クライン・ゴルドン方程式(8)

クライン・ゴルドン方程式(Klein-Gordon eq.)の続きです。
 

外電磁場Ａ^μ(ｘ)があるときの一般的ケースに移ります。

　このケースについて,中間子の波動関数φ(ｘ)の満たす

基本方程式を示すため,まず,自由粒子の方程式:

(□＋μ²)φ＝0 を(∂_μ∂^μ－μ²)φ＝0と書き直し,,

さらに,運動量演算子の微分表示:ｐ_μ＝i∂_μにより,

(ｐ²－μ²)φ＝0 と書き直します。ｐ²＝ｐ^μｐ_μです。
 

この表現では,極小相互作用変換:ｐ_μ → ｐ_μ－ｅＡ_μ

を適用できて,(ｐ²－μ²)φ＝0 は電磁場:Ａ^μ(ｘ)がある

ときは,[(ｐ_μ－ｅＡ)²－μ²]φ＝0 と変形されます。
 

これは,ｐ_μをi∂_μに戻せば,

[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²]φ＝0 

とも表現できます。
 

これが,電磁場Ａ^μがあるときのスピンゼロの中間子の波動関数

が満たす基本方程式です。

　(※↑これは,既に2016年５/30の過去記事:

「クライン・ゴルドン方程式(3)」において記述していた

ことです。

そして,先に示したように自由中間子が満たすKlein-Gordon

方程式:(□＋μ²)φ＝(∂_μ∂^μ－μ²)φ＝0　をφ＝[θ,χ]^T

と２成分縦ベクトル表示して,i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈφ,および,

Ｈ＝(η＋ρ){ｐ²/(2μ)}＋μη (η,ρは２×２行列)

の形に表わしたときには,
,

ｐ＝(Ｈ,ｐ),Ａ^μ=(Φ,Ａ)として, 

極小相互作用変換:ｐ → ｐ－ｅＡ,Ｈ→Ｈ－ｅΦにより,

i(∂φ/∂ｔ)＝Ｈφ,

Ｈ＝(η＋ρ){(ｐ－ｅＡ)²/(2μ)}＋μη＋ｅΦ 

を得ます。

　これは,[(i∂_μ－ｅＡ_μ)(i∂^μ－ｅＡ^μ)－μ²]φ＝0

と同値なSchroedinger型の方程式です。
 

ここで,Π≡ｐ－ｅＡと置けば,

Ｈ＝(η＋ρ){Π²/(2μ)}＋μη＋ｅΦ

と書けます。
 

そこで,基本方程式を,さらに具体的に書けば, 

i(∂φ/∂ｔ)

＝[(η＋ρ){Π²/(2μ)}＋μη＋ｅΦ]φ

となります。
 

そして,特に,Θ＝ρΠ²/(2μ),ε＝ｅΦ＋ηΠ²/(2μ)

と置き,Ｈをodd演算子とeven演算子に分離して,

Ｈ＝Θ＋ε＋ημと表現します。
 

※(注8-1):φ'＝exp(iＳ)φ, 

∂φ'/∂ｔ＝[exp(iＳ){Ｈ－(i∂/∂ｔ))}exp(－iＳ)]φ'

＝Ｈ'φ’です。
 

参考テキストの第4章:本ブログでは最近の2016年8/10,

8/14の記事;「Dirac方程式の非相対論極限近似(1).(2)」

で述べたように,上記のＨ'は求めたいオ－ダー:Ｏ[1/μ⁴]

までで次のように展開されます。
 

Ｈ'～ Ｈ＋i[Ｓ,Ｈ]－(1/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]

－(i/6)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]

＋(1/24)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,ημ]]]] 

－Ｓ^d－(1/2)[Ｓ,Ｓ^d]＋(1/6)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]　です。
 

特に,１次近似まででは.

