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2017年2月 4日 (土)

赤外発散の論文(1961)付録(A1の1)

赤外発散論文の付録'Appendixの詳細です。


 §付録A:行列要素からの赤外因子の抽出
 

(Extraction of the infrared factots from the matrix element)
 

付録のこの節では,任意の1つの光子(実光子または仮想光子)

と関わる赤外発散がどのように図式化されるか?を示すため,

任意過程での行列要素を調べます。
 

与えられた光子に対する赤外因子の抜出しには,他の光子と

比較して赤外発散が増加することには帰着しないことを証明

するため,非常に注意深く重複発散を調べることが必要です。
 

この目的のために,次のように特別な記号を導入するのが便利

であるとわかります。

  すなわち,ある光子運動量に対しては
赤外発散せず,残りの

光子運動量に対しては正常よりも悪くない(つまり対数発散

より悪くない)項を示す記号を導入します。
 

その記号を,K(i,j,..)で与えます。
 

ただし,陽に現われる引数:kたちは,これで積分しても赤外発散

を起こさないものである。。ことを意味します。
 

この記号は,次数(オーダー)を意味する記号に似ています。

これはある性質を表わすもので,個々の関数形を意味するもの

ではありません。
 

(1-1):オーダーを示すLandauの記号では,例えばα2と同じ

オーダーであることを(α2),またはo(α2)と表現します。


  同じように赤外レベル(k~0)
でkのオ-ダーであって

発散しないのをKk))表現するわけです。(注1-1終わり※)
 

こうした項は§2と§4で与えた種々のβi(j)(i≠0)と同等で

あるとみることもできます。

 
赤外発散因子を抜き出すのに用いる手法は,基本的に,実光子

放出の扱いに対して以前の論文(文献:14)に与えたのと同じ方法

です。

 
これをより直接的にゲージ不変性と関連付けることによって

簡略化し,また仮想光子の扱いにも拡張します。

 
§2と付録Bの論議を見れば,識別できる限りあらゆる光子

を処理し,種々のFeynmanグラフにあらゆる可能な方法で,

それらを挿入できます。

それ故,寄与の数え過ぎは,積分に結合因子を掛けることに

より自動的に補正されます。
 

そこで,ある過程に対してのFeynmanグラフをGとします。
 

考察すべき対象のグラフの集合はGにあらゆる方法で(,

または仮想の)光子を付加することで得られます。
 

少しの間,閉じた荷電粒子のループのない開いたグラフのみ

を考察します。
 

閉ループがあるケースへの一般化は,この付録の最後の部分

で論じる予定です。
 

さて,グラフの集合を,いくつかの部分集合に分割し2つの

異なったケースについて詳細に考察します。
 

ケース(),光子線の1端のみが,あらゆる可能な方法で

与えられた荷電粒子線上に接続していて,その光子の他端は

外部にあるか,異なる荷電粒子線に接続し固定されている

ようなグラフの部分集合から成るとします。
 

一方,ケース()は仮想光子の両端が同じ荷電粒子線に接続

しているグラフの部分集合から成るとします。
 

こうした2つのケースに対する結果を得た後に,それらから

如何にして完全な結果が構成されるか

,直ちに明らかになります。
 

§A-1:

ケース() 

明確さのため,荷電粒子線は電子線とし,光子は仮想光子である

とします。得られた結果は,後で他の場合に容易に変更できます。
 

元の電子線は図1に示されています。斜線領域は電子のあらゆる

可能な相互作用を表現しています。


 

'(図1)あらゆる可能なポテンシャル相互作用と実光子

のセット,および,(n^1)個のk層光子を含む基本グラフ

のセットの表現(= Gの代表元)


  すなわち。
ポテンシャル相互作用,光子が他の電子たちと交換

されているもの実光子の放出や吸収,そして仮想光子が同一の

電子線から放出され再吸収されているもの.等々です。
 

これに追加される光子線は,あらゆる可能な方法でその電子線

に接続します。

  
我々の当面の目的は,こうした寄与の総和が次の形となること

を示すことです。
 

すなわち,図1に表わされた寄与の赤外因子倍,にプラス,

付加光子に対しては全く赤外発散を持たず,それ故,元の光子

たちについても,正常より悪くはならないような残りの部分

です。
 

iを電子線のi番目の頂点での4元運動量遷移とします。 

(ここで頂点は電子線の矢印の向き(右から左=時間も向き)

