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2016年9月14日 (水)

非線型自由粒子構想(2)(遺構)

こういうモノって(つづく)と書いていても続きが無かったり,

(1)書いていても,(2)は永久に無い。。とかいうジンクス

めいたものがあるらしいので,取りあえず,つなぎで続きを

アップしておきます。
 

§3。λφ4以外の非線型項の模索
 

4元運動量がkの中間子線上の1個の点zに,2本の中間子

内線(または外線)が接続する形は.必然的に1つのループに

ならざるを得ず,計4個の線が,ただ1個の点zにつながる

ものはTad-poleと呼ばれるグラフになります。


 

この寄与を真面目に摂動論のFeynmanルールに従って計算

しようとすれば,これには,伝播関数:Δ(z-z)=ΔF(0)

を付与することになります。
 

 しかしながら,普通の自由粒子Feynman伝播関数は, 

ΔF()=∫d4(2π)-4 exp(ikx)/(2-μ2iε) 

ですから,このループを回る運動量(=単なる積分変数)

をlとすると,ΔF(0)=∫d4(2π)-4{1/(l2-μ2iε)}

となりますが,これは計算すると明らかに発散します。
 

ΔF(0)の代わりに.ΔFλ(0)としても,

ΔFλ()=∫d4(2π)-4exp{ikx-λ(2)2}

/(2-μ2iε)により,

ΔFλ(0)=∫d4(2π)-4{ exp{-λ(2)2}/(l2-μ2iε) 

2πexp(-λμ4)0dl[2/(2+μ2)1/2]

となるため,やはり発散します。
 

最初の思いつきのアイディアの,普通の伝播関数に因子:

exp{-λ(2)2}を加える修正では,2=k022より,

2-μ2=k022-μ2

{0(2+μ2)1/2}{0(2+μ2)1/2}なので,

∫d4kのうち∫dk0を実行すると,留数の関係から,

exp{-λ(2)2}因子が単にexp(-λμ4)となってkを

含まなくなります。
 

そこで,,残りの3次元空間積分∫d3kでは,この因子には

全く,紫外切断の減衰効果がありません。
 

それ故,exp{-λ(2)2}の代わりに,例えば空間ベクトル

だけの因子:exp (-λ2)で置き換えれば,これは∫dk0

には無関係なので,この場合には積分結果は確かに有限には

なりますが, Lorentz共変では無いのが気になります。

(※ちょっと見の思いつきですからねえ。。)
 

いずれにしろ,こうしたTad-poleでは,

たとえ発散せずに収束して有限な寄与:σになったとしても,

運動量空間において4元運動量:kで伝播する中間子線との

エネルギー・運動量の保存を考慮したとき,

  
ループの運ぶ運動量:lがkとは無関係なので,寄与σは

量子電磁力学のくり込みこみにおける電子の自己質量:

Σ()や光子の真空偏極のΠ(2)とは異なってkを含まず

単なる定数になります。

(※↓2011年4/27の過去記事

「量子電磁力学の輻射補正(5)(電子自己質量-1)」から)


 

(※↓2011年4/13の過去記事

「量子電磁力学の輻射補正(3)(真空偏極-2)」から)

 

ところで,伝播関数の減衰因子のアイディアと直接には

無関係な問題なのですが。。。

自己相互作用のλφ4模型では,z頂点にφ()4が付与

され,これとxからyへと進む運動量kの中間子線が入るのと

出るのとで2本;結局,zには計6本が接続する6重点となり

Tad-poleとしてはループが2個になります。



 このグラフのTad-poleループの寄与は単純に2乗になります。
 

こうした寄与が連結した外線の運動量kに無関係なら,伝播関数

への寄与と真空泡:0||0>への寄与が一致し,Sの再規格化:

/0||0>においては,分子と分母でこの因子は相殺して,

結局,無意味かもしれません。


 

したがって,有意なモデルとするには,Tad-Pole以外の,

少なくとも2端点を持つ非線型自己相互作用を考えるか?

あるいは,そもそも非線型ですから「重ね合わせの原理」

とか級数和に展開できるとかの線形性は成立せず,そうした

操作に頼る摂動論以外の方策を考えるべきとも思われます。
 

今のところ,このアイディアのメリットとして身のありそう

なものは,「非線型自由粒子=ソリトン」の構想以外には何

もありませんが。。。後は構想倒れ。。
 

σ(,)をk→∞と共に∞に増大する何らかのkとxの関数

として一般化て自由伝播関数の模型を, 

ΔFλ()=∫d4(2π)-4exp{ikx -λσ(,)}

/(2-μ2iε)と書けば,

(□+μ2)ΔFλ()

=-∫d4(2π)-4exp{ikx -λσ(,)}です。

ただし,ΔFλ()=<0|[φ()φ(0)]|0>です。
 

これを満たすような,非線型方程式:

(□+μ2)φ=f(λ,φ)の形を模索して得た解について

楕円積分の可能性を考察.そのλ→0での具体的計算を 

追求したりしているノートなどもあるのですが,整理

ができず,

 
また
引っ越しなど身のまわりが忙しくなってきたので,

Pendingです。(つづく)。。。。
 

続かないかも。。。。



PS:引っ越しのときはいつも手伝ってくれてた音信不通

 のN目クンがなつかしい。。

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