引っ越し間近。。

　　数日後に.今のアパート2階の部屋を出て,都営三田線西巣鴨駅近くの1階に引っ越す予定なので,こうしてブログを書いていてもあまり落ち着きません。

※　引っ越し先は下の写真のスーパーのごく近くです。

　　　

　科学記事の続きも書いていますが.全然はかどりません。気持ちが引っ越しのこと,。その準備だけに傾いているようです。

　家主の都合での立ち退きなので,私が出た後,来年早々の取り壊しまで入居者はないはずです。 

そこで,10月にずれこんでも家賃は発生しないらしいので,10月の１日～３日のどれかに引っ越し予定で,その日の朝から引っ越し業者がきてくれて,私が体不自由なので,荷造りや不用品処分も含め,やってくれる。というのですが, 。。 

　それでも,今はセッセと動かない体で荷造りをしています。毎日疲れます。。 

今住んでるのは下写真の豊島区江戸橋公園,:別名ロケット公園の近くです。

　私の住所は南大塚ですがこの公園の住所は巣鴨一丁目です。

　　　　

 と書いたところで昨夜は,自分の書いた字も判別できなくなりました。 

　そう低血糖ですね。。角砂糖など少し食べても視力改善されずテレビを見ても登場人物が誰かわからないほどで,ツマラナイです。 

　,そして,汗が出て眠くなり,,寝るしかないので残り少ないブドウ糖をなめながら,一応,血糖を測ると,68でした。。そのまま朝まで寝ました。 

　今は,血糖値は100以上には回復したようです。朝6時には127でした。私の場合,食事をちゃんととっても少しキツイ運動をしたり頭を使うと,テキ面に血糖が下がるようです。。 

　さて,,私の引っ越しは人生で既に10回以上のはずです。。 

　最初の岡山県倉敷の実家からＳ大学に入って一人暮らしになったのを1回目とカウントすると,,大学生時代は４回だけです。  

そして関西のＫ大学大学院に入って,そこでは最初入ったアパートに東京に就職するまで,ずっといたので,引っ越し回数はＳからＫまで長距離ですが＋１回だけですね。  

　さらに,就職で,Ｋから東京へ。。杉並区梅里１丁目(丸ノ内線新高円寺駅付近)へと長距離の引っ越しでした。 その６畳一間こは８年間,住んでいました。 風呂もなく共同トイレ。。飲んで帰って寝るだけでしたね。

　そして,自分でローンで購入した新築分譲マンションの10階３ＤＫ,（江東区枝川１丁目）に転居。。イキナリ,６畳一間から３ＤＫに。。,電話も入れて寝に帰るだけじゃなく,,少しだけ生活パターンが変わりました。

　実はイレモノもできたし,少女監禁？ではなくて,人並に家庭と子供などが持てるかも。。とユメを見た時期でもありました。

　ここには９,年住んでいました。このころは,まだ荷物は少なく同じ高円寺の近くに住んでいた大学時代の先輩:Ｏさんの運転する小さな車で引っ越したという記憶があります。(※何度か往復したかな？) 

　ここまでで,7回ですか。。  

　当時はこのマンションの1室から神保町の会社まで通勤してましたが,最初は門前仲町駅までは自転車で通勤していました。。東西線から大手町で都営三田線乗換えでした。。。途中から有楽町線の豊洲駅ができたので,豊洲駅まで徒歩で,そして有楽町線の日比谷で三田線に乗換えでした。  

　そして最初の会社を40歳で依願退職,。。さらに次の会社も辞めてロ－ンも払えなくなり,,部屋を売って差額で一括購入した巣鴨駅近くのワンルームの7階に移りました。  縮小再生産ですね。

　ここに住んでいたのは長くて,丁度心臓病になる直前,まで,,まずは,13年。  

　これを売るため北区滝廼川４丁目のエレベータのない３階に引っ越すことが決まり,荷造りの最中に心臓病を発病。。。

　このときは今は音信不通のＮ目チャンに手伝ってもらってたのですが。。肺に水たまっていたらしく一人7階廊下に出て荷造り作業中にセキが止まらず廊下窓から首を出してゼイゼイ。。窒息して死ぬかと思いました。しかし何とか引っ越しました。

　そして1年,,,バイパス手術後..申請して心臓の障害者となりましたが,,リーマンショックやら何やらで,結局,部屋は売れないまま,エレベーターも恋しくて元の巣鴨の7階ワンルームに帰ってきました。。  

　それから2年,大分値下げして部屋は売れて,今の南大塚1丁目のアパートに移り,,そして今ここで6年たちました。 

　そして今回・・・11回目ですね。。 

　お江戸に来て来年で40年。。39年のうち,,滝野川.南大塚も含め巣鴨近辺だけで22年,故郷の岡山の実家にいた高校までと,予備校1年の19年よりも,巣鴨の方が長くなりました。

(※↑実はこの記事,,とりあえず昨夜アップしたつもりでしたが,,朝見るとアップされていなかったです。既にブドウ糖をなめてたときには朦朧として正常な判断もできてなかったみたいですね。 

　今日もこれを書いていて最初は目の調子が悪くて誤字に乱文。。よく見えませんでした。大分編集し直しました。※)

　ＰＳ:私は人生,何か計画してコツコツやるというタイプじゃなく,全くの行き当たりバッタリ人間。。。今度の部屋決めも衝動的。。行動が先で後で考えるタチ。

　しかも.大体後悔は,しません。騙されたとしても命さえ残ってれば,満足で。。しょうがない。。で済ませます。。騙すよりダマサレルほうがマシ。失敗も含めて自己判断の結果であり,その結果今の自分があるのですから。。

　過去の暗いと思う環境や失敗がなければ今の自分もないでしょうネ。

　ガンコではなく素直に聞く方ですが,,体にいいからとか,それやってると寿命が縮むからとか,忠告されてもその場限りで結局聞き入れません。

　酒,タバコ,夜更かし。。等々。。病気になって倒れても好きなものは恐らくやめません。今,当分,生きてられさえすれば。。。医者とかも含め,て他人の世話になるのは嫌いだけど,気がつくとイッパイお世話になっているようです。

　私の大嫌いなインテリとか思慮分別のある」賢い人は,まず計画をたてて,それから実行に向けてコツコツ努力するらしいですが。。私は非常に気が短いので性に合いません。

　外に食事にいってもメニューで迷わないし.店がたくさんあっても,,どこの食堂に入るかは即決です。　しかし,同席の他人が優柔不断でもイライラはしません。自分が決めるときだけです。 よく言えば男らしいかもしれませんが。。失敗も多くオッチョコチョイです。 

　唯一,今の科学的理論とかは,切れずにコツコツやっている例外でしょうが,昔からよく早合点の勘違いが多々あります。将棋でも,すぐ王手飛車などにひっかります。 考えることはとても好きですが実は向いていないのかも。。。

　インテリよりも刹那の生を太く短く。。のヤクザのほうが近い？。。。  

　久しぶりに,自分のことをイッパイ書きました。 

　※PS:：引っ越し日は少し延びて６日木曜日に決定しました。

訃報 Ａ - パーマーさん(米プロゴルファー)

　米プロゴルフ,いや世界ゴルフ界の偉人。巨人。。。アーノルドパーマーさんが亡くなら　　れたそうです。享年87歳でした。

　　　　→Yahooニュース　　　アーノルド・ーマーさん死去87歳　　　　　　　　　　　　　　　　

　テレビが我家に来て(1961年小５),,最初に見ていたスポーツ中継といえば,大相撲か野球。。　それに力道山のプロレスくらい。。

　数年後の1964年(中３)に東京オリンピックで,バレーボールやサッカー,マラソンなど他ののスポーツ放送も,ときどきあって観戦するようになりました。。

札幌冬季オリンピックで,スキージャンプやスピードスケート,それにフィギュアスケートなど。

　ゴルフはもっと後で,,ジャンボ尾崎や青木中島などでブームになる少し前の村上や杉原のころ。。女子では樋口久子の名前を知ったころ。。

　急にアメリカのパーマーの名前も知りました。　既に時代は,J。ニクラウスやトム・ワトソンの時代でしたかね。

　男子ゴルフはそれからタイガー・ウッズなどの時代には移るのですが。。

　テレビのゴルフっ中継とか,オシャレ用品のコマーシャルくらいしか知りません。年をとっても笑顔はステキでしたが。。

　そういえばイチローのいる大リーグのマイアミ・マーリンズの,まだ20代前半のエース　ホセ・フェルナンデス投手が事故で亡くなったそうですね。

　ご冥福を祈ります！！合掌！！

科学記事投稿など。。雑感

　昔から,今のように金無しでヒマありなら,科学の理論を考察するの

　には 最適でブログ書きの作業などもはかどりますネ。

　私,今から24年前の42歳(1992年)の11月に,バブル終わり

 かけた頃2つめの会社をやめて,プータローとなり半年くらい

　は,仕事は探してましたが見つからず,アルバイトするでもなく

　失業保険だけで暮らしていました。

　それでも今より,はるかに月収多かったのですが,そうした

　余裕のない一時の金で飲みにいくとか,夜遊びするとかが

　できる性格ではなかったので,古書店で専門書でも買う

　くらいで,常連だった飲み屋も月イチかゼロ,金にもならない

　けどワークという名のライフワーク？
,
　中年で始めた過去に不十分だった専門の再勉強が大いに

はかどって,現在に至ってもヤボな趣味となっているわけ

です。

　それから保険も切れた1993年夏に,まずは花火や工事現場

の夜勤交通ガードマンから,塾,専門学校,予備校講師と本来

シャイで,ためにウツ病が長いのに食うため,慣れない非常勤

講師などやって食いつないでいた頃は,本当に金無し,ヒマ

ありで「閑居して不善をなす」元気もなく中年の手習いが

続きました。

　44歳春には,最初は陸の孤島のようだった江東区豊洲付近で

1985寝(35歳)に衝動買いで購入して,さびしく一人で9年間

住んでいた,一応３ＤＫの10階建て10階のマンションの部屋

のローンを払うのが困難となり,これを売った差額で豊島区

巣鴨駅付近に中古のワンルームを購入して,

　なお自転車操業の生活をしながら仕事を探しているうち, 

　2000年(50歳)になる寸前の12月末にやっと派遣社員に

就職。。それから7年後には心臓手術でクビになって現在です。
 

　途中,この夜勤の20時から朝7時までの永代橋付近での仕事
　とは別に,,昼間は昔,東京に出て最初の正社員だった,

環境アセスメントの計算をする会社に,1990年３月の辞職以来,

12年？ぶりにアルバイトで,ほぼ４年間は,1日おきの昼夜兼務

しましたが,

　これが祟ったのか？2006年12月,急に持病の慢性糖尿病が

原因らしい心臓病。。心不全の症状が来て、翌年４月に順天堂

で今では有名な名医と呼ばれる医師に心臓バイパス手術を受

けました。。。

　それで仕事をなくして,いろいろと病気入院の明け暮れになって

いったのでした。

　その間,2006年3月下旬,まだ元気なころ　ブログを書く趣味が

できました。

　今,66歳となっては,先も短かいし家族もないし働いて得たの

ではない余裕のない微々たる収入しかなくても,偶には遊び

たいですね。

場の量子論第Ⅱ部)(７)

　　場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

 前回は,Dirac場:ψ^とと光子場(電磁場):Ａ^が共存して

 相互作用する系を考えたとき.それらの場を正準定式化した理論

　が.座標系のLorentz変換に対して不変という,対称性を持つこと,

 の証明を試みました。

　 まず,一般の粒子場:{φ_r^}_ｒ＝1,.Nから成る系で.理論がLorentz

　変換対称性を持つには、Noether保存量として角運動量演算子:

 Ｍ^μν^が存在して, 

 i[Ｍ^μν^,φ_r^(ｘ,ｔ)]_－＝(ｘ^μ∂^ν－ｘ^ν∂^μ)φ_r^(ｘ,ｔ) 

＋Ξ^μν_rsφ_s^(ｘ,ｔ)　なる交換関係を満たすことが必要である

ことがわかりました。

　(※ただし,前回記事同様,添字:μ,νだけでなくｒ,ｓについても,

総和記号:Σを省略する記法を用いました。)
 

粒子場:{φ_r^}_ｒ＝1,.Nが,

具体的なDirac場:ψ^＝[ψ_α^]_α＝1,2,3,4と光子場(電磁場):

Ａ^＝[Ａ^k] _ｋ＝1,2,3 であり,Lagrabgian密度:Ｌ^が. 

　Ｌ^＝ψ~^{iγ^μ∂_μ－ｅ₀γ^μＡ_μ^－ｍ₀}ψ^

 －(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^ で与えられる電磁相互作用系では,
 

　相対論的不変性のために満たされるべき,上記交換関係は, 

　i[Ｍ^μν^,ψ^(ｘ)]＝ｘ^μ∂^νψ^－ｘ^ν∂^μψ^ 

　＋(1/4)[γ^μ,γ^ν]ψ^(ｘ),　および, 

　i[Ｍ^μν^,Ａ^r^(ｘ)]＝ｘ^μ∂^νＡ^r^－ｘ^ν∂^μＡ^r^ 

　＋(ｇ^μ_ｒｇ^ν_s－ｇ^ν_ｒｇ^μ_s)Ａ^s^(ｘ)　 

　なる条件式を意味します。.
 

　そして,結局,演算子:Ｍ^μν^は,

Ｍ^μν^＝∫ｄ³ｙＭ ^0μν^(ｙ), 

Ｍ ^0μν^(ｘ)=ｘ^μＴ^0ν－ｘ^νＴ^0μ＋(i/4)ψ^＋^[γ^μ,γ^ν]_－ψ^ 

＋(ｇ^μ_ｒｇ^ν_s－ｇ^ν_ｒｇ^μ_s)A^ｒd^Ａ^s^　

と表わされるため,

　すぐ前に,成立することを確認した平行移動対称性に関する

関係式:i[Ｐ^μ^,ψ^(ｘ)]_－＝i∫ｄ³ｙ[Ｔ^0μ^(ｙ),ψ^(ｘ)]_－

＝∂^μψ^ ,および,

i[Ｐ^μ^,Ａ^(ｘ)]_－＝i∫ｄ³ｙ[Ｔ^0μ(ｙ),Ａ^ (ｘ)]_－＝∂^μＡ^ 

を用いると,チェックすべき角運動量の交換関係については,

再び詳細な具体的で冗長な計算をすること無しに,ほぼ自動的

に成立することがわかる.　と述べました。

　　しかし,実はこれには落とし穴がありました。

それは光子場(電磁場)Ａ^のゲージ条件に関わる問題です。

　特に,ここで理論定式化のためにに採用したCoulombゲージ:

∇Ａ^＝0 は,明らかにLorentz変換に対して不変ではなく,
　座標変換すると,この場が横波であるべき.という条件は満た

されなくなります。

　　この問題には,自由光子場の項でも遭遇したことを

思い出しました。というところで、前記事は終わりました。

　さて,今回,その続きですが,ψについては,先述の論議手順は

問題無しで,また,電磁場の空間ベクトル成分:Ａ^ or Ａ^r^

(ｒ＝1,2.3)についても,もしもLorentz変換を３次元の空間回転

に限定するなら,∇Ａ^＝0 は空間回転不変な性質なので問題無い

はずです。

　しかし,そもそも独立なＡ^r^(ｒ＝1,2.3)だけでなく,Ａ⁰^＝Φ^も

含めて４元ベクトルをなすことが,相対性理論と上記の交換関係

にとって必要ですから,光子場については修正を余儀なくされます。

　ここで,まず,以前,自由光子場で,この同じ問題に遭遇したとき,

どのように処理したかを見るため, 2012年11/26と12/05にアップ

した場の量子論第Ⅰ部の過去記事:

「相対論的場の量子論(正準定式化)」(34),(34-2)の必要部分

を以下に再掲載したいと思います。

　※余談ですが,これらの記事をアップしたのは,丁度,

帝京大学病院に右眼の手術のため入院した前後でした。

　2011年春,東北大地震の後に,帝京大学病院で左眼の

糖尿性網膜症(眼底出血),兼,白内障の手術を受けたのに

続いて.翌2012年春,福島会津若松にボランティアに行った直後

今度は右眼も同じ手術を受けました。

　それにも関わらず,秋になって再び,右眼の眼底出血を起こして,

11月末に同じ帝京大学病院眼科に入院することになったのでした。

　しかし,眼科は手術が終われば,すぐに退院なので,12月初めには

もう退院していました。この頃は,足ではなく眼の疾患で入院を

繰り返していましたね。
 

その後,インスリン投与のため,高血糖で眼底出血するより,低血糖

での脳からの血液の網膜の酸素欠乏で,一時的に眼が見えなくなる

方が多くなり,最近では眼の外科治療は受けていません。

　　今は,足と心臓の治療で,もっぱらお茶の水の順天堂大学付属医院

でお世話になっています。※
 

さて,光子の場:Ａ^がDirac場:ψ^と共存して,電磁相互作用する

場合,電磁場単独の自由光子場の論議との唯一の違いは,

∇Ｅ^＝－∇²Φ^＝0 ではなく,∇Ｅ^＝－∇²Φ^＝ρ^

＝ｅ₀ψ^＋^ψ^≠0 なので,Ａ⁰＾＝Φ＾＝0 とすることはできない

ことです。

  Coulombゲージ:∇Ａ^＝0 は,そのままですが. 

Φ^(ｘ,ｔ)＝{ｅ₀/(4π)}∫ｄ³ｙ

[ψ^＋^(ｙ,ｔ)ψ^(ｙ,ｔ)/|ｙ－ｘ|]であり, ∇Ａ^＝0 ,

かつ,Ａ⁰＾＝Φ＾＝0,の輻射ゲージではなくなるのが,

大きな違いです。

　　しかしながら,Ａ⁰＾＝Φ＾は相変わらず,光子場:Ａ^

とは常に交換するため,光子場の観点から見ると,単なる

ｃ-数と見なせて,やはり,,[Ｍ^μν^,Ａ⁰^(ｘ)]_－＝0 が

成立します。
　

　その他には,当然;□Ａ^μ^＝ｊ^μ＝ｅψ^γ^μψ^とか,

運動方程式が場のそれ:;□Ａ^μ^＝0 とは異なるのは,

もちろんですが,過去の記事でかなり詳細に論じられている

ので,まず,それを見て,こうした違いの部分だけを注意して

修正すれば,いいと思ったわけです。

　(※ ↓ 以下は,再掲載記事です。)

　「相対論的場の量子論(正準定式化)(34)」(2012年11/26)
 

※ まず,前回,(33)の最後の部分を補足しながら再掲します。
 

Ａ^μ^(ｘ)が４元ベクトルの変換性を持つと仮定したとき, 

相対的に運動している２つの慣性座標系間の変換の生成子: 

Ｍ^0k^＝－Ｍ^0k^は, Ｍ^0k^

＝∫ｄ³ｘ：π_r^(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^ｒ^＋Ξ^0k_rsπ_r^Ａ^s^＋ｘ^kＬ^： 

＝∫ｄ³ｘ：π_r^(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^ｒ^＋(δ_ｒ⁰δ_s^k－δ_r^kδ_s⁰)π_r^Ａ^s

^＋ｘ^kＬ^：で与えられます。
 

※※(注34-1):場のLorentz変換の生成子:Ｍ^μν^は, 

Ｍ^μν^＝∫ｄ³ｘＭ ^0μν^　； 

Ｍ ^0μν^＝∑_r{π_r^(ｘ^μ∂^ν－ｘ^ν∂^μ)φ_r^} 

－(ｘ^μη^0ν-ｘ^νη^0μ)Ｌ^＋∑_r,s Ξ^μν_rsπ_r^φ_s^ なる表式で

与えられます。

　このφ_r^(x)が電磁場Ａ^μ^(ｘ)で,これが４元ベクトルとして

変換する場合には,上式でφ_r^をＡ^λ^に変えると, 

Ｍ ^0μν^＝π_λ^(ｘ^μ∂^ν－ｘ^ν∂^μ)Ａ^λ^＋Ξ^μν_λρπ_λ^Ａ^ρ^ 

－(ｘ^μη^0ν-ｘ^νη^0μ)Ｌ^　　と書けます。 

(※ただし,η^μνは,空間が平坦なMinkowski空間の場合の

Riemann計量テンソル成分:ｇ^μνを意味します。)

　この場合,Ξ^μν_λσ＝δ_λ^μδ_σ^ν－δ_λ^νδ_σ^μ なので, 

Ｍ^μν^＝∫ｄ³ｘ[π_λ^(ｘ^μ∂^ν－ｘ^ν∂^μ)Ａ^λ^＋Ξ^μν_λρπ_λ^Ａ^ρ^] 

－∫ｄ³ｘ{(ｘ^μη^0ν－ｘ^νη^0μ)Ｌ^}　となります。

　これに,今の輻射ゲージ:∇Ａ＝0,Ａ₀^＝π₀^＝Ａ₀^≡0  

も成立すると仮定して正規順序を取れば,上記表現: 

Ｍ^0k^

＝∫ｄ³ｘ：π_r^(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^ｒ^＋Ξ^0k_rsπ_r^Ａ^s^＋ｘ^kＬ^： 

＝∫ｄ³ｘ：π_r^(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^ｒ^＋(δ_ｒ⁰δ_s^k－δ_r^kδ_s⁰)π_r^Ａ^s^

＋ｘ^kＬ^：　が確かに得られます。

　※添字の上げ下げが気になるかもしれませんが,相対論では時空

座標をｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)＝(ｔ,ｘ)としたとき,共変(covariant)

ベクトルとは,座標系の変換に対して,その成分が時空座標による

微分係数:∂_μ＝(∂₀,∂₁,∂₂,∂₃,)≡(∂/∂ｘ⁰,∂/∂ｘ¹,∂/∂ｘ², ∂/∂ｘ⁰,)＝(∂/∂ｔ,∇) の成分と同じように変換されるベクトル

のことです。

　これに対して元の時空座標と同じ変換性のベクトルを反変ベクトル 

と呼びます。

　　反変ベクトルは上添字,共変ベクトルは下添字で表わし,

ギリシャ文字μ,ν,λ、・・は4元ベクトル添字の0,1,2,3,；

ラテン文字ｉｊｋｌｍ,；；ｐ,ｑ,ｒ,ｓは,空間ベクトル添字

の1,2,3を表わすのが慣例です。

　そこで,π_λ^≡∂Ｌ^/∂(∂Ａ^λ^/∂ｔ)のように,スカラーを 

反変ベクトルで微分したものは共変ベクトルとなって,添字

が上下逆転します。

　今の場合は,空間成分は,単にπ_r^＝－π^r^(ｒ＝1,2,3)

なので,Ｍ^0k^

＝－∫ｄ³ｘ：π^r^(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^ｒ^＋Ξ^0k_rsπ_r^Ａ^s^＋ｘ^kＬ^： 

＝－∫ｄ³ｘ：π^r^(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^ｒ^

＋(δ_ｒ⁰δ_s^k－δ_r^kδ_s⁰)π^r^Ａ^s^－ｘ^kＬ^：と書けます。

この表現なら角運動量として違和感はないでしょう。

　さらに余談を続けると.同じ量;Ａの反変ベクトルとしての

成分:Ａ^μと共変ベクトルとしての成分Ａ_μは,Riemannの

metric tensor(計量テンソル):ｇ_μνによって,

Ａ_μ＝ｇ_μνＡ^νなる関係式で結び付けられています。

　座標変換の不変量＝スカラーを与えるベクトルの内積は見掛け

の上で反変ベクトルと共変ベクトルの積の形:(Ａ,Ｂ)≡Ａ^μＢ_μ

＝ｇ_μνＡ^μＢ^μで定義されます。

　そして,特に行列(ｇ_μν)の逆行列:(ｇ_μν)^-1の(μ,ν)成分を

ｇ^μνと書きます。すると,Ａ^μ＝ｇ^μνＡ_νで(Ａ,Ｂ)＝Ａ^μＢ_μ

＝ｇ^μνＡ_μＢ_νとも書けます。

　しかし,特殊相対論の慣性系の間の座標変換であるLorentz変換

を問題とするケースでは,時空は曲がったRiemann空間ではなく,

計量は平坦なMinkowski-metricであってｇ_μν＝η_μνなので,

反変,共変の区別や添字の上げ下げは煩雑なだけで,添字の上下

も符号が変わるだけで,さほど重要な意味はありません。

　事実,Landauや西島などは,謂わゆるPauliのmetric:つまり

反変,共変を区別せず,時空座標はｘ_μ＝(ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄)

＝(ｘ,iｔ)であるとして時間変数のみを純虚数とし,一般の

４元ベクトルでも第４変数は純虚数として,

　　内積も普通に(Ａ,Ｂ)≡Ａ_μＢ_μと定義して,Euclid空間

のような扱いをしています。

　　しかし,基礎物理学や光速ｃが効くようなスケール,または

時空の性質がオ－ダー的に影響し得る分野の多くのテキスト

では,理論が,いずれは特殊相対論から一般相対論の定式化へ

と発展するであろうという認識から共変と反変を区別し,添字

の上げ下げが用いられているようです。　

　(注34-1終わり※※)

　さて,自由電磁場のLagrangian密度の陽な形は. 

Ｌ^＝－(1/4)：Ｆ_μν^Ｆ^μν^：＝(1/2)：Ｅ＾²－Ｂ^²：

ですが,

　π^＝Ｅ^＝－∂Ａ^/∂ｔ＝－Ａ^d^.or π_r^＝－π^r^＝Ａ^rd^,

Ｂ^＝∇×Ａ^を代入すれば, ^＝(1/2){Ａ^d^²＋(∇×Ａ^^)²}

＝(1/2){π^²＋(∇×Ａ^^)²}　と書けます。

　したがって,Lorentz回転の生成子:Ｍ^0k^＝－Ｍ^0k^は 

Ｍ^0k^＝∫ｄ³ｘ：ｘ⁰Ａ^{r d}^∂^kＡ^r^－ｘ^kＡ^d^²

＋(1/2)ｘ^k{Ａ^d^²－(∇×Ａ^)²}：

＝∫ｄ³ｘ：ｘ⁰Ａ^{r d}^∂^kＡ^r^－(1/2)ｘ^k{Ａ^d^²＋(∇×Ａ^^)²} 

＝－∫ｄ³ｘ：ｘ⁰π^r ^∂^kＡ^r^＋(1/2)ｘ^k{π^²＋(∇×Ａ^)²}： 

とも表現されます。

　しかし,現実には,Lorentz変換の下で,Ａ^μ^は単純に４元ベクトル 

としては変換せず,追加のゲージ変換をも受けるとして,

新座標系でも輻射ゲージが保持されるように補償されなければ,

新しく変換された座標系で同じ電磁場の量子論を展開すること

ができません。

　実際,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)は輻射ゲージでは恒等的にゼロなので,

明らかに恒等的に,i[Ｍ^0k^,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)]＝0 ですが,上記の

４元ベクトルを仮定した定義から,

　Ｍ^μν^が生成子なら,

i[Ｍ^μν^,Ａ^λ^(ｘ)]＝(ｘ^μ∂^ν－ｘ^ν∂^μ)Ａ^λ^(ｘ)

＋Ξ^ij _λρＡ_ρ^(ｘ)となるべきですから, 

特にi[Ｍ^0k^,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)]＝(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ⁰^(ｘ,ｔ) 

＋(δ₀⁰δ_s^k－δ₀^kδ_s⁰)Ａ^s^(ｘ,ｔ)＝Ａ^k^(ｘ,ｔ)

となるべきです。

　しかしながら,i[Ｍ^0k^,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)]＝0 ,かつ, 

i[Ｍ^0k^,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)＝ Ａ^k^(ｘ,ｔ) ≠0　となることはない

ので,これは,既に矛盾です。

　前回(33)の最後はここまででした。※
 

既に上では,前回の補足のため,(注)を１つ入れましたが,今日

の記事は,さらに上記の最後の式を裏付けるための次の(注)

から入ります。

　※※(注34-2):まず,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)＝0ですから,明らかに 

　i[Ｍ^0k^,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)]＝0　というのは問題ないです。
 

一方,場:φ_r^(ｘ)に対するLorentz変換の生成子:Ｍ^μν^が

満たすべき式は,

i[Ｍ^μν^,φ_r^(ｘ)]_－＝ｘ^μ(∂φ_r^/∂ｘ_ν)

－ｘ^ν(∂φ_r^/∂ｘ_μ)＋Ξ^μν _rsφ_s^(ｘ)　です。

　　よって,仮に,Ａ^μ^(ｘ,ｔ)が４元ベクトルとして変換される

なら,それから構成される生成子 Ｍ^μν^のBoost部分 Ｍ^0ｋ^

とＡ⁰^(ｘ,ｔ)の交換関係は,

i[Ｍ^0ｋ^,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)]＝(ｘ⁰∂^k－ｘ^ν∂⁰)Ａ⁰^(ｘ,ｔ)

＋(δ₀⁰δ_r^k－δ₀^kδ_r⁰)Ａ^r^(ｘ,ｔ)

を満たすはずです。

　そして,(δ₀⁰δ_r^k－δ₀^kδ_r⁰)(ｘ,ｔ)Ａ^s^(ｘ,ｔ)＝Ａ^k^(ｘ,ｔ)

ですから,上記の満たすべき交換関係式の右辺に,

Ａ⁰^(ｘ,ｔ)＝0 を代入すると,これは,

i[Ｍ^0ｋ,Ａ⁰^(ｘ,ｔ)]＝Ａ^k^(ｘ,ｔ)　となります。

　(注34-2終わり※※)

　また,同じく,Ｍ^0k^＝∫ｄ³ｘ：ｘ⁰Ａ^{r d}^∂^kＡ^r^－ｘ^kＡ^d^²

＋(1/2)ｘ^k{Ａ^d^²－(∇×Ａ^)²}： 

＝－∫ｄ³ｘ：ｘ⁰π^r ^∂^kＡ^r^＋(1/2)ｘ^k{π^²＋(∇×Ａ^)²}： 

を実際に,Ａ^j^(ｘ,ｔ)との交換関係:i[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ,ｔ)]

に代入すれば,

[π^r ^(ｙ,ｔ),Ａ^j^(ｘ,ｔ)]＝iδ_tr^rj(ｙ－ｘ)により, 

i[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ,ｔ)]＝(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^j^(ｘ,ｔ) 

＋∫ｄ^３ｙ∫ｄ^３ｑ(2π)^-3[{Ａ ^d^(ｙ,ｔ)ｑｑ^r/ｑ²}

×ｙ^kexp{iｑ(ｙ－ｘ)}]　となります。
 

※※(注34-3):何故なら, 

まず,交換関係:i[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ,ｔ)]に,

Ｍ^0k^＝∫ｄ³ｙ：ｙ⁰Ａ^{r d}^(ｙ,ｔ)∂_y^kＡ^r^(ｙ,ｔ) 

－(1/2)ｘ^k{Ａ^d^²(ｙ,ｔ)＋(∇_y×Ａ^(ｙ,ｔ))²} 

＝－∫ｄ³ｙ：ｙ⁰π^r ^(ｙ,ｔ)∂_y^kＡ^r^(ｙ,ｔ) 

＋(1/2)ｙ^k[π^²(ｙ,ｔ)＋{∇_y×Ａ^(ｙ,ｔ)}²] 

を代入します。
 

これについて,唯一ゼロでない修正された正準交換関係 

[π^r ^(ｙ,ｔ),Ａ^j^(ｘ,ｔ)]＝iδ_tr^rj(ｙ－ｘ)を考慮します。
 

ただし,δ_tr^rj(ｙ－ｘ)≡∫ｄ³ｑ^(2π)^-3 

{δ^rj－(ｑ^rｑ^j/ｑ²)} exp{iｑ(ｙ－ｘ)} 

＝δ³(ｙ－ｘ)－∫ｄ³ｑ^(2π)^-3(ｑ^rｑ^j/ｑ²) exp{iｑ(ｙ－ｘ)} 

です。

　故に,同時刻:ｙ⁰＝ｘ⁰＝ｔを想定して, 

i[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ,ｔ)] 

＝∫ｄ³ｙ[ｙ⁰δ_tr^rj(ｙ－ｘ)∂_y^kＡ^r^(ｙ,ｔ)

＋ｙ^kδ_tr^rj(ｙ－ｘ)π^r^(ｙ,ｔ)

＝ｘ⁰∂^kＡ^j^(ｘ,ｔ)＋ｘ^kπ^j^(ｘ,ｔ)

－ｔ∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ^(2π)^-3{∂_y^kＡ^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}}

exp{iｑ(ｙ－ｘ)}

－∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ^(2π)^-3{ｙ^kπ^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}

exp{iｑ(ｙ－ｘ)}　となります。

ところが,前に見たように,Ａ^(ｙ,ｔ)が∇_yＡ^(ｙ,ｔ)＝0

を満たすなら

∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3[∂_y,kＡ^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j exp{iｑ(ｙ－ｘ)}/ｑ²]

＝0　ですから,π^＝∂⁰Ａ^＝－∂Ａ^/∂ｔ＝Ａ^d^を考慮すると,
 

i[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ,ｔ)]＝(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^j^(ｘ,ｔ) 

 　＋∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ^(2π)^-3{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}

　exp{iｑ(ｙ－ｘ)}　が得られます。　

　(注34-3終わり※※)

　さて,「相対論的量子論(正準量子化)(9)」で見たように, 

座標変換:ｘ~＝ａｘ＋ｂ or ｘ~^μ＝ａ^μ_νｘ^ν＋ｂ^μ；

に対して,古典的には,場が,φ~_r(ｘ~)＝Ｓ_rs(ａ)φ_s(ｘ)

と変換される場合,

　量子論では,ユニタリ演算子:Ｕ^(ａ,ｂ)が存在して, 

Ｕ^(ａ,ｂ)φ_r^(ｘ)Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝Ｓ^-1_rs(ａ)φ_s^(ｘ~)

となります。

　無限小Lorents変換:ｘ~_μ＝ｘ_μ＋ε_μνｘ^ν; ε_νμ＝－ε_μν

では,Ｕ^(1＋ε,0)を,Ｕ^(ε)＝Ｕ^(ε_μν)

＝1－(i/2)ε_μν(Ｍ^μν^ (Ｍ^μν^はHermite演算子)と書き,

Ｍ^μν^をLie代数とか,変換の生成子(generator)と呼びます。

　すると,φ_r^(ｘ)がベクトル:Ａ^λ^(ｘ)のときには, 

Ａ^μ^(ｘ~)＝Ａ^μ^(ｘ)＋ε^μ_νＡ^ν^(ｘ),なので, 

Ｓ^-1_rs(1＋ε)φ_s^(ｘ~)は,Ａ^μ^(ｘ~)－ε^μ_νＡ^ν^(ｘ), 

or Ａ^μ^(ｘ~)－ε^μνＡ_ν^(ｘ)　となります。

　故に, φ_r^(ｘ) → Ａ^λ^(ｘ),

Ｕ^(1＋ε,0) → Ｕ^(ε_μν) ＝1－(i/2)ε_μνＭ^μν^について,

Ｕ^(1＋ε,0)φ_r^(ｘ)Ｕ^(1＋ε,0)^-1＝Ｓ^-1_rs(1＋ε)φ_s^(ｘ~)

は,Ｕ^(ε)Ａ^μ^(ｘ)Ｕ^^-1(ε)

＝Ａ^μ^(ｘ)－(i/2)ε_μν[Ｍ^μν^,Ａ^λ^(ｘ)]

＝Ａ^μ^(ｘ~)－ε^μρＡ_ρ^(ｘ~)　　を意味します。

　特に,ε_0ｋ＝－ε_ｋ0のみゼロでない回転を伴わな慣性系間

のBoost変換でのＡ⁰^(ｘ)の変換では,

Ｕ^(ε)Ａ⁰^(ｘ)Ｕ^^-1(ε) 

＝Ａ⁰^(ｘ)－(i/2)ε_0k[Ｍ^0k^,Ａ⁰^(ｘ)]

－(i/2)ε_0k[Ｍ^k0^,Ａ⁰^(ｘ)]

＝Ａ⁰^(ｘ)－iε_0k[Ｍ^0k^,Ａ⁰^(ｘ)]＝

Ａ⁰^(ｘ~)－ε⁰_kＡ^k^(ｘ~)　のはずです。

　しかし,Ａ⁰^(ｘ)＝0 の輻射ゲ＾ジを変換後も保持する

には,Ｕ^(ε)Ａ⁰^(ｘ~)Ｕ^^-1(ε)＝Ａ⁰^(ｘ)＝0であるべき

なので,実際の変換性は,

Ｕ^(ε)Ａ⁰^(ｘ~)Ｕ^^-1(ε)＝Ａ⁰^(ｘ) 

＝{Ａ⁰^(ｘ~)－ε⁰_kＡ^k^(ｘ~)}＋ε⁰_kＡ^k^(ｘ~)

となります。,

　また,同じBoost変換に対してＡ^j^(ｘ)の変換は 

Ｕ^(ε)Ａ^j^(ｘ~)Ｕ^^-1(ε) 

＝Ａ^j^(ｘ)－(i/2)ε_0k[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ)]

－(i/2)ε_k0[Ｍ^0k0^,Ａ^j^(ｘ)]

＝Ａ^j^(ｘ)－iε_0k[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ)]

＝Ａ^j^(ｘ~)－ε^j₀Ａ⁰^(ｘ~)＝Ａ^j^(ｘ~)

のはずです。

　しかし,実際は,

i[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ,ｔ)]＝－i[Ｍ^k0^,Ａ^j^(ｘ,ｔ)] 

＝(ｘ⁰∂^k－ｘ^k∂⁰)Ａ^j^(ｘ,ｔ) 

＋∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ^(2π)^-3{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}

exp{iｑ(ｙ－ｘ)}　なので,

　Ｕ^(ε)Ａ^j^(ｘ~)Ｕ^^-1(ε)＝Ａ^j^(ｘ)－iε_0k[Ｍ^0k^,Ａ^j^(ｘ)] 

＝Ａ^j^(ｘ)＋ε_0k(ｘ⁰∂_k－ｘ^k∂₀)Ａ^j^(ｘ,ｔ) 

－ε_0k∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ^(2π)^-3{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}

exp{iｑ(ｙ－ｘ)}　

＝Ａ^j^(ｘ~) －ε_0k∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ^(2π)^-3

{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)}　です。

　ここで, 1/(4π|ｙ－ｘ|)

＝∫ｄ³ｑ^(2π)^-3(1/ｑ²)exp{iｑ(ｙ－ｘ)}　なる公式から,

ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)/(4π|ｙ－ｘ|) 

＝∫ｄ³ｑ(2π)^-3{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)}

です。

　しかし,Coulombゲージ条件:∇Ａ^＝0 から, 

0＝∫ｄ³ｙ∇_y{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)/(4π|ｙ－ｘ|)} 

＝∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3{iｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑ/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)} 

＋ｅjδ_j^k∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3{Ａ^d^(ｙ,ｔ)/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)} 

＋∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ{∇_yＡ^d^(ｙ,ｔ)/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)} なので,
 

i∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑ/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)} 

＋∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3{Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ)/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)}

＝0 であり,
 

故に,∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3

{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)}

＝－i(∂/∂ｘ^j)∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3

{ｙ^kＡ^d^(ｙ,ｔ)ｑｑ^j/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)} 

＝(∂/∂ｘ^j)∫ｄ³ｙ∫ｄ³ｑ(2π)^-3

{Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ)/ｑ²}exp{iｑ(ｙ－ｘ)} 

＝－(∂/∂ｘ_j)∫ｄ³ｙ{Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ)/(4π|ｙ－ｘ|)}

です。

よって,Ｕ^(ε)Ａ^j^(ｘ~)Ｕ^^-1(ε) 

＝Ａ^j^(ｘ~)－ε^j₀Ａ⁰^(ｘ~)} 

－ε^k₀∂^j[∫ｄ³ｙ{Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ)/(4π|ｙ－ｘ|)}] 

が得られます。
 

一方,Gaussの積分定理から, 

Ａ^k^(ｘ,ｔ)＝－∫ｄ³ｙ{∇_y²Ａ^k^(ｙ,ｔ) }/(4π|ｙ－ｘ|))

　であり,□Ａ^k^＝(∇²－∂²/∂ｔ²)Ａ^k^＝0 より,

 ∇²Ａ^k^＝∂²Ａ^k^/∂ｔ²なので,
 

Ａ^k^(ｘ,ｔ)

＝－(∂/∂ｔ)∫ｄ³ｙ{∇_y²Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ) }/(4π|ｙ－ｘ|)) 

です。

　よって,Ｕ^(ε)Ａ⁰^(ｘ~)Ｕ^^-1(ε) 

＝{Ａ⁰^(ｘ~)－ε⁰_kＡ^k^(ｘ~)}＋ε^0kＡ_k^(ｘ~) 

＝{Ａ⁰^(ｘ~)－ε^0kＡ_k^(ｘ~)} 

－ε⁰_k∂⁰[∫ｄ³ｙ{∇_y²Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ) }/(4π|ｙ－ｘ|)]]  

を得ます。

　　以上から,

Λ^(ｘ,ε)＝∫ｄ³ｙ{∇_y²Ａ^{k d}^(ｙ,ｔ) }/(4π|ｙ－ｘ|)) 

とおけば,Ｕ^(ε)Ａ^λ^(ｘ)Ｕ^^-1(ε)

＝Ａ^λ^(ｘ)－(i/2)ε_μν[Ｍ^μν^,Ａ^λ^(ｘ,ｔ)] 

＝Ａ^λ^(ｘ~)－ε^λ_ρＡ^ρ^(ｘ)－ε^λ_ρ∂^ρΛ^ (ｘ,ε)

が得られます。

　ただし,ε^λ_ρが空間回転:εⁱ_jのみの場合,Λ(ｘ,ε)はゼロ.

または定数であり,∂^ρΛ^ (ｘ,ε)＝0 です。

　したがって,このΛ^(ｘ,ε)が,この変換に伴うゲージ変換の

ゲージ関数を与えることがわかります。

　入院のための準備もあるので,ここで終わります。
 

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell  

Relativistic　Quantum Fields” (McGrawHill)

　2012年11月26日アップの記事の再掲載はここで終わり,

　ここからは,次の記事である, 

「相対論的場の量子論(正準量子化)(34－2)(34の補遺)」 

に続くのですが,

長くなるので,ここで一旦切って2つ に分けることにします

(つづく)

場の量子論(第Ⅱ部)(6)

　場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

Lorentz不変性(Lorentz Invariance)の論議に向かいます。
 

すぐ前の場の量子論第Ⅰ部の関連部分をまとめた記事: 

「場の量子論第Ⅱ部(4)」によれば,
 

Ｎ個の独立な古典的場:φ_r(ｘ)(ｒ＝1,2,Ｎ)がある系のケース

では,座標系の無限小変換;ｘ^μ → ｘ~^μに対して,これらの場が, 

φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ~)と変換されるとすれば,

系のLagrangian密度:Ｌ[φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)]も,

Ｌ~[φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~)]に変換されるのですが,
 

もしも,このｘ → ｘ~,φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ~)に対して,

理論が不変で,場の従う基本方程式(＝Euler-Lagrabge方程式)

の形が不変という対称性がある場合,Lagrangian密度の関数形

も不変(Ｌ~＝Ｌ)と仮定しtて, 

Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~)]＝Ｌ[φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)]

とします。

　(※ このLagrangian密度不変は,必要条件ではなく,単に

十分条件に過ぎませんが,Noetherの処方は,こう仮定して

保存量を導きます。)

このとき,

δＬ＝Ｌ[φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~)]－Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)) 

とおけば,

δＬ＝Ｌ[φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~)]－Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~)] 

でもあります。
 

よって,,δＬは,同じｘ~における関数の差(変分):

δφ_r＝φ_r(ｘ~)－φ~_r(ｘ~)　に対する,Ｌの変分です。
 

平行移動;ｘ^μ → ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μのときは,

φ~_r(ｘ~)＝φ_r(ｘ)なので,

δφ_r＝φ_r(ｘ~)－φ_r(ｘ)＝ε^μ(∂_μφ_r)　でした。
 

一方,無限小LorentzZ変換:ｘ^μ → ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν; 

ε_νμ＝－ε_μνに対して,Lagrangian密度が不変のときは, 

ｘ → ｘ~,に対してφ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ~)＝Ｓ_rsφ_s(ｘ)

と変換されるとすると,逆に,φ_r(ｘ)＝Ｓ^-1_rsφ~_s(ｘ~)

です。
 

そこで, Lagrangian密度のLoentz不変性の要求: 

Ｌ[φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)]＝Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~)] 

は,Ｌ[Ｓ^-1_rsφ~_s(ｘ~),∂~_μＳ^-1_rsφ~_s(ｘ~)]

＝Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)]　を意味します。
 

この場合,δφ_r＝φ_r(ｘ~)－φ~_r(ｘ~)

＝φ_r(ｘ~)－Ｓ_rsφ_s(ｘ)＝－{φ~_r(ｘ)－φ_r(ｘ)}

＝－{φ~_r(ｘ)－Ｓ^-1_rsφ~_s(ｘ)}　ですが,
 

無限小変換なので,Ｓ_rs＝Ｓ_rs(ε)と書くと, 

Ｓ_rs(ε)＝δ_rs＋(1/2)Ξ^μν _rsε_μνと表現され,  

逆に,Ｓ^-1_rs(ε)＝δ_rs－(1/2)Ξ^μν _rsε_μν

となります。
 

したがって,

δφ_r＝φ_r(ｘ~)－(δ_rs＋(1/2)Ξ^μν _rsε_μν)φ_s(ｘ) 

＝φ_r(ｘ~)－φ_r(ｘ)－(1/2)Ξ^μν _rsε_μνφ_s(ｘ)　であり,

 
結局,δφ_r＝ε^μνｘ_ν(∂φ_r/∂ｘ^μ)

－(1/2)Ξ^μν _rsε_μνφ_s(ｘ)　です。
 

このLorentz不変性からNoetherの処方により,連続の方程式: 

∂Ｍ^μνλ/∂ｘ^μ＝0 を満たす,角運動量密度テンソル: 

Ｍ^μνλ＝{(∂Ｌ/∂_μφ_r)(ｘ^ν∂^λφ_r－ｘ^λ∂^νφ_r＋Ξ^νλ_rsφ_s)} 

－(ｘ^νｇ^μλ-ｘ^λｇ^μν)Ｌ が導かれます。
 

これにより Ｍ^νλ＝∫Ｍ^0νλ(ｘ)ｄ³ｘ と定義すると, 

このＭ^νλは,ｄＭ^νλ/ｄｔ＝0 を満たす運動の常数となり, 

これは,古典的な角運動量と同定されます。
 

これを,対応原理に基づき量子化された演算子として 

演算子記号:^を付加すると,Ｍ^νλ^＝∫Ｍ ^0νλ^(ｘ)ｄ³ｘ  

であり,Ｍ^μνλ^

＝{(∂Ｌ^/∂_μφ_r^)(ｘ^ν∂^λφ_r^－ｘ^λ∂^νφ_r^＋Ξ^νλ_rsφ_s^)} 

－(ｘ^νｇ^μλ-ｘ^λｇ^μν)Ｌ ^ 　です。
 

※ ただし,添字:μ,νだけでなくｒ,ｓについても総和記号: 

Σを省略しました。
 

※(注6-1);ここで,「場の量子論第Ⅱ部)(4)」にまとめた

2012年の場の量子論第Ⅰ部の過去記事:

「相対論的場の量子論(正準定式化)」(6),(7),(8) 

を参照するだけでは,以下の論議には足りないので,

　それらに続く,2012年3/23の記事: 

「相対論的場の量子論(正準定式化)(9)」をも以下

に再掲載します。
 

(※※ ↓ 以下,再掲載記事です。)
 

前記事では,Poicare'群に属する座標変換:

ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν＋ｂ^μによって関係付けられる別のLorentz

座標系Ｓ(の観測者にとっては,
 

あるユニタリ(unitary)演算子;Ｕ^(ａ,ｂ)が存在して, 

２つのLorentz系で対応する状態ベクトルの間に. 

|Φ'_α＞＝Ｕ^(ａ,ｂ)|Φ_α＞なるユニタリ変換が

なされることで望ましい変換が得られると仮定しました。
 

これを期待値について古典論との対応原理を示す式: 

＜Φ'_α|φ^_r(ｘ')|Φ'_β＞＝Ｓ_rs(ａ)＜Φ_α|φ^_s(ｘ)|Φ_β＞ 

に代入すると, 

＜Φ'_α|Ｓ^-1_rs(ａ)φ^_s(ｘ')|Φ'_β＞＝＜Φ_α|Ｕφ^_r(ｘ) Ｕ^-1|Φ_β＞ 

です、
 

これから,Ｕ^(ａ,ｂ)φ^_r(ｘ) Ｕ^(ａ,ｂ)^-1

＝Ｓ^-1_rs(ａ)φ^_s(ｘ') が得られます。
 

前回は,この後.特にａ＝1の平行移動:ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ｂ^μ

という,回転もBoostも全く無い,Ｓ_rs(ａ)＝Ｓ_rs(1)＝δ_rsの

場合を考えて,対称性に伴なう保存量(演算子)として.

エネルギー・運動量４元ベクトル:Ｐ^μ^＝(Ｈ^,Ｐ^)を得ました。
 

今回は,ａ＝1ではない一般のLentz回転:ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν

を考えます。
 

無限小平行移動:ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ε^μに対する, 

Ｕ^(1,ε)＝exp(iε_μＰ^μ^)＝1＋iε_μＰ^μ^のアナロジー

で,無限小Lorentz変換:ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν(ε_νμｘ＝－ε_μν)

に対応するユニタリ演算子を,Hermite演算子:Ｍ^μν^を生成子

(Lie代数)とする形で,Ｕ^(1＋ε,0)＝1－(i/2)ε_μνＭ^μν^と

表わします。
 

(※※ ↑ 平行移動の変換では,Ｕ^(1,ε)＝exp(iε_μＰ^μ^)

＝1＋iε_μＰ^μ^としたのに,上の定義では,

Ｕ^ (1＋ε,0)≡1－(i/2)ε_μνＭ^μν^と,両者で生成子に

ついての符号や係数が異なるのが気になります。
 

そこで,以下に,この理由を述べておきます。
 

すなわち,上の定義では,無限小平行移動のユニタリ変換

は,Ｕ^(1,ε)＝exp(iε_μＰ^μ^)＝1＋iε_μＰ^μ^

＝1＋iε⁰Ｈ^－iεＰ^＝exp(iε⁰Ｈ^)×exp(－iεＰ^)

と書き下すことができ,
 

　一方,原点を固定した無限小Lorentz変換に対する

　ユニタリ変換は,Ｕ^(1＋ε,0)＝exp(－iε_μνＭ ^μν^/2)

 ＝1－(i/2)ε_μνＭ ^μν^と書けます。
 

　　これを見ると,後者はｚ軸(3軸)のまわりの無限小回転角:

 δφの空間回転の場合なら.

 Ｕ^(1＋ε,0)１－iδφＭ ³^＝1－(i/2)(ε₁₂Ｍ ¹²^＋ε₂₁Ｍ ²¹^) 

となります。(※※ 何故なら,この回転では,ゼロでない無限小

パラメータは,ε₁₂＝－ε₂₁＝δφ のみであり,Ｍ ¹²^＝－Ｍ ²¹^

＝Ｍ ³^であるからです。※)
 

　　それ故,平行移動:1＋iε⁰Ｈ^などの時間軸という特別

　な軸を除いた空間部分だけで両者の表現を比較し.

　(1/2)(Ｍ ¹²^－Ｍ ²¹^)をＭ ³^と書けば,実は両者の符号

　も係数も同じである,ことがわかり,違和感は解消される

　と思います。※※)
 

さて,上述のように,Ｍ^μν^は,ユニタリ演算子:

Ｕ^＝Ｕ^(1＋ε,0)を,exp{－(i/2)ε_μνＭ^μν^}

＝1－(i/2)ε_μνＭ^μν^と表現する独立な６個のHermite

演算子ですが,

　　この形式と,場の行列要素不変の条件 

Ｕ^φ^_r(ｘ)Ｕ^^-1＝Ｓ^-1_rs(ε)φ^_s(ｘ’);  

ただし,Ｓ_rs(ε)＝δ_rs＋(1/2)Ξ^μν _rsε_μν)
　により,
 

無限小変換での場の演算子の変換は, 

{1－(i/2)ε_μνＭ^μν^}φ^_r(ｘ) {1＋(i/2)ε_μνＭ^μν^} 

＝Ｓ^-1_rs(ε)φ^_s(ｘ＋εｘ)　を満たすべきであるため,
 

i[Ｍ^μν^,φ^_r(ｘ)]_－

＝ｘ^μ(∂φ^_r/∂ｘ_ν)－ｘ^ν(∂φ^_r/∂ｘ_μ)

＋Ξ^μν _rsε_μνφ^_s(ｘ)　なる交換関係を得ます。
 

※※(注9-1): 何故なら,まず, 

{1－(i/2)ε_μνＭ^μν^}φ^_r(ｘ){1＋(i/2)ε_μνＭ^μν^} 

＝Iδ_rs－(1/2)Ξ^μν _rsε_μν)}φ^_s(ｘ＋εｘ)　から,
 

－iε_μν[Ｍ^μν,φ^_r(ｘ)]

＝2φ^_r(ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν)－2φ^_r(ｘ)－Ξ^μν _rsε_μνφ^_s(ｘ)

＝2(∂φ^_r/∂ｘ_μ)ε_μνｘ^ν－Ξ^μν _rsε_μνφ^_s(ｘ) 

ですが,無限小Lorentz変換でなので,ε_νμ＝－ε_μνです。
 

そして,最右辺の最後の項は,2(∂φ^_r/∂ｘ_μ)ε_μνｘ^ν 

＝(∂φ^_r/∂ｘ_μ)ε_μνｘ^ν－(∂φ^_r/∂ｘ_ν)ε_νμｘ^μ 

＝－ε_μν{ｘ^μ(∂φ^_r/∂ｘ_ν)－ｘ^ν(∂φ^_r/∂ｘ_μ)}　 

と書けます。
 

故に, iε_μν[Ｍ^μν,φ^_r(ｘ)]

＝ε_μν{ｘ^μ(∂φ^_r/∂ｘ_ν)－ｘ^ν(∂φ^_r/∂ｘ_μ) 

＋Ξ^μν _rsφ^_s(ｘ)}　となります。
 

ところが,ε_μνは任意の無限小の反対称テンソルですから, 

結局,i[Ｍ^μν^,φ^_r(ｘ)]＝ｘ^μ(∂φ^_r/∂ｘ_ν)－ｘ^ν(∂φ^_r/∂ｘ_μ)

＋Ξ^μν _rsε_μνφ^_s(ｘ)　が得られるわけです。
 

(※※ ↑　元ネタのノ－トには,当時,初学者の私らしくこれの

証明も細かく書いてありますが,冗長な割に直線的で簡単なので

ここではブログの意図には反しますが,省略します。)

(注9-1終わり※※)
 

そして,前の平行移動と運動量の対応のケースと同様,

Lorentz変換を起こす生成子(generator)であるＭ^μν^を,

古典的な角運動量テンソル:Ｍ^μν＝∫ｄ³ｘＭ^0μν

＝∫ｄ³ｘ(ｘ^μＴ^0ν-ｘ^νＴ^0μ＋∑_rπ_rΞ^μν_rsφ_s)

に同一視します。
 

すなわち,Ｍ^μν^を角運動量テンソル演算子として,

Ｍ^μν^ ～ Ｍ^^μνなる同一視関係を考えると,古典的な

非相対論量子力学での対応原理により,

i[Ｍ^μν^,φ^_r(ｘ)]

＝ｘ^μ(∂φ^_r/∂ｘ_ν)－ｘ^ν(∂φ^_r/∂ｘ_μ)

＋Ξ^μν _rsφ^_s(ｘ) となることがわかります。
 

 そして,これの３次元空間成分Ｍ^ij^に対する関係式

を見ると,よく知られた３次元回転:を生じさせる

角運動量演算子:Ｌ^＝[Ｌ¹^,Ｌ²^,Ｌ³^]を

Ｌ^＝[Ｍ²³^,Ｍ³¹^,Ｍ¹²^]と書いたときに満たされる

交換関係に一致することがわかります。
 

※※(注9-2):ψ(ｘ)を非相対論的量子力学の定常状態の

波動関数とするとき,系の空間的な回転に対して理論が

不変な場合には,

　　座標軸の回転に対するｘの変換を,ｘ→ｘ'＝Ｒｘと

表わして,それに対する波動関数の変換を,ψ →ψ’＝Ｐ_R^ψ

とすると,ψ'(ｘ')＝ψ'(Ｒｘ)＝ψ(ｘ)　により,

ψ'(ｘ)＝ψ(Ｒ^-1ｘ) or　Ｐ_R^ψ(ｘ)＝ψ(Ｒ^-1ｘ)　です。
 

この回転Ｒを極座標でｘ＝(ｒ,θ,φ),ｘ'＝ (ｒ,θ,φ＋ω)

とした場合:(これは,座標系が,３軸の周りに－ωの回転です。

そこで,Ｐ_R^ψ(ｒ,θ,φ)＝ψ(Ｒ^-1ｘ)＝ψ(ｒ,θ,φ－ω)

です。
 

ところが,ψ(ｒ,θ,φ－ω)

＝∑_ν=0^∞{(－ω)^ν/ν!}(∂^νψ/∂^νφ) 

　＝exp{－ω(∂/∂^νφ)}ψ(ｒ,θ,φ)と表現することが

できますから,Ｐ_R^＝exp{－ω(∂/∂^νφ)}＝exp(－iωＬ³^)

と書けます。
 

何故なら,Ｌ³^＝－i(∂/∂φ)であるからです。

　そこで,このケースでは,Ｌ₂^が状態の波動関数を３軸

(ｚ軸)の周りにωだけ回転させる生成子となっています。
 

一方,δωを無限小とすると, 無限小Lorentz変換:

ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^νと.それに伴なうＵ^(1＋ε,0)

＝exp{－(i/2)ε_μνＭ^μν^}＝1－(i/2)ε_μνＭ^μν^なる

変換の表現を考えたとき,３軸の周りの回転角がδωの

純粋回転は:

ｘ'¹＝ｘ¹cos(δω)－ｘ²sin(δω)＝ｘ¹－ｘ²δω, 

　ｘ'²＝ｘ¹sin(δω)＋ｘ²cos(δω)＝ｘ¹δω＋ｘ² 

　と陽に表わせます。
 

すなわち,この無限小回転は,ε¹₂＝－δω,ε²₁＝δω:

つまり,ε₁₂＝－ε₂₁＝δωで,それ以外のε_μνは全てゼロ

の無限小Lorentz変換を意味するので,

対応するユニタリ変換

は,Ｕ(δω)＝Ｕ(1＋ε,0)＝1－(i/2)δω(Ｍ¹²^－Ｍ¹²¹^)

＝1－iδωＬ₃^　と書けます。
 

　　これはＬ₃^＝(1/2)(Ｍ¹²^－Ｍ²¹^)＝Ｍ¹²^が,状態:ψ(ｘ)

 を.回転Ｒ:すなわち,ｘ → ｘ'＝Ｒｘ,ｘ＝(ｒ,θ,φ),

 X'＝(ｒ,θ,φ＋ω)なる変換に対して理論が不変になる

   ように,波動関数の変換:ψ'(ｘ)＝Ｕ(δω)ψ(ｘ)

　 (Ｕ^＋Ｕ＝1)を生じさせる生成子にＬ₃^を対応させることを

　 意味します。
 

　　上で,特別な回転軸として考えた３軸(ｚ軸)は,通常の開放

    された等方的空間では,回転軸を座標軸も含めて自由に選択

    できるので,

 一般のケースにはδωを回転軸の向きを持ち,大きさが

　　δωの無限小回転角ベクトルとして.ユニタリ変換

    を,Ｕ(δω)＝1－iδωＬ^　と書くことができます。
 

  ここで,Heisenberg表示の任意の３次元の場の演算子を

Ｏ^(ｘ,ｔ)と書くと,座標系の回転Ｒ:ｘ’＝Ｒｘに対して

状態ネクトル:|ψ＞が,|ψ'＞＝Ｕ^(δω)|ψ＞なる変換

を受けるとすると,

　　行列要素の不変性から,

 ＜ψ|Ｏ^(ｘ,ｔ)|ψ＞＝＜ψ'|Ｏ^(ｘ',ｔ)|ψ'＞

であるべきです。
 

　波動関数に対するユニタリ変換:

ψ'(ｘ)＝Ｕ(δω)ψ(ｘ)が,状態に対する変換:

|ψ'＞＝Ｕ^(δω)|ψ＞ に起因するとすれば,

　　ψ'(ｘ)＝＜ｘ|ψ'＞＝＜ｘ|Ｕ^|ψ＞

＝∫ｄ³ｙ＜ｘ|Ｕ^|ｙ＞＜ｙ|ψ＞

＝∫ｄ³ｙ＜ｘ|Ｕ^|ｙ＞ψ(ｙ)＝ Ｕ(δω)|ψ＞

と書けます。
 

それ故,波動関数のユニタリ変換の微分演算子:Ｕ(δω)

は,Ｕ^(δω)を座標表示で対角化したときの対角成分と

考えられます。

　　つまり.＜ｘ|Ｕ^|ｙ＞＝Ｕ(δω)δ³(ｘ－ｙ)なる対応

が明らかです。
 

故に,期待値の不変性の要請: 

＜ψ|Ｏ^(ｘ,ｔ)|ψ＞＝＜ψ'|Ｏ^(ｘ',ｔ)|ψ'＞ 

＝＜ψ|Ｕ^^＋Ｏ^(ｘ',ｔ)Ｕ^|ψ＞　から, 

Ｏ^(ｘ,ｔ)＝Ｕ^^＋Ｏ^(ｘ',ｔ)Ｕ^,または, 

Ｏ^(ｘ',ｔ)＝Ｕ^Ｏ^(ｘ,ｔ)Ｕ^^＋を得ます。
 

　　そして,Ｕ^＝Ｕ(δω)＝1－iδωＬ^と書けるので, 

Ｏ^(ｘ',ｔ)－Ｏ^(ｘ,ｔ)＝－iδω[Ｌ^,Ｏ^(ｘ,ｔ)]

です。
 

特にδωが３軸(ｚ軸)のまわりの回転パラメータとなる

場合には,この右辺は,－iδω[Ｌ³^,Ｏ^(ｘ,ｔ)]_－であり,

　　このとき:ｘ'¹＝ｘ¹－ｘ²δω,ｘ'²＝ｘ¹δω＋ｘ²,

ですから,Ｏ^(ｘ',ｔ)－Ｏ^(ｘ,ｔ)

＝{ｘ¹(∂/∂ｘ²)－ｘ²(∂/∂ｘ¹)}δω　です。
 

　以上から,i[Ｌ³^,Ｏ^]_－＝－ｘ¹(∂/∂ｘ²)＋ｘ²(∂/∂ｘ¹)]

　を得ます。
 

同様な式が,Ｌ¹^,Ｌ²^,についても成立することがわかり, 

　結局,i[Ｌ^k^,Ｏ^]_－＝－ε_kljｘ^l(∂/∂ｘ^j)＝ε_kljｘ^l(∂/∂ｘ_j)

　または,i[Ｍ^lj^,Ｏ^]_－＝ｘ^l(∂/∂ｘ_m)－ｘ^j(∂/∂ｘ_l)

 が得られます。　　　(注9-2終わり※※)
 

以上から,Ｍ^μν^が,Ｍ^μνを量子化した演算子に同等

で,しかもＭ^ij^は角運動量テンソルに等しいという

同一視によるこうした交換関係の妥当性は,今のケース

では,空間回転だけでなく,Lorentz変換(Boost変換の下

での理論の不変性に対する追加の要請をも満たすことを

意味します。
 

これらのLorentz不変な量子論が満たすべき交換関係の

成立は,平行移動の生成子:Ｐ^μ^における場合に満たされる

べき交換関係と同じく,個々の系について直接,陽にチェック

することができます。
 

こうして,大部分の物理学で現在論じられている場の理論

ではLagrabgianによるアプローチとNoetherの定理が,何の

困難もなく,直接に量子的領域にも適用されています。
 

さて,一方,時空座標系とは無関係な内部対称性

(Internal Symmetry)変換:

φ_r^ → φ_r'^＝φ_r^－iελ_rsφ_sに対する量子論での不変性

のケースには,＜Φ_α|φ_r^(ｘ)|Φ_β＞

＝＜Φ'_α|φ_r^(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)|Φ'_β＞

＝＜Φ_α|Ｕ^(ε)^＋{φ_r^(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)}Ｕ^(ε)|Φ_β＞

より,φ_r^(ｘ)＝Ｕ^(ε)^＋{φ_r^(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)}Ｕ^(ε)|,
 

　つまり,

　 Ｕ^(ε)φ_r^(ｘ)Ｕ^(ε) ^＋|＝φ_r^(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ) 

　です。

 このことから,Ｕ^(ε)＝1＋iεＱ^とおけるような

Hermite演算子:Ｑ^が存在すれば,

iε[Ｑ^,φ_r^(ｘ)]_－＝－iελ_rsφ_s(ｘ)　となり, 

εの任意性から,[Ｑ^,φ_r^(ｘ)] _－＝－λ_rsφ_s(ｘ)なる

交換関係が得られます。
 

(※※↑ 以上,再掲載終了)　　　(注6-1終わり※)
 

一般の量子場成分:{φ_r^(ｘ)}_ｒ＝1,..,N)が共存する

系の角運動量演算子:Ｍ^μν^が満たすべき条件は,

i[Ｍ^μν^,φ^_r(ｘ)]_－

＝ｘ^μ(∂φ^_r/∂ｘ_ν)－ｘ^ν(∂φ^_r/∂ｘ_μ)

＋Ξ^μν _rsε_μνφ^_s(ｘ)　であることを見ましたが 。。

粒子場:{φ_r^}_ｒ＝1,.Nが,具体的なDirac電子場:

ψ^＝[ψ_α^]_α＝1,2,3,4と光子場(電磁場):Ａ^＝[Ａ^k] _ｋ＝1,2,3 

であるような系では,

　　まず,Lagrabgian密度は.

Ｌ^＝ψ~^{iγ^μ∂_μ－ｅ₀γ^μＡ_μ^－ｍ₀}ψ^

－(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^ で与えられます。
 

そして,満たされるべきLorentz不変の条件は,

ψ^に対しては,

Ｕ^(ε)ψ_α^(ｘ)Ｕ^(ε) ^＋|＝Ｓ_αβ^-1(ε)ψ_β^(ｘ), 

　Ｓ_αβ^-1(ε)＝δ_αβ－(1/2)Ξ^μν_αβε_μν, 

　Ξ^μν_αβ＝(/4)[γ^μ,γ^ν]_－αβ であり,
 

他方,Ａ^に対しては, 

Ｕ^(ε)Ａ^r^(ｘ)Ｕ^(ε) ^＋|＝Ｓ_rs^-1(ε)Ａ^s^(ｘ), 

Ｓ_rs^-1(ε)＝δ_rs－(1/2)Ξ^μν_rsε_μν, 

Ξ^μν_rs＝ｇ^μ_ｒｇ^ν_s－ｇ^ν_ｒｇ^μs です。
 

これは,i[Ｍ^μν^,ψ^(ｘ)]_－

＝ｘ^μ∂ψ^/∂ｘ_ν－ｘ^ν∂ψ^/∂ｘ_μ＋(1/4)[γ^μ,γ^ν]ψ^(ｘ)

および, 

i[Ｍ^μν^,Ａ^r^(ｘ)]_－＝ｘ^μ∂Ａ^r^/∂ｘ_ν－ｘ^ν∂Ａ^r^/∂ｘ_μ 

＋(ｇ^μ_ｒｇ^ν_s－ｇ^ν_ｒｇ^μ_s)Ａ^s^(ｘ)　

なる交換関係が満たされることと同値です。
 

一般的粒子場についての表現式:

Ｍ^νλ^＝∫Ｍ ^0νλ^(ｘ)ｄ³ｘ , 

Ｍ^μνλ^＝∑_r{(∂Ｌ^/∂_μφ_r^)(ｘ^ν∂^λφ_r^－ｘ^λ∂^νφ_r^

＋Ξ^νλ_rsφ_s^)}－(ｘ^νｇ^μλ-ｘ^λｇ^μν)Ｌ ^ から.
 

Ｍ ^0νλ^＝{π_r^(ｘ^ν∂^λφ_r^－ｘ^λ∂^νφ_r^＋Ξ^νλ_rsφ_s^)} 

－(ｘ^νｇ^0λ-ｘ^λｇ^0ν)Ｌ ^ ですから,
 

Ｍ ^0νλ^＝ｘ^νＴ^0λ－ｘ^λＴ^0ν＋Ξ^νλ_rsπ_r^φ_s^

と書けます。
 

ところが,前の平行移動についての交換関係を証明する過程

で,{φ_r^}がψ_α^,Ａ^r^の場合には, 

[Ｔ^0λ^(ｙ,ｔ),φ_r^(ｘ,ｔ)]_－＝－i∂_y^λφ_r^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ) 

が確かに満たされることを見ました。 

　また,同時刻の正準交換関係:

[π_s^(ｙ,ｔ),φ_r^(ｘ,ｔ)]_－＝－iδ_srδ^３(ｙ－ｘ)　より 

[Ξ^λ_rsπ_r^(ｙ,ｔ)φ_s^(ｙ,ｔ),φ_r^(ｘ,ｔ)]_－ 

＝－iΞ^νλ_rsφ_s^(ｙ,ｔ)δ^３(ｙ－ｘ)　です。
 

これから,運動量;Ｐ^μ^についての平行移動不変性の

交換関係:[Ｐ^μ^,φ_r^(ｘ)]_－＝－i∂^μφ_r^(ｘ)]が満足される

ことがチェックされたら,

　自動的に.角運動量;Ｍ^μν^についてのLorentz不変性

の交換関係:[Ｍ^νλ^,φ_r^(ｘ,ｔ)]_－

＝－i(ｘ^ν∂^λ－ｘ^λ∂^ν)φ_r^(ｘ,ｔ)＋Ξ^νλ_rsφ_s^(ｘ,ｔ)　

の成立する保証も得られることがわかります。

かつて,学生時代には,,ψ^や^Ａ^について運動量

の場合と同じく,再び,コツコツと具体的に苦労して証明

したものがノートには長々と記されていて,それをブログ

に転記してもよかったのですが,

　　昨日今日のブログ原稿書きの最中のほんの思い付きで,

運動量において証明できた,すぐ前の結果を利用すれば,

ワザワザ,具体計算をしなくてもチェック,証明ができる

とわかり,ある意味で,

「昔セッセとやったのは何だったんだ？」と拍子抜けです。
 

しかし,これで終わりじゃなくて落とし穴がありました。

　それは光子場(電磁場):Ａ^のゲージ条件です。 

特に,今採用しているCoulombゲージ:∇Ａ^＝0 は

明らかにLorentz共変ではないので,

　そもそも光子場Ａ^の変換性を与える行列Ｓ_rsが上述の

ように単純に共変形で与えられるというのは,真では

ないと考えられるからです。
　
　この問題については,自由光子場でも遭遇したことを

思い出しました。

　その部分の過去記事もチェックしてみます。
 

しかし,記事が長くなり過ぎたと思うので今日はここで

終わります。
 

 (参考文献):J.D Bjorken S.D Drell  

　"Relativistic Quantum Fiels" (MacGrawHill)

場の量子論(第Ⅱ部)(５)

　馬の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

前回は過去記事の再掲載だけでした。
 

今回はそれらの知見を踏まえて,相互作用する場の次の節に 

入ります。
 

§15-3 Lorentz不変性と平行移動不変性 

(Lorentz and Displacement Invariance)
 

前節では,正準手法によって,エネルギー演算子としての 

Hamiltonian:Ｈ^＝∫Ｈ^ｄ³ｘ＝Ｐ⁰^. 

Ｈ^＝Ｔ⁰⁰＾

＝(∂Ｌ^/∂ψ_α^d^)ψ_α^d^＋(∂Ｌ^/∂Ａ^ｋｄ^)Ａ^ｋd^－Ｌ^ 

＝ψ~^(－iα∇＋βｍ₀)ψ^＋(Ｅ^²＋Ｂ^²)/2＋Ｅ∇Φ^ 

＋ｅ₀ψ~^γ^μψ^Ａ_μ^ 　を得ました。
 

ただし,ψ_α^d^＝∂ψ_α^/∂ｔ. Ａ^ｋｄ^＝∂Ａ^ｋ^/∂ｔです。
 

 同じ方法で,運動量演算子が次のようになることが

わかります。 

　Ｐ^＝∫ｄ³ｘ(－iψ^＋^∇ψ^＋Ｅ_⊥^×Ｂ^), 

　or　Ｐ^k^＝∫ｄ³ｘＴ^0k＾,

Ｔ^0k＾＝(－iψ^＋^∇ψ^ ＋Ｅ_⊥^×Ｂ^)^kです。

　これは,自由場の運動量演算子の和に一致しますが,

それは相互作用が導関数項を全く含まないためです。
 

※(注5-1):Ｐ^k^＝∫ｄ³ｘＴ ^0k^(ｋ＝1､2､3)における

運動量密度:Ｔ ^0kの上の表現の証明です。

　ここで,Ｔ^μν^は,系のエネルギー・運動量密度テンソル

であり,今のDIrac電子場:ψ^と光子場:Ａ^のが共存して

相互作用をしている場合,

　それは,Ｔ^μν^＝{∂Ｌ^/∂(∂_μψ_α^)}(∂^νψ_α^)

＋∂Ｌ^/∂(∂_μＡ^k^)}(∂^νＡ^k^)－ｇ^μνＬ^

で与えられます。
 

 これは,2012年 2/20の,場の量子論第Ⅰ部の過去記事

「相対論的場の量子論(正準定式化(6)」と,それに続く

2/27.3/11の同じシリーズ記事(7)(8)をまとめて,

再掲載したすぐ前の記事:「場の量子論第Ⅱ部(4)」

によるものです,
 

これによれば,独立なＮ個の量子場成分:φ_r^(ｘ)

(ｒ＝1,2..,N)が共存する 系の４元運動量演算子:Ｐ^ν^

は,Noetherの定理と,その量子論での対応原理から,

平行移動(Displacement)対称性変換の生成子として,
 

　Ｐ^ν^＝∫ｄ³ｘＴ^0ν^

 ＝∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r^(∂φ_r^/∂ｘ_ν)－ｇ^0νＬ^] 

　Ｔ^μν^＝∑_r{∂Ｌ^/∂(∂^μφ_r^)}(∂φ_r^/∂ｘ_ν)－ｇ^μνＬ^ 

　で与えられることがわかります。
 

ここで,π_r^(ｘ)は,π_r^＝∂Ｌ^/∂φ_r^d^,(φ_r^d^,＝∂φ_r^/∂ｔ

＝∂⁰φ_r^)で定義される場:φ_r^(ｘ)の正準共役運動量演算子

です。
 

そこで,エネルギーは,

Ｐ⁰^＝∫ｄ³ｘＴ⁰⁰^,Ｔ⁰⁰^＝∑_r π_r^φ_r^d^－Ｌ^  

ですから,

Ｈ^＝∫ｄ³ｘＨ＝Ｐ⁰^で,Ｈ＝Ｔ⁰⁰^＝∑_r π_r^φ_r^d^－Ｌ^ 

です。
 

そして,粒子場:{φ_r^}_ｒ＝1,.Nが,Dirac電子場:

ψ^＝[ψ_α^]_α＝1,2,3,4と光子場(電磁場):Ａ^＝[Ａ^k] _ｋ＝1,2,3

(ただし,ゲージっ条件:∇Ａ＝0より真の自由度は２)である

今の系では,Lagrabgian密度が
 

Ｌ^＝ψ~^{iγ^μ∂_μ－ｅ₀γ^μＡ_μ^－ｍ₀}ψ^

－(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^　であり,

　このLagrangian密度から「場の量子論第Ⅱ部(2)」では

,Dirac電子場の共役運動量は,π_α^＝(∂Ｌ^/∂ψ_α^d^)

＝iψ_α^＋^であり,
 

また,電磁場の共役運動量をπ_A^とすると, 

π_Aj^＝∂Ｌ^/∂Ａ^jd^＝Ａ^kd^－∂_kΦ^＝－Ｅ_l^＝Ｅ^j^　

であること。。
 

そして,Coulombゲージの条件;∇Ａ＝0 の下では,系の

Hamiltonian が,Ｈ^＝∫Ｈ^ｄ³ｘ: 

Ｈ^＝π_α^ψ_α^d^＋π_Aj^ Ａ^ｋd^－Ｌ^ 

＝ψ~^(－iα∇＋βｍ₀)ψ^＋(Ｅ^²＋Ｂ^²)/2＋Ｅ∇Φ^ 

＋ｅ₀ψ~^γ^μψ^Ａ_μ^ で与えられるという結果を得ました。
 

一方,場の運動量は,粒子場:{φ_r^}_ｒ＝1,.Nの一般式では, 

Ｐ^ｋ^＝∫ｄ³ｘＴ^0k^＝∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r^(∂^kφ_r^)]  

で与えられます。
 

{φ_r^}_ｒ＝1,.Nが,Dirac電子場:ψ^＝[ψ_α^]_α＝1,2,3,4と, 

光子場:Ａ^＝[Ａ^k] _ｋ＝1,2,3の場合に,Dirac電子場:ψ^

だけのＴ^0k^成分への寄与は,

∑_rπ_r^(∂^kφ_r^)＝π_α^(∂^kψ_α^)＝ iψ_α^＋^(∂^kψ_α^)

＝(－iψ^＋^∇ψ^)^k　です。
 

一方,電磁場Ａ^だけのＴ^0k^成分への寄与は, 

∑_rπ_r^(∂^kφ_r^)＝π_Aj^(∂^kＡ^j^)＝Ｅ^j^(∂^kＡ^j^) 

＝Ｅ_⊥^j^(∂^kＡ^j^－∂^jＡ^k^)＋Ｅ_⊥^j^(∂^jＡ^k^)―∂_jΦ^(∂^kＡ^j^) 

となります。
 

ただし,電場:ＥをＥ＝Ｅ_⊥^＋Ｅ_∦^と分解し,

Ｅ_⊥^＝Ａ^d^＝∂Ａ^/∂ｔ,Ｅ_∦^＝―∇Φ^を用いました。
 

さらに,(Ｅ_⊥^×Ｂ^)^k＝ε_kijＥ_⊥ⁱ^Ｂ^j^

＝{Ｅ_⊥^×(∇×Ａ^)}^k＝ε_kijε_jlmＥ_⊥ⁱ∂_lＡ^m^

＝(δ_ilδ_km－δ_imδ_kl)Ｅ_⊥ⁱ^∂_lＡ^m^ 

＝Ｅ_⊥ⁱ^(∂_jＡ^k^－∂_kＡ^j^)ですから,

　結局,π_Aj^(∂^kＡ^j^)＝(Ｅ_⊥^×Ｂ^)^k＋Ｅ_⊥^j^(∂^jＡ^k^) 

－∂_jΦ^(∂^kＡ^j^) となります。
 

そして,右辺の最後の2項は,

Ｅ_⊥^j^(∂^jＡ^k^)－∂_jΦ^(∂^kＡ^j^)

＝∂_j{－Ｅ_⊥^j^Ａ^k^－Φ^(∂^kＡ^j^)}

＋(∇Ｅ_⊥^)Ａ^k^＋Φ^(∂^k∇Ａ^)となりますが,

∇Ａ^＝0 であり,Ｅ_⊥^＝Ａ^d^＝∂Ａ^/∂ｔ＝より, 

∇Ｅ_⊥^＝0 なので,

  　結局,この項は,∂_j{－Ｅ_⊥^j^Ａ^k^－Φ^(∂^kＡ^j^)} 

に等しいです。
 

しかし,これは,全空間で体積積分:∫ｄ³ｘを実行すると

全体には寄与せず,消える項です。
 

すなわち,Gaussの積分定理から,この体積積分は,無限遠

での{－Ｅ_⊥^j^Ａ^k^－Φ^(∂^kＡ^j^)}の表面積分に帰着し,,

無限遠では,全ての電磁場成分が表面積の無限大への増加

よりも急減少してゼロになるため,それらの積としては

消えるのという,いつもの論理から消えます。
 

故に,電磁場の運動量密度成分は,自由電磁場のそれと

同じく,π_Aj^(∂^kＡ^j^)＝(Ｅ_⊥^×Ｂ^)^kと書けます。
 

右辺は古典電磁気学でも場の運動量と同定される,横波

の電磁波のPoyntingベクトルの成分が,量子化された

演算子です。
 

結局,系全体のトータルでは,単に単独の自由場の演算子

の和として,

Ｔ^{0k^}＝∑_rπ_r^(∂^kφ_r^)＝(－iψ^＋^∇ψ^＋Ｅ_⊥^×Ｂ^)^k

　と表現され,よって,運動量演算子は, 

　Ｐ^＝∫ｄ³ｘ(－iψ^＋^∇ψ^＋Ｅ_⊥^×Ｂ^) と書けます。
 

これで証明は完了しました。　　(注5-1終わり※)
 

さて,Heisenbergの関係:i[Ｐ_μ^,ψ^(ｘ)]_－＝∂ψ^/∂ｘ^μ,

および,i[Ｐ_μ^,Ａ^(ｘ)]_－＝∂Ａ^/∂ｘ^μの成立が理論が

平行移動不変であるための条件として要求されますが,

これは次の場の交換関係,および,場の方程式を用いて証明

できます。
 

まず,全ての場の交換関係を再掲すると,交換子:[ , ]_－

と反交換子:{ , }_＋により,
 

{ψ_α^(ｘ,ｔ),ψ_β^＋^(ｙ,ｔ)}_＋＝δ_αβδ³(ｘ－ｙ), 

{ψ_α^(ｘ,ｔ),ψ_β^(ｙ,ｔ)}_＋＝0,

{ψ_α^＋^(ｘ,ｔ),ψ_β^＋^(ｙ,ｔ)}_＋＝0, 

[Ａ^id^(ｘ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]_－＝－iδ_tr^ij(ｘ－ｙ)(ｉｊ＝1,2,3) 

[Ａⁱ^(ｘ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]_－＝0,

[Ａ^id^ (ｘ,ｔ),Ａ^j^^d(ｙ,ｔ)] _－＝0
 

および,[ψ_α^(ｘ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]_－＝0　,かつ, 

[ψ_α^(ｘ,ｔ),Ａ^jd^(ｙ,ｔ)] _－＝0 　です。
 

また,場の方程式は, 

(i∂－ｍ₀)ψ^＝ｅ₀Ａ^ψ^　(∂＝γ^μ∂_μ,Ａ^＝γ^μＡ_μ^),

および,∂_νＦ^νμ＝ｅ₀ψ~γ^μψ　（Ｆ^νμ＝∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μ

です。
 

※(注5-2): 平行移動不変性の条件:

i[Ｐ_μ^,ψ^(ｘ)]＝∂ψ^/∂ｘ^μ,および,i[Ｐ_μ^,Ａ^(ｘ)]

＝∂Ａ^/∂ｘ^μの成立を証明します。
 

まず, Ｐ⁰^＝Ｈ^＝∫Ｈ^ｄ³ｘとスピノル場の成分:

ψ_β^(ｘ,ｔ)の交換関係を評価します。
 

Ｐ⁰^＝Ｈ^＝∫Ｈ^(ｙ)ｄ³ｙと書けば,  

[Ｐ⁰^,ψ^(ｘ)] _－＝[Ｈ^,ψ^(ｘ)]_－

＝∫ｄ³ｙ[Ｈ^(ｙ),ψ^(ｘ)] _－です。
 

そして,Ｐ⁰^＝Ｈ^＝は時間ｔに依存しない保存量ですから, 

[Ｈ^(ｙ),ψ^(ｘ)]を同時刻交換関係:[Ｈ^(ｙ.ｔ),ψ^(ｘ,ｔ)] 

に置き換えることができます。
 

Ｈ^の具体形を再掲すると, 

Ｈ^＝π_α^ψ_α^d^＋π_Ak^ Ａ^kd^－Ｌ^ 

＝ψ~^(－α∇＋βｍ₀)ψ^＋(Ｅ^²＋Ｂ^²)/2＋Ｅ∇Φ^ 

＋ｅ₀ψ~^γ^μψ^Ａ_μ^ です。
 

この右辺の電磁場の項は,Ｅ^＝Ｅ_⊥^＋Ｅ_∦^,Ｅ_⊥^＝Ａ^d^, 

Ｅ_∦^＝－∇Φ,Ｂ＝∇×Ａ^ を代入すると,

(Ｅ^²＋Ｂ^²)/2＋Ｅ^∇Φ^＝(Ｅ_⊥^＋Ｅ_∦^)²/2＋Ｂ^²/2

－(Ｅ_⊥^＋Ｅ_∦^)Ｅ_∦^＝(Ｅ_⊥^²＋Ｂ^²)/2

＝(1/2){Ａ^d^²＋(∇×Ａ^)²}　とＡ^だけを含む項に

書き直すことができます。
 

それ故,

Ｈ^＝ψ~^(－iα∇＋βｍ₀)ψ^＋(1/2){Ａ^d^²＋(∇×Ａ^)²}

＋ｅ₀ψ~^γ^μψ^Ａ_μ^　です。
 

また,運動方程式;(iγ^μ∂_μ－ｍ₀)ψ^＝ｅ₀γ^μＡ_μ^ψ^, 

つまり,(－iγ∇＋ｍ₀)ψ^＝－ｅ₀γ^μＡ_μ^ψ^＋iγ⁰∂₀ψ^, 

or (－iα∇＋βｍ₀)ψ^＝i∂₀ψ－ｅ₀γ⁰γ^μＡ_μ^ψ^ 

を考慮し,この両辺に左からψ^＋^を掛けたものを

Ｈ^の右辺に代入すると,
 

結局,Ｈ^＝iψ^＋^∂₀ψ^ ＋(1/2){Ａ^d^²＋(∇×Ａ^)²} 

と,やや簡明な形に書けます。
 

そして.Ａ,Ｂ,Ｃを線型演算子とすると, 

　[ＡＢ,Ｃ]_－＝ＡＢＣ－ＣＡＢ

　＝ＡＢＣ＋ＡＣＢ－ＡＣＢ－ＣＡＢ

 ＝Ａ{Ｂ,Ｃ}_＋－{Ａ,Ｃ}_＋Ｂ　なる公式が

　成立します。
 

　Ｈ^＝iψ^＋^∂₀ψ^ ＋(1/2){Ａ^d^²＋(∇×Ａ^)²}に引数;

　(ｙ,ｔ)を与えたものと,ψ^(ｘ,ｔ)の成分:ψ_β^(ｘ,ｔ)

 の交換関係:[Ｈ^(ｙ,ｔ),ψ_β^(ｘ,ｔ)] _－においては,

 Ｈ^(ｙ,ｔ)のうち,ψ_β^(ｘ,ｔ)と交換,または反交換する

　因子のみの積から成る項はψ_β^(ｘ,ｔ)と交換するので

　ゼロとなってこの交換子に寄与しません。
 

　ψ_β^(ｘ,ｔ)と交換しない項は,

　iψ^＋^∂₀ψ^＝iψ^＋_α^∂₀ψ_α^　のみですが.

　上に示した公式:[ＡＢ,Ｃ]_－＝＝Ａ{Ｂ,Ｃ}_＋－{Ａ,Ｃ}_＋Ｂ　 

　から,[ψ^＋_α^(ｙ,ｔ)∂₀ψ_β^(ｙ,ｔ）,ψ_β^(ｘ,ｔ)]_－ 

　＝－δ_αβ∂₀ψ_β^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ)　を得ます。
 

　故に,

　[Ｈ^(ｙ,ｔ),ψ^(ｘ,ｔ)] _－＝－i∂₀ψ^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ) 

　です。
 

　したがって,両辺に∫ｄ³ｙを実行すると 

　[Ｐ⁰^,ψ^(ｘ,ｔ)]_－＝[Ｈ^,ψ(ｘ,ｔ)] _－

　＝－i∂₀ψ^(ｘ,ｔ),

  or i[Ｐ⁰^,ψ^(ｘ,ｔ)]_－＝∂ψ^/∂ｘ⁰

　が得られます。
 

　また,Ｐ^k^＝∫ｄ³ｘＴ^0k^

 ＝∫ｄ³ｘ(－iψ^＋^∇ψ^＋Ｅ_⊥^×Ｂ^)^k
 

　Ｔ^0k^＝(－iψ^＋^∇ψ^＋Ｅ_⊥^×Ｂ^)^k

 ＝{－iψ^＋^∇ψ^＋Ａ^d^×(∇×Ａ^)}^kであり,

　[Ｔ^0k^(ｙ,ｔ),ψ^(ｘ,ｔ)] _－＝i∂_kψ^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ) 

　＝－i∂^kψ^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ)　ですから,
 

 [Ｐ^k^,ψ^(ｘ,ｔ)]_－＝－i∂₀ψ^(ｘ,ｔ), 

 or i[Ｐ^k^,ψ^(ｘ,ｔ)]_－＝∂ψ^/∂ｘ_k を得ます。
 

次に, [Ｐ^μ^,Ａ^(ｘ,ｔ)]_－ですが,まず,

[Ｐ⁰^,Ａ^(ｘ,ｔ)]の評価からです。
 

Ｐ⁰^＝Ｈ^＝∫ｄ³ｙＨ^(ｙ,ｔ)において,再び,Ｈ^(ｙ,ｔ) 

は,Ｔ^00­^＝Ｈ^＝iψ^＋^∂₀ψ^ ＋(1/2){Ａ^d^²＋(∇×Ａ^)²} 

に引数:(ｙ,ｔ)を与えたものです。
 

このＨ^(ｙ,ｔ)のうち,Ａ^(ｘ,ｔ)と交換しない項は, 

(1/2)Ａ^d^²に引数:(ｙ,ｔ)を与えたものだけです。

　[Ａ^id^(ｘ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]_－＝－iδ_tr^ij(ｘ－ｙ)

(ｉｊ＝1,2,3)  δ_tr^ij(ｙ－ｘ)

≡∫ｄ³ｋ(2π)^-3 exp{iｋ(ｙ－ｘ)}{δ^ij－(ｋⁱｋ^j)/ｋ²} 

により,

[Ａ^id^²(ｙ,ｔ)/2,Ａ^j^(ｘ,ｔ)]_－

＝－iＡ^jd^(ｙ,ｔ)δ_tr^ij(ｙ－ｘ)　なので, 

[Ａ^id^²(ｙ,ｔ)/2,Ａ^j^(ｙ,ｔ)]_－＝－iＡ^jd^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ) 

＝－i∂₀Ａ^j^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ)　です。
 

(※ 何故なら,Coulombゲージ条件:∇_yＡ^d^(ｙ,ｔ)＝0,より,

Ａ^d^のFourier-ｋ成分:

Ａ^d^(ｋ)＝∫ｄ³ｙＡ^d^(ｙ,ｔ) exp(iｋｙ)については, 

ｋＡ^d^(ｋ)＝ｋ^jＡ^jd^(ｋ)＝0　が成立します。
 

故に,

Ａ^jd^(ｙ,ｔ)∫ｄ³ｋ(2π)^-3 exp{iｋ(ｙ－ｘ)}{(ｋⁱｋ^j)/ｋ²} 

に∫ｄ³ｙを実行すると,これの寄与はゼロです。※)
 

以上から,[Ｈ^(ｙ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]_－

＝－i∂₀Ａ^j^(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ)であり,

[Ｐ⁰^,Ａ^(ｘ,ｔ)]_－＝[Ｈ^,Ａ^(ｘ,ｔ)]_－＝－i∂⁰Ａ^(ｘ,ｔ) 

or i[Ｐ⁰^,ψ^(ｘ,ｔ)]_－＝∂Ａ^/∂ｘ₀ を得ます。
 

一方,Ｐ^k^＝∫ｄ³ｘＴ^0k^； 

Ｔ^0k^＝(－iψ^＋^∇ψ^＋Ｅ_⊥^×Ｂ^)^k

＝{－iψ^＋^∇ψ^＋Ａ^d^×(∇×Ａ^)}^k です。
 

先に,{Ｅ_⊥^×(∇×Ａ^)}^k＝Ｅ_⊥ⁱ^(∂_jＡ^k^－∂_kＡ^j^)

を得ましたが,Ｔ^0k^の右辺の{Ａ^d^×(∇×Ａ^)}^kは,

これと全く同じ式です。
 

よって,{Ａ^d^×(∇×Ａ^)}^k＝Ａ^id^(∂_iＡ^k^－∂_kＡⁱ^)

ですが,実質的には, 前と同じく積分で消える項を除いて 

{Ａ^d^×(∇×Ａ^)}^kは,π_Aj^(∂^kＡ^j^)＝Ｅ^j^(∂^kＡ^j^) 

＝Ａ^id^(∂^kＡ^j^ )　に一致します。
 

そして,[Ａ^id^ (ｙ,ｔ),Ａ^j^(ｘ,ｔ)]_－＝－iδ_tr^ij(ｙ－ｘ)

なので,

[Ｔ^0k^(ｙ,ｔ),Ａ^j^(ｙ,ｔ)]_－

＝－i(∂^kＡⁱ^)(ｙ,ｔ)δ^ijδ³(ｙ－ｘ) 

＝－i(∂^kＡⁱ^)(ｙ,ｔ)δ³(ｙ－ｘ)　です。
 

以上から,[Ｐ^ｋ^,Ａ^(ｘ,ｔ)]_－＝－i∂^ｋＡ^(ｘ,ｔ)

or i[Ｐ^k^,ψ^(ｘ,ｔ)]_－＝∂Ａ^/∂ｘ_k も得られました。

 (注5-2 終わり※)

　　交換関係と場の方程式は理論を基礎づける無矛盾な方程式

のセットを形成していると考えられます。
 

今回はここで終わりますが,次回は残るLorentz不変性を

証明するため,Noetherの処方から得られる角運動量

テンソルの考察に向かいます。

　　今日の本文はほんの少しで,ほとんどが注釈でした。
 

式としては重要ですが, 既に成立することを先人の多く

が認めていて間違いはないであろうものを,ワザワザ長い

文章と労力で証明する必要はないのかも知れません。
 

しかし,これまでも本ブログで既知のトピックについて

科学記事を書く意図を何度か述べましたが,証明をスキップ

するのでは市販のテキストを通読するのと同じで,この私的

ブログを著わす意味が無いです。
 

これを最初にチェックしたウン十年前には,この証明はかなり

厄介と感じた記憶があるので,私的にはこうして計算履歴を

ガイドとして消えない記録に残すのには意味があると思い

ました。(※ まあ, イツモの自己満足です。。。)

(参考文献):J.D Bjorken S.D Drell  

“Relativistic Quantum Fiels” (MacGrawHill)

ＰＳ:今日9/20は,8/30以来,３週間ぶりで順天堂の形成外科

外来にかかる予定の日です。

　前回も丁度,台風の真っただ中で,外来診察はガラガラで,

スグに終わったのは幸いでしたが,偶々,電車の中と病院に

いたときには雨が上がってたのに,

　行きと帰りだけドシャ降りで.特に自宅アパート付近は

ヒドイ降りになり,２階の自室に続く屋根無し外階段上り

下りは,手すりに,つかまり傘はさせないので,行きも帰りも

階段だけでも,ずぶ濡れでした。

　(※ 妖怪:アメフラシを連れて歩いてる？？)

　今もまた,台風がきてるらしいけど,今のところ,外の雨音

は消えてます。

　雨オトコなので,足が悪くて偶にしか遠出の外出はしない

のに,遠出せざるを得ないときは,ほとんど雨か,雪ですね。

　よほど,日頃の行ないがイイ？せいか。。。

ＰＳ２:連休明けと台風の影響で込み具合ほどほど。。

外食の金ないので昼食抜き。。何とか低血糖にならず

16時40分頃帰宅。。17時過ぎ,空腹血糖値 109でまずまず。
。

行きは小ぶりでしたが,帰りはやはり階段上るとき

びしょ濡れでした。ヤレヤレ。台風男。。

最近病院の行き返りが雨じゃなかったトキの記憶無し。。

　イヤ。。湿っぽいのはダメ。。楽しくなければ。。

場の量子論(第Ⅱ部)(4)

　場の量子論第Ⅱ部の続きです。
 

※(閑話休題)　ここで,第Ⅰ部から相当時間が経過していて,

これ以上の論議を続けるに当たって,自由場に限らず,一般的に

重要なことを既に述べていても,読者も含めて忘却したという

可能性もあるので,今回は確認の意味も込めて,関連する過去

記事から必要な項目を再掲載したいと思います。
 

:場の量子論第Ⅰ部の2012年の過去記事で,２/20に

アップした「相対論的場の量子論(正準定式化(6)」

と,それに続く2/27.3/11の同じシリーズ記事(7)(8)

から,これらは短かい記事なので場合によっては修正

を加えて,余談を除く,ほぼ全文を再掲載します。
 

※まず,(6)の再掲載からです。
 

§11.4 Symmetry and　Conservation Law(対称性と保存則)
 

Lagrangian定式化は古典場の理論によって正準方程式

(運動方程式)を引き出して,それらを量子場に同定する

便利で系統的な方法を与えてくれます。
 

１つのLagrangianからスタートすれば,場のLagrangian密度 

Ｌと運動方程式(Euler-Lagrange)の形を不変に保つ各無限小

の対称性変換に対し保存則が存在して,運動の定数(保存量)

が伴なうことが示されます。
 

　これはNoether(ネーター)の定理として知られています。
 

この定理は自然において観測される選択則が直接Ｌに

呈する対称性の要求によって記述されることを許すもの

であり,新しい理論を展開していくような際には,相互作用

の項を導入するガイドとして,とても有用なものです。
 

１. 平行移動不変性:
 

平行移動(Displacement or Translation)は,制限された, 

Poincare'群に属する１つの変換です。
 

系のLagrangian密度Ｌ[φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)]は,制限された

(回転やBoostの無い)Poincare'群である平行移動の下では,

スカラー量(不変量)です。
 

すなわち,まず,ｘ~をｘから平行移動された位置座標とし,

φ~_rを変換された座標系から見た場φ_rの振幅と考えたとき,

平行移動:ｘ→ｘ~ により φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ~)であり,

Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)) から変化したLagrangian密度

を,Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~)) と書けば,
 

Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)) 

が成立します。
 

　次に,理論の不変性:運動方程式の２階上微分方程式の陽な形

　の表現が変換された系の観測者に対しても全く同じである

　という条件から, 

Ｌ~(φ~_r(ｘ~),∂_μφ~_r(ｘ~))＝Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)) 

であると考えます。

(※ 何故なら,両方の座標系で方程式の形が同じになることは,, 

Lagrangian密度の関数形が同じなら満たされます。(十分条件))
 

以上から,Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)]＝Ｌ[φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)]

なるLagrabgian密度不変の条件が得られます。
 

それ故,無限小平行移動:ｘ^μ→ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μに対して, 

δＬ≡Ｌ[φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~)]－Ｌ[φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)] 

＝ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)　ですが,
 

これは,Ｌ[φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~)]－Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)] 

＝－Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)]＋Ｌ[φ_r(ｘ~),∂_μφ_r(ｘ~)] 

に等しく,

　したがって,ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝δＬ 

＝∑_r[(∂Ｌ/∂φ_r)δφ_r＋{(∂Ｌ/∂_μφ_r)δ(∂_μφ_r)}] 

です。
 

ただし,δφ_r≡φ_r(ｘ~)－φ~_r(ｘ~)＝φ_r(ｘ＋ε)－φ_r(ｘ) 

＝ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^μ)　です。
 

※(注6-1):座標系の平行移動:ｘ^μ→ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μに対しては, 

φ~_r(ｘ~)＝φ~_r(ｘ＋ε)＝φ_r(ｘ)です。(注5-1終わり※)
 

同様に, δ(∂_μφ_r)≡∂~_μφ_r(ｘ~)－∂~_μφ~_r(ｘ~) 

＝∂_μφ_r(ｘ＋ε)－∂_μφ_r(ｘ)＝ε^ν(∂_ν∂_μφ_r)　

です。
 

　以上から,

ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝∑_r[(∂Ｌ/∂φ_r)ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^μ)

＋{(∂Ｌ/∂_μφ_r)ε^ν∂_ν∂_μφ_r)}]　を得ます。
 

ここで,Euer-Lagrange方程式: 

(∂Ｌ/∂φ_r)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ_r/∂ｘ^μ)}＝0

より,∂Ｌ/∂φ_r＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}となるので,

これを上式に代入すると,ε^μ(∂Ｌ/∂ｘ^μ)

＝∂_μ∑_r{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}ε^μ(∂φ_r/∂ｘ^ν)} となります。
 

それ故, 

[(∂/∂ｘ^μ)∑_r {∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)

－ｇ_μν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)]ε^ν]＝ 0 ですが,

ε^νは全く任意なので,

(∂/∂ｘ^μ)∑_r{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_μνＬ]

＝0　が成立します。
 

以上から,

Ｔ_μν≡∑_r {∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_μνＬ 

と定義すれば,∂Ｔ_μν/∂ｘ^μ)＝0　が成立します。
 

 したがって,Ｔ_μνを１つのエネルギー・運動量密度テンソル

と定義し,

Ｐ_ν≡∫ｄ³ｘＴ_0ν＝∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ^ν)－ｇ_0νＬ]

とおけば,ｄＰ_ν/ｄｔ＝0 となって運動の常数

(時間的に保存する量)としての,４元共変ベクトル量:Ｐ_ν

(ν＝0,1,2,3)を見出します。
 

共編ベクトル:Ｐ_νの代わりに,

反変ベクトルＰ^ν＝Ｐ⁰,Ｐ) で表現するなら,

Ｐ^ν＝∫ｄ³ｘＴ^0ν＝∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ_ν)－ｇ^0νＬ]

であり,保存則は,ｄＰ^ν/ｄｔ＝0 と書けます。
 

そうして,Ｔ⁰⁰＝∑_rπ_rφ_r^d －Ｌ は系のHamiltonian密度:Ｈ

に一致しています。

そこで,特に,Ｐ⁰＝∫ｄ³ｘＴ⁰⁰は系のHamiltonian:Ｈです。

故に,ｄＰ⁰/ｄｔ＝0はｄＨ/ｄｔ＝0 を意味します。
 

こうして時間の一様性＝時間の平行移動対称性から,

系のエネルギー(場のエネルギー):Ｈに対する保存則

を得ました。
 

同様に,空間ベクトル:Ｐ＝(Ｐ¹,Ｐ²,Ｐ³)については, 

Ｐ^ｋ＝∫ｄ³ｘＴ^0ｋ＝－∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ^k)]

(ｋ＝1,2,3)ですが,こちらの方は場の運動量の空間成分

と同定されます。
 

そこで,ｄＰ^k/ｄｔ＝0 は運動量の保存:ｄＰ/ｄｔ＝0

を意味しますが,これは空間の一様性の反映です。
 

※ここからは,次の(7)の再掲載です。
 

２. Lorentz変換(空間回転含む)に対する不変性から角運動量

が運動の常数(保存量)であることを導きます．
 

無限小のLorentzZ変換:ｘ^μ → ｘ~^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν;

ε_νμ＝－ε_μνを考えます。
 

　※(注7-1):ｘ^μ → ｘ~^μがLorentzZ変換であるための

　必要十分条件は,ｘ~_μｘ~^μ＝ｘ_μｘ^μです。
 

これは,ｘ~_μｘ~^μ＝(ｘ_μ＋ε_μ^λｘ_λ)(ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν) 

＝ｘ_μｘ^μ＋ε_μ^λｘ_λｘ^μ＋ε^μ_νｘ_μｘ^ν＝ｘ_μｘ^μ

ですから,ε_μ^λｘ_λｘ^μ＋ε^μ_νｘ_μｘ^ν＝0 を意味します。
 

　つまり,ε_μνｘ^νｘ^μ＋ε_μνｘ^μｘ^ν

　＝(ε_νμ＋ε_μν)ｘ^μｘ^ν＝0 ですが,ｘ^μは任意の時空点の

座標ですから,このことは,ε_νμ＋ε_μν＝0,

 つまりε_νμ＝－ε_μνを意味します。
 

何故なら,例えば,ｘ^μ＝(1,0,0,0)＝δ^μ0なら,

ｘ^μｘ^ν＝δ^μ0δ^ν0なので,(ε_νμ＋ε_μν)ｘ^μｘ^ν＝0 は,

ε₀₀＋ε₀₀＝ 0 となりε₀₀ ＝ 0 です。
 

同様に,ｘ^μ＝δ^μρならε_ρρ＝0　となるのでε_μνの対角成分

は全てゼロとなることがわかります。
 

次にｘ^μ＝(1,1,0,0)＝δ^μ0＋δ^μ1としてみると,

(ε_νμ＋ε_μν)ｘ^μｘ^ν＝0 から,ε_μνの対角成分がゼロである

ことも考慮して,ε₁₀＋ε₀₁＝0:ε₁₀＝－ε₀₁ を得ます。

(注7-1終わり※)
 

 Lorentz不変性の実際的なテストは,運動方程式のφ_r(ｘ)部分

にＳ^-1_rsφ~_s(ｘ~)を代入して. φ~_r(ｘ~)に対する方程式が元の系

での運動方程式の形と同じであるかどうか?を見ることです。

スカラー場の場合はＳ_rs＝δ_rsとおけばいいです。
 

Dirac方程式におけるspinorの変換係数Ｓ_rs(ε)については,

既に,相対論的量子力学での考察から,これは,

Ｓ_rs(ε) ＝δ_rs＋(1/8)[γ^μ,γ^ν] _rsε_μν＋Ｏ(ε²)

で与えられることが,わかっています。
 

　実際,に,この無限小Lorentz変換をLagrangian密度において

　実行します。
 

　Lagrangian密度のLoentz不変性を要求すれば,
 

　Ｌ[φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ))＝Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)] 

　において,φ~_r(ｘ~)＝Ｓ_rsφ_s(ｘ)より, 

　φ_r(ｘ),＝Ｓ^-1_rssφ~_s(ｘ~)　なので,これは,

 Ｌ[Ｓ¹_rsφ~_s(ｘ~),∂~_μＳ^-1_rsφ~_s(ｘ~)]

 ＝Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)]　と表されます。
 

　この等式は作用原理において導出される運動方程式が変換

の前後で形を変えないことを保証します。
 

　平行移動の場合と同様に, 

　δＬ＝Ｌ[φ~_r(ｘ),∂~_μφ~_r(ｘ))－Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)] 

　＝Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))－Ｌ(φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~)] 

　ですが,

　Ｓ_rs(ε)≡＝δ_rs＋(1/2)Ξ^μν _rsε_μνと定義できる場合,  

　Ｓ^-1_rs(ε)≡＝δ_rs－(1/2)Ξ^μν _rsε_μνなので, 

δＬ＝Ｌ(ｘ~)－Ｌ(ｘ)＝ε^μ_νｘ^ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ) 

＝∑_r[(∂Ｌ/∂φ_r)δφ_r＋{(∂Ｌ/∂_μφ_r) δ(∂_μφ_r)}] 

が成立します。
 

Euer-Lagrange方程式: 

(∂Ｌ/∂φ_r)－(∂/∂ｘ^μ){∂Ｌ/∂(∂φ_r/∂ｘ^μ)}＝0

より, ∂Ｌ/∂φ_r＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}を上式に代入

すると,

ε^μ_νｘ^ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝(∂/∂ｘ^μ)∑_r{(∂Ｌ/∂_μφ_r)δφ_r}} 

です。
 

そして,δφ_r≡φ_r(ｘ~)－φ~_r(ｘ~)＝φ_r(ｘ~)－Ｓ_rsφ_s(ｘ)

＝－{φ~_r(ｘ)－φ_r(ｘ)}

＝φ_r(ｘ~)－(δ_rs＋(1/2)Ξ^μν _rsε_μν)φ_s(ｘ) 

＝φ_r(ｘ~)－φ_r(ｘ)－(1/2)Ξ^μν _rsε_μνφ_s(ｘ) 

＝ε^μνｘ_ν(∂φ_r/∂ｘ^μ)－(1/2)Ξ^μν _rsε_μνφ_s(ｘ)

です。
 

(※ δφ_rは,謂わゆる Lie微分:δφ_r≡φ_r(ｘ~)－φ~_r(ｘ~)

＝－{φ~_r(ｘ)－φ_r(ｘ)}　です。※)
 

故に,ε^μνｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)＝(∂/∂ｘ^μ)

∑_r[(∂Ｌ/∂_μφ_r){ε^λνｘ_ν(∂φ_r/∂ｘ^λ)－(1/2)Ξ^λν _rsε_λνφ_s}

です。
 

同様に,ε^νμｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^ν) ＝(∂/∂ｘ^μ)

∑_r[(∂Ｌ/∂_μφ_r){ε^νλｘ_λ(∂φ_r/∂ｘ^ν)－(1/2)Ξ^λν _rsε_λνφ_s}

です。
 

これらをの両辺を辺々加えると,ε^νμ＝－ε^μν,ε^νλ －ε^λν

ですから.ε^μν{ｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)－ｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^ν)} 

＝ε_λν(∂/∂ｘ^μ)[∑_r[(∂Ｌ/∂_μφ_r){ｘ^ν(∂φ_r/∂ｘ_λ)

 －ｘ^λ(∂φ_r/∂ｘ_ν)－Ξ^λν_rsε_λνφ_s}]　

を得ます。 
 

  左辺＝ε^μν{ｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^μ)－ｘ_ν(∂Ｌ/∂ｘ^ν)} 

　＝ε_μν{∂ (ｘ^νＬ)/∂ｘ_μ－∂(ｘ^μＬ)/∂ｘ_ν} 

　＝ε_νλ{∂ (ｘ^λＬ)/∂ｘ_ν－∂(ｘ^νＬ)/∂ｘ_λ} 

　＝ε_λν(∂/∂ｘ^μ){(ｘ^νｇ^μλ－ｘ^λｇ^μν)Ｌ}　です。
 

　一方,

　右辺 ＝ε_λν(∂/∂ｘ^μ)[∑_r[(∂Ｌ/∂_μφ_r){ｘ^ν(∂φ_r/∂ｘ_λ)

 －ｘ^λ(∂φ_r/∂ｘ_ν)＋Ξ^νλ_rsφ_s]　です。
 

　したがって,ε_λν,ε^λνての反対称性からゼロでない無限小

　の独立成分が６個だけであることを考慮すれば, 

　Ｍ^μνλ≡∑_r{(∂Ｌ/∂_μφ_r)(ｘ^ν∂^λφ_r－ｘ^λ∂^νφ_r＋Ξ^νλ_rsφ_s)} 

　－(ｘ^νｇ^μλ-ｘ^λｇ^μν)Ｌと定義して,∂Ｍ^μνλ/∂ｘ^μ＝0

　を得ます。
 

ところで,先に平行移動対称性による保存量として得た

エネルギー・運動量密度共変テンソルは,

Ｔ_μν＝∑_r{∂Ｌ/∂(∂^μφ_r)}∂_νφ_r－ｇ_μνＬ　です。
 

それ故,Ｔ^0λ＝∑_rπ_r∂^λφ_r－ｇ^0λＬなので.

Ｍ^0νλ＝ｘＴ^0λ＝ｘ^νＴ^0λ-ｘ^λＴ^0μ＋∑_rπ_rΞ^νλ_rsφ_sです。

　そこで,Ｍ^νλ≡∫ｄ³ｘＭ^0νλ

　＝∫ｄ³ｘ(ｘ^νＴ^0λ-ｘ^λＴ^0μ＋∑_rπ_rΞ^νλ_rsφ_s)

と定義すれば,ｄ,Ｍ^νλ/ｄｔ＝0 が成立します。
 

特に,場:φ_rがDiracのスピノル:Ψ＝^t(ψ₁,ψ₂,ψ₃,ψ₄)

の場合は,Ｓ_rs(ε)＝δ_rs＋(1/2)Ξ^μν_rsε_μν

＝δ_rs＋(1/8)[γ^μ,γ^ν] _rsε_μν なので,
 

Ξ^μν＝(1/4)[γ^μ,γ^ν]＝(－i/2)σ^μνです。

ただし,σ^μν＝(i/2)[γ^μ,γ^ν]　です。
 

そこで,Dirac場なら,Ｍ^νλ＝∫ｄ³ｘＭ^0νλ 

≡∫ｄ³ｘ[ｘ^νＴ^0λ-ｘ^λＴ^0μ＋(－i/2)πσ^νλΨ]

です。
 

そして,例えば,空間の角運動量:Ｍの第３軸成分なら,

Ｍ³＝Ｍ¹²＝∫ｄ³ｘＭ⁰¹²

＝∫ｄ³ｘ[ｘ¹Ｔ⁰²-ｘ²Ｔ⁰¹＋(－i/2)πσⁱ¹²Ψ]

となります。
 

※最後に(8)の再掲載です。
 

３. Lagrangianが時空の対称性でなく内部対称性

(internal symmetry)を持っている場合に得られる保存則

を導きます。
 

すなわち,無限小変換:φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ)

＝φ_r(ｘ)－iε∑_sλ_rsφ_r(ｘ)の下で,Lagrangian密度: 

Ｌの不変性を要求する場合を考えます。
 

φ~_r(ｘ)＝φ_r(ｘ)－iε∑_sλ_rsφ_r(ｘ)において,λ_rsは時空点:

ｘ^μには依存しない定数係数であり,εも定数の無限小

パラメータです。
 

行列:λの離散成分は単なる場の位相変化に対応するのみです

が,他の成分はＬにおいて対称的に現われる異なる場の振幅を

混合します。
 

以下では添え字ｒ,ｓについてもEinsteinぼ総和規約を拡張

して,２回現われる添え字については和記号:∑を省略する

ことにします。
 

そこで,無限小変換:

φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ)＝φ_r(ｘ)－iε∑_sλ_rsφ_r(ｘ)は, 

単に,φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ)＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_r(ｘ)

と書きます。
 

すると,この変換:

φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ)＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_r(ｘ)の下で

Lagrangian密度:Ｌが不変であることから,
 

0＝δＬ＝Ｌ[φ~_r(ｘ),∂_μφ~_r(ｘ))－Ｌ(φ_r(ｘ),∂_μφ_r(ｘ)] 

＝Ｌ[φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_r(ｘ),∂_μ(φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_r(ｘ)] 

  －Ｌ[φ~_r(ｘ~),∂~_μφ~_r(ｘ~))]

＝(∂Ｌ/∂φ_r)δφ_r＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}δ(∂_μφ_r) 

＝－iε(∂Ｌ/∂φ_r)λ_rsφ_r(ｘ) ＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}∂_μ{λ_rsφ_s(ｘ)} 

です。
 

Euler-Lagrange方程式より,

∂Ｌ/∂φ_r＝∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}ですから,これを代入すると, 

－iε∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}λ_rsφ_s(ｘ)]＝0 　です。
 

かくして,１つの保存方程式(連続の方程式): 

∂_μ[{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}λ_rsφ_s(ｘ)]＝0 が得られました。
 

　こうして,内部変換:

φ_r(ｘ) → φ~_r(ｘ)＝φ_r(ｘ)－iελ_rsφ_s(ｘ)の下で

Lagrangian密度Ｌが不変であるという対称性から,様々

な保存カレント:Ｊ^μ(ｘ;λ)が導き出されます。
 

　すなわち,Ｊ^μ(ｘ;λ)≡－i{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}λ_rsφ_s(ｘ)

　と定義すれば,∂Ｊ^μ(ｘ;λ)/∂ｘ^μ＝0 です。
 

　このＪ^μ(ｘ;λ)をカレント(current)と呼ぶわけは,

　Ｊ⁰(ｘ;λ)を電荷密度:ρ(ｘ,ｔ)として,Ｊ^μ＝(ρ,Ｊ)

 とすると,∂ρ/∂ｔ＋divＪ＝0 という,よく知られた

　電荷密度ρと電流Ｊの満たす電荷保存の連続の方程式

　に一致するからです。
 

　４元カレントＪ^μ(ｘ;λ)＝{∂Ｌ/∂(∂_μφ_r)}λ_rsφ_s(ｘ)

 に付随するカレントに対するChage(電荷)は,

 Ｑ(λ)≡∫ｄ³ｘＪ⁰(ｘ;λ)＝－i∫ｄ³ｘπ_r(ｘ)λ_rsφ_s(ｘ) 

で定義され,ｄＱ/ｄｔ＝－∫ｄ³ｘdivＪ＝－∫ＪｎｄＳ＝0 

　が満たされします。
 

　場の量子論の定式化においては,Ｌのスカラー性は,相対論的

　相互作用を保証するには十分ではなく,場がこうした演算子

　としての要請に従うことを確かめる必要があります。
 

　こうした要請が如何にして生じるかを見るために,2つの状態

　の間に場の演算子:φ^_r(ｘ)|を挟んだ行列要素を１つの物理的

　観測量として取ってみます。
 

　すなわち,＜Φ_α|φ^_r(ｘ)|Φ_β＞を考察します。
 

　α,βなる添字を付けられた任意の状態について,この量子論

　における,こうした振幅の完全セットが,古典論における場の

　振幅:φ_r(ｘ)に,とって代わります。
 

　Schroedingerの量子力学での,これに類似した役割は座標:

 ｑ(ｔ)の行列要素によって果たされます。
 

　※(注8-1):自由度が１の座標:ｑ(ｔ)は古典的にはその値自身

　で示されますが,それは Schroedingerの量子力学では,任意の

　状態:|Φ＞におけるその系での座標演算子:ｑ^(ｔ)の期待値:

 ＜Φ|ｑ^(ｘ)|Φ＞　に対応します。
 

　そして,任意の状態|Φ＞は,量子数α＝{α₁,α₂..}を持つ状態

　{|Φ_α>}_αの線型結合(重ね合わせ)として|Φ＞＝∑_αｃ_α|Φ_α>

 と展開できるため,座標:ｑ^(ｔ)に関わる全ての情報は

　＜Φ_α|ｑ^(ｔ)|Φ_β＞の完全なセット(集合)に帰着します。

　(注8-1終わり※)
 

　Lorentz変換に平行移動をも含めた合同変換の全体である

　Poicare'群に属する座標変換ｘ'^μ＝ａ^μ_νｘ^ν＋ｂ^μ

　( or ｘ'＝ａｘ＋ｂ)によって関係付けられる別のLorentz

　座標系をＳ'とすると,
 

　Ｓ系で観測される点ｘでの場:φ_rの振幅:＜Φ_α|φ^_r(ｘ)|Φ_β＞

　は,Ｓ'系の観測者にとっては,＜Φ'_α|φ^_r(ｘ')|Φ'_β＞という

　振幅になるはずです。
 

　ここで,|Φ'_α＞,|Φ'_β＞は,Ｓ'系における観測者にとって

Ｓ系での状態:|Φ_α＞,|Φ_β＞と同じ量子数α,βを持つ物理

状態を示しており,φ^_r(ｘ')は,変換された座標:ｘ'における

同じ場の演算子です。
 

上記の＜Φ'_α|φ^_r(ｘ')|Φ'_β＞なる振幅は,

古典場における φ'_r(ｘ')＝Ｓ_rsφ_s(ｘ)の対応する

量子論での表現になっています。
 

それ故,古典論での変換則:φ'_r(ｘ')＝Ｓ_rsφ_r(ｘ)は,

ｘ'＝ａｘ＋ｂのLorentz変換の係数行列:ａを陽に書いて

Ｓ_rsをＳ_rs(ａ)と表記すれば, 

＜Φ(_α|φ^_r(ｘ')|Φ'_β＞＝Ｓ_rs(ａ)＜Φ_α|φ^_s(ｘ)|Φ_β＞ 

で示されます。

(※↑これは対応原理ですね。)
 

以下,２つのLorentz系の観測者の間の交換関係の数学的法則

を与えます。
 

あるユニタリ演算子(unitary operator);Ｕ^(ａ,ｂ)が存在

して２つのLorentz系で対応する状態ベクトルの間に.

|Φ'_α＞＝Ｕ^(ａ,ｂ)|Φ_α＞なるユニタリ変換がなされる

ことにより,望ましい変換が得られると仮定します。
 

※(注8-2):Ｕ^＝Ｕ^(ａ,ｂ)|は,Ｕ^^＋Ｕ^＝Ｕ^Ｕ^^＋＝1を満たす

unitary演算子でなければならない,という条件は, 

＜Φ'_α|Φ'_β＞＝＜Φ_α|Ｕ^^＋(ａ,ｂ)Ｕ^(ａ,ｂ)|Φ_β＞

＝＜Φ_α|Φ_β＞ を要求することから得られます。
 

しかし,観測される振幅の大きさが等しい:つまり, 

|＜Φ'_α|Φ'_β＞|²＝|＜Φ_α|Φ_β＞|²という,より弱い要請に

留めるなら,時間反転対対称におけるような反ユニタリ演算子

の変換も許されます。
 

実際に,検知可能な観測事実としては,後者の弱い条件で十分

なのですが,全く変換しない恒等変換:Ｕ^＝1から無限小変換

の連続で到達できるような分岐を含む連続変換では,Ｕ^は

前者のunitary変換の条件を満たすべきであることがわかり

ます。　(注8-2終わり※)
 

＜Φ'_α|φ^_r(ｘ')|Φ'_β＞＝Ｓ_rs(ａ)＜Φ_α|φ^_s(ｘ)|Φ_β＞ 

に.|Φ_α＞＝Ｕ^^＋(ａ,ｂ)|Φ'_α＞を,代入すると,
 

＜Φ’_α|Ｓ^-1_rs(ａ)φ^_s(ｘ')|Φ'_β＞

＝＜Φ_α|Ｕ^φ^_r(ｘ)Ｕ^^-1|Φ_β＞　ですから,

Ｕ^(ａ,ｂ)φ^_r(ｘ)Ｕ^(ａ,ｂ)^-1＝Ｓ^-1_rs(ａ)φ^_s(ｘ') 

を得ます。
 

特にａ＝1のとき,すなわち平行移動

(translation or displacement):ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ｂ^μ

( or ｘ'＝ｘ＋ｂ)については,Lorentz回転を伴わないので

Ｓ_rs(ａ)＝Ｓ_rs(1)＝δ_rsです。
 

このときは,Ｓ^-1_rs(1) ＝δ_rsでもありますから,不変性

の条件は,Ｕ^(1,ｂ)φ^_r(ｘ)Ｕ^(1,ｂ)^-1＝φ^_r(ｘ＋ｂ)

です。
 

無限小平行移動:ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ε^μ＝に対して, 

Ｕ^(1,ε)≡exp(iε_μＰ^μ^)＝1＋iε_μＰ^μ^と書けば,

 Ｐ^μ^は,Hermite演算子です。 

※(注8-3):Ｕ(1,ε)＝exp(iε_μＰ^μ^)＝1＋iε_μＰ^μ^により, 

Ｕ^^＋(1,ε)＝exp(－iε_μＰ^μ^^＋)＝1－iε_μＰ^μ^^＋であり,

これが.1＝Ｕ^^＋(1,ε)Ｕ^(1,ε)＝1＋i(Ｐ^μ^－Ｐ^μ^^＋) 

を満たすので,Ｐ^μ^^＋＝－Ｐ^μ^です。(注8-3終わり※)
 

Ｕ^(1,ε)＝exp(iε_μＰ^μ)＝1＋iε_μＰ^μ^,および, 

Ｕ^(1,ε)^-1＝Ｕ^^＋(1,ε)＝exp(－iε_μＰ^μ^)＝1―iε_μＰ^μ^ 

を,Ｕ^(1,ε)φ^_r(ｘ)Ｕ^(1,ε)^-1＝φ^_r(ｘ＋ε)

に代入すると,
 

(1＋iε_μＰ^μ^)φ^_r(ｘ)( 1－iε_μＰ^μ^)＝φ^_r(ｘ＋ε)

ですから,iε_μ[Ｐ^μ^,φ^_r(ｘ)]＝φ^_r(ｘ＋ε)－φ^_r(ｘ)

＝ε^μ{∂φ^_r(ｘ)/∂ｘ^μ}＝ε_μ{∂φ＾_r/∂ｘ_μ}　です。
 

ε_μは任意の無限小のｃ-数ですから, 

i[Ｐ^μ^,φ^_r(ｘ)]＝∂φ~_r/∂ｘ_μが得られます。


　(※ i[Ｐ^μ^,φ^_r(ｘ)]＝∂φ＾_r/∂ｘ_μから逆に, 

Ｕ^(1,ε)＝exp(iε_μＰ^μ^)＝1＋iε_μＰ^μ^; 

Ｕ^(1,ｂ)φ^_r(ｘ)Ｕ^(1,ｂ)^-1＝φ^_r(ｘ＋ｂ) 

を導くこともできます。※)
 

　　物理量Ｏに対する古典論の正準力学の運動方程式:

 ｄＯ(ｔ)＝{Ｈ.Ｏ (ｔ)}]_P.Bと,量子論の運動方程式:

 ｄＯ_H(ｔ)＝,i[Ｈ^.Ｏ_H(ｔ)]との間に見られるような

　非相対論的なSchroedinger理論とHeisenbergの量子論との 

　対応は,Ｕ^(1,ε)＝exp(iε_μＰ^μ^)＝1＋iε_μＰ^μ^と, 

　i[Ｐ^μ^,φ^_r(ｘ)]＝∂φ＾_r/∂ｘ_μにおける変換の生成子

　(generator) or Lie代数:Ｐ^μ^が,

  古典論でのエネルギ－・運動量４元ベクトル;Ｐ^μと同一視

  できること:つまり,Ｐ^μ^～ Ｐ^μなる同値関係の存在を示唆

  しています。

(※ 例えば,Ｈ^＝Ｐ⁰^とすることでHeisenbergの運動方程式: 

ｄＯ_H(ｔ)＝,i[Ｈ^.Ｏ_H(ｔ)]は,

∂φ＾_r/∂ｔ＝i[Ｐ⁰^,φ^_r(ｘ)] という形に書くことができます。)
 

古典論のＰ^μ については,既に,Ｐ^ν＝∫ｄ³ｘＴ^0ν

＝∫ｄ³ｘ[∑_rπ_r(∂φ_r/∂ｘ_ν)－ｇ^0νＬ]として, 

その陽な形が導出されているので,この正準量子化の手続き

において課される交換関係から,上述の同一視:Ｐ^μ^ ～ Ｐ^μ

が出来るか否か？を陽にチェックすることができます。
 

こうして,交換関係から直接,Ｕ^(1,ｂ)＝exp(iｂ_μＰ^μ^)

が演算子の恒等式のままで残っているか否か？を,

Ｐ^＝(Ｐ¹^,Ｐ²^,Ｐ³^)が,Ｈ^＝Ｐ⁰^と交換する:つまり,

[Ｈ^,Ｐ^]＝0であり,故に,Ｐ^が運動の常数(保存量)のままである

か否か？を計算で確かめることができます。
 

i[Ｐ^μ^,φ^_r(ｘ)]＝∂φ＾_r/∂ｘ_μと, [Ｈ^,Ｐ^]＝0  

(ただし,Ｐ^μ^＝(Ｐ⁰^,Ｐ¹^,Ｐ²^,Ｐ³^)＝(Ｈ^,Ｐ^))が,

交換関係と矛盾しないなら,この量子論は平行移動不変

な理論です。
 

もし,そうでなければ,i[Ｐ^μ^,φ^_r(ｘ)]＝∂φ＾_r/∂ｘ_μ

と [Ｈ^,Ｐ^]＝0 を満たすＰ^μ^は何か別々の方法で,または

修正された交換関係で見出されなければならないか,それとも

理論を捨ててしまうかのいずれかの道をとらざるを得ません。
 

しかしながら,考えている当面の理論においては,Noetherの定理

によって見出される形のＰ^μ,角運動量:Ｍ^μνが正準交換関係と

矛盾なく演算子として,それぞれ,Ｐ^μ^,Ｍ^μν^に同定されること

が以下の論議で自然に示されます。
 

以上,結局,全体では,かなり長くなりましたが,今日は全て再掲載

のみでお茶を濁しました。

　しかしながら,今回確認した論議は私自身が,量子場の理論に

初めて接した学生時代から,敷居が高いと感じながら折に

触れて反芻してきて,結構,受認しにくい,しかし,本質的と

思われる部分です。終わり。。
 

(参考文献):J.D.Bjorken S.D.Drell  

"Relativistic　Quantum Fields"　(McGrawHill)

非線型自由粒子構想(2)(遺構)

こういうモノって(つづく)と書いていても続きが無かったり,

(1)と書いていても,(2)は永久に無い。。とかいうジンクス

めいたものがあるらしいので,取りあえず,つなぎで続きを

アップしておきます。
 

§3。λφ⁴以外の非線型項の模索
 

４元運動量がｋの中間子線上の1個の点ｚに,２本の中間子

内線(または外線)が接続する形は.必然的に1つのループに

ならざるを得ず,計４個の線が,ただ１個の点ｚにつながる

ものはTad-poleと呼ばれるグラフになります。

 

この寄与を真面目に摂動論のFeynmanルールに従って計算

しようとすれば,これには,伝播関数:Δ_Ｆ(ｚ－ｚ)＝Δ_F(0)

を付与することになります。
 

　しかしながら,普通の自由粒子Feynman伝播関数は, 

Δ_F(ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 exp(－iｋｘ)/(ｋ²－μ²＋iε) 

ですから,このループを回る運動量(＝単なる積分変数)

をｌとすると,Δ_F(0)＝∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4{1/(l²－μ²＋iε)}

となりますが,これは計算すると明らかに発散します。
 

Δ_F(0)の代わりに.Δ_F^λ(0)としても,

Δ_F^λ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋｘ－λ(ｋ²)²}

/(ｋ²－μ²＋iε)により,

Δ_F^λ(0)＝∫ｄ⁴ｌ(2π)^-4{ exp{－λ(ｌ²)²}/(l²－μ²＋iε) 

＝2πexp(－λμ⁴)∫₀^∞ｄｌ[ｌ²/(ｌ²＋μ²)^1/2]

となるため,やはり発散します。
 

最初の思いつきのアイディアの,普通の伝播関数に因子:

exp{－λ(ｋ²)²}を加える修正では,ｋ²＝ｋ₀²－ｋ²より,

ｋ²－μ²＝ｋ₀²－ｋ²－μ²

＝{ｋ₀－(ｋ²＋μ²)^1/2}{ｋ₀－(ｋ²＋μ²)^1/2}なので,

∫ｄ⁴ｋのうち∫ｄｋ₀を実行すると,留数の関係から,

exp{－λ(ｋ²)²}因子が単にexp(－λμ⁴)となってｋを

含まなくなります。
 

そこで,,残りの３次元空間積分∫ｄ³ｋでは,この因子には

全く,紫外切断の減衰効果がありません。
 

それ故,exp{－λ(ｋ²)²}の代わりに,例えば空間ベクトルｋ

だけの因子:exp (－λｋ²)で置き換えれば,これは∫ｄｋ₀

には無関係なので,この場合には積分結果は確かに有限には

なりますが, Lorentz共変では無いのが気になります。

(※ちょっと見の思いつきですからねえ。。)
 

いずれにしろ,こうしたTad-poleでは,

たとえ発散せずに収束して有限な寄与:σになったとしても,

運動量空間において４元運動量:ｋで伝播する中間子線との

エネルギー・運動量の保存を考慮したとき,

　　ループの運ぶ運動量:ｌがｋとは無関係なので,寄与σは

量子電磁力学のくり込みこみにおける電子の自己質量:

Σ(ｋ)や光子の真空偏極のΠ(ｋ²)とは異なってｋを含まず

単なる定数になります。

(※↓2011年４/27の過去記事

「量子電磁力学の輻射補正(5)(電子自己質量-1)」から)

 

(※↓2011年４/13の過去記事

「量子電磁力学の輻射補正(3)(真空偏極-2)」から)

ところで,伝播関数の減衰因子のアイディアと直接には

無関係な問題なのですが。。。

自己相互作用のλφ⁴模型では,ｚ頂点にφ(ｚ)⁴が付与

され,これとｘからｙへと進む運動量ｋの中間子線が入るのと

出るのとで２本；結局,ｚには計６本が接続する６重点となり

Tad-poleとしてはループが２個になります。

　このグラフのTad-poleループの寄与は単純に２乗になります。
 

こうした寄与が連結した外線の運動量ｋに無関係なら,伝播関数

への寄与と真空泡:＜0|Ｓ|0＞への寄与が一致し,Ｓの再規格化:

Ｓ/＜0|Ｓ|0＞においては,分子と分母でこの因子は相殺して,

結局,無意味かもしれません。

 

したがって,有意なモデルとするには,Tad-Pole以外の,

少なくとも２端点を持つ非線型自己相互作用を考えるか？

あるいは,そもそも非線型ですから「重ね合わせの原理」

とか級数和に展開できるとかの線形性は成立せず,そうした

操作に頼る摂動論以外の方策を考えるべきとも思われます。
 

今のところ,このアイディアのメリットとして身のありそう

なものは,「非線型自由粒子＝ソリトン」の構想以外には何

もありませんが。。。後は構想倒れ。。
 

σ(ｋ,ｘ)をｋ→∞と共に∞に増大する何らかのｋとｘの関数

として一般化て自由伝播関数の模型を, 

Δ_F^λ(ｘ)＝∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋｘ －λσ(ｋ,ｘ)}

/(ｋ²－μ²＋iε)と書けば,

(□＋μ²)Δ_F^λ(ｘ)

＝－∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4exp{－iｋｘ －λσ(ｋ,ｘ)}です。

ただし,Δ_F^λ(ｘ)＝＜0|Ｔ[φ(ｘ)φ(0)]|0＞です。
 

これを満たすような,非線型方程式:

(□＋μ²)φ＝ｆ(λ,φ)の形を模索して得た解について

楕円積分の可能性を考察.そのλ→0での具体的計算を 

追求したりしているノートなどもあるのですが,整理

ができず,

　また引っ越しなど身のまわりが忙しくなってきたので,

Pendingです。(つづく)。。。。
 

続かないかも。。。。

ＰＳ:引っ越しのときはいつも手伝ってくれてた音信不通

　のＮ目クンがなつかしい。。

場の量子論(第Ⅱ部)(3)

場の量子論第Ⅱ部の続きです。

前記事の最後では節が変わると勘違いしてましたが,§15.2の中の補足

項目として.荷電Dirac粒子からKlein-Gordon粒子の項目に移るだけ

でした。

※ 荷電Klein-Gordon場と電磁場の相互作用

荷電Klein-Gordon場と結合電磁場の量子論を確立する際に直面する

問題は本章の光子と電子のそれで既に遭遇したのと同様です。

そこで,ここでは同じ部分については繰り返すことはしません。

Klein-Gordon粒子においても,相互作用は,電子に対するのと同じく

電磁結合の処方:ｐ^μ→ ｐ^μ－ｅ₀Ａ^μでによって行いますが,これが

微分係数を含む相互作用の項を導入するため,その反動として特別な

問題が出現します。

自由場の荷電Klein-Gordon場のLagrangian密度は,

Ｌ_free^＝∂_μφ^＊^∂^μφ^－μ²φ^＊^φ^　です。

また,電磁場単独でのLagrangian密度は,

Ｌ_el^＝ －(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^＝-(1/2)(Ｅ^²－Ｂ^²)です。

これから,極小変換:ｐ^μ→ ｐ^μ－ｅ₀Ａ^μ^,or,i∂^μ→ i∂^μ－ｅ₀Ａ^μ^

により,∂^μφ^ → (∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^,および,これの複素共役:

∂_μφ^＊^ →(∂_μ－iｅ₀Ａ_μ)φ^＊^ によって,電磁場:Ａ^μ^がある場合

の系のLagrangian密度は,トータルで

Ｌ^＝(∂_μ－iｅ₀Ａ_μ^)φ^＊^(∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^－μ²φ^＊^φ^

－(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^ となります。

少し書き直して,(自由場項)＋(相互作用項)という形に整理すると,

Ｌ^＝∂_μφ^＊^∂^μφ^－μ²φ^＊^φ^－(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^

－iｅ₀{φ^＊^∂^μφ^－(∂^μφ^＊^)φ^}Ａ_μ^＋ｅ₀²φ^＊^φ^Ａ_μ^Ａ^μ^

となります。

ただし,上の最後の変形では,前と同様,Coulombゲージで,演算子

φ^やφ^^＊が,Ａ⁰^＝Φ^と交換しないことを無視しました。

(正規順序なら正しいはずです。)

このＬ^＝(∂_μ－iｅ₀Ａ_μ^)φ^＊^(∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^－μ²φ^＊^φ^

－(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^^にに対するEuler-Lagrange方程式の１つ:

∂Ｌ^/∂φ^＊^－∂_μ{∂Ｌ^/(∂_μφ^＊^)}＝0 から,

－iｅ₀Ａ_μ^(∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^－μ²φ^－∂_μ(∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^＝0,

つまり,(∂_μ＋iｅ₀Ａ_μ^)(∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^－μ²φ^＝0を得ます。

一方,別の方程式:∂Ｌ^/∂φ^－∂_μ{∂Ｌ^/(∂_μφ^)}＝0 からは,

同様にして,(∂_μ－iｅ₀Ａ_μ^)(∂^μ－iｅ₀Ａ^μ^)φ^＊^－μ²φ^＊^＝0を

得ますが,これはすぐ前に得た方程式の複素共役を取れば得られる

式なので方程式として独立ではありません。

基本方程式としては,

(∂_μ＋iｅ₀Ａ_μ^)(∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^－μ²φ^＝0

のみで十分です。

これは,確かに自由場のKlein=godon方程式:(□＋μ²)φ^＝0.

(∂_μ∂^μ＋μ²)φ^＝0,または,(ｐ^²－μ²)φ^＝(ｐ_μｐ^μ－μ²)φ^＝0

に,i∂^μ→ i∂^μ－ｅ₀Ａ^μ^,または,ｐ^μ→ ｐ^μ－ｅ₀Ａ^μ^なる極小変換

を施した式になっています。

そして,Ｌ^＝(∂_μ－iｅ₀Ａ_μ^)φ^＊^(∂^μ＋iｅ₀Ａ^μ^)φ^－μ²φ^＊^φ^

－(1/4)Ｆ_μν^Ｆ^μν^ の相互作用項が場の微分係数を含むため,

φ^,φ^＊^の正準共役運動量は自由場のときと異なり:

電磁ポテンシャルとの混合形になります。

π^＝∂Ｌ^/∂φ^d^＝φ^＊d^－iｅ₀Ａ₀^φ^＊^,および,

π^＊^＝∂Ｌ^/∂φ^＊d^＝φ^d^＋iｅ₀Ａ₀^φ^　です。

(注3-1;)テキスト参照はここまでで詳細は文献を見よ。との

ことで文献が紹介がしてありましたが,この文献はあいにく

入手できず,しかし,これだけでは不完全燃焼なので自分で決着

を付けます。

まず,電磁相互作用項のうちのＡ_μ^の１次の項:

－iｅ₀{φ^＊^∂^μφ^－(∂^μφ^＊^)φ^}Ａ_μ^は,Dirac場

と同じく,－ｊ^μ^Ａ_μ^と表現できます。

ただし,今の場合,ｊ^μ^＝iｅ₀{φ^＊^∂^μφ^－(∂^μφ^＊^)φ^}