Ｈ'～(1＋iＳ)(ημ＋ε＋Θ)(1－iＳ) 

＝ημ＋ε＋Θ＋i[Ｓ,η]μ＋i[Ｓ,Θ]＋i[Ｓ,ε]

です。
 

ここで,ηΘ＝－Θη,η²＝1, ηε＝εηが成立する

ことに注意します。
 

このオーダーでρを含むodd項:Θが消えることを要求

します。
 

Θ＝ρΠ²/(2μ)＝Ｏ(1/μ),ε＝ｅΦ＋ηΠ²/(2μ)＝Ｏ(1) 

ですが,Ｓ＝Ｏ(1/μ²)を仮定すると,[Ｓ,Θ]＝Ｏ(1/μ³) 

[Ｓ,ε] ＝Ｏ(1/μ²)であり,他方,[Ｓ,η]μ＝Ｏ(1/μ)

です。
 

よって,オーダーが(1/μ²)以下の項を無視すると,

Ｈ'～ημ＋ε＋Θ＋i[Ｓ,η]μ　です。
 

ηΘ＝－Θη,より,[η,Θ]＝2ηΘですから,

Ｓ＝－iηΘ/(2μ)と置けば,i[Ｓ,η]μ＝－Θと

なって,Θが相殺され,Ｈ'～ημ＋εが得られます。
 

より高次の項にも,このＳを用いると,

i[Ｓ,Ｈ]＝－Θ＋ηΘ²/μ²＋[Θ,η]/(2μ) 

－(1/2)[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]＝－ηΘ²/(2μ)－[Θ,[Θ.ε]]/(8μ²)

－Θ³/(2μ²),
 

－(i/6)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,Ｈ]]]

＝Θ³/(6μ²)－ηΘ⁴/(6μ²) 

－η[Θ,[Θ,[Θ.ε]]]/(48μ²) 

(※ただし,この最終項はＯ(1/μ⁴)なので無視します。)
 

さらに,(1/24)[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,[Ｓ,ημ]]]]

＝ηΘ⁴/(24μ³)＋Θ⁵/(24μ⁴) → これは無視

－Ｓ^d＝iηΘ^d/(2μ),

－(1/2)[Ｓ,Ｓ^d]＝－i[Θ,Θ^d]/(8μ²), 

　＋(1/6)[Ｓ,[Ｓ,Ｓ^d]]

＝－iη[Θ,[Θ,Θ^d]]/(48μ²)～Ｏ(1/μ⁶)→ これも無視

結局,Ｈ'＝η{μ＋Θ²/(2μ)－Θ⁴/(8μ²)}＋ε

－[Θ,[Θ.ε]]/(8μ²)－i[Θ,Θ^d]/(8μ²)＋[Θ,η]/(2μ)

－Θ³/(3μ²)＝ημ＋ε'＋Θ',

　ただし,ε'＝ ε＋η{Θ²/(2μ)－Θ⁴/(8μ²)} 

－[Θ,[Θ.ε]]/(8μ²)－i[Θ,Θ^d]/(8μ²), 

Θ'＝ [Θ,η]/(2μ)－Θ³/(3μ²)＝Ｏ(1/μ²)

です。
 

そこで,Ｓ’＝－iηΘ'/(2μ)として, 

Ｈ"＝[exp(iＳ'){Ｈ'－(i∂/∂ｔ))}exp(－iＳ')

＝ημ＋ε'＋Θ" 

＝η{μ＋Θ²/(2μ)－Θ⁴/(8μ²)}＋ε'＋Θ",
 

Θ”＝η[Θ',ε']/(2μ)＋iηΘ'^d/(2μ)＝Ｏ(1/μ³)
 

さらに.Ｓ"＝－iηΘ"/(2μ)として,  

Ｈ⁽³⁾＝[exp(iＳ”){Ｈ"－(i∂/∂ｔ))}exp(－iＳ") 

＝ημ＋ε⁽³⁾＋Θ⁽³⁾であって,Θ⁽³⁾＝Ｏ(1/μ⁵)です。 

(注8-1終わり)※
 

結局,特別な静的外電磁場:Ａ^μ＝(Φ,Ａ)の存在下では, 

オーダー:1/μ⁴までで,φ'＝exp(iＳ)φ,

i(∂φ'/∂ｔ)＝Ｈ'φ',
 

Ｈ'＝η{μ＋Π²/(2μ)－Π⁴/(8μ²)－Π⁸/(128μ⁷)＋..}＋ｅΦ 

＋[Π²,[Π².ｅΦ]]/(32μ⁴)＋ηΠ⁶/(16μ⁵)

＋i[Π²,(Π²)^d]/(8μ²)＋Ｏ(1/μ⁵)　が得られます。

　ただし,Π＝ｐ－ｅＡです。
 

上記のＨ'の右辺第１項:

η{μ＋Π²/(2μ)－Π⁴/(8μ²)－Π⁸/(128μ⁷)＋..} 

は,Dirac理論の場合と同じく,相対論的質量の増加,
 

つまり(μ²＋Π²)^1/2の(Π²/μ)による二項展開です。
 

また,[Π²,[Π².ｅΦ]]/(32μ⁴)は.Darwin項であり,

Dirac理論で.Zitterbewegung(ジグザグ運動)補正と

述べたもののアナロジーであり,古典点電荷の静電

相互作用:ｅφの補正です。
 

しかしながら,Dirac理論とは異なり,これは(1/μ⁴)

のオーダーで初めて出現する小さい項です。
ー

※(注8-2):Dirac理論では,展開Hamiltonianの最終形は, 

Ｈ⁽³⁾＝β{ｍ＋Θ²/(2ｍ)―Θ⁴/(8ｍ³)}＋ε

－[Θ,[Θ,ε]]/(8ｍ²) 

－i[Θ.Θ^d]/(8ｍ²)　(Θ＝α(ｐ－ｅＡ)＝αΠ) 

または,Ｈ⁽³⁾＝β{ｍ＋(ｐ－ｅＡ)²/(2ｍ)－ｐ⁴/(8ｍ²)}

＋ｅΦ－{ｅβ(2ｍ)}σＢ－{iｅ/(8ｍ²)}σ(∇×Ｅ) 

－{ｅ/(4ｍ²)}σ(Ｅ×ｐ)－{ｅ/(8ｍ²)}∇Ｅ　

でした。　(注8-2終わり)※
 

こうして,問題をFoldy-Woutheysen展開が収束するような

物理的状況:そして,これらHamiltonianの展開の最初の数項

で正しい記述となるケースに限定する限り,

中間子の相互作用も非相対論的量子力学の問題として論じる

ことができることが,わかりました。
 

このＨ'のこの精度までの表現では,正振動数部分と

負振動数部分の混合は無く,HamiltonianはHermiteで,

通常の非相対論的量子力学の確率解釈が可能です。
 

例として,この表示での正振動数解を,前記事の自由中間子

の正振動数解:φ⁽⁺⁾(ｘ)＝exp(－iω_pｔ)ａ⁽⁺⁾(ｘ)[1,0]^Tを

修正した形で,φ_n ⁽⁺⁾(ｘ)＝exp(－iＥ_nｔ)ψ_n⁽⁺⁾(ｘ)[1,0]^T

と書くと,

[η{μ＋Π²/(2μ)－Π⁴/(8μ²)－Π⁸/(128μ⁷)＋..}＋ｅΦ 

＋[Π²,[Π². ｅΦ]]/(32μ⁴)＋..]ψ_n⁽⁺⁾(ｘ)

＝Ｅ_nψ_n⁽⁺⁾(ｘ)　です。
 

この正エネルギー中間子の存在確率密度は, 

Ｐ⁽⁺⁾(ｘ)＝|φ_n ⁽⁺⁾(ｘ)|²＝|ψ_n⁽⁺⁾(ｘ)|²で与えられ

,

また,エネルギー固有値:Ｅ_nは,

Ｅ_n＝∫ψ_n^(+)＋(ｘ)Ｈ'(ｘ,ｅ)ψ_n⁽⁺⁾(ｘ)ｄ³ｘとなって 

　Ｈ'の期待値に一致します。
 

　ただし,Ｈ'(ｘ,ｅ)＝η{μ＋Π²/(2μ)－Π⁴/(8μ²)

 －Π⁸/(128μ⁷)＋..}＋ｅΦ＋[Π²,[Π². ｅΦ]]/(32μ⁴)＋..

 であって,これは単にHamiltonian:Ｈ'がｘ,ｅの関数の演算子

　であることを強調して明記しただけです。

　同様にこの表示での負振動数解を,前記事の自由中間子の 

　負振動数解:φ^(-)(ｘ)＝exp(iω_pｔ)ａ^(-)(ｘ)[0,1]^Tを修正

　した形で,φ_n^(-)(ｘ)＝exp(iＥ_nｔ)ψ_n^(-)(ｘ)[0,1]^Tと書くと,
 

　η[0,1]^T＝－[0,1]^T であり,i∂φ_n^(-)/∂ｔ＝－Ｅ_nφ_n^(-)

 ですから,Ｈ'(ｘ,－ｅ)^＊ψ_n^(-)(ｘ)＝Ｅ_nψ_n^(-)(ｘ)

 です。

(※ 何故なら,Ｈ'(ｘ,－ｅ)^＊＝Ｈ'(ｘ,－ｅ)です。)
 

