摂動論のアノマリー(5）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性ベクトルのWard(-Takahashi)の恒等式(44): 

(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ')

を,通常の場理論が厳密に正しいという前提で,証明した

ところで 終わりました。
 

§2.1 Ward-identity in Perturbation Theory 

(摂動論におけるWardの恒等式)
 

今から,(44)式に到るナイーブで形式的な操作が,

実際的な摂動論においても正しい操作かどうか？

を調べたい,と考えます。
 

まず,軸性頂点の頂点補正:Λ⁵_μ,および,Λ⁵を次式で

定義します。 

すなわち,Γ⁵_μ＝γ_μγ₅＋Λ⁵_μ,および,Γ⁵＝γ₅＋Λ⁵.(45)

です。
 

そ　うして,(44)式:

(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ')に,たった今与えた

定義式(45)と,式(7):Ｓ_F'(ｐ)＝1/(ｐ－ｍ₀－Σ(ｐ))

を代入すると,(44)は,次のように書き直せます。
 

(ｐ－ｐ')^μΛ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Λ⁵(ｐ,ｐ') 

－Σ(ｐ)γ₅－γ₅Σ(ｐ') ..(46)　です。
 

この式を,摂動論的に導くために,Λ⁵_μ(ｐ,ｐ')に寄与

しているdiagramsを２種類に分割します。
 

(ａ)軸性頂点:γ_μγ₅が,外線4運動量:ｐ'に始まり,

外線4運動量ｐで終わるFermi粒子線上に接している

diagrams,　

および,
 

(ｂ) 軸性頂点:γ_μγ₅が,1つの閉じた内線ループ上に

接しているdiagrams

　　の２種類です。
 

※(注5-1)「軸性ベクトル頂点が1個だけあって,残りの

頂点 が全てベクトル頂点のループでは,ベクトル頂点の

個数が奇数の場合,ループの寄与はゼロである。」という

「Furryの定理」の一般化を証明します。
 

(証明)閉じたループには時計回りのもの:図(ⅰ)とそれ

に対応する反時計回りのもの;図(ⅱ)とが存在するため,

寄与は次のＦ₁,とＦ₂の和で与えられます。
 

すなわち,

Ｆ₁＝Ｔr[{1/(ｐ_2k－ｍ＋iε)}ａγ₅{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)} 

ａ_2k-1...ａ₂{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}ａ₁]　,

　　および, 

Ｆ₂＝Ｔr[ａ₁{1/(－ｐ₁－ｍ＋iε)}ａ₂{1/(－ｐ₂－ｍ＋iε)}

ａ₃..ａ_2k{1/(－ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}ａγ₅{1/(－ｐ_2k－ｍ＋iε)}]
 

です。
 

Ｆ₁の両辺に荷電共役変換(Charge conjugation)の演算子: 

Ｃ^＝iγ²γ⁰(Ｃ^^＋＝Ｃ^^-1)によるユニタリ変換を行うと, 

Ｃ^Ｆ₁Ｃ^^-

¹＝Ｔr[Ｃ^{1/(ｐ_2k－ｍ＋iε)}ａγ₅{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)} 

ａ_2k-1...ａ₂{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}ａ₁Ｃ^^-1]　

ですが,trace(トレース:対角和),の性質から,

Ｆ₁の式の右辺

＝Ｔr[Ｃ^^-1Ｃ^{1/(ｐ_2k－ｍ＋iε)}ａγ₅

{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}_2k-1...ａ₂{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}ａ₁]

＝Ｆ₁です。

　　よって,Ｃ^Ｆ₁Ｃ^^-1＝Ｆ₁であり,Ｆ₁は荷電共役不変です。
 

他方,Ｆ₁＝Ｃ^Ｆ₁Ｃ^^-1＝Ｔr[Ｃ^{1/(ｐ_2k－ｍ＋iε)}

Ｃ^^-1Ｃ^ａγ₅Ｃ^^-1Ｃ^{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}

Ｃ^^-1Ｃ^ａ_2k-1Ｃ^^-1.Ｃ^ａ₂Ｃ^^-1Ｃ^{1/(ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}

