クライン・ゴルドン方程式(7)

クライン・ゴルドン方程式(Klein-Gordon eq.)の続きです。
 

今回は,Dirac方程式と同じく,Ｋlein-Gordon方程式に

ついても 非相対論的近似を与えて確率解釈できるという

ことについて記述します。
 

§9.7 クライン・ゴルドン方程式の非相対論極限変形と解釈 

(Nonrelativistic　Reduction and Interpretation of  

Klein-Gordon Equation)
 

ここまで論じてきたKlein-Gordon方程式に従うπ中間子

について,１粒子の従来の確率解釈を持った(非相対論的)

量子力学による近似的な記述が求められるような物理的

状況が存在します。
 

例えば,π中間子で構成された原子とか,物質内の原子の

電磁場や外場と荷電π中間子の相互作用などが,こうした

観点から研究できます。
 

これらは1粒子のDiracの電子論が成功裡に適用され,解釈

されてきた際の物理的状況に類似しています。
 

こうしたケースについて,古典的対応の極限だけではなく

Schroedinger方程式への非相対論的な帰着と解釈を示したい

と考えます。
 

確率解釈を持つ正確な１粒子の(相対論的)量子力学を構成

することは不可能である。ということに直面して,最初の章

ではこの２次のKlein-Gordon方程式を捨てるという方向へ

と誘導されました。
 

そして,非相対論的Schrooedinger理論におけるように,時間

について１次の導関数のみを含む方程式の形の,Dirac方程式

を基本方程式として採用する道を選択したのでした。
 

しかしながら,今までにDirac方程式の１粒子像では,

正エネルギーと負エネルギーのスペクトルの間には広い

ギャップ ～ 2ｍｃ²が,なお.残っていて,弱く,ゆっくり

と変動する場のような限られた環境の中でのみ,

正エネルギー粒子状態で生き残れることを見てきました。
 

しかし,今や,代わって一旦は捨てたKlein-Gorson方程式

の適切な１粒子量子力学像を探索すべき状況に至っている

と思われます。
 

Klein-Gordon方程式を１次の時間微分のみを含む

Scheordinger方程式の形へと,近似的に変形すること

を試みます。
 

その最初のステップは,(□＋μ²)φ＝0 を１次の方程式

のペアに書き直すことです。
 

これは,ξ＝φ^d≡∂φ/∂ｔと書き,(□＋μ²)φ＝0を, 

ξ^d＝∂ξ/∂ｔ＝(∇²－μ²)φと書き直すことでなすこと 

ができます。
 

これで目論見通り,時間微分についての２次方程式:

