強い相互作用(湯川相互作用)(17)

前回の記事:「強い相互作用(湯川相互作用)(16)」は,記事が

長過ぎるという理由で,やや中途半端なところで終わりました。

その続きです。
 

前記事の続きなので,まず,その記事の最後の部分を再提示します。
 

Ｃ.Ｍ系でのBorn近似では,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃] _Born

 ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)ですから,このオーダーで,

[ｑ³cotδ₃₃]_Born～ 3ωμ²/(4ｆ²)　です。
 

※(注 17-1):途中からなので,改めて式における記号のいくつかを

説明 しておきます。
 

文中の単位は全てｃ＝ｈ_c＝1の自然単位です。

(ｃは光速,ｈはPlank定数でｈ_c≡ｈ/(2π)です。)
 

π-Ｎ散乱において,質量がＭの核子Ｎ(ｐ,またはｎ)に

衝突するπ中間子の質量をμ,そのエネルギー：運動量4元ベクトル

を,ｑ^μ＝(ｑ⁰,ｑ)とします。ｑ⁰＝(ｑ²＋μ²)^1/2です。
 

また,ωはω≡ｑ⁰＝(ｑ²＋μ²)^1/2で定義されるπのエネルギー. 

ｑはその運動量であり,ｑ≡|ｑ|と定義しています。
 

また,核子:Ｎのエネルギー：運動量4元ベクトルはｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ) 

です。ｐ⁰＝(ｐ²＋Ｍ²)^1/2です。
 

π-Ｎ散乱のＣ.Ｍ系とは慣性中心系(Center of Mmass System

＝重心系)を意味し,衝突前にはｐ＋ｑ＝0を満たす慣性系です。
 

実験室系とは,衝突前には核子Ｎが静止した標的であるような

慣性系:ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)＝(Ｍ,0)となる座標系です。
 

一般に実験室系と慣性中心系では散乱(微分)断面積の値は

違います。
 

また,軌道角運動量がｌの部分波散乱振幅における位相のずれ

をδ_ｌで記述います。

　　ただし,ここで用いているδ₃₃はアイソスピンも含む(3,3)チャネル

の部分波振幅における位相のずれ：つまり,全アイソスピンが3/2

のπ^＋ｐ散乱で,角運動量も軌道角運動量がｌ＝１のＰ波と陽子ｐ

のスピン1/2の総和として,全角運動量が3/2のチャネルの部分波

振幅における位相のずれの意味です。
 

(注17－1終わり)※
 

[ｑ³cotδ₃₃]_Born～ 3ωμ²/(4ｆ²)なる式を,

ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋のｌ＝1の式と比較すると,

ａ＝0,ｂ～3μ²/(4ｆ²)を得ます。
 

このωによるベキ展開の次の係数ｃを決定して,散乱長への有効

レンジ補正を含む公式に発展させるためには,低エネルギー近似

計算の限界を超える必要があります。
 

既に,(3,3)チャネルでのｑ³cotδ₃₃＝ａ＋ｂω＋ｃω²の係数ｃ

が負であるという予想をしました。何故なら,この符号は他の

チャネルと逆に引力ポテンシャルに対応するからです。
 

そこで,このｃの負符号まで含めた低エネルギー近似を書くと, 

ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)なる形に書けます。
 

これは,ｆ²～ 0.08,あるいは同じことですが,ｇ₀²/(4π)～14とし, 

ω_ｒ～2.2μとすればπ^＋ｐ散乱実験との良い一致が見られます
 

(※ｆ²≡{ｇ₀²/(4π)}{μ/(2Ｍ)}²,μ～140MeV,Ｍ～ 940MeVです。)
 

式：ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)は,固定された

核子源(ω/Ｍ→0の極限)に関する中間子理論から,§10.6の

π-Ｎ散乱の節で与えた散乱振幅の表式: 