Ｃ^^-1Ｃ^ａ₁Ｃ^^-1]　よ書けます。
 

Ｃ^＝iγ²γ⁰に対しては,Ｃ^γ_μＣ^^-1＝－γ_μ^Ｔ, 

また,Ｃ^γ₅Ｃ^^-1＝γ₅^Ｔです。

(※Ｔは転置行列:transpose matrix)

よって,Ｃ^ａＣ^^-1＝－ａ^Ｔ.Ｃ^ｐＣ^^-1＝－ｐ^Ｔ etc. 

かつ,Ｃ^(ａγ₅)Ｃ^^-1＝－ａ^Ｔγ₅^Ｔ＝(ａγ₅)^Ｔです。
 

以上から,Ｆ₁＝Ｃ^Ｆ₁Ｃ^^-1 

＝(―1)^2ｋ-1Ｔr[{1/(－ｐ_2k ^T－ｍ＋iε)}(ａγ₅) ^T  

×{1/(－ｐ_2k-1 ^T－ｍ＋iε)}ａ_2k-1 ^T...ａ₂ ^T

{1/(－ｐ_2k-1 ^T－ｍ＋iε)}ａ₁ ^T]

＝(－1) ^2ｋ-1Ｔr[ａ₁{1/(－ｐ₁－ｍ＋iε)}ａ₂

{1/(－ｐ₂－ｍ＋iε)}ａ₃..ａ_2k{1/(－ｐ_2k-1－ｍ＋iε)}

ａγ₅{1/(－ｐ_2k－ｍ＋iε)}] ^Ｔ＝－Ｆ₂

を得ます。
 

したがって,Ｆ₁＋Ｆ₂＝0　です。(照明終わり)
 

(注5-1終わり※)
 

(ａ)図の型の典型的な寄与は, 

Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(ｋ){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ_μγ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]×γ^(2ｎ) (・・・)}

.(47）です。
 

ここで,注意をγ_μγ₅の接する内線に集中し,diagrams 

の残りの部分の因子(＝図のblob)は,(・・・)で記述 

しました。
 

これに,(ｐ－ｐ')^μを掛けて, 

 {1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(ｐ－ｐ')γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)} 

＝{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ₀γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)} 

＋{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ₅＋γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}..(48) 

なる公式を用います。
 

※(注5-2): 上の公式の証明です。

　　(48)の左辺＝{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}

　(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀－ｐ'－ｐ_k＋ｍ₀)γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

＝γ₅{1/(ｐ’＋ｐ_k－ｍ₀)}＋{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ₅ 

(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀＋2ｍ₀){1/(ｐ’＋ｐ_k－ｍ₀)}

＝γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}＋{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ₅ 

＋{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ₀γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}
 

(注5-2終わり※)
 

そこで,頂点:Λ⁵_μへのグラフ型(ａ)の寄与(47)は, 

Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(k){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ_μγ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ^(2ｎ) (・・・)}　
 

ですが,これに(ｐ－ｐ')^μを掛け,代数的に順序を

変えつつ,公式(48)を適用すると,
 

Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(ｋ){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ_μ0γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ^(2ｎ) (・・・)}
 

－(・・・)Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾γ₅ 

－γ₅Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾ (・・・)

.(49)　が得られます。
 

※(注5-3):因子:γ^(k){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ_μγ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)} 

に(ｐ－ｐ')^μを掛けると,

γ^(k){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(ｐ－ｐ')γ₅{1/(ｐ’＋ｐ_k－ｍ₀) 

＝γ^(k){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ₀γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)} 

＋γ^(k)[{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ₅＋γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}]

です。
 

よって,この第１項から,

Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(ｋ){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ_μ0γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ^(2ｎ) (・・・)} 

が得られるのは明らかです。
 

他方,Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(k){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ₅＋γ^(k)γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ’＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ^(2ｎ) (・・・)}

＝Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}γ₅ 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾ (・・・)} 

－Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)} 

×γ₅Π_j=k^2n-1[γ^(j){1/(ｐ’＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾ (・・・)} 

＝Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}γ₅γ⁽²ⁿ⁾ (・・・) 

－γ₅Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾ (・・・)
 

＝－(・・・)Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾γ₅ 

－γ₅Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾ (・・・) 

です。
 

(注5-3終わり※)

(49)の第１項は,2ｍ₀Λ⁵(ｐ.ｐ')への,(ａ)のブラフの寄与,

一方,第2.3項は,同じグラフの,{－Σ(ｐ)γ₅－γ₅Σ(ｐ')}

への 寄与に等しいことがわかります。
 

あらゆる(ａ)のタイプのグラフの総和のΛ⁵_μ(ｐ.ｐ') 

および,Λ⁵(ｐ.ｐ')への寄与分を,それぞれ,

Λ⁵_μ^(ａ)(ｐ.ｐ'),および,Λ^5(ａ)(ｐ.ｐ')とすると,
 

(49)の成立は,(ｐ－ｐ')^μΛ⁵_μ^(ａ)(ｐ.ｐ') 

＝2ｍ₀Λ^5(ａ)(ｐ.ｐ') －Σ(ｐ)γ₅－γ₅Σ(ｐ').(50) 

を意味します。

(↑ ※ 内線の個数が頂点の個数より必ず1つ少ない数 

なので,(－i)Σ(ｐ)の係数:(－i)は,全てのi,(－i) 

因子を相殺で除いたときに,相殺されて消えます。)
 

次に,(ｂ)のタイプのΛ⁵_μ(ｐ.ｐ')への寄与に移ります。
 

典型的な項は,Furryの定理による係数:2やループ因子

(－1)など,Λ⁵_μ(ｐ.ｐ')とΛ⁵(ｐ.ｐ')の両方に共通な

係数を除けば,
 

∫ｄ⁴ｒＴr(Σ_k=1²ⁿ{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(k){1/(ｒ＋ｐ_k－ｍ₀)}(γ_μγ₅){1/(ｒ＋ｐ_k＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1²ⁿ[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}]})×(・・・)..(51) 

です。
 

(ｐ－ｐ')^μを掛けて,公式(48)を適用すると, 

∫ｄ⁴ｒＴr(Σ_k=1²ⁿ{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(k){1/(ｒ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ₀γ₅){1/(ｒ＋ｐ_k＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1²ⁿ[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}]})×(・・・)
 

＋∫ｄ⁴ｒＴr(Σ_k=1²ⁿ{Π_j=1^k[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ₅Π_j=k+1²ⁿ[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}]}) 

.－Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ₅Π_j=k²ⁿ[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}]}) 

×(・・・)
 

＝∫ｄ⁴ｒＴr(Σ_k=1²ⁿ{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(k){1/(ｒ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ₀γ₅){1/(ｒ＋ｐ_k＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1²ⁿ[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j＋ｐ'－ｐ－ｍ₀)}]})×(・・・)
 

－∫ｄ⁴ｒＴr({γ₅Π_j=1²ⁿ[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

－γ₅Π_j=1²ⁿ[γ^(j){1/(ｒ＋ｐ_j＋ｐ’－ｐ－ｍ₀)}]})×(・・・) (52)

  となります。
 

この(52)の第１項は,Λ⁵_μ(ｐ.ｐ')への(ｂ)のグラフに

対応する2ｍ₀Λ⁵(ｐ.ｐ')への寄与です。
 

前の(ａ)と同様,Λ⁵_μ(ｐ.ｐ'),および,Λ⁵(ｐ.ｐ')への 

(ｂ)のタイプのグラフの寄与の総和を,それぞれ, 

Λ⁵_μ^(ｂ)(ｐ.ｐ'),および,Λ^5(ｂ)(ｐ.ｐ')と書きます。
 

一方,(42)の第２項と第３項は,第２項の積分変数を

ｒから(ｒ+ｐ－ｐ')に変えるという操作が正しいなら,

完全に相殺して消えます。
 

以上から.

