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2016年9月 1日 (木)

クライン・ゴルドン方程式(8)

クライン・ゴルドン方程式(Klein-Gordon eq.)の続きです。
 

外電磁場Aμ()があるときの一般的ケースに移ります。


 このケースについて,中間子の波動関数φ()
の満たす

基本方程式を示すため,まず,自由粒子の方程式:

(□+μ2)φ=0 (μμ-μ2)φ=0と書き直し,,

さらに,運動量演算子の微分表示:μiμにより,

(2-μ2)φ=0 と書き直します。p2=pμμです。
 

この表現では,極小相互作用変換:μ → pμ-eAμ

を適用できて,(p2-μ2)φ=0 は電磁場:μ()がある

ときは,[(μ-eA)2-μ2]φ=0 と変形されます。
 

これは,pμiμに戻せば,

[(iμ-eAμ)(iμ-eAμ)-μ2]φ=0 

とも表現できます。
 

これが,電磁場Aμがあるときのスピンゼロの中間子の波動関数

が満たす基本方程式です。

 (※↑
これは,既に2016年5/30の過去記事:

クライン・ゴルドン方程式(3)」において記述していた

ことです。

そして,先に示したように自由中間子が満たすKlein-Gordon

方程式:(□+μ2)φ=(μμ-μ2)φ=0 φ[θ,χ]T

と2成分縦ベクトル表示して,i(φ/∂t)Hφ,および,

(ηρ){2/(2μ)}+μη (η,ρは2×2行列)

の形表わしたときには,
,

p=(,),μ=(Φ,)として, 

極小相互作用変換: -e,H→H-eΦにより,

i(φ/∂t)Hφ,

(ηρ){(-e)2/(2μ)}+μη+eΦ 

を得ます。

 これは,
[(iμ-eAμ)(iμ-eAμ)-μ2]φ=0

同値なSchroedinger型の方程式です。
 

ここで,Π-eと置けば,

(ηρ){Π2/(2μ)}+μη+eΦ

と書けます。
 

そこで,基本方程式を,さらに具体的に書けば, 

i(φ/∂t)

[(ηρ){Π2/(2μ)}+μη+eΦ]φ

となります。
 

そして,特に,ΘρΠ2/(2μ),ε=eΦ+ηΠ2/(2μ)

と置き,をodd演算子とeven演算子に分離して,

Θεημと表現します。
 

(8-1):φ'exp(i)φ, 

∂φ'/∂t=[exp(i){(i/∂t))}exp(i)]φ'

'φ’です。
 

参考テキストの第4:本ブログでは最近の2016年8/10,

8/14の記事;「Dirac方程式の非相対論極限近似(1).(2)」

で述べたように,上記のH'は求めたいオ-ダー:O[1/μ4]

までで次のように展開されます。
 

'i[,](1/2)[,[,]]

(i/6)[,[,[,]]]

(1/24)[,[,[,[,ημ]]]] 

d(1/2)[,d](1/6)[,[,d]] です。
 

特に,1次近似まででは.

'(1i)(ημ+εΘ)(1i) 

ημ+εΘi[,η]μ+i[,Θ]i[,ε]

です。
 

ここで,ηΘ=-Θη,η21, ηεεηが成立する

ことに注意します。
 

このオーダーでρを含むodd:Θが消えることを要求

します。
 

ΘρΠ2/(2μ)(1/μ),ε=eΦ+ηΠ2/(2μ)=O(1) 

ですが,S=O(1/μ2)を仮定すると,[,Θ](1/μ3) 

[,ε] =O(1/μ2)であり,他方,[,η]μ=O(1/μ)

です。
 

よって,オーダーが(1/μ2)以下の項を無視すると,

'ημ+εΘi[,η]μ です。
 

ηΘ=-Θη,より,[η,Θ]2ηΘですから,

=-iηΘ/(2μ)と置けば,i[,η]μ=-Θ

なって,Θが相殺され,'ημ+εが得られます。
 

より高次の項にも,このSを用いると,

i[,]=-Θ+ηΘ2/μ2[Θ,η]/(2μ) 