(□＋μ²)φ＝0 を,ξ＝∂φ/∂ｔ,∂ξ/∂ｔ＝(∇²－μ²)φ

という1次方程式のペア＝連立１次方程式に書き直すことが

できたわけでず。
 

次に,θ＝(φ＋iφ^d/μ)/2,χ＝(φ－iφ^d/μ)/2という 

２つのφとφ^d＝∂φ/∂ｔの線形結合を導入します。
 

この,θとχは単純な非相対論的極限で解釈できる描像を持つ 

ことがわかります。
 

すなわち,質量μで静止した粒子では,∇φ＝0 (ｐ＝0)なので, 

(□＋μ²)φ＝0 は,∂²φ/∂ｔ²＝－μ²φ　と書けます。
 

これの正エネルギー粒子(正質量)の解は, 

φ ∝ exp(－iμｔ)＝iφ^d/μとなるため, 

θ＝φ ∝ exp(－iμｔ),かつ,χ＝0　です。
 

一方,負エネルギー粒子(負質量)の解は,

φ ∝ exp(iμｔ)＝－iφ^d/μとなり,逆に,

θ＝0,かつ,χ＝φ ∝ exp(iμｔ)　です。
 

したがって,Dirac方程式の４成分スピノルを２成分ごと

に分解した際の大成分,小成分た類似した役割を,ここでの

θ,χが果たしていると見えます。
 

※(注7-1):質量がμでスピンが1/2の粒子なら,それが

満たすDirac方程式は(iγ^μ∂_μ－μ)ψ＝0です。
 

その際,非相対論的極限でのDirac粒子の近似的な1粒子描像

を見るため,正確な解である４成分スピノル:ψを,ψ=[θ,χ]^T

なる形に分解し,２成分スピノル;θ,χをψが正エネルギー解

の場合のそれぞれの大きさに基づいて,それぞれ,大成分,小成分

と呼んだのでした。　　(注7-1終わり)※
 

さて,θ＝(φ＋iφ^d/μ)/2,χ＝(φ－iφ^d/μ)/2によって 

Klein-Gordon方程式:∂φ^d/∂ｔ＝(∇²－μ²)φ は, 

i(∂θ/∂ｔ)＝－∇²(θ＋χ)/(2μ)＋μθ, 

i(∂χ/∂ｔ)＝＋∇²(θ＋χ)/(2μ)－μχ 

と分解されます。
 

※(注7-2):φ＝θ＋χ,φ^d＝－iμ(θ－χ)より,  

φ^d＝∂φ/∂ｔは,{∂(θ＋χ)/∂ｔ}＝－iμ(θ－χ)
 

∂φ^d/∂ｔ＝(∇²－μ²)φ は, 

{∂(θ－χ)/∂ｔ}＝iμ^-1(∇²－μ²)(θ＋χ) 

と書けます。
 

得られたものを,辺々加えて２で割ると 

i(∂θ/∂ｔ)＝－∇²(θ＋χ)/(2μ)＋μθ,
 

一方,前者から後者を引いて２で割ると

i(∂χ/∂ｔ)＝＋∇²(θ＋χ)/(2μ)－μχ 

が得られるわけです。　　(注7-2終わり)※
 

ここで,よりcompactな形式を得るため,θ,χを２つの成分 

とする縦ベクトル表示を導入します。
 

すなわち,波動関数φの代わりに.φ≡[θ,χ]^Tとして,

波動方程式を見掛け上,Schroedinger型の方程式:

i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φとするわけです。
 

このとき,Hamiltonian:Ｈ₀は,Ａ,Ｂを２×２行列として 

Ｈ₀＝{－∇²/(2μ)}Ａ＋μＢと定義されます。
 

ここでＡは1行目が[1,1],２行目が[－1,－1]の行列,

Ｂは対角成分が１とー１の対角行列です。
 

i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φはSchroedinger形ですが,

(□＋μ²)φ＝0 のアナロジーとして得られたもので,

保存する正定置の確率という描像には至りません。
 

これはＨ₀がHermite演算子ではないからです。
 

※(注7-3):i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀Φから,

－ｉ(∂φ^＋/∂ｔ)＝Φ^＋Ｈ₀^＋なので,

ｉ∂(φ^＋φ)/∂ｔ

＝{φ^＋ｉ(∂φ/∂ｔ)＋ｉ(∂φ^＋/∂ｔ)φ} 

＝φ^＋(Ｈ₀－Ｈ₀^＋)φ です。
 

それ故,Ｈ₀がHermite:Ｈ₀^＋＝Ｈ₀なら

∂∂(φ^＋φ)/∂ｔ)/∂ｔ＝0 

が成立し,量:(φ^＋φ)を保存される正定置な確率密度

と解釈することができるのですがＨ₀がHermite:でないなら,

(φ^＋φ)が時間的に保存される,という保証はありません。
 

行列演算子としてＨ₀＝{－∇²/(2μ)}Ａ＋μＢについて

Ｈ₀^＋＝(Ｈ₀^＊)^T＝Ｈ₀が成立しない理由は,対角行列でない

Ａに原因があって,これはφ≡[θ,χ]^Tの大成分θと小成分

χを混合させます。
 

ゆっくり運動している粒子(ｐ＝－i∇ ～ 0)に対する最低次

の近似で∇²を無視すれば,Ｈ₀～μＢとなって,これはHermite行列

なのでi(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φは確率解釈可能なSchroedinger方程式

