クライン・ゴルドン方程式(2)

Klein-Gordon eq.の続きです。

　この項目の前回記事は,ほとんどがブログを書くモチベーションなどの

余談と,§9.1序文の,主として１度は捨てたKlein-Gordon方程式

の復活の意味と,その解釈の論議に集中して,本題はわずかな

モノだったので,

　もう１度§9.2の最初から再掲載して,続けたいと思います。
 

§9.2 Klein-Gordon粒子に対する伝播関数 

(The Propagator for Klein-Gordon Particles)
 

 Klein-Gordon方程式:(□＋μ²)φ(ｘ)＝0 の解φ(ｘ)は, 

ずっと前に誘導されたように,連続の方程式を満たします。
 

すなわち,カレント:ｊ_μ＝i(φ^＊∂_μφ－φ∂_μφ^＊)；

∂_μ≡∂/∂ｘ^μ,に対して,∂_μｊ^μ＝0 ((∂ρ/∂ｔ)＋∇ｊ＝0)

が成立します。
 

(※何故なら, ∂_μｊ^μ＝i∂_μ(φ^＊∂^μφ－φ∂^μφ^＊) 

＝iφ^＊(□＋μ²)φ－iφ(□＋μ²)φ^＊＝0　となる

からです。※)
 

Ｑ(ｔ)≡∫ｄ³ｘρ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｘｊ₀(ｘ)

＝i∫ｄ³ｘ(φ^＊∂₀^⇔φ) 

(※ただし,ａ∂₀^⇔ｂ≡ａ(∂ｂ/∂ｔ)－(∂ａ/∂ｔ)ｂ　※) 

とすれば,∂_μｊ^μ＝0とGaussの定理から,Ｑは保存します。
 

そこで,Ｑ(ｔ)は,ｔをはずして単にＱと書いてもいいです。
 

(※何故なら,ｄＱ/ｄｔ＝∫_Vｄ³ｘ(∂ρ/∂ｔ)

＝－∫_Vｄ³ｘ(∇ｊ)＝－∫_Sｊ_nｄＳ＝0です。

ただし,ＶはＱがゼロでない全空間領域,Ｓはその閉じた

境界面領域(半径:Ｒ)です。
 

Ｒ→∞の極限において,Ｓ上のｊの外向き法線成分:ｊ_nが,

(1/4πＲ²)よりも急激にゼロに収束するとき,∫_Sｊ_nｄＳ →0

です。※)
 

正負両符号の振動数を持つKlein-Gordon方程式の平面波解

は体積Ｖの箱の中に粒子が丁度1個存在する,という規格化

では, 

ｆ_p^(＋)(ｘ)＝(2ω_pＶ)^-1/2exp(－iｐｘ),

ｆ_p^(－)(ｘ)＝(2ω_pＶ)^-1/2exp(iｐｘ) です。 

   ただし,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ),ω_p＝ｐ⁰＝(ｐ²＋μ²)^1/2＞0 です。

μはこの粒子の質量で,それ故,ｐ²＝ｐ_μｐ^μ

＝(ｐ⁰)²－ｐ²＝μ² が満たされています。
 

※(注2-1): 平面波の波動関数は,1粒子が箱に閉じ込められて 

いる場合には.箱の境界で.exp(±iｐｘ)＝0となるような離散的

な運動量ｐのみが許容されます。
 

　このとき,

Ｑ_ｐｐ'^(±)≡i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(±)(ｘ)] 

(複号同順)とおけば, Ｑ_ｐｐ' ^(±)＝±(2Ｖ)^-1(ｐ⁰ｐ'⁰)^-1/2

(ｐ'⁰＋ｐ⁰)(2ｐ⁰ｐ'⁰)exp{－(±)i(ｐ⁰－ｐ'⁰)ｔ} 

×∫_Ｖｄ³ｘexp{±i(ｐ－ｐ')ｘ} (複号同順)

となります。
 

これは,ｐ≠ｐ'のときには,exp{±i(ｐ－ｐ')ｘ}が箱の境界

ではゼロなので,Ｑ_ｐｐ' ^(±)＝0です。
 

一方,ｐ＝ｐ'のときにはｐ'⁰＝ｐ⁰で,

∫_Ｖｄ³ｘexp{±i(ｐ－ｐ')ｘ}＝Ｖなので,,

Ｑ_ｐｐ^(±)＝i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p^(±)(ｘ)]＝±1　

(複号同順)です。
 

つまり,カレント密度:ρ^(±)(ｘ)＝iｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p^(±)(ｘ)

