訃報！！戸川昌子さん。。

　歌手で作家の戸川昌子さんが４月26日朝亡くなられたらしいです。直接の死因は胃ガンで,既に5年前から末期ガンを宣告され闘病中だったそうです。

　享年85歳でした。

　朝日新聞デジタル　→　　シャンソン歌手で作家の戸川昌子さん死去　

　　

　元々,シャンソン歌手だったということですが,私には女流作家という印象の方が強いです。私が成人して芸能人と認知した頃には既に多方面でご活躍中だったので。。

　高齢出産ということでも話題になったことがありました。

　このところ何故か有名人の訃報が相次いでいます。季節も変わり目ですが。

　イヤ,,もっと他の時期にも有名人多々亡くなられているかも知れないのに。。偶々,私が知っているレベルで,訃報を書こうと思う程度の人が続いて死去されているだけかも知れないですが。。。

　64歳。。44歳ときて,85歳ならまだましかもしれません。。

　震災で若くして無念の死を遂げられた方々も多々おられる時節柄。。

　イ　ヤ　不謹慎な話ですが。。

　　　ご冥福を祈ります。合掌！！

か報！！前田健(マエケン)さん。。急死

　去る4月24日にお笑いタレントの前田健さんが新宿で倒れているところを発見され,,心肺停止状態で病院に運ばれ重体でしたが,その後,本日26日の未明に死亡した。とのニュース報道がありました。早朝でしたので驚きました。

　不整脈があったとのこと。心不全らしいです。まだ44歳でした。

　ニュース速報　→　　モノマネ芸人前田健さん死去。44歳

　あやや(松浦亜弥)のモノマネでブレイク。。女装が多かったので,おネエ系？のイッコウさんのような芸人と思ってましたが勘違いかな？？。

　心臓での急死は他人事ではないです。まだまだ若いのに。。

　まっちゃん(松村邦弘さん)といい,,なぜかモノマネ芸人ばかりが心臓発作に襲われているみたいです。まあ,偶然でしょうが。。。 

　　　ご 冥福を祈ります。合掌！！

訃報！！山本功児さん。。

元巨人,ロッテのプロ野球選手で,ロッテ監督も務めた山本功児氏が去る23日肝臓ガンのため亡くなられました。享年64歳。。。

スポニチ　→　山本功児氏死去64歳。元ロッテ監督　巨人で4番。長男DeNA

　現役時代。。（長嶋巨人の頃？)の勇姿が目に浮かびます。

　私より年下での死去は惜しいです。息子のDeNA 山本武白志選手の一軍姿も見ずに。。。

ご冥福を祈ります。合掌！！

強い相互作用(湯川相互作用)(17)

前回の記事:「強い相互作用(湯川相互作用)(16)」は,記事が

長過ぎるという理由で,やや中途半端なところで終わりました。

その続きです。
 

前記事の続きなので,まず,その記事の最後の部分を再提示します。
 

Ｃ.Ｍ系でのBorn近似では,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃] _Born

 ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)ですから,このオーダーで,

[ｑ³cotδ₃₃]_Born～ 3ωμ²/(4ｆ²)　です。
 

※(注 17-1):途中からなので,改めて式における記号のいくつかを

説明 しておきます。
 

文中の単位は全てｃ＝ｈ_c＝1の自然単位です。

(ｃは光速,ｈはPlank定数でｈ_c≡ｈ/(2π)です。)
 

π-Ｎ散乱において,質量がＭの核子Ｎ(ｐ,またはｎ)に

衝突するπ中間子の質量をμ,そのエネルギー：運動量4元ベクトル

を,ｑ^μ＝(ｑ⁰,ｑ)とします。ｑ⁰＝(ｑ²＋μ²)^1/2です。
 

また,ωはω≡ｑ⁰＝(ｑ²＋μ²)^1/2で定義されるπのエネルギー. 

ｑはその運動量であり,ｑ≡|ｑ|と定義しています。
 

また,核子:Ｎのエネルギー：運動量4元ベクトルはｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ) 

です。ｐ⁰＝(ｐ²＋Ｍ²)^1/2です。
 

π-Ｎ散乱のＣ.Ｍ系とは慣性中心系(Center of Mmass System

＝重心系)を意味し,衝突前にはｐ＋ｑ＝0を満たす慣性系です。
 

実験室系とは,衝突前には核子Ｎが静止した標的であるような

慣性系:ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)＝(Ｍ,0)となる座標系です。
 

一般に実験室系と慣性中心系では散乱(微分)断面積の値は

違います。
 

また,軌道角運動量がｌの部分波散乱振幅における位相のずれ

をδ_ｌで記述います。

　　ただし,ここで用いているδ₃₃はアイソスピンも含む(3,3)チャネル

の部分波振幅における位相のずれ：つまり,全アイソスピンが3/2

のπ^＋ｐ散乱で,角運動量も軌道角運動量がｌ＝１のＰ波と陽子ｐ

のスピン1/2の総和として,全角運動量が3/2のチャネルの部分波

振幅における位相のずれの意味です。
 

(注17－1終わり)※
 

[ｑ³cotδ₃₃]_Born～ 3ωμ²/(4ｆ²)なる式を,

ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋のｌ＝1の式と比較すると,

ａ＝0,ｂ～3μ²/(4ｆ²)を得ます。
 

このωによるベキ展開の次の係数ｃを決定して,散乱長への有効

レンジ補正を含む公式に発展させるためには,低エネルギー近似

計算の限界を超える必要があります。
 

既に,(3,3)チャネルでのｑ³cotδ₃₃＝ａ＋ｂω＋ｃω²の係数ｃ

が負であるという予想をしました。何故なら,この符号は他の

チャネルと逆に引力ポテンシャルに対応するからです。
 

そこで,このｃの負符号まで含めた低エネルギー近似を書くと, 

ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)なる形に書けます。
 

これは,ｆ²～ 0.08,あるいは同じことですが,ｇ₀²/(4π)～14とし, 

ω_ｒ～2.2μとすればπ^＋ｐ散乱実験との良い一致が見られます
 

(※ｆ²≡{ｇ₀²/(4π)}{μ/(2Ｍ)}²,μ～140MeV,Ｍ～ 940MeVです。)
 

式：ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)は,固定された

核子源(ω/Ｍ→0の極限)に関する中間子理論から,§10.6の

π-Ｎ散乱の節で与えた散乱振幅の表式: 

Ｓ_ｆｉ＝(2π)^-6{Ｍ²/(4Ｅ_ｐ1Ｅ_ｐ2ω_ｑ1ω_ｑ2)}^1/2 

×(2π)⁴δ⁴(ｑ₂＋ｐ₂－ｑ₁－ｐ₁)Ｍ；

Ｍ＝(－iｇ₀)²χ₂^＋ｕ~(ｐ₂,ｓ₂)[φ₂^＊τiγ⁵i{γ(ｐ₁＋ｑ₁)－Ｍ}]^-1 

iγ⁵τφ₁＋τφ₁iγ⁵i{γ(ｐ₁－ｑ₂)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₂^＊] 

ｕ(ｐ₁,ｓ₁)χ₁

において,なされたような結合定数のベキ展開に頼ることにより,

ChewとLowによって,初めて導出された評価式です。
 

さて,ここからが,前からの続き＝今回の新たな記事です。
 

※(注17－2)：ωは,ω≡ｑ⁰＝(ｑ²＋μ²)^1/2で定義されるπ

　中間子のエネルギーですが,ωが実際に意味のあるπの

　エネルギーなら,ωもｑ＝|ｑ|も正の実数ですから,

　ω＝(ｑ²＋μ²)^1/2≧μを満たすはずです。
 

こうした実際にωがπの取り得るエネルギーであり,ω≧μ

を満たすとき,ωの値を物理的値といい,ωの作る複素平面

上のω≧μの実数半直線領域をωの物理的領域といいます。
 

　そして,ωが取り得る下限値:ω＝μを物理的領域の閾値

　いい,ます。他方,ω＜μの実数半直線上や,他の複素平面領域

　を非物理的領域と呼びます。　　(注17-3終わり)※
 

ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ

～ (1/ｑ²)|exp(iδ₃₃)sinδ₃₃}²(1＋3cos²θ), 

かつ,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃]_Born ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)