となり,

   先に与えたKlein-Gordon方程式の静止状態の解: 

θ＝φ ∝ exp(－iμｔ),χ＝0,および,

θ＝0,χ＝φ ∝ exp(iμｔ)がそれぞれ,

i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φ；φ≡[θ,χ]^Tの正エネルギー 

(正振動数)の解, 負エネルギー(負振動数)の確率解釈可能

な解となっています。
 

Dirac理論から,直接,Foldy-Wouthuysen変換のテクニック

を借用することによって,系統的に運動エネルギー項の存在

による補正を導入します。
 

４×4行列βのアナロジーとして対角成分が１,－１の２×２

対角行列:ηを導入します。また,反対角成分がσ^ｋ,－σ^kの

反対角行列:α_ｋ(ｋ＝1,2,3)のアナロジーで,反対角成分が

１,－１の２×２反対角行列:ρを導入します。
 

Dirac理論の非相対論極限近似を求める際に用いた大成分

と小成分を混合させるodd演算子を除去するユニタリ変換

の演算子:Ｕ_F＝exp(iＳ)のアナロジーで,π中間子の波動関数

の2成分縦ベクトル表示:φにφ'＝exp(iＳ)φなる変換を実行

します。
 

単刀直入に結論を述べると,Ｓ＝ηρθ(ｐ),

θ(ｐ)＝－(i/2)Tanh^-1[{ｐ²/(2μ)}/{μ＋ｐ²/(2μ)}] 

と置けば,Hamiltonian:Ｈ₀＝(η＋ρ){∇²/(2μ)}＋μη

からodd演算子ρを除去できます。
 

※(注7-2):i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φ,φ'＝exp(iＳ)φより, 

Ｓがｔに依存しないなら,i(∂φ'/∂ｔ)＝exp(iＳ)Ｈ₀φ

＝exp(iＳ)Ｈ₀exp(－iＳ)φ'＝Ｈ₀'φ',

Ｈ₀'＝exp(iＳ)Ｈ₀exp(－iＳ)です。
 

Ｈ₀＝(η＋ρ){－∇²/(2μ)}＋μη

＝(η＋ρ){ｐ²/(2μ)}＋μη　ですが,Ｓ＝ηρθと

おくとき,θがｐの関数θ＝Θ(ｐ)なら, 

[θ(ｐ),ｐ²]＝0,[θ(ｐ),μ]＝0ですが, 可換ではない

行列の係数があるため,[Ｓ,Ｈ₀]＝0 ではないです。
 

そして,Ｓ＝ηρθなら(ηρ)²＝1なので, 

exp(iＳ)＝Σ_n=0^∞(1/ｎ!)(iηρθ)ⁿ 

＝Σ_k=0^∞[{1/(2ｋ)!(－1)^ｋθ^2k

＋(iηρ){1/(2ｋ＋1)!}(－1)^ｋθ^2k＋1} 

=cosθ＋(iηρ)sinθです。
 

同様にexp(－iＳ)＝cosθ－(iηρ)sinθです。
 

Ｈ₀'＝exp(iＳ)Ｈ₀exp(－iＳ) 

＝[{ｐ²/(2μ)}{cosθ＋(iηρ)sinθ}(η＋ρ)

{cosθ－(iηρ)sinθ} 

＋μ{cosθ＋(iηρ)sinθ}η{ cosθ－(iηρ)sinθ}
 

具体的な計算から,exp(iＳ)ηexp(－iＳ)

＝ηcos(2θ)－(iρ)sin(2θ),

exp(iＳ)ρexp(－iＳ)＝ρcos(2θ)－(iη)sin(2θ) です。

したがって,Ｈ₀'＝exp(iＳ)Ｈ₀exp(－iＳ) 

