クライン・ゴルドン方程式(5)

クライン・ゴルドン方程式(Klein-Gordon eq.)の続きです。

　今回は,科学記事のアップが,ずいぶん,久しぶりとなりましたが,

実はこの間,別の計算に明け暮れていました。

　それは「弱い相互作用の旧理論」に基づいて,自由中性子ｎ

の崩壊率,または平均寿命の予測値の精密な値を求めるという

課題です。
 

　思えば,「弱い相互作用の旧理論」は,ここまで記事を重ねて

いながら,μ粒子や荷電π中間子の崩壊率,寿命については実験

観測値とほぼ適合する予測計算値を得ていながら,肝心の中性子

ｎのβ崩壊による崩壊率や寿命については,具体的な計算を実行

していなかったことに気付きました。

 しかし,前回の「弱い相互作用の旧理論(15)]」で,ＣＶＣ

の仮説から,π^ー→ π⁰＋ｅ^ー＋ν~ なるπの崩壊が存在し.その

崩壊率のオ－ダーが 10^-8 程度である,という参考テキストに

あった値を天下り的に記述してアップした後,これは如何なる

計算で評価されたるのか？という根拠が気になりました。
 

　結局,Fermi粒子とBose粒子の違いはありますが,これは

中性子のβ崩壊:ｎ→ ｐ＋ｅ^ー＋ν~と同じ３体崩壊なので,

ｎとｐの質量,質量差と,πⁿとπ⁰のそれらを比較すれば,

ｎのβ崩壊での評価値との比較で納得できる回答が得られる

のでは？と考えるに至りました。

　　そこで,これまでの関連記事を全てチェックしたところ,

ここまで肝心の中性子ｎのβ崩壊の具体的計算を怠っていたこと

に気付いたわけｄす。

　　既にμ崩壊の詳細計算などは実施ししているので,同様に

やれば簡単に計算評価できると思っていたのに,なかなか数値

として合理的と思われる評価が得られず,

　　中途挫折しているうちに.つなぎにでも,

「クラインゴルドン方程式」の続きの新記事をアップしよう

と思ったわけです。
 

さて,前回の記事「クラインゴルドン方程式(4)」の最後では, 

電荷が＋ＺｅのCoulombポテンシャルによるπ^＋中間子の 

ポテンシャル散乱の微分断面積(角分布) が,微細構造定数: 

α＝ｅ²/(4πε₀) ～ 1/137の最低次で, 

ｄσ/ｄΩ＝Ｚ²α²Ｚ²ｅ⁴//{4β²ｐ²sin⁴(θ/2)}で与えられ,
 

　これは,2014年の過去記事:

　「散乱の伝播関数の理論(11)(応用1-1)」で求めた,同じ

　Coulombポテンシャルによる電子の散乱微分断面積: 

　ｄσ/ｄΩ＝Ｚ²α²{1－β²sin²(θ/2)}/{4β²ｐ²sin⁴(θ/2)}

 とは.電子スピンの1/2と関わる,スピノルについてのトレース

　に起因する因子:{1－β²sin²(θ/2)}のみが異なるという,

 合理的で当然な結果が得られた。

 というところで終わりました。
 

　さて,今日はその続きですが,これと似た結果はπ^－中間子の

　Coulomb散乱 に対しても得られます。


　上の図9.4のように,散乱前に運動量ｐ_i^μを持ったπ^－中間子

を表わすｆ_pi^(-)＊(ｙ)が,散乱後に,終状態で出現する

φ(ｙ)＝ｆ_pf^(-)(ｙ)運動量ｐ_f^μを持つπ^－中間子へと遷移する

Ｓ行列要素は,この前に求めた下図9．3に対応する同じ運動量

遷移ｑ＝ｐ_f－ｐ_iのπ^＋中間子のＳ行列要素:

　Ｓ_pfpi＝(－iｅ)(2π)^-3(4ω_fω_i)^-1/2(ｐ_f＋ｐ_i)_μＡ^μ(ｑ) 

から,

Ｓ_pfpi＝(＋iｅ)(2π)^-3(4ω_fω_i)^-1/2(ｐ_f＋ｐ_i)_μＡ^μ(ｑ) 