(ｐ－ｐ')^μΛ⁵_μ^(ｂ)(ｐ.ｐ')＝2ｍ₀Λ^5(ｂ)(ｐ.ｐ').(53) 

を得ます。
 

最後に,(50)と(53)を辺々加え合わせると,軸性カレント 

のWardの恒等式(46):(ｐ－ｐ')^μΛ⁵_μ(ｐ.ｐ') 

＝2ｍ₀Λ⁵(ｐ.ｐ') －Σ(ｐ)γ₅－γ₅Σ(ｐ') 

が得られます。
 

しかしながら,上述の導出においては,単純な代数的な

配置換えではないような唯一の操作として,式(52)の

第２,３項において.積分変数の置換を行ないました。

　　これが,正しい操作ではない可能性があります。
 

これが,正しい操作で有り得るのは,積分が悪くても

対数発散するときです。

この条件は,4つ以上の光子頂点を持つループ,つまり

ｎ≧2なるループに対しては明らかに満足されています。
 

ところが,ループが,ただ２つの出入りする光子を持つ

ような三角グラフ(Triangle graph)のときは,ｎ＝1

なので(52)の積分は,２次発散すると見えます。
 

実際には,Ｔr{γ₅γ⁽¹⁾ｒγ⁽²⁾ｒ}＝0 なので,ｎ＝1

のとき,積分は表面上は1次的に発散します。
 

※(注5-4):実際の三角グラフの寄与を与える,∫ｄ⁴ｒ

が掛かる被積分関数は,係数を除いて, 

 Ｔr{γ₅γ⁽¹⁾{1/(ｒ＋ｐ₁－ｍ₀)}γ⁽²⁾ {1/(ｒ＋ｐ₂－ｍ₀)}} 

＝{(ｒ＋ｐ₁)²－ｍ₀²)(ｒ＋ｐ₂)²－ｍ₀²)}^-1 

×Ｔr{γ₅γ⁽¹⁾(ｒ＋ｐ₁＋ｍ₀)}γ⁽²⁾(ｒ＋ｐ₂＋ｍ₀)}}

です。
 

これにおいて,Ｔr{γ₅γ⁽¹⁾ｒγ⁽²⁾ｒ} 

＝4iε_αβγδｇ^α(1) ｒ^βｇ^γ(1)ｒ^δ＝0 を用いると,
 

Ｔr{γ₅γ⁽¹⁾(ｒ＋ｐ₁＋ｍ₀)}γ⁽²⁾(ｒ＋ｐ₂＋ｍ₀)}} 

＝Ｔr{γ₅γ⁽¹⁾(ｒ＋ｐ₁)γ⁽²⁾ ｐ₂)＋γ₅γ⁽¹⁾ｐ₁(ｒ＋ｐ₂)} 

となり,

積分の発散時数はＤ＝4＋1－4＝1となります。
 

(注5-4終わり※)
 

そして,1次発散するFeynman積分の平行移動(積分変数

の原点のずらし)によって積分値は不変ということを

利用する操作は,必ずしも正しい操作,ではないことは

良く知られています。(※これは,例えば有名な,

Jauch-Roelich著「The Theory of Photons and Electrons」

を参照)
 

※(注5-5);対数発散なら,Ａ,Ｂが有限な定数で

Ａ≠Ｂのとき, 

∫^∞ｄｋ/(ｋ＋Ａ)－∫^∞ｄｋ/(ｋ＋Ｂ) 

＝∫^∞ｄｋ(Ｂ－Ａ)/{(ｋ＋Ａ)/(ｋ＋Ｂ)}

＝[ln(ｋ＋Ａ)/(ｋ＋Ｂ)] ^∞なので,

積分領域境界のｋ→∞の紫外領域で,

ln(ｋ＋Ａ)/(ｋ＋Ｂ)→0 が成立するため,

繰り込みでの切断による正則化が正当化される

のです。
 

しかし,1次発散では∫^∞Ａｄｋ－∫^∞Ｂｄｋ

＝[(Ａ－Ｂ)ｋ] ^∞→±∞ですから,一般に有限値

が得られません。。  (注5-5終わり※)
 

