赤外発散の論文(1961)の詳解（3）

赤外発散論文詳解の続きです。
　

　前回のアップが12月15日で暮れから正月にかけて,頭もお休み

してましたが,ほぼ1ｶ月ぶりに思考力が回復しました。

§2.電子散乱への輻射補正 

(Radiative corrections to electron scattering)
 

本節では,電子ポテンシャル散乱への仮想光子,実光子補正を

扱います。
 

赤外寄与を陽に因子化して,Feynman-ダイアグラムの

well-defined(無矛盾)なセットとして確認し,これを詳細に

論じます。
 

最初,散乱中心はエネルギーを持たない運動量のみの存在で

あり,その結果,総エネルギーが丁度,その散乱中心に入射して

散乱されるまでの散乱される電子のエネルギー損失に等しい

ような検知されない実光子が生成され放出されるという

プロセスを仮定します。
 

そうして,この際の総運動量Ｋは,0≦|Ｋ|≦εの領域に限定

されていると仮定します。
 

こうした仮定に従う電子散乱は実験として興味深く,論じる

には比較的簡単ですが,後節ではより複雑な問題へと一般化

する予定です。
 

(ａ)仮想光子輻射補正(Virtual photon-radiative corrections) 

　　　運動量がｐの状態からｐ'の状態へと電子が散乱される間に,

いくつかの光子が生成される過程を考えます。

　　　終状態を固定したままで最低次の行列要素への輻射補正を

考察します。

　　　Ｍ_n(ｐ,ｐ')をｎ個の仮想光子を含む全てのダイアグラム

に対応する行列要素の寄与とします。
 

これは,(仮想光子の個数ｎがゼロの)ポテンシャル散乱は,

Ｍ₀ と表現され,ｎ≧１の仮想光子を含む散乱は.

このポテンシャル散乱(ｎ＝0)とは区別されることを意味

します。ただし,実光子に関わる変数は省略しています。
 

すると,完全な散乱の行列要素：Ｍ(ｐ,ｐ')は次のように

書けます。

　　　Ｍ(ｐ,ｐ')＝Σ_n=0^∞Ｍ_n(ｐ,ｐ')..(2.1) です。

Ｍ_nは,ｎ個の仮想(軟)光子を持つのでｎ次の赤外発散を有する

と予想されます。

実際,これは赤外切断の対数のｎ次多項式となることは直感的

に明らかです。
 

ここでの我々の仮想光子の論議の目的は,Ｍ_nが次の構造を持つ

ことを示すことです。

すなわち,Ｍ₀＝ｍ₀ ..(2.2ａ) 

Ｍ₁＝ｍ₀αＢ＋ｍ₁ ..(2.2ｂ) 

Ｍ₂＝ｍ₀(αＢ)²/2!＋ｍ₁αＢ＋ｍ₂ ..(2.2ｃ) 

Ｍ_n＝Σ_r=0^ｎｍ_n-r(αＢ)^ｒ/ｒ! ..(2.2ｄ)　です。
 

ただし,ｍ_j(ｊ≧1)は,赤外発散がない(nｎ＝0の)

行列要素:Ｍ₀＝ｍ₀ に対して,α^ｊのオーダーの

(仮想光子数ｎに独立な)関数です。

　　　　そして,因子αＢの方は,１つ の仮想光子当たりの

赤外寄与を含んだ量です。
 

（2.1) と（2.2)から直ちに,指数関数の中に赤外項が

現われる式：Ｍ＝exp(αＢ)Σ_n=0^∞ｍ_n..(2.3）

が導かれます。
 

※(注): 何故なら,

Ｍ＝Σ_n=0^∞Ｍ_n＝Σ_n=0^∞Σ_r=0^ｎ{ｍ_n-r(αＢ)^ｒ/ｒ!} 

＝ｍ₀{Σ_n=0^∞αＢ)^ｎ/ｎ!}＋ｍ₁{Σ_n=1^∞αＢ)^ｎ-1/(ｎ-1)!} 

＋ｍ₂{Σ_n=2^∞αＢ)^ｎ-2/(ｎ-2)!}＋.. ＝exp(αＢ)Σ_n=0^∞ｍ_n 

となるからです。(注終わり※)
 