に変わるだけです。
 

これらは,π^＋とπ^－の電荷の符号の変化に対応して符号だけ

が異なるため,π^＋とπ^－は,Coulomb散乱の最低次近似では,

同一の微分断面積を持つことがわかります。
 

　中心電荷Ｚｅは,π_＋中間子には斥力,π^－中間子には引力を

及ぼすという明確な違いがあるにも関わらす,散乱微分断面積

は同一という計算結果ですが,これは以前の電子散乱と陽電子

散乱のケースに述べたのと同じく最低次の計算で一致すると

いうだけで,高次の計算をまでを考慮すれば,その差異が現わ

れます。
 

そして,こうした計算から学び取れることは,荷電π中間子の

頂点には,電子の頂点に対するｅγ_μの代わりに,因子:

ｅ(ｐ_f＋ｐ_i)_μが結び付くということです。
 

波動関数の規格化因子は,1/(2ω)^1/2で.これは電子に対する

(ｍ/Ｅ)^1/2にとって代わるものであり,もちろんスピノル因子:

ｕ(ｐ),ｖ(ｐ)などの因子も存在しません。
 

電磁場;Ａ^μ(ｘ)がある場合のπ中間子のスカラー波動関数

φに対する方程式:(□＋μ²)φ(ｘ)＝－Ｖ^(ｘ)φ(ｘ); 

Ｖ^(ｘ)＝iｅ(∂_μＡ^μ(ｘ)＋Ａ_μ(ｘ)∂^μ)－ｅ²Ａ_μ(ｘ)Ａ^μ(ｘ) 

から,

　　Ｓ_pfpi＝δ³(ｐ_f－ｐ_i)－i∫ｄ⁴ｙｆ_pf^(＋)＊(ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ) 

で,φ(ｙ)＝ｆ_pi^(＋)(ｙ)とおくことによりπ⁺中間子のＳ行列

要素の座標表示の最低次近似の計算式を得ました。
 

そして,これからＳ行列要素の運動量表示の最低次の

ｐ_f≠ｐ_fにおける表式:

S_pfpi＝(－iｅ)(2π)^-3(4ω_fω_i)^-1/2(ｐ_f＋ｐ_i)_μＡ^μ(ｑ) 

を得たのでした。
 

この際には,Ｖ^(ｘ)＝iｅ(∂_μＡ^μ(ｘ)＋Ａ_μ(ｘ)∂^μ)

と見なし,ｅの２次の項である －ｅ²Ａ_μ(ｘ)Ａ^μ(ｘ)は

無視したため,Ｖ^頂点に対する因子;ｅ(ｐ_f＋ｐ_i)_μが

得られたわけです。
 

　したがって,最低次では不要な－ｅ²Ａ_μ(ｘ)Ａ^μ(ｘ)に

対するFeynman図のルールは不明でしたが,これを得るために

荷電中間子のCompton散乱を考察します。
 

Coulomb 散乱では,Ａ^μ(ｘ)は単に外場のポテンシャル:であり, 

特に静電Coulombポテンシャル： 

Ａ^μ(ｘ)＝ｇ^μ0{Ｚｅ/(4πε₀)}/|ｘ| 

＝∫ｄ⁴ｑ(2π)^-4Ａ^μ(ｑ)exp(－iｑｘ); 

Ａ^μ(ｑ)＝{Ｚｅ/(ε₀|ｑ|²)}2πδ(ω_f－ω_i)ｇ^μ0

でしたが,
 

Compton散乱では中間子と光子が衝突するため,Ａ^μ は

 Ａ^μ(ｘ)＝Σ_λ＝±∫ｄ³ｋε₀^-1{(2π)³2ｋ⁰}^-1/2 

[ａ^(ｋ,λ)ε^μ(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)

＋ａ^^＋(ｋ,λ)ε^μ(－ｋ,λ)exp(－iｋｘ)] 

ただし,ｋ⁰＝|ｋ| で与えられる光子を示す電磁場

とします。
 

このＡ^μ(ｘ)は,本質的には第2量子化された電磁場

の演算子であり,それ故,係数:ａ^(ｋ,λ), ａ^^＋(ｋ',λ')

も演算子で,交換関係:[ａ^(ｋ,λ), ａ^^＋(ｋ',λ')]

＝δ³(ｋ－ｋ')δ_λλ'を満たす,それぞれ,光子1個の

消滅演算子,生成演算子です。
 

ｋは光子の運動量,λは横波の2つの独立な偏光(偏極)

を示し,ε^μ(ｋ,λ)は.ｋを進行方向とする座標系では

ε(ｋ,λ)ｋ＝0で直交する横波光子の３次元単位でクトル

となる大きさが1の4元偏光ベクトルを意味します。
 

(※つまり,ε^μ(ｋ,λ)ε_μ(ｋ,λ)＝０－ε(ｋ,λ)²＝－1です。)
 