故にＨ '(ｘ,－ｅ)ψ_n^(-)＊(ｘ)＝Ｅ_nψ_n^(-)＊(ｘ) です。
 

こうして,電荷の符号が正反対の反粒子の正振動波動関数

が,粒子の負振動数解の複素共役で表現できることが

わかります。
 

そして,この反粒子の存在確率密度は, 

Ｐ^(-)(ｘ)＝|φ_n ^(-)(ｘ)|²＝|ψ_n^(-)(ｘ)|²で与えられ, 

また,Ｅ_n＝－∫ψ_n^(-)＋(ｘ)Ｈ’ψ_n^(-)(ｘ)ｄ³ｘです。
 

Ｈ'(ｘ,ｅ)ψ_n⁽⁺⁾＝Ｅ_nΨ_n⁽⁺⁾,および,

Ｈ'(ｘ,－ｅ)ψ_n^(-)＝Ｅ_nΨ_n^(-)より,正振動数解ψ_n⁽⁺⁾と

負振動数解ψ_n^(-)は,電荷の符号だけが異なるだけの 

Hamiltonianの同じエネルギー固有値Ｅ_nに属するもの,

と見ることもできるわけです。
 

そこで,対角成分が１,－１の対角行列ηを挿入して 

Foldy-Woutheysen変換表示の確率密度とエネルギー

期待値を再定義してみたい。

という発想に駆られます。
 

すなわち,確率密度を

Ｑ_n^(±)(ｘ)＝φ_n^(±)＊(ｘ)ηφ_n ^(±)(ｘ), 

エネルギー期待値を

Ｅ_n^(±)＝∫φ_n^(±)＋(ｘ)ηＨ'φ_n^(±)(ｘ)ｄ³ｘ 

(複号同順)と定義してみます。
 

この再定義は,正振動数解については,何も変えませんが,

負振動数解については,確率密度もエネルギー期待値も

前の定義から,その符号を変えます。
 

エネルギー固有値については,正負両方の解で正となり

合理的ですが,Ｑ_n^(±)(ｘ)は,負振動数解では負となるので,

これは確率密度ではなく(粒子の電荷ｅを掛けて)それぞれ,

粒子と反粒子電荷密度を与えるものと解釈されます。
 

Ｈ'の展開での(1/μ)のベキ級数が収束する近似までで,

標準の非相対論的量子力学と同じ定式化ができる

Foldy-Woutheysen表示は,さらに論議を進めることが

できます。
 

π中間子で構成される原子のエネルギー準位や遷移率は

例えばSchoroedinger理論への相対論的質量とDaewin項補正

のＨ'を用いた,i(∂φ'/∂ｔ)＝Ｈ'φ'から計算できるはず

です。
 

そしてまた,古典論対応が立証できてEhrenfestの関係が 

導出可能です。
 

すなわち,Ｏを任意の線型演算子(物理量)として, 

ｄ＜Ｏ＞/ｄｔ＝i＜[Ｈ',Ｏ]＞＋＜∂Ｏ/∂ｔ＞

の成立を示すことができます。
 

１粒子の確率解釈は,正,負-振動数解を

Foldy-Woutheysen手法で分離できるようなケース

のみに限定されます。
 

それは,π^＋π^－ペアの存在を定義しなければならない

ような強く急激に変動する場に関する物理的問題など

ではふさわしくないと考えられます。
 

しかしながら,Ｑ(ｘ)＝φ'^＊(ｘ)ηφ'(ｘ), 

Ｅ＝∫φ'^＋(ｘ)ηＨ'φ'(ｘ)ｄ³ｘなる内積表現

が,こうした一般のケースにも適用できるであろう

という目算で,
 

弱変動での近似のFoldy-Woutheysen変換の全てを

帳消しにして,元の

Ｈ＝(η＋ρ){Π²/(2μ)}＋μη＋ｅΦと,

φ＝exp(－iＳ)φ'に戻って,これら内積表現の構造

を探求します。
 

前述したように,Ｕ＝exp(iＳ)は,ＳがHermite(Ｓ^＋＝Ｓ)

ではないので,一般にＵはユニタリ(unitary)ではなく

注意を要します。
 

自由粒子のＨ₀＝(η＋ρ){ｐ²/(2μ)}＋μηに対する

Ｕ＝exp(iＳ)の最初の(iμ)の１次の近似では,

Ｓ＝ηρθ(ｐ)で,

θ(ｐ)＝－(i/2)Tanh^-1[{ｐ²/(2μ)}/{μ＋ｐ²/(2μ)}]

は純虚数なので,Ｓ^＋＝－Ｓでした。
 

　また,Ｓηρθ(ｐ)より,ηＳ＝－Ｓηなので,

 運動量がｐの自由中間子のエネルギー固有値:ω_pに

　ついては,Ｈ₀'＝exp(Ｓ)Ｈ₀exp(－iＳ)に対して, 

　ω_p＝∫φ_p^(±)'^＋(ｘ)ηＨ₀'φ_p^(±)'(ｘ)ｄ³ｘ 

　＝∫φ_p^(±)＋(ｘ)ηＨ₀φ_p^(±)(ｘ)ｄ³ｘ 

　なる式が成立することがわかります。
 

　電荷については,

 φ(ｘ)＝[θ,χ]^T,φ'(ｘ)＝exp(iＳ)φ(ｘ)について,

 ∫Ｑ(ｘ)ｄ³ｘ＝∫φ'^＋(ｘ)ηφ'(ｘ)ｄ³ｘ 

　＝∫φ^＋(ｘ)ηφ(ｘ)ｄ³ｘ 

　＝∫ｄ³ｘ{θ^＊(ｘ)θ(ｘ)－χ^＊(ｘ)χ(ｘ)} 

　＝{i/(2μ)}∫ｄ³ｘ[φ^＊(ｘ)∂₀^⇔φ(ｘ)] 

　と書けます。
 

　同様な結果は,自由粒子でなく,電磁相互作用が存在する

　ときにも得られます。

　Foldy-Woutheysen変換から,Ｈ'＝exp(Ｓ)Ｈexp(－iＳ) 

