弱い相互作用の旧理論(17)(Fermi理論)

 「弱い相互作用の旧理論」の続きです。

　　前回のＣＶＣ仮説(＝ベクトルカレントの保存)について

　ブログ記事を書くついでに20年以上ぶりに考察して細かい

　計算などチェックしつつ,まだ納得できない部分もあり

　ますが,取りあえず次のＰＣＡＣの項目に移ります。
 

§10.17 軸性ベクトル相互作用の部分的保存(ＰＣＡＣ) 

(Partialy Conserved Axial vector Coupling)
 

核子の周りの中間子の雲は,軸性ベクトル,またはβ崩壊相互

作用のGamow-Teller部分にもまた影響すると考えられます。
 

α～1.21という数は,中間子の雲の影響に由来して,ベクトルの

結合定数に軸性ベクトルの強さを関連付けるものであると解釈

します。
 

αは１に近い数で,仮想の中間子の雲による結合の強さの

くり込み計算は対数的に発散する値を与えます。
 

これは,軸性ベクトルのβ崩壊結合に対しても,恐らくは近似的

な保存則が成立しているだろうこと,を示唆しています。
 

現時点では,このおぼろげなアイデアも,他の如何なるアイデア

に基づいても,αの大きさを説明するための進歩は,なされて

いません。
 

そこで,αの値の説明そのものについては,ここでは,これ以上

考えないことにします。
 

しかし,弱い崩壊振幅における核子の部分的に保存する

軸性ベクトルカレントに結合するレプトンカレントという

アイデアは,以下に論じるように,荷電π中間子の観測寿命

に適合するよう予測計算を行なうことにおいて,幾らかの

成功を得ています。
 

軸性ベクトルカレントへの最も単純な輻射補正は,図10.22

に示すように単一のπ中間子を含むグラフです。

 

ここまでのFeynmanルールによれば,これはβ崩壊の不変振幅

に次のような項として寄与します。
 

すなわち,

Ｍ_in＝(Ｇａ/√2)(－iｇ√2)[ｕ_p~(Ｐ_p)iγ₅ｕ(Ｐ_n)](ｑ²－μ²)^-1 

×(iｑ_μ)[ｕ_e~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)]　です。
 

ただし,(Ｇａ/√2)は,前に与えたπ中間子崩壊のＳ行列要素: 

Ｓ_fi^(π)＝(－ｉ)(2π)^-9/2{ｍ/(4Ｅ_ＰＥ_ｐＥ_k~)}^1/2(Ｇａ/√2)

Ｐ_πｕ~(ｐ_ｅ)γ_μ(1－γ₅)v(ｋ~)(2π)^４δ^４(Ｐ_π－ｐ_e－ｋ~) 

における結合定数を示しています。
 

また,ｇはπ-Ｎの強い相互作用の結合定数であり.追加の因子 

√2は荷電π放出のアイソスピン行列に由来する係数です。
 

弱い相互作用の１次のオーダーで,図10.23に示すようなグラフ 

に由来する,多くの追加の寄与があります。

こうした全てのグラフの寄与は次のような形に書けます。 

すなわち,Ｍ＝Ｆ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)ｕ~(ｐ_e)γ^μ(１－γ₅)ｖ(ｋ~)

です。

　　ただし,Ｆ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)＝(Ｇａ/√2)ｕ~(Ｐ_p) 

×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)＋ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｕ(Ｐ_n) 

ｑ＝Ｐ_n－Ｐ_p＝ｐ_e＋ｋ~,ｐ＝Ｐ_p＋Ｐ_nです。
 

この形式の特徴は,電磁カレントに対して作成したものに同様

です。唯一の違いは,軸性ベクトルカレントを作成するために

γ₅が挿入されていることです。
 

もしもＦ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)への寄与が図10.23のように,

アイソベクトルの(＋)成分として変換すると仮定するならば,

このことを示すことによって,この形をさらに簡単にすること

ができます。

すなわち,Ｆ₃(ｑ²)＝0　です。
 

これは,強い相互作用の荷電共役(Charge cobhugatuon)不変性

とアイソスピン不変性に基づくものです。
 

これを示すため,図10.23(ａ)の頂点τ^＋をτ³にし,図10.23(ｂ)