のω＝0 における特異性:つまり,特異点:ω＝0はω＝μにおける

物理的閾値より下の非物理的領域にありますが,これはBorn振幅

でのエネルギー分母がゼロになることに起因すると見なすことが

できます。
 

※(注17-3)：まず.2013年１/９の過去記事:

「強い相互作用(湯川相互作用)(10)」より,一部を再掲載して

　π-Ｎ散乱の復習をします。
 

次の図10.8のFeynman-diagramは,結合定数:ｇ₀²/(4π)の

オーダーの最低次の核子Ｎによるπ中間子の散乱を記述して

います。

　Feynman-ruleによって,図の散乱振幅は,

Ｓ_ｆｉ＝(2π)^-6{Ｍ²/(4Ｅ_ｐ1Ｅ_ｐ2ω_ｑ1ω_ｑ2)}^1/2

×(2π)⁴δ⁴(ｑ₂＋ｐ₂－ｑ₁－ｐ₁)Ｍ　です。
 

ただし,Ｍは不変振幅で,Ｍ＝(－iｇ₀)²χ₂^＋ｕ~(ｐ₂,ｓ₂) 

[φ₂^＊τiγ⁵i{(ｐ₁＋ｑ₁)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₁ 

＋τφ₁iγ⁵i{(ｐ₁－ｑ₂)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₂^＊]ｕ(ｐ₁,ｓ₁)χ₁ 

です。
 

交叉対称性(Crossing symmetry)というものが存在して,

Ｓ_ｆｉは,φ₁ ⇔ φ₂^＊,ｑ₁ ⇔ －ｑ₂ なる交換の下で不変です。
 

この交換の下での対称性は,最低次だけでなく全ての高次の

摂動においても保持されることがわかります。
 

Feynman-diagramから10.8ａ図の１つのように終状態でπが放出

されるよりも前に始状態で入射するπが吸収されるようなグラフ

の１つ１つの図に対して,10.8ｂ図のように終状態でπが放出

されるより後に始状態で入射するπが吸収されるだけ異なる

グラフが１つずつ存在します。

(↑ここまでが再掲載部分です。)
 

π-Ｎ散乱の中間状態の核子伝播関数は,２つの交差グラフで, 

1/{(ｐ±ｑ)－Ｍ}であり,この分母を有理化すると, 

1/{(ｐ±ｑ)－Ｍ}＝{(ｐ±ｑ)＋Ｍ}/{(ｐ±ｑ)²－Ｍ²}ですが,
 

π-Ｎ散乱の最低次グラフでは,伝播関数の両端の頂点に結合

する核子線もπの線も実粒子を示す外線であって,質量殻上に

あるため：ｐ²＝Ｍ²,かつ,ｑ²＝μ²より,分母は

{(ｐ±ｑ)²－Ｍ²}＝±2ｐｑ＋μ² です。
 

さらに,標的核子の静止系＝実験室系では,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)

＝(Ｍ,0)なので,ω＝ｑ⁰として.

{(ｐ±ｑ)²－Ｍ²}＝±2ｐｑ＋μ²＝±2Ｍω＋μ² です。
 

したがって,結局,1/{(ｐ±ｑ)－Ｍ}

＝{(ｐ±ｑ)＋Ｍ}/(±2Ｍω＋μ²) です。

よって,分母がゼロになるωの極は,ω＝ω₁≡μ²/(2Ｍ),

または,ω＝ω₂≡－μ²/(2Ｍ)の１位の極ですが,低エネルギー

の極限：(ω/Ｍ)→0 では,ω₁,ω₂共にゼロになります。
 

いずれにしろ,特異点ではω≧μが満足されないので,特異点

＝極は非物理的領域にあります。　　(注17-3終わり)※
 

※(注17-4):運動量表示の核子Ｎの伝播関数:

i/( i/(ｐ－Ｍ＋iε)やπ中間子の伝播関数：i/(ｑ²－μ²＋iε)

の分母にあるｐ^μやｑ^μのエネルギー＝ｐ⁰やｑ⁰のゆらぎ(不確定さ)

:⊿Ｅは時間ｔのゆらぎ:⊿ｔと,Heisenbergの不確定性原理：

⊿Ｅ⊿ｔ≧1/2を満たすことがわかっています。
 

そのため,衝突散乱を含む遷移現象のような⊿ｔ≠0 ですが非常

に短かい⊿ｔ～ 0のような反応の途中では,⊿Ｅ～ 大となり,

一時的にエネルギー・運動量が保存されるｐ＝Ｍやｑ²＝μ²の

質量殻を外れた非物理的領域にあってもいいだろう。。という

もっともな憶測と,
 

実は,単なる近似計算法に過ぎない摂動論や計算のメカニズム 

を図式化したFeynman-diagramの中間状態(内線＝伝播関数)の上

の粒子(状態)が非物理的なエネルギー・運動量を取り得ること

のイメージが,何故か合致していて,それらは仮想粒子(仮想状態)

と呼ばれています。

　逆に物理的粒子(外線)は実粒子と呼ばれます。

　(注17-4終わり)※

さて,図10.10のように,中間子頂点の間を伝播するのが唯一の

核子線であるような,あらゆる高次の項も係数因子としてω­＝0

の単一の１位の極を持つ項に寄与し,この極の留数はそれらの

効果の総和で与えられます。

他の全てのdiagrams:例えば,図10.11は,エネルギーがω＝0で,

π中間子の外線に対して有限であり,それ故,の第2項,または

有効距離項に寄与します。

　ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)に対して,

[(ｑ³cotδ₃₃)/ω]を縦軸,ωを横軸としてプロットし,非物理的値

なので実測データには存在しないω＝0の対応点を外挿すること

によって,図10.10の振幅への寄与分を分離します。
 

図10.10の振幅は,物理的核子ｐ²＝Ｍ²が虚数運動量:

ｑ＝|ｑ|＝iμを持つω＝(ｑ²＋μ²)^1/2＝0の中間子を吸収放出

し,なお,物理的核子,つまり,(ｐ＋ｑ)²＝Ｍ²のままであるような

ものの強さを測ることになります。
 

この振幅は,Chew-Lowによって確認されたように,中間子π

と核子Ｎの結合定数の値であり,ｆ² ～ 0.08なる値がこの外挿

法から決定されたのでした。
 

　今日の」記事はここで終わります。
 

　次回は強い相互作用の最後の項目である電磁形状因子について 

記述する予定です。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"　(McGrawHill)

強い相互作用(湯川相互作用)(16)

現在,「弱い相互作用の旧理論」というシリーズ記事を連載中 

ですが,次にアップ予定の項目の「ベクトルカレントの保存:

CVC(Conserved Vector Current)についての草稿を準備中に, 

かつての「強い相互作用(湯川相互作用)」のシリーズ記事に

おける,核子のまわりの光子の雲による電磁形状因子:

(Electric Form Factor)を参照する必要に迫られました。
 

しかしながら,私の参照ノートには,もちろん,その項目も欠損

なく記述されていますが,

　ブログ過去記事を調べてみると,「強い相互作用(湯川相互作用)」

は,2013年3月に,このテーマが終了する直前に,当時63歳の誕生日

(2013年2月1日)に就職したばかりだった練馬区の会社を足の不調

で,１ヶ月ちょっとの,まだ見習い中の3月4日に残念ながら辞職し,

翌々週の3月19日には.順天堂大学付属医院の形成外科に入院して,

足の指を切除する手術をし,以後６月初めまで長期入院となり闘病

生活に入ったため,2013年3月８日にアップした

「強い相互作用(湯川相互作用)(15)」を最後にPending状態に陥り,

そのまま,今まで放置していたのでした。
 

その後,日本人のノーベル賞受賞に刺激されて,2015年の秋

からは, 「弱い相互作用の旧理論」なるテーマに飛躍したので,

電磁形状因子を含む欠損部分が生じていました。

　この部分もその後の素粒子理論の展開に必要な項目なので,

これを機会に,ここ２～３回程度の科学記事として,

「強い相互作用(湯川相互作用)」の残りの部分を続きとして

再開して,このシリーズ記事を完了し,その後,また, 

「弱い相互作用の旧理論」に戻りたいと思います。
 

まず,当時のテーマは,核子Ｎ(陽子ｐと中性子ｎ)同士の散乱

の項目を終了して,π中間子と核子の散乱：π-Ｎ散乱の散乱

振幅をπ中間子を交換する湯川相互作用をメインとする核力

の相互作用(強い相互作用)や,アイソスピン対称性

(＝荷電スピンのSU(2)対称性)などに基づいて,計算する項目

でした。

　記事:「強い相互作用(湯川相互作用)(15)」は,ほとんどが私の

注だけという内容なので,注以外の本文説明がある,それより1つ

前の過去記事: 「強い相互作用(湯川相互作用)(14)」の大部分を

再掲載するところから,思い出しつつ始めようと思います。
 

(※↓以下,まず「強い相互作用(湯川相互作用)(14)」の再掲載

です。)
 