　Ｈ'＝η{μ＋Π²/(2μ)－Π⁴/(8μ²)－Π⁸/(128μ⁷)＋..}

 ＋ｅΦ＋[Π²,[Π².ｅΦ]]/(32μ⁴)(Π＝ｐ-ｅＡ)ですが,

 やはりηＳ＝－Ｓηなので,

　　電荷については, 

　∫Ｑ(ｘ)ｄ³ｘ＝∫φ'^＋(ｘ)ηφ'(ｘ)ｄ³ｘ 

　＝∫φ^＋(ｘ)ηφ(ｘ)ｄ³ｘ

　＝{i/(2μ)}∫ｄ³ｘ{^＊(∂₀^⇔－2ｅＡ⁰)φ}　です。
 

　それ故,ηを挿入して再定義された電荷密度は,この近似

　が有効な物理的状況ではプライムのない元の表示でのそれ

　と一致し,しかも以前,Klein-Gordon粒子に対して与えた

　電荷の表式：Ｑ＝∫ｄ³ｘ{φ^＊(∂₀^⇔－2ｅＡ⁰)φ}に

　一致します。
　 

　係数が違うと見えるのは,非相対論の波動関数φ(ｘ)と,

　相対論での同じ波動関数:φ(ｘ)＝ｆ_p(ｘ)の規格化因子

　が異なるためです。
 

　同様に,静的外電磁場内の荷電π中間子のエネルギー固有値

　についてＥ＝∫φ'^＋(ｘ)ηＨ'φ'(ｘ)ｄ³ｘ

　＝∫φ^＋(ｘ)ηＨφ(ｘ)ｄ³ｘ　です。
 

　こうしたプライム系と元の系の２つの表示の期待値の

　単純な対応は,一般的な物理量Ｏの期待値においても

　行列ηを挿入すべきことを示唆しています。
　 

　すなわち,

 ＜Ｏ'＞＝∫φ'^＋(ｘ)ηＯ'φ'(ｘ)ｄ³ｘ 

　＝∫φ^＋(ｘ)ηＯφ(ｘ)ｄ³ｘ＝＜Ｏ＞　です。
 

　ただし,Ｏ'＝ exp(Ｓ)Ｏexp(－iＳ)です。
 

　行列ηの存在無しには.こうした2つの表示の間の対応

　の単純性を得ることはできません。
 

　定義:＜Ｏ＞＝∫φ^＋(ｘ)ηＯφ(ｘ)ｄ³ｘへのηの導入

　の物理的効果は,負振動数状態にある系に対して,

 物理的観測量の期待値に(－１)を掛けることです。
 

　これは負振動数解が過去に伝播し,それ故,放出と吸収

　の役割が逆になり.物理的観測量を負エネルギー解の

　パラメータと(－)で結び付けるという要請に連関して

　います。

　　陽電子の理論では,負エネルギーに対する過去への伝播

　の境界条件は空孔理論によって保証されていました。
 

　しかし,Bose粒子に対しては空孔理論のようなものは無く,

 これの根拠は伝播関数のFeynmanの解釈という論旨で満足

　するか,あるいは,場の量子論に頼らなければなりません。
 

　こうした結論で論題を終了するに当たって,

　Foldy-Woutheusen手法が収束するようなBose粒子の物理的

　問題に,結局,確率解釈を与えるという所期の目標を達成

　できた。ということを思い出します。
 

 特に,自由粒子に対しては正振動数解,負振動数解,または,

 粒子解,反粒子解を分離する正確な変換を作ることが

　できました。
 

　これは確率振幅としてのＳ行列の解釈である次の３種の

　Ｓ行列要素:π^＋散乱:

 Ｓ_p’p＝lim_t→∞∫ｄ³ｘｆ_p’^(＋)＊(ｘ)i∂₀^⇔φ(ｘ)

 ＝δ³(ｐ'－ｐ)－i∫ｄ⁴ｙｆ_p’^(＋)＊(ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ),
 

　π^＋-π^－の対消滅:

 Ｓ_p-p+＝－lim_t→－∞∫ｄ³ｘｆ_p-^(－)＊(ｘ)i∂₀^⇔φ(ｘ) 

＝－i∫ｄ⁴ｙｆ_p-^(-)＊(ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ)　 

　および, π^－散乱: 

　Ｓ_p－p－’＝δ³(ｐ_－－ｐ_－')

 －i∫ｄ⁴ｙｆ_p－^(－)＊(ｙ)Ｖ^(ｙ)φ(ｙ),の式の関係

　を正当化します。

 

　Bose粒子をその反粒子と区別する電荷(Charge)は,実は

　通常の電気的なそれ,である)必要はありません。
 

　例えば,自然界にはＫ₀中間子とＫ₀~中間子という共に

　電気的には中性の.しかし,互いに粒子,反粒子の関係

　にあるとされる粒子対がありますが,これらを区別する

　のは,"奇妙さの量子数(Strangeness-Charge)"の符号の

　違いだけです。
 

　そしてまた,粒子がそれの反粒子と一致するケースもあり,

　その場合には,それは常に,電気的に中性で,またどんな

　他の量子数も持ちません。
　 

　そして,例えばπ₀中間子はそうした粒子の例です。この場合

　は中間子の波動関数は実関数で,電荷密度;Ｑ(ｘ)＝0です。
 

　さて.以上で波動関数がKlein-Gordon方程式に従うスピン

　がゼロのBose粒子(中間子)が,電荷を持つ場合の電磁相互作用

　の量子力学について論じた参考テキストの第９章の記述は

　完了しました。
 

　テキストでは,次は最終10章の非電磁相互作用(強い相互作用

　弱い相互作用)の初期理論の紹介ですが,これの私的ノートの 

　ブログ記事化は,前後しましたが,既に終わっています。
 

今日はここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken & S.D.Drell 

”Relativistic QantumMechanics"(McGrawHill)

PS:糖尿病が長いので.それが原因で体中にかゆみがあり,汗を

かくとかゆいということは真冬以外にはよくありますが,今年

は,特に今頃，夜にひどくかゆくて背中や腕にかきむしった跡

ができて,これはダニのせいじゃないか？と疑っています。
 

　何の役にも立たない,「社会のゴミ,ダニ」のようなジジイ

　に本物のダニがついて,共食い状態。。でしょうかね？
 

　しょうがないので.ダニ取りマットならベッドまわりに

　置いてありましたが,今度は金が入ったとき,ＵＶ付きの

　布団掃除機の安いものでも買いますかね。。
 

　取りあえず,かゆくてたまらないときは頻繁にシャワーを

　浴びて,これまで使っていた,かゆみ止めを塗っています。
 

　さて,一段落して続きの科学記事は,場理論など他のテーマ

　を書くのも時間残っていれればやる予定ですが。。。

　　ここ数年,目が悪くなって本の小さい字が読めなくなって

　きているため,病院入院中なども読書の楽しみが失せて,

　頭の中で考えたアイディアをノートに計算してきたもの

　などを「遺構」として書いてまとめた記事草稿: 

　＝「ライフワークの最後の残り火」でもそろそろアップ

　しようかな。。とも考えています。。