でのレプトンに結合するπ^－中間子の放出頂点でも,τ^＋をτ³

に変えることによってＦ_μ^(＋)(Ｐ',Ｐ)をアイソ空間で回転

させます。

強い相互作用の荷電独立性のために,これはＦ_μ^(＋)(Ｐ',Ｐ)

をアイソベクトルの第３成分に変換させます。
 

特に,陽子ｐについては, 

Ｆ_μ³(Ｐ',Ｐ)＝(Ｇａ/√2)ｕ~(Ｐ') 

×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)＋ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｕ(Ｐ)

ただし,ｑ＝Ｐ'－Ｐ,ｐ＝Ｐ'＋Ｐ
　

となります。
 

強い相互作用の荷電共役不変性によれば,図10.23のグラフに 

由来するＦ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)＝(Ｇａ/√2)ｕ~(Ｐ_p) 

×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)＋ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｕ(Ｐ_n) 

なる付加的寄与においては,
 

陽子が反陽子に置き換えられた場合でも,"裸の"陽子カレント

と同様,Ｆ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)はＦ_μ³(Ｐ_p,Ｐ_n)に帰着させられる

必要があります。
 

つまり,運動量Ｐ^μからＰ'^μの状態へと散乱される反陽子

の荷電共役遷移については,

　　参考テキストでは.第６章伝播関数.本ブログでは,

「散乱の伝播関数の理論」で論じているように,

運動量(－Ｐ'^μ)から(－Ｐ^μ)の状態へと散乱され,

時間的な前方,つまり過去へと伝播する負エネルギーの

陽子に対応する下図10.24のグラフで記述されます。
 

これに対応する頂点がγ_μγ₅の素朴な軸性カレント: 

Ｊ_Ａ^μ(Ｐ',Ｐ)＝ｕ~(Ｐ')γ_μγ₅ｕ(Ｐ)は,荷電共役変換

:Ｃで,ｖ~(Ｐ)γ_μγ₅ｖ(Ｐ')

＝－ｕ(Ｐ)Ｃ^-1γ_μγ₅Ｃｕ~^Ｔ(Ｐ')exp{iδ(Ｐ',Ｐ)} 

＝－ｕ~(Ｐ')γ_μγ₅ｕ(Ｐ)exp{iδ(Ｐ',Ｐ)}　なる等式

を満たします。
 

これは,つまり,

Ｊ_Ａμ(－Ｐ,－Ｐ')＝－Ｊ_Ａμ(Ｐ',Ｐ)exp{iδ(Ｐ',Ｐ)} 

を意味しています。
 

※2009年12/20の過去記事:「Diracの空孔理論(2)」によれば、

Dirac方程式に従う陽子の荷電共役変換演算子:Ｃは行列表示で, 

Ｃ＝iγ²γ⁰＝－iγ₂γ⁰と選択することができます。

　　このとき,Ｃ^-1＝Ｃ^＋＝－Ｃであり,陽子の正エネルギー

Ｐのspinor:ｕ(Ｐ,Ｓ),と負エネルギー:(－Ｐ)のspinor:

ｖ(Ｐ,Ｓ)のスピンＳを省略した表現では

ｖ(Ｐ)＝Ｃｕ~^Ｔ(Ｐ),よって,

exp{－δ(Ｐ)}ｖ^＋(Ｐ)＝γ⁰ｕ^Ｔ(Ｐ)Ｃ^-1,

or exp{－δ(Ｐ)}ｖ~(Ｐ)＝γ⁰ｕ^Ｔ(Ｐ)Ｃ^-1γ⁰

と書けます。

　　　これから,ｖ~(Ｐ)γ_μγ₅ｖ(Ｐ') 

＝γ⁰ｕ^Ｔ(Ｐ)Ｃ^-1γ⁰γ_μγ₅Ｃｕ~^Ｔ(Ｐ')

exp[i{δ(Ｐ)－δ(Ｐ')}]となりますが,

　　γ⁰ｕ^Ｔ(Ｐ)γ⁰＝ｕ^Ｔ(Ｐ),(γ⁰)²＝1,γ⁰Ｃ^-1γ⁰＝－Ｃ^-1

より,位相変化をδ(Ｐ',Ｐ)＝≡δ(Ｐ)－δ(Ｐ')

