中性子の磁気モーメント(再掲載記事)

 　閑話休題で,今から9年前の2007年７/25にアップした過去記事:：

「中性子の磁気モーメント」を再掲載します。

　　本ブログは,2006年3/20に開始しましたが,,その年末に急に

心臓病になり2,007年4月には順天堂大で心臓バイパス手術を

受けて,そのため職も失なって,静養中の,ヒマばかりはあった頃

です。

,

　この頃は,せせと毎日のように張り切ってブログを書き,記事のネタ

にもいろいろと苦労していた磁気で,唐突に,学生時代を思い出して,

素粒子論のカラークォーク模型に基づいて,陽子と中性子の磁気

モーメントの評価をするというテーマの記事を書いたのでした。

　　これは,丁度,今化学記事として進行中の「強い相互作用(湯川相互作用)」

の強い相互作用による核子の電磁構造の変化というテーマにピッタリの

話題のこの磁気を思い出したのでで,全文を再掲載しておきます。

　まあ,一種の手抜きですネ。

(※↓以下は,過去記事の丸写しです。)

　今日は昔の学生時代を思い出して少し素粒子論を復習してみよう

と思います。

　現在ではハドロン(Hadron)を構成するクォーク(Quark)の

フレーバー(Flavor)の自由度は,２種類ずつ３世代あって,

アップ(up),ダウン(down);チャーム(charm),ストレンジ

(strange);ボトム(bottom),トップ(top)の６種類があると

されていますが,

　"核子＝陽子ｐ or 中性子ｎ"を構成するだけなら,

"アップ＝ｕ"と"ダウン＝ｄ"の２種類だけで十分です。

　核子と,その核力を媒介する主要な粒子であるπ中間子を

ｕとｄ,あるいはこれらの反粒子の複合粒子として記述する

には,２次元特殊ユニタリ群:ＳＵ(2),すなわち,アイソスピン

(Isotopic spin;荷電スピン)の群の表現を考えるだけで

十分です。

　"核子＝陽子ｐ or 中性子ｎ"は,ｕとｄの３体で構成される

バリオン(Baryon;(重粒子)であり,スピンが1/2のFermi粒子

(Fermion)です。

　そして素電荷ｅを電荷の単位とすると,陽子ｐは電荷が１

であり,中性子ｎは,電荷がゼロである,ということによって

特徴付けられています。

　そして電荷をＱ,アイソスピンベクトルをＩ,バリオン数をＢと

すると,Ｑ＝Ｉ₃＋Ｂ/2という等式が成立します。

　核子はそのアイソスピンＩがＩ＝1/2で,陽子はＩ₃＝1/2,中性子

はＩ₃＝－1/2の固有状態です。

　ただし,ストレンジネス(Strangeness):Ｓまで考慮に入れると,

Ｑ＝Ｉ₃＋Ｙ/2；Ｙ≡Ｓ＋Ｂとなります。

　Ｙはハイパーチャージ(Hyperchage)といわれる量です。

　私くらいの世代の学生時代なら,丁度卒業の頃くらいにチャーム

(Charm)を与える(Ｊ/ψ)粒子が発見されたわけですから,わかって

いたのはこの程度までです。

　ちなみにスピンがゼロの擬スカラー粒子であるπ中間子に

　ついては,Ｂ＝0,Ｉ＝1であり,π^±,π⁰は,それぞれ,

　Ｉ₃＝±1,0 の固有状態です。

　一般に各素粒子はユニタリ群の既約表現の１つ１つに対応

　していて,超選択則(Superselection rule)により,崩壊現象

　を除けば異なる既約表現間の遷移は禁止されていると考え

　ます。

　一方,クォークｕ,ｄのスピンは1/2で,それらの電荷Ｑは,

 ｅを単位として,それぞれ,2/3,－1/3です。

　ということは,Ｂ＝1/3なので,Ｑ＝Ｉ₃＋Ｂ/2からｕ,ｄ

　のアイソスピンはＩ＝1/2で,それぞれはＩ₃がＩ₃＝1/2,

　－1/2の固有状態であるとしてよいことがわかります。

　ＳＵ(2)群の２次元基本表現を表わすクォーク３体で構成される

　複合粒子＝核子について,３体が合成された直積表現の既約表現へ

　の分解は,　２×２×２＝２＋２＋４　となります。

(因みにストレンジネス:Ｓまで含めたＳＵ(3)だと,

３×３×３＝１＋８＋８＋10　になります。）

さて,まず,２体での既約分解が,２×２＝１＋３となるのは

自明です。

つまり,Ｔ_ij＝Ｔ_[i,j]＋Ｔ_{i,j};Ｔ_[i,j]≡1/2(Ｔ_ij－Ｔ_ji)(反対称＝1)