それ故,(53): (ｐ－ｐ')^μΛ⁵_μ(ｐ.ｐ') 

＝2ｍ₀Λ⁵(ｐ.ｐ')－Σ(ｐ)γ₅－γ₅Σ(ｐ')

は,上述の三角グラフでは破れている可能性が

あります。
 

そうして,これが現実に破れていることを見るために

Rosenbergによって計算された三角グラフの陽な表現

を使用します。
 

　上に図示したグラフと,その２光子を入れ替えた

グラフの和は,Furryの定理では,どちらも同じ寄与

なので,因子２が掛かるだけですが,
, 

－iｅ₀²(2π)^-4Ｒ_σρμ 

＝2∫ｄ⁴ｒ(2π)^-4(－1)Ｔr[{i/(ｒ＋ｋ₁－ｍ₀)}(－iｅ₀γ_σ) 

{i/(ｒ－ｍ₀)}(－iｅ₀γ_ρ){i/(ｒ－ｋ₂－ｍ₀)}(γ_μγ₅)]

..(54) です。
 

この表現は,確かに1次発散します。

しかし,光子の自己エネルギー部分:Π^μν(ｑ)の評価のとき

のように,カレントの保存の要請から,光子の場の強さの

テンソル:(ｋ₂^ξε₂^ρ－ｋ₂^ρε₂^ξ),(ｋ₁^ηε₂^σ－ｋ₂^σε₁^η)

を通してcouple(相互作用)することを考慮すると

    運動量の2つのベキが,その因子に費やされること

がわかるので,有効発散次数は,Ｄ_eff＝－1となって

収束積分が残ります。 

(※収束はしてもゼロではないので,軸性カレントのWard

恒等式には確かに破れが存在して,これがアノマリーです。)
 

※(注5-6):つまり,ε₁^σε₂^ρＲ_σρμ 

∝(ｋ₂^ξε₂^η－ｋ₂^ηε₂^ξ)(ｋ₁^αε₂^β－ｋ₂^βε₁^α) 

Ｃ_αβξημ(ｋ₁,ｋ₂)という場の強さに比例する形 

であるなら,

  ε_i→ε_i＋ｋ_i(ｉ＝1,2)に対して,(ｋ_i^αε_i^β－ｋ_i^βε_i^α) 

→(ｋ_i^αε_i^β－ｋ_i^βε_i^α)＋(ｋ_i^αｋ_i^β－ｋ_i^βｋ_i^α) 

＝(ｋ_i^αε_i^β－ｋ_i^βε_i^α)となるため、ゲージ不変性が 

保証されます。

  (注5-6終わり※)
 

以下,長くなるので,今日はここで一旦終わります。~
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ

摂動論のアノマリー(4）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回で第1章については完了しました。
 

前回記事の最後でも述べたように,私の1995年1月からの参照 

ノートでは,それより20年昔のノートにある第２章の項目に

戻る前に,1995年5月末までかかって,

中西㐮 著(培風館)「場の量子論」から中西-Lautrap理論

と呼ばれている「電磁場の共変的量子化」について詳述

していました。
 

1995年当時には,第２章以後の理解に必要な知見として,

かなり詳しく勉強した経緯が見て取れますが,

この中西-Lautrap理

論については,「電磁場の共変的量子化」

という題名のシリーズ記事で本ブログの,2009年６月からの

過去記事に要約を紹介してあります。
 

,ここでは,こうした経緯などはスキップして1975年当時の

ノートに戻ることにします。
 

以下は,本題です。
 

2.The VVA Triangle-Anomaly(VVA三角グラフのアノマリー) 

(※VVAとは,vector-ｖector-axialvectorの3頂点の意味です。)
 

Ward(-Takahashi)の恒等式の最初のアノマリーの例を得るため 

QEDにおける軸性ベクトルカレント(Axial-vector current): 