π-N散乱の散乱断面積σが,その観測における比の通り, 

σ(π^＋ｐ→π^＋ｐ)：σ(π^－ｐ→π⁰ｎ)：σ(π^－ｐ→π^－ｐ) 

＝9：2：1 と計算される理由を記述する注からです。
 

※(注14-1): さらに前の記事:「強い相互作用(湯川相互作用)(13)」 

で示した,アイソスピンによる核子,π中間子,および,その合成状態 

の記述を示します。
 

　Ｉをアイソスピン(Isotopic-spin：荷電スピン)の固有値,その

第３軸成分の固有値をI^３とすると,Ｉ＝1/2の核子Ｎにおいて,陽子

ｐの状態はＩ³＝＋1/2の状態であり,これを示す２成分スピノル

状態関数をχ_p,Ｉ³＝－1/2の中性子ｎの状態をχ_nとします。
 

　一方,Ｉ＝1のπ中間子では,Ｉ³＝＋1のπ^＋状態を|φ_＋＞,

Ｉ³＝0のπ⁰状態を|φ₀＞,Ｉ³＝－1のπ^－状態を|φ_－＞

とします。

　φ_＋,φ₀,φ_＋は,それぞれ,Ｉ＝1の状態を示す独立な３次元

縦ベクトルです。

 このとき,Ｐ_3/2^をπ-Ｎ状態のＩ＝3/2でＩ³＝3/2である状態

の射影演算子とすると,χ_p^＋＜φ_＋|Ｐ_3/2^|φ_＋＞χ_p＝1　です。
 

一方,χ_n^＋＜φ₀|Ｐ_3/2^|φ_－＞χ_p

＝χ_n^＋{φ₀^＊φ_－－(1/3)(τφ₀^＊)(τφ_－)}χ_p 

＝χ_n^＋{(2/3)φ₀^＊φ_－－(1/3)iτ(φ₀^＊×φ_－)}χ_p

も成立します。
 

φ₀^＊φ_－＝φ⁽³⁾(φ⁽¹⁾－iφ⁽²⁾)/√2＝0 

φ₀^＊×φ_－＝(φ⁽³⁾×φ⁽¹⁾－iφ⁽³⁾×φ⁽²⁾)/√2 

＝(φ⁽²⁾＋iφ⁽¹⁾)/√2＝i⁾(φ⁽¹⁾－iφ⁽²⁾)＝iφ_－ より, 

－(1/3)iτ(φ₀^＊×φ_－)＝(τ¹－iτ²)/(3√2)　です。
 

(τ¹－iτ²)χ_p ＝2τ-χ_p＝2χ_nなので. 

χ_n^＋{(2/3)φ₀^＊φ_－－(1/3)iτ(φ₀^＊×φ_－)}χ_p＝√2/3 

を得ます。
 

同様に,χ_p^＋＜φ_－|Ｐ_3/2^|φ_－＞χ_p 

＝χ_p^＋{(2/3)φ_－^＊φ_－－(1/3)iτ(φ_－^＊×φ_－)}χ_p 

＝2/3－(1/3)χ_p^＋τ³χ_p＝1/3　です。
 

よって,Ｉ＝3/2のチャネルにおいては,  

π^＋ｐ→π^＋ｐ,π^－ｐ→π⁰ｎ,π^－ｐ→π^－ｐ 

の散乱振幅(Ｓ行列要素Ｓ_fi)の比は,１：√2/3：1/3,確率

の比は9：2：1 となることがわかります。
 

あるいは,アイソスピン固有状態を|Ｉ,Ｉ³＞で表現すると, 

｜π^＋＞＝|1,1＞,|π⁰＞＝|1,0＞,｜π^－＞＝|1,－1＞, 

|ｐ＞＝|1/2,1/2＞,|ｎ＞＝|1/2,－1/2＞　です。
 

そこで,これらの合成から得られる状態のうち,Ｉ＝3/2の

固有状態は,|3/2,3/2＞＝|1,1＞|1/2,1/2＞＝|π^＋ｐ＞, 

√3 |3/2,1/2＞＝√2 |1,0＞|1/2,1/2＞＋|1,1＞|1/2,―1/2＞

より,|3/2,1/2＞＝(√2/√3)|π⁰ｐ＞＋(1/√3)|π^＋ｐ＞,
 

同様に,|3/2,－1/2＞ 

＝(√2 /√3)|1,0＞|1/2,－1/2＞＋(1/√3)|1,－1＞|1/2,1/2＞ 

＝(√2/√3)|π⁰ｎ＞＋(1/√3)|π^－ｐ＞, 

|3/2,－3/2＞＝|1,－1＞|1/2,－1/2＞＝|π^－ｎ＞　です。
 

※参考のため,Ｉ＝1/2の固有状態の合成表現も羅列してみると, 

|1/2,1/2＞ 

＝－(1/√3)|1,0＞|1/2,1/2＞＋(√2/√3))|1,1＞|1/2,－1/2＞ 

＝－(1/√3)|π⁰ｐ＞＋(√2/√3))|π^＋ｎ＞,
 

|1/2,－1/2＞ 

＝－(√2/√3)|1,－1＞|1/2,1/2＞＋(1/√3))|1,0＞|1/2,－1/2＞ 

＝－(√2/√3)|π^－ｐ＞＋(1/√3))|π⁰ｎ＞　です。※
 

以上から,逆に,|π^＋ｐ＞＝|3/2,3/2＞,|π^－ｎ＞＝|3/2,－3/2＞, 

|π⁰ｐ＞＝(√2/√3)|3/2,1/2＞－(1/√3)|1/2,1/2＞, 

|π^－ｐ＞＝(1/√3)|3/2,－1/2＞－(√2/√3)|1/2,－1/2＞,
 

|π⁰ｎ＞＝(√2/√3)|3/2,－1/2＞＋(1/√3)|1/2,－1/2＞, 

|π^＋ｎ＞＝－(1/√3)|3/2,1/2＞－(√2/√3)|1/2,1/2＞ 

と表現されます。
 

よって,Ｉ＝3/2のチャネルのみでは, 

＜π^＋ｐ|Ｐ₃₃|π^＋ｐ＞：＜π⁰ｎ|Ｐ₃₃|π^－ｐ＞

：＜π^－ｐ|Ｐ₃₃|π^－ｐ＞＝1：√2/3：1/3 です。
 

　ただし,Ｐ₃₃は,アイソスピン射影演算子:Ｐ^3/2^と,同様な 

スピンが3/2のスピン射影演算子Ｑ^3/2^の直積の(3,3)チャネル

の射影演算子を意味します。Ｐ₃₃＝Ｐ^3/2^Ｑ^3/2^です。

　(注14-1終わり)※
 

次に,このエネルギー領域では,散乱は,主として,Ｉ＝Ｊ＝3/2

のチャネルを通るというこれらの示唆で,先に求めた散乱の

微分断面積の式：

[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

の妥当性を,２つの一般的な観測の助けを借りて拡張すること

を試みます。

まず,[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

のエネルギー依存性は,ω→ ∞(ｑ→ ∞)に対して,σ→ ∞を予測

するため,低イエネルギー閾値の近傍を除いては,現実的では無いこと

に着目します。(μをπの質量としてω＝ｑ²/(2μ)です。)
 

実際の全断面積:σの大きさには,エネルギーと共に無限大に増大

するわけではなく,ユニタリ[性(確率の保存)の結果として上限が

存在します。
 

純粋に伝播関数の理論の枠内でＳ行列のユニタリ性を論じるのは

難しいので,ここでは,単に非相対論的散乱理論の一般的結果から

のいくつかのことを用いることにします。
 

1.与えられたチャネルに対して,散乱振幅は次の形を取ります。 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)} 

