[1/{ｑ(cotδ－i)}　と書けます。
 

したがって,Ｐ波の振幅ｔは, 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)} 

なる挙動をします。
 

改めてＰ波の位相のずれをδ₁とすると,

　(注14-3)から,Ｊ＝ｌ＋1/2 でＪが保存されるとき, 

ｆ_l＝(1/ｑ)exp(iδ_ｌ)sinδ_ｌであって, 

ｆ(θ)_＋＝(4π)^1/2Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_＋ 

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1¹χ_-} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_＋－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ¹χ_-}]
 

ｆ(θ)_－＝(4π)^1/2Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_－ 

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1^-1χ_＋} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_－－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ^-1χ_＋}] 

です。
 

ｌ＝1のＰ波に関わる項のみが寄与しては, 

ｆ₁＝(1/ｑ){exp(iδ₁)sinδ₁であり,
 

ｆ(θ)_＋＝(4π)^1/2[－3^-1/2{ｆ₁Ｙ₁⁰χ_＋－2^1/2ｆ₁Ｙ₁¹χ_-] 

ｆ(θ)_－＝(4π)^1/2[－3^-1/2{ｆ₁Ｙ₁⁰χ_－－2^1/2ｆ_ｌＹ₁^-1χ_＋]

ですが,ｌ＝1の球面調和関数は具体的には,

Ｙ₁⁰＝(3/4π)^1/2cosθ,Ｙ₁¹＝－(3/4π)^1/2sinθexp(iΦ),

Ｙ₁^-1＝(3/8π)^1/2sinθexp(－iΦ)ですから,

4|Ｙ₁⁰|²＋2|Ｙ₁^±1|²＝(3/4π)(4cos²θ＋sin²θ) 

＝(3/4π)(3cos²θ＋1)　です。
 

それ故,ｌ＝1の位相のずれδ₁を,特にｌ＝1,Ｊ＝3/2の(3,3)

チャネルのみによる位相のずれ:δ₃₃で代表させると,
 

ｄσ/ｄΩ ～ (1/ｑ²)|exp(iδ₃₃)sinδ₃₃|²(1＋3cos²θ)

と書けます。
 

一方,

[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

ですから,これを上のｄσ/ｄΩのを与える部分波振幅の式を

比較し,Ｃ.Ｍ系でのｄσ/ｄΩとｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩとを等置

することにより,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃] _{C.M. Born} ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)

を得ます。
 

(注16-2終わり)※
 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)}でしたから 

exp(iδ₃₃)sinδ₃₃＝1/(cotδ₃₃－i)です。
 

そして,上記のように,Ｃ.Ｍ系でのBorn近似では,

[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃] _Born ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)を得ました。

したがって,このオーダーでは,[ｑ³cotδ₃₃]_Born～ 3ωμ²/(4ｆ²)

です。
 

これをｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²なる展開式比較すると

ｌ＝1のＰ波では,ａ＝0,ｂ ～ 3μ²/(4ｆ²)を得ます。
 

　このωによるベキ展開の次の係数ｃを決定して,散乱長への

有効レンジ補正を含む公式に発展させるためには,低エネルギー

近似計算の限界を超える必要があります。

　既に,(3,3)チャネルでのｑ³cotδ₃₃＝ａ＋ｂω＋ｃω²の係数ｃ

が負であるという予想をしました。何故なら,この負符号は他の

チャネルと逆に引力ポテンシャルに対応するからです。
 

そこで,このｃの負符号まで含めた低エネルギー近似を書くと, 

ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)なる形に書けます。
 

これは,ｆ² ～ 0.08,あるいは同じことですが,ｇ₀²/(4π)～14

とし,ω_ｒ ～ 2.2μとすれば,π^＋ｐ散乱実験との良い一致が

見られます。
 

この式:ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)は,固定

された核子源(ω/Ｍ→0の極限)に関する中間子理論から,

§10.6のπ-Ｎ散乱の節で与えた散乱振幅の表式: 

Ｓ_ｆｉ＝(2π)^-6{Ｍ²/(4Ｅ_ｐ1Ｅ_ｐ2ω_ｑ1ω_ｑ2)}^1/2 

×(2π)⁴δ⁴(ｑ₂＋ｐ₂－ｑ₁－ｐ₁)Ｍ； 

Ｍ＝(－iｇ₀)²χ₂^＋ｕ~(ｐ₂,ｓ₂)[φ₂^＊τiγ⁵i{γ(ｐ₁＋ｑ₁)－Ｍ}]^-1 

iγ⁵τφ₁＋τφ₁iγ⁵i{γ(ｐ₁－ｑ₂)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₂^＊]

ｕ(ｐ₁,ｓ₁)χ₁ において,なされたような結合定数のベキ展開に

頼ることにより,ChewとLowによって,初めて導出された評価式です。
 

途中ですが,例によって夢中で書いてiいるうちに１記事としては

長くなり過ぎたと思われるので,今日は,ひとまず終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D."Drell 

"Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)

ＰＳ:先週金曜日の同期会？に続き,今週の4/22(金)夜は毎月１回

恒例の飲み会でした。楽しかったのですが,最近昼夜の温度差が

大きいこともあり,体調がやや変だったので,いつもは午前様で

したが,昨夜は23時ころには帰宅してゲロを吐き,その後熟睡し

たようです。

　　目覚めると夜中の３時半頃で,落ち着いたので.書きっぱなし

だったブログを編集し直しました。
　　
　　土曜日だし、もう１回寝直します。永眠も近い？

(今,23日(土)早朝の４時50分です。)
 

※ずいぶん昔の正社員時代には,晴眠雨眠,垢デミック,。。 

ワーニング・プロチョンなどと呼ばれていたの思い出しました。

デブだったし,昼食が大盛りでないと,ウワサになり,

どこか悪いのでは？と疑われました。 

　　今も昔もイジられやすい。。。

　　千石不動産の近くにあって,飲みに行くたびに「死神が来た(失礼な！)」

と言われていたスナック「無我」が,巣鴨一番街に移転しているのを

発見。。近々行ってみよう。。。