(1/2)[,[,]]=-ηΘ2/(2μ)[Θ,[Θ.ε]]/(8μ2)

-Θ3/(2μ2),
 

(i/6)[,[,[,]]]

=Θ3/(6μ2)-ηΘ4/(6μ2) 

-η[Θ,[Θ,[Θ.ε]]]/(48μ2) 

(※ただし,この最終項はO(1/μ4)なので無視します。)
 

さらに,(1/24)[,[,[,[,ημ]]]]

=ηΘ4/(24μ3)+Θ5/(24μ4) → これは無視

 

diηΘd/(2μ),

(1/2)[,d]=-i[Θ,Θd]/(8μ2), 


 +(1/6)[,[,d]]

=-iη[Θ,[Θ,Θd]]/(48μ2)~O(1/μ6)→ これも無視

 

結局,H'=η{μ+Θ2/(2μ)-Θ4/(8μ2)}+ε

[Θ,[Θ.ε]]/(8μ2)i[Θ,Θd]/(8μ2)[Θ,η]/(2μ)

-Θ3/(3μ2)ημ+ε'Θ',


 ただし,ε'εη{Θ2/(2μ)Θ4/(8μ2)}
 

[Θ,[Θ.ε]]/(8μ2)i[Θ,Θd]/(8μ2), 

Θ'[Θ,η]/(2μ)Θ3/(3μ2)=O(1/μ2)

す。
 

そこで,=-iηΘ'/(2μ)として, 

"=[exp(iS'){'(i/∂t))}exp(i')

ημ+ε'+Θ" 

η{μ+Θ2/(2μ)Θ4/(8μ2)}+ε'+Θ",
 

Θ”=η[Θ',ε']/(2μ)iηΘ'd/(2μ)=O(1/μ3)
 

さらに."=-iηΘ"/(2μ)として,  

(3)[exp(i){"(i/∂t))}exp(i") 

ημ+ε(3)Θ(3)であって,Θ(3)=O(1/μ5)です。 


(
8-1終わり)

 

結局,特別な静的外電磁場:μ(Φ,)の存在下では, 

オーダー:1/μ4までで,φ'exp(i)φ,

i(∂φ'/∂t)=H'φ',
 

'η{μ+Π2/(2μ)Π4/(8μ2)Π8/(128μ7)..}+eΦ 

[Π2,[Π2.eΦ]]/(32μ4)ηΠ6/(16μ5)

i[Π2,(Π2)d]/(8μ2)+O(1/μ5) が得られます。

 ただし,Πです。

 

上記の'の右辺第1項:

η{μ+Π2/(2μ)-Π4/(8μ2)-Π8/(128μ7)..} 

,Dirac理論の場合と同じく,相対論的質量の増加,
 

つまり(μ2+Π2)1/2(Π2/μ)による二項展開です。
 

また,[Π2,[Π2.eΦ]]/(32μ4)は.Darwin項であり,

Dirac理論で.Zitterbewegung(ジグザグ運動)補正と

述べたもののアナロジーであり,古典点電荷の静電

相互作用:eφの補正です。
 

しかしながら,Dirac理論とは異なり,これは(1/μ4)

のオーダーで初めて出現する小さい項です。

※(注8-2):Dirac理論では,展開Hamiltonianの最終形は, 

(3)β{m+Θ2/(2)―Θ4/(83)}+ε

[Θ,[Θ,ε]]/(82) 

i[Θ.Θd]/(82) (Θ=α(-e)αΠ) 

または,(3)=β{m+(-e)2/(2)4/(82)}

+eΦ{eβ(2)}σB-{i/(82)}σ(∇×E) 