(※ｔは散乱振幅:ｆ(θ)をπの軌道角運動量ｌを持つ部分波

の総和に展開したときのＰ波(ｌ＝1)の項の寄与です。)
 

ｑは慣性中心系(重心系)での粒子の運動量で,δは前に述べた

ように,チャネルの散乱による位相のずれ(phase-shift)です。
 

もしも,同じ量子数について弾性散乱に匹敵する非弾性チャネル

がないならδは実数(弾性散乱)です。
 

※(注14-2):非相対論的な１粒子の中心対称ポテンシャルによる

散乱の散乱状態波動関数:Ψ(ｒ)は,

 散乱前の粒子が運動量ｑで入射する平面波が,(ｑ,ｑ')＝|ｑ|²cosθ

なる散乱角θで散乱された後の球面波と重みｆ(θ)で重ね合わせられた

定常状態になるという描像で,

ｒ→ ∞で,Ψ(ｒ) ～ exp(iｑｒ)＋ｆ(θ) exp(iｑ'ｒ)/ｒのような

漸近形を持つという境界条件で定式化されます。
 

この式で定義される散乱振幅:ｆ(θ)は角運動量ｌの部分波に展開 

され,ｆ(θ)＝{1/(2iｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){Ｓ_l(ｑ)－1}Ｐ_l(cosθ) 

＝{1/(2ｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｔ_l(ｑ)Ｐ_l(cosθ),

ただし,Ｓ_l(ｑ)＝1＋iＴ_l(ｑ)　と表わすことができます。
 

そして,位相のずれδ_lは,Ｓ行列成分:Ｓ_l(ｑ)＝1＋iＴ_l(ｑ)の散乱 

されず素通りする前方散乱成分の１を除く部分(＝Ｔ行列):Ｔ_l(ｑ) 

について:Ｔ_l(ｑ)≡2exp(iδ_l)sinδ_lで定義されます。
 

散乱が弾性散乱のときは,|Ｓ_l(ｑ)|＝1なので,Ｔ_l(ｑ)が1に比して 

微小とすれば,

{1－iＴ_l(ｑ)^＊}{1＋iＴ_l(ｑ)|～１＋i{Ｔ_l(ｑ)－Ｔ_l(ｑ)^＊}＝1 

から,Ｔ_l(ｑ)は実数であり,Ｔ_l(ｑ)＝exp(iδ_l)sinδ_l ～ δ_l

より,位相のずれ:δ_lも実数であると結論されます。
 

ｆ(θ)の展開で,ｌ＝1のＰ波の成分をｔとし,その位相のずれ:

δ₁を単にδと書けば,Ｐ₁(cosθ)＝cosθより, 

ｔ＝(3/2)(1/ｑ)exp(iδ)sinδcosθです。
 

そして,exp(iδ)sinδ＝sinδ/exp(－iδ)

＝sinδ/(cosδ－isinδ)＝1//(cosδ/sinδ－i)

＝1//(cotδ－i)　ですから.
 

ｔ＝(3/2)cosθ[1/{ｑ(cotδ－i)}となります。
 

したがって,ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)}

なることが示されました。

(注14-2終わり)※ 
 

2.軌道角運動量が,～ｌで,全角運動量がＪ＝ｌ＋1/2のチャネル

の全断面積への寄与は,σ_tot^J,l≦{4π(2Ｊ＋1)/2}/ｑ² のように

限定されます。
 

つまり,ユニタリ性の結果,|Ｓ_ｌ(ｑ)|≦1から,断面積σに上限が

あることが示されます。
 

※(注14-3): 入射波の方向を特にｚ軸に取り,exp(iｑｒ)＝exp(iｑｚ) 

とした場合,χ_±をスピン1/2がある場合のスピンが±の状態関数 

とすれば,

　Ψ(ｒ)χは,ｒ～ ∞で, 

exp(iｑｚ)χ_± ～ {1/(2iｑｒ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1) 

{exp(iｑｒ)－(－1)^lexp(-iｑｒ)}Ｐ_l(cosθ)]χ_± 

です。

　(※:スピンがゼロの１粒子πが固定されたスピンが1/2の標的ｐ

またはｎの作る中心対称ポテンシャルで散乱されるという1粒子

量子力学の散乱では,散乱される1粒子πの状態関数は,単に

Ψ(ｒ)であって,標的であるスピンが1/2のｐまたはｎのスピン

状態関数：χ＝[χ_＋,χ_－]^Tなどは無関係のはずですが,

　ここでは,角運動量に関しては散乱された状態をπと核子N 

(ｐ,またはｎ)が合成された,スピンとしては,1/2の|πN＞

状態のΨ(ｒ)χのような状態関数で表現されるよう拡張

しました。

　そして,(3,3) チャネルは,全角運動量としては,Ｊ＝3/2の

状態への部分波散乱を意味しますが,これはスピンだけで

なく軌道角運動量ｌとの合成が3/2という意味です。※)

　Ｊ＝ｌ＋1/2で,Ｊ_z＝Ｊ³＝±1/2の場合:ｌ_＋≡Ｊ－1/2＝ｌ, 

ｌ_－≡ｌ＋1/2＝ｌ＋1と定義します。

　くどいようですが,間違いやすいので念を押すと,

Ｊ＝ｌ_＋＋1/2＝ｌ_－－1/2　です。
 

ｌ_＋＝ｌを用いた表現では, 

|Ｊ,1/2＞＝|ｌ_＋＋1/2,1/2＞ 

＝{(ｌ_＋＋1)/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l+⁰χ_＋
　＋{ｌ_＋/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l＋¹χ_－
 

|Ｊ,－1/2＞＝|ｌ_＋＋1/2,－1/2＞ 

＝{(ｌ₊＋1)/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l+⁰χ_－

＋{ｌ₊/(2ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_l+^-1χ_＋ であり,
 

他方,同じものを,ｌ_－＝ｌ＋1を用いて表現すると, 

|Ｊ,1/2＞＝|ｌ_－－1/2,1/2＞ 

＝{ｌ_－/(2ｌ_－＋1)}^1/2Ｙ_l－⁰χ_＋

－{{(ｌ_-＋1)/(2ｌ_-＋1)}^1/2Ｙ_l－¹χ_－
 

|Ｊ,－1/2＞＝|ｌ_－－1/2,－1/2＞ 

＝－{ｌ_－/(2ｌ_－＋1)}^1/2Ｙ_l－⁰χ_－
　＋{{(ｌ_－＋1)/(2ｌ_－＋1)}^1/2Ｙ_l－^-1χ_＋です。
 

Spinのない場合には, 入射波がΨ(ｒ)＝exp(iｑｚ)のとき,

ｒ～∞で,Ψ(ｒ) ～ {1/(2iｑｒ)}

[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){Ｓ_ｌexp(iｑｒ)－(－1)^lexp(-iｑｒ)}Ｐ_l(cosθ)] 

＝exp(iｑｚ)＋{exp(iｑｒ)/(2iｑｒ)}

[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(Ｓ_ｌ－1)Ｐ_l(cosθ)]　であり,
 

ｆ(θ)＝{1/(2iｑ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(Ｓ_ｌ－1)Ｐ_l(cosθ)] 

＝(1/ｑ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)exp(iδ_l)sinδ_lＰ_l(cosθ)]

でした。
 

一方,Spin:1/2がある場合は,まず,軌道角運動量ｌが固定なら, 

|ｌ＋1/2,1/2＞ 

＝{(ｌ＋1)/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l⁰χ_＋＋{ｌ/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l¹χ_－
 

|ｌ－1/2,－1/2＞ 

＝－{ｌ/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l⁰χ_－＋{{(ｌ＋1)/(2ｌ＋1)}^1/2Ｙ_l^-1χ_＋

より,
 

(2ｌ＋1)^1/2Ｙ_l⁰χ_＋

＝(ｌ＋1) ^1/2|ｌ＋1/2,1/2＞－ｌ^1/2|ｌ－1/2,1/2＞,
 

(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ)χ_＋ 

＝(4π) ^1/2{(ｌ＋1)^1/2|ｌ＋1/2,1/2＞－ｌ^1/2|ｌ－1/2,1/2＞

です。
 

同様に,(2ｌ＋1)Ｐ_l(cosθ)χ_－ 

＝(4π) ^1/2{(ｌ＋1)^1/2|ｌ＋1/2,－1/2＞＋ｌ^1/2|ｌ－1/2,－1/2＞ 

です。
 

Spin波動関数以外の座標の波動関数は,

Ψ(ｒ) ～ {1/(2iｑｒ)}[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)