に順序付けされているとします。)
 

付加光子が挿入される前のGに対応する行列要素は次の形

の因子を含むとします。

すなわち,u~p'Γ(,i)p ..(-1) です。 

(※訳注:この頂点でのp,p',iの関係はp’=p+qi です。)
 

ただし,p'=p+Σiiが,この電子線の4元運動量に対応して

います。
 

そして,この因子はグラフの他の行列要素に由来する因子を

掛けられp'が固定された条件下でqiたちにわたって積分

されます。
 

まず,p'が,ほとんどpに平行な単純なケースを考えます。

(p'~pのケース) ただし,この制限は後には除去されます。
 

中間状態(内線)の電子伝播関数の4元運動量が(伝播関数

の後のp'とqiに依るよりも,むしろ)pと伝播関数の前の

電子線内で遷移するqiに依って与えられる。という規約

を採用します。
 

付加光子は電子線から4元運動量:kを持ち去ると仮定

します。そうすれば,グラフGにおいてqiたちが僅かに

修正される必要があります。

  新しい値:q~iは古いqi
オーダーkだけ異なっており,

次の関係を満たします。

すなわち,p'=p+Σi ~i-k..(-2) です。
 

付加光子は,あらゆるやり方で挿入されますが,その間は

~iは固定されているとします。もしも,この付加光子が

実光子ならエネルギー保存のためにp'が修正される必要

があるのですが。。
 

さて,まず,あらゆる他の相互作用が生じる前に付加光子

を挿入することで得られる寄与(図3())を考えます。


 

(図3) 図1の基本グラフに1つの追加光子を挿入する

可能な方法の表現

(※注1-2):3は§2で元々は実光子が付加されるケース

に対して与えられたものでしたが,ここでは付加するのは

仮想光子です。 (注1-2終わり※)
 

行列要素に寄与する結果的な因子は,

~p'Γ(p-k,~i)(―m)-1γμp  

=u~p'Γ(p-k,~i)p(2μ-kμ)/(22kp) 

-u~p'Γ(p-k,~i)p(1/2)[,γμ]/(22kp)

..(-3)  (※訳注:=γνν,k=γννです。)
 

(1-31):pは外線運動量(質量mの実電子のそれ)なので 

2=m2より,

(―m)-1γμ(+m)γμ/{(p-k)2-m2} 

{(2μγμ)-γμ(―m)}/(22kp) です。
 

そこで,(-m)p0 より, 

 (―m)-1γμp 

{(2μ-kμ)(1/2)[,γμ]}p/(22kp)

を得ます。
 

何故なら,γμ+γμ2μ,,γμ-γμ[,γμ] 

ですから,これらを辺々加えて2で割ると

,γμ=kμ(1/2)[,γμ] となります。 (注1-3終わり※)
 

(-3)の右辺第1項の

~p’Γ(p-k,~i)p(2μ-kμ)/(22kp) 

におけるオーダー:(1/)の特異性は,他の因子と相まって

赤外発散へと導きます。
 

§2で論じたように,この項の形は後の赤外因子にわたる積分

において自然な(紫外発散の)高エネルギー切断を生み出す

ような方法で大きいkに拡張されました。
 

これはまた,分離される赤外因子がゲージ不変なことを保証

する構造を持っています。
 

(-3)の右辺第2項の 

 -u~p’Γ(p-k,~i)p(1/2)[,γμ]/(22kp)

,磁気モーメント相互作用の形をしていますが,これはk積分

において赤外発散に寄与することはなく,他の変数の中で初期

にあるよりも,さらなる赤外発散を起こさせることもありません。
 

したがって,これはK()のうちにあります。
 

一方,1項の方は行列:Γの中でkをゼロにすることで近似

すると,次の形になります。すなわち,  

~p'{(2μ-kμ)/(22kp)}Γ(,~i)p ..(-4)