Ｓ_ｆｉ＝(2π)^-6{Ｍ²/(4Ｅ_ｐ1Ｅ_ｐ2ω_ｑ1ω_ｑ2)}^1/2 

×(2π)⁴δ⁴(ｑ₂＋ｐ₂－ｑ₁－ｐ₁)Ｍ；

Ｍ＝(－iｇ₀)²χ₂^＋ｕ~(ｐ₂,ｓ₂)[φ₂^＊τiγ⁵i{γ(ｐ₁＋ｑ₁)－Ｍ}]^-1 

iγ⁵τφ₁＋τφ₁iγ⁵i{γ(ｐ₁－ｑ₂)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₂^＊] 

ｕ(ｐ₁,ｓ₁)χ₁

において,なされたような結合定数のベキ展開に頼ることにより,

ChewとLowによって,初めて導出された評価式です。
 

さて,ここからが,前からの続き＝今回の新たな記事です。
 

※(注17－2)：ωは,ω≡ｑ⁰＝(ｑ²＋μ²)^1/2で定義されるπ

　中間子のエネルギーですが,ωが実際に意味のあるπの

　エネルギーなら,ωもｑ＝|ｑ|も正の実数ですから,

　ω＝(ｑ²＋μ²)^1/2≧μを満たすはずです。
 

こうした実際にωがπの取り得るエネルギーであり,ω≧μ

を満たすとき,ωの値を物理的値といい,ωの作る複素平面

上のω≧μの実数半直線領域をωの物理的領域といいます。
 

　そして,ωが取り得る下限値:ω＝μを物理的領域の閾値

　いい,ます。他方,ω＜μの実数半直線上や,他の複素平面領域

　を非物理的領域と呼びます。　　(注17-3終わり)※
 

ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ

～ (1/ｑ²)|exp(iδ₃₃)sinδ₃₃}²(1＋3cos²θ), 

かつ,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃]_Born ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)

のω＝0 における特異性:つまり,特異点:ω＝0はω＝μにおける

物理的閾値より下の非物理的領域にありますが,これはBorn振幅

でのエネルギー分母がゼロになることに起因すると見なすことが

できます。
 

※(注17-3)：まず.2013年１/９の過去記事:

「強い相互作用(湯川相互作用)(10)」より,一部を再掲載して

　π-Ｎ散乱の復習をします。
 

次の図10.8のFeynman-diagramは,結合定数:ｇ₀²/(4π)の

オーダーの最低次の核子Ｎによるπ中間子の散乱を記述して

います。

　Feynman-ruleによって,図の散乱振幅は,

Ｓ_ｆｉ＝(2π)^-6{Ｍ²/(4Ｅ_ｐ1Ｅ_ｐ2ω_ｑ1ω_ｑ2)}^1/2

×(2π)⁴δ⁴(ｑ₂＋ｐ₂－ｑ₁－ｐ₁)Ｍ　です。
 

ただし,Ｍは不変振幅で,Ｍ＝(－iｇ₀)²χ₂^＋ｕ~(ｐ₂,ｓ₂) 

[φ₂^＊τiγ⁵i{(ｐ₁＋ｑ₁)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₁ 

＋τφ₁iγ⁵i{(ｐ₁－ｑ₂)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₂^＊]ｕ(ｐ₁,ｓ₁)χ₁ 

です。
 

交叉対称性(Crossing symmetry)というものが存在して,

Ｓ_ｆｉは,φ₁ ⇔ φ₂^＊,ｑ₁ ⇔ －ｑ₂ なる交換の下で不変です。
 

この交換の下での対称性は,最低次だけでなく全ての高次の

摂動においても保持されることがわかります。
 

Feynman-diagramから10.8ａ図の１つのように終状態でπが放出

されるよりも前に始状態で入射するπが吸収されるようなグラフ

の１つ１つの図に対して,10.8ｂ図のように終状態でπが放出

されるより後に始状態で入射するπが吸収されるだけ異なる

グラフが１つずつ存在します。

(↑ここまでが再掲載部分です。)
 

π-Ｎ散乱の中間状態の核子伝播関数は,２つの交差グラフで, 

1/{(ｐ±ｑ)－Ｍ}であり,この分母を有理化すると, 

1/{(ｐ±ｑ)－Ｍ}＝{(ｐ±ｑ)＋Ｍ}/{(ｐ±ｑ)²－Ｍ²}ですが,
 

π-Ｎ散乱の最低次グラフでは,伝播関数の両端の頂点に結合

する核子線もπの線も実粒子を示す外線であって,質量殻上に

あるため：ｐ²＝Ｍ²,かつ,ｑ²＝μ²より,分母は

{(ｐ±ｑ)²－Ｍ²}＝±2ｐｑ＋μ² です。
 

さらに,標的核子の静止系＝実験室系では,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)

＝(Ｍ,0)なので,ω＝ｑ⁰として.

