クライン・ゴルドン方程式(3)

Klein-Gordon eq.の続きです。

　次の,荷電スピンゼロ粒子が電磁場と相互作用する場合

の項目に移ります。
 

§9.3 電磁ポテンシャルの導入 

(Introduction of Electromagnetic Potentials)
 

アイソスピンがゼロでスピンもゼロの中間子の電磁場との

相互作用は,これまでと同じく,極小相互作用変換:

ｐ^^μ→ｐ^^μ－ｅＡ^μ(ｘ) (ｐ^^μ≡i∂^μ)によって導入されます。
 

ただし,電磁場Ａ^μ(ｘ)は,今対象としているスピンゼロの粒子 

が相互作用する電磁波の量子＝光子を示す場の演算子では 

なくて,今のところは,謂わゆる外場のポテンシャル:ｃ数 

であるとします。

　そして,ｅは対象粒子の電荷,Ａ^μ(ｘ)は,普通の実数値

の場です。
 

自由粒子のKlein-Gordon方程式:(□＋μ²)φ(ｘ)＝0を, 

[(i∂_μ)(i∂^μ)＋μ²]φ(ｘ)＝0と書けば,極小変換で 

電磁場Ａ^μ(ｘ)と相互作用する場合の粒子が満たす

基本方程式は, 

は,[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ_μ)＋μ²]φ(ｘ)＝0 

となります。
 

この両辺の複素共役を取れば.φ^＊(ｘ)に対する方程式: 

[(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(i∂^μ＋ｅＡ^μ)＋μ²]φ^＊(ｘ)＝0

を得ます。
 

　電磁カレントは,Ａ^μがないいときの

　ｊ_μ＝φ^＊i∂_μφ－φi∂_μφ^＊の代わりに機械的に, 

　ｊ_μ＝[φ^＊(i∂_μ－ｅＡ_μ)φ－φ(i∂_μ＋ｅＡ_μ)φ^＊]

 とすると,これは確かに,保存則∂_μｊ^μ＝0を満たします。
 

　そこで,Ｑ(ｔ)≡∫ｄ³ｘρ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｘｊ⁰(ｘ) 

　＝i∫ｄ³ｘ(φ^＊(∂₀^⇔φ)－2ｅＡ⁰)φと置けば,

　ｄＱ/ｄｔ＝0です。
 

※(注3－1):実際,i∂_μｊ^μ

＝i∂_μ[φ^＊(i∂^μ－ｅＡ^μ)φ－φ(i∂^μ＋ｅＡ^μ)φ^＊] 

＝－ｅＡ^μφi∂_μφ^＊－ｅＡ^μφ^＊i∂_μφ 

＋φ^＊{(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²}φ 

－φ(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(i∂^μ＋ｅＡ^μ)－μ²}φ^＊ 

＋φ^＊ｅＡ_μ(i∂^μ－ｅＡ^μ)φ

＋φｅＡ_μ(i∂^μ＋ｅＡ^μ)φ^＊＝0　です。　　

　　　(注3-1終わり)※
 

　　散乱において入射する荷電中間子を示す平面波:φ_inは,

 このポテンシャル:Ａ^μで散乱されて,

　　[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²]φ(ｘ)＝0

 の解:φで与えられる振幅(波動関数)となります。
 

　正振動数の波だけが時間的未来に散乱され,負振動数

　の波は過去に散乱されるという境界条件を採用して, 

　[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)―μ²]φ(ｘ)＝0を,

　Feynman伝播関数(Propagator):Δ_Fを用いて積分します。
 

　すなわち,

　[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²]φ(ｘ)＝0は. 

(□＋μ²)φ＝－iｅ(∂_μＡ^μ＋Ａ_μ∂^μ)φ＋ｅ²Ａ_μＡ^μφ

を意味するため,
 

Ｖ^(ｘ)＝iｅ(∂_μＡ^μ(ｘ)＋Ａ_μ(ｘ)∂^μ)－ｅ²Ａ_μ(ｘ)Ａ^μ(ｘ) 

と定義すると,方程式は(□＋μ²)φ(ｘ)＝－Ｖ^(ｘ)φ(ｘ)

と書けるので,

　これの形式的な解(※単に積分方程式形)として, 

φ(ｘ)＝φ_in(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

を得ます。
 

※(注3－2):何故なら,(□＋μ²)φ_in(ｘ)＝0であり,

かつ,(□＋μ²)Δ_F(ｘ－ｙ)＝－δ⁴(ｘ－ｙ)なので, 

(□＋μ²)∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

＝－∫ｄ⁴ｙδ⁴(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ)

＝－Ｖ^(ｘ)φ(ｘ)　より, 

(□＋μ²)φ(ｘ)＝－Ｖ^(ｘ)φ(ｘ)

が成立します。
　 

さらに, 別の観点で考察します。

[□＋μ²＋Ｖ^(ｘ)]φ(ｘ)＝0 のFeynman伝播関数: 

Δ_F~を,[□＋μ²＋Ｖ^(ｘ)]Δ_F~(ｘ－ｙ)＝－δ⁴(ｘ－ｙ) 

を満たし,然るべき境界条件を有するGreen関数と定義すると,
 

(□＋μ²)Δ_F~(ｘ－ｘ₀)

＝－δ⁴(ｘ－ｘ₀)－Ｖ^(ｘ)]Δ_F~(ｘ－ｘ₀) 

＝∫ｄ⁴ｙδ⁴(ｘ－ｙ)[－δ⁴(ｙ－ｘ₀)－Ｖ^(ｙ]Δ_F~(ｙ－ｘ₀) 

＝(□＋μ²)[Δ_F(ｘ－ｘ₀)

＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ]Δ_F~(ｙ－ｘ₀) 

が成立します。

これは結局, 

Δ_F~(ｘ－ｘ₀)

＝Δ_F(ｘ－ｘ₀)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)Δ_F~(ｙ－ｘ₀) 

の成立を意味します。
 

自由粒子の平面波の解:φⁱⁿ(ｘ)＝φ_in＋(ｘ)＋φ_in－(ｘ) 

については,ｔ＞ｔ₀で 

φ_in＋(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_in＋(ｘ₀,ｔ₀)

ｔ＜ｔ₀で 

 φ_in－(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_in－(ｘ₀,ｔ₀) 

と表現できました。
 

電磁場A_μがあるときにも,仮に自由粒子の平面波の集まり

と同じく,正振動数の波φ_＋と負振動数の波φ_－というもの

が定義可能で,φ(ｘ)＝φ_＋(ｘ)＋φ_－(ｘ)とそれらの和に

分割できるなら,
 

ｔ＞ｔ₀で 

φ_＋(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Δ~_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀) 

ｔ＜ｔ₀で 

φ_－(ｘ,ｔ)＝－i∫ｄ³ｘ₀Δ~_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_―(ｘ₀,ｔ₀) 

と書けと予想されます。

　しかし,むしろ,これらの右辺で与えられるものを,それぞれ,

 φ_＋(ｘ),φ_－(ｘ)と定義します。
 

　すると,Δ_F~(ｘ－ｘ₀)＝Δ_F(ｘ－ｘ₀)

＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)Δ_F~(ｙ－ｘ₀)によって,

 φ(ｘ)＝φ_＋(ｘ)＋φ_－(ｘ)は,

 φ(ｘ) ＝φ_in(ｘ)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

　と表わされるわけです。　

　(注3－2終わり)※
 

　このφ(ｘ) ＝φ_in(ｘ)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

　は,Dirac粒子における 

　Ψ(ｘ)＝ψ(ｘ)＋ｅ∫ｄ⁴ｙＳ_F(ｘ－ｙ)γ_μＡ^μ(ｙ)Ψ(ｙ) 

のアナロジーであり, 

  解の物理的解釈は,その際に電子に対して与えられたものと

酷似しています。
 

散乱後の未来において,正エネルギー粒子を表わす正振動数

の波のみが出現することを保証するため,  

φ(ｘ) ＝φ_in(ｘ)＋＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

でFeynman伝播関数を伴なった形に積分しました。

　これは,Φ(ｘ,ｔ)＝φ_in(ｘ)

＋i∫ｄ³ｐｆ_p^(＋)(ｘ)∫ｄ⁴ｙθ(ｔ－ｙ₀)ｆ_p^(＋)＊(ｙ)

Ｖ^(ｙ)φ(ｙ)－i∫ｄ³ｐｆ_p^(－)(ｘ)∫ｄ⁴ｙ

θ(ｙ₀－ｔ)ｆ_p^(－)＊(ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ)と

書けます。
 

この式はまた,負振動数の波として過去に伝播するはもの

を含んでいます。
 

　しかし,自分の装置で注視している観測者の見地で

見ると電荷がｅの負エネルギー粒子の過去におけう吸収

は,電荷が－ｅの正エネルギー粒子のその時点での放出

に等価です。
 

　その意味で自然界の各粒子には,反対に荷電した反粒子

が存在する,という基本的な,そして実験的に証明すること

のできる予言へと誘導されます。
 

しかし,ある粒子は電荷を持たないかも知れません。

そのケースには,それ自身の反粒子を持たないかも

知れません。

　そうした1つの例は中性でスピンがゼロのπ中間子:π⁰です。
 

これは荷電π中間子とほぼ同じ質量μを持つけれど,

電磁相互作用Ａ^μが関わる方程式:

[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)＋μ²]φ(ｘ)＝0 

を満たさない,というより,ｅ＝0の場合の方程式を

満たします。

自由π⁰中間子に対する伝播関数は前節で導入した荷電π

中間子の場合と完全に同様にろんじることができます。

　　荷電π中間子に対して定義したカレントの第ゼロ成分の

空間積分Ｑはπ⁰中間子では消えるためこの粒子は自由な

Klein-Gordon方方程式のφ^＊＝φを満たす実解:φによって

表現されます。
 

　そして,その正振動数解は未来へ負振動数解は過去へ

と伝播するというFeynmanの解釈に従います。

　(※π⁰の反粒子はπ⁰自身です。)
 

　いつもよりかなり短かいですが今日は,ここで

終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)

クライン・ゴルドン方程式(2)

Klein-Gordon eq.の続きです。

　この項目の前回記事は,ほとんどがブログを書くモチベーションなどの

余談と,§9.1序文の,主として１度は捨てたKlein-Gordon方程式

の復活の意味と,その解釈の論議に集中して,本題はわずかな

モノだったので,

　もう１度§9.2の最初から再掲載して,続けたいと思います。
 

§9.2 Klein-Gordon粒子に対する伝播関数 

(The Propagator for Klein-Gordon Particles)
 

 Klein-Gordon方程式:(□＋μ²)φ(ｘ)＝0 の解φ(ｘ)は, 

ずっと前に誘導されたように,連続の方程式を満たします。
 

すなわち,カレント:ｊ_μ＝i(φ^＊∂_μφ－φ∂_μφ^＊)；

∂_μ≡∂/∂ｘ^μ,に対して,∂_μｊ^μ＝0 ((∂ρ/∂ｔ)＋∇ｊ＝0)

が成立します。
 

(※何故なら, ∂_μｊ^μ＝i∂_μ(φ^＊∂^μφ－φ∂^μφ^＊) 

＝iφ^＊(□＋μ²)φ－iφ(□＋μ²)φ^＊＝0　となる

からです。※)
 

Ｑ(ｔ)≡∫ｄ³ｘρ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｘｊ₀(ｘ)

＝i∫ｄ³ｘ(φ^＊∂₀^⇔φ) 

(※ただし,ａ∂₀^⇔ｂ≡ａ(∂ｂ/∂ｔ)－(∂ａ/∂ｔ)ｂ　※) 

とすれば,∂_μｊ^μ＝0とGaussの定理から,Ｑは保存します。
 

そこで,Ｑ(ｔ)は,ｔをはずして単にＱと書いてもいいです。
 

(※何故なら,ｄＱ/ｄｔ＝∫_Vｄ³ｘ(∂ρ/∂ｔ)

＝－∫_Vｄ³ｘ(∇ｊ)＝－∫_Sｊ_nｄＳ＝0です。

ただし,ＶはＱがゼロでない全空間領域,Ｓはその閉じた

境界面領域(半径:Ｒ)です。
 

Ｒ→∞の極限において,Ｓ上のｊの外向き法線成分:ｊ_nが,

(1/4πＲ²)よりも急激にゼロに収束するとき,∫_Sｊ_nｄＳ →0

です。※)
 

正負両符号の振動数を持つKlein-Gordon方程式の平面波解

は体積Ｖの箱の中に粒子が丁度1個存在する,という規格化

では, 

ｆ_p^(＋)(ｘ)＝(2ω_pＶ)^-1/2exp(－iｐｘ),

ｆ_p^(－)(ｘ)＝(2ω_pＶ)^-1/2exp(iｐｘ) です。 

   ただし,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ),ω_p＝ｐ⁰＝(ｐ²＋μ²)^1/2＞0 です。

μはこの粒子の質量で,それ故,ｐ²＝ｐ_μｐ^μ

＝(ｐ⁰)²－ｐ²＝μ² が満たされています。
 

※(注2-1): 平面波の波動関数は,1粒子が箱に閉じ込められて 

いる場合には.箱の境界で.exp(±iｐｘ)＝0となるような離散的

な運動量ｐのみが許容されます。
 

　このとき,

Ｑ_ｐｐ'^(±)≡i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(±)(ｘ)] 

(複号同順)とおけば, Ｑ_ｐｐ' ^(±)＝±(2Ｖ)^-1(ｐ⁰ｐ'⁰)^-1/2

(ｐ'⁰＋ｐ⁰)(2ｐ⁰ｐ'⁰)exp{－(±)i(ｐ⁰－ｐ'⁰)ｔ} 

×∫_Ｖｄ³ｘexp{±i(ｐ－ｐ')ｘ} (複号同順)

となります。
 

これは,ｐ≠ｐ'のときには,exp{±i(ｐ－ｐ')ｘ}が箱の境界

ではゼロなので,Ｑ_ｐｐ' ^(±)＝0です。
 

一方,ｐ＝ｐ'のときにはｐ'⁰＝ｐ⁰で,

∫_Ｖｄ³ｘexp{±i(ｐ－ｐ')ｘ}＝Ｖなので,,

Ｑ_ｐｐ^(±)＝i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p^(±)(ｘ)]＝±1　

(複号同順)です。
 

つまり,カレント密度:ρ^(±)(ｘ)＝iｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p^(±)(ｘ)

の積分が,Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±1 (複号同順)と

なるようにｆ_p^(±)＊(ｘ)が規格化されています。
 

一般には,Ｑ_ｐｐ'^(±)＝±δ_ｐｐ'(複号同順)です。
 

また,すぐわかるように,負振動数(負エネルギー):－ｐ⁰＝－ω_p

の解,と正振動数(エネルギー):ｐ'⁰＝ω_p'の解,逆に正振動数:

ｐ'⁰＝ω_p'と,負振動数:－ｐ⁰＝－ω_pでの)解の内積を与える積分

はゼロです。
 

すなわち,i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(＋)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(－)(ｘ)] 

＝i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(―)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(＋)(ｘ)]＝0　です。
 

(注2-1終わり)※
 

有限な体積Ｖの箱の中に１粒子という規格化ではなく,

Ｖ→∞の極限の全空間に１粒子があって,平面波の一定運動量

ｐが箱の境界で消えるとか,周期的境界条件を満たすとかの

離散的量子化条件の必要がなく,ｐが如何なる連続的値をも

取り得るとした場合,

　Klein-Gordon方程式の平面波基本解は,

ｆ_p^(＋)(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_p)^-1/2exp(－iｐｘ), 

ｆ_p^(－)(ｘ)＝(2π)^-3/2 (2ω_p)^-1/2exp(iｐｘ)

で与えられます。
 

このとき,Ｑ_ｐｐ'^(±)≡∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)i∂₀^⇔ｆ_p'^(±)(ｘ)] 

について,Ｑ_ｐｐ'^(±)＝±δ³(ｐ－ｐ') (複号同順)になるという

デルタ関数式規格化を満たします。
 

また,i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(＋)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(－)(ｘ)] 

＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(―)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(＋)(ｘ)]＝0

です。
 

特に,Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±1　ではなく, 

Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖ＝∞ρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±∞であり,密度の総和

が有限ではないですから,正エネルギーのみ採用するとしても

直接,粒子の確率密度として扱えるものではありません。
 

したがって,これら完全な平面波ｆ_p^(±)(ｘ)自身は運動量ｐが

完全に特定されているため,Heisenbergの不確定性原理の意味

で逆に位置ｘは完全に不確定で目の前から無限に離れた宇宙

の果てまで,Ｖ＝∞の全空間に一様に拡がっていて,全く対等

な確率で(※実は1点の体積はゼロで,有限な確率密度で表現

される点での確率は体積に比例するため,確率ゼロで)どこに

でも存在しているという非現実的な粒子像にしか対応しません。
 

理想的な,まわ孤立していて一切力を受けない質点は常に一定

速度(一定運動量)で運動を続ける,というNewtonの「運動の

第一法則(慣性の法則)」に従う古典的な自由粒子像,

　つまり我々にとって常識的な特定軌道で運動する局在化 

した粒子を平面波で表現することはできません。
 

そこで,量子力学的には現実の空間に局在する自由粒子は運動量

ｐが完全に一定に特定されているわけではなく,何らかのゆらぎ

幅:Δｐでもって,わずかに拡がった謂わゆる重ね合わせ波束

(wave-Packet)の形で存在するとします。
 

正振動数の波のみからなる粒子(波束)を, 

φ_＋(ｘ)≡∫_Δｐ[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐで表現します。
 

こうすれば,Ｑ_＋＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ_＋^＊(ｘ)∂₀^⇔φ_＋(ｘ)] 

