中性子の平均寿命の計算(Fermi理論) Pending

弱い相互作用の旧理論に基づいて,具体的に中性子ｎの 

β崩壊:ｎ→ｐ＋ｅ^－＋ν~の崩壊率を求めてみようと

思います。

 まず.Fermi理論に基づく,ｎのβ崩壊のＳ行列要素 

は,Ｓ_fi＝(－ｉ)(2π)^-6Ｖ^-2{ｍ_nｍ_pｍ_ｅ/(2Ｅ_nＥ_pＥ_eＥ_ν~)}^1/2 

×(2π)⁴δ⁴(Ｐ_ｎ－Ｐ_ｐ－ｐ_ｅ－ｐ_ν~)Ｍ_fi  

と書けます。
 

ただし,Ｍ_fiは,この崩壊反応の不変振幅です。
 

４元運動量:ｐ_ν~で作用領域から出ていく反ニュートリノ: 

ν~は,４元運動量:－ｐ_ν~で入ってくる負エネルギーの 

ニュートリノ:νのスピノル:ｖ_ν(ｐ_ν~)で表現されます。
 

核子の散乱振幅が,核子:(ｐ,ｎ)のＶ-Ａカレントと, 

レプトン:(ｅ,ν)のＶ-Ａカレントの積で与えられる 

という.これまでの論議を適用すると,

　不変振幅は,

Ｍ_fi＝(Ｇ/√2)[ｕ_p~(Ｐ_p)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_n(Ｐ_n)]

×[ｕ_e~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)] 

と書けます。
 

Ｖ,Ｔをそれぞれ,β崩壊相互作用の体積,反応時間 

とすると,中性子ｎが単独で自由に存在するというｉ

(始状態)から,ｐ,ｅ,ν~が存在するｆ(終状態)への

上記Ｓ行列要素:Ｓ_fiの絶対値の平方に,

　　終状態の陽子ｐの密度：(2π)^-3Ｖｄ³Ｐ_p,電子ｅの密度：

(2π)^-3Ｖｄ³ｐ_e,反ニュートリノν~の密度: 

(2π)^-3Ｖｄ³ｐ_ν~を掛けると,

　　その微小領域への遷移確率は,

|Ｓ_fi|²(2π)^-9Ｖ³ｄ³Ｐ_pｄ³ｐ_ｅｄ³ｐ_ν~で与えられる

と考えられます。
 

これを,体積Ｖと時間Ｔの積:ＶＴで割った単位体積当りの 

遷移速度を,始状態の中性子ｎの密度:(1/Ｖ)で割ったもの 

が,中性子1個当たりの単位時間当たりの,

ｄ³Ｐ_pｄ³ｐ_ｅｄ³ｐ_ν~ への崩壊確率:ｄωを与えます。
 

ただし,崩壊現象では,ＶをＶ＝∞の全空間として, 

Ｖ＝(2π)³δ³(0),ＴをＴ＝∞＝(－∞,∞)の全時間 

として,Ｔ＝(2π)δ(0)とし,ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0)と 

同定します。
 

また,粒子がＶの中に1個だけあるという波動関数の 

規格化でなく,全空間でのデルタ関数式規格化では, 

最後にＶ＝(2π)³とします。
 

そこで, 

ｄω＝{|Ｓ_fi|²(2π)^-9Ｖ³ｄ³Ｐ_pｄ³ｐ_ｅｄ³ｐ_ν~}Ｖ/(ＶＴ) 

＝(2π)^-9(2π)⁴δ⁴(Ｐ_ｎ－Ｐ_p－ｐ_e－ｐ_ν~)