の積分が,Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±1 (複号同順)と

なるようにｆ_p^(±)＊(ｘ)が規格化されています。
 

一般には,Ｑ_ｐｐ'^(±)＝±δ_ｐｐ'(複号同順)です。
 

また,すぐわかるように,負振動数(負エネルギー):－ｐ⁰＝－ω_p

の解,と正振動数(エネルギー):ｐ'⁰＝ω_p'の解,逆に正振動数:

ｐ'⁰＝ω_p'と,負振動数:－ｐ⁰＝－ω_pでの)解の内積を与える積分

はゼロです。
 

すなわち,i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(＋)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(－)(ｘ)] 

＝i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(―)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(＋)(ｘ)]＝0　です。
 

(注2-1終わり)※
 

有限な体積Ｖの箱の中に１粒子という規格化ではなく,

Ｖ→∞の極限の全空間に１粒子があって,平面波の一定運動量

ｐが箱の境界で消えるとか,周期的境界条件を満たすとかの

離散的量子化条件の必要がなく,ｐが如何なる連続的値をも

取り得るとした場合,

　Klein-Gordon方程式の平面波基本解は,

ｆ_p^(＋)(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_p)^-1/2exp(－iｐｘ), 

ｆ_p^(－)(ｘ)＝(2π)^-3/2 (2ω_p)^-1/2exp(iｐｘ)

で与えられます。
 

このとき,Ｑ_ｐｐ'^(±)≡∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)i∂₀^⇔ｆ_p'^(±)(ｘ)] 

について,Ｑ_ｐｐ'^(±)＝±δ³(ｐ－ｐ') (複号同順)になるという

デルタ関数式規格化を満たします。
 

また,i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(＋)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(－)(ｘ)] 

＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(―)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(＋)(ｘ)]＝0

です。
 

特に,Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±1　ではなく, 

Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖ＝∞ρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±∞であり,密度の総和

が有限ではないですから,正エネルギーのみ採用するとしても

直接,粒子の確率密度として扱えるものではありません。
 

したがって,これら完全な平面波ｆ_p^(±)(ｘ)自身は運動量ｐが

完全に特定されているため,Heisenbergの不確定性原理の意味

で逆に位置ｘは完全に不確定で目の前から無限に離れた宇宙

の果てまで,Ｖ＝∞の全空間に一様に拡がっていて,全く対等

な確率で(※実は1点の体積はゼロで,有限な確率密度で表現

される点での確率は体積に比例するため,確率ゼロで)どこに

でも存在しているという非現実的な粒子像にしか対応しません。
 

理想的な,まわ孤立していて一切力を受けない質点は常に一定

速度(一定運動量)で運動を続ける,というNewtonの「運動の

第一法則(慣性の法則)」に従う古典的な自由粒子像,

　つまり我々にとって常識的な特定軌道で運動する局在化 

した粒子を平面波で表現することはできません。
 

そこで,量子力学的には現実の空間に局在する自由粒子は運動量

ｐが完全に一定に特定されているわけではなく,何らかのゆらぎ

幅:Δｐでもって,わずかに拡がった謂わゆる重ね合わせ波束

(wave-Packet)の形で存在するとします。
 

正振動数の波のみからなる粒子(波束)を, 

φ_＋(ｘ)≡∫_Δｐ[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐで表現します。
 

こうすれば,Ｑ_＋＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ_＋^＊(ｘ)∂₀^⇔φ_＋(ｘ)] 

＝∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_＋(ｐ)|²と書けます。

　　Ｑ_＋は正定置(有限な正の数)ですから,

Ｑ_＋＝∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_＋(ｐ)|²＝＋1となるように係数:

ａ_＋(ｐ)を規格化しておけば,

φ_＋(ｘ)＝∫_Δｐ[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐは,運動量ｐの

平面波を運動量確率密度:|ａ_＋(ｐ)|²で重ね合わせらた波で

あると解釈することが可能です。
 

しかしながら,同様に負振動数の波のみからなる粒子(波束)を, 

φ_－(ｘ)＝∫_Δｐ[ａ_－(ｐ)ｆ_p^(－)(ｘ)]ｄ³ｐで定義し, 

Ｑ_－≡i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ_－^＊(ｘ)∂₀^⇔φ_－(ｘ)]とすれば, 

Ｑ_－＝－∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_－(ｐ)|²となって,Ｑ_－＜0ですから,