{/(42)}σ(×){/(82)}∇E 

でした。 (注8-2終わり)※
 

こうして,問題をFoldy-Woutheysen展開が収束するような

物理的状況:そして,これらHamiltonianの展開の最初の数項

で正しい記述となるケースに限定する限り,

中間子の相互作用も非相対論的量子力学の問題として論じる

ことができることが,わかりました。
 

この'のこの精度までの表現では,正振動数部分と

負振動数部分の混合は無く,HamiltonianHermite,

通常の非相対論的量子力学の確率解釈が可能です。
 

例として,この表示での正振動数解を,前記事の自由中間子

正振動数解:φ(+)()exp(iωp)(+)()[1,0]T

修正した形で,φn (+)()exp(in)ψn(+)()[1,0]T

と書くと,

{μ+Π2/(2μ)-Π4/(8μ2)-Π8/(128μ7)..}+eΦ 

[Π2,[Π2. eΦ]]/(32μ4)..]ψn(+)()

=Enψn(+)() です。
 

この正エネルギー中間子の存在確率密度は, 

(+)()|φn (+)()|2|ψn(+)()|2で与えられ

,

また,エネルギー固有値:nは,

n=∫ψn(+)()'(,)ψn(+)()3となって 

 H'の期待値に一致します。
 

 ただし,'(,)=η{μ+Π2/(2μ)-Π4/(8μ2)

 -Π8/(128μ7)..}+eΦ[Π2,[Π2. eΦ]]/(32μ4)..

 であって,これは単にHamiltonian:',eの関数の演算子

 であることを強調して明記しただけです。

 

 同様にこの表示での負振動数解を,前記事の自由中間子の 

 負振動数解:φ(-)()exp(iωp)(-)()[0,1]Tを修正

 した形,φn(-)()exp(in)ψn(-)()[0,1]Tと書くと,
 

 η[0,1]T=-[0,1]T であり,i∂φn(-)/∂t=-Enφn(-)

 ですから,'(,-e)ψn(-)()=Enψn(-)()

 です。

(※ 何故なら,'(,-e)=H'(,-e)です。)
 

故にH '(,-e)ψn(-)()=Enψn(-)() です。
 

こうして,電荷の符号が正反対の反粒子の正振動波動関数

,粒子の負振動数解の複素共役で表現できることが

わかります。
 

そして,この反粒子の存在確率密度は, 

(-)()|φn (-)()|2|ψn(-)()|2で与えられ, 

また,n=-∫ψn(-)()ψn(-)()3xです。
 

'(,)ψn(+)=EnΨn(+),および,

'(,-e)ψn(-)=EnΨn(-)より,正振動数解ψn(+)

