Dirac方程式の非相対論極限近似(2)

Dirac方程式の非相対論極限近似の続きです。
 

前記事では,外電磁場,Φ,Ａとの相互作用がある場合の電荷ｅを

持つ電子の一般的Hamiltomian:

Ｈ＝α(ｐ－eＡ)＋βｍ＋eΦ＝Θ＋βｍ＋ε 

から,正負エネルギー成分を混合するoddなパラメ－タを

除いて非相対論極限で正エネルギーの2成分スピノルのみ

が満たす波動方程式を導くことを意図したユニタリ変換

の演算子:Ｕ_F＝exp(iＳ)を与えるHermite演算子Ｓを見出す

ことを試みました。
 

電磁場が時間ｔに依存し,それ故,系のHamiltonian:Ｈが時間

1/ｍ)＜＜1の非相対論的極限で(1/ｍ)の低次まででは,

Ｓ=－iβΘ/(2ｍ)が,Ｈから oddパラメ－タを除く(1/ｍ)オーダー

のＳの候補であるというところまで述べました。
 

すなわち,まず.Ｈ＝βｍ＋Θ＋εから,Ｓの１次近似として,

変換:exp(iＳ)Ｈexp(－iＳ)にexp(iＳ)～1＋iＳ,

exp(－iＳ)～1－iＳを代入した

Ｈ'＝(1＋iＳ)(βｍ＋Θ＋ε)(1－iＳ)において,

Ｏ[1/ｍ]の項を無視して,Ｈ'＝βｍ＋Θ＋ε＋iｍ[Ｓ,β] 

とし,これの右辺でodd項:Θ＝α(ｐ－ｅＡ)が消えることを

要求してiｍ[Ｓ,β] ＝ －Θなるっ条件から,

Ｓ=－iβΘ/(2ｍ)を得たのでした。
 

そこで,この近似では,Ｓ=－iβΘ/(2ｍ)で, 

Ｈ'＝(1＋iＳ)(βｍ＋Θ＋ε)(1－iＳ)＝βｍ＋ε　

です。
 

一方,Ｓ＝Ｏ(1/ｍ)と仮定して(1/ｍ)の３次の精度までの

近似は,Ｈ'＝ exp(iＳ){Ｈ－i(∂/∂ｔ)}exp(－iＳ) 

～Ｈ＋i[Ｓ,Ｈ]＋(i²/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]＋(i³/6)[Ｓ,[Ｓ.[Ｓ,Ｈ]]] 

＋(i⁴/24)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ.[Ｓ,βｍ]]]]－Ｓ^d－(i/2)[Ｓ,Ｓ^d]

＋(1/6)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]　(ただし,Ｓ^d＝∂Ｓ/∂ｔ)

と書けることを見ました。
 

この近似の項に,Ｓ=－iβΘ/(2ｍ)を代入すれば, 

Ｈ＝βｍ＋Θ＋εより 

i[Ｓ,Ｈ]＝－Θ＋β[Θ,ε]/(2ｍ)＋βΘ²/ｍ, 

(i²/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]＝－βΘ²/(2ｍ)－[Θ,[Θ,ε]]/(8ｍ²) 

－Θ³/(2ｍ²), 

(i³/6)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]＝Θ³/(6ｍ²)－βΘ⁴/(6ｍ³) 

－β[Θ,[Θ,[Θ,ε]]/(48ｍ³),
 

(1/24)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ.[Ｓ,βｍ]]]]＝βΘ⁴/(24ｍ³)＋Θ⁵/(24ｍ⁴)
 

また,－Ｓ^d＝iβΘ^d/(2ｍ),

－(i/2)[Ｓ,Ｓ^d]＝－i[Θ.Θ^d]/(8ｍ²)  

＋(1/6)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]＝－iβ[Θ,[Θ,Θ^d]]/(48ｍ³)

です。
 

ユニタリ変換後のHamiltonianを非相対論的に展開して, 

(運動エネルギー/ｍ)³と(運動エネルギー)×(場のエネルギー)/ｍ² 

のオーダーまででoddパラメータの除去が満足されるようなＳ 

を求めるというのが意図でしたから,
 

(i³/6)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]＝Θ³/(6ｍ²)－βΘ⁴/(6ｍ³) 

－β[Θ,[Θ,[Θ,ε]]/(48ｍ³)　

～ Θ³/(6ｍ²)－βΘ⁴/(6ｍ³)　として最後の項は無視し,

また,(1/24)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ.[Ｓ,βｍ]]]]

＝βΘ⁴/(24ｍ³)＋Θ⁵/(24ｍ⁴) ～ βΘ⁴/(24ｍ³)