{(ｐ±ｑ)²－Ｍ²}＝±2ｐｑ＋μ²＝±2Ｍω＋μ² です。
 

したがって,結局,1/{(ｐ±ｑ)－Ｍ}

＝{(ｐ±ｑ)＋Ｍ}/(±2Ｍω＋μ²) です。

よって,分母がゼロになるωの極は,ω＝ω₁≡μ²/(2Ｍ),

または,ω＝ω₂≡－μ²/(2Ｍ)の１位の極ですが,低エネルギー

の極限：(ω/Ｍ)→0 では,ω₁,ω₂共にゼロになります。
 

いずれにしろ,特異点ではω≧μが満足されないので,特異点

＝極は非物理的領域にあります。　　(注17-3終わり)※
 

※(注17-4):運動量表示の核子Ｎの伝播関数:

i/( i/(ｐ－Ｍ＋iε)やπ中間子の伝播関数：i/(ｑ²－μ²＋iε)

の分母にあるｐ^μやｑ^μのエネルギー＝ｐ⁰やｑ⁰のゆらぎ(不確定さ)

:⊿Ｅは時間ｔのゆらぎ:⊿ｔと,Heisenbergの不確定性原理：

⊿Ｅ⊿ｔ≧1/2を満たすことがわかっています。
 

そのため,衝突散乱を含む遷移現象のような⊿ｔ≠0 ですが非常

に短かい⊿ｔ～ 0のような反応の途中では,⊿Ｅ～ 大となり,

一時的にエネルギー・運動量が保存されるｐ＝Ｍやｑ²＝μ²の

質量殻を外れた非物理的領域にあってもいいだろう。。という

もっともな憶測と,
 

実は,単なる近似計算法に過ぎない摂動論や計算のメカニズム 

を図式化したFeynman-diagramの中間状態(内線＝伝播関数)の上

の粒子(状態)が非物理的なエネルギー・運動量を取り得ること

のイメージが,何故か合致していて,それらは仮想粒子(仮想状態)

と呼ばれています。

　逆に物理的粒子(外線)は実粒子と呼ばれます。

　(注17-4終わり)※

さて,図10.10のように,中間子頂点の間を伝播するのが唯一の

核子線であるような,あらゆる高次の項も係数因子としてω­＝0

の単一の１位の極を持つ項に寄与し,この極の留数はそれらの

効果の総和で与えられます。

他の全てのdiagrams:例えば,図10.11は,エネルギーがω＝0で,

π中間子の外線に対して有限であり,それ故,の第2項,または

有効距離項に寄与します。

　ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)に対して,

[(ｑ³cotδ₃₃)/ω]を縦軸,ωを横軸としてプロットし,非物理的値

なので実測データには存在しないω＝0の対応点を外挿すること

によって,図10.10の振幅への寄与分を分離します。
 

図10.10の振幅は,物理的核子ｐ²＝Ｍ²が虚数運動量:

ｑ＝|ｑ|＝iμを持つω＝(ｑ²＋μ²)^1/2＝0の中間子を吸収放出

し,なお,物理的核子,つまり,(ｐ＋ｑ)²＝Ｍ²のままであるような

ものの強さを測ることになります。
 

この振幅は,Chew-Lowによって確認されたように,中間子π

と核子Ｎの結合定数の値であり,ｆ² ～ 0.08なる値がこの外挿

法から決定されたのでした。
 

　今日の」記事はここで終わります。
 

　次回は強い相互作用の最後の項目である電磁形状因子について 

記述する予定です。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"　(McGrawHill)