Ｔ_{i,j}≡1/2(Ｔ_ij＋Ｔ_ji)(対称＝3)　ですね。

　そして,２×２＝１＋３ から,さらに３体では,

２×２×２＝(１＋３)×２＝２＋(２＋４)という既約分解

を得ます。

　まず,右辺の最初の２はアイソスピン 0 と 1/2を合成して

アイソスピン 1/2を作ることに相当します。

　次の２はアイソスピン１と1/2を合成してアイソスピン1/2を

つくることです。

右辺の最後の４はアイソスピン 1と1/2を合成してアイソスピン

3/2をつくることに相当します。

　アイソスピン3/2はＴ_ijkを完全対称にすることで得られますから

Ｔ_[i,j,k]です。

　このテンソルの成分の数はｉ,ｊ,ｋ＝1,2の全ての組み合わせ

の数,つまり,２個から重複を許して３個を選ぶ組み合わせ

なので確かに４個あります。

　これは核子ではなくて,π-ｐあるいはπ-ｎ共鳴であり,

質量が,およそ,1230MeVのΔ粒子(デルタ)を表わしています。 

一方,２×２×２＝２＋(２＋４)の右辺の最初の２はＴ_[I,j]k,

すなわち,(1/2)(Ｔ₁₂₁－Ｔ₂₁₁)と(1/2)(Ｔ₁₂₂－Ｔ₂₁₂)を表わして

います。

よって右辺の残りの２はＴ_{I,j}K－Ｔ_[I,j,k]で与えられます。

これらのゼロでない独立な成分は,(1/3)(2Ｔ₁₁₂－Ｔ₁₂₁－Ｔ₂₁₁)

と(1/3)(2Ｔ₂₂₁－Ｔ₂₁₂－Ｔ₁₂₂)の２つです。

そして,陽子ｐと中性子ｎは,この最後に示した方のＩ₃＝1/2,

－1/2の既約表現に対応するとされています。

　これらはｕ,ｄという記号をそのままｕ,ｄを示す状態の波動関数

として表現すれば,規格化も含めて,

ｐ＝(1/6)^1/2(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ),

ｎ＝(1/6)^1/2(2ｄｄｕ－ｄｕｄ－ｕｄｄ)

となります。

　ところで,こうした理論によるとアイソスピンとスピンが共に3/2

のΔ⁺⁺ 粒子において,スピン成分がｓ_z＝＋3/2の状態は,

Δ⁺⁺_↑＝ｕ_↑ｕ_↑ｕ_↑となります。

これはフレーバー自由度,スピン自由度について共に

完全対称です。

　ハドロンのクォークによる複合粒子としての表現が"軌道角運動量

がゼロの基底状態＝Ｓ状態"で与えられるという仮定によれば,

Δ⁺⁺_↑はクォークの交換に対して位置座標の交換を含めて完全対称

な状態関数で表現されることになります。

　しかし,これはFermi統計,つまり多粒子系の状態はFermi粒子の

交換に対して反対称であるべきである,という要請に矛盾します。 

そこで,実際の理論では,もう１つ別の自由度であるカラー(Color)

というものを導入し,カラー自由度については１重項(無色:Singlet)

であること,つまりクォークの交換についてカラー自由度について

完全反対称の状態にあるとして,この矛盾を解消しています。

そこで,今問題としている陽子:

ｐ＝(1/6)^1/2(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ)と,

中性子:ｎ＝(1/6)^1/2(2ｄｄｕ－ｄｕｄ－ｕｄｄ)

について考えると,これらは１番目と２番目のクォークの交換

について対称です。

　しかし,カラー自由度については完全反対称ですから,スピン

の自由度についても１番目と２番目のクォークの交換について

対称であることが要求されます。

そこでスピン1/2に対する回転群ＳＵ(2)の既約表現についても

同じ変換性を持つ表現で,

|↑＞＝(1/6)^1/2(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)と,

|↓＞＝(1/6)^1/2(2↓↓↑－↓↑↓－↑↓↓)

を採用します。

陽子のスピンアップ状態としては,

ｐ_↑＝(1/6)(2ｕｕｄ－ｕｄｕ－ｄｕｕ)(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)

と表現すればいいのでは？と推測されます。

そこで,結局アイソスピンとスピンの両方を考慮したとき,

クォークの交換に対して完全対称でなければならないこと

から,

|ｐ_↑＞＝(1/18)^1/2[ｕｕｄ(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)＋cyclic]

＝(1/18)^1/2[2ｕ_↑ｕ_↑ｄ_↓－ｕ_↑ｕ_↓ｄ_↑－ｕ_↓ｕ_↑ｄ_↑)＋cyclic]

と表現さるべきであることが結論されます。

　同様に,

|ｎ_↑＞＝(1/18)^1/2[ｄｄｕ(2↑↑↓－↑↓↑－↓↑↑)＋cyclic]

＝(1/18)^1/2[2ｄ_↑ｄ_↑ｕ_↓－ｄ_↑ｄ_↓ｕ_↑－ｄ_↓ｄ_↑ｕ_↑)＋cyclic]

