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2017年2月28日 (火)

赤外発散の論文(1961) 付録(A1の2)

 2月4日に付録(11)をアップし,最後に(つづく)

書いてから随分経ちました。これの続きのアップを休んで

いた理由,1つには215日に年金が入るまでは極度の金欠病

で普通に生活する気力が失せていたためです。

  
そして,その反動で,10月の引っ越し後の部屋の環境整備

3段階で,テレビドアホンなどを含む,足と心臓と眼が

不自由な身では,少し高価でも,是非と 必要な品の購入

etc.の方に,かまけていました。
 

 もう1つの理由は,何故か,さらに眼が見えにくくなり

自分で書いたノ-トの文字さえ判読できないことが多く,

糖尿病のせいで疲れやすいこともあって草稿書きもスグに

疲れて断続的になり,余命幾漠もないので可能な他の快楽

的趣味に逃避していたためです。
 

※何はともあれ,科学ブログを再開して以下は付録の

続きです。
 

§付録A:行列要素からの赤外因子の抽出 

(Extraction of the infrared factots from the matrix element) 

の続きです。
 

§A-1.: ケース():
 

 もしも,1つの光子の両端が,単一の電子線につながって

いるなら, 赤外発散だけでなく,紫外発散もある

と考えられます。
 

この紫外発散は質量のくり込みと,見掛けの電荷のくり込み

関わっています。
 

質量のくり込みは,相殺項による直接の相殺の通常の手法

で扱えます。
 

種々のグラフからの寄与は一まとめにされ,そこで見掛け

の電荷のくり込みは完全に相殺されます。
 

簡単のため,電子線は,初め,その外線の上には自己エネルギー

部分を持たない。と仮定します。

こう仮定して得られた結果が,初期に波動関数のくり込みも

存在する,より一般のケースについても正しいことは明らか

なことです。
 

まず,第一に付加光子が波動関数のくり込みには寄与しない

グラフ群を調べます。その手法は次の通りです。
 

光子線の一端を第1相互作用の線に固定し,固定点より前の点

にある他の端の挿入に対応する,あらゆる寄与にわたって総和

を取ります。



  このクラスのグラフは一般に図2の(),(),()に示されて

います。

  
もしも,固定点が終外線上にあるなら,このグラフの

クラスは,図2の(),()に図示されるものとなります。
 

よく知られているように,このセットに対する紫外発散は

Wardの恒等式の帰結として相殺されます。
 

(※文献:(32)参照,ただし固定点が終外線上にある場合

は除きます。この場合は波動関数のくり込みも要求します。)


※(注2-1):
Wardの恒等式については,2011年5/4の本ブログ過去記事

「量子電磁力学の輻射補正(7)(頂点補正-1)」から一部を再掲載

することで説明しておきます。


(※ 以下再掲記事です。)

 輻射補正の続きです。頂点補正に入ります。

§8.6 The Vertex Correction(頂点補正)

 

 

 上図8.4のうち,(c)の評価だけが残っています。


 これは光子が頂点γμを橋渡しすることによる補正
を示しています。

 このグラフは2次の頂点(vertex)部分といわれます。

 この頂点グラフの物理過程への寄与を計算するために,

 積分量;Λμ(p',p)≡(-ie)2ε0-1∫d4k(2π)-4

 {(-i)(k2-λ2+iε)-1γνi('--m+iε)-1

 γμi(-m+iε)-1γν} を定義します。

 
この計算式では,図8.4(c)において仮想光子によって生成される

電子の運動量をp'とし,陽電子の運動量を-pとしています。

 同様
に,同じ式は下図8.9に示すようなある外場ポテンシャルに

よる電子散乱による輻射補正をも表わしています。

 
このケースにはp'は同じく終状態の電子の運動量ですが,

は陽電子ではなく,始状態の電子の運動量です。

 というわけで,見かけ上異なる物理過程への補正を同じ関数Λμ(p',p)

 で記述します。(← ※向きは違いますが同じグラフなので,

 これは正当化されます。) 

 また,赤外発散にも遭遇するので,
非常に軟らかい光子(k ~ 0 )

の寄与を切断するため,再び光子に微小質量λを充当しておきます。

 
さて,始状態,終状態の自由粒子運動量に対して,q=p'-p=0

 のときのΛμ(p',p)を考慮することから無限大部分を分離します。

 
'=m,=mに対しては,

 u~(p)Λμ(p,p)u(p)=u~(p)(Z1-1-1)γμu(p)

 と書けます。

 ただし,Z1は質量の平方:m2=p22とそれを有限にするに必要

 な,切断に依存する定数です。

 しかし,u~(p)Λμ(p,p)u(p)=u~(p)(Z1-1-1)γμu(p)