ただし,ここではまだ量子電磁力学や場の量子論でなく,

相対論的量子力学としてやや現象論的な扱いをします。
 

したがって,ここで重要なのは,規格化された平面波

ベクトル波動関数:{(2π)³2ｋ⁰}^-1/2ε^μ(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)

を持つ運動量ｋの光子が,ａ^(ｋ,λ)に従って,1個だけ消滅

＝吸収され,他方,{(2π)³2ｋ⁰}^-1/2ε^μ(－ｋ,λ)exp(iｋｘ)

で表わされる波は,ａ^^＋(ｋ,λ)に従って,同じ運動量ｋの

光子1個が生成＝放出されるプロセスに対応する,という

ことです。

それ故,上の図9.5に示される運動量ｐ_iで入射してｐ_fで出ていく 

π中間子の運動量遷移がｑ＝ｐ_f－ｐ_iの相互作用:Ｖ^による散乱

のＳ行列要素が,

　　　相互作用がＶ^の波動関数の摂動近似,

　φ_i(ｘ)＝φ_in(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ_in(ｙ), 

　φ₂(ｘ)＝φ_in(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)φ₁(ｙ)

　つまり,

　φ₁(ｘ)＝ｆ_pi^(＋)(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)ｆ_pi^(＋)(ｙ)

　より,Ｓ_pfpi⁽¹⁾≡＜ｆ_pf^(＋)φ_１＞

　≡lim_t→∞∫ｄ³ｘｆ_pf^(＋)＊(ｘ)i∂₀^⇔φ₁(ｘ) 

　＝δ³(ｐ_f－ｐ_i)＋(－i)∫ｄ⁴ｙｆ_pf^(＋)＊(ｙ)Ｖ^(ｙ)ｆ_pi^(＋)(ｙ),
 

　φ₂(ｘ)＝ｆ_pi^(＋)(ｘ)＋∫ｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)ｆ_pi^(＋)(ｙ) 

　＋∫ｄ⁴ｚｄ⁴ｙΔ_F(ｘ－ｙ)Ｖ^(ｙ)Δ_F(ｙ－ｚ)ｆ_pi^(＋)(ｙ), 

　より,Ｓ_pfpi⁽²⁾≡＜ｆ_pf^(＋)φ₂＞－Ｓ_pfpi⁽¹⁾ 

　＝(－i)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｘｆ_pf^(＋)＊(ｘ)Ｖ^(ｘ)Δ_F(ｘ－ｙ)

　Ｖ^(ｙ)ｆ_pf^(＋)＊(ｙ)と掛けるため。

　　　Compton 散乱では,

　Ｖ^＝iｅ(∂_μＡ^μ＋Ａ_μ∂^μ) －ｅ²Ａ_μＡ^μのうち, 

　iｅ(∂_μＡ^μ＋Ａ_μ∂^μ}については,ｐ_f≠ｐ_iのとき, 

　Ｓ_pfpi⁽²⁾＝(－i)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｚ[ｆ_pf^(＋)＊(ｙ)

　{iｅ(∂_yμＡ^μ(ｙ)＋Ａ_μ(ｙ)∂_y^μ} 

　×iΔ_F(ｙ－ｚ){iｅ(∂_ｚμＡ^μ(ｚ)＋Ａ_μ(ｙ)∂_ｚ^μ)}ｆ_pi^(＋)(ｚ)]

　が寄与し,
 

　また,－ｅ²Ａ_μＡ^μについては, 

　Ｓ_pfpi⁽¹⁾＝(－i)∫ｄ⁴ｙ[ｆ_pf^(＋)＊(ｙ)

　{－ｅ²Ａ_μ(ｙｘ)Ａ^μ(ｘ)}ｆ_pi^(＋)(ｘ))} 

　とした寄与があるので,これらの和を取ったものが

　Ｓ行列要素のｅの最低次(ｅの2次:ｅ²)のオーダー

　の近似になります。
 

　運　動量表示では, 

　Ａ^μ(ｘ)＝Σ_λ＝±∫ｄ³ｋ{(2π)³2ｋ⁰}^-1/2ε₀^-1 

　[ａ^(ｋ,λ)ε^μ(ｋ,λ)exp(－iｋｘ)

　＋ａ^^＋(ｋ,λ)ε^μ(－ｋ,λ)exp(－iｋｘ)] 

　から,

　　Feynmanル－ルとして,(ｋ,λ)の光子を吸収する場合は, 

{(2π)³2ｋ⁰}^-1/21/2ε₀^-1ε^μexp(－iｋｘ)を,(ｋ',λ')の光子

を放出する場合は,{(2π)³2ｋ’⁰}^-1/2ε₀^-1ε^’μexp(iｋ'ｘ)

を付与します。
 

吸収と放出の交差項のみ,Compton 散乱のグラフに寄与して. 