＝η[{ｐ²/(2μ)＋μ}cos(2θ)－i{ｐ²/(2μ)}sin(2θ)] 

＋ρ[({ｐ²/(2μ)}cos(2θ)－i{ｐ²/(2μ)＋μ}sin(2θ)]

です。
 

ρの係数がゼロ:つまり, 

({ｐ²/(2μ)}cos(2θ)－i{ｐ²/(2μ)＋μ}sin(2θ)＝0 

となるような, 

isin(2θ)/cos(2θ)＝{ｐ²/(2μ)}/{μ＋ｐ²/(2μ)} 

を満たすθが存在すれば,そのθに対して行列ρは除去

できます。
 

しかし,そのような実数θは存在しません。

θが実数でなく純虚数:θ＝－iω(ωは実数)であるとすれば

そうしたθが存在します。
 

ただし,そのときは,Ｓ＝ηρθがHermiteではなく,

exp(iＳ)はユニタリではありません。
 

すなわち,cos(2θ)＝{exp(i2θ)＋exp(－i2θ)}/2 

＝{exp(2ω)＋exp(－2ω)}/2＝cosh(2ω), 

isin(2θ)＝{exp(i2θ)－exp(－i2θ)}/2 

＝{exp(2ω)－exp(－2ω)}/2＝sinh(2ω)

です、
 

よって,isin(2θ)/cos(2θ)＝{ｐ²/(2μ)}/{μ＋ｐ²/(2μ)} 

は,sinh(2ω)/cosh(2ω)＝{ｐ²/(2μ)}/{μ＋ｐ²/(2μ)} 

　　つまり,tanh(2ω)＝{ｐ²/(2μ)}/{μ＋ｐ²/(2μ)} 

を意味します。
 

そのとき,Ｈ₀'＝exp(iＳ)Ｈ₀exp(－iＳ) 

＝η[{ｐ²/(2μ)＋μ}cosh(2ω)＋{ｐ²/(2μ)}sinh(2ω)] 

＝ηcosh(2ω)[{ｐ²/(2μ)＋μ}²＋{ｐ²/(2μ)} ²]

/{μ＋ｐ²/(2μ)}　です。
 

双曲線関数の公式:1/cosh²(2ω)＝1－tanh²(2ω)より. 

1/cosh²(2ω)

＝[{ｐ²/(2μ)＋μ}²－{ｐ²/(2μ)}²]/{ｐ²/(2μ)＋μ}²  

＝(ｐ²＋μ² )/{ｐ²/(2μ)＋μ}²ですから,  

cosh(2ω)＝{ｐ²/(2μ)＋μ}/(ｐ²＋μ² )^1/2

です。
 

ぃたがって, 

Ｈ₀'＝ η[{ｐ²/(2μ)＋μ}²－{ｐ²/(2μ)} ²]/(ｐ²＋μ² )^1/2 

＝η(ｐ²＋μ²)/(ｐ²＋μ² )^1/2＝η(ｐ²＋μ² )^1/2 

を得ます。　　(注7-3終わり)※
 

Ｓ＝ηρθ(ｐ),

θ(ｐ)＝－(i/2)Tanh^-1[{ｐ²/(2μ)}/{μ＋ｐ²/(2μ)}] 

なら,Ｓ^＋≠ＳでありＳはHermiteではないので,

Ｕ＝exp(iＳ)に対し,Ｕ^-1＝exp(－iＳ)≠Ｕ^＋＝ exp(－iＳ^＋)