ｄ³Ｐ_pｄ³ｐ_ｅｄ³ｐ_ν~ {ｍ_nｍ_pｍ_ｅ/(2Ｅ_nＥ_pＥ_eＥ_ν~)}|Ｍ　|² 

です。
 

ここで,右辺を一般的方法では観測にかからない終状態の

反ニュートリノν~の状態について総和するため,∫ｄ³ｐ_ν~

を実行します。
 

ところが,∫ｄ³ｐ_ν~/(2Ｅ_ν~)＝∫ｄ⁴ｐ_ν~θ(ｐ_ν~⁰)δ(ｐ_ν~²) 

なる公式があるので,ｄ³ｐ_ν~を実行すると,

∫ｄ⁴ｐ_ν~ によりδ⁴(Ｐ_ｎ－Ｐ_ｐ－ｐ_ｅ－ｐ_ν~)因子が消えて, 

因子:θ(ｐ_ν~⁰)δ(ｐ_ν~²)が残ります。
 

さらに,ｅの状態の総和では, 

ｄ³ｐ_ｅ＝|ｐ_ｅ|Ｅ_ｅｄＥ_ｅｄΩ_ｅ＝β_ｅＥ_ｅ²ｄＥ_ｅｄΩ_ｅです。
 

よって,ｄω＝(2π)^-5{ｍ_nｍ_pｍ_ｅ/(Ｅ_nＥ_pＥ_e)}θ(Ｅ_ν~) 

×δ(ｐ_ν~²)|Ｍ_fi|²ｄ³Ｐ_p|ｐ_ｅ|Ｅ_ｅｄＥ_ｅｄΩ_ｅ 

　と書けます。
 

右辺の|Ｍ_fi|²については,特定偏極を仮定した場合 

の|Ｍ_fi|²＝(Ｇ²/2)|ｕ_p~Ｐ_p)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_n(Ｐ_n)|² 

　×|ｕ_e~(ｐ_ｅ)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)|²   

　の代わりに,
 

　核子:(ｐ.ｎ)のスピン,および,電子と反ニュートリノ:

 (ｅ.ν~)のスピンで総和を取って,中性子ｎのスピンで平均

したもの::

つまり.(1/2)∑_ＳｐＳｎ∑_ｅe,ｓν~|Ｍ_fi|² 

＝(Ｇ²/2)(1/2)∑_ＳｐＳｎ|ｕ_ｐ~(Ｐ_p)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_ｎ(Ｐ_n)| ² 

_×∑_ＳｐＳｎ|(ｕ_e~(ｐ_e)γ^μ(1－γ₅)ｖ_ν(ｐ_ν~)| ² 

＝(Ｇ²/4){1/(8ｍ_pｍ_nｍ_ｅ)} 

∑_μνＴr[(Ｐ_ｐ＋ｍ_p)γ _μ(1－αγ₅)(Ｐ_n＋ｍ_n)γ _ν(1－αγ₅)] 

×Ｔr[ｐ_νγ ^μ(1－γ₅)(ｐ_ｐ＋ｍ_ｅ)γ^ν(1－γ₅)]] 

を不変振幅による確率密度の因子と考えて,この値を 

|Ｍ_fi|²に置き換えます。

核子部分のトレースは, 

Ｔr[(Ｐ_p＋ｍ_p)γ _μ(1－αγ₅)(Ｐ_n＋ｍ_n)γ _ν(1－αγ₅)] 

＝Ｔr[(Ｐ_p＋ｍ_p)γ _μ(1＋α²－2αγ₅)Ｐ_nγ _ν 

＋ｍ_n(1－α²)Ｔr[(Ｐ_p＋ｍ_p)γ _μγ_ν] 

＝(1＋α²)Ｔr(Ｐ_pγ _μＰ_nγ _ν)－2αＴr(γ₅Ｐ_pγ _μＰ_nγ _ν) 

＋ｍ_pｍ_n(1－α²)Ｔr(γ _μγ_ν) 

＝4(1＋α²)(Ｐ_pμＰ_nν＋Ｐ_pνＰ_nμ－ｇ_μνＰ_pＰ_n) 