Ｓ_pfpi＝(2π)^-6(16ω_iω_fｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2 

(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ) 

×(－i)²(iｅ²ε₀^-2)[{ε(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1

{ε'(2ｐ_f＋ｋ')}＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1

{ε(2ｐ_f－ｋ)}]＋(－i){－ｅ²ε₀^-22(εε’)}]　

が得られます。

　　最後の,－ｅ²Ａ_μＡ^μの項については２の因子が掛かること

に注意が必要です。
 

※(注5-1):元々,摂動展開では元々,展開の１次項に対して,

２次項には,(1/2!)という因子が掛かっていますから,相対的

に２次近似は１次近似の２倍の寄与をするといえます。
 

あるいは,より直感的に1頂点でつの光子が結合するFeynman図

で光子の吸収と放出を交換する２重の寄与がカウントされる

からです。　(注5-1終わり)※
 

上記のπ^＋中間子のCompton散乱のＳ行列要素の式のチェックに, 

2010年7/30の過去記事:「散乱の伝播関数の理論(18)(応用4)」における 

電子のCompton散乱のＳ行列要素の式:散乱断面積を与える式で

ある有名な「クラインー仁科(Klein-Nishina)の公式」に至るＳ行列要素を

用いることができます。
 

これは,Ｓ_fi^Comp＝(ｅ²/ε₀²Ｖ²)(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ’－ｐ_i－ｋ) 

(4ｋ⁰ｋ' ⁰)^-1/2{ｍ²/(Ｅ_fＥ_i)}^1/2 

ｕ~(ｐ_f,ｓ_f)[(－iε'){i/(ｐ_i＋ｋ－ｍ)}(－iε) 

＋(－iε){i/(ｐ_i－ｋ'－ｍ)}(－iε')]ｕ(ｐ_i,ｓ_i)

でした。
 

ここで,ε＝ε^μγ_μであり,Ｖは(2π)³と読み換えることが

できます。
 

この時の散乱振幅に対して適用したようにゲージ不変性

のテストを適用することができます。
 

すなわち,吸収光子でのε^μ→ε^μ＋Λｋ^μ,および,放出光子

でのε'^μ→ε'^μ＋Λ'ｋ'^μなる変換に対して,Ｓ_fiが不変

であることをチェックすることで,散乱振幅の式の妥当性を

ある程度,チェックできます。
 

実際,Ｓ_pfpi＝(iｅ²ε₀^-2)(2π)^-6(16ω_iω_fｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2 

(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ) 

×[{ε(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1{ε'(2ｐ_f＋ｋ')} 

＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1{ε(2ｐ_f－ｋ)} 

－2(εε')]　ですが,
　　　これは,これらの変換に対して不変:ゲージ不変なる

ことを示すことができます。
 

※(注5-2):上記Ｓ_pfpiの右辺において,ε^μ,ε'^μには

無関係な因子を除いたものは, 

[{ε(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1{ε'(2ｐ_f＋ｋ')} 

＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1{ε(2ｐ_f－ｋ)} 

－2(εε')]　で与えられます。
 

後者の変換:ε'^μ→ε'^μ＋Λ'ｋ'^μに対する不変性の証明 

も前者:ε^μ→ε^μ＋Λｋ^μに対するそれと,ほぼ同じです

から,ここでは,ε^μ→ε^μ＋Λｋ^μに対する不変性のみを

証明することにします。
 

これは上記の[ ]で囲んだ式で,ε^μをｋ^μに置き換えると, 

これがゼロとなることを示せば十分です。
 

[ ]の中＝{ε(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1{ε'(2ｐ_f＋ｋ')} 

＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1{ε(2ｐ_f－ｋ)} 

－2(εε')　です。
 

したがって,[ ]_ε→ｋ 

＝{ｋ(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1{ε'(2ｐ_f＋ｋ')} 

＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1{ｋ(2ｐ_f－ｋ)} 

＋(2ｋε')