負振動数解ψn(-),電荷の符号だけが異なるだけの 

Hamiltonianの同じエネルギー固有値Enに属するもの,

と見ることもできるわけです。
 

そこで,対角成分が1,-1の対角行列ηを挿入して 

Foldy-Woutheysen変換表示の確率密度とエネルギー

期待値を再定義してみたい。

という発想駆られます。
 

すなわち,確率密度を

n(±)()=φn(±)()ηφn (±)(), 

エネルギー期待値を

n(±)=∫φn(±)()η'φn(±)()3 

(複号同順)と定義してみます。
 

この再定義は,正振動数解については,何も変えませんが,

負振動数解については,確率密度もエネルギー期待値も

前の定義から,その符号を変えます。
 

エネルギー固有値については,正負両方の解で正となり

合理的ですが,n(±)(),負振動数解では負となるので,

これは確率密度ではなく(粒子の電荷eを掛けて)それぞれ,

粒子と反粒子電荷密度を与えるものと解釈されます。
 

'の展開での(1/μ)のベキ級数が収束する近似までで,

標準の非相対論的量子力学と同じ定式化ができる

Foldy-Woutheysen表示,さらに論議を進めることが

できます。
 

π中間子で構成される原子のエネルギー準位や遷移率は

例えばSchoroedinger理論への相対論的質量とDaewin項補正

のH'を用いた,i(∂φ'/∂t)'φ'から計算できるはず

です。
 

そしてまた,古典論対応が立証できてEhrenfestの関係が 

導出可能です。
 

すなわち,を任意の線型演算子(物理量)として, 

d</dt=i[',]>+<∂/∂t>

の成立を示すことができます。
 

1粒子の確率解釈は,,-振動数解を

Foldy-Woutheysen手法で分離できるようなケース

のみに限定されます。
 

それは,ππペアの存在を定義しなければならない

ような強く急激に変動する場に関する物理的問題など

ではふさわしくないと考えられます。
 

しかしながら,()=φ'()ηφ'(), 

E=∫φ'()η'φ'()3なる内積表現

,こうした一般のケースにも適用できるであろう

という目算で,
 

弱変動での近似のFoldy-Woutheysen変換の全てを

帳消しにして,元の

(ηρ){Π2/(2μ)}+μη+eΦと,

φ=exp(i)φ'に戻って,これら内積表現の構造

を探求します。
 

前述したように,exp(i),Hermite()

ではないので,一般にはユニタリ(unitary)ではなく

注意を要します。
 

自由粒子の0(ηρ){2/(2μ)}+μηに対する

exp(i)の最初の(iμ)の1次の近似では,

S=ηρθ(),

θ()=-(i/2)Tanh-1[{2/(2μ)}/{μ+2/(2μ)}]

純虚数なので,=-でした。
 

 また,Sηρθ()より,ηS=-Sηなので,

 運動量が自由中間子のエネルギー固有値:ωp

 ついては,0'exp()0exp(i)に対して, 

 ωp∫φp(±)'()η0'φp(±)'()3 

 =∫φp(±)()η0φp(±)()3 

 なる式が成立することがわかります。
 

 電荷については,

 φ()[θ,χ]T,φ'()exp(i)φ()について,

 ()3=∫φ'()ηφ'()3 

 =∫φ()ηφ()3 

 =∫d3{θ()θ()-χ()χ()} 

 ={i/(2μ)}∫d3[φ()0φ()] 

 と書けます。
 

 同様な結果は,自由粒子でなく,電磁相互作用が存在する

 ときにも得られます。

 Foldy-Woutheysen変換から,'exp()exp(i) 

 H'=η{μ+Π2/(2μ)-Π4/(8μ2)-Π8/(128μ7)..}

 +eΦ[Π2,[Π2.eΦ]]/(32μ4)(Π-)ですが,

 やはりηS=-Sηなの,

  
電荷については,
 

 ∫()3=∫φ'()ηφ'()3 

 =∫φ()ηφ()3

 ={i/(2μ)}∫d3{(02eA0)φ} です。
 

 それ故,ηを挿入して再定義された電荷密度は,この近似

 が有効な物理的状況ではプライムのない元の表示でのそれ

 と一致し,しかも以前,Klein-Gordon粒子に対して与えた

 電荷の表式:Q=∫d3{φ(02eA0)φ}

 一致します。
 
 

 係数が違うと見えるのは,非相対論の波動関数φ(),

 相対論での同じ波動関数:φ()=fp()の規格化因子

 が異なるためです。
 

 同様に,静的外電磁場内の荷電π中間子のエネルギー固有値

 について=∫φ'()ηH'φ'()3

 =∫φ()ηHφ()3x です。
 

 こうしたプライム系と元の系の2つの表示の期待値の

 単純な対応は,一般的な物理量Oの期待値においても

 行列ηを挿入すべきことを示唆しています。
 
 