 はより普遍的な式です。

 何故なら,他の唯一のパラメータである4元ベクトルpν 

 スピノルu~(p)とu(p)に挟まれたときは常にmγν 

 等しいからです。

 そして,この定数Z1は計算する必要はありません。

  それはμ(p,p)=(-ie)2ε0-1∫d4k(2π)-4 

 {(-i)(k2-λ2+iε)-1γνi(-m+iε)-1 

 γμi(-m+iε)-1γν}と,
 

 -iΣ(p)=(-ie)2ε0-1∫d4k(2π)-4 

 {(-i)(k2-λ2-iε)-1γνi(-m+iε)-1γν} 

 を比較すると,次式の成立が見出されるからです。

 すなわちμ(p,p)=-∂Σ(p)/∂pμです。
 

 (※この関係式はWardの恒等式(Ward's identity)

 と呼ばれます。)

  ここで重要な恒等式:

  (∂/∂pμ)(-m+iε)-1=(∂/∂pμ){1/(-m+iε)}

  =-{1/(p-m)}γμ{1/(p-m))}を用いました。
 
(※何故なら(∂/∂pμ){1/(γμμ-m)=-γμ/(γμμ-m)2

 であるからです。)

 この式は,自由伝播関数の運動量による微分が電子線グラフへの

 ゼロエネルギー光子の挿入に等価であることを主張しています。

 具体的には,まず,

 Λμ(p,p)=-∂Σ(p)/∂pμの右辺の微分は前節の表現:

 Σ(p)=δm-{Z2-1-1+C(p)}(-m) から,直接に

 計算できて,

 ∂Σ(p)/∂pμ=-{Z2-1-1+C(p)}γμ

 +{∂C(p)/∂pμ}(-m) となることがわかります。

 したがって,u~(p)Λμ(p,p)u(p)

 =-u~(p){∂Σ(p)/∂pμ}u(p)

 =u~(p)(Z2-1-1)γμu(p) が得られるわけです。

 これと,

 u~(p)Λμ(p,p)u(p)=u~(p)(Z1-1-1)γμu(p)

 を比較すると,e2のオーダーまでではZ1=Z2と結論

 されます。(※過去記事からの引用終わり)。

 

 結局.Wardの恒等式:Λμ(p,p)=-∂Σ(p)/∂pμ

 から,頂点(電荷)Λμ=Γμ-γμのくり込みは電子の

 自己エネルギー:Σ(p)のくり込みに連動します。

 
 (注2-1終わり※)

 

最後に固定点の異なる位置に対応する,あらゆるグラフの

寄与にわたり総和します。
 

固定点が外線上でなく内部点である場合の図2の()から

の寄与は,次の形の因子から成ります。
 

~p’Γ2(-m)-1γμ(-m)-1 

Γ1(p-k,i)(-m)-1γμp 

=u~p’Γ2(+Q-m)-1{(2)/(22kp)} 

(+Q--m)-1Γ1(p-k,i)p+K() ..(-16)
 

(2-2):まず,Qは運動量がkの光子線がつながって

いる電子線よりも前の全てのqiの総和です。

さて,(A-16)の証明です。前に,次の(-3):: 

~p'Γ(p-k,~i)(-k-m)-1γμp  

=u~p’Γ(p-k,~i)(-k-m)-1

{(2μ―kμ)/(22kp)}p 

-u~p’Γ(p-k,~i)(-k-m)-1{

(1/2)[,γμ]/(22kp)}p で見たように
 

(-k-m)-1γμp 

[{(2μ―kμ)(1/2)[,γμ]}]p/(22kp) 

ですが,これに左から,~p’Γ2(-m)-1γμ

掛け,さらに最後のupの前にΓ1を挿入すると,
 

~p’Γ2~p’Γ2(-m)-1γμ(-k-m)-1γμΓ1p 

 =u~p’Γ2(-m)-1

[{(2μ―kμ)/(22kp)}γμΓ1p  

-u~p’Γ2(-m)-1γμ{(1/2)[,γμ] /(22kp)}]

Γ1p を得ます。
 

この最後の右辺の第2項は,明らかにkによる積分で有限という 

意味のK()に属します。 (2-2終わり※)
 

ここで,Γ1,および,Γ2,それぞれ,固定点よりも前.および,

後の部分グラフから生じる寄与を示す因子の4×4行列です。
 

先の(-1):~p’Γ(,i)p ..で導入定義したΓは,

丁度k=0としたときの上の(-16)の積因子:

Γ2(-m)-1Γ1に相当します。 


(
※k=0,今の運動量がkの仮想光子が入って伝播し

出ていく頂点と内線の因子部分:γμ(-k-m)-1γμ

がない場合です。※)
 

行列;Γ1(,i)については, 

(-6):

μΛμ(,~i,)=Γ(p―k,~i)-Γ(,~i) 