＋４ｍ_pｍ_n(1－α²)ｇ_μν 

＋8iα∑_αβγδε^αβγδＰ_pαｇ_μβＰ_nγｇ_νδ)

と書けます。
 

一方,レプトン部分のトレースは, 

Ｔr[γ ^ν(1－γ₅)(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)γ^μ(1－γ₅)ｐ_ν~] 

＝2Ｔr[γ^ν(1－γ₅)(ｐ_ｅ＋ｍ_ｅ)γ ^μｐ_ν~] 

＝2Ｔr(γ^νｐ_eγ ^μｐ_ν~)＋2Ｔr(γ₅γ^νｐ_eγ ^μｐ_ν~) 

＝8(ｐ_e^νｐ_ν~^μ＋ｐ_e^μｐ_ν~^ν－ｇ^νμｐ_eｐ_ν~) 

＋8i∑_ρστηε_ρστηｐ_e^ρｇ^νσｐ_ν~^τｇ^μη)　 

です。
 

核子のトレースとレプトンのトレースの積を取り, 

総和∑_μνを取ると,μ,νについて対称な項と反対称な 

項の積は,対称性の故にゼロとなって消え,反対称項同士, 

対称項同士の積だけがゼロでない寄与をします。
 

反対称項同士の積は, 

－64α∑_μν∑_αγρτ [ε^αμγνε_ρντμＰ_ｐαＰ_nγｐ_e^ρｐ_ν~^τ] 

です。
 

∑_μνε^αμγδε_ρντμ ＝ 2(δ^α_ρδ^γ_τ－δ^α_τδ^γ_ρ)

なので,これは, 

128α∑_αγρτ(δ^α_ρδ^γ_τ－δ^α_τδ^γ_ρ)Ｐ_ｐαＰ_nγｐ_ν~^ρｐ_ｅ^τ 

＝－128α[(Ｐ_pｐ_ν~)(Ｐ_ｐｐ_ｅ)－(Ｐ_pｐ_ｅ)(Ｐ_nｐ_ν~)] 

となります。
 

一方,対称項同士の積は, 

32(1＋α)²(Ｐ_pｐ_ν~)(Ｐ_nｐ_ｅ)＋(Ｐ_pｐ_ｅ)(Ｐ_nｐ_ν~) 

－32ｍ_pｍ_n(1－α²)(ｐ_eｐ_ν~)　です。
 

故に,(1/2)∑_ＳｐＳｎ∑_ｅe,ｓν~|Ｍ_fi|²＝{Ｇ²/(ｍ_ｅｍ_pｍ_n)} 

[(1＋α)²(Ｐ_pｐ_ν~)(Ｐ_nｐ_e)＋(1－α)²(Ｐ_ｐｐ_ｅ)(Ｐ_ｎｐ_ν~) 

－ｍ_pｍ_n(1－α²)(ｐ_eｐ_ν~)]　　を得ます。
 

ここで,保存則:Ｐ_ｎ－Ｐ_p－ｐ_e－ｐ_ν~＝0.より, 

ｐ_ν~＝Ｐ_ｎ－Ｐ_p－ｐ_eですから,これを代入してｐ_ν~を含む項 

を消去します。
 

(Ｐ_pｐ_ν~)＝(Ｐ_pＰ_n)－ｍ_p²－(Ｐ_pｐ_e), 

(Ｐ_ｎｐ_ν~)＝ｍ_n²－(Ｐ_nＰ_p)－(Ｐ_nｐ_e), 

(ｐ_eｐ_ν~)＝(ｐ_eＰ_n)－(ｐ_eＰ_p)－ｍ_e² 

です。
 

それ故,(1/2)∑_ＳｐＳｎ∑_ｅe,ｓν~|Ｍ_fi|²＝{Ｇ²/(ｍ_ｅｍ_pｍ_n)} 

×[(1＋α)²(Ｐ_pｐ_e){(Ｐ_pＰ_n)－(Ｐ_pｐ_e)－ｍ_p²} 

 ＋(1＋－α)²(Ｐ_ｐｐ_ｅ){ｍ_n²－(Ｐ_pｐ_e)－(Ｐ_nｐ_e)} 

 －ｍ_pｍ_n(1－α²)[(ｐ_eＰ_n)－(ｐ_eＰ_p)－ｍ_e²}]　 