で定義すれば,
　　ｖ~(Ｐ)γ_μγ₅ｖ(Ｐ') 

　＝－ｕ^Ｔ(Ｐ)Ｃ^-1γ_μγ₅Ｃｕ~^Ｔ(Ｐ')exp{iδ(Ｐ',Ｐ)}

　を得ます。
 

さらに,ｕ^Ｔ(Ｐ)Ｃ^-1γ_μγ₅Ｃｕ~^Ｔ(Ｐ')

＝[ｕ^Ｔ(Ｐ)Ｃ^-1γ_μγ₅Ｃｕ~^Ｔ(Ｐ')]^Ｔ 

＝ｕ~(Ｐ'){Ｃ^-1γ_μγ₅Ｃ}^Ｔｕ(Ｐ)ですが,

　Ｃ＝iγ²γ⁰より,Ｃ^-1＝Ｃ^Ｔ,(Ｃ^-1)^Ｔ＝Ｃ なので,

{Ｃ^-1γ_μγ₅Ｃ}^Ｔ＝Ｃ^-1γ₅^Ｔγ_μ^ＴＣ＝γ₅Ｃ^-1γ_μ^ＴＣ

＝－γ₅γ_μ＝γ_μγ₅ より,

－ｕ^Ｔ(Ｐ)Ｃ^-1γ_μγ₅Ｃｕ~^Ｔ(Ｐ')＝－ｕ~(Ｐ')γ_μγ₅ｕ(Ｐ) 

が得られるわけです。　(注17-1終わり)※
 

※(注17-2):より詳細にDirac粒子の荷電共役不変性

　(Charge Conjigation)の意味について振り返るため,

2009年12/20の過去記事:「Diracの空孔論(2)」から一部を抜粋

して再掲し,粒子と反粒子の対称性を意味する荷電共役不変性

の項目を復習しておきます。
 

(再掲開始:↓)
 

Diracの空孔理論は,取り得る全ての負エネルギー状態が完全に占有 

された負エネルギー電子の海(＝真空)において,エネルギー:(－Ｅ) 

(Ｅ＞0),および,電荷ｅ(電子の場合はｅ＝－|ｅ|＜0)を持つ電子1個 

の欠損を示す,負エネルギーの海における1個の空孔(hole)が,1個の 

正エネルギーの陽電子の存在に同等である,と解釈する理論です。
 

　そこで,この解釈では電磁場Ａ^μがある場合の質量ｍの電子波動関数

　Ψが従うDirac方程式:(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0 の負エネルギー解

　と,正エネルギー陽電子の固有状態を示す波動関数が１対１に

　　対応するはずです。
 

ただし,Ａ≡γ^μＡ_μ,i∂≡iγ^μ∂_μ＝iγ^μ(∂/∂ｘ^μ),

Ａ≡γ^μＡ_μです。
 

ｐ_μ^＝i(∂/∂ｘ^μ)ですから,ｐ^＝i∂であり, 

自由電子のDirac方程式に,極小相互作用変換:

ｐ_μ^→ ｐ_μ^－ｅＡ_μを施して得られるものが,Ａ^μが

存在する場合の上記の電子波動関数に対する 

波動方程式です。
 

こうした解釈により,陽電子の波動関数Ψ_cは電子とは正の電荷

(－ｅ)を持つだけ異なる,電子と同じ波動方程式を満たすはず

なので,それは,(i∂＋ｅＡ－ｍ)Ψ_c＝0 の正エネルギー解である

と考えられます。
 

　このことから,２つの方程式を互いに変換させる演算子を作る

  という発想に導かれます。
 

これを遂行するためには,変換の結果として,２つの演算子;