 です。
 

第1項に,この近似をしたとき得られる行列要素の(-3)

からの差は, 

~p'{(2μ-kμ)/(22kp)}{Γ(p―k,~i)

-Γ(,~i)}p .(-5)ですが,

この式の{Γ(p―k,~i)-Γ(,~i)} ,k→0 

に対して消えます。
 

そこで,この(-5),kについて赤外発散を持たず,()

の一部と考えるべきです。
 

実際,この差は重複赤外発散のため,とても注意深い扱いを

要します。これは各項が分離されたときと,同じくらい発散的

なことが有り得ます。
 

しかし,Feynmanのゲージ不変性の取扱い(文献(26))に示唆

された,この(-5)を解釈する簡単な方法があります。
 

Λμ(,~i,)を図3()のような電子の内線部分から

の付加仮想光子の放出に対する行列要素とします。
 

Feynman,次の自明な演算子等式: 

(-m)-1((-m)-1

(+K--m)-1(-m)-1 を用いて,

もしも電子線から偏極kμ(縦波)光子が放出されるなら, 

行列要素への全体としての寄与はゼロであることを

示しました。
 

(1-4):つまり,全エネルギー・運動量空間での積分後,右辺

の2項がそれぞれ収束して有限となるなら,それらは一致する

ため寄与はゼロです。(注1-4終わり※)
 

この結果は,今の場合,次の行列恒等式に相当します。 

μΛμ(,~i,)=Γ(p―k,~i)-Γ(,~i) ..(-6)

です。
 

これから,(-5)とあらゆる内線光子放出からの寄与の結合は

次の単一の表現に含まれることになります。 

~p'[Λμ{(2μ-kμ)/(22kp)}λΛλ]p .

.(-7) です。

これは頂点γμの"放出演算子として次のgμへの置換に

相当します。 

γμ → γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}=gμ..(-8)

です。
 

(1-5):(-7)のΛμをγμに置き換えれば(-8)を得ます。 

つまり,単純な頂点の電磁カレントが実光子の放出で, 

~pγμp →u~pμpと補正されることを意味するわけです。 

(注1-5終わり※)
 

この新しい放出演算子gμがゲージ不変である:つまり,

μμ0 であるのは興味深いことです。 

(※↑実際にkμμ(-8)を代入すればkμμ0は自明です。)

 

,Qを考えている電子線(光子付加)の前のqiの和であると

したとき,p+Qを4元運動量とするような電子線への光子

の挿入に由来する(-7)への特殊な寄与を考えます。
 

この光子挿入は電子の内線伝播関数に,次の修正を与えます。 

(-m)-1 (~-m)-1 

×[γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}](~-m)-.(-9)
 

また,これより後ろの電子線のpは,代入:p→(p-k)

よって修正されます。この形では,kに対する赤外因子の

抜き取りによって,何故積分における特異性が増加するか?

を見ることができます。
 

~とkが同時的に小さいときには,Γにおける単一の微小

分母が(-7)において2つの微小分母に置き換えられます。
 

幸いなことに,さらなる特異性は(-8)の代入によって

2つの寄与を結合させる結果として相殺します。
 

(-9)の第一因子:(~-m)-1を有理化すれば 

{(~-k)22(~-k)}-1(~+m)なので,

(-9){(~-k)22(~-k)}-1(~+m) 

[γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}](~-m)-1

となります。
 

したがって,これは,{(~-k)22(~-k)}-1 

×({γμ(2μ-kμ)/(22kp)}(~-m) 

2(~μ(2μ-kμ)(~)/(22kp)(1/2)[,γμ]) 

×(~-m)-1 ..(-10) です。
 

(1-6):μ(2μ-kμ)/(22kp)とおくと, 

(~+m)(γμ+Aμ) 

(2μ-kμ2~μ)-γμ(~-m)(1/2)[,γμ] 

+Aμ(2kp+2kQ~-k2)-Aμ(~-m)
 

=-(γμ+Aμ)(~-m)(1/2)[,γμ] 

2(~μ+Aμ~)2μ-kμ+Aμ(2kp-k2) 