{Ｓ_ｌexp(iｑｒ)－(－1)^lexp(-iｑｒ)}Ｐ_l(cosθ)] 

ですから,ｌが保存される散乱の場合,Ｊ_z＝Ｊ³＝±1/2の寄与

は,前方散乱以外では,ｒ～∞で,Ｊ＝ｌ＋1/2とＪ＝ｌ－1/2,

の重ね合わせとなります。
 

例えば,入射波のスピンが＋のときには,

Ψχ_＋～ {exp(iｑｒ)1/(2iｑｒ)}

[Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)(Ｓ_ｌ－1)Ｐ_l(cosθ)χ_＋ 

 ～ {exp(iｑｒ)1/(2iｑｒ)}(4π)^1/2 

[Σ_l=0^∞(Ｓ_ｌ－1){(ｌ＋1)^1/2|ｌ＋1/2,1/2＞

＋ｌ^1/2|ｌ－1/2,－1/2＞}] と書けるはずです。
 

しかし,今問題としている散乱では軌道角運動量ｌではなく

全角運動量Ｊが保存されるため,Ｊ_z＝Ｊ³＝±1/2の場合の寄与

には,同じJに対してＪ＝ｌ_＋＋1/2＝ｌ_－－1/2で与えられる軌道

角運動量のペア:ｌ_＋＝ｌ＝J－1/2.とｌ_－＝ｌ＋１＝J＋1/2の寄与

があります。
 

それ故,前方散乱以外では,ｒ～∞で,スピノルをΨ＝[ψ_＋,Ψ_－]^T 

と2成分で表現すると,上成分:Ｊ³＝＋1/2の成分は, 

Ψ_＋ ～ {1/(2iｑｒ)}exp(iｑｒ)(4π)^1/2 

[Σ_l=0^∞{(Ｓ_ｌ+－1)(ｌ₊＋1)^1/2|ｌ_＋＋1/2,1/2＞ 

－(Ｓ_ｌ-－1)ｌ_-^1/2|ｌ_-－1/2,1/2＞}　です。
 

また,Ｊ³＝－1/2の下成分は, 

Ψ_－ ～ {1/(2iｑｒ)}exp(iｑｒ)(4π)^1/2 

[Σ_l=0^∞{(Ｓ_ｌ＋－1)(ｌ₊＋1)^1/2|ｌ_＋＋1/2,－1/2＞ 

＋(Ｓ_ｌ－－1)(ｌ_－＋1)^1/2|ｌ_－－1/2,－1/2＞}　

です。
 

ただし,上の表現式でのΣ_l=0^∞は,ｌ＝ｌ_－＝ｌ_＋＋1のｌによる

総和を意味します。
 

ここで,ｆ_l±を

ｆ_l±≡(Ｓ_ｌ±－1)/(2iｑ)＝exp(iδ_ｌ±)sinδ_ｌ±/ｑ 

と定義すると,散乱振幅:ｆ(θ)＝[ｆ(θ)_＋,ｆ(θ)_－]^T

についても
 

ｆ(θ)_＋(4π)^-1/2 

＝Σ_l=0^∞{(Ｓ_ｌ－－1)(ｌ_－＋1)^1/2|ｌ＋1/2,－1/2＞ 

＋(Ｓ_ｌ-－1)(ｌ_-＋1)^1/2|ｌ_-－1/2,－1/2＞} 

＝Σ_l=0^∞[(2ｌ₊＋1)^-1/2{ｆ_ｌ+(ｌ₊＋1)Ｙ_ｌ+⁰χ_＋

＋ｆ_ｌ+{ｌ₊(ｌ₊＋1)}^1/2Ｙ_ｌ+¹χ_－} 

－(2ｌ_-＋1)^-1/2{ｆ_ｌ-ｌ_-Ｙ_ｌ-⁰χ_＋

－ｆ_ｌ-{ｌ_-(ｌ_-＋1)}^1/2Ｙ_ｌ－¹χ_-}] 

＝Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_＋

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1¹χ_-} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_＋－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ¹χ_-}]
 

同様に,ｆ(θ)_－(4π)^-1/2 

＝Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_－

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1^-1χ_＋} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_－

－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ^-1χ_＋}]　となります。
 

したがって,σ^tot_±＝∫|ｆ(θ)_±|²ｄΩ 

＝4πΣ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1{ｌ²＋ｌ(ｌ－1)}|ｆ_ｌ-1|² 

＋[(2ｌ＋1)^-1{ｌ²＋ｌ(ｌ＋1)}|ｆ_ｌ|²] 

＝4πΣ_l=0^∞ｌ{|ｆ_ｌ-1|²＋|ｆ_ｌ|²}
 

固定Ｊ値のみの寄与は, 

4πｌ{|ｆ_ｌ-1|²＋|ｆ_ｌ|²}＝4π(2Ｊ＋1)/(2ｑ²)}

{|sinδ_ｌ-1|²＋|sinδ_ｌ|²}　です。
 

結局,σ^tot_Ｊ±≦4π(2Ｊ＋1)/(2ｑ²)}が満たされることが

わかります。　(注14-3終わり)※

(※以上,「強い相互作用(湯川相互作用)(14)」の再掲載終了)
 

　次の記事「強い相互作用(湯川相互作用)(15)」は,ここで必要な 

非相対論的散乱理論の一般的結果の第3の項目である: 
 

　3.有効距離展開;ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..

　が低エネルギーで良い近似を与える。

　ということの根拠を述べた私の(注15-1)のみがその内容です。
 

これの再掲載は割愛します。直接過去記事を参照してください。
 

これで,,非相対論的散乱理論の一般的結果からの必要事項は

いくつかの注により根拠を示すことができたので,再び箇条書き

にして記載しておきます。
 

1.与えられたチャネルに対して,散乱振幅ｔは次の形を取る。 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)}
 

ただし,ｑは慣性中心系(重心系)での各粒子の運動量であり,

δはチャネルの位相のずれ(phase-shift)です。

同じ量子数について,弾性衝突に匹敵する非弾性のチャネルがない

なら,δは実数です。
 

2.軌道角運動量がｌで全角運動量がＪ＝ｌ＋1/2のチャネルの

全断面積への寄与は,σ_tot^J,l≦{4π(2Ｊ＋1)/2}/ｑ² のように

限定される。
 

3.有効距離展開;ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..

が低エネルギーで良い近似を与える。　　

の3つの事項です。

　さて,既に§10.6のπ-Ｎ散乱(Meson-Nucleon Scattering)で見た

ように,小さいエネルギーの分母 ～ωと,Ｐ波相互作用の相互的に

長い時間スケール～1/ωは,Ｐ波の強いエネルギー依存性を自然に

予想させます。
 

それ故,(3,3)チャネル(I＝J＝3/2)に対する, 

ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..において,Born近似での高次

の補正は無視できません。
 

すなわち,不変振幅: 

Ｍ ～ (－iｇ₀²/Ｍ)[ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋]＜φ₂|(Ｐ_i/2^＋Ｐ_3/2^)|φ₁＞]

[ｕ(ｓ₁)χ₁] 

－{iｇ₀²/(4Ｍ²)}(4πｑ²/3)[ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋] 

＜φ₂,ｑ₂|[9Ｐ₁₁^/ω－{4Ｐ₃₃^－2Ｐ₁₃^－2Ｐ₃₁^＋Ｐ₁₁^}/ω]

|φ₁,ｑ₁＞[ｕ(ｓ₁)χ₁]　において,
 

Ｐ波に対応する第２項は,

－{iｇ₀²/(4Ｍ²ω)}(4πｑ²/3)[ｕ^＋(ｓ₂)χ₂^＋] 