におけるΓ(,~i)と同様な恒等式を満足し, 

それ故,ケース()と同じ手順に従います。
 

Γ1(p―k,i)-Γ1(,i)という差から生じる寄与は光子

の変動端がΓ1において最初と最後の相互作用の間に終わる

図2の()のグラフからの寄与に結合されます。
 

前のように,これは丁度,置き換え(-8) : 

γμ → γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}=gμ に対応し

このときと同じ論旨によって,こうしたトータルの寄与はkに

ついて積分すれば,双方の項が有限なら紫外発散が含まれない

ことが容易に示されます。
 

これはΓ1の最終相互作用に対する頂点部分の紫外発散

(くり込み)関する部分のことです。
 

ここで問題としている残りの部分は 

~p’Γ2(-m)-1 

×[{(2)/(22kp)}{1(-m)-1} 

+γμ(-k-m)-1γμ2(m+2kp/)/(22kp)] 

×(-m)-1Γ1p  ..(-17)です。
 

右辺の[ ]の中の最初の主要項はΓ1,(-16) 

つまり,~p’Γ2(-m)-1γμ(-m)-1 

Γ1(p-k,i)(-m)-1γμp 

=u~p’Γ2(+Q-m)-1{(2)/(22kp)} 

(+Q--m)-1Γ1(p-k,i)p+K()  

において,
 

Γ1(p-k,i),これのk=0としたもの: 

Γ1(,i)

=Γ1(p-k,i){Γ1(,i)-Γ1(p-k,i)} 

=Γ1(p-k,i)+K()

に置き換えたものです。
 

(2-3):何故なら, 

{1(-m)-1(-m)-1

(-m)-1 なので,

[{(2)/(22kp)}{1(-m)-1} 

(-m)-1Γ1p  

[{(2)/(22kp)}(-m)-1Γ1p

です。  (2-3終わり※)
 

一方, 右辺の[ ]の中の第2項の寄与は, 

~p’Γ2(-m)-1×γμ(-k-m)-1γμ 

×(-m)-1Γ1pですが,

これは,光子が同一の電子線上に吸収され,かつ放出される

2 ()1グラフに対応しています。
 

また,3:

~p’Γ2(-m)-1×[2(m+2kp/)/(22kp)] 

×(-m)-1Γ1p 

,質量くり込みを与える被積分関数の因子です。
 

(※ 第3項が,この形で,何故に質量くり込み項なのか?

については当時のノートにも不明。。と書いてあったため,

かなり私的に愚考しましたが。。

。結局,しばし Pending・・・ です。

加古記事:

「量子電磁力学の輻射補正(5)(電子の自己質量-1)」から

自己質量のグラフは下図です。

 

これの寄与は,

-iΣ(p)=(-ie)2ε0-1∫d4k(2π)-4

 [(-i)/(k2-λ2+iε)]γν{i/(-m+iε)}γν]です。

※)

我々は,今こうした全表現はK()の形式に含まれると断じます。
 

最初の主要項のうちの第2の部分は,第2項と一緒に,

もしも左から,この表現にγμを掛けたときには, 

先の(-9):(-m)-1 (~-m)-1 

×[γμ{(2μ-kμ)/(22kp)}](~-m)-1 

と同じ構造を持っています。
 

これは,左からγμを掛けた(-10) 

{(~-k)22(~-k)}-1 

×({γμ(2μ-kμ)/(22kp)}(~-m) 

2(~μ(2μ-kμ)(~)/(22kp)(1/2)[,γμ]) 

×(~-m)-1 の形の寄与を有することを意味します。
 

その際の考察によれば,(-10)の最初の2項に対応する寄与は

()に属し,最後の項は質量のくり込みに寄与します。
 

かくして,(-17)[ ]の中は次のように書けます。 

2(-m)/(22kp)(2kp/)/(22kp) 

3/{22(p+Q)+Q2Qp}+K() です。 

(※ 何故なら,

ーγμ(1/2)[,γμ](1/2)(γμγμ-γμγμ) 

(1/2)(24)3です。※)
 

この新しい式の第1項は,明らかにK()に入ります。
 

また第2項と第3項も相殺するので,ネットの結果で,() 

形式を与えるに過ぎません。
 

この相殺を証明するには,第2項で(kp)/2

の代入と,3(){k(p+Q)}/(p+Q)2

とする代入とが作る対称性を用いるのが便利です。
 

(2-4): 何故なら,外線は質量殻の上にあるので

mと同一視してよく,そこで2kppk2kpなる

同一視から,置換:(kp)/2か正当化され,


 
第2項は,
(2kp/)/(22kp)

→-(2)(kp/2)/(22kp) となります。
 

他方, (){k(p+Q)}/(p+Q)2からは, 

第3項が,3/{22(p+Q)+Q2Qp} 

3(){(p+Q)}

/[(p+Q)2{22(p+Q)(p+Q)2-m}] 

となりますが,
 
  
Q~0では,p+Q→pなるスキップが正当化

され,(p+Q)2もm2に置換すると.