さて,(2.2)式の成立を厳密に証明するため,先に, 

「ｎ個の仮想光子を含む全てのダイアグラムに対応する

行列要素の寄与」という曖昧な表現で与えたＭ_nの明確な定義

を与えることから始めます。
 

Ｍ_n＝(1/ｎ！)∫..∫Π_j=1ⁿ{ｄ⁴ｋ_j/(ｋ_ｊ²－λ²)}

ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)..(2.4)と定義します。

ここで光子質量としてλを導入しました。
 

この扱いが.光子運動量の最低限界値を与えるのと同等である

ことは後で示します。
 

※今のところ,ｎ個の仮想光子:ｋ₁,..,ｋ_nによる内線の伝播関数

以外の寄与:ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)の明確な定義が示されていないので

これは定義といっても,未知の量Ｍ_nを別の未知量:ρ_nへと転嫁

しただけです。※
 

係数:(1/ｎ！)は,ρ_nがｎ個の仮想光子ｋ₁,..,ｋ_nについて

対称化されたものであることを示すための因子です。

この対称化は(2.2)式を得るのに本質的な役割を果たすこと

がわかります。
 

さて,これらｋ₁,..,ｋ_nの関数としてのρ_nのグラフで考察

します。

図１．あらゆる可能なポテンシャル相互作用と実光子

のセット,および,(ｎー１)個のｋ層光子を含む基本グラフ

のセットの表現　

上の図１は,最初の(ｎ－1)個の仮想光子,および,

任意個数のポテンシャル相互作用と関わる基本の

Feymanグラフを表わしています。

 

図２.図１のグラフに１つの仮想光子を挿入する可能なやり方

また,次の図２は,種々の基本グラフにｎ番目の１光子が挿入

できる可能なやり方を表わしています。

　　　　ｎ番目の仮想光子の両端が荷電粒子外線上につながるグラフ

(図2の(ｄ),(ｅ),(ｆ))の寄与は,他のあらゆる光子の運動量が

ゼロでないなら,ｋ_n→ 0 のとき有限です。
 

一方,ｋ_n→ 0 とｋ_j→ 0 (ｊ＜ｎ)が同時的に生じるときにはｋ_n

 とｋ_jでの重複発散が生じます。
 

しかし.後の付録Ａでゲージ不変でない項とゲージ不変な項

を,独立にゲージ不変な表現と結合させると,こうした全ての

重複発散も相殺して)消えることが示されます。
 

故に.残る唯一の発散は,基本グラフでｋ_n→ 0としたときの

図２の(ａ),(ｂ),(ｃ)に対応するものです。
 

この論議は,ρを次のように分離形で書くことを許します。
 

ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n) 

＝Ｓ(ｋ_n)ρ_n-1(ｋ₁,..,ｋ_n-1)＋β_n⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-1；ｋ_n)

..(2.5)　です。

ここで,Ｓ(ｋ_n)は図2からのｋ_nの赤外寄与を含む因子であり,

残りの項はｋ_nの赤外発散を含まない寄与部分です。
 

それ故,他のｋ₁,..,ｋ_n-1による赤外発散は,この分離の影響

を受けることはありません。
 

以下では,β項はｋ_nについて非赤外であるという言葉を

しばしば使用します。
 

漸化式(2.5)の反復から,まず,次のように書けます。
 

ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n) 

＝Ｓ(ｋ_n)Ｓ(ｋ_n-1)ρ_n-2(ｋ₁,..,ｋ_n-2)

＋Ｓ(ｋ_n)β_n-1⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-2；ｋ_n-1) 

＋Ｓ(ｋ_n-1)β_n-1⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-2；ｋ_n) 

＋{－Ｓ(ｋ_n-1)β_n-1⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-2；ｋ_n)

＋β_n⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-1；ｋ_n)}..(2.6) 
 

この式でρ_nにおけるｋ_1nとｋ_n-1の対称性から左辺と,

右辺最初の3項はｋ_nとｋ_n-1の交換に対して不変です

から,最後の{　}の中の量もｋ_nとｋ_n-1の交換に対して

不変であるはずです。
 

しかも,この{　}の中の量:

－Ｓ(ｋ_n-1)β_n-1⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-2；ｋ_n)

＋β_n⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-1；ｋ_n) は赤外因子:Ｓ(ｋ_n-1)がｋ_nに依存

しないため,ｋ_nについては非赤外であると言えます。

これをβ_n⁽²⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-1；ｋ_n)と定義します。

　　　　すなわち,β_n⁽²⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-1；ｋ_n) 

＝－Ｓ(ｋ_n-1)β_n-1⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-2；ｋ_n)

