非線型自由粒子構想(1)(遺稿)

§1序論
 

数年前から目がよく見えないこともあり,長期入院しても,

細かい読書がままならないので,アリストテレスの形而上学

ではないけれど経験や参考書物などに頼らず,ただ沈思黙想

して,頭の中の思いつきをノートに書き殴り,それを基にした

計算に勤しんだりしていました。

　そうした徒然(つれづれ)を,いくらかまとめて記述してみます。
 

　最もモデル化が簡単な,質量がμで自由場φがKlein-Gordon

　方程式:(□＋μ²)φ＝0 の解であるスピンがゼロのスカラー

または擬スカラー粒子の自由Feynman伝播関数:Δ_Fは, 

Δ_F(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)}

/(ｋ²－μ²＋iε) で与えられます。
 

これは自由場の時間順序積(Ｔ積)の真空期待値:

＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ(ｙ)|0＞であり,

(□＋μ²)Δ_F(ｘ－ｙ)＝－δ⁴(ｘ－ｙ)を満たす２点

Green関数です。 
 

もしも,これが如何なるｋのベキが分子に掛かっても

元々発散する積分である

∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4ｋⁿexp{－iｋ(ｘ－ｙ)}/(ｋ²－μ²＋iε) 

が常に収束するように微小な正のパラメータλによる

因子:exp{－λ(ｋ²)²}を持っていれば？という思いつき

の発想。。から出発します。
 

(※↑恐らく,他にも同様のことを先人が提案し,考察の

結果ボツにした。とか。。または,そういう理論は有名

だが寡聞にして私が知らないだけである。。とか？
 

いずれにしても今の自分の身では確かめるスベもなく,

しかし,こうしたことを誰かに聞いたか,どこかで見た。。

という記憶が理由でした発想であるにしても,自分では

決して盗作の意識はなく発案したと思っています。

尤も,盗作を問題にするほどのシロモノじゃなく陳腐で

些末で識者には相手にされないツマラナイ話かも。。。

それはそれでも仕方ないが。。。ピエロやドンキホーテ

裸の王様は正直嫌だな。。※)
 

さて, 自由Feynman伝播関数:Δ_Fはをλを含むそれ:

Δ_F^λ(ｘ－ｙ)に修正します。

　Δ_F^λ(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ) －λ(ｋ²)²}

/(ｋ²－μ²＋iε)です。 

これはλ→＋0の極限でΔは,_F(ｘ－ｙ)に帰着します。

しかし,λが如何に小さくてもセロでない限り. 

ｋ→±∞で急激にｋⁿexp{－λ(ｋ²)²}→0となり, 

積分:∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4ｋ^ｎexp{－iｋ(ｘ－ｙ) －λ(ｋ²)²}

/(ｋ²－μ²＋iε)は有限となるはずですが,

　他方λ＝0のときのｋⁿexp{－λ(ｋ²)²}＝ｋⁿは無限大 

なので.こうした積分は発散します。
 

という意味で先にｋの積分を実行し,その後にλ→＋0

の極限を取れば有限ですが,先にλ→＋0として後で積分

を実行すると無限大に発散する。という極限操作の順序

によって結果が異なる例になっています。
 

それ故,これは切断や次元正則化に似た,Feynman積分の

くり込みの別の正則化の方法を与えるモノと見えるかも

しれません。

　実際,エネルギー・運動量:ｋが大きい紫外部の寄与が

カットされるという意味では切断と同じ役割を果たします。

しかし,摂動の各次数の項の振幅計算の後にλ→＋0　

とするという極限操作の手続きをせず,極く小さいλ＞0

が実在している。という仮説を採るのではいかが

でしょうか？
 

(□＋μ²)Δ_F^λ(ｘ－ｙ)

＝－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ)－λｋ²} であり

右辺 → －δ⁴(ｘ－ｙ)　as　λ→＋0　です。
 

特に,ｘ＝ｙで(□＋μ²)Δ_F^λ(ｘ－ｙ)

