クライン・ゴルドン方程式(6)

前後しますが,「弱い相互作用の旧理論」については一応

終わったので,クライン・ゴルドン方程式(Klein-Gordon eq.)

の続きに移ります。
 

ただし, 「弱い相互作用の旧理論」の最後のＣＶＣ

の記事とＰＣＡＣの記事では,自分の中でまだ納得してない

不完全燃焼の部分が残っているのでPending状態ですが。。。 

　それに,急いでもないのに後回しですが。。。

　以下,本題です。
 

§9.6 高次のプロセス(Higher-order Processes) 

ここまで,主として電子に対する伝播関数の理論を模倣して

きましたが,この理論展開を,さらに続けることができて,前の

例から高次の計算法則が推測できます。
 

すなわち,電子のケースのFeynmanルールから,荷電π中間子

に対するルールへの主要な変更は,次のように書けるとが

わかります。
 

１.図9.6に示すように,運動量ｐからｐ'へとπ中間子を散乱

する電磁頂点では,時間的に未来,過去の両方向に対して,電子

頂点からπ頂点への変更の結果は,次のような置き換えと

なります。

 

すなわち,ｅγ_μ → ｅ(ｐ_μ＋ｐ'_μ)　です。
 

(ただし,ｅは,ｅγ_μでは電子の電荷,ｅ(ｐ_μ＋ｐ'_μ)では,

荷電π中間子の電荷を意味します。)
　
２. ２次の相互作用項:(－ｅ²Ａ_μＡ^μ)に対応する光子２個連結

のπ頂点は,2iｅ²ｇ_μνなる因子として寄与します。

 

これは,先のπのCompton散乱のＳ行列要素: 

Ｓ_pfpi＝(iｅ²ε₀^-2)(2π)^-6(16ω_iω_fｋ⁰ｋ'⁰)^-1/2 

(2π)⁴δ⁴(ｐ_f＋ｋ'－ｐ_i－ｋ) 

×[{ε(2ｐ_i＋ｋ)}{(ｐ_i＋ｋ)²―μ²}^-1{ε'(2ｐ_f＋ｋ')} 

＋{ε'(2ｐ_i－ｋ')}{(ｐ_i－ｋ')²―μ²}^-1{ε(2ｐ_f－ｋ)} 

－2εε']

　において,[ ]の中の最後の項に反映されています。
 

2iｅ²ｇ_μνの因子iは,この項に対する摂動展開のパラメータです。
 

このＳ行列要素の式はｅ²のオーダーの計算ですが,ｅ(ｐ_μ＋ｐ'_μ) 

については摂動の２次なのに,この項は摂動の1次の計算なので

現われるため出現する因子です。
 

つまり,通常の積分方程式のｎ回の反復近似から得られるｎ次の

摂動項では,因子:(－i)ⁿが出現するため,ｅ(ｐ_μ＋ｐ'_μ)の寄与を

ｅⁿのオーダーまで計算するとき,－ｅ²Ａ_μＡ^μ項が計算にｍ回

出現するなら,このｉは因子:(－i)^n-2mi^m＝(―i)^n-m×(－1)^mとして

寄与するわけです。
 

※(注6-1);電子のFeynman規則では,実は1頂点には,単にｅγ_μでは 

なく(－i)という因子も伴なった(－iｅγ_μ)が対応します。
 

それ故,πの頂点でもｅ(ｐ_μ＋ｐ'_μ)だけでなく,正確には 

{－iｅ(ｐ_μ＋ｐ'_μ)}が対応するのですが,この余分の(－i)

は,摂動級数の４元座標変数積分の前に掛かる(－i)因子に

起因します。
 

したがって,光子がｎ個連結した頂点には通常はｅⁿに因子:(－i)ⁿ 

が付随します。
 

しかしながら,(－ｅ²Ａ_μＡ^μ)がｍ個挟まってトータルでｅⁿの寄与

の頂点ならルールは修正されて,ｅ^n-2mに寄与する(ｎ－2ｍ)重の 

ｅ(ｐ_μ＋ｐ'_μ)からの摂動級数因子:(－i)^n-2ｍと,ｍ重の

(－ｅ²Ａ_μＡ^μ)からの摂動因子(－i)^ｍ,および,(－ｅ²)^ｍから

ｅ^2mを除いた(－1) ^ｍを掛け合わせたi^ｍの寄与があります。
 

結果的には,(－i)^n-2ｍ×(－i)^2ｍ×(－i)^ｍ＝(－i)^n-2ｍ×i^ｍ

＝(－i)^n-ｍなる係数がｅⁿのオーダーの項の係数として寄与する

はずです。
 

したがって,(－ｅ²Ａ_μＡ^μ)の1個当たりの虚数係数の寄与

としては＋iです。　(注6-1終わり)※
 

2iｅ²ｇ_μνの係数因子２は,この頂点での崩壊や散乱において

生成,または消滅される量子(光子)が常に２個であるために

出現します。　(図9.7参照)
 

ちなみに,ゲージ不変性のテストは,与えられたｅの任意

オーダーに寄与するあらゆるグラフの総和を示す相互作用

振幅に対して適用されます。
 

前の例でも見たように,摂動級数の各ｅのオーダーごとに

ゲージ不変性が成立するため,これはｐ^Ａ＋Ａｐ＾とＡＡ

に由来する項の相対因子が正しいかどうか？の簡単で有用

なチェックを与えます。
 

３.運動量がｐの内線に対応する伝播関数については,次のように 

置換します。

　i/(ｐ－ｍ＋iε)＝i(ｐ＋ｍ)/(ｐ²－ｍ²＋iε)→　i/(ｐ²－μ²＋iε)

