« 2017年3月 | トップページ

2017年4月

2017年4月25日 (火)

赤外発散の論文(1961)の詳解(7)

 

赤外発散論文詳解の続きです。
 

(※いきなり余談ですが,またまた,いろいろと体調の変化や

金欠病などが続いて,こうした理論計算などに勤しむための

モチベーションが起きたり消えたりで長期間かかりました。
 

大学や研究所などを年齢と共に引退した人が,趣味的に 

細々と活動を継続している。。というワケでもなく。。
 

何の過去もない,どこかの馬の骨が,残りわずかな余生を, 

こんなことして過ごしててイイのか?。等々.。。

まあ,何をやっても,もはや叱責されるでもなく,ホメられる

でもない,自己責任?。。時は無常に過ぎていきます。。※)
 

ともあれ,以下,本題です。。。
 

前回最後に書いた約束通り,今回は仮想光子でなく実光子

の寄与の項目に入ります。
 

()非赤外実光子項の詳細 

(Detailed non-infrares real photon terms)

 
ここまで,散乱のv微分断面積を与える(2.22): 

dσ/dε=exp{lim k02α(B+B~)}(dσ^/dε) 

におけるBとB~の赤外項について論じてきました。
 

ただし,(dσ^/dε),散乱の微分断面積の

非赤外部分で(2.21)

dσ^/dε={1/(2π)}-dyexp(iyε+D) 

 ×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n)/m] 

なる形で与えられます。 

(↑※「赤外発散の論文(1961)の詳解(4)」を参照)
 

そして,前項目()では赤外項のうち仮想光子による赤外項Bと 

関連して,上の(2.21)式のβ~m,陰に含まれている非赤外部分

の仮想光子による補正について述べました。
 

そこで,今度は(2.21)式に陽に現われている赤外項B~と関連

した非赤外項の実光子補正について記述します。
 

光子数nによる実光子補正の展開は,k→0で∫dk/

より赤外特異性を生じる実光子というよりも,むしろ,非赤外

スペクトル「を持つ実光子数による展開です。
 

それ故,n番目のオーダーは,非赤外実光子からαのn乗の寄与

を含み,赤外の(dk/)光子と非赤外仮想光子による任意個数

のαを伴ないます。

 
電子によるエネルギーの損失を生じさせるためには,少なくとも

1つの光子が放出されなければなりません。

 
n=0の項は1光子による(dk/)寄与を含みます。 

(※この場合は実光子の放出数がゼロですからエネルギー

損失はゼロでkの1光子寄与はk=0(dk/)の赤外寄与

けでしょう。※)
 

そして,n=1の項は1光子から,dk,kdk etcの寄与を

含むはずです。

 
それ故,n=0の項,n=1の項は両方が共にαの1次のベキ

から始まります。.

 
まず,(2.21)

dσ^/dε={1/(2π)}-dyexp(iyε+D) 

 ×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

 β~m(1,..n)/m] 

のn=0 の項の考察から始めます。
 

この場合の赤外寄与を除く散乱断面積:σ^を時にσ0^

と書けば,dσ0^/dε=β~0..(2.41) 

ただし,I={1/(2π)}-dyexp(iyε+D).

(2.42)です。
 

もしも,あらゆる輻射補正を無視するなら,β~0は丁度,

弾性散乱の断面積です。

  
前に,(2.15)式の後で指摘したように,β~0,エネルギー殻

の上,すなわち,E'=Eで評価計算されます。
 

(2.19),(2.20),(2.24),(2.32)のために,Dは次の様に書けます。 

D=αA∫0εdk[{exp(iyk)1}/.](2.43)
 

(7-1): まず,上記の(2.19),(2.20),(2.24)の詳細を見る

ため,「赤外発散の論文(1961)の詳解(4)」の一部を再掲載

します。 (以下,再掲載です。)
 

赤外光子を力学的に独立させるため,次のように書くことに

します。
 

k≦ε3~ exp(iyk)/(2+λ2)1/2 

2αB~+D..(2.18)
 

ここに, 

2αB~2αB~(,’(ε))

=∫k≦ε3~/(2+λ2)1/2..(2.19) 