＝∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_＋(ｐ)|²と書けます。

　　Ｑ_＋は正定置(有限な正の数)ですから,

Ｑ_＋＝∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_＋(ｐ)|²＝＋1となるように係数:

ａ_＋(ｐ)を規格化しておけば,

φ_＋(ｘ)＝∫_Δｐ[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐは,運動量ｐの

平面波を運動量確率密度:|ａ_＋(ｐ)|²で重ね合わせらた波で

あると解釈することが可能です。
 

しかしながら,同様に負振動数の波のみからなる粒子(波束)を, 

φ_－(ｘ)＝∫_Δｐ[ａ_－(ｐ)ｆ_p^(－)(ｘ)]ｄ³ｐで定義し, 

Ｑ_－≡i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ_－^＊(ｘ)∂₀^⇔φ_－(ｘ)]とすれば, 

Ｑ_－＝－∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_－(ｐ)|²となって,Ｑ_－＜0ですから,

単純な確率解釈は困難となります。
 

ここに,Klein=Gordon方程式の解に対する確率解釈にとっての困難

が凝縮されています。
 

何故なら,Dirac方程式の解のときにも見たように,通常の粒子

を示す波動関数＝波動方程式の解φ(ｘ):今の場合なら,

Klein-Gordon方程式の一般解φ(ｘ)は,正振動数の平面波だけ

ではなく負振動数の平面波と混合した重ね合わせで与えられ,

その粒子の全空間での存在確率(＝＋1)と解釈したい量: 

Ｑ＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ^＊(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ)]は正にも負にも成り

得るからです。
 

直感的解釈の是非は後回しにして,Klein-Gordon方程式

のFeynman伝播関数(Feynman^ｐropagator):Δ_Ｆ(ｘ－ｙ)

を見つけたいと思います。
 

(※前回の再掲記事終了)
 

さて,Klein-Gordon方程式のFeynman伝播関数をΔ_Ｆ(ｘ)と

書くと,これは,(□＋μ²)Δ(x―ｙ)＝－δ⁴(ｘ―ｙ)

を満たす,Green関数:Δ(x)のうちで遅延Green関数,

先進Green関数という伝播関数の境界条件を満たすもの 

です。
 

Δ(x)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4Δ^(ｐ)exp(－iｐｘ)と,Fourier積分表示

をすると,(□＋μ²)Δ(x)＝－δ⁴(ｘ)は,

(－ｐ²＋μ²)Δ^(ｐ)＝－1を意味します。
 

したがって,ｐ²≠μ²ならΔ^(ｐ)＝1/(ｐ²－μ²)です。
 

ここで,前に,

Dirac方程式:[iγ^μ∂_μ)ｍ]Ｓ_F(ｘ－ｙ)＝δ⁴(ｘ－ｙ)

を満たす,質量ｍ,スピン1/2のDirac粒子の伝播関数:

Ｓ_Ｆ(ｘ)が, 

Ｓ_Ｆ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp(－iｐｘ)/(ｐ－ｍ＋iε),

(ｐ≡γ^μｐ_μ)で与えられたのと同じく,
 

Δ_Ｆ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4exp(－iｐｘ)/(ｐ²－μ²＋iε)

としてみます。
 

すると,分母に付加された微小な純虚数iε(ε＝＋0)のため,

正振動数(正エネルギー)の波のみが時間の順方向(未来)へと

進み,負振動数(負エネルギー)の波は時間の逆方向(過去)に

伝播するという,まさに望ましい境界条件を満たすことが

保証されます。
 

Bjorken－DrellのテキストのMechanicsの第6章 伝播関数

の理論；本ブログでは,2010年5/24の記事

「散乱の伝播関数の理論(7)」でも論じたように,iεの

おかげで分母をゼロとする極を避ける外周上の積分と

同一視された結果,上記性質を持つような伝播関数と

できる他の適切なやり方は存在しません。
 

※(注2－2):上記のことの説明です。 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4[[exp{－iｐ(ｘ―ｘ₀)}/(ｐ²－μ²＋iε) 

＝∫_-∞^∞ｄＥ[exp{－ｉＥ(ｔ－ｔ₀)}

∫ｄ³ｐ[exp{iｐ(ｘ―ｘ₀)}]

/[{Ｅ－(ω_p－iε)}{Ｅ－(－ω_p＋iε)}]；

ω_p＝(ｐ²＋μ²)^1/2と書けます。
 

Ｅ＝ｐ₀を複素数とする複素Ｅ平面で,ｔ＞ｔ₀のときは

∫_-∞^∞ｄＥの積分路を実軸:(－∞,∞)に半径∞の下半円を

時計周りに進む経路を加えた閉じた外周Ｃ_＋上の積分と

見なします。
 

下半円上では,Ｅ＝Ｒexp(iθ)＝Ｒ(cosθ＋isinθ)

(θ:π→2π)より,

exp{－ｉＥ(ｔ－ｔ₀)}＝exp{－iＲcosθ(ｔ－ｔ₀)}

exp{Ｒsinθ(ｔ－ｔ₀)}　です。
 

π≦θ≦2πで,ｔ＞ｔ₀のときは,θ＝π,θ＝2πで

sinθ(ｔ－ｔ₀)＝0 となる他は常にsinθ(ｔ－ｔ₀)＜0

なので,Ｒ→∞でexp{Ｒsinθ(ｔ－ｔ₀)}は急激にゼロとなる

ため.非積分関数や積分路の長さπＲが掛かっても積分への

寄与はゼロです。

　　実質上,積分路が実軸のみの場合と積分の結果は一致する

と考えられるため,この積分路の変更が有効なわけです。
 

分母の2つの極:Ｅ＝ω_p－iεとＥ＝－ω_p＋iεのうち,この閉路

Ｃ_＋の中にあるのは,Ｅ＝ω_p－iεのみです。

　留数定理から。 

∫_C＋ｄＥ[exp{－ｉＥ(ｔ－ｔ₀)}

/[{Ｅ－(ω_p－iε)}{Ｅ－(－ω_p＋iε)}]

＝－(2πi)exp{－ｉω_p(ｔ－ｔ₀)/(2ω_p)　です。
 

(※Ｃ_＋をまわる経路の向きが時計回りで,負の向きなので

符号(―)が付加されます。)
 

故に,ｔ＞ｔ₀なら, 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3

[exp{－iω_p(ｔ－ｔ₀)＋iｐ(ｘ―ｘ₀)}]/(2ω_p) 

;ω_p＝(ｐ²＋μ²)^1/2と書けます。
 

同様に,ｔ＜ｔ₀なら,実軸に反時計周り(正の向き)の上半円を 

加えた外周Ｃ_－を与えて,Ｅ＝－ω_p＋iεを留数として,

∫_C-ｄＥから,(2πi)exp{－iω_p(ｔ－ｔ₀)/(－2ω_p)であり, 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3

[exp{ｉω_p(ｔ－ｔ₀)＋iｐ(ｘ―ｘ₀)}]/(2ω_p) 

を得ます。

いずれにしろ, Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ(2π)^-3[exp{―ｉｐ(ｘ―ｘ₀)}]/(2ω_p) 

なる形であって,

ｔ＞ｔ₀ならｐ⁰＝ω_p＝(ｐ²＋μ²)^1/2(正エネルギー)で,未来

への伝播の遅延波,

ｔ＜ｔ₀なら

ｐ⁰＝－ω_p＝－(ｐ²＋μ²)^1/2(負エネルギー)で過去へ伝播の先進波

という違いがあるだけです。
 

(注20-2終わり)※
 

Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)

＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4[exp{－iｐ(ｘ－ｘ₀)}/(ｐ²－μ²＋iε) 

が正しいFeynman伝播関数:Δ_Fを与えることがわかりました。
 

これは,Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)

＝－i∫ｄ³ｐ{ｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)＊(ｘ₀)}θ(ｔ－ｔ₀) 

－i∫ｄ³ｐ{ｆ_p^(－)(ｘ)ｆ_p^(－)＊(ｘ₀)}θ(ｔ－ｔ₀) 

あるいは, 

Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀) 

＝－i∫ｄ³ｐ{θ(ｔ－ｔ₀)ｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)＊(ｘ₀) 

＋{θ(ｔ－ｔ₀)ｆ_p^(－)(ｘ)ｆ_p^(－)＊(ｘ₀)}  

と表現されます。

　　前に正振動数の波束を, φ_＋(ｘ)＝∫[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐ,

負振動数の波束を.φ_－(ｘ)＝∫[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(―)(ｘ)]ｄ³ｐと

書きましたが一般のスピンゼロ粒子の波動関数φ(ｘ)は,これらの和, 

φ(ｘ)＝φ_＋(ｘ)＋φ_＋(ｘ)で与えられます。
 

Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)は時刻:ｔ＝ｔ₀に,ｘ＝ｘ₀にある波:φ(ｘ₀)＝φ(ｘ₀,ｔ₀) 

の正振動数部分のみを時間の順方向(未来:ｔ＞ｔ₀)へと伝播させて, 

－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ,ｔ) 

＝∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀)　を成立させ,
 

他方,負振動数部分のみを時間の逆方向(過:ｔ＜t₀)へと伝播

させて,－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_－(ｘ,ｔ) 

＝―∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_－(ｘ₀,ｔ₀)　を成立

させます。
 

これらは直接計算によって確かめることができます。
 

これは,第7章:本ブログでは「散乱の伝播関数の理論（9）」

で見たように,Dirac方程式に従うスピン1/2粒子の伝播関数:

Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)が. 

θ(ｔ－ｔ₀)ψ_＋(ｘ,ｔ)＝i∫ｄ³ｘ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ_＋(ｘ₀,ｔ₀) 

θ(ｔ₀－ｔ)ψ_－(ｘ,ｔ)＝－i∫ｄ³ｘ₀Ｓ_F(ｘ－ｘ₀)γ⁰ψ_－(ｘ₀,ｔ₀) 

なる式を満たしたのとは僅かに形が違いますが,伝播関数として

同義であることが,すぐわかります。
 

※(注20-3):直接計算です。

∫ｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)i∂₀^⇔ｆ_p'^(±)(ｘ)]＝±δ³(ｐ－ｐ')

(複号同順)から, 

∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(±)(ｘ)ｆ_p^(±)＊(ｘ₀)i∂₀^⇔φ_±(ｘ₀)  

＝∫ｄ³ｐ∫ｄ³ｐ'ｆ_p'^(±)(ｘ)ａ_±(ｐ')

∫ｄ³ｘ₀ｆ_p^(±)＊(ｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0ｆ_ｐ’ ^(±)(ｘ₀) 

＝∫ｄ³ｐ∫ｄ³ｐ’ｆ_p^(±)(ｘ) ａ_±(ｐ'){±δ³(ｐ－ｐ')} 

＝±∫ｄ³ｐｆ_p^(±)(ｘ)ａ_±(ｐ)＝φ_±(ｘ)　(複号同順)
 

また,∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)＊(ｘ₀)

i∂₀^⇔φ_―(ｘ₀)＝∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(―)(ｘ)ｆ_p^(―)＊(ｘ₀)

i∂₀^⇔φ_＋(ｘ₀)＝0 が成立するのは明らかです。

よって,－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ,ｔ) 

＝∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀),かつ, 

－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_－(ｘ,ｔ) 

＝―∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘ―ｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_－(ｘ₀,ｔ₀) 

の成立は証明されました。
 

さらに,Klein-Gordon演算子:□＋μ²を形式的に, 

□＋μ²＝∂²/∂ｔ²―∇²＋μ²＝－[{i(∂/∂ｔ)}²－{(-i∇)²＋μ²}] 

＝－[{i(∂/∂ｔ)}²－Ｈ₀(ｘ)²]　と書くと,
 

□＋μ²＝－[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)][i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]より, 

(□＋μ²)Δ_F(ｘ－ｘ₀) 

＝－[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)][i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]

Δ_F(ｘ－ｘ₀) ＝－δ⁴(ｘ－ｘ₀)　です。
 

そこで,Ｇ(ｘ－ｘ₀)≡[i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]Δ_F(ｘ－ｘ₀)

と置けば,[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)]Ｇ(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)

です。
 

直感的な伝播関数＝遅延Green関数の理論で波動関数自由粒子

の波動関数Φが,Schroebinger方程式:i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φ満たす

系の伝播関数を,[i(∂/∂ｔ)－Ｈ₀(ｘ)]Ｇ(ｘ－ｘ₀)＝δ⁴(ｘ－ｘ₀)

を満たすGreen関数:Ｇ(ｘ－ｘ₀)とするとき, 

 θ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ)＝i∫ｄ³ｘ₀Ｇ(ｘーｘ₀)φ_＋(ｘ₀)

なる式を得ましたが,

　これのアナロジーで,―iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ) 

＝∫ｄ³ｘ₀[i(∂/∂ｔ)＋Ｈ₀(ｘ)]Δ_F(ｘ－ｘ₀)φ_＋(ｘ₀)

と書けるはずです。
　 

　実際:右辺＝∫ｄ³ｘ₀[i(∂/∂ｔ)Δ_F(ｘ－ｘ₀)]φ_＋(ｘ₀) 

＋∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐ[ω_pｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)(ｘ₀)

∫ｄ³ｐ'ｆ_p'^(＋)(ｘ₀)ａ_＋(ｐ')]　ですが,
 

右辺第2項＝∫ｄ³ｐ∫ｄ³ｐ'[(1/2)(ω_p/ω_p')^1/2

ｆ_p^(＋)(ｘ)exp{－i(ω_p'－ω_p)ｔ₀}δ³(ｐ－ｐ')ａ_＋(ｐ')]

＝(1/2)∫ｄ³ｐａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)＝φ_＋(ｘ)/2　です。
 

右辺第1項＝∫ｄ³ｘ₀[i(∂/∂ｔ)Δ_F(ｘ－ｘ₀)]φ_＋(ｘ₀) 

＝∫ｄ³ｘ₀[－i(∂/∂ｔ₀)Δ_F(ｘ－ｘ₀)]φ_＋(ｘ₀) 

＝∫ｄ³ｘ₀[Δ_F(ｘ－ｘ₀)]i{∂φ_＋(ｘ₀)/∂ｔ₀)} 

＝∫ｄ³ｘ₀∫ｄ³ｐｆ_p^(＋)(ｘ)ｆ_p^(＋)(ｘ₀) 

∫ｄ³ｐ'[ω_p’ｆ_p'^(＋)(ｘ₀)ａ_＋(ｐ')]
 

これは結局, φ_＋(ｘ)/2＝右辺第2項に一致します。
 

したがって,－iθ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ,ｔ) 

＝∫ｄ³ｘ₀Δ_Ｆ(ｘーｘ₀)i(∂₀^⇔)_ｔ0φ_＋(ｘ₀,ｔ₀)

なる表現が,かつて直感的論議から出発して得られた, 

θ(ｔ－ｔ₀)φ_＋(ｘ)＝i∫ｄ³ｘ₀Ｇ(ｘーｘ₀)φ_＋(ｘ₀) 

なる表現に同値と考えられます。
 

(注20-3終わり)※
 

ブログの特徴ではありますが,冗長な注釈が続いて長くなり過ぎたので 

ここで一旦切ります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)

強い相互作用(湯川相互作用)(20)

「強い相互作用(湯川相互作用)」の続きです。　

「弱い相互作用の旧理論」で必要だったため,この項目を蒸し返して

スキップしていた部分を追加していますが,これで終わる予定です。
 

前回記事の最後では,
 

最終的な核子電磁カレントの形状因子としては,

ｅｕ~(ｐ')Γ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ) 

＝ｅｕ~(ｐ')[γ_μＦ₁(ｑ²)＋{iσ^μνｑ_ν/(2Ｍ)}κＦ₂(ｑ²)]ｕ(ｐ) 

なる形になることがわかります。
 

ｅは物理的素電荷であり,陽子ｐについては,Ｆ₁(0)＝Ｆ₂(0)＝１, 

κ＝κ_p＝1.79,で,中性子ｎについてはＦ₁(0)＝0,Ｆ₂(0)＝１. 