です。
 

特に,崩壊する前の中性子の静止系:Ｐ_n^μ＝(ｍ_n,0)を想定 

すると,Ｅ_n＝ｍ_nであり,Ｅ_ｐ＋Ｅ_e＋Ｅ_ν~＝ｍ_nです。 

また,Ｐ_ｐ＋ｐ_ｅ＋ｐ_ν~＝0 　です。
 

また.反ニュートリノの質量がゼロという条件から, 

0＝ｐ_ν~²＝(Ｐ_ｎ－Ｐ_p－ｐ_e)² 

＝ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²－2{(Ｐ_pＰ_n)＋(Ｐ_ｐｐ_ｅ)－(Ｐ_nｐ_e)}なので, 

(Ｐ_pＰ_n)＋(Ｐ_ｐｐ_ｅ)－(Ｐ_nｐ_e)＝(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2, or, 

(Ｐ_ｐｐ_ｅ)＝(Ｐ_nｐ_e)－(Ｐ_pＰ_n)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2　 

です。
 

よって,中性子の静止系:Ｐ_n=(ｍ_n,0)では, 

 (Ｐ_ｐｐ_ｅ)＝(Ｐ_nｐ_ｅ)－(Ｐ_pＰ_n)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2 

＝ｍ_n(Ｅ_e－Ｅ_p)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2　です。

　したがって,(1＋α)²(Ｐ_pｐ_e){(Ｐ_pＰ_n)－(Ｐ_pｐ_e)－ｍ_p²}

＝(1＋α)²{ｍ_n(Ｅ_e－Ｅ_p)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2}

×{ｍ_n(2Ｅ_pーＥ_e)ー(ｍ_n²＋3ｍ_p²＋ｍ_e²)/2} 　です。
 

また,(1ーα)²(Ｐ_ｐｐ_ｅ){ｍ_n²－(Ｐ_pｐ_e)－(Ｐ_nｐ_e)} 

＝(1ーα)²(Ｐ_ｐｐ_ｅ)[(ｍ_n²－ｍ_p²－ｍ_e²)/2＋(Ｐ_pＰ_n)－2(Ｐ_nｐ_e)] 

­＝(1ーα)²{ｍ_n(Ｅ_e－Ｅ_p)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2} 

{(ｍ_n²－ｍ_p²－ｍ_e²)/2＋ｍ_n(Ｅ_p－2Ｅ_e)} 　です。
 

さらに,－ｍ_pｍ_n(1ーα²){(ｐ_eＰ_n)－(ｐ_eＰ_p)－ｍ_e²} 

＝－ｍ_pｍ_n(1ーα²){(Ｐ_pＰ_n)－(ｍ_n²＋ｍ_p²＋3ｍ_e²)/2} 

＝ｍ_pｍ_n(1ーα²){(ｍ_n²＋ｍ_p²－3ｍ_e²)/2－ｍ_nＥ_p}　です。
 

そして,δ(ｐ_ν~²)＝δ((Ｐ_ｎ－Ｐ_p－ｐ_e)²) 

＝δ((Ｐ_ｎ－Ｐ_p－ｐ_e)²) 

＝δ(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²－2{(Ｐ_pＰ_n)＋(Ｐ_ｐｐ_ｅ)－(Ｐ_nｐ_e)}) 

＝δ(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²－2ｍ_n(Ｅ_p－Ｅ_e)ー2(Ｐ_ｐｐ_ｅ)) 