ｐ^＝i∂とＡの間の相対的符号が変換前と異なるようになる

ことが必要ですが,これは単に複素共役を取ることで可能です。
 

　すなわち,{i(∂/∂ｘ^μ)}^＊＝－(∂/∂ｘ^μ),Ａ_μ^＊＝Ａ_μ

　なので,(i∂－ｅＡ－ｍ)Ψ＝0, or

{γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ)ーｍ}Ψ＝0は,両辺の複素共役を取ることで

{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ＊＋ｍ}Ψ^＊＝0 となります。
 

もしも,(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μなる代数関係を満たす 

正則行列Ｃγ⁰を見出すことができれば, 

{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＋ｍ}(Ｃγ⁰Ψ^＊)＝0

より,{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}(Ｃγ⁰Ψ^＊)＝0　となります。
 

　ところで,Ψ~＝Ψ^＋γ⁰より,γ⁰Ψ^＊＝Ψ~^Ｔですから,

このＣγ⁰を用いてΨ_c≡Ｃγ⁰Ψ^＊＝ＣΨ~^Ｔと定義すれば,上記

方程式は,{(i∂_μ＋ｅＡ_μ)γ^μ－ｍ}Ψ_c＝0となり,

陽電子の波動関数をΨ_cとしたときに,それが満たすベキ方程式

に一致します。
 

　今,用いているDiracガンマ行列の表示では,Ｃ＝iγ²γ⁰と選択

すれば,Ｃ＝－Ｃ^-1＝－Ｃ^＋＝－Ｃ^Ｔであり,Ｃ(γ^μ)^ＴＣ^-1＝－γ^μ,

またはＣ^-1γ^μＣ＝－(γ^μ)^Ｔとなり,それ故, 

(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝γ⁰γ^{μ ＋}γ⁰＝－γ^μです。
 

したがって,Ｃ＝iγ²γ⁰は,上記の(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1

＝－γ^μなる条件を確かに満足します。
 

任意の表示はユニタリ同値なことから,これは任意の表示の

変換でも常に(Ｃγ⁰)γ^μ＊(Ｃγ⁰)^-1＝－γ^μを満たすＣを作る

ことが可能なことを示すに十分です。
 

しかし,(i∂＋ｅＡ－ｍ)Ψ_c＝0を満たすような

Ψ_c≡Ｃγ⁰Ψ^＊＝ＣΨ~^Ｔを与える荷電共役演算子:Ｃの定義に

おいては,位相の任意性があることに気付きます。
 

例えば,今の行列でのＣ＝iγ²γ⁰なる陽な表現では,Ψ_c＝iγ²Ψ^＊

です。そこで,静止した負エネルギー電子:

Ψ＝(2π)^3/2[0,0,0,1]^Ｔexp(iｍｔ)であれば,

Ψ_c＝iγ²Ψ^＊＝(2π)^3/2[1.0,0,0,1]^Ｔexp(－iｍｔ)

となります。
 

これは,静止したspin-downの負エネルギー電子の欠損が.

静止したspin-upの正エネルギー電子の存在に等価という描像

に対応しています。
 

この場合には,荷電共役変換後に位相変化は無いように

見えますが,一般には,

exp{iδ(ｐ,ｓ)}ｖ(ｐ,ｓ)＝Ｃｕ~^Ｔ(ｐ,ｓ), 

exp{iδ(ｐ,ｓ)}ｕ(ｐ,ｓ)＝Ｃｖ~^Ｔ(ｐ,ｓ)　となって 

ｖ(ｐ,ｓ)とｕ(ｐ,ｓ)が互いに位相因子:exp{iδ(ｐ,ｓ)}

を伴なう運動量表示の荷電共役spinorの対になると

考えられます。
 

波動関数の位相には何の物理的意味も無いように見えますが,

実はこれにも重要な意味が隠されている場合があります。
　 

(再掲載終了)　　(注17-2終了)※　
 

陽子ｐの素朴な軸性カレントにおける荷電共役不変性: 

ｖ~(Ｐ)γ_μγ₅ｖ(Ｐ')

＝－ｕ~(Ｐ')γ_μγ₅ｕ(Ｐ)exp{iδ(Ｐ',Ｐ)},
 

または,Ｊ_Ａμ(－Ｐ,－Ｐ')＝－Ｊ_Ａμ(Ｐ',Ｐ)exp{iδ(Ｐ',Ｐ)} 

での位相因子:exp{iδ(Ｐ',Ｐ)}は,運動量とスピンから決まる

量です。
 

一方,β崩壊のハドロンカレント因子での強い相互作用のπの

雲など の高次補正を含む軸性カレントの第３成分: 

Ｆ_μ³(Ｐ’,Ｐ)＝(Ｇａ/√2)ｕ~(Ｐ') 

[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)＋ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｕ(Ｐ)

も, こうした補正前の素朴なカレント:Ｊ_Ａμ(Ｐ',Ｐ)

と同じ荷電共役変換性を持つと考えられます。
 

すなわち,

Ｆ_μ^3Ｃ(－Ｐ',－Ｐ)＝－Ｆ_μ³(Ｐ',Ｐ)exp{iδＰ',Ｐ)}　 

です。

これから,容易に,Ｆ₃(ｑ²)＝0 となることが結論されます。
 

※(注17-3): Ｆ_μ^3Ｃ(－Ｐ',－Ｐ)＝{Ｇａ/√2}ｖ~(Ｐ)

×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)－ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｖ(Ｐ') 

ですが,

　一方,Ｆ_μ³(Ｐ',Ｐ)＝(Ｇａ/√2)ｕ~(Ｐ') 

×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)＋ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｕ(Ｐ)

です。ただし,ｑ＝Ｐ'－Ｐ,ｐ＝Ｐ'＋Ｐです。
 

そして,荷電共役によって, 

ｖ~(Ｐ)γ_μγ₅ｖ(Ｐ')

＝－ｕ~(Ｐ')γ_μγ₅ｕ(Ｐ)exp{iδ(Ｐ',Ｐ)}, 

かつ,

ｖ~(Ｐ)γ₅ｖ(Ｐ')

＝－ｕ~(Ｐ')γ₅ｕ(Ｐ)exp{iδ(Ｐ’,Ｐ)} 

が成立します。

    故に,Ｆ_μ³(Ｐ',Ｐ)exp{iδ(Ｐ',Ｐ)}＝(Ｇａ/√2)ｖ~(Ｐ) 

×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)＋ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｖ(Ｐ') 

です。
 

これが,Ｆ_μ^3C(－Ｐ,－Ｐ')＝(Ｇａ/√2)ｖ~(Ｐ) 

×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)－ｐ_μγ₅Ｆ₃(ｑ²)]ｖ(Ｐ') 

に恒等的に等しいことから,

　　Ｆ₃(ｑ²)＝0　が結論されます。(注17-2終わり)※
 

軸性ベクトル部分の図10.23(ｂ)のようなグラフに由来する

β崩壊の振幅への寄与は,図10.22のグラフの最低次の

不変振幅: 

　Ｍ_in＝(Ｇａ/√2)(－iｇ√2)[ｕ_p~(Ｐ_p)iγ₅ｕ(Ｐ_n)](ｑ²－μ²)^-1 

　×(iｑ_μ)[ｕ_e~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ(ｐ_ν~)]

　に,あるｑ²のスカラー関数Ｆ(ｑ²)を掛けたもので

　与えられると考えられます。

　ただし,ここではｑ＝Ｐ_n－Ｐ_pです。
 

　よってβ崩壊でのπ-Ｎ頂点の寄与による摂動の全ての次数 

　の修正の総和は,上記振幅での[ｕ_p~(Ｐ_p)iγ₅ｕ(Ｐ_n)]の因子

　を,[ｕ_p~(Ｐ_p)iγ₅Ｆ(ｑ²)ｕ(Ｐ_n)]なる形の相互作用因子に

　置き換えることで得られると考えられます。
 

　　ここに,Ｆ(ｑ²)は,不変運動量遷移ｑ²の不変関数です。
 

　これは,奇数個のγ₅頂点があるとき, Ｐ_pやＰ_nをDirac

　自由粒子外線の次に位置するところまで右から左に交換

　させ移動させて,核子の質量Ｍに置換できるという事実

　から従います。
 

　　こうして,核子の雲の中に単一のπ中間子が,直接レプトン

　と結合する図10.23(ｂ)のようなグラフの寄与は,ｑ_μγ₅に

　比例するため,

 Ｆ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)＝(Ｇａ/√2)ｕ~(Ｐ_p) 