単純な確率解釈は困難となります。
 

ここに,Klein=Gordon方程式の解に対する確率解釈にとっての困難

が凝縮されています。
 

何故なら,Dirac方程式の解のときにも見たように,通常の粒子

を示す波動関数＝波動方程式の解φ(ｘ):今の場合なら,

Klein-Gordon方程式の一般解φ(ｘ)は,正振動数の平面波だけ

ではなく負振動数の平面波と混合した重ね合わせで与えられ,

その粒子の全空間での存在確率(＝＋1)と解釈したい量: 

Ｑ＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ^＊(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ)]は正にも負にも成り

得るからです。
 

直感的解釈の是非は後回しにして,Klein-Gordon方程式

のFeynman伝播関数(Feynman^ｐropagator):Δ_Ｆ(ｘ－ｙ)

を見つけたいと思います。
 

(※前回の再掲記事終了)
 

さて,Klein-Gordon方程式のFeynman伝播関数をΔ_Ｆ(ｘ)と

書くと,これは,(□＋μ²)Δ(x―ｙ)＝－δ⁴(ｘ―ｙ)

を満たす,Green関数:Δ(x)のうちで遅延Green関数,

先進Green関数という伝播関数の境界条件を満たすもの 

です。
 

Δ(x)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4Δ^(ｐ)exp(－iｐｘ)と,Fourier積分表示

をすると,(□＋μ²)Δ(x)＝－δ⁴(ｘ)は,

(－ｐ²＋μ²)Δ^(ｐ)＝－1を意味します。
 

したがって,ｐ²≠μ²ならΔ^(ｐ)＝1/(ｐ²－μ²)です。
 

ここで,前に,

Dirac方程式:[iγ^μ∂_μ)ｍ]Ｓ_F(ｘ－ｙ)＝δ⁴(ｘ－ｙ)

を満たす,質量ｍ,スピン1/2のDirac粒子の伝播関数:

Ｓ_Ｆ(ｘ)が, 

Ｓ_Ｆ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp(－iｐｘ)/(ｐ－ｍ＋iε),

(ｐ≡γ^μｐ_μ)で与えられたのと同じく,
 

Δ_Ｆ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp(－iｐｘ)/(ｐ²－μ²＋iε)

としてみます。
 

すると,分母に付加された微小な純虚数iε(ε＝＋0)のため,

正振動数(正エネルギー)の波のみが時間の順方向(未来)へと

進み,負振動数(負エネルギー)の波は時間の逆方向(過去)に

伝播するという,まさに望ましい境界条件を満たすことが

保証されます。
 

Bjorken－DrellのテキストのMechanicsの第6章 伝播関数

の理論；本ブログでは,2010年5/24の記事

「散乱の伝播関数の理論(7)」でも論じたように,iεの

おかげで分母をゼロとする極を避ける外周上の積分と

同一視された結果,上記性質を持つような伝播関数と

できる他の適切なやり方は存在しません。
 

※(注2－2):上記のことの説明です。 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4[[exp{－iｐ(ｘ―ｘ₀)}/(ｐ²－μ²＋iε) 

＝∫_-∞^∞ｄＥ[exp{－ｉＥ(ｔ－ｔ₀)}

∫ｄ³ｐ[exp{iｐ(ｘ―ｘ₀)}]

/[{Ｅ－(ω_p－iε)}{Ｅ－(－ω_p＋iε)}]；

ω_p＝(ｐ²＋μ²)^1/2と書けます。
 

Ｅ＝ｐ₀を複素数とする複素Ｅ平面で,ｔ＞ｔ₀のときは

∫_-∞^∞ｄＥの積分路を実軸:(－∞,∞)に半径∞の下半円を

時計周りに進む経路を加えた閉じた外周Ｃ_＋上の積分と

見なします。
 

下半円上では,Ｅ＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(cosθ＋isinθ)

(θ:π→2π)より,

exp{－ｉＥ(ｔ－ｔ₀)}＝exp{－iＲcosθ(ｔ－ｔ₀)}

exp{Ｒsinθ(ｔ－ｔ₀)}　です。
 

π≦θ≦2πで,ｔ＞ｔ₀のときは,θ＝π,θ＝2πで

sinθ(ｔ－ｔ₀)＝0 となる他は常にsinθ(ｔ－ｔ₀)＜0

なので,Ｒ→∞でexp{Ｒsinθ(ｔ－ｔ₀)}は急激にゼロとなる

ため.非積分関数や積分路の長さπＲが掛かっても積分への

寄与はゼロです。

　　実質上,積分路が実軸のみの場合と積分の結果は一致する

と考えられるため,この積分路の変更が有効なわけです。
 

分母の2つの極:Ｅ＝ω_p－iεとＥ＝－ω_p＋iεのうち,この閉路

Ｃ_＋の中にあるのは,Ｅ＝ω_p－iεのみです。

　留数定理から。 

∫_C＋ｄＥ[exp{－ｉＥ(ｔ－ｔ₀)}

/[{Ｅ－(ω_p－iε)}{Ｅ－(－ω_p＋iε)}]