＝δ(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²－2ｍ_n(Ｅ_p－Ｅ_e)－2Ｅ_ｐＥ_ｅ(1－β_pβ_ecosθ)) 

ですから,

　このデルタ関数のＥ_pの係数は,

－2{ｍ_n＋Ｅ_ｅ(1－β_pβ_ecosθ)　です。
 

よって,ｄ³Ｐ_p＝|Ｐ_p|Ｅ_ｐｄＥ_ｐｄΩ_pによる積分結果は, 

∫ｄΩ_p＝4πとして,∫ｄ³Ｐ_pδ(ｐ_ν~²) 

＝4πβ_pＥ_ｐ²/[2{ｍ_n＋Ｅ_ｅ(1－β_pβ_ecosθ)}]

です。
 

また,θ(Ｅ_ν~)＝θ(ｍ_ｎ－Ｅ_p－Ｅ_e)因子より, 

0≦Ｅ_e≦ｍ_ｎ－Ｅ_pである必要があります。
 

そこで. 

ｄω＝(2π)^-5δ⁴(Ｐ_ｎ－Ｐ_p－ｐ_e－ｐ_ν~)

ｄ³Ｐ_pｄ³ｐ_ｅｄ³ｐ_ν~ {ｍ_pｍ_ｅ/(Ｅ_pＥ_e)} 

×[(1/2)∑_ＳｐＳｎ∑_ｅe,ｓν~|Ｍ_fi|²]　から積分を実施すると,
 

ω＝(2π)^-5{4πβ_pＥ_ｐＧ²/ｍ_n)}∫₀^ｍn－ＥpｄＥ_ｅｄΩ_ｅ 

[β_eＥ_e /{ｍ_n＋Ｅ_ｅ(1－β_pβ_ecosθ_e)} 

×[(1＋α)²{ｍ_n(Ｅ_e－Ｅ_p)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2} 

×{ｍ_n(2Ｅ_p－Ｅ_e)＋(ｍ_n²－ｍ_p²＋ｍ_e²)/2}

＋(1－α)²{ｍ_n(Ｅ_e－Ｅ_p)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2} 

×{(ｍ_n²－ｍ_p²－ｍ_e²)/2＋ｍ_n(Ｅ_p－2Ｅ_e)} 

＋ｍ_pｍ_n(1－α²){(ｍ_n²＋ｍ_p²－3ｍ_e²)/2－ｍ_nＥ_p}] 