D=D(,’(ε),)

=∫k≦ε3~{exp(iyk)-1}/.(2.20) 

です。
 

:2αB~,yに依存しないので,exp(2αB~)-y積分:

dyの外に因子として出せます。
 

一方,Dの方はyに依存しますが,kによる積分∫d3

被積分関数:~{exp(iyk)-1}/kはk→0の極限で良い

挙動をします。
 

この定義では,exp(2αB~),条件Σk=εを破りますが,

exp(),この条件を保持すると考えられるので,エネルギー

保存は維持されます。
 

(2.18),(2.17)の微分断面積を表わす式: 

dσ/dε

limλ→0 exp(2αB){1/(2π)}-dyexp(iyε) 

×exp[k≦].ε3~(,p';)exp(iyk)/(2+λ2)1/2] 

[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n)/m]  

に代入すると.
 

dσ/dε=limλ→0 exp(2αB) 

{1/(2π)}-dyexp(iyε+2αB~+D) 

×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n)/m]  

です。
 

ここで,dσ/dεの非赤外部分:dσ^/dεを,次式で

定義します。 

dσ^/dε={1/(2π)}-dyexp(iyε+D) 

[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

β~m(1,..n)/m] (2.21)

です。
 

すると,(2.17)

dσ/dε=exp[2α(B+B~)](dσ^/dε)..(2.22) 

と書けます。
 

(※ 以上,「赤外発散の論文(1961)の詳解(4)」

の再掲載終わり。※)

また,「赤外発散の論文(1961)の詳解(5)」から, 

~{1/(8π2)}∫d3/(2+λ2)1/2  

×{μ/(kp’)-pμ/(kp)}2..(2.24) 

です。
 

2α(B+B~)

=-(αA/2)ln(EE'/ε2){α/(2π)}ln(2pp'/2)(2.31)

により,上の係数αAは次式で定義されます。
 

αA=-{2α/(4π2)}∫dΩ{p'μ/(p'k)-pμ/(pk)} 

2α/π{ ln(2pp'/2)1}.(2.32) 

です。
 

以上から.まず,(2.19)式は,λ → 0では,k=||, 

2αB~=∫k≦ε3~/(2+λ2)1/2 

=∫0εdk・k∫dΩS~ 

です。
 

そこで,(2.24)

~{1/(8π2)}∫d3/(2+λ2)1/2 

×{p'μ/(kp')-pμ/(kp)}2 

なる式と,

 (2.32)
 

αA=-{2α/(4π2)}∫dΩ{p'μ/(p'k)-pμ/(pk)} 

との比較から,
 

2αB~{-α/(4π2)} 

0εdk・k∫dΩ{p'μ/(kp')-pμ/(kp)}2 

=∫0εdk(αA/)  

と書けます。
 

これが,0εdk・k∫dΩS~に等しいので, 

αA=k2∫dΩS~ である。

と結論されます。
 

 一方,(2.20)で与えたDは,, 

D=∫k≦ε3~{exp(iyk)-1}/ 

=∫0εdk・k∫dΩS~{exp(iyk)-1} 

ですから,
 

結局,(2.43)式:D=αA∫0εdk[{exp(iyk)1}/.] 

が確かに成立zすることが示されました。    


 (7-1終わり※)
 

(2.42)で定義した I={1/(2π)}-dyexp(iyε+D) 

,Tablated function(表記関数)と呼ばれる関数Fによって

評価できて,

I=(αA/ε)[αA]..(2.44) 

です。
 

ただし,[]exp(-Cz)/Γ(1+z)です。
 
 

ここで,CはEuler定数,ΓはEulerのガンマ関数です。
 

( Euler定数:Cは,次の無限数列の極限値で定義されます。 

11/21/3..1/n-ln()→ C asn→∞ です。※)
 

よって,[αA]exp(-αAC)/Γ(1+αA)であり, 

[αA]1-π2(αA)2/12.. (2.45) です。
 

上記の(2.44),(2.45)式は,根拠も示さず唐突に提出

しましたが,これらの式を実際に導出するには,次のような

手順を踏む必要があります。
 

まず,,第1段階では,(2.43):

D=αA∫0εdk[{exp(iyk)1}/.] 