κ＝κ_n＝－1.91 と規格化します。
 

と書いたところで終わりました。
 

今日は,まず,上記の核子カレントの電磁形状因子の式を陽子

と中性子に分けて次のように書きます。

　後の議論で,電子の運動量を小文字のｐ,ｐ'で表わす必要性

から,区別するため,核子の運動量を大文字のＰ,Ｐに書き換え

ます。
 

Ｊ^(ｐ)_μ(Ｐ',Ｐ)＝ｅｕ_ｐ~(Ｐ')Γ^(ｐ)_μ(Ｐ',Ｐ)ｕ_ｐ(Ｐ) 

＝ｅｕ_ｐ~(Ｐ')[γ_μＦ₁^(ｐ)(ｑ²)＋{iσ^μνｑ_ν/(2Ｍ)}κ_ｐＦ₂^(ｐ)(ｑ²)]

ｕ_ｐ(Ｐ),および,

Ｊ^(ｎ)_μ(Ｐ',Ｐ)＝ｅｕ_ｎ~(Ｐ')Γ^(ｎ)(Ｐ',Ｐ)ｕ_ｎ(Ｐ) 

＝ｅｕ_ｎ~(Ｐ')[γ_μＦ₁^(ｎ)(ｑ²)＋{iσ^μνｑ_ν/(2Ｍ)}κ_ｎＦ₂^(ｎ)(ｑ²)]

ｕ_ｎ(Ｐ)　です。
 

これらから,さらにアイソスピン定式化を用いて,陽子ｐや中性子

ｎの電磁カレントを,アイソスカラー部分とアイソベクトル部分

の和として,次のように書きます。
 

つまり,χ^＋[Ｊ^(S)_μ(Ｐ',Ｐ)＋τ³Ｊ^(V)_μ(Ｐ',Ｐ)]}χ 

＝ χ^＋ｕ~(Ｐ')[γ_μ{Ｆ₁^(S)(ｑ²)＋τ³Ｆ₁^(V)(ｑ²)} 

＋|iσ^μνｑ_ν/(2Ｍ)}{Ｆ₂^(S)(ｑ²)＋τ³Ｆ₂^(V)(ｑ²)}]ｕ(Ｐ)χ 

です。
 

添字のＳはアイソスカラ－部分,Ｖはアイソネクトル部分

を指します。
 

ただし,Ｆ₁^(S)(ｑ²)＝(1/2){Ｆ₁^(ｐ)(ｑ²)＋Ｆ₁^(ｎ)(ｑ²)}

 ⇒ Ｆ₁^(S)(0)＝1/2, 

Ｆ₁^(V)(ｑ²)＝(1/2){Ｆ₁^(ｐ)(ｑ²)－Ｆ₁^(ｎ)(ｑ²)} ⇒ Ｆ₁^(V)(0)＝1/2,
 

Ｆ₂^(S)(ｑ²)＝(1/2){κ_ｐＦ₂^(ｐ)(ｑ²)＋κ_ｎＦ₂^(ｎ)(ｑ²)}

⇒ Ｆ₂^(S)(0)＝0.06, 

Ｆ₂^(V)(ｑ²)＝(1/2){κ_ｐＦ₂^(ｐ)(ｑ²)－κ_ｎＦ₂^(ｎ)(ｑ²)}

⇒ Ｆ₂^(V)(0)＝1.85　としました。
 

アイススピン部分の(χ^＋τ³χ)は,陽子ｐのとき＋1,中性子ｎ

のとき－1ですから,これで元の表現式に一致しています。
 

ところで,2010年６/20の記事:

「散乱の伝播関数の理論(14)(応用2－2)」,または,

2015年11/7に同じ記事を再掲載した,

「散乱問題の復習(4)(陽子による電子の散乱２)」によれば,

電子の陽子による散乱の最低次＝Born近似の散乱微分断面積は, 

ｄσ/ｄΩ＝(α²[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ²)}sin²(θ/2)]) 

/[4Ｅ²sin⁴(θ/2){1＋(2Ｅ/Ｍ)sin²(θ/2)}]　

で与えられます。
 

この,同じ散乱のＳ行列において電磁相互作用結合ｅの２次:ｅ²

を無次元化した微細構造定数αについては.上と同じBorn近似

(＝αの1次)の精度ですが,

　　強い相互作用の効果については,全てのオーダーの寄与:

つまり核子電磁カレントに形状因子を含めた物理的な陽子,

中性子を標的と考えた散乱微分断面積は,次のように修正

されます。
 

すなわち,

ｄσ/ｄΩ＝(α²[{Ｆ₁²－{ｑ²/(4Ｍ²)}κ²ｑ²Ｆ₂²}cos²(θ/2) 

－{ｑ²/(2Ｍ²)}(Ｆ₁＋κＦ₂)²sin²(θ/2)]) 

/[4Ｅ²sin⁴(θ/2){1＋(2Ｅ/Ｍ)sin²(θ/2)}]　

です。
 

※(注20-1):今日の記事のほとんどは上の修正式が得られる

根拠を示すために,
 

まず,過去に,修正前の素朴な電子の陽子による散乱断面積

である,

ｄσ/ｄΩ＝(α²[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ²)}sin²(θ/2)]) 

/[4Ｅ²sin⁴(θ/2){1＋(2Ｅ/Ｍ)sin²(θ/2)}]

なる式を得た経緯をたどってみます。　
 

この計算の元になる散乱の最低次のＳ行列要素は, 

Ｓ_fi＝(－i)ε₀^-1∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙ{ｅψ_f~(ｘ)γ_μΨ_i(ｘ)

}Ｄ_F(ｘ－ｙ)Ｊ^μ(ｙ)で与えられます。

　ただし,ψ_i(ｘ),ψ_ｆ(ｘ)は,それぞれ,始状態の入射電子, 

終状態の散乱電子の波動関数(スピノル)であり,Ｊ^μ(ｙ)

はポテンシャル源となる陽子の電磁カレントです。
 

(※Coulomb散乱は,標的陽子が固定されているとする

模型で,今の場合は標的が自由陽子てす。)
 

この陽子の散乱の断面積の評価では,電磁カレントを,

J^μ(ｙ)＝ｅ_pψ^p_f~(ｙ)γ^μψ^p_i(ｙ)なる遷移カレントの形

に選択しました。すなわち,Ψ_i(ｘ),Ψ_ｆ(ｘ)を,それぞれ

陽子の始状態,終状態の波動関数としました。

　　その計算結果は最低次近似ですが,正しく実験結果を

評価していると考えられます。
 

この座標表示のBorn近似のＳ行列要素を運動量表示に

直すと,Ｓ_fi＝(－i)(1/Ｖ²)(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)

{ｍ²/(Ｅ_iＥ_f)}^1/2{Ｍ²/(Ｅ^p_iＥ^p_f)}^1/2Ｍ_fi となります。
 

　Ｍ_fiは不変振幅であり, 

Ｍ_fi＝(ｅ²/ε₀)[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)](ｑ²＋iε)^-1 

[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)] です。

 ただし,ｑ＝ｐ_f－ｐ_i＝Ｐ_i－Ｐ_fです。
 

単位体積当たりの遷移率(単位時間当たりの遷移確率)：ｗ_fi

は,相互作用体積Ｖ,時間Ｔを,ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0),Ｖ→(2π)³

として,

ｗ_fi＝|Ｓ_fi|²/ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i) 

(2π)^-12{ｍ²Ｍ²/(Ｅ_iＥ_fＥ^p_iＥ^p_f)}|Ｍ_fi|² 

で与えられます。
 

　次に,このｗ_fiを入射流束:|ｊ_inc|,および単位体積当たりの

標的粒子数(＝1/Ｖ)で割って,標的陽子１個当たり,単位面積

を通過する入射ビームの1電子当たりの確率速度とします。 

(Ｖ＝(2π)³を掛けます。)。
 

最後に,物理的な断面積を得るため,物理過程を観測するため

の実験室の状況に対応する電子と陽子の終状態の運動量区間:

ｐ_f～ｐ_f＋ｄｐ_fとＰ_f～Ｐ_f＋ｄＰ_fの間の要素:ｄ³ｐ_f,ｄ³Ｐ_f

に入ってくる終状態の個数をカウントすると.散乱断面積

という単位が面積の量になります。
 

終状態の個数は,電子と陽子の積で,{Ｖｄ³ｐ_f/(2π)³}

×{Ｖｄ³Ｐ_f/(2π)³}ですが,最終計算結果は,Ｖ＝(2π)³なる

規格化で評価するため,結果,単にｄ³ｐ_fｄ³Ｐ_fでを乗じる操作

となります。
 

結局,この終運動量区間の終状態への遷移に対応する

遷移断面積は,ｄσ＝ｄ³ｐ_fｄ³Ｐ_f(2π)³|ｊ_inc|^-1ｗ_fi 

＝ｄ³ｐ_fｄ³Ｐ_f{ｍ²Ｍ²/(Ｅ_fＥ_iＥ^p_fＥ^p_i)}(2π)^-12(2π)³|ｊ_inc|^-1 

×|Ｍ_fi|²(2π)⁴δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i) と書けます。
 

入射電子の流束は,|ｊ_inc|＝|ｖ_i－Ｖ_i|/Ｖ

＝|ｐ_i/Ｅ_i－Ｐ_i/Ｅ^P_i|/Ｖですから,

Ｅ_iＥ^P_iＶ|ｊ_inc|＝|ｐ_iＥ^P_i－Ｐ_iＥ_i|ですが,入射粒子と

標的粒子は同一直線上で衝突するため,(ｐ_iＰ_i)²＝ｐ_i²Ｐ_i²

です。
 

　故に,Ｅ_iＥ^P_iＶ|ｊ_inc|

 ＝[(Ｅ_iＥ^P_i－ｐ_iＰ_i)²―(Ｅ_i²－ｐ_i²)(Ｅ^P_i²－Ｐ_i²)]^1/2 

　＝[(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²]^1/2です。
 

よって,(Ｅ_iＥ^P_iＶ)^-1|ｊ_inc|^-1＝[(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²]^-1/2 です。
 

それ故,ｄσ＝ｄ³ｐ_fｄ³Ｐ_f{ｍ²Ｍ²/(Ｅ_fＥ^p_f)} 

(2π)^-2δ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)[(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²]^-1/2|Ｍ_fi|² 

を得ます。

　この式は任意の慣性系(実験室系or重心系)で成立する式です。
 

次に,標的の終状態にわたる総和積分ｄ³Ｐ_fを実行します。
 

公式:∫ｄ³Ｐ_f/(2Ｅ^p_f)＝∫ｄ⁴Ｐ_fθ(Ｐ_f⁰)δ(Ｐ_f²－Ｍ²)より, 

∫ｄ³Ｐ_fδ⁴(Ｐ_f－Ｐ_i＋ｐ_f－ｐ_i)/Ｅ^p_f 

＝2[θ(Ｅ^Ｐ_i－Ｅ_f＋Ｅ_i)δ(Ｐ_f²－Ｍ²)]_{Ｐf＝Ｐi－ｐｆ＋ｐi}です。
 

これは,散乱電子のエネルギーＥ_fが,0≦Ｅ_f≦Ｅ^Ｐ_i＋Ｅ_iの範囲

に限られること,また,終状態の陽子質量もＭのままであること: 

Ｐ_f²＝(Ｐ_i－ｐ_ｆ＋ｐ_i)²＝Ｍ²を意味します。
 

特に,衝突前,標的が静止していたと見る実験室系で考えると, 

Ｐ_i^μ＝(Ｅ^P_i,Ｐ_i)＝(Ｍ,0)なので,散乱電子のエネルギー:Ｅ_f

の範囲は,0≦Ｅ_f≦Ｅ_i＋Ｍです。
 

また,0＝Ｐ_f²－Ｍ²＝(Ｐ_i－ｐ_ｆ＋ｐ_i)²－Ｍ² 

＝－2Ｍ(Ｅ_ｆ－Ｅ_i)―2Ｅ_ｆＥ_i＋2ｍ²＋2ｐ_fｐ_i 

＝－2Ｍ(Ｅ_ｆ－Ｅ_i)―2Ｅ_ｆＥ_i＋2ｍ²＋2|ｐ_f||ｐ_i|cosθ 

ですから,
 

δ(Ｐ_f²－Ｍ²)

＝δ(－2Ｅ_ｆ(Ｍ＋Ｅ_i)＋2ＭＥ_i＋2ｍ²＋2|ｐ_f||ｐ_i|cosθ) 

であり,∫ｄＥ_fδ(Ｐ_f²－Ｍ²) 

＝(1/2)/[(Ｍ＋Ｅ_i)＋(ｄ|ｐ_f|/ｄＥ_ｆ)|ｐ_i|cosθ]です。
 

同時に,Ｐ_f²＝Ｍ²から,－Ｍ(Ｅ_ｆ－Ｅ_i)＝ｍ²―Ｅ_ｆＥ_i＋ｐ_fｐ_i 

さらに,[(ｐ_iＰ_i)²－ｍ²Ｍ²]^-1/2|＝Ｍ^-1(Ｅ_i²－ｍ²)^-1/2

＝1/(Ｍ|ｐ_i|)　です。
 

ｄ³ｐ_f/Ｅ_f＝|ｐ_f|ｄＥ_fｄΩ_fの右辺のうちで,∫₀^Ｅi＋ＭｄＥ_f

のみを実行します。
 

すると,散乱断面積の角分布:ｄσ/ｄΩ_f 

＝∫₀^Ｅi＋ＭｄＥ_fδ(Ｐ_f²－Ｍ²)[ｍ²Ｍ|ｐ_f|/|ｐ_i|](2π)^-2|Ｍ_fi|² 

＝(ｍ²Ｍ|ｐ_f|/|ｐ_i|)(4π²)^-1|Ｍ_fi|² 

/[(Ｍ＋Ｅ_i)－(ｄ|ｐ_f|/ｄＥ_ｆ)|ｐi|cosθ]  

が得られます。
 

散乱は偏極した粒子によるものでなく,偏極不明の非偏極粒子 

によるとして,上記のスピン固定の断面積を,終状態粒子の

スピン状態について総和したものを非偏極の断面積として

初期スピンについて平均を取ります。
 

これは,不変振幅による因子:|Ｍ_fi|²の中に反映させすること

ができます。
 

すなわち, |Ｍ_fi|²を,|Ｍ_fi|²＝(ｅ⁴/ε₀²)|ｑ²|^-2(1/4)

Σ_Si,_Sf|[ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)γ_μｕ(ｐ_i,ｓ_i)]|² 

×Σs_i,s_f|[ｕ~(Ｐ_f,Ｓ_f)γ^μｕ(Ｐ_i,Ｓ_i)]|²  

に置換すれば得られます。
 

これは,|Ｍ_fi|²＝[ｅ⁴/{64ε₀²ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν]Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν]

と書けます。
 

そして,Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν] 

＝4[ｐ_f^μｐ_i^ν＋ｐ_ｆ^νｐ_i^μ－ｇ^μν(ｐ_ｆｐ_i－ｍ²)],かつ 

Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν] 

＝4[Ｐ_fμＰ_iν＋Ｐ_ｆνＰ_iμ－ｇ_μν(Ｐ_ｆＰ_i－Ｍ²)] です。
 

故に,

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν]Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν] 

＝16[2(ｐ_fＰ_ｆ)(ｐ_iＰ_i)＋2(ｐ_iＰ_ｆ)(ｐ_ｆＰ_i)

－2(Ｐ_fＰ_i)(ｐ_ｆｐ_i－ｍ²)－2(ｐ_ｆｐ_i)(Ｐ_ｆＰ_i－Ｍ²)

＋4(ｐ_ｆｐ_i－ｍ²)(Ｐ_ｆＰ_i－Ｍ²)] 

＝32[(ｐ_fＰ_ｆ)(ｐ_iＰ_i)＋(ｐ_iＰ_ｆ)(ｐ_ｆＰ_i)－ｍ²(Ｐ_fＰ_i) 

－Ｍ²(ｐ_ｆｐ_i)＋2ｍ²Ｍ²]　です。
 

よって,|Ｍ_fi|²＝[ｅ⁴/{64ε₀²ｍ²Ｍ²(ｑ²)²} 

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν]Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν] 

＝[ｅ⁴/{2ε₀²ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}[(ｐ_fＰ_ｆ)(ｐ_iＰ_i)＋(ｐ_iＰ_ｆ)(ｐ_ｆＰ_i) 

－ｍ²(Ｐ_fＰ_i)－Ｍ²(ｐ_ｆｐ_i)＋2ｍ²Ｍ²]　です。
 

無次元の微細構造定数:α＝ｅ²/(4πε₀)～ 1/137により, 

ｅ²＝4πε₀αを代入すると, 

|Ｍ_fi|²＝[8π²α²/{ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}][(ｐ_fＰ_ｆ)(ｐ_iＰ_i)

＋(ｐ_iＰ_ｆ)(ｐ_ｆＰ_i)－ｍ²(Ｐ_fＰ_i)－Ｍ²(ｐ_ｆｐ_i)＋2ｍ²Ｍ²]

です。
 

そして,エネルギー・運動量の保存則:Ｐ_ｆ＝Ｐ_i－ｐ_f＋ｐ_i

より,(ｐ_fＰ_ｆ)(ｐ_iＰ_i)＋(ｐ_iＰ_ｆ)(ｐ_ｆＰ_i)－ｍ²(Ｐ_fＰ_i)

－Ｍ²(ｐ_ｆｐ_i)＋2ｍ²Ｍ²

＝2(ｐ_ｆＰ_i)(ｐ_iＰ_i) ＋(ｐ_iｐ_f){(Ｐ_iｐ_i)－(Ｐ_iｐ_f)－Ｍ²}

＋2ｍ²({(ｐ_ｆＰ_i)－(ｐ_iＰ_i)}－＋ｍ²Ｍ²です。
 

これは,実験室系:Ｐ_i＝(Ｍ,0)では, 

右辺＝2Ｍ²Ｅ_fＥ_i＋Ｍ²(Ｅ_fＥ_i－ｐ_ｆｐ_i)(Ｅ_i－Ｅ_f－1)

＋2ｍ²Ｍ(Ｅ_f－Ｅ_i)＋ｍ²Ｍ²

＝Ｍ²(Ｅ_fＥ_i＋ｐ_ｆｐ_i)－Ｍ²(Ｅ_fＥ_i－ｐ_ｆｐ_i)(Ｅ_f－Ｅ_i)