＝－(2πi)exp{－ｉω_p(ｔ－ｔ₀)/(2ω_p)　です。
 

(※Ｃ_＋をまわる経路の向きが時計回りで,負の向きなので

符号(―)が付加されます。)
 

故に,ｔ＞ｔ₀なら, 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3

[exp{－iω_p(ｔ－ｔ₀)＋iｐ(ｘ―ｘ₀)}]/(2ω_p) 

;ω_p＝(ｐ²＋μ²)^1/2と書けます。
 

同様に,ｔ＜ｔ₀なら,実軸に反時計周り(正の向き)の上半円を 

加えた外周Ｃ_－を与えて,Ｅ＝－ω_p＋iεを留数として,

∫_C-ｄＥから,(2πi)exp{－iω_p(ｔ－ｔ₀)/(－2ω_p)であり, 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3

[exp{ｉω_p(ｔ－ｔ₀)＋iｐ(ｘ―ｘ₀)}]/(2ω_p) 

を得ます。

いずれにしろ, Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{―ｉｐ(ｘ―ｘ₀)}]/(2ω_p) 

なる形であって,

ｔ＞ｔ₀ならｐ⁰＝ω_p＝(ｐ²＋μ²)^1/2(正エネルギー)で,未来

への伝播の遅延波,

ｔ＜ｔ₀なら

ｐ⁰＝－ω_p＝－(ｐ²＋μ²)^1/2(負エネルギー)で過去へ伝播の先進波

という違いがあるだけです。
 

(注20-2終わり)※
 

Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)

＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4[exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}/(ｐ²－μ²＋iε) 

が正しいFeynman伝播関数:Δ_Fを与えることがわかりました。
 

これは,Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ{ｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)＊(ｘ₀)}θ(ｔ－ｔ₀) 

－i∫ｄ³ｐ{ｆ_p^(－)(ｘ)ｆ_p^(－)＊(ｘ₀)}θ(ｔ－ｔ₀) 

あるいは, 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝－i∫ｄ³ｐ{θ(ｔ－ｔ₀)ｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)＊(ｘ₀) 

＋{θ(ｔ－ｔ₀)ｆ_p^(－)(ｘ)ｆ_p^(－)＊(ｘ₀)}  

と表現されます。

　　前に正振動数の波束を, φ_＋(ｘ)＝∫[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐ,

負振動数の波束を.φ_－(ｘ)＝∫[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(―)(ｘ)]ｄ³ｐと

書きましたが一般のスピンゼロ粒子の波動関数φ(ｘ)は,これらの和, 

φ(ｘ)＝φ_＋(ｘ)＋φ_＋(ｘ)で与えられます。
 

Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)は時刻:ｔ＝ｔ₀に,ｘ＝ｘ₀にある波:φ(ｘ₀)＝φ(ｘ₀,ｔ₀) 

の正振動数部分のみを時間の順方向(未来:ｔ＞ｔ₀)へと伝播させて, 

－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ,ｔ) 

＝∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀)　を成立させ,
 

他方,負振動数部分のみを時間の逆方向(過:ｔ＜t₀)へと伝播

させて,－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_－(ｘ,ｔ) 

＝―∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_－(ｘ₀,ｔ₀)　を成立

させます。
 

これらは直接計算によって確かめることができます。
 

これは,第7章:本ブログでは「散乱の伝播関数の理論（9）」

で見たように,Dirac方程式に従うスピン1/2粒子の伝播関数:

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)が. 

θ(ｔ－ｔ₀)ψ_＋(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ_＋(ｘ₀,ｔ₀) 

θ(ｔ₀－ｔ)ψ_－(ｘ,ｔ)＝－i∫ｄ³ｘ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ_－(ｘ₀,ｔ₀) 

なる式を満たしたのとは僅かに形が違いますが,伝播関数として

同義であることが,すぐわかります。
 

※(注20-3):直接計算です。

∫ｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)i∂₀^⇔ｆ_p'^(±)(ｘ)]＝±δ³(ｐ－ｐ')

(複号同順)から, 

∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(±)(ｘ)ｆ_p^(±)＊(ｘ₀)i∂₀^⇔φ_±(ｘ₀)  

＝∫ｄ³ｐ∫ｄ³ｐ'ｆ_p'^(±)(ｘ)ａ_±(ｐ')

∫ｄ³ｘ₀ｆ_p^(±)＊(ｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0ｆ_ｐ’ ^(±)(ｘ₀) 

＝∫ｄ³ｐ∫ｄ³ｐ’ｆ_p^(±)(ｘ) ａ_±(ｐ'){±δ³(ｐ－ｐ')} 

＝±∫ｄ³ｐｆ_p^(±)(ｘ)ａ_±(ｐ)＝φ_±(ｘ)　(複号同順)
 

また,∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)＊(ｘ₀)

i∂₀^⇔φ_―(ｘ₀)＝∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(―)(ｘ)ｆ_p^(―)＊(ｘ₀)

i∂₀^⇔φ_＋(ｘ₀)＝0 が成立するのは明らかです。

よって,－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ,ｔ) 

＝∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀),かつ, 

－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_－(ｘ,ｔ) 

＝―∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_－(ｘ₀,ｔ₀) 

の成立は証明されました。
 

さらに,Klein-Gordon演算子:□＋μ²を形式的に, 

□＋μ²＝∂²/∂ｔ²―∇²＋μ²＝－[{i(∂/∂ｔ)}²－{(-i∇)²＋μ²}] 

＝－[{i(∂/∂ｔ)}²－Ｈ₀(ｘ)²]　と書くと,
 

□＋μ²＝－[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)][i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]より, 

(□＋μ²)Δ_F(ｘ－ｘ₀) 

＝－[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)][i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]

Δ_F(ｘ－ｘ₀) ＝－δ⁴(ｘ－ｘ₀)　です。
 

そこで,Ｇ(ｘ－ｘ₀)≡[i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]Δ_F(ｘ－ｘ₀)

と置けば,[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)]Ｇ(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)

です。
 

直感的な伝播関数＝遅延Green関数の理論で波動関数自由粒子

の波動関数Φが,Schroebinger方程式:i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φ満たす

系の伝播関数を,[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)]Ｇ(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)

を満たすGreen関数:Ｇ(ｘ－ｘ₀)とするとき, 

 θ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ)＝i∫ｄ³ｘ₀Ｇ(ｘーｘ₀)φ_＋(ｘ₀)

なる式を得ましたが,

　これのアナロジーで,―iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ) 

＝∫ｄ³ｘ₀[i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]Δ_F(ｘ－ｘ₀)φ_＋(ｘ₀)

と書けるはずです。
　 

　実際:右辺＝∫ｄ³ｘ₀[i(∂/∂ｔ)Δ_F(ｘ－ｘ₀)]φ_＋(ｘ₀) 

＋∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐ[ω_pｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)(ｘ₀)

∫ｄ³ｐ'ｆ_p'^(＋)(ｘ₀)ａ_＋(ｐ')]　ですが,
 

右辺第2項＝∫ｄ³ｐ∫ｄ³ｐ'[(1/2)(ω_p/ω_p')^1/2

ｆ_p^(＋)(ｘ)exp{－i(ω_p'－ω_p)ｔ₀}δ³(ｐ－ｐ')ａ_＋(ｐ')]

＝(1/2)∫ｄ³ｐａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)＝φ_＋(ｘ)/2　です。
 

右辺第1項＝∫ｄ³ｘ₀[i(∂/∂ｔ)Δ_F(ｘ－ｘ₀)]φ_＋(ｘ₀) 

＝∫ｄ³ｘ₀[－i(∂/∂ｔ₀)Δ_F(ｘ－ｘ₀)]φ_＋(ｘ₀) 

＝∫ｄ³ｘ₀[Δ_F(ｘ－ｘ₀)]i{∂φ_＋(ｘ₀)/∂ｔ₀)} 

＝∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)(ｘ₀) 

∫ｄ³ｐ'[ω_p’ｆ_p'^(＋)(ｘ₀)ａ_＋(ｐ')]
 

これは結局, φ_＋(ｘ)/2＝右辺第2項に一致します。
 

したがって,－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ,ｔ) 

＝∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀)

なる表現が,かつて直感的論議から出発して得られた, 

θ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ)＝i∫ｄ³ｘ₀Ｇ(ｘーｘ₀)φ_＋(ｘ₀) 

なる表現に同値と考えられます。
 

(注20-3終わり)※
 

ブログの特徴ではありますが,冗長な注釈が続いて長くなり過ぎたので 

ここで一旦切ります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)