です。
 

４.外線に付与する規格化因子は電子スピノルのそれに取って

代わって次のようにします。

　(ｍ/Ｅ)^1/2ｕ(ｐ) → {1/(2ω)}^1/2 です。
 

他の全ての因子:特にｉと(2π)のべき乗については厳密に電子に

対するものと同一です。
 

最後に.同種粒子線を交換しただけのグラフの振幅に相対的

マイナス符号を付与するかどうか？という問題が残っています。
 

電子については,２つの同種粒子の交換を反対称とする

というPauliの原理によって,電子が交換されたグラフに

相対的なマイナス符号が導入されました。
 

一方,実験的検証の示すとところによれば,π中間子は

Bose粒子です。すなわち,それはBose-Einsteinの対称

統計を満足する粒子です。
 

特に,反応:Ｋ^＋ → π^＋＋π^＋＋π^－ では,２つのπ^＋

中間子は１つの相対的Ｓ状態に放出されます。
 

さらに,Pauliによって初めて与えられた強い理論的根拠が

あります。
 

つまり,スピンと統計の間には密接な関係があって,スピン

が半奇数の粒子達はFermi統計に従がって排他原理を満たし,

整数スピンの粒子達はBose統計に従う故に,対称化される,

ということです。
 

こうした論旨は後に述べる予定の場の量子論の枠組みの

中で最もうまく論じることができます。
 

しかし,ここでは単に今記述しようとしているスピンがゼロ

の粒子はBose-Einsteinの対称統計に従う粒子であることを

意味するBose粒子であると仮定します。
 

このことはBose粒子の交換だけが異なるグラフの振幅の間

の関係は,相対的(－)符号ではなく(＋)符号でなければなら

ないことを意味します。
 

したがって,もはや閉じたループ上の積分や,散乱グラフと

消滅・生成グラフとの間に,電子のケースのような(－1)の

因子は出現しません。
 

これらの(－1)の因子は,図8.1(ｂ)や図8.1(ｅ)の電子の過程

に対応する振幅において空孔理論の状態へのPauliの排他原理

の適用によって導入された因子でした。

 

しかし,Bose粒子に対しては,状態が全て満たされている

負エネルギー粒子の海などは無く,空孔理論とは異なる道筋

で,こうした相対的符号を論じる必要があります。
 

同種のBose粒子のCoulomb散乱においては,図9.8の２つの

グラフの振幅間の相対的符号はプラスです。

 

これら,２つの線のエネルギーの符号を変えることで

Bose粒子の粒子-反粒子散乱に対する振幅を得ることが

できます。
 

例えば,入れ換え；ｑ₂ ⇔ －ｐ₂ によって,図9.9に示された

グラフの振幅が得られます。

 

図9.9のグラフに対応する２つの振幅間の相対符号は

入れ換え；ｑ₂ ⇔ ―ｐ₂が単に,散乱グラフの図9.8から図9.9

に移行する変化なら,正のままです。
 

この入れ換え；ｑ₂ ⇔ ーｐ₂は,電子のプロセスにおいて, 

ｐ₁⇔ｐ₁,ｐ’ ₁⇔ｐ’₁,ｐ₂⇔－ｑ’₁,ｐ’₂⇔－ｑ₁,なる

入れ換えで,既に遭遇した法則と同じ置換法則の一つの例であり

これによって,中間子(Bose粒子)の振幅に拡張されます。
 

こうした法則は図9.10の全ての３つのグラフの振幅に対して

相対的符号プラスへと誘導します。

 

図9.10(ａ)と図9.10(ｂ)は頂点ｙの下では同等であり,それ故,

それらの間では相対的符号は(＋)です。
 

一方,図9.10(ｃ)に相対的に,図9.10(ａ)のuとvの間に付加

した散乱相互作用の導入は,符号変化は伴わないため,先述

したように,図9.10(ｂ)の閉ループに伴なって(―1)因子が生じる

ことはないと結論されます。
 

π中間子やＫ中間子のようなスピンゼロBose粒子の電磁

相互作用の高次の計算については,また,くり込みの効果を

示すという課題があります。
 

これは,テキストの第8章:本ブログでは

「量子電磁力学の輻射補正」シリーズ記事において電子に

対して行なったものの完全なアナロジーとして追跡すること

ができます。
 

しかし,実際にこうしたアナロジー追跡の詳細に立ち入ることは

しません。
 

このことの主な理由は,電子とは異なり中間子π,Ｋにはそれら

自身や核子:ｐ,ｎとの,電磁相互作用よりはるかに強い相互作用

があるためです。
 

したがって,計算結果の物理的観測との比較が可能となる前に,

この強い相互作用の効果をも含まれなければならないからです。
 

そこで,高次の電磁相互作用の効果の詳細よりも,これら非電磁

相互作用の論議の方が重要です。

　そして実際,この章の続きとして強い相互作用,弱い相互作用

のトピックに移り,これも本ブログ記事で紹介しました。
 

今日はここで終わります。
 

次回は,Ｋlein-Gordon方程式の非相対論的近似について

述べる予定です。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)