＋ｍ²Ｍ(Ｅ_f－Ｅ_i)＋ｍ²Ｍ²となります。
 

Ｐ_ｆ＝Ｐ_i－ｐ_f＋ｐ_i,かつ,Ｐ_f²＝Ｍ²から,

(Ｅ_ｆ－Ｅ_i)＝ｍ²―Ｅ_ｆＥ_i＋ｐ_fｐ_iであり,また,

ｑ²＝(ｐ_ｆ－ｐ_i)²＝2ｍ²－2(Ｅ_fＥ_i－ｐ_ｆｐ_i)なので, 

Ｍ(Ｅ_ｆ－Ｅ_i)＝ｑ²/2　です。
 

さらに,ｍ²を無視する近似では,|ｐ_ｆ| ～Ｅ_f,|ｐ_i| ～Ｅ_i

なので,

Ｅ_fＥ_i－ｐ_ｆｐ_i ～ Ｅ_fＥ_i(1－cosθ)＝2Ｅ_fＥ_isin²(θ/2) 

Ｅ_fＥ_i＋ｐ_ｆｐ_i ～ Ｅ_fＥ_i(1＋cosθ)＝2Ｅ_fＥ_icos²(θ/2)  

　そして,Ｍ(Ｅ_ｆ－Ｅ_i)＝ｍ²―Ｅ_ｆＥ_i＋ｐ_fｐ_i

～－Ｅ_fＥ_i＋ｐ_ｆｐ_i＝ －2Ｅ_fＥ_isin²(θ/2)から,

Ｅ_f ～ Ｅ_i/{1＋(2Ｅ_i/Ｍ)sin²(θ/2)}　です。
 

したがって, 

(ｐ_fＰ_ｆ)(ｐ_iＰ_i)＋(ｐ_iＰ_ｆ)(ｐ_ｆＰ_i)－ｍ²(Ｐ_fＰ_i)

－Ｍ²(ｐ_ｆｐ_i)＋2ｍ²Ｍ² 

～ 2Ｍ²Ｅ_fＥ_i[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ)}sin²(θ/2)]

　であり,また,逆に,

ｑ²＝(ｐ_ｆ－ｐ_i)²＝2ｍ²－2(Ｅ_fＥ_i－ｐ_ｆｐ_i) 

 ～ －2(Ｅ_fＥ_i－ｐ_ｆｐ_i)＝ －4Ｅ_fＥ_isin²(θ/2)　

ですから.

　|Ｍ_fi|²～ (π²α²[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ²)}sin²(θ/2)]) 

/[2ｍ²Ｅ_fＥ_isin⁴(θ/2)]

です。
 

一方,ｄσ/ｄΩ_f 

＝∫₀^Ｅi＋ＭｄＥ_fδ(Ｐ_f²－Ｍ²)[ｍ²Ｍ|ｐ_f|/|ｐ_i|](2π)^-2|Ｍ_fi|² 

＝(ｍ²Ｍ|ｐ_f|/|ｐ_i|)(4π²)^-1|Ｍ_fi|² 

/[(Ｍ＋Ｅ_i)－(ｄ|ｐ_f|/ｄＥ_ｆ)|ｐi|cosθ] 　ですが,
 

|ｐ_i|～Ｅ_i,|ｐ_f|～Ｅ_fの近似では,|ｐ_f|/|ｐ_i|～Ｅ_f/Ｅ_i

であり, [(Ｍ＋Ｅ_i)－(ｄ|ｐ_f|/ｄＥ_ｆ)|ｐ_i|cosθ]

～ Ｍ{1＋(2Ｅ_i//Ｍ)sin²(θ/2)}ですから,

ｄσ/ｄΩ_f～ (ｍ²Ｅ_f/4π²Ｅ_i)|Ｍ_fi|²

/{1＋(2Ｅ_i//Ｍ)sin²(θ/2)} です。

これに,|Ｍ_fi|²～(π²α²[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ²)}sin²(θ/2)]) 

/[2ｍ²Ｅ_fＥ_isin⁴(θ/2)]　を代入すると,
 

ｄσ/ｄΩ_f ～ (α²[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ²)}sin²(θ/2)]) 

/[4Ｅ_i²sin⁴(θ/2){1＋(2Ｅ_i//Ｍ)sin²(θ/2)}]　を得ます。 

(注20-1終わり)※
 

※(注20-2):ここからは復習でなく,本題です。
 

電子の陽子による散乱で求めた最終的な,

Ｅ_i＞＞ｍ.Ｅ_f＞＞ｍの高エネルギー電子に対する散乱断面積

のBorn近似の近似式: 

ｄσ/ｄΩ_f～(ｍ²Ｅ_f/4π²Ｅ_i)|Ｍ_fi|²/{1＋(2Ｅ_i//Ｍ)sin²(θ/2)} 

は,

不変振幅:Ｍ_fiを,標的粒子が強結合による電磁構造を持つ

振幅に修正するだけで,このまま,実験室系での散乱断面積

評価の出発点とすることができます。
 

すなわち,不変振幅因子|Ｍ_fi|²を,元の,

|Ｍ_fi|²＝[π²α²/{4²ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν]

×Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν] から,
 

|Ｍ_fi|²＝[π²α²/{4ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν]

×Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)Γ_μ(Ｐ_f,Ｐ_i)(Ｐ_i＋Ｍ)Γ~_ν(Ｐ_f,Ｐ_i)]

に修正します。

ただし,Γ~_ν(Ｐ_f,Ｐ_i)≡γ⁰Γ^＋_ν(Ｐ_f,Ｐ_i)γ⁰です。

　図9.3の左の電子線部分はそのままで,右側の陽子の太線は

　上図10-13の(a)だけだったのに,(ｂ)(ｃ)など全ての効果を含む

　ようにするわけです。

ここまでの考察から,この陽子の修正頂点:

γ_μ→Γ_μ(Ｐ_f,Ｐ_i)は,Γ_μ(Ｐ_f,Ｐ_i)

＝γ_μＦ₁(ｑ²)＋{iσ_μνｑ^ν)/(2Ｍ)}κＦ₂(ｑ²)  

σ_μν­＝(i/2)[γ_μ,γ_ν] なる形になることがわかって

います。
 

素朴なケースのトレース計算を再提示すると, 

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν] 

＝4[ｐ_f^μｐ_i^ν＋ｐ_ｆ^νｐ_i^μ－ｇ^μν(ｐ_ｆｐ_i－ｍ²)],かつ 

Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν] 

＝4[Ｐ_fμＰ_iν＋Ｐ_ｆνＰ_iμ－ｇ_μν(Ｐ_ｆＰ_i－Ｍ²)] です。
 

これらの積に,[ｅ⁴/{64ε₀²ｍ²Ｍ²(ｑ²)²}＝[π²α²/{4ｍ²Ｍ²(ｑ²)²} 

実験室系での近似では,[π²α²/{64ｍ²Ｍ²Ｅ_f²Ｅ_f ²sib⁴(θ/2)}

を乗じたものは.丁度,|Ｍ_fi|²の修正式のＦ₁²の係数になって

います。
 

そして,前に与えた通り, 

Ｔr[(ｐ_f＋ｍ)γ^μ(ｐ_i＋ｍ)γ^ν]

×Ｔr(Ｐ_f＋Ｍ)γ_μ(Ｐ_i＋Ｍ)γ_ν] 

＝32[(ｐ_fＰ_ｆ)(ｐ_iＰ_i)＋(ｐ_iＰ_ｆ)(ｐ_ｆＰ_i)－ｍ²(Ｐ_fＰ_i) 

－Ｍ²(ｐ_ｆｐ_i)＋2ｍ²Ｍ²]　です。
 

実験室系で,かつ,ｍ²を無視する近似では,結局,Ｆ₁²の係数

は,係数:[π²α²/{64ｍ²Ｍ²Ｅ_f²Ｅ_f ²sin⁴(θ/2)}×32を除いて, 

～ 4Ｍ²Ｅ_fＥ_i[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ²)}sin²(θ/2)]) 

です。
 

以下,ノートでは全部でＡ4の5ページにわたる計算があり,

普通はブログ記事でも一切省略せず,むしろ,検算して追加する

ほどの主義なのですが,特別に今回は詳細計算を省略します。

(※まあ計算結果が正しいのはわかってるし,冗長な導出過程は

ただシコシコと算するだけで個人的な興味でのみ重要に過ぎ

ないので。。。)
 

結果だけ述べると,まず,κＦ₁Ｆ₂の係数は,

～ －4ｑ²Ｅ_fＥ_isin²(θ/2)　です。
 

次に,κ²Ｆ₂²の係数は,

～ －ｑ²Ｅ_fＥ[cos²(θ/2)＋2sin²(θ/2)]です。
 

そして,全ての項を加えると, 

4Ｍ²Ｅ_fＥ_i[cos²(θ/2)－{ｑ²/(2Ｍ²)}sin²(θ/2)]Ｆ₁² 

－4ｑ²Ｅ_fＥ_isin²(θ/2)κＦ₁Ｆ₂ 

－ｑ²Ｅ_fＥ[cos²(θ/2)＋2sin²(θ/2)]κ²Ｆ₂²
 

＝4Ｍ²Ｅ_fＥ_i([Ｆ₁²－{ｑ²/(4Ｍ²)}κ²Ｆ₂²]cos²(θ/2) 

－{ｑ²/(2Ｍ²)}(Ｆ₁＋κＦ₂)²sin²(θ/2))です。
 

[π²α²/{2ｍ²Ｍ²Ｅ_f²Ｅ_f²sin⁴(θ/2)}を乗じて, 

|Ｍ_fi|²＝(π²α²[Ｆ₁²－{ｑ²/(4Ｍ²)}κ²Ｆ₂²]cos²(θ/2) 

－{ｑ²/(2Ｍ²)}(Ｆ₁＋κＦ₂)²sin²(θ/2))

/{2ｍ²Ｅ_fＥ_fsin⁴(θ/2)}　を得ます。
 

出発点の近似式:ｄσ/ｄΩ_f～(ｍ²Ｅ_f/4π²Ｅ_i)|Ｍ_fi|² 

/{1＋(2Ｅ_i//Ｍ)sin²(θ/2)}　に代入すると,結局,
 

ｄσ/ｄΩ_f～(α²[Ｆ₁²－{ｑ²/(4Ｍ²)}κ²Ｆ₂²]cos²(θ/2) 

－{ｑ²/(2Ｍ²)}(Ｆ₁＋κＦ₂)²sin²(θ/2)) 

/[4Ｅ_i²{1＋(2Ｅ_i//Ｍ)sin²(θ/2)}sin⁴(θ/2)] 

が得られます。　　　(注20-2終わり)※

Ｆ₁(ｑ²)とＦ₂(ｑ²)を独立に決定するのは,相異なる散乱角θ

とエネルギーＥ＝Ｅ_iで,ｑ²を等しくした測定の断面積を比較

することでなされます。
 

同じｑ²での,２つ以上の(ｄσ/ｄΩ)の観測は,固定したｑ²に

対して,Ｅ²{1＋(2Ｅ//Ｍ)sin²(θ/2)}sin⁴(θ/2)(ｄσ/ｄΩ)

を,cos²(θ/2)ごとにプロットしたとき,それらの点が上記ｎｏ

近似式を満たしていれば, 全てがほぼ同一直線上にあること

から,Ｆ₁(ｑ²)とＦ₂(ｑ²)を評価することが可能です。
 

こうした直線から如何なる偏差があったとしても,それは,

もはや強結合を無視したとか.形状因子が計算不可能であった

とかに原因を問うことはできず,むしろ,計算の電磁力学的

部分の誤差に帰するべきです。
 

恐らく,αのべき級数での第１項のみをキープしたBorn

近似故の誤差か,ここでの考察より,さらに深い何らかの理由

に帰すべきと考えられます。
 

計算を大幅に省略しましたが,とにかく,これでスキップした

強い相互作用の最終部分である核子の電磁形状因子の項目は

終了です。
 

　そして,「強い相互作用(湯川相互作用)」シリーズを

　終わります。
 

　(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

　"Relativistic QantumMechanics" (McGrawHill)

30年以上昔のこと

　ジャネットジャクソンが50歳で妊娠したらしいというニュース。。。

　つい31年前のことを思い出しました。

　35歳(1985年)のとき,,家賃を払うのが面倒臭くなったというのが主な理由で,木場に３DKの分譲マンションを買い,,それまで８年間,ただ飲んで帰って寝るだけのためにあったような新高円寺駅近くの６畳一間風呂無し,,共同トイレの安アパート生活が少し変化しました。

　何もないliリビングに通販で買ったソファベッドとストーブだけというのが寂しかったので,最初はサンスイのミニコンポとPanasonuicの29インチテレビを置きました。そこから,オーディオの趣味は,どんどんエスカレートして,大きなスピーカーや単品の比較的高価なコンポたち,,アンプもセパレートになり.大画面の洋画もモニターがPioneerとかLDとかドルビーサラウンドとかetcと,マニア的に凝っていきましたね。

　もともと病的に強迫観念に取りつかれる..というより実際,強迫観念症も含んだ仮面ウツ病のような病気で長年トランキライザーに頼ってました。

(※キヨハラくんのことをとやかくは言えない。。人間,精神が宙ブラリンになって頼るモノがないと意外に弱いモノです。。※)

,40歳のころにはさらにパソコン、ゲーム三昧,そして,モデムでパソコン通信と飲酒以外は,非現実的,バーチャルな方向に向かっていきました。,

　入れ物ができたのだから嫁を貰って暖かい家族をつくる。。という,ような生き物の本来の子孫を残すという「神の摂理」にしたがった生活はどんどん遠のいていきました。

誰にも邪魔されずにオタク趣味を追及。。自分さえ満足ならいい。。

　この電車男め！！。。。。。

　そんな私が最初の頃1985～1986年頃に買ってよくきいてたのがJanet-Jacksonの「control」でした。なつかしい。。今5,0歳ということは,このころはまだ10代か20歳だったのかな？もちろん当時は映像なしの音だけでしたが。。

　私の持っていたCDはBookオフ行きで今はHDDの中にバックアップがあるのみですが。。。

クライン・ゴルドン方程式(Klein-Gordon eq.)(1)

今日は,全くの余談から始めます。
 

私が,学生時代の昔から今まで,何らかの好奇心を覚えて詳細を

知りたいと思ったコトについて(主に自然科学的事柄ですが),

それがヒョッとしたら,いくら努力しても能力的に自分には到底

無理と思われるような高い山であろうと,とにかく諦めずに一番

下からでもコツコツと積み上げてきた履歴の覚え書きのノート

を,この世からいなくなる前に日記のようにホームページで

残しておこう。。というのが,現在の本ブログの科学記事を

アップする主たる意図になっています。
 

そういう意味では,少なくとも,素粒子論や量子論で,初期の学生

時代の勉強のテキストであり,後の40歳代からは,学生当時には

主に時間が足りなかったために挫折していた部分を,改めてヒマ

なときの趣味として読み返して読了した,

Bjorken-Drell著の「Relativistic QuantumMechanics」と,「Relativistic-QuantumFields」の２冊についての覚え書き

くらいは,全てを記事として残しておきたいと思います。
 

これらのテキストは,関連題目の記事では,記事の最後に参考

文献として書いてありますが,実は,ブログ内容＝覚書きノート

は,このテキストに限らず,参考と書いた文献の全内容を丸写し

どころではなくて,

　もしも私が理解できないなら.最初からブログ記事に上げる

こともないのですが。。。
 

私なりに読んで理解できたものなら.何度か咀嚼,反芻して,

プラスアルファとして行間を自己流注釈で埋めて,私自身が種元

のテキスト無しで読み返しても,そのまま,大して再考の必要なく

スラスラ読めることを旨とした回顧録的自己満足的記事です。
 

逆に,反芻も注釈も必要なく,初めからスラスラ理解できた場合

の記事は,テキストの丸写し的なモノになってるかもしれません。
 

特に断らない限り,科学記事のほとんどには,私個人のオリジナル

な発想などほ無く,私が誤解釈していれば記事は単なるゴミです

し,さもなければ過去や現在の多くの他の方々の知見の寄せ集め

を解説しているに過ぎません。
 

そこで,本ブログでは,Bjorken-Drell著

「Relativistic Quantum-Mechanics」の第９章

Klein-Gordonequation)クライン・ゴルドン方程式)をスキップ

して,第10章の非電磁相互作用(強い相互作用・弱い相互作用)

について記事を進めていたことに,先日気付いたため,

　今回はこの第９章の覚え書きノートからの記事も書いておこう

と思ったわけです。
 

前置きが長くなりましたが,第９章についての覚え書きノート

の最初の日付は1994年３/13となってるので,ここは44歳のとき

に復習したようです。
 

　ちなみに,第8章の「Ｓ行列の高次補正」＝本ブログでは,

「量子電磁力学の輻射補正」の開始ページの日付は,1994年

２/８ですから,その頃はまだ真面目にせっせと続けて読書に

励んでいたようです。
 

(※ イヤ,普通に男女交際とか,酒食,ギャンブルなどの趣味

に走っていれば,もっと,人生幸せでヨカッタでしょうにネ。

困ったモンダ ※)
 