であって.Ｕはユニタリでないため, 
 

Ｈ₀'＝ ＵＨ₀Ｕ^-1＝exp(iＳ)Ｈ₀exp(－iＳ)＝η(ｐ²＋μ²)^1/2 

で,φ'＝Ｕφ＝exp(iＳ)φでi(∂φ/∂ｔ)＝Ｈ₀φのとき 

i(∂φ'/∂ｔ)＝Ｈ₀'φ'は成立しますが,

　　φ'^＋φ'＝φ^＋φは成立せず,φ^＋φやφ'^＋φ'を確率密度

とする解釈は,非相対論での近似的な意味でしか成立しない

のでは？と思われます。
 

さて,Ｈ₀'＝η(ｐ²＋μ²)^1/2,i(∂φ'/∂ｔ)＝Ｈ₀'φ'の形式

では.φ'の大成分＝正エネルギー解と,小成分＝負エネルギー

解は完全に分離され,エネルギー・運動量の関係は自由電子

に対するそれと同じです。
 

電子との唯一の違いはスピン自由度に対する解の二重化が

ないことです。
 

正エネルギー解をφ'(ｘ)

＝φ⁽⁺⁾(ｘ)＝exp(－iω_pｔ)ａ⁽⁺⁾(ｘ)[1,0]^Tとします。

すると,

i(∂φ⁽⁺⁾/∂ｔ)＝Ｈ₀'φ⁽⁺⁾＝η(ｐ²＋μ²)^1/2φ⁽⁺⁾ 

は,ω_pａ⁽⁺⁾(ｘ)＝(ｐ²＋μ²)^1/2ａ⁽⁺⁾(ｘ)

を意味します。
 

そして,このとき,Ｐ⁽⁺⁾(ｘ)=|ａ⁽⁺⁾(ｘ)|²が正エネルギー粒子

の存在確率密度を表わすと考えられ,

ω_p＝∫φ^(+)＋(ｘ)Ｈ₀'φ⁽⁺⁾(ｘ)ｄ³ｘが,粒子の正エネルギー 

の値を表わします。
 

同様に,負エネルギー解をφ'(ｘ)

＝φ^(-)(ｘ)＝exp(iω_pｔ)ａ^(-)(ｘ)[0,1]^Tとします。

すると,

i(∂φ^(-)/∂ｔ)＝Ｈ₀'φ^(-)＝η(ｐ²＋μ²)^1/2φ^(-) 

は,－ω_pａ^(-)(ｘ)＝－(ｐ²＋μ²)^1/2ａ^(-)(ｘ)

を意味します。
 

このとき,Ｐ^(-)(ｘ)=|ａ^(-)(ｘ)|²が負エネルギー粒子

の存在確率密度を表わすと考えられ,

－ω_p＝∫φ^(-)＋(ｘ)Ｈ₀'φ^(-)(ｘ)ｄ³ｘがその粒子の

エネルギーを表わしていて,これは負になります。
 

ここで,φ^(-)＊(ｘ)＝exp(－iω_pt)ａ^(-)(ｘ)[0,1]^Tを,

正エネルギー固有値を持つ反粒子の波動関数と解釈

します。
 

i(∂φ^(-)/∂ｔ)＝Ｈ₀'φ^(-)＝η(ｐ²＋μ²)^1/2φ^(-)の

複素共役をとって－i(∂φ^(-)＊/∂ｔ)＝Ｈ₀'^＊φ^(－)＊

＝η(ｐ²＋μ² )^1/2φ^(-)＊であり,Ｈ₀'^＊＝Ｈ₀'より

i(∂φ^(-)＊/∂ｔ)＝－Ｈ₀'φ^(－)＊＝－η(ｐ²＋μ²)^1/2φ^(-)＊ 

です。

　　これは,時間の過去に伝播する負エネルギー粒子の

複素共役が時間の未来に伝播する正エネルギー反粒子

という描像に合致します。
 

そして,自由粒子ではなくて外電磁場Ａ^μ(ｘ）がある

一般の場合には,もはやodd演算子を除去してHamiltonian

を対角化するＳを求めることは不可能です。
 

しかし,この論議は次回にまわして今日はここで

終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell著 

　"Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)