3(kp)/{2{22kp)} となります。
 

一方,-(2)(kp/2)/(22kp)では2mは,

2としていいので,先の第2項は,

3(kp/2)/(22kp)となり,上の第3項と 

相殺することがわかります。
 

つまり,Q~0ではトータルでの寄与がゼロでK()に入る 

わけです。
 

また,第項:(2(-m)/(22kp)=mの質量殻の

では消えます。  (2-4終わり※)
 

こうして,(-17)による赤外発散は消えます。
 

これは,もちろん,前節の終わりで言及した紫外発散を相殺する

ために,(一般原理から)必要な紫外発散を含んでいます。
 

最後に,固定点が終外線上にあるケースを考えます。

この場合の最初のグラフは図2()にしめされており,

その寄与は, 

~p’{(2)/(22kp)}(-m)-1

Γ(p-k,i)o+K() です。
 

(2-5): 何故なら,このグラフの寄与は 

~p’γμ(-m)-1}(Γ(p-k,i)(-m)-1

γμoであり,


 
そして,
(-m)-1γμo

{2μ-kμ(1/2)[,γμ]/(22kp)}o 

であり,さらに,γμ(2μ-kμ)2)であり,

(1/2)[,γμ]の寄与はK()に入るからです。 

(2-5終わり※)
 

通常の論拠によって,[上で得られた式は次式で

置き換えられます。 

すなわち,

~p’{(2)(2)/{(22kp)(22kp)} 

Γ(p-k,i)o+K()..(-18) です。
 

今や,この(-18)でpをpに等置することによって,

最も容易に見かけの電荷のくり込みにおける赤外部分を

確認できます。
 

この見かけの電荷のくり込みが除去された後には,ケース()

に対する結果が次のようになることがわかります。
 

すなわち, 

(1/2){(2p-k)μ/(22kp)(2-k)μ/(22kp)}2 

×u~p’Γ(p-k,i)o..(-19) です。

 ここで赤外因子の分離がゲージ不変であることは再び明白です。
 

括弧の中の個々の項の平方は,グラフ的には図2(),()において, 

通常の波動関数のくり込みで代表されます。
 

付加光子が単一の電子線に付いているようなグラフからの次の

寄与(-15)に加えなければならないのは明らかです。
 

すなわち, 

(1/2){(2π)-4i2/(2-λ2)} 

×Σ{(2p-k)μ/(22kp)(2-k)μ/(22kp)}2. 

.(-20) です。
 

(2-6):通常,私が用いているFeynman規則では,定数

(2π)-4除けば,区別できない2頂点を含む係数は

(1/2!)(i)2であり,その間の光子内線の伝播関数は

(lμν)/(2-λ2) です。
 

これらを掛け合わせると確かに,因子::(1/2){i2/(2-λ2)} 

を得ます。
 

今の自然単位では.α=e2/(4π)ですからk積分すれば, 

∫d4(1/2){(2π)-4i2/(2-λ2)} 

Σ{(2p-k)μ/(22kp)(2-k)μ/(22kp)}2 

{α/(8π3)}∫d4/(2-λ2) 

Σ{(2p-k)μ/(22kp)(2-k)μ/(22kp)}2 

です。
 

§2(2.23)によれば,B={i/(2π)3}∫d4/(2-λ2) 

×{(2p’μ-kμ)/(2p’k-k2)(2μ-kμ)/( 2pk-k2)}2 

.ですから,これはBを全ての寄与の総和ΣBとしたときの

αBに相当します。 (2-6終わり※)
 

実光子と仮想光子の両方に対する完全な結果は§4のbに

要約されています。
 

(-19)に含まれている波動関数のくり込みは,いくつかの

有限なくり込みを損なってはいますが, 赤外発散と同じく,

全ての紫外発散を含んでいることに着目するのは,興味深い

ことです。
 

ここでは,この論文の意図ではないので詳細を与えることは

しませんが,これは低次のBorn近似電子散乱への輻射補正を

考慮することで最も容易に見ることができます。
 

このケースには頂点関数への唯一の他の可能な紫外発散は

始状態と終状態の両方の外線の"磁気項"に由来するものです。 

こうした項は定義された特殊な方法から,実際に無限大になる

部分は何の寄与もしないことがわかります。
 

そして,Ward の恒等式(文献:(32))によって,このとき,

波動関数のくり込みに更なる無限大が生じることはありません。

 

今日はここで終わりますが,付録Aにはまだまだ続きがあって,

次回は閉ループがある場合の考察に入る予定です。

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