さて,第９章の§9.1 序文(Introduction)から本文に入ります。
 

π中間子のようなスピンがゼロの粒子を含むプロセスにも

伝播関数定式化を用いることができて,これまでの計算の

テクニックを発展させることができます。
 

こうした,スピンゼロの粒子を,単一の成分を持つスカラー

波動関数φ(ｘ)で記述しようと試みます。
 

その結果,一旦は相対論的波動方程式としては捨てられた,

自由粒子のKlein-Gordon(クライン・ゴルドン)方程式：

(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 に戻る方向に導かれます。
 

この方程式は,２次の微分方程式てもあり,また,保存する

正定置な確率を定義できないという理由で,結局,相対論的

波動方程式としては行列を含む形ですがSchoredinger方程式

と同じく１次の方程式のDirac方程式を採用し,その当時は

こちらの方は捨てられたのでした。
 

しかし,これを排除すべきという直接の動機は,ここまでの

Dirac方程式によるFermi粒子の空孔理論や反粒子の存在などの

理論を通じて消えたと考えられ,改めて,時間の逆向きに伝播

する負エネルギー粒子というFeynmanの解釈などを考慮して,

この方程式を再考したいと思います。
 

,電子と同じく,スピンゼロの粒子にも当てはまることがやがて

わかるであろう上記のFeynmanの解釈には,粒子のスピンがどう

であるかは,厳密には関係しません。
 

電子のケースにおけるように再び,こうした描像に導かれる

予定です。
 

例えば.時間の逆向きに伝播する負エネルギーのπ^＋中間子である

その反粒子のπ^－中間子の存在などが確認されます。
 

しばらくの間,こうした粒子に対してはKlein-Gordon方程式

を使うのが適切かどうかを考察します。
 

スピン1/2の電子や核子ほどに安定なスピンゼロ粒子の素粒子

の存在は今のところ知られていません。
 

しかしながら,π中間子やＫ中間子はほとんど安定なスピンゼロ

粒子の候補です。
 

それらは同時に多量に豊富に生成されたり,崩壊したりする粒子

であることが実験的にわかっています。
 

例えば,次に列挙する反応があります。 

ｐ＋ｐ → ｐ＋π^＋＋π^－,ｐ＋ｐ → ｐ＋ｐ＋π⁰, 

ｐ＋ｐ → ｐ＋Λ⁰＋Ｋ^＋, 

π^－＋ｐ → Λ⁰＋Ｋ⁰,Ｋ^－＋ｐ → Λ⁰＋π⁰,

Ｋ^－＋ｐ → π^－＋π^＋,　etc.です。
 

そこで,こうしたスピンゼロ粒子(中間子)に対する波動方程式

としては,こうした可能な生成・消滅反応を考慮する必要が

あります。
 

こうしたスピンゼロの１つの粒子が,光子と相互作用する電子

の世界線の議論において可能であった散乱過程を通過する粒子

の世界線に従うことは不可能です。
 

こうしたことは,荷電π中間子やＫ中間子が光子との相互作用

する際にも真です。

　何故なら,次の図9.1のようなグラフが寄与するからです。

 

 実験,観測においても確認されていますが,単一の

スピンゼロ粒子が生成・消滅することが可能である,という

ことは,それらの相互作用理論が本質的に,粒子の生成消滅

を伴ない粒子数が変動することも可能な多粒子理論(多体問題)

でなければなたないこと,を要求します。
 

そこで,場の量子論形式がこうした問題に最適なのですが,

ここでは,再び,電子と光子に関わる論議のように,波動方程式

(□＋ｍ²)φ(ｘ)＝0 の右辺にソース項(＝湧出し,吸込み)を

付加して,結合した中間子について,直感的な伝播関数アプローチ

を拡張する方法を採用します。
 

これによって多大のことが理解できるようになるはずです。
 

もしも,弱い相互作用まで含めた議論をするなら,スピンゼロ粒子

もまた次のような形の反応で崩壊します。
 

π^＋→μ_＋＋ν,Ｋ^＋→π^＋＋π^＋＋π^－,

Ｋ^＋→π⁰＋μ^＋＋ν　です。
 

こうした弱い崩壊相互作用の非常に小さい振幅の故に,荷電

のπ中間子やＫ中間子は,τ ～ 10^-8sec程度の非常に長い

半減期を有します。

　これは,ｈ_c＝ｈ/(2π)とｃ,および,それらの質量ｍ

で形成される自然な時間単位:ｈ_c/(ｍｃ²)＜10^-23sec を

大きく超えています。
 

それ故,先に列挙したような強い相互作用反応を論じる際

には,弱い相互作用による崩壊や,それによる有限な寿命

～ 10^-8secは,無視することができます。
 

この弱い崩壊を無視する近似では,荷電のπ中間子やＫ中間子

は安定な粒子と見なされ,その初期状態や終期状態の波動関数

を自由な１粒子波動関数として表示し,通常の量子論によって

扱うことができると思われます。
 

ただし,中性のπ⁰中間子,Ｋ⁰中間子もまた,こうした安定な粒子

と見なす議論に含めるのが望ましいのですが,これらには独特

な支配的崩壊モードがあって,これらの半減期はより短かい

ものです。

主要な崩壊反応は,π⁰ → γ＋γ;τ_π0 ～ 10^-16 sec,および, 

 Ｋ⁰ →π_＋＋π^－;τ_Ｋ0 ～ 10^-10 sec　です。
 

しかしながら,これらの崩壊寿命もなお,強い相互作用の反応時間 

を特徴付けると思われる特性時間:10^-23secと比較してはるかに

長いです。
 

そこで,それらの崩壊の原因となる相互作用は最低次の計算

にのみ,含む必要があるかもしれない程度です。
 

それ故,中性のπ⁰中間子,Ｋ⁰中間子もまた強い相互作用を論じる

際には安定な粒子と見なして扱うことにします。
 

先に列挙した強い相互作用反応,弱い相互作用反応に加えて荷電の 

π中間子やＫ中間子は,光子や外電磁場と相互作用します。
 

ここまでの章では,スピンが1/2のDirac粒子である電子や陽子に

ついて光子を含む電磁場との相互作用による散乱現象のみを論

じてきました。
 

そこで,それらの粒子とスピンゼロ粒子との類似性や異なる性質

を見るため,本章の議論は,荷電のスピンゼロ粒子の電磁力学的

相互作用に限定します。
 

伝播関数による理論展開は,電子に関する理論で与えられた

方向性に従って行ないます。
 

また,例えば,π中間子の原子内での束縛状態のように,

外電磁場内での低エネルギー中間子の性質を論じるため

にKlein-Gordon方程式を伝統的な非相対論的方程式に変形

したり,解釈したりすることも行ないます。
 

より一般的な強い核結合や弱い崩壊については,次章で論じる

予定です。
 

§9.2 Klein-Gordon粒子に対する伝播関数 

(The Propagator for Klein-Gordon Particles)
 

 Klein-Gordon方程式:(□＋μ²)φ(ｘ)＝0 の解φ(ｘ)は, 

ずっと以前に誘導されたように,連続の方程式を満たします。
 

すなわち,カレント:

ｊ_μ＝i(φ^＊∂_μφ－φ∂_μφ^＊)；∂_μ≡∂/∂ｘ^μ,に対して,

∂_μｊ^μ＝0 ((∂ρ/∂ｔ)＋∇ｊ＝0) が成立します。
 

(※何故なら, ∂_μｊ^μ＝i∂_μ(φ^＊∂^μφ－φ∂^μφ^＊) 

＝iφ^＊(□＋μ²)φ－iφ(□＋μ²)φ＊＝0です。※)
 

Ｑ(ｔ)≡∫ｄ³ｘρ(ｘ,ｔ)＝∫ｄ³ｘｊ₀(ｘ)

＝i∫ｄ³ｘ(φ^＊∂₀^⇔φ) 

(※ａ∂₀^⇔ｂ≡ａ(∂ｂ/∂ｔ)－(∂ａ/∂ｔ)ｂ　※) 

とすれば,∂_μｊ^μ＝0とGaussの定理からＱは保存します。
 

そこで,Ｑ(ｔ)は,ｔを含まず,単にＱと書いてもいいです。
 

※(注1-1):何故なら,ｄＱ/ｄｔ＝∫_Vｄ³ｘ(∂ρ/∂ｔ)

＝－∫_Vｄ³ｘ(∇ｊ)＝－∫_Sｊ_nｄＳ＝0です。

　ただし,ＶはＱがゼロでない全空間領域,Ｓはその閉じた境界面

の領域(半径:Ｒ)です。

　Ｒ→∞の極限において,Ｓ上のｊの外向き法線成分:ｊ_nが

(1/4πＲ²)よりも急激にゼロに収束するとき,

∫_Sｊ_nｄＳ →0 です。     (注1-1終わり)※
 

正負両符号の振動数を持つKlein-Gordon方程式の平面波解

は体積Ｖの箱の中に粒子が丁度1個存在する,という規格化

では,ｆ_p^(＋)(ｘ)＝(2ω_pＶ)^-1/2exp(－iｐｘ),

ｆ_p^(－)(ｘ)＝(2ω_pＶ)^-1/2exp(iｐｘ)　です。
 

ただし,ｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ),ω_p＝ｐ⁰＝(ｐ²＋μ²)^1/2＞0　です。
 

μはこの粒子の質量で,それ故,ｐ²＝ｐ_μｐ^μ＝(ｐ⁰)²－ｐ²

＝μ² です。
 

※(注1-2): 平面波の波動関数は,1粒子が箱に閉じ込められて

いる場合には.箱の境界で.exp(±iｐｘ)＝0となるような離散的

な運動量ｐのみが許容されます。
 

このとき,Ｑ_ｐｐ'^(±)≡i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p’^(±)(ｘ)] 

 (複号同順)とおけば,Ｑ_ｐｐ'^(±)

＝±(2Ｖ)^-1(ｐ⁰ｐ'⁰)^-1/2(ｐ'⁰＋ｐ⁰)(2ｐ⁰ｐ'⁰)

exp{－(±)i(ｐ⁰－ｐ'⁰)ｔ}∫_Ｖｄ³ｘexp{±i(ｐ－ｐ')ｘ}

(複号同順)となります。
 

これは,ｐ≠ｐ'のときには,exp{±i(ｐ－ｐ')ｘ}が箱の境界

ではゼロなので,Ｑ_ｐｐ' ^(±)＝0です。
 

一方,ｐ＝ｐ'のときにはｐ'⁰＝ｐ⁰で,

∫_Ｖｄ³ｘexp{±i(ｐ－ｐ')ｘ}＝Ｖなので,

Ｑ_ｐｐ^(±)＝i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p^(±)(ｘ)]＝±1

(複号同順)です。
 

つまり,カレント密度:ρ^(±)(ｘ)＝iｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p^(±)(ｘ)

の積分:Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±1 (複号同順)

となるようにｆ_p^(±)(ｘ)が規格化されています。
 

一般には,Ｑ_ｐｐ'^(±)＝±δ_ｐｐ'(複号同順)です。
 

また,すぐわかるように,負振動数(負エネルギー):

－ｐ⁰＝－ω_pの解,と正振動数(エネルギー):ｐ'⁰＝ω_p'の解,

逆に正振動数:ｐ'⁰＝ω_p'と,負振動数:－ｐ⁰＝－ω_pの解の内積

を与える積分はゼロです。
 

すなわち,i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(＋)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(－)(ｘ)] 

＝i∫_Ｖｄ³ｘ[ｆ_p^(―)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(＋)(ｘ)]＝0　です。
 

(注1-2終わり)※
 

有限な体積Ｖの箱の中に１粒子という規格化ではなく,

Ｖ→∞の極限の全空間に１粒子があって,平面波の一定運動量

ｐが箱の境界で消えるとか,周期的境界条件を満たすとかの

離散的量子化条件の必要がなく,

　ｐが如何なる連続的値をも取り得るとした場合,Klein-Gordon

方程式の平面波基本解は, 

ｆ_p^(＋)(ｘ)＝(2π)^-3/2(2ω_p)^-1/2exp(－iｐｘ), および,

ｆ_p^(－)(ｘ)＝(2π)^-3/2 (2ω_p)^-1/2exp(iｐｘ)

で与えられます。
 

このとき,Ｑ_ｐｐ'^(±)≡i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(±)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(±)(ｘ)] 

について,Ｑ_ｐｐ'^(±)＝±δ³(ｐ－ｐ') (複号同順)になるという

デルタ関数式規格化を満たします。
 

また,i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(＋)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(－)(ｘ)] 

＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[ｆ_p^(―)＊(ｘ)∂₀^⇔ｆ_p'^(＋)(ｘ)]＝0 です。
 

※(注1-3):特に,Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±1 ではなく, 

Ｑ_ｐｐ^(±)＝∫_Ｖ＝∞ρ^(±)(ｘ,ｔ)ｄ³ｘ＝±∞であり,密度

の総和が有限ではないですから,正エネルギーのみ採用する

としても直接,粒子の確率密度として扱えるものでは

ありません。
 

したがって,これら完全な平面波ｆ_p^(±)(ｘ)自身は運動量ｐ

が完全に特定されているため,Heisenbergの不確定性原理

の意味で逆に位置ｘは完全に不確定です。

　目の前から無限に離れた宇宙の果てまで,Ｖ＝∞の全空間に

一様に拡がっていて,全く対等な確率で(実は1点の体積はゼロ

で,有限な確率密度で表現される点での確率は体積に比例する

ため,確率ゼロで)どこにでも存在しているという非現実的な

粒子像にしか対応しません。
 

理想的な,まわりからは孤立していて一切力を受けない質点は

常に一定速度(一定運動量)で運動を続ける,というNewtonの

「運動の第一法則(慣性の法則)」に従う古典的な自由粒子像

　つまり,我々にとって常識的な特定軌道で運動する局在化 

した粒子を平面波で表現することはできません。
 

　そこで,量子力学的には現実の空間に局在する自由粒子

は運動量ｐが完全に一定に特定されているわけではなく,

何らかのゆらぎ幅:Δｐでもって,わずかに拡がった,

謂わゆる重ね合わせ波束(wave-Packet)の形で存在する

とします。

　(注1-3終わり)※
 

正振動数の波のみからなる粒子(波束)を, 

φ_＋(ｘ)≡∫_Δｐ[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐで表現します。
 

こうすれば,Ｑ_＋＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ_＋^＊(ｘ)∂₀^⇔φ_＋(ｘ)] 

＝∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_＋(ｐ)|²と書けます。
 

Ｑ_＋は正定置(有限な正の数)ですから,

Ｑ_＋＝∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_＋(ｐ)|²＝＋1となるように係数:

ａ_＋(ｐ)を規格化しておけば,

φ_＋(ｘ)＝∫_Δｐ[ａ_＋(ｐ)ｆ_p^(＋)(ｘ)]ｄ³ｐは,運動量ｐ

の平面波を運動量確率密度:|ａ_＋(ｐ)|²で重ね合わせらた

波であると解釈することが可能です。
 

しかしながら,同様に負振動数の波のみからなる粒子(波束)

を, φ_－(ｘ)≡∫_Δｐ[ａ_－(ｐ)ｆ_p^(－)(ｘ)]ｄ³ｐで定義し, 

　Ｑ_－＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ_－^＊(ｘ)∂₀^⇔φ_－(ｘ)]とすれば,
 

　Ｑ_－＝－∫_Δｐｄ³ｐ|ａ_－(ｐ)|²となって,Ｑ_－＜0ですから,

 単純な確率解釈は困難となります。
 

　ここに,Klein=Gordon方程式の解に対する確率解釈にとって

の困難が凝縮されていました。
 

何故なら,Dirac方程式の解のときにも見たように,通常の粒子

を示す波動関数＝波動方程式の解φ(ｘ):今の場合なら,

Klein-Gordon方程式の一般解φ(ｘ)は,正振動数の平面波だけ

ではなく負振動数の平面波と混合した重ね合わせで与えられ,

その粒子の全空間での存在確率(＝＋1)と解釈したい量: 

Ｑ＝i∫_Ｖ＝∞ｄ³ｘ[φ^＊(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ)]は正にも負にも成り

得るからです。
 

上記のような直感的解釈の是非は後回しにして, Klein-Gordon

方程式のFeynman伝播関数(Feynman^ｐropagator):Δ_Ｆ(ｘ―ｙ)

を見つけたいと思います。
 

※(注1-4):結局は,Dirac方程式の空孔理論と同じく,

正エネルギー波の存在を粒子の存在,負エネルギー波の非存在

を正エネルギーの反粒子の存在と解釈するわけですが,

　スピンゼロのBose粒子は,Fermi統計に従うFermi粒子とは異なり

Pauliの排他原理は成立しないので,

「真空は全ての負エネルギー状態の準位が既に粒子に占められて

いて,もはや入れないDiracの海である。」

というような真空の解釈はできません。
　 

しかし,「正エネルギ－粒子は時間の順向きに過去から未来へ

と進行し,時間の逆向きに未来から過去へ逆行する負エネルギー

粒子を,普通に過去から未来へと順行する正エネルギーの反粒子

と見なす。」というFeymanの伝播関数理論についてはDirac粒子

の場合と同様であると考えます。
 

Fermi粒子であろうと,Bose粒子であろうと,真空と粒子,反粒子

の関係とはそういうものであると定義し,理論の創世期には

反粒子などの仮説の根拠を説明するため必要であった,

真空を負エネルギーのDiracの海である,とかの真空の

さらなるモデル化を追及することはしない,

のが現在主流の立場であろうと思います。

　(注1-4終わり※)
 

余談が多く長くなったので,今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)

中性子の磁気モーメント(再掲載記事)

 　閑話休題で,今から9年前の2007年７/25にアップした過去記事:：

「中性子の磁気モーメント」を再掲載します。

　　本ブログは,2006年3/20に開始しましたが,,その年末に急に

心臓病になり2,007年4月には順天堂大で心臓バイパス手術を

受けて,そのため職も失なって,静養中の,ヒマばかりはあった頃

です。

,

　この頃は,せせと毎日のように張り切ってブログを書き,記事のネタ

にもいろいろと苦労していた磁気で,唐突に,学生時代を思い出して,

素粒子論のカラークォーク模型に基づいて,陽子と中性子の磁気

モーメントの評価をするというテーマの記事を書いたのでした。

　　これは,丁度,今化学記事として進行中の「強い相互作用(湯川相互作用)」

の強い相互作用による核子の電磁構造の変化というテーマにピッタリの

話題のこの磁気を思い出したのでで,全文を再掲載しておきます。

　まあ,一種の手抜きですネ。

(※↓以下は,過去記事の丸写しです。)

