頭の体操；過去の大学入試問題

年末とか年始とかも関係なく毎日のように看護師や介護

ヘルパーの各々1時間程度の訪問サービスを受ける生活

をしています。

,主として足の傷からの感染から敗血症による死を防ぐため,
少しでも体温などに異変を感じたら即入院して抗生物質の

点滴を受けて毒消しの必要があるからです。

　したがって正月とか3連休とか関係なく一応毎日が寝てヨウビ

ですが,体力の衰えの防止の意味のリハビリも兼ねて週2日くらい

は日本橋の作業所に通っています。

　そういう意味では入院せずに自宅にいる限り表面上は以前と

変わらぬ通常の日常生活をしています。(足や様々な老化のため

遠出などして無理はできませんが。。)

ここのところ,とりあえず引っ越し作業が終わって第2段階の部屋

の整理をしています。

　その合間に前のように本格的に科学ブログを書く作業もやっては

いますが遅々として進まず。。。頭の体操でもやってみます。
 

　過去の数学オリンピック問題集の古書を2冊持っていますが,これは

解くのに時間がかかる問題が多く,すぐ後にヒントや答が載っている

のでツイそれらを見てしまったりします。
　
そこで,ネットに問題だけで答が載ってない面白そうな大学入試

問題がないか？と探して適当な問題を１つ見つけました。

以下問題です。

(※)ｘを超えない最大の整数を[ｘ]と書きます。 

ｎを自然数とし,二次方程式 ｘ²－2ｘ－ｎ＝ 0 の正の解をａ_ｎと

します。

Ｓ_j ＝Σ_k=1 ^j [ａ_k] とするとき,Ｓ_n2 を計算してください。(※)

まず,これが今風なのか？昔と比べて「計算せよ」ではなく

「計算してください」と丁寧な「ですます調」になっているの

がやや気になりました。まあ,枝葉末節ですが。。。
 

ここで,[ｘ]というのは,一般にはｘのGauss記号と呼ばれている

ものです。

二次方程式のの根の公式から,すぐにａ_ｎ＝1＋(ｎ＋1)^1/2を得ます。
 

そこで,Ｓ_n2 ＝Σ_k=1 ⁿ²[ ａ_k] ＝ Σ_k=1 ⁿ² {1＋[(ｋ＋1)^1/2]} 

＝ｎ²＋Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2] ですから,

結局,Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2] を計算することに帰着します。
 

昔,御茶ノ水などの予備校で教えていた経験から,こういう数列の

問題はもっとわかりやすく書き下すのが解決の早道であると

わかっています。
 

Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2]

＝[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋[√6]＋..＋[(ｎ²＋1)^1/2]　

です。
 

[√2],[√3]は1であり,[√4],√5],[√6],[7],[√8]は2です。

さらに[√9],√10],[√11],..[√15]は3であり

[√16],√17],[√13],..[√24]は4,です。
 

もう答は見えましたね。
 

1が2個,あり,2は9－4＝5個,3は16＾9＝7個,4は25－16＝9個です。
 

1だけは[√1]が勘定に入ってないので4－3＝3個より1だけ少ない

ですが,それを除けば,個数は平方数の階差である１,3,5,7,9の2番目

以降1,に一致しています。

そうして最後の項は,[(ｎ²＋1)^1/2]＝ｎです。
 

[(ｋ＋1)^1/2]＝ｎとなるｋはｋ＋1＝ｎ², ｎ²＋1,ｎ²＋2,..[(ｎ＋1)² 

の(2ｎ＋1)個で全部ですが,このうち総和にカウントされるのは

常にｋ＋1＝ｎ², ｎ²＋1の2個だけですから和への寄与は2ｎです。

ただし,ｎ＝1のときはｋ＋1＝ｎ²,＋1のみの1個です。
 

　以上から,ｎ≧2なら,

Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2]＝[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋[√6]＋..＋[(ｎ²＋1)^1/2] 

＝1×2＋{2×5＋3×7＋4×9＋・・・・＋(ｎ－1)(2ｎ－1}}＋2ｎ

つまり, 

＝Σ_k=1 ⁿ²[(ｋ＋1)^1/2]＝[√2]＋[√3]＋[√4]＋[√5]＋[√6]＋..

＋[(ｎ²＋1)^1/2]

＝{1×3＋2×5＋3×7＋4×9＋・・・・＋(ｎ－1)(2ｎ－1)}－1＋2ｎ

です。

与式＝Σ_k=1 ^n-1ｋ(2ｋ＋1) ＋2ｎ－1＝Σ_k=1 ^n-1(2ｋ²＋ｋ) ＋2ｎ－1 

＝ｎ(ｎ―1)(2ｎ－1)/3＋ｎ(ｎ－1)/2＋2ｎ－1 

＝ｎ(ｎ－1)(4ｎ＋1)/6＋2ｎ－1　　です。
 

したがって,Ｓ_n2＝ｎ²＋ｎ(ｎ－1)(4ｎ＋1)/6＋2ｎ－1 

＝(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6

です。
 

さて,検算しｔｒみます。 

ｎ＝2ではＳ₄＝(1＋[√2])＋(1＋[√3])＋(1＋[√4])＋(1＋[√5])＝10

で,(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6＝10,
 

ｎ＝3ではＳ₉＝(1＋[√2])＋(1＋[√3])＋(1＋[√4])＋(1＋[√5]) 

＋(1＋[√6])＋(1＋[√7])＋(1＋[√8])＋(1＋[√9])＋(1＋[√10])

＝27ですが,一方,(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6＝27,となって両者は

確かに合致しています。
 

ｎ＝1のときもＳ₁＝1＋[√2]＝2ですが,

(4ｎ³＋3ｎ²＋11ｎ－6)/6＝2ですから正しいようです。
 

これは2009年の慶応大学の情報工学部の入試問題ということです。

　入試問題の解答本を見れば,答は載っているでしょうが。。。

解法のテクニックははともかく答は合っているでしょう。

ところで,年末か年始に過去のｔV番組のリバイバルで「でんじろう」先生の講義

なの番組を見ましたが。。。

　　お金持ちと貧乏人,有名人とその他大勢というのもそうですが,私とは正反対の

方のようです。

　私も決して実験や観察が大嫌いというわけじゃないですが。。。。

それらは他人にまかせて実験結果のデータや分析を見て,「「なぜそうなるのか？」

の理屈や仕組みを頭で考えることのみに興味があるという性格なので。。

　物理など実証科学じゃなく,て,むしろ純粋数学向きだったのかもしれませｎネ。。。

これらはここでは余談ですが。。
 

　入試問題の難易度は大学の偏差値とは関係なく偏差値が低くても

難問だったりしますが,,。。結局,誰も解けない。。。ということに

なりがちですネ。

ＰＳ:いつ死んでもどうってことなく何の役にも立たない有象無象

のクソジジイを.仕事とはいえ,寄ってたかって命を救って頂いて

います。

　私,痛いとか苦しいということさえ,素直に感情を表現できない

ヒネクレ者なのですが。まだ生きていることに何らかの意味があり

感謝すべきなのでしょうね。。。皆様ありがとうございます。