とします。
 

まさらに,(1/6)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]＝－iβ[Θ,[Θ,Θ^d]]/(48ｍ³) 

も,(1/ｍ)のより高次の微小量なので無視します。
 

すると,Ｈ'＝β{ｍ＋Θ²/(2ｍ)―Θ⁴/(8ｍ³)}＋ε

－[Θ,[Θ,ε]]/(8ｍ²) 

－i[Θ.Θ^d]/(8ｍ²)＋β[Θ,ε]/(2ｍ)－Θ³/(3ｍ²)

＋iβΘ^d/(2ｍ) ＝βｍ＋ε'＋Θ'
 

ただし,ε'＝ε＋β{Θ²/(2ｍ)―Θ⁴/(8ｍ³)}－[Θ,[Θ,ε]]/(8ｍ²) 

－i[Θ.Θ^d]/(8ｍ²)です。

これはΘについては偶数乗のみを含むためevenな寄与です。
 

一方,得られたHamiltonianにおいてodd項は,Θの奇数乗のみ

ですが,これは,変換の結果:(1/ｍ)のオーダーでしか存在しない

ようになりました。
 

これらを,さらに除去し減じるために, 

Ｓ'＝ －iβΘ'/(2ｍ) 

＝－iβ{β[Θ,ε]/(2ｍ)－Θ³/(3ｍ²)＋iβΘ^d/(2ｍ)}/(2ｍ) 

なる変換をさらに行います。
 

Θ'＝β[Θ,ε]/(2ｍ)－Θ³/(3ｍ²)＋iβΘ^d/(2ｍ)}は

Ｈ'のΘ自身以外のΘの奇数乗の部分の総和です。
 

こうした変換をのFoldy-Wouthuysen変換と呼びますが,この変換 

の下で,Ｈ"＝exp(iＳ'){Ｈ(－i(∂/∂ｔ}}exp(－iＳ') 

＝βｍ＋ε'＋β[Θ,ε']/(2ｍ)＋iβΘ'^d/(2ｍ) 

＝βｍ＋ε'＋Θ"　となります。
 

このＨ"の場合, Odd部分:Θ"＝β[Θ,ε']/(2ｍ)＋iβΘ'^d/(2ｍ) 

は,Ｏ(1/ｍ²)とさらに小さくなっています。
 

さらにＳ"＝－iβΘ"による正準変換を行うことで, 

Ｈ⁽³⁾＝exp(iＳ"){Ｈ”－i(∂/∂ｔ}}exp(－iＳ") 

＝β{ｍ＋Θ²/(2ｍ)―Θ⁴/(8ｍ³)}＋ε－[Θ,[Θ,ε]]/(8ｍ²) 

－i[Θ.Θ^d]/(8ｍ²)　が得られました。
 

このとき,Θ²/(2ｍ)＝{α(ｐ－ｅＡ)}²/(2ｍ)

＝(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－ｅσＢ/(2ｍ)となって,この項から 

Pauliのスピン磁気モ＾－メント項:－ｅσＢ/(2ｍ)が出現

します。
 

非相対論極限で,こうそた項が得られることは,既に別の

過去記事で述べました。

(※ 10年前の2006年９/８の本ギログの過去記事:

「パウリのスピンと相対性理論」を参照ください。)
 

※(注2-1):念のため,簡単に復習すると 

まず,Π＝ｐ－ｅＡ＝－i∇－ｅＡ　とおくとき,

(αΠ)²＝Σ_i,jα_iΠⁱα_jΠ^j＝Π²＋iσ(Π×Π)であり,

そして,Π×Π＝(－i∇－ｅＡ)×(－i∇－ｅＡ)＝ie∇×Ａ

＝iｅＢによって,(αΠ)²＝Π²－ｅσＢ

が得られるという話でした　　。(注2-1終わり)※
 

一方, [Θ,[Θ,ε]]＋Θ^d}/(8ｍ²)

＝{ｅ/(8ｍ²)}{－iα∇Φ－iαＡ^d} 

＝{iｅ/(8ｍ²)}αＥです。
 

{iｅ/(8ｍ²)}[Θ, αＥ]＝{iｅ/(8ｍ²)}[αｐ,αＥ] 

＝{ｅ/(8ｍ²)}∇Ｅ＋{iｅ/(8ｍ²)}σ(∇×Ｅ) 