＝－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp(－λｋ²)です。
 

質量がμの自由粒子の場;φ(ｘ)が(□＋μ²)φ＝0を満たす

ということは,運動量空間では,ｋ²＝Ｅ²－ｋ²＝μ²という

Einsteinの相対論的関係式を満たすことを意味するので,

Klein-Gordon方程式を (□＋μ²)φ＝ｆ(φ,λ)のような式

に修正するということは,Ｅ²－ｋ²＝μ²というEinsteinの

相対論的関係は厳密には成立しない。

というある意味では,不遜な主張です。
 

Heisenbergの不確定性原理:ΔｐΔｘ～ｈから,運動量が完全

に確定して,Newtonの第一法則により永遠に等速度運動をする

質点という概念は,Δｐ＝0を意味し,それ故,Δｘ＝∞であって,

量子論ではこの"質点"は理想的には全宇宙に拡がっていて如何

なる位置に存在しているか？が全く不明な平面波を意味します。
 

これを,常識的に古典的に解釈しようとして,初期にはBornの

パイロット波の仮説やNelsonの確率過程論に基づく方程式

などの試みがあり、結局,量子論ではこれまで粒子として見て

いたものが,実は描像として粒子ではなく波動をも含めた

二重性を持つ量子というものなので,そもそも古典的な実在

として理解することは不可能であるという解釈されそれ以上

の追及の必要はないとする。のが正統派とされています。
 

しかし, 運動量が一定の自由粒子が(□＋μ²)φ＝0のの解で

ある平面波ではなく,何やら非線型な方程式:

(□＋μ²)φ－ｆ(φ,λ)＝0の解で与えられるなら,

　ｆ(φ,λ)が重力波のオーダーのような,如何に微小な項で

あろうと,大いに解に影響して,ソリトン(Soliton:孤立波:

4次元波ならinstanton？)のような局在化された古典的粒子

描像に合致する存在となる可能性がある推測されます。
 

この非線型な項の存在を,実在空間の空間軸,時間軸が

実は連続自由度ではなく格子定数(格子間隔)がλ程度の

離散的で高々可算の自由度しか持たないとする格子上の

場理論とも相通じるのではないか？とも思っていますが,

　λ＞0が実在で消えない値と考えるか？最後にλ→＋0の

極限をとるか？どうかというのは,本質的な差異のような 

気がしています。
 

まあ,くりこみ群を考察して,くりこみ点まで考慮し,

離散的格子であるが故に,デジタルコンピュータでの

実際の数値計算まで確立された理論と,まだ,計算が

思い通りにいかない単なる思いつき構想段階のもの

を比較するのは,おこがましいかも知れませんね。。
 

§2.φ⁴理論とサイン・ゴルドン(sin-Gordon)方程式
 

Ｌ＝∫Ｌｄ³ｘにより自由Lagrangian:Ｌを与える

Lagrangian密度:Ｌが,

Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²

なる形で与えられたとき,
 

両端点固定の作用積分:Ｓ＝∫_t1^t2Ｌｄｔ＝∫_ｘ1^ｘ2Ｌｄ⁴ｘ

が最小値(停留値)となるような変分原理(作用原理)から

得られる,Euler-Lagrange方程式:

∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}－∂Ｌ/∂φ＝0 自由スカラー場:

φ(ｘ)の基本方程式であるKlein-Gordon 方程式:

(□＋μ²)φ＝(∂_μ∂^μ＋μ²)φ＝0  です。

そして場の量子化は,共役運動量:

π(ｘ)＝∂Ｌ(∂₀φ)＝∂⁰φ＝∂φ/∂ｔを定義して,

φとπの同時刻正準交換関係: 

[φ(ｘ,ｔ),π(ｙ,ｔ)]＝iδ³(ｘ－ｙ),その他の交換関係

を与えることでなされる。

というのが演繹的な自由スカラー場の正準理論です。
 

そして,従来からあるφ⁴理論というのは自由場の 

Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²にφ⁴に比例

する項:(1/4|)λφ⁴を加えて,

Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²＋(1/4|)λφ⁴

とする模型を考察するものです。
 

この場合,最小作用の原理に基づく

Euler-Lagrange方程式:

∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}－∂Ｌ/∂φ＝0 は, 

(□＋μ²)φ＝(1/3|)λφ³となり,素朴なKlein-Gordon

方程式に余分な非線型な相互作用項が付加されます。
 

この相互作用項は自分自身の場φのみから構成され.