　今日は昔の学生時代を思い出して少し素粒子論を復習してみよう

と思います。

　現在ではハドロン(Hadron)を構成するクォーク(Quark)の

フレーバー(Flavor)の自由度は,２種類ずつ３世代あって,

アップ(up),ダウン(down);チャーム(charm),ストレンジ

(strange);ボトム(bottom),トップ(top)の６種類があると

されていますが,

　"核子＝陽子ｐ or 中性子ｎ"を構成するだけなら,

"アップ＝ｕ"と"ダウン＝ｄ"の２種類だけで十分です。

　核子と,その核力を媒介する主要な粒子であるπ中間子を

ｕとｄ,あるいはこれらの反粒子の複合粒子として記述する

には,２次元特殊ユニタリ群:ＳＵ(2),すなわち,アイソスピン

(Isotopic spin;荷電スピン)の群の表現を考えるだけで

十分です。

　"核子＝陽子ｐ or 中性子ｎ"は,ｕとｄの３体で構成される

バリオン(Baryon;(重粒子)であり,スピンが1/2のFermi粒子

(Fermion)です。

　そして素電荷ｅを電荷の単位とすると,陽子ｐは電荷が１

であり,中性子ｎは,電荷がゼロである,ということによって

特徴付けられています。

　そして電荷をＱ,アイソスピンベクトルをＩ,バリオン数をＢと

すると,Ｑ＝Ｉ₃＋Ｂ/2という等式が成立します。

　核子はそのアイソスピンＩがＩ＝1/2で,陽子はＩ₃＝1/2,中性子

はＩ₃＝－1/2の固有状態です。

　ただし,ストレンジネス(Strangeness):Ｓまで考慮に入れると,

Ｑ＝Ｉ₃＋Ｙ/2；Ｙ≡Ｓ＋Ｂとなります。

　Ｙはハイパーチャージ(Hyperchage)といわれる量です。

　私くらいの世代の学生時代なら,丁度卒業の頃くらいにチャーム

(Charm)を与える(Ｊ/ψ)粒子が発見されたわけですから,わかって

いたのはこの程度までです。

　ちなみにスピンがゼロの擬スカラー粒子であるπ中間子に

　ついては,Ｂ＝0,Ｉ＝1であり,π^±,π⁰は,それぞれ,

　Ｉ₃＝±1,0 の固有状態です。

　一般に各素粒子はユニタリ群の既約表現の１つ１つに対応

　していて,超選択則(Superselection rule)により,崩壊現象

　を除けば異なる既約表現間の遷移は禁止されていると考え

　ます。

　一方,クォークｕ,ｄのスピンは1/2で,それらの電荷Ｑは,

 ｅを単位として,それぞれ,2/3,－1/3です。

　ということは,Ｂ＝1/3なので,Ｑ＝Ｉ₃＋Ｂ/2からｕ,ｄ

　のアイソスピンはＩ＝1/2で,それぞれはＩ₃がＩ₃＝1/2,

　－1/2の固有状態であるとしてよいことがわかります。

　ＳＵ(2)群の２次元基本表現を表わすクォーク３体で構成される

　複合粒子＝核子について,３体が合成された直積表現の既約表現へ

　の分解は,　２×２×２＝２＋２＋４　となります。

(因みにストレンジネス:Ｓまで含めたＳＵ(3)だと,

３×３×３＝１＋８＋８＋10　になります。）

さて,まず,２体での既約分解が,２×２＝１＋３となるのは

自明です。

つまり,Ｔ_ij＝Ｔ_[i,j]＋Ｔ_{i,j};Ｔ_[i,j]≡1/2(Ｔ_ij－Ｔ_ji)(反対称＝1)

Ｔ_{i,j}≡1/2(Ｔ_ij＋Ｔ_ji)(対称＝3)　ですね。

　そして,２×２＝１＋３ から,さらに３体では,

２×２×２＝(１＋３)×２＝２＋(２＋４)という既約分解

を得ます。

　まず,右辺の最初の２はアイソスピン 0 と 1/2を合成して

アイソスピン 1/2を作ることに相当します。

　次の２はアイソスピン１と1/2を合成してアイソスピン1/2を

つくることです。

右辺の最後の４はアイソスピン 1と1/2を合成してアイソスピン

3/2をつくることに相当します。

　アイソスピン3/2はＴ_ijkを完全対称にすることで得られますから

Ｔ_[i,j,k]です。

　このテンソルの成分の数はｉ,ｊ,ｋ＝1,2の全ての組み合わせ

の数,つまり,２個から重複を許して３個を選ぶ組み合わせ

なので確かに４個あります。

　これは核子ではなくて,π-ｐあるいはπ-ｎ共鳴であり,

質量が,およそ,1230MeVのΔ粒子(デルタ)を表わしています。 

一方,２×２×２＝２＋(２＋４)の右辺の最初の２はＴ_[I,j]k,

すなわち,(1/2)(Ｔ₁₂₁－Ｔ₂₁₁)と(1/2)(Ｔ₁₂₂－Ｔ₂₁₂)を表わして

います。

よって右辺の残りの２はＴ_{I,j}K－Ｔ_[I,j,k]で与えられます。

これらのゼロでない独立な成分は,(1/3)(2Ｔ₁₁₂－Ｔ₁₂₁－Ｔ₂₁₁)

と(1/3)(2Ｔ₂₂₁－Ｔ₂₁₂－Ｔ₁₂₂)の２つです。

そして,陽子ｐと中性子ｎは,この最後に示した方のＩ₃＝1/2,

－1/2の既約表現に対応するとされています。

　これらはｕ,ｄという記号をそのままｕ,ｄを示す状態の波動関数

として表現すれば,規格化も含めて,

ｐ＝(1/6)^1/2(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ),

ｎ＝(1/6)^1/2(2ｄｄｕ－ｄｕｄ－ｕｄｄ)

となります。

　ところで,こうした理論によるとアイソスピンとスピンが共に3/2

のΔ⁺⁺ 粒子において,スピン成分がｓ_z＝＋3/2の状態は,

Δ⁺⁺_↑＝ｕ_↑ｕ_↑ｕ_↑となります。

これはフレーバー自由度,スピン自由度について共に

完全対称です。

　ハドロンのクォークによる複合粒子としての表現が"軌道角運動量

がゼロの基底状態＝Ｓ状態"で与えられるという仮定によれば,

Δ⁺⁺_↑はクォークの交換に対して位置座標の交換を含めて完全対称

な状態関数で表現されることになります。

　しかし,これはFermi統計,つまり多粒子系の状態はFermi粒子の

交換に対して反対称であるべきである,という要請に矛盾します。 

そこで,実際の理論では,もう１つ別の自由度であるカラー(Color)

というものを導入し,カラー自由度については１重項(無色:Singlet)

であること,つまりクォークの交換についてカラー自由度について

完全反対称の状態にあるとして,この矛盾を解消しています。

そこで,今問題としている陽子:

ｐ＝(1/6)^1/2(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ)と,

中性子:ｎ＝(1/6)^1/2(2ｄｄｕ－ｄｕｄ－ｕｄｄ)

について考えると,これらは１番目と２番目のクォークの交換

について対称です。

　しかし,カラー自由度については完全反対称ですから,スピン

の自由度についても１番目と２番目のクォークの交換について

対称であることが要求されます。

そこでスピン1/2に対する回転群ＳＵ(2)の既約表現についても

同じ変換性を持つ表現で,

|↑＞＝(1/6)^1/2(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)と,

|↓＞＝(1/6)^1/2(2↓↓↑－↓↑↓－↑↓↓)

を採用します。

陽子のスピンアップ状態としては,

ｐ_↑＝(1/6)(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ)(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)

と表現すればいいのでは？と推測されます。

そこで,結局アイソスピンとスピンの両方を考慮したとき,

クォークの交換に対して完全対称でなければならないこと

から,

|ｐ_↑＞＝(1/18)^1/2[ｕｕｄ(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)＋cyclic]

＝(1/18)^1/2[2ｕ_↑ｕ_↑ｄ_↓－ｕ_↑ｕ_↓ｄ_↑－ｕ_↓ｕ_↑ｄ_↑)＋cyclic]

と表現さるべきであることが結論されます。

　同様に,

|ｎ_↑＞＝(1/18)^1/2[ｄｄｕ(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)＋cyclic]

＝(1/18)^1/2[2ｄ_↑ｄ_↑ｕ_↓－ｄ_↑ｄ_↓ｕ_↑－ｄ_↓ｄ_↑ｕ_↑)＋cyclic]

です。

　これらはかつて流行したことのあるフレーバー・スピン対称性;

ＳＵ(6)の対称な,56重項既約表現に対応するものです。

　余談ですが,このＳＵ(6)というのは,対称性の帰結として

角運動量保存則が従う現実世界が等方的であるという性質,

つまり現実の空間での回転群:ＳＵ(2)～ＳＯ(3)というスピン

角運動量に関わる対称性と,フレーバーという内部空間,

アイソスピンならアイソ空間(荷電空間)での回転対称性

を含むＳＵ(3)のフレーバー対称性を合成したものです。

　こうした現実空間と仮想内部空間を混合した対称性

というのは,非相対論で成り立つ近似的なものです。

　こうした混合対称性は相対論まで含めた４次元時空という

実空間に対しては厳密には成立し得ないことが定理として

証明されています。

,

ただし,例外があって超対称性は,この限りではありません。
(※ワインバーグの「場の量子論」邦訳第５巻参照※)

　クォークは電子などのレプトン(Lepton;軽粒子)と同じく,

構造を持たないスピンが1/2の素粒子なので,その磁気回転比

ｇは,ｇ＝２で近似することができます。

そこで,クォークで構成された複合粒子の磁気モーメント

(磁気能率)をμとし,電荷を持つ構成粒子によって,これを

評価すると,μのｚ成分は,

　μ_z＝Σ_i{ｅ_iｈ_c/(2Ｍ_iｃ)}(ｌⁱ_z＋ｇｓⁱ_z)

なる式で与えられると考えられます。

ここで,ｅ_i,Ｍ_i,ｌⁱ,ｓⁱは,それぞれｉ番目の構成粒子の電荷,

質量.軌道角運動量,スピンです。

　また,ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数,ｃは光速です。

ｓⁱ_z＝σⁱ₃/2と書き,ｄの質量とｕの質量は等しい:Ｍ_d  ～ Ｍ_u

とすると,

μ_z|ｐ_↑＞＝ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)(1/18)^1/2

[{(10/3)ｕ_↑ｕ_↑ｄ_↓＋(1/3)ｕ_↑ｕ_↓ｄ_↑＋(1/3)ｕ_↓ｕ_↑ｄ_↑}

＋{(10/3)ｕ_↑ｄ_↓ｕ_↑＋(1/3)ｕ_↓ｄ_↑ｕ_↑＋(1/3)ｕ_↑ｄ_↑ｕ_↓}

＋..]　となります。

したがって,普通に,状態の期待値として陽子ｐの磁気モーメント:

μ^p_z＝＜ｐ_↑|μ_z|ｐ_↑＞を計算すれば,
　μ^p_z＝{ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}×3×(1/18)×[(5/3)×4＋(－1/3)＋(－1/3)]

＝ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)　が得られます。

同様に,中性子ｎでは,

μⁿ_z＝＜ｎ_↑|μ_z|ｎ_↑＞＝{ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}×3×(1/18)

×[(－4/3)×4＋(2/3)＋(2/3)]＝(－2/3){ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}

が得られます。
 

したがって,理論的には,中性子と陽子の磁気モーメントの

比として,μⁿ/μ^p  ～ (－2/3)という結果を得ます。

　実験によると,Bohr磁子μ^B＝ｅｈ_c/(2ｍ_pｃ)を単位として,

核子の磁気モーメントは,陽子pがおよそ2.79で,中性子ｎが

－1.91であることが古くからわかっています。

　つまり,μ^p ～ 2.79μ^B,μⁿ ～ －1.91μ^B です。

　実測値でも,中性子と陽子の磁気モーメントの比は,

μⁿ/μ^p ～ －1.91/2.79 ～ (－2/3)で与えられること

になります。

それ故,先の理論的考察は実験事実を正しく評価しています。

　普通,電荷を持たない物体では角運動量があっても,電流がない

ので磁気モーメントはゼロですから,これは中性子が総体として

の電荷はゼロでも,内部に電荷密度の分布を持つ構造がある証拠

を与えると考えられます。

さらに,μ^p がBohr磁子μ^Bの2.79倍であることが,陽子の質量:

Ｍ_pがクォークの質量:Ｍ_{u 　～}Ｍ_udの~2.79倍程度であることを

示唆していると考えるなら,up,downクォークの質量が,

Ｍ_u ～ Ｍ_d ～ 330MeV程度であろうというクォーク質量の推定値

も得られます。

　参考となる書籍が,徒歩では行けないちょっと離れたトランク

ルームにあり,おまけに風邪で外出もままならないので,

ほとんど記憶に頼って計算したため,合理的な結果を得るまで,

かなり計算間違いを繰り返して苦労しました。

参考文献：S.Weinberg著(青山秀明他共訳)「場の量子論5」

(超対称性；構成と超対称標準模型)(吉岡書店)

(※以上,再掲載記事でした。)

強い相互作用(湯川相互作用)(19)

「強い相互作用(湯川相互作用)」の続きです。
 

前回記事の最後では,実π中間子が運動量遷移ｑ^μで電磁場(光子)

によって散乱される場合の,電磁カレントが,

ｅ(ｐ'^μ＋ｐ^μ) → ｅ(ｐ'^μ＋ｐ^μ)Ｆ_π(ｑ²)

なる形に修正されることを見ました。

　ここで,Ｆ_π(ｑ²)は,πの電磁形状因子

(Electromagnetic　Form-factor)と呼ばれる,不変運動量遷移:

ｑ²みのスカラー関数です。
 

そして,これはｑ²＝0の実光子では,Ｆ_π(0)＝1となるよう規格化

されます。

　つまり,実光子＝光子外線では,観測電荷ｅが裸のそれ:ｅ₀から,

既にｅ＝Ｚ₃^1/2ｅ₀なる形でくり込まれ,光子のπ頂点でも実光子

ｑ²＝0では.正確にｅ(ｐ'^μ＋ｐ^μ)が成立し,物理的電荷ｅの中

に真空偏極などの輻射補正がくり込まれていると解釈するわけ

です。
 

実際,ｑ²＝0には,赤外光子,つまりｐ'＝ｐで,ｑ＝0の,実質的に

πは光子と相互作用をせず,自由粒子として素通りするケースも

含まれます。その場合はＦ_π(0)＝1は明らかですから,その他の

ｑ²＝0の任意の実光子でも連続性からＦ_π(ｑ²)＝1とするわけ

です。
 

Ｆ_π(ｑ²)の構造をさらに追及するには,摂動論よりも強力な

アイデアと計算テクニックが必要です。

(※ そもそも,摂動法は,相互作用が小さいという仮定で,それを

微小な摂動として,その１次の項,2次の項,..と加えていって近似

できるという仮定が骨子ですが,相互作用が大きい強い相互作用

にもそれが有効である,という保証はありません。※)
 

既に,ｅ(ｐ'^μ＋ｐ^μ) → ｅ(ｐ'^μ＋ｐ^μ)Ｆ_π(ｑ²)は,π中間子

の電磁場による散乱に対する微分断面積の形を限定している,

という意味で1つの強力な結果を構成しています。

　例えば,微細構造定数αの最低次までは,ｑ²を固定している

ことを除いて,異なるエネルギーと散乱角での断面積比は,

Ｆ_π(ｑ²)には依存せず,強い相互作用を無視するなら,第９章

「クライン・ゴルドｍ方程式」で計算しに断面積比のままです。

(※↑実は第9章の内容は一切ブログ記事にしてないことに,

今気付きました。この記事も準備してアップする予定です。)
 

同様な電磁形状因子が存在するという結果は,核子(陽子,中性子)

やハイペロン(hyperon＝奇妙さを持つ粒子:strange-particles)

の電磁カレントを論じる上でも得られます。

核子の場合はスピンゼロのπ中間子とは異なり,2つのスピン

自由度を有するので,2つの独立なスカラー関数が形状因子を構成

する可能性があります。

　例えば,陽子ｐについては,図10.13に示されるようなオーダーｇ₀²

のグラフに遭遇します。

Feynmanグラフについてのルールによれば,これに対応する陽子

のカレントの対応する修正は,次のようになります。

ｕ~(ｐ')ｅγ_μｕ(ｐ) → ｕ~(ｐ')ｅγ_μｕ(ｐ) 

＋(－iｇ₀√2)²∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4ｕ~(ｐ')iγ₅i(ｐ－ｋ－Ｍ)^-1

iγ₅ｕ(ｐ)i(ｋ²－μ²)^-1ｅ(2ｋ_μ＋ｑ_μ)i{(ｋ－ｑ)²－μ2}^-1
 

＋(iｇ₀)²∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4ｕ~(ｐ’)iγ₅i(ｐ'－ｌ－Ｍ)^-1

ｅγ_μi(ｐ－ｌ－Ｍ)^-1iγ₅ｕ(ｐ)i(ｌ²－μ²)^-1 

≡ｕ~(ｐ)ｅΓ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ)　　です。
 

※(注19-1)：頂点のアイソスピン部分は,座標表示では,

(－iｇ₀)(γ₅τ_α)∫ｄ⁴ｘであり,陽子ｐの外線因子はχ_p^＋,χ_p

です。

　また,π中間子内線はiΔ_F(ｘ－ｙ)δ_αβ,ただしδ_αβ,は３次の

単位行列成分で,中間子に結合した頂点のτ_α,τ_βに結び付きます。
 

故に,アイソスピン部分は,

Σ_α,βχ_p^＋τ_α^＋δ_αβτ_βχ_p＝Σ_α[χ_p^＋(τ_α)²χ_p]＝３ 

ですが,πの内線がπ⁰のみの場合は。[χ_p^＋(τ₃₎²χ_p]＝1

です。

　πの内線がπ^＋のみの場合は,

[χ_p^＋(√2τ_＋)(√2τ_－)²χ_p]＝2です。　(注19－1終わり)※
 

さて,π中間子のカレントのケースでもそうであったように,

陽子のカレントも４元ベクトルとして変換します。
 

運動量による積分:∫ｄ⁴ｋ,∫ｄ⁴ｌの実行後には,陽子スピノル: 

ｕ~(ｐ')とｕ(ｐ)に挟まれた後でも,消えずに残るベクトル量は

共変形ではｐ_μ,ｐ'_μ,γ_μのみです。

　そして,他の任意のガンマ行列は,ｐ,ｐ',またはγ₅の因子の形

でなければなりません。しかし,γ₅は除去できます。

　というのは,Feynmanグラフでのπ-Ｎ頂点は偶数個なので,γ₅

因子も偶数個となって,ペアごとにγ₅^２＝1により,全体として

は消えるからです。
 

さらに,陽子運動量によるｐ＝γ^μｐ_μ,ｐ’＝γ^μｐ'_μは,

μ≠νのγ^μ,γ^νが反交換するため,符号を変えて左端か

右端に移動させることができて,Dirac方程式:

(ｐ－Ｍ)ｕ(ｐ)＝0,ｕ~(ｐ')(ｐ'－Ｍ)＝0 により, 

ｐもｐ'も核子質量Ｍに置き換えることができます。
 

こうした論旨から, 

ｕ~(ｐ)ｅΓ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ)＝ｕ~(ｐ')ｅγ_μｕ(ｐ) 

＋(－iｇ₀√2)²∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4ｕ~(ｐ’)iγ₅i(ｐ－ｋ－Ｍ)^-1

iγ₅ｕ(ｐ)i(ｋ²－μ²)^-1ｅ(2ｋ_μ＋ｑ_μ)i{(ｋ－ｑ)²－μ2}^-1 

＋(iｇ₀)²∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4ｕ~(ｐ')iγ₅i(ｐ’－ｌ－Ｍ)^-1

ｅγ_μi(ｐ－ｌ－Ｍ)^-1iγ₅ｕ(ｐ)i(ｌ²－μ²)^-1 

で与えられる,

Γ_μ(ｐ',ｐ)の一般構造は,次の形になると結論されます。
 

すなわち,ｕ~(ｐ')ｅΓ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ) 

＝ｅｕ~(ｐ')[ｐ_μΓ₁(ｑ²)＋ｐ'_μΓ₂(ｑ²)＋γ_μΓ₃(ｑ²)]ｕ(ｐ)
 

ただし,Γ_k(ｑ²)(ｋ＝1,2,3)は,ｑ²のスカラー関数です。
 

この形が,核子の電磁カレントの一般形であると考えることが

できます。
 

そして,前記事でπ中間子の電磁カレントに対する保存の要請

が,その補正カレントＩ_μ(ｐ',ｐ)について,ｑ^μＩ_μ(ｐ',ｐ)＝0

なる形で満たされることを見たのと同じく,

　核子の電磁カレントの保存として,

ｑ^μｕ~(ｐ')Γ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ)＝0 が成立することが

わかります。
 

なお,補正前のΓ_μ(ｐ',ｐ)＝γ_μの素朴なカレント：

ｕ~(ｐ')γ_μｕ(ｐ)については,Dirac方程式から, 

ｑ^μｕ~(ｐ')γ_μｕ(ｐ)＝ｕ~(ｐ')[(ｐ'―Ｍ)－(ｐ－Ｍ)]ｕ(ｐ)

＝0 となることは自明です。
 

※(注19-2)：前回の記事では,π中間子の電磁カレントの修正: 

ｊ^μ＝ｅ(ｐ_f＋ｐ_i)_μ→ ｅ(ｐ_f＋ｐ_i)_μ＋Ｉ_μ(ｐ_f.ｐ_i)

を与えるウラフにおいて,

実π中間子の電磁場による散乱に対する,グラフの評価式で,

積分変数をｋ→ｋ＋ｑとずらしても(積分結果が有限なら),

散乱振幅が不変に留まるという論旨から,

ｑ^μＩ_μ(ｐ’,ｐ)＝0 が成立すると結論されました。

　そして,これはｑに対するFourier成分ではなく,位置座標ｘ

による表示で見ると,∂_μｊ^μ(ｘ)＝0 ,つまり,電磁カレント

の保存を意味すること,を見ました。

(注19-2終わり)※
 

さて,核子の電磁カレントも保存するという式:

ｑ^μｕ~(ｐ')Γ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ)＝0 により, 

ｕ~(ｐ')[ｐ'^μΓ_μ(ｐ',ｐ)－ｐ^μΓ_μ(ｐ',ｐ)­]ｕ(ｐ)＝0

です。
 

故に,

ｕ~(ｐ')[(ｐ',ｐ)Γ₁(ｑ²)＋Ｍ²Γ₂(ｑ²)＋ｐ'Γ₃(ｑ²)]ｕ(ｐ) 

＝ｕ~(ｐ')[Ｍ²Γ₁(ｑ²)＋(ｐｐ')Γ₂(ｑ²)＋ｐΓ₃(ｑ²)]ｕ(ｐ)

なので,ｕ~(ｐ')[{(ｐｐ')－Ｍ²}{Γ₁(ｑ²)－Γ₂(ｑ²)}]ｕ(ｐ)

＝0 です。
 

一般に、{(ｐｐ')－Ｍ²}≠0ですから,上式が恒等式なら,

Γ₁(ｑ²)＝Γ₂(ｑ²)を得ます。
 

それ故,電磁カレントの最も一般的形式としては,

ｅｕ~(ｐ')Γ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ) 

＝ｅｕ~(ｐ')[(ｐ_μ＋ｐ'_μ)Γ₁(ｑ²)＋γ_μΓ₃(ｑ²)]ｕ(ｐ) 

と書けるはずです。
 

しかし,核子の電磁構造を論じる際には,Gordon変形を用いて

ベクトル因子:(ｐ_μ＋ｐ'_μ)を除去した形にするのが慣例です。
 

すなわち, (ｐ_μ＋ｐ’_μ)＝2Ｍγ_μ－iσ_μνｑ^νとして,代入し,

ベクトル形の因子をスピン行列テンソルの因子に変換します。 

ただし,σ_μν≡(i/2)[γ_μ,γ_ν]です。
 

すると,ｅｕ~(ｐ')Γ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ) 

＝ｅｕ~(ｐ')[(2Ｍγ_μ＋iσ^μνｑ_ν)Γ₁(ｑ²)＋γ_μΓ₃(ｑ²)]ｕ(ｐ)

ですから,
 

最終的な核子の電磁形状因子としては,

ｅｕ~(ｐ')Γ_μ(ｐ',ｐ)ｕ(ｐ) 

＝ｅｕ~(ｐ')[γ_μＦ₁(ｑ²)＋{iσ^μνｑ_ν/(2Ｍ)}κＦ₂(ｑ²)]ｕ(ｐ) 

なる形になることがわかります。
 

ｅは物理的素電荷であり,陽子ｐについては,Ｆ₁(0)＝Ｆ₂(0)＝１, 

κ＝κ_p＝1.79,で,中性子ｎについてはＦ₁(0)＝0,Ｆ₂(0)＝１. 

κ＝κ_n＝－1.91と規格化します。
 

※(注19-3):Gordon変形(Gordon-reduction)とは,質量がＭの

自由粒子のDirac方程式:(iγ^μ∂_μ－Ｍ)ψ＝(γ^μｐ^_μ－Ｍ)ψ＝0

の2つの解をψ＝ψ₁,ψ₂とするとき,  

2Ｍψ₂~γ^μψ₁＝[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁]

 －iｐ^_ν(ψ₂~σ^μνψ₁)　なる式が成立することをいいます。

ただし,σ^μν≡(i/2)[γ^μ,γ^ν]です。
 

まず,一般に,任意の２つの４元ベクトルａ^μ,ｂ^μに対して,

ａ＝ａ_μγ^μ,

ｂ＝ｂ_νγ^νとすると,

ａｂ＝ａ_μγ^μｂ_νγ^ν＝ａ_μｂ_ν[(1/2)(γ^μγ^ν＋γ^νγ^μ)

＋(1/2)(γ^μγ^ν－γ^νγ^μ)]＝ａ_μｂ^μ－iａ_μｂ_νσ^μν

なる公式が成立します。
 

特に,ａ_μ,ｂ_μの一方:ｂ_μが演算子:ｐ^_μの場合は, 

 ａｐ^＝ａ_μγ^μｐ^_νγ^ν＝ａ_μｐ^^μ－iａ_μｐ^_νσ^μν,

かつ,ｐ^ａ＝ｐ^_μγ^μａ_νγ^ν＝ｐ^_μａ^^μ－iｐ^_μａ_νσ^μν

です。
 

自由 Dirac方程式の解:ψ₁,ψ₂は,γ^μ(ｐ^_μψ₁)－Ｍψ₁＝0 ,

および,－(ｐ^_μψ₂~)γ^μ－Ｍψ₂~＝0 を満たします。
 

それ故,まず, [－(ｐ^_μψ₂~)γ^μ－Ｍψ₂~]ａψ₁＝0 より, 

－ａ^_μ(ｐ^^μψ₂~)ψ₁－iａ_νσ^μν(ｐ^_μψ₂~)ψ₁－Ｍψ₂~ａψ₁

＝0 です。また,ψ₂~ａ[γ^μ(ｐ^_μψ₁)－Ｍψ₁]＝0 より, 

ａ_μ(ψ₂~ｐ^^μψ₁－iａ_μσ^μν(ψ₂~ｐ^_νψ₁)－Ｍψ₂~ａψ₁＝0　

です。
 

これらを,辺々加え合わせると,

2Ｍａ_μψ₂~γ^μψ₁＝ａ_μ[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁]

－iａ_μｐ^_ν(ψ₂~σ^μνψ₁)　ですが,これが,任意のａ_μに対して

成立する恒等式なので,結局,Gordon式: 

2Ｍψ₂~γ^μψ₁＝[ψ₂~ｐ^^μψ₁－(ｐ^^μψ₂~)ψ₁]

－iｐ^_ν(ψ₂~σ^μνψ₁)　が得られます。
 

この式を,運動量表示でψ₁(ｘ),ψ₂(ｘ)のそれぞれに対応する

Fourier成分をｕ(ｐ),ｕ(ｐ')とすると, 

2Ｍｕ~(ｐ')γ^μｕ(ｐ) 

＝ｕ~(ｐ')[(ｐ^μ＋ｐ'^μ)＋iσ^μν(ｐ'_ν－ｐ_ν)]ｕ(ｐ)

です。
 

そこで両側を,ｕ~(ｐ')とｕ~(ｐ)で挟むという前提では, 

2Ｍγ^μ＝(ｐ^μ＋ｐ'^μ)＋iσ^μν(ｐ'_ν－ｐ_ν)

＝(ｐ^μ＋'’^μ)＋iσ^μνｑ_ν

つまり,(ｐ^μ＋ｐ'^μ)＝2Ｍγ^μ－iσ^μνｑ_νです。
 

(注19－3終わり)※
 

今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics" (McGrawHill)

訃報！！蜷川幸雄さん。

　元俳優で,演出家の蜷川幸雄さんが,５月12日に亡くなられていたことがわかりました。　昨年末ごろから体調不良で最後は多臓器不全でした。。

　享年,80歳でした。

　Yahooニュース　→　 演出家の蜷川幸雄さん死去。。８0歳 　　

 蜷川さんがどういった演劇を演出したのか？については寡聞にして私はよく知りませんが,,熱血のあまり,,椅子が飛んだ。。とか,鬼のような熱列な演劇指導ぶりについては,よく聞いていました。

　俳優でかつ,演出家というと私の知る限りでは,,劇団民芸の宇野重吉や滝沢修などを知っています。

　蜷川氏は,一般の高齢者を俳優として募集した,。。というニュースなどを見て,異色な方だと着目はしていました。

　　ご冥福を祈ります。合掌！！

祝！！レスター優勝

イングランドプレミアリーグ。。弱小といわれていたレスターが優勝した。

以前は,魂のストラーカー。。。技術よりも執念でという感覚と風貌もゴン中山に似ていて,なんとなく中山２世と思っていました。１世を超えたかな。。

　とにかく走る走る。。献身的。。ＦＷではないがインテルの長友もそうだ。海外で活躍する日本人選手の１つの特徴かな。。

　　おめでとう！！レスター。。そして岡崎慎司

強い相互作用(湯川相互作用)(18)

「強い相互作用(湯川相互作用)」の続きです。

　前回最後の約束通り電磁形状因子の話です。
 

§10.9　中間子と核子の電磁構造 

(Electromagneic Structure of Mesons and Nuclrons)
 

中間子πと核子Ｎの相互作用は,既述した通り,それらの強い

相互作用に影響されます。
 

陽子ｐの磁気モーメントは,電荷ｅの粒子に対するDirac方程式

から 予測される値:1.0μ_Bに比べて異常に大きい値:2.79μ_Bを

持つことが,かなり昔から知られています。
 

ここで,μ_Bは,μ_B≡ｅｈ_c/(2Ｍ_pｃ)であり,これは核子のBohr

磁子(Bohr Magneton)です。(ｈ_c＝ｈ/(2π),ｈはPlank定数)

(※自然単位ではμ_B＝ｅ/(2Ｍ_p)ですが特にここだけ単位を

入れてみました。※)
 

　ただし,「量子電磁力学の輻射補正」の項目で２次のくり込み

として求めたSchwingerの異常磁気能率項:{α/(2π)}μ_B などの

補正については,今は無視しています。
 

同様に,中性子ｎは－1.91μ_Bの磁気モーメントを持ちます。

しかし,Dirac方程式は電荷ゼロの中性粒子については.

磁気モーメントはゼロであることを予測します。
 

Dirac方程式:(iγ^μ∂_μ－Ｍ)Ψ(ｘ)＝0で,電磁相互作用を

導入するには,通常は極小電磁結合(minimalcoupling):

iγ^μ∂_{μ →} γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)なる置き換えを行いますが,

これからは,1.0μ_Bの磁気モーメントが得られるだけです。
 

したがって,この極小置換の代わりに,さらに磁気相互作用

をも加えて,

iγ^μ∂_{μ →} γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)－(κ_Nμ_B/2)σ_μνＦ^μν

としてみます。

ここに,κ_ｐ＝1.79,κ_ｎ＝－1.91です。
 

ただし,σ_μνは,σ_μν＝(i/2)[γ^μ,γ^ν] で定義されています。 

したがって,σ_νμ＝－σ_μνであり,μ＝νならゼロです。 

また,Ｆ^μν＝∂^νＡ^μ－∂^μＡ^νです。
 

※(注18-1):{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)－Ｍ}Ψ_N(ｘ)＝0 の非相対論的極限 

では,Ψ_H ～ [ψ,0]^Ｔとすると,[(μ_BσＢ)ψ,0]^Ｔという項が出ます。
 

何故なら,σ_ij＝σ^ij(ｉ,ｊ＝1,2,3)は.細胞対角成分がPauli行列;σ^k

の細胞対角行列です。ただし,(ｉ,ｊ)＝(1.2)ならσ₁₂＝iγ¹γ²,

なのでｋ＝3,同様に,(ｉ,ｊ)＝(2.3)ならｋ＝1,(ｉ,ｊ)＝(3.1)

ならｋ＝2です。
 

その他の(ｉ,ｊ)成分は,反対称性:σ_ji＝－σ_ijから決まります。
 

また,Ｆ^ij＝∂^jＡⁱ－∂ⁱＡ^jより_,(Ｆ₂₃,Ｆ₃₁,Ｆ₁₂)＝∇×Ａ＝Ｂ

です。故に,Σ_ij＝1³σ_ijＦ^ij＝[(2σＢ)ψ,0]^Tです。
 

他方,(Ｆ¹⁰,Ｆ²⁰,Ｆ³⁰)＝∂Ａ/∂ｔ－∇φ＝Ｅ＝－(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³)