が得られます。
 

α～1.21と評価されているので,取りあえず,α～1として, 

(1－α)²や(1－α²)に比例する項,および,ｍ_e²を無視し,

核子ｐの反跳も小さいとして,Ｅ_pをｍ_pで近似します。

ｍ_e²を無視するので,|ｐ_e| ～ Ｅ_e より,β_e ～ 1です。

α＝1のとき,ゼロでない寄与をする項は, 

(1＋α)²{{ｍ_n(Ｅ_e－Ｅ_p)＋(ｍ_n²＋ｍ_p²＋ｍ_e²)/2} 

×{ｍ_n(2Ｅ_p－Ｅ_e)－(ｍ_n²＋3ｍ_p²＋ｍ_e²)/2} 

＝4{ｍ_nＥ_e＋(ｍ_n²＋ｍ_p²－2ｍ_nｍ_p)/2}

×{－ｍ_nＥ_e－(ｍ_n²＋3ｍ_p²－4ｍ_nｍ_p)/2} 

＝－4ｍ_n²Ｅ_e²＋ｍ_n(2ｍ_ｎ²＋4ｍ_p²－6ｍ_nｍ_p)Ｅ_e 

＋(ｍ_n⁴－ｍ_p⁴＋2ｍ_n³ｍ_p＋6ｍ_nｍ_p³－8ｍ_n²ｍ_p²)}

です。

　　最後に得られたＥ_eの2次式をＦ(Ｅ_e )と置き,

さらに,Ｍ＝ｍ_n, ΔＭ＝ｍ_n－ｍ_p, Ｅ_ｐ～ｍ_ｐ,

β_ｐ ～ΔＭ/Ｍ と近似します。

　すると,

ω＝(2π)^-4{2Ｅ_ｐＧ²/ｍ_n}∫₀^ｍn－ＥpｄＥ_ｅ∫ｄΩ_ｅ 

[β_eＥ_e Ｆ(Ｅ_e )/{ｍ_n＋Ｅ_ｅ(1－β_pβ_ecosθ_e)}

～ (2π)^-3{β_pｍ_ｐＧ²}∫₀^ΔＭｄＥ_ｅ∫d(cosθ_e)

[Ｅ_e Ｆ(Ｅ_e )/{ｍ_n＋Ｅ_ｅ(1－β_pcosθ_e)}]

＝ (2π)^-3Ｇ²∫₀^ΔＭｄＥ_ｅ

[ Ｆ(Ｅ_e )×log{[1＋Ｅ_ｅ(1＋β_p)/m_n}/{1＋Ｅ_ｅ(1－β_p)/m_n}]

を得ます。

ここで,log{[1＋Ｅ_ｅ(1＋β_p)/m_n}/{1＋Ｅ_ｅ(1－β_p)/m_n}

～2Ｅ_ｅ/Ｍ と近似します。 

そして,Ｆ(Ｅ_e ) ～ －4Ｍ²（Ｅ_e² ＋ΔＭＥ_e /2)です。

故に,ω ～ (2π)^-3Ｇ²}∫₀^ΔＭｄＥ_ｅ(8ＭＥ_e³＋4ＭΔＭＥ_e ²)

　　最終的には,ω～ (Ｇ²/π³)}[(5/12)Ｍ(ΔＭ)⁴}

と近似評価されます。 

ここで,単位のみを問題とする次元解析の等式を 

書くと,Ｔ^-1＝[Ｇ]²Ｍ⁵[ｈ_c^ｒｃ^s]と掛けます。
 

ｈ_c＝6.6×10^－16eVsec ,c＝3×10¹⁰cm/secであり, 

 [ｈ_c]＝ＭＬ²Ｔ^-1,[ｃ]＝ＬＴ^-1なので, 

Ｔ^-1＝[Ｇ]²(ＭＬ²Ｔ^-2)⁵(ＭＬ²Ｔ^－1)^r(ＬＴ^-1)^s.
 