　×[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)]ｕ(Ｐ_n)

　の右辺のＦ₂(ｑ²)にのみ寄与します。
 

　そこで,Ｆ₂(ｑ²)から図10.23(ｂ)のようなグラフの寄与

　を分離して,

　Ｆ₂(ｑ²)＝Ｆ₂~(ｑ²)＋(－ａｇ√2)Ｆ(ｑ²)/(ｑ²－μ²)　

　と書きます。
 

定数ａは,以前に荷電π中間子崩壊の論議で予測計算値が

πの観測寿命に合致するよう導入された,結合定数Ｇの

係数です。
 

形状因子:Ｆ(ｑ²)は,ｑ²＝μ²において,§10.8のπ-Ｎ散乱

で論じられた,π-Ｎ結合定数:ｇの観測される強さによって

より明確にされます。
 

ｇは,物理的に観測された結合定数の評価:

ｇ²/(4π)～14に一致するように取られる定数であり,

Ｆ(ｑ²)は,ｑ²＝μ²で1に規格化されます。

Ｆ(μ²)＝1です。
 

Ｆ₂(ｑ²)については,何の情報もありません。しかし,これは, 

軸性カレントｑ_μγ₅の係数であって,反跳補正:～ｑ/Ｍ

に等しいのでβ崩壊では観測されません。
 

一方,これまでの論議からＦ₁(0)＝－α～ －1.21であること

がわかっています。
 

こうした準備に基づいて,ＰＣＡＣ＝軸性ベクトルカレント

の部分的保存という課題を考察します。
 

もしも軸性カレントも,(極性)ベクトルのカレントと同様に

正確に保存するなら,ｑ^μＦ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)＝0 が成立します。
 

この式と,Ｆ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)の形状因子構造; 

Ｆ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)＝(Ｇａ/√2)ｕ~(Ｐ_p)×

{γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)]ｕ(Ｐ_n)  

を組み合わせると,

－2ＭＦ₁(ｑ²)＋ｑ²Ｆ₂(ｑ²)＝0　が得られます。
 

※(注17-4):何故なら, 

ｑ^μｕ~(Ｐ_p)[γ_μγ₅Ｆ₁(ｑ²)＋ｑ_μγ₅Ｆ₂(ｑ²)]ｕ(Ｐ_n) 

＝ｕ~(Ｐ_p)ｑγ₅Ｆ₁(ｑ²)ｕ(Ｐ_n)＋ｑ²ｕ~(Ｐ_p)γ₅Ｆ₂(ｑ²)ｕ(Ｐ_n) 

ですが,

ｕ~(Ｐ_p)ｑ_pγ₅Ｆ₁(ｑ²)ｕ(Ｐ_n)

＝ｕ~(Ｐ_p)(Ｐ_n－Ｐ_p)γ₅Ｆ₁(ｑ²)ｕ(Ｐ_n)

＝－ｕ~(Ｐ_p)Ｐ_pγ₅Ｆ₁(ｑ²)ｕ(Ｐ_n)－ｕ~(Ｐ_p)γ₅Ｆ₁(ｑ²)Ｐ_nｕ(Ｐ_n) 

＝－2Ｍｕ~(Ｐ_p)γ₅Ｆ₁(ｑ²)ｕ(Ｐ_n)　です。

　　故に,ｑ^μＦ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)＝0 は,ｕ~(Ｐ_p),ｕ(Ｐ_n)

について恒等的に,ｕ~(Ｐ_p)γ₅[－2ＭＦ₁(ｑ²)