他の粒子場と相互作用するわけではないので,謂わゆる

自己相互作用の一種です。
 

一般に古典的にはLagrangianは保存力場の場合,その

保存力場のポテンシャル(位置エネルギー)をＶ,粒子の運動

エネルギーをＴとして,Ｌ＝Ｔ－Ｖで与えられます。
 

例えば,質量ｍの質点が,歪みの大きさ(伸縮長さ):ｘに単純

に比例するという線型弾性体模型のHookの法則に従い,

弾性力ＦがＦ＝－ｋｘで与えられる(理想的な質量がゼロで

それ自体には運動エネルギーが無い)バネの端に結び付け

られた調和振動子の系の場合なら,

　位置エネルギー＝弾性エネルギーＶがＶ＝(1/2)ｋｘ²で,

運動エネルギーＴは,Ｔ＝(1/2)ｍｖ²＝(1/2)ｍ(ｄｘ/ｄｔ)² 

ですから,

Ｌ＝Ｔ－Ｖ＝(1/2)ｍ(ｄｘ/ｄｔ)²－(1/2)ｋｘ²で, 

Ｓ＝∫_t1^t2Ｌｄｔ＝を最小にする軌道は,

Euler-Lagrange方程式:

(ｄ/ｄｔ)(∂Ｌ/∂ｖ)－∂Ｌ/∂ｘ＝0 の解です。
 

これは確かに,ｍ(ｄ²ｘ/ｄｔ²)＝－ｄＶ/ｄｘ＝－ｋｘ

というNewtonの運動方程式に一致します。
 

この系のＬ＝Ｔ－Ｖ＝(1/2)ｍ(ｄｘ/ｄｔ)²－(1/2)ｋｘ²

での歪みｘを時刻ｔでの連続的な空間点ｘにおける局所場:

φ(ｘ,ｔ)に置き換えたときのLagrangian密度が質量μの

スカラー場のそれ:Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²に

一致するというのが,

　量子場が無数の調和振動子の集まりに等しいという場理論

の骨子です。
 

そこで,１次元調和振動子のＶ＝－(1/2)ｋｘ²のアナロジー

で,このＶの代わりに,Ｖ＝(1/2)μ²φ²と書くと, 

Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－Ｖ(ｘ)です。
 

調和振動子では,系のエネルギーはＥ＝Ｈ＝Ｔ＋Ｖ 

＝(1/2)ｍ(ｄｘ/ｄｔ)²＋(1/2)ｋｘ²であって,これが

最小になるのはｖ＝ｄｘ/ｄｔ＝0,かつ,ｘ＝0,つまり

静止しているときです。

　特にＶの最小値はｘ＝0のときで,そのときＶ＝0です 。
 

ただし,量子論では不確定性原理から位置ｘと速度ｖが

同時に確定値ゼロをとることは不可能なので最小でも正の

零点エネルギーなるものが存在し,これが原因で無数の

調和振動子の集まりで定式化された量子場の最低エネルギー 

準位である真空にも,無限大の零点エネルギー

(Dirac場では負の無限大)という困難がありますが。。
 

自由スカラー場のHa,iltonian密度は, 

Ｈ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ＋(1/2)μ²φ²＝(1/2)∂_μφ∂^μφ

＋Ｖ(ｘ)で与えられ,位置エネルギー:Ｖ(ｘ)＝(1/2)μ²φ²

が最小なのはφ＝0 場合です。
 

一方,φ⁴-模型では,Ｖ(ｘ)＝(1/2)μ²φ²－(1/4!)λφ⁴ 

＝－(1/4!){φ²－(6λ/μ²)}²＋(3/2)λ²/μ⁴であり,

この最小値がゼロでなく正であることが, 最低エネルギー

レベルである真空期待値のエネルギーはゼロで必然的に

対称性を持つべきであるという場理論の理論構成に矛盾し

この模型が自発的に破れる原因とされています。
 

そこで,φ⁴-模型は,南部-Goldstonの自発的対称性の破れ 

(spontaneously-broken symmetry)の１モデルとして寄与

します。
 

しかし,それだけではなく,この自己相互作用を摂動

Hamiltonian密度:Ｈ_int(ｘ)＝－(1/4!)λφ⁴として摂動展開

される真のくりこまれた場のGreen関数の評価などに利用

される理論などあったはずですが,これ以上の詳しいこと 

は知りません。
 

　いずれにしろ,この４乗項はFeynmanグラフではTad-poleと

しての意味しかなく極めて局所的なので真面目に計算すると

発散する寄与しかないはずですからこれ自身を有限にくりこ

まないと摂動論では議論が進みません。

　自己相互作用Ｈ_int(ｘ)＝－(1/4!)λφ⁴を含む真の場φ

による２点Green関数:

τ(ｘ,ｙ)＝＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ（ｙ)]|0＞＝Δ_F'(ｘ－ｙ)

は,incomingの漸近場φ_inによる摂動展開が可能なら,

τ(ｘ,ｙ)

＝＜0|Ｔ[φ_in(ｘ)φ_in（ｙ)exp∫Ｈ_int(φ_in(ｚ))ｄ⁴ｚ]|0＞ 

となり,最低次のグラフでは頂点にλφ_in⁴(ｚ)が接続して 

ループの同一の局所点ｚに接続する伝播関数:Δ_F(ｚ－ｚ) 

が因子として寄与し,これのｚによる積分は発散します。　
 

　したがって,無限大に発散するこの量を.有限にくり込める量:σ

であると仮想して全てのオーダーの寄与を摂動論的に加えると,,

伝播関数などに掛かる 因子として,

1＋σ＋σ²/2!＋σ/3!＋..＝exp(σ)　　を得ます。(下図参照)

　あるいは伝播関数:Δ_F(ｚ－ｚ)を急減少因子で修正された 

Δ_F^λ(ｚ－ｚ)に置き換えれば,Tad-poleでのようなものでさえ

計算は有限に収束すると考えられます。

　この寄与も,やはり1つの固有グラフの寄与を上と同じくσで

表わすと,トータルで,exp(σ)の因子が得られますが,

もしも,これらのσが,σ＝－λ(ｋ²)²で与えられると仮定すれば,

Δ_F'(ｘ－ｙ)＝Δ_F^λ(ｘ－ｙ)　となって無矛盾,自己無撞着です。

※ 図の真空泡グラフの方は,外線がｎ個接続するｎ点Green関数

τ(ｘ₁,ｘ₂,,..,.ｘ_n)＝＜0|Ｔ[φ(ｘ₁)φ（ｘ₂）...φ(ｘ_n)]|0＞

＝＜0|ＳＴ[φ_in(ｘ₁)φ_in（ｘ₂）...φ_in(ｘ_n)]|0＞

とは異なり,外線のない真空期待値:＜0|Ｓ|0＞に寄与するもの

です。

本来Ｓ行列の定義に矛盾がないなら＜0|Ｓ|0＞＝1であるはず 

ですが,実際にはλφ⁴の寄与も含めあらゆるグラフの寄与が

あって通常の摂動論の計算上では無限大になるためＳ演算子

を,Ｓ/＜0|Ｓ|0＞で再定義するのが慣例です。

　　再規格化前の元の定義のＳでは, 

τ(ｘ₁,ｘ₂,,..,.ｘ_n)＝＜0|ＳＴ[φ_in(ｘ₁)φ_in（ｘ₂）...φ_in(ｘ_n)]|0＞＜0|Ｓ|0＞

.です。

　　なお,ｋの増加で急減少する修正自由伝播関数という発想: 

Δ_F^λ(ｘ－ｙ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋ(ｘ－ｙ) －λ(ｋ²)²} 

/(ｋ²－μ²＋iε)と,非線型相互作用の例としてのλφ⁴模型 

を並列して記述しましたが,これらは別々の独立な話です。

　私がアイディアの端緒として単純なλφ⁴模型が,この修正

伝播関数を具現してくれるかも知れない。。という希望的推論を

したときの試算を記述しただけに過ぎません。

　あくまで出発点の近傍でウロウロしていただけです。。※

　さて話は変わって,λφ⁴模型の修正された自由Lagrabgian

から得られた方程式::(□＋μ²)φ―(1/3!)λφ³＝0を解く

には,これがλ～  のときには,解法が既知の,一般に

sin-Gordon方程式と呼ばれている方程式:

□φ＋ｂsin(ａφ)＝0　に一致することを利用したい

と思います。
 

すなわち,sinｘ＝ｘ－(1/3!)ｘ³＋(1/5!)ｘ⁵－..ですから 

ａが微小なら,sin(ａφ)＝ａφ－(1/3!)ａ³φ³です。
 

そこで,ａ～0なら,□φ＋ｂsin(ａφ)＝0は近似的に, 

(□＋ｂａ)φ－(1/3|)ｂａ³φ³＝0 となります。
 

それ故.μ²＝ｂａ,λ＝ｂａ³と置けば,

□φ＋ｂsin(ａφ)＝0 はφ⁴-模型の方程式:

(□＋μ²)φ＝(1/3|)λφ³に一致します。
 

(※ａ＝λ^1/2/μ～ 0,ｂ＝μ³/λ^1/2で,λ～0かつ

ａ～0です。ｂ～∞が気になりますが,最後にλ→0とする

のでないならｂは非常に大きい数ですが有限であるという

ことで問題なしです。※)
 

sin-Gordon方程式:□φ＋ｂsin(ａφ)＝0は,非線型方程式です 

が解析的に解けます。
 

φには位相速度がｖの定常波の解が存在すると仮定して, 

ξ＝ｘ-ｖｔという変数変換を行い,φはξのみの関数と

します。
 

□φ(ｘ)＝(∂²/∂ｔ²－∇²)φ(ｘ,ｔ)＝－bsin(ａφ), 

でξ＝ｘ－ｖｔとおいて,φ(ｘ,ｔ)＝φ(ξ)とすれば, 

∂φ/∂ｔ＝－ｖｄφ/ｄξ,∇φ＝ｄφ/ｄξ 

∂²φ/∂ｔ²＝ｖ²ｄ²φ/ｄξ²,∇²φ＝ｄ²φ/ｄξ² 

ですから,
 

□φ(ｘ)＝(∂²/∂ｔ²－∇²)φ(ｘ,ｔ)

＝－ｂsin(ａφ)は,

(ｖ²－1)ｄ²φ/ｄξ²＝－ｂsin(ａφ)　に帰着します。
 

この常微分方程式の両辺にｄφ/ｄξを掛けると. 

(1/2)(ｖ²－1)(ｄ/ｄξ)(ｄφ/ｄξ)²

＝－ｂsin(ａφ)ｄφ/ｄξです。

　故に,(1/2)(ｖ²－1)(ｄφ/ｄξ)²

＝－ｂ∫sin(ａφ)ｄφ 

＝(ｂ/ａ)³cos(ａφ)－Ｃ/2と書けます。

Ｃは積分定数です。
 

一般に,ｖが本当に波の位相速度である場合,ｖは

,|ｖ|＜1(­1＝光速ｃ)を満たすはずなので.  

ｄφ/ｄξ＝±[{Ｃ－(2ｂ/ａ)cos(ａφ)}/(1－ｖ²)]^1/2 

であり.∫ｄφ{Ｃ－(2ｂ/ａ)cos(ａφ)} ^-1/2＝±(1－ｖ²)^1/2ξ

です。
 

これも,真面目に左辺の三角関数の平方根の積分

＝楕円積分？を考えなくてもａφが微小なので,

cos(ａφ)＝1－ａ²φ²/2とすれば,

Ｃ－(2ｂ/ａ)cos(ａφ)＝{Ｃ－(2ｂ/ａ)}＋ａｂφ² 

より,

∫ｄφ[{Ｃ－(2ｂ/ａ)}＋ａｂφ²] ^-1/2＝±(1－ｖ²)^1/2ξ, 

∫ｄφ[Ａ{Ｃ－(2ｂ/ａ)}＋ａｂφ²] ^-1/2＝±{ａｂ(1－ｖ²)}^1/2ξ 

Ａ＝{Ｃ－(2ｂ/ａ)}/(ａｂ)です。
 

積分公式:∫{1/√(ｘ²＋Ａ)}ｄｘ

＝log|ｘ＋√ｘ²＋Ａ|＋Ｃを用いるｔと,

og|φ＋√φ²＋Ａ|＝±{ａｂ(1－ｖ²)}^1/2(ξ－ξ₀)　