で与えられるDを,

^=D+αA∫εdk{exp(iyk)/}..(2.46) 

に置き換えます。
 

(2.42):I={1/(2π)}-dyexp(iyε+D) の右辺

の中でDを^に置換しても,Iには何の影響も与えない

からです。
 

何故なら,Kを,任意の正の定数とすると, 

{1/(2π)}-dyexp{i(ε-K)}0..(2.47) 

であるからです。
 

これは複素平面で,下の直径を実軸で閉じた上半円周経路を

回る積分を考えることによって,わかります。
 

(7-2): (2.47)を証明します。 

この式の左辺は,超関数の意味で,謂わゆるデルタ関数:

δ(ε-K)ですから,ε≠Kならゼロであり,これを認める

なら証明は不要です。
 

そうした自明なことを,今さら,複素平面で下の直径を実軸

で閉じた上半円周の積分路上の評価をすることで確かめる

までもないですが,

 
一応,この方法を説明すると, 

被積分関数は,全複素平面上で正則であり,ε≠Kなら実軸上

以外の積分の寄与は半径∞の極限ではゼロです。 

 {7-2終わり※)
 

そして,ε≦k≦∞では,|exp(iyk)/|1/ε 

εdk[exp(iyk)/] 

=∫0dk[{cos(yk)isin(yk)}/]

-∫0εdk[exp(iyk)/] 

~∫0dk[{cos(yk)/(2+ε2)1/2](iπ/2)sgn()

iyε+[ln()]0ε  

であり,
 

0dk[{cos(yk)/(2+ε2)1/2]=K0(yε) 

~ -C-ln|εy/2| です。
 

故に,D^におけるsin/xとcos/xの積分の評価から

次式が得られます。

^=αA{-C-ln(εy)iπ/2.(2.48)です。
 

(7-3); 上記の(2.48)を証明します。 

D^=αA[0dk{exp(iyk)/}-∫0εdk/] 

=αA[(iπ/2)sgn()+∫εdk{cos(yk)/} 

-∫0εdk{1cos(yk)}/}}です。
 

ところが,関数Ci() 

i()≡∫dt(cos/)で定義すれば数学公式集 

によって,-Ci()=∫dt(cos/) 

=-C-lnx+∫0dt{(1cos)/} です。 

(CはEuler数です。)
 

そこで,t=ykとすれば,dt=ydkより,  

/ydk{cos(yk)/} 

=-C-lnx+∫0/dk[{1cos(yk)}/] です。
 

さらに,x=yεを代入して  

εdk{cos(yk)/} 

=-C-ln(εy)+∫0εdk[{1cos(yk)}/] 

が得られます。
 

そこで,y>0なら, 

^=αA[(iπ/2)+∫εdk{cos(yk)/} 

-∫0εdk{1cos(yk)}/}}より 

^=αA[-C-ln(εy)(iπ/2)} です。
 

他方y<0ならD^=αA[-C-ln(ε||)(iπ/2)}
 

よってD^=αA[-C-ln(ε||)(iπ/2)sgn()} 

です。(証明終わり)  (7-3終わり※)
 

(2.42):I={1/(2π)}-dyexp(iyε+D)

で,DをD^=αA{-C-ln(εy)iπ/2に置き換え, 

そして,積分変数をyからr=-iyεに置換すると,
 

dy=dr/(iε)であり, 

 exp(iyε+D^)exp [-r-αA{C+ln(i)iπ/2}] 

exp{-αA(C+iπ/2)}×exp(-r}/(i)αA 

なので,
 

I={1/(2πε)}{1/(i)(1-αA)}exp {-αA(C+iπ/2)} 

×∫i-idr{exp(-r)/ αA}..(2.49)  