=-(γμ+Aμ)(~-m)2(~μ+Aμ~)

(1/2)[,γμ] (注1-6終わり※)
 

(-10)の右辺の{ }の因子の中3つの項のどれもQ~が微小な

ときに如何なる困難も生じせしめません。また,この第1項から

は因子:(~-m)(~-m)-1と相殺して消えます。

2項の分子はQ~0 のとき消えます。
 

第3項が何の面倒も起こさないことを見るため,括弧の

前の因子で~0とおくとk積分はk=0で完全に収束します。
 

すなわち,~0で実際に特異でないことがわかります。
 

(-4)はあらゆる他の相互作用の後で,光子が放出される

グラフの寄与を加えると次の表現を得ます。
 

~p'{(2μ-kμ)/(22kp)(2p'μ+kμ)/(22kp')} 

×Γ(,~i)p ..(-11) です。
 

これがp'~ p の状況に特殊化された,ケース()に対する議論 

の主要な結果です。
 

スピノル行列要素においてはq~iをqiで置き換えてもいいです。 

この補正は,再び,非赤外のK()に入るからです。
 

電子線内でのGが,外線上に自己エネルギー部分を含むならば

特別な注意が必要です。このとき,Qたちのうちのいくつかは

ゼロでしょう。

 
こうした部分が最終結果(-11)で元の行列要素と同じ

波動関数のくりこみを生じることを示すのは難しいことでは

ないですが,この証明の詳細はスキップします。

(※↑これは紫外発散の問題です。)
 

さて,今や,我々はどのようにして,ここまでのエネルギー・運動量

遷移が微小という制限(p'~p)を除去できるか?について論じる

べきところに来ました。
 

もしも,微小でない比較的大きい遷移があるなら,iたち

のうち少なくとも1つは大きいと仮定することになります、
 

こうした"硬い"運動量遷移がある場合,この電子線部分に

向かって,両端から攻めるのが便利です。
 

(過去)から最初の硬い相互作用をする前の電子線は,

外線pと与えられた点までに遷移されるqiたちでラベル

付けされる集合であり,一方,最後の硬い相互作用の後の

電子線は,外線pとその点の後で遷移されるqiたちで

ラベル付けられる集合です。
 

付加光子が最初の外線に追加されるなら,この光子の運動量k

は最初の硬い相互作用の前の電子線の集合の内にのみ出現

します。硬い相互作用は,如何なる発散も導入することなく

kの変化を吸収します。
 

もしも,こうした集合でkをゼロに等しいとおけば,やはり

(-4)のような結果を得ます。そこで,もし最初の硬い相互作用

の前に付加光子を挿入するあらゆるやり方を考慮すれば,この

誤差は如何なる新たな赤外発散を導入することもありません。
 

また,最後の相互作用の後にあらゆるやり方で付加の軟光子

を挿入するのも同様に扱うことができるため,再び(-11)

を得ます。
 

我々の結果は次のように要約できます。 
 

もし,付加仮想光子の一端を,あらゆる可能なやり方で開いた

電子線に挿入するなら,2つの型の寄与を見出します。
 

第1の型は行列要素中で元の因子に次の因子を掛けた,ものです。 

μ(,p',) 

(2μ-kμ)/(22kp)(2p'μ+kμ)/(22kp')

..(-12) です。

これはゲージ不変になっています。すなわち,μμ0..

(-13)です。
 

また,大きいkについては自然な(紫外)切断を与えられる

ようにもなっています。
 

一方,実光子放出に対する結果も,同じ論拠をたどること

によって得られます。
 

このケースには,行列要素への赤外寄与は元の因子に次の因子

を掛けたもので与えられるとわかります。
 

~μ(,p',)=p'μ/(kp')+pμ/(kp)..(-14)  