すなわち,Ｔ^-1＝[Ｇ]²Ｍ^5＋ｒＬ^10＋2ｒ+sＴ^-10-r-s です。
 

また,以前の記事によると,Ｇ～8.88×10^－38eVcm³であり,

[Ｇ]＝ＭＬ⁵Ｔ^－2でした。

　　それ故,上記等式は,Ｔ^-1＝Ｍ^7＋ｒＬ^20＋2r＋SＴ^{－14―ｒ-s}です。 

それ故, 7＋ｒ＝0,  20＋2ｒ＋ｓ＝0, －14－ｒ－ｓ＝－1  から

結局,ｒ＝－7,ｓ＝－6　が得られます。
 

故に,通常の単位では, 

ω＝1/τ_n＝π^-3Ｇ²/(ｃ⁶ｈ_c⁷){(8/3)Ｍ(ΔＭ)⁴}です。
 

ただし,Ｍ＝Ｍ_N＝ｍ_n ～ ｍ_p ～ 940MeV, 

ΔＭ＝(ｍ_n－ｍ_p) ～ 1.3 MeVですから, 

(5/12)Ｍ(ΔＭ)⁴ ～ 1120 (MeV)⁵ です。
 

これと,

Ｇ＝8.88×10^-44(MeVcm³),ｈ_c＝6.6×10^－22MeVsec ,

c＝3×10¹⁰cm/secを,

ω＝1/τ_n＝π^-3(Ｇ²/ｃ⁶ｈ_c⁷){(1/3)Ｍ(ΔＭ)⁴}

　に代入すると,³
 

　ω＝1/τ_n

　～ π^-3×68.4×6.6^－7×3^－6×10⁶×900/sec 

　～ 6.25/sec　を得ます。
 

これが正解とすると,自由中性子ｎの寿命の評価値は,  

τ_n  ～ 0.16 sec となります。

　確か,昔読んだ文献によると,自由な 中性子ｎの平均寿命は,

15分＝900sec ～ 10³ sec 程度ではなかったか？と記憶して

いるので,ここでの評価計算は大雑把な近似であることを考慮

しても.やや不一致な値です。。。。
 

※(注1):過去記事;「弱い祖語作用の旧理論(11)」での  

μ粒子の崩壊:μ^－→ｅ^－＋ν’＋ν~についての計算を  

参照すると,ω＝1/τ_μ＝Ｇ²ｍ_μ⁵/(192π³)　でした。

μ崩壊では,ΔＭ＝ｍ_μ－ｍ_μ～ ｍ_μですから計算式と 

しては,私が個人的に評価した上記の中性子の崩壊率と 

係数を除いて一致しています。
 

まあ,μ崩壊の計算を参照して,考察したので当然といえば

当然の結果ではありますが。。。
 

 そして,この自然単位でのμ崩壊率の式を通常の単位

に直すと,　ω＝Ｇ²(ｍ_μｃ²)⁵ｈ_c^-7ｃ^-6/(192π³)

が得られます。
 

　この際に行なった計算過程を,そのまま再掲すれば,

　まず,Ｇ＝(1.015±0.03)×10^-5×(940MeV)^-2ｈ_c³ｃ³
　から,誤差:±0.03を省いて,
　Ｇ²＝1.015²×10^-10×(940MeV)^-4ｈ_c⁶ｃ⁶です。

　μの質量:ｍ_μｃ² ～ 106MeVを代入すれば,
　ω＝1.015²×10^-10×(940MeV)^-4(106MeV)⁵ｈ_c^-1/(192π³)
　＝2.97×10^-16MeV/ｈ_c となります。
 

 MeV単位では,ｈ_c＝6.6×10^-22(MeVsec)なので, 

 結局,μ粒子のの崩壊率は,

 ω＝1/τ_μ～(2.97×10⁶/6.6)sec^-1 であり,

 平均寿命はτ_μ＝1/ω～2.22×10^-6sec　であるという

 予測計算値が得られました。

　他方,μの平均寿命の実験観測値は,
　τ_μ＝(2.21±0.003)×10^-6secですから,

これについては予測計算値が観測値とほぼ一致して

います。 (注1終わり)※
 

一方,中性子ｎでなくBose粒子の荷電π中間子の３体崩壊: 

π^―→π⁰＋ｅ^―＋ν~　があります。

　

これにおいても,同様に評価できると仮定して, 

Ｍ(ΔＭ)⁴を,μ(Δμ)⁴と書き,μ～140MeV,  

Δμ～4.5 MeVを代入すると,

μ(Δμ)⁴～ 57400(MeV)⁵ です。
 

中性子の崩壊と同じ方針で,このプロセスでの崩壊率

の評価ができると仮定したときの評価値は, 

ω ～ 1.6×10^－3/sec×ａ²×57400/2680 となるため

　　Fermi粒子のＶ－Ａカレントの寄与: 

|ｕ_p~Ｐ_p)γ_μ(1－αγ₅)ｕ_n(Ｐ_n)|²が,πについては, 

|ｐ_i＋ｐ_f|²に変わるであろうという推測からは別の評価 

もできそうですが,まだ計算していません。
 

いずれにしろ,どこが間違いか？今のところよくわからない 

ですが,この方針での計算のどこがミスなのか？または方針

そのものが間違いなのかとか,検討中です。

Pending。。。。

　今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell  

”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill)