クライン・ゴルドン方程式(3)

Klein-Gordon eq.の続きです。

　次の,荷電スピンゼロ粒子が電磁場と相互作用する場合

の項目に移ります。
 

§9.3 電磁ポテンシャルの導入 

(Introduction of Electromagnetic Potentials)
 

アイソスピンがゼロでスピンもゼロの中間子の電磁場との

相互作用は,これまでと同じく,極小相互作用変換:

ｐ^^μ→ｐ^^μ－ｅＡ^μ(ｘ) (ｐ^^μ≡i∂^μ)によって導入されます。
 

ただし,電磁場Ａ^μ(ｘ)は,今対象としているスピンゼロの粒子 

が相互作用する電磁波の量子＝光子を示す場の演算子では 

なくて,今のところは,謂わゆる外場のポテンシャル:ｃ数 

であるとします。

　そして,ｅは対象粒子の電荷,Ａ^μ(ｘ)は,普通の実数値

の場です。
 

自由粒子のKlein-Gordon方程式:(□＋μ²)φ(ｘ)＝0を, 

[(i∂_μ)(i∂^μ)＋μ²]φ(ｘ)＝0と書けば,極小変換で 

電磁場Ａ^μ(ｘ)と相互作用する場合の粒子が満たす

基本方程式は, 

は,[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ_μ)＋μ²]φ(ｘ)＝0 

となります。
 

この両辺の複素共役を取れば.φ^＊(ｘ)に対する方程式: 

[(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(i∂^μ＋ｅＡ^μ)＋μ²]φ^＊(ｘ)＝0

を得ます。
 

　電磁カレントは,Ａ^μがないいときの

　ｊ_μ＝φ^＊i∂_μφ－φi∂_μφ^＊の代わりに機械的に, 

　ｊ_μ＝[φ^＊(i∂_μ－ｅＡ_μ)φ－φ(i∂_μ＋ｅＡ_μ)φ^＊]

 とすると,これは確かに,保存則∂_μｊ^μ＝0を満たします。
 

　そこで,Ｑ(ｔ)≡∫ｄ³ｘρ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｘｊ⁰(ｘ) 

　＝i∫ｄ³ｘ(φ^＊(∂₀^⇔φ)－2ｅＡ⁰)φと置けば,

　ｄＱ/ｄｔ＝0です。
 

※(注3－1):実際,i∂_μｊ^μ

＝i∂_μ[φ^＊(i∂^μ－ｅＡ^μ)φ－φ(i∂^μ＋ｅＡ^μ)φ^＊] 

＝－ｅＡ^μφi∂_μφ^＊－ｅＡ^μφ^＊i∂_μφ 

＋φ^＊{(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²}φ 

－φ(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(i∂^μ＋ｅＡ^μ)－μ²}φ^＊ 

＋φ^＊ｅＡ_μ(i∂^μ－ｅＡ^μ)φ

＋φｅＡ_μ(i∂^μ＋ｅＡ^μ)φ^＊＝0　です。　　

　　　(注3-1終わり)※
 

　　散乱において入射する荷電中間子を示す平面波:φ_inは,

 このポテンシャル:Ａ^μで散乱されて,

　　[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²]φ(ｘ)＝0

 の解:φで与えられる振幅(波動関数)となります。
 

　正振動数の波だけが時間的未来に散乱され,負振動数

　の波は過去に散乱されるという境界条件を採用して, 

　[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)―μ²]φ(ｘ)＝0を,

　Feynman伝播関数(Propagator):Δ_Fを用いて積分します。
 

　すなわち,

　[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²]φ(ｘ)＝0は. 

(□＋μ²)φ＝－iｅ(∂_μＡ^μ＋Ａ_μ∂^μ)φ＋ｅ²Ａ_μＡ^μφ

を意味するため,
 

Ｖ^(ｘ)＝iｅ(∂_μＡ^μ(ｘ)＋Ａ_μ(ｘ)∂^μ)－ｅ²Ａ_μ(ｘ)Ａ^μ(ｘ) 

と定義すると,方程式は(□＋μ²)φ(ｘ)＝－Ｖ^(ｘ)φ(ｘ)

と書けるので,

　これの形式的な解(※単に積分方程式形)として, 

φ(ｘ)＝φ_in(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

を得ます。
 

※(注3－2):何故なら,(□＋μ²)φ_in(ｘ)＝0であり,

かつ,(□＋μ²)Δ_F(ｘ－ｙ)＝－δ⁴(ｘ－ｙ)なので, 

(□＋μ²)∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

＝－∫ｄ⁴ｙδ⁴(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ)

＝－Ｖ^(ｘ)φ(ｘ)　より, 

(□＋μ²)φ(ｘ)＝－Ｖ^(ｘ)φ(ｘ)

が成立します。
　 

さらに, 別の観点で考察します。

[□＋μ²＋Ｖ^(ｘ)]φ(ｘ)＝0 のFeynman伝播関数: 