です。

　これらはかつて流行したことのあるフレーバー・スピン対称性;

ＳＵ(6)の対称な,56重項既約表現に対応するものです。

　余談ですが,このＳＵ(6)というのは,対称性の帰結として

角運動量保存則が従う現実世界が等方的であるという性質,

つまり現実の空間での回転群:ＳＵ(2)～ＳＯ(3)というスピン

角運動量に関わる対称性と,フレーバーという内部空間,

アイソスピンならアイソ空間(荷電空間)での回転対称性

を含むＳＵ(3)のフレーバー対称性を合成したものです。

　こうした現実空間と仮想内部空間を混合した対称性

というのは,非相対論で成り立つ近似的なものです。

　こうした混合対称性は相対論まで含めた４次元時空という

実空間に対しては厳密には成立し得ないことが定理として

証明されています。

,

ただし,例外があって超対称性は,この限りではありません。
(※ワインバーグの「場の量子論」邦訳第５巻参照※)

　クォークは電子などのレプトン(Lepton;軽粒子)と同じく,

構造を持たないスピンが1/2の素粒子なので,その磁気回転比

ｇは,ｇ＝２で近似することができます。

そこで,クォークで構成された複合粒子の磁気モーメント

(磁気能率)をμとし,電荷を持つ構成粒子によって,これを

評価すると,μのｚ成分は,

　μ_z＝Σ_i{ｅ_iｈ_c/(2Ｍ_iｃ)}(ｌⁱ_z＋ｇｓⁱ_z)

なる式で与えられると考えられます。

ここで,ｅ_i,Ｍ_i,ｌⁱ,ｓⁱは,それぞれｉ番目の構成粒子の電荷,

質量.軌道角運動量,スピンです。

　また,ｈ_c≡ｈ/(2π)で,ｈはPlanck定数,ｃは光速です。

ｓⁱ_z＝σⁱ₃/2と書き,ｄの質量とｕの質量は等しい:Ｍ_d  ～ Ｍ_u

とすると,

μ_z|ｐ_↑＞＝ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)(1/18)^1/2

[{(10/3)ｕ_↑ｕ_↑ｄ_↓＋(1/3)ｕ_↑ｕ_↓ｄ_↑＋(1/3)ｕ_↓ｕ_↑ｄ_↑}

＋{(10/3)ｕ_↑ｄ_↓ｕ_↑＋(1/3)ｕ_↓ｄ_↑ｕ_↑＋(1/3)ｕ_↑ｄ_↑ｕ_↓}

＋..]　となります。

したがって,普通に,状態の期待値として陽子ｐの磁気モーメント:

μ^p_z＝＜ｐ_↑|μ_z|ｐ_↑＞を計算すれば,
　μ^p_z＝{ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}×3×(1/18)×[(5/3)×4＋(－1/3)＋(－1/3)]

＝ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)　が得られます。

同様に,中性子ｎでは,

μⁿ_z＝＜ｎ_↑|μ_z|ｎ_↑＞＝{ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}×3×(1/18)

×[(－4/3)×4＋(2/3)＋(2/3)]＝(－2/3){ｅｈ_c/(2Ｍ_uｃ)}

が得られます。
 

したがって,理論的には,中性子と陽子の磁気モーメントの

比として,μⁿ/μ^p  ～ (－2/3)という結果を得ます。

　実験によると,Bohr磁子μ^B＝ｅｈ_c/(2ｍ_pｃ)を単位として,

核子の磁気モーメントは,陽子pがおよそ2.79で,中性子ｎが

－1.91であることが古くからわかっています。

　つまり,μ^p ～ 2.79μ^B,μⁿ ～ －1.91μ^B です。

　実測値でも,中性子と陽子の磁気モーメントの比は,

μⁿ/μ^p ～ －1.91/2.79 ～ (－2/3)で与えられること

になります。

それ故,先の理論的考察は実験事実を正しく評価しています。

　普通,電荷を持たない物体では角運動量があっても,電流がない

ので磁気モーメントはゼロですから,これは中性子が総体として

の電荷はゼロでも,内部に電荷密度の分布を持つ構造がある証拠

を与えると考えられます。

さらに,μ^p がBohr磁子μ^Bの2.79倍であることが,陽子の質量:

Ｍ_pがクォークの質量:Ｍ_{u 　～}Ｍ_udの~2.79倍程度であることを

示唆していると考えるなら,up,downクォークの質量が,

Ｍ_u ～ Ｍ_d ～ 330MeV程度であろうというクォーク質量の推定値

も得られます。

　参考となる書籍が,徒歩では行けないちょっと離れたトランク

ルームにあり,おまけに風邪で外出もままならないので,

ほとんど記憶に頼って計算したため,合理的な結果を得るまで,

かなり計算間違いを繰り返して苦労しました。

参考文献：S.Weinberg著(青山秀明他共訳)「場の量子論5」

(超対称性；構成と超対称標準模型)(吉岡書店)

(※以上,再掲載記事でした。)