＜φ₂,ｑ₂|(8Ｐ₁₁^＋2Ｐ₁₃^＋2Ｐ₃₁^－4Ｐ₃₃^)]|φ₁,ｑ₁＞

[ｕ(ｓ₁)χ₁]　です。
 

そして,ｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²＋..　においては, 

このチャネルでのBorn近似の引力を強めるような大きさが負の 

係数ｃに導くと予想されます。
 

※(注16-1):何故なら,引力のときの位相のずれδは正で, 

ａ＝0,ｂ＞0のとき,cotδ ～ 1/δ ～ｂω＋ｃω²＋..ですが, 

これはｃ＜0ならω²に対して減少するため,δはω²と共に増加

します。　(注16-1終わり)※
 

ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ ～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

を書き直すと,

ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ ～ (1/ｑ²)|exp(iδ₃₃)sinδ₃₃}²(1＋3cos²θ),

かつ,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃]_Born ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)　

なる表現 を得ます。
 

※(注16-2): 上記を証明します。 

まず,前回までで詳述したように,ポテンシャル散乱の一般論

から,　中心対称なポテンシャルによる散乱の散乱状態の

波動関数Ψ(ｒ)は,ｒ→∞で,

Ψ(ｒ) ～ exp(iｑｒ)＋ｆ(θ) exp(iｑ'ｒ)/ｒ　のような

漸近形を持ちます。
 

この散乱される粒子にスピン1/2がある場合には状態関数を 

Ψ＝[ψ₊,ψ_－]^Tと書き,ｆ(θ)＝[ｆ(θ)_＋,ｆ(θ)_－]^Tとして, 

ｒ→∞で,Ψ ～[ exp(iｑｒ)＋ｆ(θ) exp(iｑ'ｒ)/ｒ] 

となりますが,スピン3軸成分が＋でも－でも,

散乱の微分断面積は,ｄσ/ｄΩ＝|ｆ(θ)_±|²で与えられます。
 

散乱振幅:ｆ(θ)は角運動量ｌの部分波に展開できて, 

ｆ(θ)＝{1/(2iｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1){Ｓ_l(ｑ)－1}Ｐ_l(cosθ) 

＝{1/(2ｑ)}Σ_l=0^∞(2ｌ＋1)Ｔ_l(ｑ)Ｐ_l(cosθ), 

Ｓ_l(ｑ)＝1＋iＴ_l(ｑ)　と表わすことができます。
 

Ｔ_l(ｑ)＝exp(iδ_l)sinδ_lと書いた時のδ_lが位相のずれです。
 

ｆ(θ)の展開においてｌ＝1のＰ波の成分をｔ,その位相のずれ

:δ₁を単にδと書けば,ｔ＝(3/2)(1/ｑ)exp(iδ)sinδcosθです。
 

そして,exp(iδ)sinδ＝sinδ/exp(－iδ)＝sinδ/(cosδ－isinδ) 

＝1//(cosδ/sinδ－i)＝1//(cotδ－i)　ですから. 

ｔ＝(3/2)cosθ[1/{ｑ(cotδ－i)}　と書けます。
 

したがって,Ｐ波の振幅ｔは, 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)} 

なる挙動をします。
 

改めてＰ波の位相のずれをδ₁とすると,

　(注14-3)から,Ｊ＝ｌ＋1/2 でＪが保存されるとき, 

ｆ_l＝(1/ｑ)exp(iδ_ｌ)sinδ_ｌであって, 

ｆ(θ)_＋＝(4π)^1/2Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_＋ 

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1¹χ_-} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_＋－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ¹χ_-}]
 

ｆ(θ)_－＝(4π)^1/2Σ_l=0^∞[(2ｌ－1)^-1/2{ｆ_ｌ-1ｌＹ_ｌ－１⁰χ_－ 

＋ｆ_ｌ-1{ｌ(ｌ－1)}^1/2Ｙ_ｌ-1^-1χ_＋} 

－(2ｌ＋1)^-1/2{ｆ_ｌｌＹ_ｌ⁰χ_－－ｆ_ｌ{ｌ(ｌ＋1)}^1/2Ｙ_ｌ^-1χ_＋}] 

です。
 

ｌ＝1のＰ波に関わる項のみが寄与しては, 

ｆ₁＝(1/ｑ){exp(iδ₁)sinδ₁であり,
 

ｆ(θ)_＋＝(4π)^1/2[－3^-1/2{ｆ₁Ｙ₁⁰χ_＋－2^1/2ｆ₁Ｙ₁¹χ_-] 

ｆ(θ)_－＝(4π)^1/2[－3^-1/2{ｆ₁Ｙ₁⁰χ_－－2^1/2ｆ_ｌＹ₁^-1χ_＋]

ですが,ｌ＝1の球面調和関数は具体的には,

Ｙ₁⁰＝(3/4π)^1/2cosθ,Ｙ₁¹＝－(3/4π)^1/2sinθexp(iΦ),

Ｙ₁^-1＝(3/8π)^1/2sinθexp(－iΦ)ですから,

4|Ｙ₁⁰|²＋2|Ｙ₁^±1|²＝(3/4π)(4cos²θ＋sin²θ) 

＝(3/4π)(3cos²θ＋1)　です。
 

それ故,ｌ＝1の位相のずれδ₁を,特にｌ＝1,Ｊ＝3/2の(3,3)

チャネルのみによる位相のずれ:δ₃₃で代表させると,
 

ｄσ/ｄΩ ～ (1/ｑ²)|exp(iδ₃₃)sinδ₃₃|²(1＋3cos²θ)

と書けます。
 

一方,

[ｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩ] _C.M.～ {4ｆ²/(3ωμ²)}²ｑ⁴(1＋3cos²θ) 

ですから,これを上のｄσ/ｄΩのを与える部分波振幅の式を

比較し,Ｃ.Ｍ系でのｄσ/ｄΩとｄσ₃₃(π^＋ｐ)/ｄΩとを等置

することにより,[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃] _{C.M. Born} ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)

を得ます。
 

(注16-2終わり)※
 

ｔ ∝ (1/ｑ)exp(iδ)sinδ＝1/{ｑ(cotδ－i)}でしたから 

exp(iδ₃₃)sinδ₃₃＝1/(cotδ₃₃－i)です。
 

そして,上記のように,Ｃ.Ｍ系でのBorn近似では,

[exp(iδ₃₃)sinδ₃₃] _Born ～ 4ｑ³ｆ²/(3ωμ²)を得ました。

したがって,このオーダーでは,[ｑ³cotδ₃₃]_Born～ 3ωμ²/(4ｆ²)

です。
 

これをｑ^(2l+1)cotδ＝ａ＋ｂω＋ｃω²なる展開式比較すると

ｌ＝1のＰ波では,ａ＝0,ｂ ～ 3μ²/(4ｆ²)を得ます。
 

　このωによるベキ展開の次の係数ｃを決定して,散乱長への

有効レンジ補正を含む公式に発展させるためには,低エネルギー

近似計算の限界を超える必要があります。

　既に,(3,3)チャネルでのｑ³cotδ₃₃＝ａ＋ｂω＋ｃω²の係数ｃ

が負であるという予想をしました。何故なら,この負符号は他の

チャネルと逆に引力ポテンシャルに対応するからです。
 

そこで,このｃの負符号まで含めた低エネルギー近似を書くと, 

ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)なる形に書けます。
 

これは,ｆ² ～ 0.08,あるいは同じことですが,ｇ₀²/(4π)～14

とし,ω_ｒ ～ 2.2μとすれば,π^＋ｐ散乱実験との良い一致が

見られます。
 

この式:ｑ³cotδ₃₃＝＋{3ωμ²/(4ｆ²)}(1－ω/ω_ｒ)は,固定

された核子源(ω/Ｍ→0の極限)に関する中間子理論から,

§10.6のπ-Ｎ散乱の節で与えた散乱振幅の表式: 

Ｓ_ｆｉ＝(2π)^-6{Ｍ²/(4Ｅ_ｐ1Ｅ_ｐ2ω_ｑ1ω_ｑ2)}^1/2 

×(2π)⁴δ⁴(ｑ₂＋ｐ₂－ｑ₁－ｐ₁)Ｍ； 

Ｍ＝(－iｇ₀)²χ₂^＋ｕ~(ｐ₂,ｓ₂)[φ₂^＊τiγ⁵i{γ(ｐ₁＋ｑ₁)－Ｍ}]^-1 

iγ⁵τφ₁＋τφ₁iγ⁵i{γ(ｐ₁－ｑ₂)－Ｍ}]^-1iγ⁵τφ₂^＊]