Δ_F~を,[□＋μ²＋Ｖ^(ｘ)]Δ_F~(ｘ－ｙ)＝－δ⁴(ｘ－ｙ) 

を満たし,然るべき境界条件を有するGreen関数と定義すると,
 

(□＋μ²)Δ_F~(ｘ－ｘ₀)

＝－δ⁴(ｘ－ｘ₀)－Ｖ^(ｘ)]Δ_F~(ｘ－ｘ₀) 

＝∫ｄ⁴ｙδ⁴(ｘ－ｙ)[－δ⁴(ｙ－ｘ₀)－Ｖ^(ｙ]Δ_F~(ｙ－ｘ₀) 

＝(□＋μ²)[Δ_F(ｘ－ｘ₀)

＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ]Δ_F~(ｙ－ｘ₀) 

が成立します。

これは結局, 

Δ_F~(ｘ－ｘ₀)

＝Δ_F(ｘ－ｘ₀)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)Δ_F~(ｙ－ｘ₀) 

の成立を意味します。
 

自由粒子の平面波の解:φⁱⁿ(ｘ)＝φ_in＋(ｘ)＋φ_in－(ｘ) 

については,ｔ＞ｔ₀で 

φ_in＋(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_in＋(ｘ₀,ｔ₀)

ｔ＜ｔ₀で 

 φ_in－(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_in－(ｘ₀,ｔ₀) 

と表現できました。
 

電磁場A_μがあるときにも,仮に自由粒子の平面波の集まり

と同じく,正振動数の波φ_＋と負振動数の波φ_－というもの

が定義可能で,φ(ｘ)＝φ_＋(ｘ)＋φ_－(ｘ)とそれらの和に

分割できるなら,
 

ｔ＞ｔ₀で 

φ_＋(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Δ~_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀) 

ｔ＜ｔ₀で 

φ_－(ｘ,ｔ)＝－i∫ｄ³ｘ₀Δ~_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_―(ｘ₀,ｔ₀) 

と書けと予想されます。

　しかし,むしろ,これらの右辺で与えられるものを,それぞれ,

 φ_＋(ｘ),φ_－(ｘ)と定義します。
 

　すると,Δ_F~(ｘ－ｘ₀)＝Δ_F(ｘ－ｘ₀)

＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)Δ_F~(ｙ－ｘ₀)によって,

 φ(ｘ)＝φ_＋(ｘ)＋φ_－(ｘ)は,

 φ(ｘ) ＝φ_in(ｘ)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

　と表わされるわけです。　

　(注3－2終わり)※
 

　このφ(ｘ) ＝φ_in(ｘ)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

　は,Dirac粒子における 

　Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ) 

のアナロジーであり, 

  解の物理的解釈は,その際に電子に対して与えられたものと

酷似しています。
 

散乱後の未来において,正エネルギー粒子を表わす正振動数

の波のみが出現することを保証するため,  

φ(ｘ) ＝φ_in(ｘ)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

でFeynman伝播関数を伴なった形に積分しました。

　これは,Φ(ｘ,ｔ)＝φ_in(ｘ)

＋i∫ｄ³ｐｆ_p^(＋)(ｘ)∫ｄ⁴ｙθ(ｔ－ｙ₀)ｆ_p^(＋)＊(ｙ)

Ｖ^(ｙ)φ(ｙ)－i∫ｄ³ｐｆ_p^(－)(ｘ)∫ｄ⁴ｙ

θ(ｙ₀－ｔ)ｆ_p^(－)＊(ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ)と

書けます。
 

この式はまた,負振動数の波として過去に伝播するはもの

を含んでいます。
 

　しかし,自分の装置で注視している観測者の見地で

見ると電荷がｅの負エネルギー粒子の過去におけう吸収

は,電荷が－ｅの正エネルギー粒子のその時点での放出

に等価です。
 

　その意味で自然界の各粒子には,反対に荷電した反粒子

が存在する,という基本的な,そして実験的に証明すること

のできる予言へと誘導されます。
 

しかし,ある粒子は電荷を持たないかも知れません。

そのケースには,それ自身の反粒子を持たないかも

知れません。

　そうした1つの例は中性でスピンがゼロのπ中間子:π⁰です。
 

これは荷電π中間子とほぼ同じ質量μを持つけれど,

電磁相互作用Ａ^μが関わる方程式:

[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)＋μ²]φ(ｘ)＝0 

を満たさない,というより,ｅ＝0の場合の方程式を

満たします。

自由π⁰中間子に対する伝播関数は前節で導入した荷電π

中間子の場合と完全に同様にろんじることができます。

　　荷電π中間子に対して定義したカレントの第ゼロ成分の

空間積分Ｑはπ⁰中間子では消えるためこの粒子は自由な

Klein-Gordon方方程式のφ^＊＝φを満たす実解:φによって

表現されます。
 

　そして,その正振動数解は未来へ負振動数解は過去へ

と伝播するというFeynmanの解釈に従います。

　(※π⁰の反粒子はπ⁰自身です。)
 

　いつもよりかなり短かいですが今日は,ここで

終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)