となります。
 

これを,まず,0(αA)1に対して評価計算します。 

これは通常の物理的なケースです。
 

そして,結果を,(αA)0の全物理的領域に解析的に延長

(解析接続)します。
 

rを複素数として全複素r平面を想定すると, 

i-idr{exp(-r)/ αA}の積分路は,虚軸上の+i

から-iへと続く虚軸直線です。
 

これに,i∞から始まって,i∞で終わる半径∞の反時計

回りの右半円周を加えます。
 

そして,i∞から-i∞へと続く直線の方は,i∞から

原点Oまで進み,そこで一旦,右に直角に曲がり,実軸上

(0,)まで進んで,∞で折り返してOに戻り,それから,

下へと直角に曲がって-i∞へと至るように実軸上に

切断(cut)を入れる閉じた経路とします。
 

この閉曲線をC1と呼ぶと,この内部には,

{exp(-r)/ αA}の特異点は全く存在せず,正則なので

Cauchyの定理により,

C1dr{exp(-r)/ αA}0 です。
 

r=ρexp(iθ)とおけば,ρ=R(一定)の円周上では, 

dr=iρexp(iθ)dθです。
 

θが-π/2から,π/2までを動くC1の一部の右半円周上

では,∫dr{exp(-r)/ αA} 

i-π/2π/2dθ

{exp(isinθ-iαAθ)(1-αA)exp(-Rcosθ) 

(ただし,R→∞) です。
 

今の家庭では,(1-αA)0ですが,-π/2≦θ≦π/2では

cosθ≧0なので,R→∞では,∫dθR(1-αA)exp(-Rcosθ)

はゼロとなって消えるため,この半円周の上での積分の寄与

はゼロです。
 

以上から, 

i-idr{exp(-r)/ αA}

+∫0dr{exp(-r)/ αA}+∫0dr{exp(-r)/ αA}

0 ですが,

 
実軸上の切断の幅を
想定して,(0,)の経路上の点を

r=t+iδ,逆経路上の点をr=t-iδとします。
 

ここで,t,δは実数でδ>0は無限小です。
 

結局,i-idr{exp(-r)/ αA} 

=∫0dt[exp(-t){(t-iδ)-αA(t+iδ)-αA}] 

なる表式が得られました。
 

そして,{(t-iδ)-αA(t+iδ)-αA} 

exp{-αAln(t-iδ)}exp{-αAln(t+iδ)} 

exp(-αAln) 

×[exp{iαAang(t-iδ)}exp{iαAang(t+iδ)}]  

ですが,
 

δ→+0の極限では,ang(t+iδ)がゼロでang(t-iδ)

2πであるような経路の分枝(branch)を採用することも

できます。
 

すると,{(t-iδ)-αA(t+iδ)-αA} 

exp(-αAln){exp(i2παA)1} 

(2i)-αAexp(iπαA)sin(παA) です。 


よって,∫i-idr{exp(-r)/ αA}
 

(2i)exp(iπαA)sin(παA)

0dt{-αAexp(-t)} 

(2i)exp(iπαA)sin(παA)Γ(1-αA) 

です。

さらに,ガンマ関数の公式:

Γ()Γ(1-z)=π/sin(πz)(2.50)から,

sin(παA)Γ(1-αA)=π/Γ(αA) 

=παA/Γ(1+αA) 

です。

 したがって,
 

I={1/(2πε)}i(1-αA)}exp {-αA(C+iπ/2)} 

×∫i-idr{exp(-r)/ αA}.. 

{i/(2πε)}exp (-αAC) 

×(2παAi) exp(iπαA)/Γ(1+αA)
 

すなわち, 

I=(αA/ε) exp (-αAC)/Γ(1+αA) 

(αA/ε)[αA]  

が得られました。
 

(※(注7-4):(αA)が小さいときに,(2.45)

[αA]1-π2(αA)2/12.. が成立することを

以下で確かめますが,この式の前で

 Tablated function
は,

[]exp(-Cz)/Γ(1+z)で定義されていました。 
 

そして,Werstrassにより, 1/Γ()は無限積展開されて 

1/Γ()=zexp(Cz)Πn=0{(1+z/) exp(-z/)} 

と表現されることがわかっています。
 

故に,[αA]exp(-CαA)/Γ(1+αA) 

=Πn=0{(1+αA/)exp(-αA/)} 

(1+αA)(1+αA/2)(1+αA/3)… 

×exp{-αA(11/21/3..)} であり,
 

exp{-αA(11/21/3..)}exp{-αA(Σ1/)} 

1-αA(Σ1/)(αA)2(Σ1/)2/2..  