＝(2ｐ_iｋ)(2ｐ_iｋ)^-1{(2ｐ_fε'）＋(ｋ'ε')} 

－{(2ｐ_iε'）ー(ｋ'ε')}(2ｐ_iｋ')^-1(2ｐ_fｋ))＋(2ｋε') 

＝2ｐ_fε'）＋(ｋ'ε')－(2ｐ_iε')＋(ｋ'ε')－(2ｋε') 

＝2(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)ε'＝0　が得られます。
 

ここで,ｋ²＝ｋ'²＝0,および,保存則:ｐ_f＋ｋ'＝ｐ_i＋ｋ

と,これにより(2ｐ_iｋ')＝(2ｐ_fｋ) etc.を用いました。
 

(注;5－2終わり)※
 

以上から,Ｓ_pfpi＝(iｅ²ε₀^-2)(2π)^-6(16ω_iω_fｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2 

(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ) 

×[{ε(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1{ε'(2ｐ_f＋ｋ')} 

＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1{ε(2ｐ_f－ｋ)} 

－2(εε')]

は確かにゲージ不変であることが示されました。
 

そして,運動量ｋ^μ＝(ｋ⁰,ｋ)で進む光子は横波であり, 

偏光:ε^μ＝(0,ε)は,εｋ＝－εｋ＝0 を満たします。
 

これは,場のゲージ条件としては,∂_μＡ^μ＝∇Ａ＝0

を意味します。

　　量子論では,こうしたLorentz不変性が満たされたり,便利

であるゲージ選択が矛盾に導く可能性もあって,状態の方に

物理的とかの付加条件を追加したりしますが,本質的には,

光子が∂_μＡ^μ＝0,またはεｋ＝0を満たすとする条件を採用

して計算しても問題は無いです。

'
　　それ故,εｋ＝ε'ｋ'＝0 が満たされると考えます。
 

そして,また,πが最初静止していたと見える座標系では

空間軸の取り方は任意なので,このπと衝突する入射光の

偏光ベクトルがε^μ＝(0,ε)＝(0,0,0,1)のとき,このεが

ｚ軸の向きになるようにπの実験室系(Laboratory-ystem):

ｐ_i^μ＝(μ,0)の座標系のｚ軸の向きに一致するように軸を

とることができます。
 

そうすれば,自動的にεｐ_i＝0です。
 

同様に終状態のπが静止している:つまり,散乱された

πと共に運動する,またはπに固定された慣性座標系:

ｐ_f^μ＝(μ,0)で散乱された光子の偏光の向きε'を

ｚ軸に採用すれば,ε'^μ＝(0,ε')＝(0,0,0,1)

なので,ε'ｐ_ｆ＝0 となります。
 

すると,εｋ＝ε'ｋ'＝εｐ_i＝ε'ｐ_ｆ＝0ですから,結局, 

{ε(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1{ε7(2ｐ_f＋ｋ')} 

＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1{ε(2ｐ_f－ｋ)} 

－2(εε')＝－2(εε') となります。
 

それ故,Ｓ_pfpi＝(－iｅ²ε₀^-2)(2π)^-6(16ω_iω_fｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2 

(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)2(εε') です。
 

これから,

実験室系での荷電πのCompton散乱の微分断面先の式:

(ｄσ/ｄΩ)_lab＝(α²/μ²)(εε')²/{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)}² 

を得ます。
 

※(注5-3): Ｖ,Ｔをそれぞれ,散乱の相互作用の体積,反応時間

とすると,ｉ(始状態)から,πと光子が存在するｆ(終状態)への

上記Ｓ行列要素:Ｓ_fiの絶対値の平方に,終状態のπ中間子の密度

(2π)^-3Ｖｄ³ｐ_ｆ,終光子の密度：(2π)^-3Ｖｄ³ｋ'を掛けると,

その微小領域への遷移確率は,|Ｓ_fi|²(2π)^-6Ｖ²ｄ³ｐ_fｄ³ｋ'

で与えられます。
 

これを,体積Ｖと時間Ｔの積:ＶＴで割った単位体積当りの 

遷移速度は,{|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)}(2π)^-6Ｖ²ｄ³ｐ_fｄ³ｋ'です。
 

これを,さらに始状態の静止πに対する光子の入射流束(1/Ｖ)