＋β_n⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-1；ｋ_n)..(2.7)　です。
 

(2.6),(2.7)から,ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n) 

＝Ｓ(ｋ_n)Ｓ(ｋ_n-1)ρ_n-2(ｋ₁,..,ｋ_n-2)

＋Ｓ(ｋ_n)β_n-1⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-2；ｋ_n-1) 

＋Ｓ(ｋ_n-1)β_n-1⁽¹⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-2；ｋ_n)

＋β_n⁽²⁾( ｋ₁,..,ｋ_n-1；ｋ_n)となり

ｋ_nとｋ_n-1の両方について赤外寄与因子と非赤外部分

を分離できます。
 

この形は,我々の長波長光子の議論から予期される特性を

示しています。
 

漸化式(2.5)の適用を繰り返し,ρ_nのｋに関する対称性を

活用すれば,
 

ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n) 

＝Ｓ(ｋ₁)..Ｓ(ｋ_n)β₀

＋Σ_i=1ⁿＳ(ｋ₁)..Ｓ(ｋ_i-1)Ｓ(ｋ_i+1)β₁(ｋ_i) 

＋..＋Σ_i=1ⁿＳ(ｋ_i)β_n-1( ｋ₁,..,ｋ_i-1,ｋ_i+1,..ｋ_n) 

＋β_n( ｋ₁,..,ｋ_n)..(2.8)　が得られます。
 

ただし,β₁は単に上添字をはずしたβ_i^(j)を意味します。
 

この(2.8)はｋｋのあらゆる置換(Permutation)の総和と

して表現できます。
 

すなわち,ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n) 

＝Σ_permΣ_r=0ⁿ[1/{ｒ!(ｎ―ｒ)!}]Π_i=1^ｒＳ(ｋ_i)

β_ｎ-r(ｋ_r+1,..ｋ_n)..(2.9)です。

　　　　そして,β_ｎ-rは全て非赤外です。
　 

これを,Ｍ_n＝(1/ｎ！)∫..∫Π_j=1ⁿ{ｄ⁴ｋ_j/(ｋ_ｊ²－λ²)}

ρ_n(ｋ₁,..,ｋ_n)..(2.4)　に代入すると,
 

Ｍ_n＝Σ_r=0ⁿ[1/{ｒ!(ｎ―ｒ)!}]{∫ｄ⁴ｋＳ(ｋ)/(ｋ²－λ²)}^r 

Π_i=1^n-r{∫ｄ⁴ｋ_iβ_ｎ-r(ｋ₁,..ｋ_n-r)/ｋ_i²}..(2.10)　

となります。
 

ここで赤外発散を避ける必要のない項では仮想質量λを

略しました。
 

最後に,定義: 

αＢ(ｐ,ｐ'(ε))≡∫ｄ⁴ｋＳ(ｋ)/(ｋ²－λ²)..(2.11),

および, ｍ_r(ｐ,ｐ'(ε))

≡(1/ｒ!)Π_i=1^r{∫ｄ⁴ｋ_iβ_ｎ-r(ｋ₁,..ｋ_r)/ｋ_i²}..(2.12) 

を与えます。,
 

すると,(2.10)式:

Ｍ_n＝Σ_r=0ⁿ[1/{ｒ!(ｎ―ｒ)!}]{∫ｄ⁴ｋＳ(ｋ)/(ｋ²－λ²)}^r 

Π_i=1^n-r{∫ｄ⁴ｋ_iβ_ｎ-r(ｋ₁,..ｋ_n-r)/ｋ_i²}

は,Ｍ_n＝Σ_r=0ⁿ{(αＢ)^r/ｒ!}ｍ_n-rとなり,
 

結局,先の行列要素の(2.2)式の一般形:

Ｍ_n＝Σ_r=0^ｎｍ_n-r(αＢ)^ｒ/ｒ! ..(2.2ｄ)と完全に一致し

当面の目的は達成されました。
 

ここで,Ｂとｍ_rはエネルギー保存の関係:Ｅ'＝Ｅ－εを

通して,遷移エネルギーεに依存することに注意してこの項目: 

(ａ)仮想光子輻射補正(Virtual photon-radiative corrections) 

を終わります。
 

次回は,(ｂ)実光子輻射補正(Real photon-radiative corrections)

に入ることを予定して,いつもよりやや短かいですが終わります。

PS:今日も寒いので気分が暖かくなりそうな春の映像を送ります。

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