です。
 

実光子は,20であるが故に,ゲ―ジ不変性のため分子にk

をキープしておく必要はありません。
 

これは形式K()の項の中に組み込まれているでしょう。 

同時に分母の(2-λ2)を無視します。何故なら,それはまた

()の内の変化を与えるに過ぎないからです。
 

(-12),(-14)に与えられた結果は,電子だけでなく任意の

荷電粒子に当てはまります。
 

例えば,スピンがゼロの荷電粒子については,単一,または二重

の光子のそれぞれ放出,吸収に対応する2つの型の電磁頂点が

あります。

 
こうして,付加光子は,元のグラフのこのB0se粒子の伝播関数

(内線)の1つにつながるか,または,その内線の2つの光子に

転化する単一の頂点の1つにつながるか,のいずれかです。
 

後者の型の接続は,k ~ 0でゼロに成り得る分母の因子数

を増加させないので形式:()のうちにあります。
 

また,前者の光子が非常に平行に単一の頂点につながケース

の論旨,ここまでの(Fermi粒子である)電子線との

光子相互作用のそれとほぼ同じであり,ただ,より単純な頂点

であるだけの違いです。
 

例えば,(-3):

~p'Γ(p-k,~i)(―m)-1γμp  

=u~p'Γ(p-k,~i)p(2μ-kμ)/(22kp) 

-u~p’Γ(p-k,~i)p(1/2)[,γμ]/(22kp) 

の右辺第2項に対応する寄与がなく,(Bosonは交換対称)
 

(-9):.(-m)-1 (~-m)-1 

×[γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}](~-m)-1.. 

の第一因子の分母を有理化した式の


(-10):
 {(~-k)22(~-k)}-1 

({γμ(2μ-kμ)/(22kp)}(~-m) 

2(~μ(2μ-kμ)(~)/(22kp)(1/2)[,γμ]) 

×(~-m)-1 の右辺の中央の括弧因子の中の第1項,

第3項の主要項に対応する寄与もないだけの差異です。
 

そして,実光子生成を考えるなら,任意の開いた荷電粒子線

では,行列要素に(-14)のR~μ因子の寄与をします。

この因子は外線にのみに依存し,Gの特別な形には依りません。
 

それ故,他の外線が固定されたままで,1つの付加光子

の放出(または吸収)に対する行列要素は次の形で与えられる

という結果になります。
 

{2(2π)30}-1/2eΣj~μ(j,p'j,)M+K()...(-15)

です。
 

ここにMは,あらゆる仮想光子とポテンシャル相互作用を含む

元の過程に対する行列要素であり,~μ(j,p'j,)はj番目

の実光子の放出演算子です。
 

始状態,または終状態の2つ以上の粒子が同種なら(-15)

全光子放出演算子は,それらの変数については対称で,

新行列要素の全体としての対称性は元のそれと同じはずです。
 

すなわち,交換グラフが,Mに一緒に加えられたとき生じる

粒子変数の交換に対して,個々のR~μは不変ではないけれど,

それらの総和は不変です。
 

付加光子が仮想光子で,それが2つの異なる電子線につながって

いるなら我々の解析は各電子線に対して別々に実行できて,結果

(-12)の2つの因子の積となります。
 

ただし,2つの因子ではkの符号は逆です。これは運動量が

一方の電子線からは奪い取られ,それが他の線に加えられる

ことを意味します。

  
交換グラフ存在の可能性の故,各グラフG上で別々に効果を

考える必要があります。2つの異なる荷電粒子線と関わる

運動量kの1つの仮想光子を付加することによって得られる

補正はGに対する元の行列要素に次の因子を掛けることです。
 

すなわち,(1/2){(2π)-4i2/(2-λ2)} 

Σij{μ(ji,p'i,)μ(j,p'j,-k)}..(-16)

です。
 

(1-7):光子の伝播関数には,iμν/2ではなくて,

iμν/2を用い,上記の係数は,(

1/2!)(i)2(i)(1/2)i2を用いているらしい?? 

(注1-7終わり※)
 

次のケース()をも調べた後で,最終的で完全な表現が対称

であることがわかるでしょう。     (つづく)

ス超

PS:2月5日(日)の早朝」TV朝不みてたらなつかしい

篠原ともえがでている。

  彼女を見るとなぜは順天堂病院の新舘病棟の14Fにいた

看護師のA立さんを思い出してしまいます。

第一印象のしゃべり方がとても似ていたので。。

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