ｕ(ｐ₁,ｓ₁)χ₁ において,なされたような結合定数のベキ展開に

頼ることにより,ChewとLowによって,初めて導出された評価式です。
 

途中ですが,例によって夢中で書いてiいるうちに１記事としては

長くなり過ぎたと思われるので,今日は,ひとまず終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D."Drell 

"Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)

ＰＳ:先週金曜日の同期会？に続き,今週の4/22(金)夜は毎月１回

恒例の飲み会でした。楽しかったのですが,最近昼夜の温度差が

大きいこともあり,体調がやや変だったので,いつもは午前様で

したが,昨夜は23時ころには帰宅してゲロを吐き,その後熟睡し

たようです。

　　目覚めると夜中の３時半頃で,落ち着いたので.書きっぱなし

だったブログを編集し直しました。
　　
　　土曜日だし、もう１回寝直します。永眠も近い？

(今,23日(土)早朝の４時50分です。)
 

※ずいぶん昔の正社員時代には,晴眠雨眠,垢デミック,。。 

ワーニング・プロチョンなどと呼ばれていたの思い出しました。

デブだったし,昼食が大盛りでないと,ウワサになり,

どこか悪いのでは？と疑われました。 

　　今も昔もイジられやすい。。。

　　千石不動産の近くにあって,飲みに行くたびに「死神が来た(失礼な！)」

と言われていたスナック「無我」が,巣鴨一番街に移転しているのを

発見。。近々行ってみよう。。。

訃報！！ 大平透さん。。

　有名な声優の大平透(おおひらとおる)さんが去る４月12日に亡くなられていたそうです。

　享年86歳でした。

　ニュースGigazine 　→

「スターウォーズのダース・ベーダー役の吹替えなどで有名な大平透さん死去

　私には,何といっても,小学校５年(昭和35～36年)に岡山県の私の家に,はじめてテレビが来た当時の「ス＾パーマン」の声の人という印象です。

　おそらくＮＨＫでしょう。午後7時からの英会話放送の後,毎日,午後7時半から30分間のアメリカの実写の「スーパーマン」があって,その主役：クラーク・ケントの吹替えの声が大平透さんじゃなかったか？イヤ,ナレーターだったかな？という記憶があります。

　当時は,テレビは貴重品で普段は幕が掛けてあり,子供は父親が仕事から帰って,皆そろって見る時間まではテレビを見ちゃダメとか,夜は9時までには寝なさいとかいろいろ制約がありましたが,この「ス^パーマン」だけは,４人兄弟うだった子供たちは見ていいことになっていて,末っ子の私も毎日楽しみにしていました。

　ですから大平透さんはとても懐かしい声,懐かしい人です。

　むしろ,まだ生きて乗られるとは知りませんでした。

　その後は「スパイ大作戦(Missyon Impossible」の冒頭の「おはようフェルプス君」とか,独特の張りのある低音で,藤子不二雄のアニメ「笑うセールスマン」の主役の喪黒福造の声なども有名ですね。

　ご冥福を祈ります。合掌！！

(ん？ＮＨＫじゃなくＴＢＳでしたか。。。)

PＳ：15日の金曜日は私は,34年ぶり？くらいで,1977年に上京して27歳で正社員として入社したコンピュータ関係の会社の同期の女性を含む懐かしい会社同窓会のような飲み会に行ってきて巣鴨の自宅アパートに帰宅したのは23時ころで,土曜日は疲れてゴロゴロと寝ていました。

　その昔に通っていた神保町の会社の近くの居酒屋「てけてけ」というところで19時の予約でしたので,日本橋馬喰町で15時まで勤務した後,私は杖をついていて少し進むのも時間がかかるの,まだ3時間近くもありましたが,まず,「てけてけ」の場所を確かめてから,その近くのデニーズで1時間くらい時間をつぶしてから少し早めにお店に入って待っていました。

　店員が７人予約の席というので,他には誰がくるのかな？と思っていたら,私を含め男は３人,女は4人で,１年先輩(年は同じ)のＮさんと,同期のＭさん(旧姓:Ｋさん)の他は,皆会社の後輩で,その会社で卓球より旅行がメインだった卓球部の仲間の同窓会のようなものでした。

　私は当時８人入社した男子のうちの一人で,女子も７人入社しました。

　女子は６人が短大卒の20歳,１人だけが大卒の22歳でしたが,数年のうちに全員が寿で退社しました。短大卒では私より７歳年下ですから,女子ではそれより後輩なら8歳以上は年下,今回来た女性は全てまだ50代です。

　１組は今回の会をセッティングしてくれた社内結婚のＹ夫婦です。

　私,その会社には13年間いて1990年(平成２年;40歳)３月年末に退職したのですが,それからほぼ12年後の平成13年(2001年;51歳)の12月にアルバイトとして復帰？して,平成17年(2005年)の11月末(55歳)までいたため,Ｙ君と会うのは11年ぶりくらいですが,聞くと,まだ定年前ということでした。

　男性はみな頭が白いかハゲていますが,女性は皆,全然変わっていないという印象でした。(詳細は無視して,トイウコトニシテオコウ。)

　同じく11年ぶりで会った後輩の女性Ｓさんはまだ独身で,当時の会社に勤めて小名非しごとをしているということでした。もう一人のＭさんは,わざわざ,名古屋から来られました。いずれも,とても懐かしかったです。

　その15日に遅れてきて.34ネぶりに会った同期入社のＭさんは,当時中野坂上に有ったお菓子屋さんの娘さんで,私は新高円寺(杉並区梅里２丁目)に住んでいて同じ丸の内線の帰り道であったｋｐともあり,飲み会で同席した後はよく自宅近くまでお送りしたという記憶あります。

　私にとっては,同期の女子は皆可愛い妹のような存在で,普通に幸せになってくれたらいいな。。と思っていて,寿退社の後は,当然女子とは全員,以後音信不通で偶然会うこともありませんでしたが,久しぶりにＫさんに会っても,かつてと同じような幼いままの顔つきに見えたので,この30年余りは苦労も少なく幸せだったのだな。。と感じました。

　22か,23歳で結婚退社したと思っていたので36年ぶりと思ってたのですが,本人が25歳だったというの,で34年ぶりかな。。と訂正したのでした。

弱い相互作用の旧理論(14)(Fermi理論)

「弱い相互作用の旧理論」の続きです。
 

今日は,ニュートリノには２種類あるという話題です。
 

§10.15 ２つのニュートリノ(Two Newtrinos) 

　ここまで論じてきたレプトンを伴なう相互作用では,Ｓ行列要素 

のレプトン部分因子が,[ｕ~(ｐ)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｋ~)]なる形で 

与えられるような同一のＶ-Ａ構造に導くことを見てきました。

すなわち,こうした弱い相互作用ではμ^－とｅ^－のスピノルは, 

２成分スピノルでも表現できる左巻きニュートリノに変換する 

という遷移振幅の構造を持ちます。

 しかし,ニュートリノの余分な自由度を除く方法で見たように,

パリティ非保存を与えることでは,それほど節約的であったのに 

自然は２つの物質粒子であるνとν'を与えることにおいては.