＋{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)ですから,
 

結局,このオーダーまででの変換Hamiltonianは, 

Ｈ⁽³⁾＝β{ｍ＋(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－ｐ⁴/(8ｍ²)}

＋ｅΦ－{ｅβ(2ｍ)}σＢ－{iｅ/(8ｍ²)}σ(∇×Ｅ) 

－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)－{ｅ/(8ｍ²)}∇Ｅ 

となります。
 

これらは,{(ｐ－ｅＡ)²＋ｍ²}^1/2の非相対論極限での

,直接,物理的解釈が可能な,求めるオーダーまでの展開

を示しています。

つまり,補正は相対論的な質量(運動エネルギー)の増加

に相当する意味を持っているわけです。
 

このうち,－{iｅ/(8ｍ²)}σ(∇×Ｅ)－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ) 

は静電エネルギー,と磁気双極子エネルギーです。

　　この項のペアは一緒にまとめて,スピン軌道エネルギーです。
 

つまり,iσ(∇×Ｅ)＋2σ(Ｅ×ｐ)＝iσ(∇×Ｅ－Ｅ×∇) 

ですから,例えば,球対称静電ポテンシャル:Ｖ(ｒ)；ｒ=|ｘ| 

なら,Ｅ＝－∇Ｖ＝－(ｘ/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)で∇×Ｅ＝0

です。

 このとき, iσ(∇×Ｅ)＋2σ(Ｅ×ｐ)＝2σ(Ｅ×ｐ)で, 

σ(Ｅ×ｐ)＝－(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)σ(ｒ×ｐ) 

＝－(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)σＬと書けます。
 

Ｌ＝ｒ×ｐは,軌道角運動量です。
 

－{iｅ/(8ｍ²)}σ(∇×Ｅ)－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ) 

＝{ｅ/(4ｍ²)}(1/ｒ)(ｄＶ/ｄｒ)σＬ＝Ｈ_spin-orbit 

＝(スピン軌道相互作用エネルギー)です。
 

これは特殊相対論により,運動する電子が感じる磁場:

Ｂ＝－ｖ×Ｅとスピン;ｓ＝σ/2の電子の磁気モーメント:

μ＝ｇｅｓ/(2ｍ)　(ｇは磁気回転比)による磁気エネルギー:

μＢ＝－ｇｅσ/(4ｍ²)(ｐ×Ｅ)　(ｇ＝2)　を意味します。
 

しかし,－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)ではThpmas歳差運動の効果

で因子ｇ＝２が無くなっています。
 

このことは電子の軌道モーメントの方は標準的磁気回転比: 

ｇ＝ｇ₀＝1を持つことを示唆しています。
 

最後の項:－{ｅ/(8ｍ²)}∇ＥはDarwin項として知られています。
 

これはZitterbewegung(ジグザグ運動)に寄与する項です。
 

電子の位置座標のゆらぎがδｒ～(1/ｍ)(＝Compton波長)

程度で,このためCoulombポテンシャル:Ｖ＝Ｖ(ｒ)＝Ｖ(ｘ)が

いくらか不鮮明に見えます。
 

この補正は,<δＶ＞＝＜Ｖ(ｘ＋δｘ＞－＜Ｖ(ｘ)＞ 

＝＜δｘ∇Ｖ＋(1/2)Σ_ijδｘⁱδｘ^j(∂²Ｖ/∂ｘⁱ∂ｘ^ｊ)＞

ですが,＜δｘ∇Ｖ＞ ～ 0　より,  静電ポテｍシャルエネルギー

としての補正(ぼやけ)は,
　

<ｅδＶ＞ ～ (ｅ/6)＜(δｒ)²＞∇²Ｖ＝－(ｅ/6ｍ²)∇Ｅであり,

これは係数は少し違いますが,,この電子の雲によるCoulomb

エネルギーのゆらぎ<ｅδＶ＞が,上記のDarwin項::

－{ｅ/(8ｍ²)}∇Ｅの物理的意味をなす。とわかります、
 

さて,次は,§4.4水素原子(Hydrgen Atom)であり,第４章

はこれで終わりとなっているのですが,
 

この最後の節の内容については,既に本ブログの2011年 

７/17,７/26,８/１,８/11の過去記事:

「水素様」原子の微細構造」(1),(2),(3)(4),および,

2011年８/22,９/２,10/４,11/１.11/11,11/23の「

水素様」原子の微細構造」(補遺1),(補遺2),(補遺3-1),

(補遺3-2),(補遺4),(補遺5-1),(補遺5-2)

に詳述しています。
 

そこで,Dirac方程式の非相対論極限＝参考テキスト

の第４章「Foldy-Wouthuysen変換」のトピックについて

は,これで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics”(McGrawHill