となります。
 

 ところで,log|ｘ＋√ｘ²＋Ａ|＝sinh^-1(ｘ/Ａ^1/2)ですから 

log|φ＋√φ²＋Ａ|＝±{ａｂ(1－ｖ²)}^1/2(ξ－ξ₀)　は, 

±sinh[{ａｂ(1－ｖ²)}^1/2(ξ－ξ₀)]＝φ/Ａ^1/2 

φ＝±Ａ^1/2sinh[{ａｂ(1－ｖ²)}^1/2(ξ－ξ₀)], 

Ａ^1/2＝{Ｃ－(2ｂ/ａ)}^1/2/(ａｂ)^1/2と書けます。
 

ａ＝λ^1/2/μ～ 0,ｂ＝μ³/λ^1/2 

→ ａｂ＝μ²,ｂ/ａ＝μ⁴/λ{ａｂ(1－ｖ²)}^1/2

＝μ(1－ｖ²)^1/2, 

Ａ^1/2＝{Ｃ－(2μ⁴/λ)}^1/2/μ,ξ＝ξ₀でφ＝0,かつ, 

ｄφ/ｄξ＝Ａ^1/2{ａｂ(1－ｖ²)}^1/2＝Ｕ(最大),Ａ^1/2

＝(Ｕ/μ)(1－ｖ²)^-1/2,

Ｕ＝{Ｃ－(2μ⁴/λ)}^1/2(1－ｖ²)^1/2です。
 

そこで,φ

　＝±(Ｕ/μ)(1－ｖ²)^-1/2sinh[μ(1－ｖ²)^1/2(ξ－ξ₀)]
 

ξ＝ｘ－ｖｔ,ｔ＝0でξ＝ξ₀＝0なら,

φ＝±(Ｕ/μ)(1－ｖ²)^-1/2sinh[μ(1－ｖ²)^1/2(ｘ－ｖｔ)]
 

正弦波であれば,同じ振幅を繰り返す周期波ですが

この双曲線波は.(ｘ－ｖｔ)が大きいと際限なく増幅

されます。
 

しかし,実は,Ｕ＝{Ｃ－(2μ⁴/λ)}^1/2(1－ｖ²)^1/2は,

λ→0ではi∞の純虚数です。

　このとき,Ａ^1/2＝(Ｕ/μ)(1－ｖ²)^-1/2,も純虚数で

sinhｘ → －isinｘです。
 

改めて,ＵをiＵと書き直すと, 

φ＝±(Ｕ/μ)(1－ｖ²)^-1/2sin[μ(1－ｖ²)^1/2(ξ－ξ₀)] 

これは正弦波です。。。 

これだと正弦波で線形波だから非線型波に矛盾する。。？
 

しかしλ＝0では無いので方程式は非線型だし。。。。

位相速度が一定の正弦波というわけではないので。。

etc.？？？
 

(参考):本ブログの過去記事の「水の波」シリーズ後半: 

2009年7/12の「水の波(6)(有限振幅の波:非線型波１)」 

７/17の「水の波(7) (有限振幅の波:非線型波２)」 

7/24の「水の波(8) (有限振幅の波:非線型波３)」では, 

既に現在の構想のために,ソリトン(Soliton)について

言及しています。
 

非線型な波の方程式であるＫ-ｄＶ方程式

(Korteweg-ｄVreis方程式):

(∂ｕ/∂ｔ＋ｕ(∂ｕ/∂ｘ)＋μ(∂³ｕ/∂ｘ³)＝0 

の定常波解:ｕ(ｘ,ｔ) 

＝ｕ₁＋Ｕsech²[{Ｕ/(12μ)}^1/2{ｘ－(ｕ₁＋Ｕ/3)ｔ}], 

Ｕ＝ｕ₃－ｕ₁が,孤立波として,あたかも独立な粒子の

ように挙動することからソリトンと呼ばれるように

なったことなどを紹介しています。
 

今日は,ここで終わります。(つづく)