不可解なほど自由度の増加に対して寛容です。
 

このνとν'は,ほとんど同一ですが,しかし非常に異なる 

ものです。

　　Feynmanダイアグラムの電子線と１つの頂点で結ばれる

νは常に左巻きで,ゼロ(または非常に小さい)質量を持ち

ますが,これは丁度μ粒子と１頂点で結ばれるν'でも同じ

です。
 

しかしながら,それらνとν'が異なるであろうと考えられる 

第一の理由は,μ^－→ｅ^－＋γというμの輻射崩壊率の信頼には

欠けるが理論的に評価されているものと,観測分岐比: 

Ｒ(μ^－→ｅ^－＋γ)/Ｒ(μ^－→ｅ^－＋ν~＋ν’) ＜10^-7 

を示した実験との対比に由来します。
 

こうしたμ^－→ｅ^－＋γのようなプロセスは,特に相互作用 

を仲介する中間状態としての荷電ベクトルメソンの存在の 

仮定に訴えないなら,如何なる既知のメカニズムによっても 

弱い相互作用の１次のオーダーでは生じない反応です。
 

ベクトルメソンの仮説(vector-meson dominance)は, 

図10-20に示されたグラフに沿う形でなされます。

　　こうしたグラフの計算から得られる答は発散し,あまり 

真面目には考慮されませんが,上述の分岐比のように 

,10^-4 ～10^-5 よりも小さい比になることを主張するのは,

かなり困難なことです。

※(注14-1)：このグラフは運動量表示で質量ゼロのFermi粒子

νの伝播関数：i/(ｋ＋iε)}と質量がｍ_Vのベクトルメソンの

伝播関数:(iｇ_μν)/{(ｐ－ｋ)²－ｍ_V²＋iε}の積の因子のｋに

よる積分:∫ｄ⁴ｋを含むため,ｋについてはｋ→∞で対数発散

するはずです。まあ,繰り込めば有限になる可能性はあります

から分岐比の評価はできるかもしれません。　　

(注14-1終わり)※

　しかしながら,μと関わるν'が,ｅと関わるνと異なるなら,

そもそも,これらのグラフは,他のあらゆるグラフと同様に消え

ます。(※ つまり,μにもｅにも同時に連結するνまたはν'

の線があるようなグラフは存在しません。)
 

　　２つの異なるニュートリノがあることの証拠となる.より信頼

できるテストは,PonrecorroとSchwartzによって提案されたもの

で,π崩壊による高エネルギーのν'-ビームによって,逆β崩壊

反応の初期状態とすることを意図した実験を行なうものです。
 

特に引き続く逆β反応によって生成される高エネルギー 

の電子,または,高エネルギーのμ粒子を探せばいいです。
 

この結果,μの生成は確実に観測され,一方,ｅの生成は 

観測されなかったので,今や,２つのニュートリノの存在 

に賛成する明確な証拠を得たことになります。
 

μとｅの間には,静止質量の他に何の差異があるのか？ 

そして自然は何故２つの荷電レプトンを生み出したのか？ 

という難しい問いに加えて,今や,何故,自然は２つのニュートリノ 

という難問を与えるのか？ということが付け加えられます。
 

※(注14-2):この記事の参考テキストが出版された時代には, 

まだ,荷電レプトンはμとｅの２つだけでした。
 

　その後,μよりもさらに質量が重いだけの違いしかない 

τ粒子の存在が確認され,現在ではそれらに伴なってニュートリノ 

もν_ｅ,ν_μ,ν_τの３種類が存在することがわかっています。
 

これらを(ｅ,ν_e)^T,(μ,ν_μ)^T,(τ,ν_τ)^Tとペアにして. 

それぞれ,ハドロンクォークの３世代:(ｄ,ｕ)^T,(ｓ,ｃ)^T,(ｂ,ｔ)^T 

に対応させます。

(※d,u,s,c,b,tはdown,up,strange,charm,bottom,topの 

頭文字で,これらの量子数をフレイバー(Flavour:香り)

自由度といいます。)
 

ハドロンの基本粒子クォーク(Quark)がフレイバーごとの３世代, 

６個あってそれぞれ３個のカラー自由度があるる理由も,

レプトン (Lepton)のDirac粒子が上記のように３世代６個ある理由と

同じくらい不可解ですが,取りあえず,対応は付きます。

　例えば,私が学生当時に専門としていたカイラル三角グラフの

量子アノマリー(量子異常:Triangle-Anomaly)は,荷電粒子の電荷

に比例する形で出現しますが,全てのクォークの電荷の和をカラー

を考慮して３倍したものと,レプトンの電荷を全て総和したもの

が相殺してゼロとなり,総体としては消えます。

　したがって,３世代の対応があれば可能な全てのカイラル

三角グラフを総和すると,アノマリーフリーとなります。

　これは,t'Hooft(トフフト)により指摘されたことです。

もっとも,アノマリーも必要なもので,もしもこれが無いなら

南部-Goldstonボソンの１つであるπメソンの,π⁰ → 2γ崩壊

の崩壊率の計算値はゼロ,または観測値よりはるかに小さい値

になりますが,アノマリーの存在を考慮して計算すると,観測値

に合致する結果を得る,ことがわかっています。

(注14-2終わり)※
 

今日はつなぎで,とても短かいですが,一区切りなのでここで 

終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)

訃報！ダーク・ダックス。ゲタさん。。

ダーク・ダックスのバリトンのゲタさんこと,喜早哲(キソウテツ)さんが,去る３月26日に亡くなっていたことが４月３日にわかったそうです。

　直接の死因は急性肺炎ですが長く闘病中でした。　享年85歳。

　　Yahooミュース　→　ダーク・ダックスのゲタ(喜早哲)さん,３月末に死去

　　ダーク・ダックスはラジオ時代からテレビ時代にかけての懐かしいコーラスグループで,,既に2011年にはパク(高見沢宏)さんが亡くなっています。

　ゲタさんは社交的でリーダー格。。顔を見れば。。ああ,ダーク・ダックスという感じの人でした。　　素敵な歌をありがとう。。安らかに。。。

 ご冥福を祈ります。合掌！！

訃報！！四代目「江戸家猫八」さん。。

　去る３月21日に四代目「江戸家猫八」さんが神奈川県の病院で亡くなられたそうです。死因は進行性の胃ガンらしいです。享年66歳でした。

NHKニュース→　 四代目江戸家猫八さん」死去。66歳

　　　　　　　　　

　私には三代目の「江戸家猫八」さんの息子の「江戸家小猫」さんというイメージしかなかったです。父親と同様,鳥や虫などの鳴き声がうまく.,いろいろな意味で芸達者な人でした。。。

　顔から見ても,もっと若いと思ってたのに,まさか私と同年齢だったとは？

　※　下は15年前に亡くなった三代目「江戸家猫八」さんです。

 四代目はまだまだ活躍できる年齢でした。。惜しいことです。

 ご冥福を祈ります。合掌！！

すごい！！ 錦織.VS.モンフィス戦(テニス)

　早朝。。BSNHKでライブのテニスを見て久しぶりに興奮した。 

(※ ずいぶん昔には世界ランク4位だった伊達公子さんの試合などでずいぶん興奮したものでしたが。。。。) 

スポーツ中継ではラグビーのワールドカップの日本タ対オーストラリア戦,,そしてゴルフの松山英樹の米ツァーでのプレイオフからの優勝以来の大感激。。 

　今回は,灼熱のマイアミオープンで２時間余りにわたるフルセットの熱戦の末に錦織が大逆転勝利。。。

　,準々決勝で,フランスの黒人選手:ランク16位のモンフィス(Monfis)戦。。 

　５度のマッチポイントを握られるも耐えて最後はタイブレイクで辛勝。。

　相手の選手もすごかったです。

　体力の限界に近いところから。。アドレナリン？？

　Ｙahooスポーツ速報　→　

　錦織２年ぶりの４強。がけっぷちから逆転勝利

PS：:本日４月１日は私が15歳になって２か月後,高校入学直前に46歳で病気で亡くなった父の命日です。。亡くなってから51年経ちました。

　岡山済生会病院で夜中の３時から４時ごろ昏睡したままの臨終でした。

当日私は前日から母と病院に詰めていて,兄姉と共に病院の廊下のソファで寝ていて起こされたのを記憶しています。

　丁度,1965年(昭和40年)の選抜高校野球で父の母校「岡山東商」がピッチャー平松を擁して岡山県としては甲子園唯一の優勝を果たした日のことでした。

　決勝は藤田平選手のいた市立和歌山商(市和商)との延長戦で,１回戦から39イニング無失点だった平松投手が唯一の得点を許し,２－１だったかな？

　もう.テレビ放送もある時代でしたが病院にいたので,ラジオで高校野球を聞いていて,まだ子供で父の死よりもその試合の方が気になっていたという,今思えばどうしようもないヤツでしたね。。。

(※ もうっ両親ともこの世にはいませんが,父は兵庫県明石市,母は和歌山市の出身なので。。私岡山県出身ですが,ルーツは関西人かな？

　当時はもう一人友達だったS君が春休み中にO君と２人乗りバイクでトラックにはねられて亡くなり,クラスでS君の実家の葬儀に参列しました。そのほうが悲しかったという記憶も。。

　私立の中学から高校(金光学園)へのエスカレーター式で,入試はなかったし,気楽な春休み中のことでした。。