 すなわち,

 <O'>=∫φ'()ηO'φ'()3 

 =∫φ()ηOφ()3x=<O> です。
 

 ただし,'exp()exp(i)です。
 

 行列ηの存在無しには.こうした2つの表示の間の対応

 の単純性を得ることはできません。
 

 定義:<O>=∫φ()ηOφ()3へのηの導入

 の物理的効果,負振動数状態にある系に対して,

 物理的観測量の期待値に(-1)を掛けることです。
 

 これは負振動数解が過去に伝播し,それ故,放出と吸収

 の役割が逆になり.物理的観測量を負エネルギー解の

 パラメータと()で結び付けるという要請に連関して

 います。

  
陽電子の理論では,負エネルギーに対する過去への伝播

 の境界条件は空孔理論によって保証されていました。
 

 しかし,Bose粒子に対しては空孔理論のようなものは無く,

 これの根拠は伝播関数のFeynmanの解釈という論旨で満足

 するか,あるいは,場の量子論に頼らなければなりません。
 

 こうした結論で論題を終了するに当たって,

 Foldy-Woutheusen手法が収束するようなBose粒子の物理的

 問題に,結局,確率解釈を与えるという所期の目標を達成

 できた。ということを思い出します。
 

 特に,自由粒子に対しては正振動数解,負振動数解,または,

 粒子解,反粒子解を分離する正確な変換を作ることが

 できました。
 

 これは確率振幅としてのS行列の解釈である次の3種の

 S行列要素:π散乱:

 p’plimt→∞∫d3p()()i0φ()

 =δ3(')i∫d4yfp()()^()φ(),
 

 π-πの対消滅:

 p-p+=-limt→-∞∫d3p-()()i0φ() 

=-i∫d4yfp-(-)()^()φ()  

 および, π散乱: 

 Spp=δ3(')

 i∫d4yfp()()^()φ(),の式の関係

 を正当化します。


 

 

 Bose粒子をその反粒子と区別する電荷(Charge),実は

 通常の電気的なそれ,である)必要はありません。
 

 例えば,自然界にはK0中間子とK0~中間子という共に

 電気的には中性の.しかし,互いに粒子,反粒子の関係

 にあるとされる粒子対がありますが,これらを区別する

 のは,"奇妙さの量子数(Strangeness-Charge)"の符号の

 違いだけです。
 

 そしてまた,粒子がそれの反粒子と一致するケースもあり,

 その場合には,それは常に,電気的に中性で,またどんな

 他の量子数も持ちません。
 
 

 そして,例えばπ0中間子はそうした粒子の例です。この場合

 は中間子の波動関数は実関数で,電荷密度;()0です。
 

 さて.以上で波動関数がKlein-Gordon方程式に従うスピン

 がゼロBose粒子(中間子),電荷を持つ場合の電磁相互作用

 の量子力学について論じた参考テキストの第9章の記述は

 完了しました。
 

 テキストでは,次は最終10章の非電磁相互作用(強い相互作用

 弱い相互作用)の初期理論の紹介ですが,これの私的ノートの 

 ブログ記事化は,前後しましたが,既に終わっています。
 

今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)

PS:糖尿病が長いので.それが原因で体中にかゆみがあり,汗を

かくとかゆいということは真冬以外にはよくありますが,今年

は,特に今頃,夜にひどくかゆくて背中や腕にかきむしった跡

ができて,これはダニのせいじゃないか?と疑っています。
 

 何の役にも立たない,「社会のゴミ,ダニ」のようなジジイ

 に本物のダニがついて,共食い状態。。でしょうかね?
 

 しょうがないので.ダニ取りマットならベッドまわりに

 置いてありましたが,今度は金が入ったとき,UV付きの

 布団掃除機の安いものでも買いますかね。。
 

 取りあえず,かゆくてたまらないときは頻繁にシャワーを

 浴びて,これまで使っていた,かゆみ止めを塗っています。
 

 さて,一段落して続きの科学記事は,場理論など他のテーマ

 を書くのも時間残っていれればやる予定ですが。。。

  ここ数年,目が悪くなって本の
小さい字が読めなくなって

 きているため,病院入院中なども読書の楽しみが失せて,

 頭の中で考えたアイディアをノートに計算してきたもの

 などを「遺構」として書いてまとめた記事草稿: 

 =「ライフワークの最後の残り火」でもそろそろアップ

 しようかな。。とも考えています。。

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