＋ｑ²Ｆ₂(ｑ²)]ｕ(Ｐ_n)＝0 が成立する,ことを意味するため,

 －2ＭＦ₁(ｑ²)＋ｑ²Ｆ₂(ｑ²)＝0　です。　(注17-4終わり)※
 

したがって,もしも正確に軸性カレントが保存うると仮定

すれば,Ｆ₂(ｑ²)＝2ＭＦ₁(ｑ²)/ｑ²となるのですが,これは

Ｆ₁(0)≠0より,Ｆ₂(ｑ²)がｑ²＝0に極を持つことを意味

します。

　　これはつまり,Ｆ₂(ｑ²)が関わる相互作用では,質量がゼロ

の擬スカラー粒子の交換が寄与することを意味しています。
 

このＦ₂(ｑ²)のｑ²＝0の極を,

Ｆ₂(ｑ²)＝Ｆ₂~(ｑ²)＋(－ａｇ√2)Ｆ(ｑ²)/(ｑ²－μ²)

なる表現におけるπ中間子交換の極:ｑ²＝μ²と関連

付けよう,という発想は魅力的です。
 

つまり,π中間子の質量がゼロなら,軸性カレントも正確に

保存されるはずでしたが,πのゼロでない質量μの存在で,

このカレントの保存が破られているのでは？という連想が

生じるわけです。
 

そこで,ｑ^μＦ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)＝0 の代わりに,

修正された仮説:

0＝lim_μ→0[ｑ^μＦ_μ^(＋)(Ｐ_p,Ｐ_n)]＝lim_nμ→0[ｕ~(Ｐ_p)γ₅

×{－2ＭＦ₁(ｑ²)＋ｑ²Ｆ₂(ｑ²)－ａｇ√2)Ｆ(ｑ²)/(ｑ²－μ²)}

ｕ(Ｐ_n)]　を採用します。

　　この構造が,現実のπ質量のμ≠0でも,ｑ²＝0においてほとんど

ずれがなく成立すると仮定すれば,

　　近似的に,2Ｍα＝ー2ＭＦ₁(0)～ａｇ√2が成立すること

になります。(※Ｆ(0)＝μ²？。。)

　　数値的にはα～1.21,ｇ²/(4π)～14より.

｜ａ｜～ 0.87μなる「予測を得ます。

(※(注17-5):私の計算では.g√2～(104π)^1/2,Ｍ～940MeV.

μ～140MeVより,ａ＝2Ｍα/ｇ√21～26.137ＭeV＝0.90μ

です。　　(注17-5終わり)※

　　これは,以前にπ^±崩壊の論議で,π^±の観測された平均寿命

から評価された|ａ| ～ 0.93μと10％以内の誤差で一致

します。

　　　こうしたπ中間子の崩壊率,Fermi定数Ｇとπ-Ｎ結合定数

ｇの間の関係は,GoldbergerとTreimanによって初めて導出

されたものです。
 

次いでこれがＰＣＡＣの帰結であると論じたのは,

南部(Nambu),Bernsteinによるものです。

 

以上,「)弱い相互作用の旧理論(Fermi理論)」については,

これで終わります。
 

実は参考テキスト(Mechanics；量子力学)もこれが最後

です。

    私のノートではこれの読了期日は1994年４/27(44歳)

となっています。これは22年前バブルも終わりかけて,私は

定職を離れて本格的なプータロー生活となった頃です。

　　金無し,ヒマありでしたから,過去の専門に戻るというこの

変態的趣味にふける,くらいしか,自己実現の道がなかった

と当時は考えたようです。結局,今も続いてますが。。。
 

さて,同じ著者:B-Jのテキストの続きは,もう１巻,第11章

から始まるもの(＝Field；場理論)がありますが,実は私は,

この順で順序良く読んだのではなく,学生時代に両方とも

テキストとして使用していた当時から,これらを同時に

並行して読んでいました。
 

弱い相互作用については,古典的なFermi理論はこれで終わり

ますが,新理論というのは,ニュートリノに質量があるという

最近の発見内容も含むのが条件でしょうが。。
 

その中間にある,Weinberg-Salam理論の紹介や,その予想通り

実際に発見された弱い相互作用のゲージ粒子(Weak-Boson),

の話題,そして,カラークォークを含む最近の旧理論なども,

できれば別記事としてアップしたいと思っています。
 

まだ,命があれば。。。。。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)