であり,σ^k0＝iγ^kγ⁰＝ですが,これは細胞対角成分がゼロの細胞

反対角行列なのでΣ_ｋ＝1³(σ_k0Ｆ^ｋ0＋σ_0kＦ^0k)も細胞反対角行列の

ため,ψ_N ～ [ψ,0]^Ｔに作用させると大成分(上成分)ψには寄与

しません。
 

故に,非相対論的極限では,この－(κ_Nμ_B/2)σ_μνＦ^μνの項を

加えることで２成分スピノルψに対して,これが陽子波動関数

なら－{(1＋κ_B)μ_BσＢ)}ψ,中性子波動関数なら,

－κ_Bμ_B(σＢ)ψという磁気モーメントによるPauli項 

を得ます。
 

相対論的には, 付加項はLorentzスカラーであるべきなので,

μ,νの一方が 0 の場合も含めて,－(κ_Nμ_B/2)σ_μνＦ^μνを

加えると正しいHamiltonian密度が得られると予想されます。　
 

(何故なら,磁場Ｂの中に磁気モーメントμの磁石(磁気双極子)が

ある場合の磁気エネルギーは,－μＢです。)　　(注8-1終わり)※
 

しかし,より有効なアプローチは,このような新しいパラメータ

を含む項を導入するような試みは避けて,通常の極小結合変換:

iγ^μ∂_{μ →} γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)に忠実に議論を進める方法です。
 

このアプローチは,上述の異常磁気モーメントも含む

[γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)]からの全ての偏差を,強い相互作用の影響

に帰せしめるものです。
 

強い相互作用と電磁相互作用の違いはありますが,この同じ

精神のアプローチで2011年4/4から７/3までの過去記事:

「量子電磁力学の輻射補正」の(1)～(14)では,原子のエネルギー

準位におけるLambシフトや電子の異常磁気モーメントが光子

(電磁波)と電子の電磁相互作用の効果を考慮することにより, 

現在の実験的精度の限界まで説明できることを見ました。
 

　このときは最低次のくり込みに頼った詳細な計算を行って

定量的評価を得きましたが,

　強い相互作用には電磁相互作用ほど理論的基盤が無いため,

今回は,詳細な計算に頼ることなく,不変性(対称性)の要請のみ

にに頼ることで,強い相互作用で生成される[γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)]

からの修正の一般形式を確立することを試みます。
 

今のπとＮの相互作用の例では,Lorentz不変性と電磁カレント

の保存の要請が１粒子の電磁頂点(Vertex)を厳しく限定します。
 

最初に,図10.12(ａ)の電磁相互作用の光子のπ中間子頂点へ

の(強い相互作用)による)”輻射補正”を与える図10.12(ｂ)

のグラフを考察します。

　π-Ｎの強い相互作用でのFeynman-ruleによれば,  

図10.12(ａ)の頂点への図10.12(ｂ)による電磁カレント

の補正は,

ｅ(ｐ^μ＋ｐ'^μ) → ｅ(ｐ^μ＋ｐ'^μ)

＋(－iｇ₀√2)²(－)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4

×Ｔr[(ｐ’＋ｋ－Ｍ) ^-1(ｅγ_μ)(ｐ＋ｋ－Ｍ) ^-1

(iγ₅)(ｋ－Ｍ)^-1(iγ₅)]≡ｅ(ｐ^μ＋ｐ'^μ)＋Ｉ_μ(ｐ',ｐ)

です。
 

※(注18-2):電磁相互作用する光子に電荷がｅのFermi粒子

が２本接続する電磁相互作用頂点では,その質量ｍ,電荷ｅの

Dirac粒子の波動関数(スピノル)ψが従うDirac方程式は,

(iγ^μ∂_μ－ｍ)ψ＝ｅγ^μＡ_μψであり,これに基づく

Feynman-ruleでは,1つの頂点の寄与は,(－iｅγ^μ)で,

これに光子の波動関数:Ａ_μ,またはその伝播関数が接続する

のでした。
 

図10.12(ａ)のように,同じ光子の電磁相互作用頂点で

Dirac粒子でなく質量μ,電荷ｅのBose粒子である荷電π

中間子が２本接続するときは,

　自由中間子の従うKlein-Gordon方程式:

(□＋μ²)φ＝(∂_μ∂^μ＋μ²)φ＝0で,極小変換:

i∂_μ → (i∂_μ－ｅＡ_μ)により,光子の電磁相互作用

があるときは,粒子が従う方程式は,

[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²]φ＝0 となります。
 

これに,ゲ－ジ条件を物理的状態の付帯条件:

(∂_μＡ^μ(＋))|phys＞＝0で与えて,実質上の方程式は,

(□＋μ²)φ＝(－i∂_μφ)(ｅＡ^μ)＋(ｅ²Ａ_μＡ^μ)φ 

となるため,

　運動量ｑで入ってくる光子が,運動量がｐ'のπ^＋と運動量

が－ｐのπ^－の対に偏極(対生成)する(未来から負エネルギー

の運動量ｐのπ^＋が入ってきて過去に進み,運動量ｑの光子

を吸収し,そこからは正エネルギーのｐ'＝ｐ＋ｑのπ^＋と

なって,また未来へと出ていく)ときの単純な頂点のｅの

１次摂動の因子は,(－i)×ｅ(ｐ^μ＋ｐ'^μ)です。
 

しかし,π中間子に核子が２本接続する強い相互作用頂点

の場合は,πが擬スカラー粒子でもあり,核子の波動関数

Ψ＝[ψ_p,ψ_n]^Tが従うDirac方程式は,

(iγ^μ∂_μ－Ｍ)Ψ＝ｇ₀iγ₅(τφ)Ψ　なので,これに基づく

Feynman-ruleでは,このπ中間子の強い相互作用の１頂点の 

寄与は(－iｇ₀)(iγ₅τ)であり,これにπ中間子の波動関数

：φ＝(Φ¹,φ²,φ³)または,その伝播関数が接続します。
 

上述のことは,2012年8/１にアップした本ブログの過去記事: 

「強い相互作用(湯川相互作用)(6)アイソスピン1)」における 

　アイソスピン定式化の項目を参照したものです。
 

それによれば,核子の波動関数Ψ＝[ψ_p,ψ_n]^Tが従う

Dirac方程式は,(iγ^μ∂_μ－Ｍ)Ψ＝ｇ₀iγ₅(τφ)Ψであり,

一方,π中間子の波動関数φ＝(Φ¹,φ²,φ³)は,

Klein-Gordon方程式(□＋μ²)φ＝－ｇ₀Ψ~iγ₅τΨ

に従います。
 

図10.12(ｂ)のグラフは運動量ｑで入ってくる光子が,

運動量(ｐ'＋ｋ)の陽子と(－ｐ－ｋ)の反陽子との対

(ただし,ｑ＝ｐ'－ｐ)に偏極(対生成)して,時間の正の向き

には運動量(ｐ'＋ｋ)の陽子から,強い相互作用の1頂点で

運動量ｐ'のπ^＋中間子を放出します。
 

その後には,運動量ｋの中性子が進み,次の頂点では,時間

の逆向きに運動量ｐのπ^＋が吸収されて(＝運動量－ｐの

負エネルギ－のπ^－が時間の正の向きに放出されて),運動量

(ｐ＋ｋ)の負エネルギーの陽子となって進み全体として核子

線ループを作っています。
 

　これの寄与を求めるには,まず,核子ＮのFeyman伝播関数:

　iＳ_F(ｘ－ｙ)＝i∫ｄ⁴Ｐ(2π) ^-4[exp(－iＰｘ)(Ｐ－Ｍ＋iε)^-1

の運動量表示のi(Ｐ－Ｍ＋iε)^-1のＰに,それぞれ,Ｐ＝ｐ'＋ｋ,

Ｐ＝ｋ,Ｐ＝ｐ＋ｋを代入して,その間に頂点因子:(－iｅγ_μ),

(－iｇ₀)(iγ₅)を挟んで積を取ります。
 

　これは,アイソスピンのτと関わる因子を除いたもので.

 これば,(－iｇ₀)i(ｐ'＋ｋ－Ｍ) ^-1(－iｅγ_μ)×

　i(ｐ＋ｋ－Ｍ) ^-1(－iｇ₀) (iγ₅)i(ｋ－Ｍ)^-1((－iｇ₀)(iγ₅)]

でで与えられ,さらにFermionループなので,頂点因子　の寄与

　としてはトレースを取り,積分:(－)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4

 を実行します。
 

ここで考慮をはずしたアイソスピン因子を含む計算では,

ループ上の核子のFeyman伝播関数は,iＳ_Fだけではなく,

アイソスピンの２×２Pauli行列:τ＝(τ¹,τ²,τ³)にも

作用するよう,１を２×２単位行列として, 伝播関数は,

iＳ_F１であると解釈します。
 

　その1のα行β成分はδ_αβですから.ループの寄与を陽に

書くと,iＳ_Fδ_αβ(iγ₅τ)iＳ_Fδ_αβ(iγ₅τ) です。

一方の頂点で,|π⁺＞＝φ_＋|ｐ'＞＝(1/√2)[1,I,0]^Ｔφ_p'

を放出し,もう一方の頂点からは,|π^－＞＝φ_＋|ｐ＞

＝(1/√2)[1,－i,0]^Ｔφ_pをも放出するとき,

 頂点因子のうちのアイソスピンに関わる因子のみの寄与は, 

　δ_αβ(τφ_＋^＊)_βγδ_γρ(τφ_＋)_ρα＝Ｔr[(τφ_＋^＊)(τφ_＋) 

　＝Tr(√2τ^－)(√2τ^＋]＝(√2)² です。
 

ここで,τ^－＝(1/2)(τ¹－τ²),τ^－＝(1/2)(τ¹＋τ²)より,

τ^－τ^＋＝1を用いました。
 

結果として,全ての寄与は,(－iｇ₀√2)²(－)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

×Ｔr[i(ｐ'＋ｋ－Ｍ) ^-1(－iｅγ_μ)i(ｐ＋ｋ－Ｍ) ^-1(iγ₅)

i(ｋ－Ｍ)^-1(iγ₅)]　となります。
 

摂動論の次数ごとにかかる(―i)因子を考慮し,2次補正項

の因数を最低次のｅ(ｐ^μ＋ｐ'^μ)のそれに合わせ,伝播関数

のiを除去すると,付加すべき項Ｉ_μ(ｐ',ｐ)の正しい計算式

として,

(－iｇ₀√2)²(－)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

　×Ｔr[(ｐ'＋ｋ－Ｍ) ^-1(ｅγ_μ)i(ｐ＋ｋ－Ｍ) ^-1

　(iγ₅)(ｋ－Ｍ)^-1(iγ₅)]　が得られます。　

　　(注18-2終わり)※
 

しかしながら,上記のＩ_μ(ｐ',ｐ)の具体的な積分表現式

には,それほど興味は感じられません。何故なら,これは

ｇ₀²の発散する級数展開の第1項に過ぎず,しかもこの項

自身も明らかに発散するからです。
 

この強い相互作用では,電磁相互作用の補正でやったような

くり込み処方を適用することができそうにありません。
 

しかし,これがLorentz変換の下でのπ^＋の電磁カレント

への加えられた寄与の形であるとして,もしも有限なら

如何に変換するか？を見るのは興味深いことです。
 

こうした変換性は全ての高次のオーダーでも真であると

考えられます。
 

Ｉ_μ(ｐ',ｐ)＝(－iｇ₀√2)²(－)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

×Ｔr[(ｐ'＋ｋ－Ｍ) ^-1(ｅγ_μ)i(ｐ＋ｋ－Ｍ) ^-1

(iγ₅)(ｋ－Ｍ)^-1(iγ₅)]　においてトレースを取り,

ｄ⁴ｋ積分を実行したものが有限なら,右辺がLorentz

４元共変ベkトルとして変換するのは明らかです。
 

ここで,関係する独立で使用可能な４元共変ベkトルはｐ_μ

とｐ'_μだけですから,このＩ_μ(ｐ',ｐ)は次のように書ける

はずです。 

すなわち,Ｉ_μ(ｐ',ｐ)＝ｐ_μｆ₁(ｐ²,ｐ'²,(ｐ－ｐ')²) 

＋ｐ'_μｆ₂(ｐ²,ｐ'²,(ｐ－ｐ')²)　です。
 

係数:ｆ₁,ｆ₂は形状因子(form factor)と呼ばれ,

３つの独立なスカラー:ｐ²,ｐ'²,(ｐ－ｐ()²のスカラー

関数です。
 

もしも,時間の正の向きを図の下から上に取り, 

電磁ポテンシャルによる実中間子の散乱のグラフと限定 

するなら,ｐ²＝ｐ'²＝μ²ですから.形状因子:ｆ₁,ｆ₂は, 

不変運動量遷移:ｑ²＝(ｐ'－ｐ)²のみの関数となります。
 

　そして,さらなる制限はカレント保存の要請から得られます。 

　例えば,実中間子の電磁カレントの運動量ｑ^μ成分に対しては,

 ｑ^μＩ_μ(ｐ',ｐ)＝ｐ^μＩ_μ(ｐ',ｐ)－ｐ'^μＩ_μ(ｐ',ｐ)＝0

　です。

　この結果は,積分表現式: 

Ｉ_μ(ｐ',ｐ)＝(－iｇ₀√2)²(－)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4  

×Ｔr[(ｐ'＋ｋ－Ｍ) ^-1(ｅγ_μ)i(ｐ＋ｋ－Ｍ) ^-1 

(iγ₅)(ｋ－Ｍ)^-1(iγ₅)]において,
 

積分変数をｋ → ｋ＋ｑのようにシフトしても,積分が

有限なら結果が変わらない。。という2011年４/８の

過去記事: 「量子電磁力学の輻射補正(2)(真空偏極1)」

の光子の真空偏極についての結果に同様な方法で証明

できます。

　　そして,実際には積分は有限でないので,有限化する手続き 

が必要なため,同様なあいまいさもあります。
 

※(注18-3)：念のため「量子電磁力学の輻射補正(2)(真空偏極1)」

より,ほんの一部の図を転載です。

　　下図８.５に描写したように,電子loopはＡ^μ(ｑ)が相互作用

するブラックボックス(？＝頂点)を流れるcurrentに対して

　ｅ²補正を与えます。

　(※この図の実線＝電子をπ中間子に変更すれば図10.12に

　なります。※) 

　　　

(注18-3終わり)※

　※(注18-4):πの散乱と見ると,図10.12(ａ)では,一部係数を 

除いてＳ行列要素は, 

Ｓ_fi＝(2π)^-3(4ω_fω_i)^-1/2ｅ(ｐ_f＋ｐ_i)_μＡ^μ(ｑ)ですが,

　これに 図10.12(ｂ)を加えた寄与は,  

Ｓ_fi＝(2π)^-3(4ω_fω_i)^-1/2[ｅ(ｐ_f＋ｐ_i)_μ＋Ｉ_μ(ｐ_f.ｐ_i)]Ａ^μ(ｑ)  

に修正されます。
 

そして,補正後のＳ行列要素Ｓ_fiが,電磁場のゲージ変換:

Ａ^μ(ｑ)→Ａ^μ(ｑ)＋ｑ^μΛ（ｑ）に対して不変であるなら,

Λ(ｑ)は任意なので,それは,ｑ^μＩ_μ(ｐ_f.ｐ_i)＝0

を意味します。

　つまり,上記のカレントの保存の条件はゲージ不変の条件と

同値です。
 

実際,元々のＳ行列要素は,電磁カレント＝電流密度:

ｊ^μ＝ｅψ~γ^μψによる相互作用項(摂動項):ｊ_μＡ^μ

＝ｅψ~γ^μＡμψに起因する散乱現象の振幅です。

　そして,この電磁相互作用項のFourier 成分:

ｊ_μ(ｑ)Ａ^μ(ｑ)が任意のΛ(ｑ)についての ゲージ変換：

Ａ^μ(ｑ) → Ａ^μ(ｑ)＋ｑ^μΛ(ｑ)に対して,不変である

という条件が課せられると,電磁カレントｊ_μ(ｑ)

に対してｑ^μｊ_μ(ｑ)＝0 が成立します。
 

これをｑによるFourier成分でなく座標ｘによる表現で

見ると.∂_μｊ^μ(ｘ)＝0 ：つまり電磁カレントの保存を

意味します。  (注18－4終わり)※
 

ｑ^μＩ_μ(ｐ',ｐ)＝ｐ'^μＩ_μ(ｐ',ｐ)－ｐ^μＩ_μ(ｐ',ｐ)­＝0

より,(ｐ'ｐ)ｆ₁＋ｐ'²ｆ₂＝ｐ²ｆ₁＋(ｐｐ')ｆ₂ です。
 

　この等式は,ｐ²＝ｐ'²＝μ²での実中間子散乱グラフでも成立

　し,このとき,[(ｐｐ')－μ²][ｆ₁(ｑ²)－ｆ₂(ｑ²)]＝0

 なので,ｆ₁(ｑ²)＝ｆ₂(ｑ²)　と結論されます。
 

　したがって,実π^＋中間子の電磁ポテンシャル:Ａ^μに

よる散乱でのπ^＋の電磁相互作用カレントは,

　e(ｐ'^μ＋ｐ^μ) → ｅ(ｐ'^μ＋ｐ^μ)Ｆ_π(ｑ²)という形で

修正されます。
 

ただし,Ｆ_π(ｑ²)≡1＋ｆ₁(ｑ²)＝1＋ｆ₂(ｑ²)は,πの

電磁形状因子と呼ばれる,不変運動量遷移:ｑ²のみの

スカラー関数です。
 

長くなったので,今日は,ここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)

５月1日の日記

　無償の慈愛。。エロスではなくアガペーの愛。

　人知れず。。,何の打算もなく。。見返りも求めず。

　,不遜にも神のごとく思い上がって,自分よりさらに弱きものを救おうと欲しても,ただの一人として迷える子羊を救うことはかなわず。無力感のみ残る。。。

　何を血迷ってるのだ？？。。。自分を救うこともできぬ愚か者が。。