です。,
 

結局,0<(αA)<1に対して,(αA)の低次では, 

[αA] 1(1/2)(αA)2Σ0(1/2). 

1(π2/12)(αA)2..  

と近似評価されます。
 

ここで,ゼータ関数:ζ()~Σn=0(1/s)における

公式:ζ(2)=π2/6を用いました。
 (7-4終わり※)
 

他方,(αA)>>1に対するF[αA]の挙動には何の実験的

面白味もありませんが,理論的には,高エネルギー極限での

量子電磁力学(QED)の挙動について,いくつかの意味を

持っています。
 

[αA]exp(-CαA)/Γ(1+αA),(αA)が大きい

極限,[αA] (αA)-(αA)/exp{-αAln(αA)}

なるオーダーを持つことを示しています。 

(Stirlingの公式:Γ(1+z)~z!(2π)1/2(z+1/2)exp(-z)

を参照※)
 

これは (αA)が大きいとき,理論に強い収束因子を供給します。
 

この収束因子の1つの物理的説明を探します。 

以下に見るように,その効果は与えられたエネルギー総量

εに対する軟光子間の競合という意味によって1つの解釈

できます。
 

前に,1つの(dk/)光子放出の確率は,(αA)dk/

のように,(αA)に比例すると述べたことを思い起こします。
 

そこで,(αA)>>1のとき, エネルギーがkの実軟光子の

平均個数1を超え,1光子の取り得る平均エネルギーは

εよりも,はるかに小さくなると考えられます。
 

上に考察した結果は,エネルギーεを運び去る光子たちに

対する微分断面積が,ε(αA-1)に比例することを示しています。
 

(7-5):何故なら,これまでの記事において, 

,2α(B+B~)

=-(αA/2)ln(EE'/ε2){α/(2π)}ln(2pp'/2)(2.31)


 ただし, E'=E-εであり,
 

αA=-{2α/(4π2)}∫dΩ{p'μ/(p'k)-pμ/(pk)} 

2α/π{ ln(2pp'/2)1}..(2.32) 

なる式を得ています。
 

これから,2α(B+B~) (αA)lnε なので, 

exp{2α(B+B~)} ∝ εαA  です。
 

一方,赤外寄与を含む真の微分断面積は, 

dσ/dε=exp{2α(B+B~)}(dσ^/dε)で与えられ,
 

dσ^/dε ∝ I={1/(2π)}-dyexp(iyε+D)

より,dσ^/dε ∝ (αA/ε)[αA] です。
 

:(αA)>>1のとき,[αA] (αA)-(αA) という

上記の結果から,(αA/ε)[αA](αA)(1-αA)ε-1 

なので,

σ/dε ∝ ε(αA-1)  と結論されるわけです。
 

(※断面積:σn(ε),n個の実光子が放出される過程での

全実光子のエネルギーが,0 ~εの範囲にある断面積(確率)

を表わし,微分断面積:dσn/dεは,確率:

dσn=σn(ε+dε)-σn(ε)(dσn/dε)dε 

を意味します。)  (7-5終わり※)
 

小さい(αA)に対しては軟光子によって運び去られる

エネルギーは小さく,大きい(αA)に対しては,それは大きい

傾向があります。
 

(7-6):実際, 2α(B+B~) (αA)ln(ε/)より,

dσ/dε,(ε/)αA(1/ε)に比例し,(ε/)<<1

ですから,E=一定の下で,

(αA) → 大なら(ε/)αA → 小 です。
 

しかし,dσ/dεがほぼ一定と考えると.