とπの密度:(1/Ｖ)で割ったものが,π中間子1個と光子1個当

たりの単位時間当たりのｄ³ｐ_fｄ³ｋ'への散乱確率:ｄσを

与えると考えられます。
 

ただし,こうした現象では,Ｖ＝∞(全空間)として

Ｖ＝(2π)³δ³(0),Ｔ＝∞＝(－∞,∞)の全時間として,

Ｔ＝(2π)δ(0)とし,ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0)と同定します。
 

また,粒子がＶの中に1個だけあるという波動関数

の規格化でなく,全空間でのデルタ関数式規格化では,

最後にＶ＝(2π)³とします。
 

そこで,ｄσ＝{|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)}Ｖ²(2π)^-6Ｖ²ｄ³ｐ_fｄ³ｋ' 

＝(2π)⁶(2π)^-12(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ) 

(16ω_iω_fｋ⁰ｋ'⁰)^-14ｅ⁴ε₀^-2(εε')²ｄ³ｐ_fｄ³ｋ'

ｐ_i^μ­＝(ω_i,ｐ_i)＝(μ,0)でω_i＝μ, 

∫ｄ³ｐ_f /(2ω_f)＝∫ｄ⁴ｐ_f θ(ω_f)δ(ｐ_f²－μ²)より,
 

右辺で∫ｄ³ｐ_f /(2ω_f)を実行すれば,δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ)

は消えて,ｄσ＝(2π)^-2ｅ⁴ε₀^-2(2μｋ⁰ｋ'⁰)^-1θ(μ＋ｋ⁰－ｋ'⁰)

δ(ｐ_f²－μ²)(εε')²ｄ³ｋ'　です。

　　そして,(ｋ’⁰)^-1ｄ³ｋ'＝ｋ'ｄｋ’ｄΩと書けば, 

ｄσ/ｄΩ＝(2α²/μ)∫₀^μ＋ｋ0(εε')²δ(ｐ_f²－μ²)ｋ'ｄｋ' 

です。(※ここでｅ²＝4πε⁰αを代入しました。)
 

ｄｋ'積分を実行して,δ(ｐ_f²－μ²)因子を消去すると, 

0＝ｐ_f²－μ²＝(ｐ_i＋ｋ－ｋ')²－μ² 

＝2(ｐ_iｋ)－2(ｐ_iｋ')－2(ｋｋ') 

＝2μ(ｋ⁰－ｋ'⁰)―2(ｋ⁰ｋ'⁰)(1－cosθ) 

＝2μｋ⁰－2μｋ'⁰{1＋(ｋ⁰/μ)(1－cosθ)} 

ですから,

　　ｋ'⁰＝ｋ⁰/{1＋(ｋ⁰/μ)(1－cosθ)}　を得ます。
 

ここで,ｋ⁰＝|ｋ|を単にｋ,また ｋ'⁰＝|ｋ'|を

単にｋ'と表記し直すと,ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)}

であり,

　　また,ｐ_f²－μ²＝(ｐ_i＋ｋ－ｋ')²－μ² 

＝2μｋ－2μｋ'{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)} なので, 

∫ｄｋ'ｆ(ｋ')δ(ｐ_f²－μ²)

＝ｆ(ｋ')/[2μ{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)}]

_{ただし,ｋ'＝ｋ/{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)}} 
 

以上から,始状態のπの実験室系で, 

ｄσ/ｄΩ＝{2α²/(μｋ⁰)}

∫₀^μ＋ｋ0(εε')²δ(ｐ_f²－μ²)ｋ'ｄｋ' 

＝(2α²/μ²)(εε')²/(2μ)/{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)}²

　ｄσ/ｄΩ＝(α²/μ²)(εε')²/{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)}² 

が得られました。　　(注5-3終わり)※
 

これは,低光子エネルギーの極限で,古典Thomson散乱の極限 

に帰するものです。
 

結果を光子の終偏極ε'について総和し,始状態の入射光子

偏極εについて平均すれば,π^＋中間子の非偏極光子による

散乱の微分断面積として,[(ｄσ/ｄΩ)_lab] 

＝α²(1＋cos²θ)/[2μ²{1＋(ｋ/μ)(1－cosθ)}²]

を得ます。

　　(※何故なら,既に電子のCompton散乱の項で計算したように, 

(1/2)Σ_ε,ε'(εε')²/＝(1＋cos²θ)/2となるからです。）
 

　今日はここで終わります。

　次回は,より高次の計算について述べる予定です。
　 

　(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

　"Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)