(αA) → 大なら(ε/)が大きくならなければなりません。


 つまり,E=一定で,ほぼ同一で
十分な散乱確率を得る実光子

の放出現象では,(αA) → 大ならε → 大,(αA) → 小なら

ε → 小,が必要条件です。 (7-6終わり※)
 

今さて,,あらゆる光子たちと競合している1つの軟光子

を考えます。
 

あるエネルギーkをとる,その1光子に対する微分断面積

は残りの光子によって運び去られる全エネルギーに関連して

(ε-k)(αA-1) ような因子を含みます。
 

これは,小さい(αA)に対しては,変動するkの集合を

有意に抑制することはないですが,大きい(αA)に対しては

ε/(αA―1)を超えるkの値に対し,断面積を強く減少

させる効果があります。
 

(ε-k)(αA-1)=ε(αA-1)(1-k/ε)(αA-1)  

=ε(αA-1)

{1(αA―1)(/ε)(1/2)(αA―1)( αA―2)(/ε) 2..} 

~ ε(αA-1)exp{(αA―1)(/ε)}  

です。
 

故に,(αA―1)(/ε)1,つまり,k>ε/(αA―1)なる

kに対しては,因子:(ε-k)(αA-1)は著しく減少します。)
 

こうした意味で光子の競合は,大きい(αA)では,光子が

独立に取り得るエネルギーの上限を, 事実上,εからε/(αA)

に置き換えます。
 

そこで,断面積におけるexp{-αAln(/ε)}は,

exp{-αAln(αA)}で修正され,これは近似的にF[αA]

です。
 

こうした超高エネルギーでの因子Fによる減衰は荷電粒子を

伴なう任意の過程で各項にexp-αAln(/ε)}が掛かる効果

です。

 
もちろん,我々が解析できないFに掛かる多くの他の因子

があります。それ故,理論の収束性について明確な結論には

到達できたと断言できるわけではないですが。。。

収束因子の一応の説明にはなっています。
 

ところで,仮想光子の補正を論じているとき,分離:

1=m1+αβM0,一意的ではない。。と指摘しました。
 

また,実光子の赤外因子:2αB~と非赤外因子β~mへの寄与

の分離もまた,ユニークではありません。
 

これは赤外光子のエネルギーの上限が任意であるからと

考えられます。
 

長くなり過ぎたので,今日はここで終わります。

次回はn=1の寄与に入ります。

| | コメント (0) | トラックバック (0)

2017年4月13日 (木)

訃報!! ペギー葉山さん

歌手のペギー葉山さんが去る4月12日に肺炎のため亡くなられました。

享年83歳でした。

Yahooニュース→ 歌手のペギー葉山さん死去。83歳

「ペギー葉山」の画像検索結果

  私より16歳年上で,,1952年18歳でデビューされたそうです。 当時,私は2歳でラジオしかなかった時代ですからよく知りませんでした。

 テレビで初めて見たのは「南国土佐を後にして」」という曲がヒットしたときでした。容貌はハーフなのに,民謡が入った日本的な歌とのギャップを感じたことを覚えています。  

 ご冥福を祈ります。合掌!!

PS:元気だったのび、急遽,,肺炎になって3日前くらいに入院し,てそのまま帰らぬ人になったようです。この年齢で肺炎はとても危険です。 

 かくいう私も今週の月曜jから原因不明の下痢と微熱で,何もやる気もおこらず食欲も減退しています。小康状態で,このブログ書いてますが,青息吐息です。 

 今夜すぎに年金が入って,やっと4月の家賃も払えるし,元気でるかも。。。

| | コメント (0) | トラックバック (0)

2017年4月 9日 (日)

訃報!!京唄子さん。

 関西出身で離婚した元夫で漫才では師匠?の鳳啓介(おおとりケイスケ)さんとの「めおと?漫才」で湯名になり,女優でも活躍した京唄子さんが,体調をくずされ,去る4月6日に亡くなられたそうです。

享年89歳でした。

 NHKニュース→  京唄子さん死去

「京唄子」の画像検索結果

ミヤコ蝶々-南都雄二,花菱アチャコ-浪花千栄子から,現役の宮川大助-花子など,関西の男女しゃべくり漫才の代表格で,啓介師匠存命中は大口を売り物にしていたのをよく覚えています。

 京唄子劇団で座長をつとめたり,TVドラマでも存在感がありました。

 ご冥福を祈ります。合掌!!

 PS:浜離宮公園の桜です。(他のホームページから写真借用)

:「浜離宮公園  2017年4月の桜」の画像検索結果

| | コメント (0) | トラックバック (0)

« 2017年3月 | トップページ