ｊ⁵_μ(ｘ)を考えます。
 

これは,Fermi粒子のspinor場:ψ(ｘ)について,次のように

定義されます。
 

すなわち,ｊ⁵_μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ_μγ₅ψ(ｘ) ..(36) 

(※ γ₅＝γ⁵≡γ⁰γ¹γ²γ^３)　　です。
 

このカレントは,"純粋な"QEDでは何の役割も果たしません。
 

しかし, 軸性(ベクトル)カレントは,電子-ニュートリノの 

弱い相互作用の局所カレント-カレント理論(弱い相互作用

の旧理論であるFermi理論)の枠内での話を考えるとき出現

します。
 

このことを理解するため,次のことに着目します。
 

仲介boson(弱ボソン)の存在を設定しないカレント-カレント 

理論では,レプトン的な弱い相互作用の有効Lagrangiann 

は,Ｌ_eff＝(Ｇ/√2)Ｊ^＋_λＪ^λ.(37)で記述されます。
 

(※ レプトン(lepton)とは,軽粒子のことであり,レプトンを 

伴う相互作用を,レプトン的相互作用(leptonic interaction) 

と呼びます。)
 

ただし,Ｇ ～ 10^-5/Ｍ_p²であり,これはFermiの結合定数と 

呼ばれるものでです。(※Ｍ_ｐは陽子(proton)の質量)
 

そして,Ｊ^λは

Ｊ^λ＝ν_μ~γ^λ(1－γ₅)μ＋ν_e~γ^λ(1－γ₅)ｅ .(38)

で定義され,これはレプトンカレントと呼ばれます。
 

(※ただし,μ,ｅ,ν_μ,ν_eは,μ粒子,電子,μ-ニュートリノ, 

ｅ-ニュートリノの,それぞれの粒子場を示すspinor演算子 

を意味します。

　 なお,この講義の頃は,3世代目のレプトンであるτ粒子:

τと,τ-ニュートリノ:ν_τの存在は,未だ知られていない

時代でした。)
 

μ粒子の崩壊を記述する通常の項に加えて,

相互作用Lagrabgian密度(37)Ｌ_eff＝(Ｇ/√2)Ｊ^＋_λＪ^λ

は次のような項も含みます。
 

すなわち,(Ｇ/√2){μ~γ_λ(1－γ₅)ν_μν_μ~γ^λ(1－γ₅)μ 

＋ｅ~γ_λ(1－γ₅)ν_eν_e~γ^λ(1－γ₅)ｅ}　..(39)　です。

これは,ニュートリノ-レプトンの弾性散乱の記述に対応して 

います。
 

(39)は,Fierz変換(フィールヅ変換)によって書き換えた

方が便利です。これは謂わゆる電荷保存の形です。

  すなわち,(Ｇ/√2){μ~γ_λ(1－γ₅)μν_μ~γ^λ(1－γ₅)ν_μ 

＋ｅ~γ_λ(1－γ₅)ｅν_e~γ^λ(1－γ₅)ν_ｅ}　..(40)　です。
 

このカレントには,明らかに,μ粒子,電子の(極性)

ベクトルカレントだけでなく軸性ベクトルカレント項も

含まれています。
 

ここから,前節のQEDの電磁ベクトルカレントに対する扱い

のアナロジーで話を進めます。
 

まず,軸性ベクトルカレント(36):

ｊ⁵_μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ_μγ₅ψ(ｘ)の4次元発散を計算して

カレント保存条件をチェックします。
 

運動方程式(2):

(iγ∇―ｍ₀)ψ(ｘ)＝ｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)ψ(ｘ). 

∂_νＦ^μν(ｘ)＝ｅ₀ｊ^μ(ｘ)  

※ｊ^μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)　γ∇＝γ^λ∂_λ  

の前者の方程式を用いると,
 

∂_μｊ^5μ(ｘ)＝ψ~(ｘ){iｍ₀＋iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}γ₅ψ(ｘ) 

＋ψ~(ｘ)γ₅{iｍ₀＋iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}ψ(ｘ)

＝2iｍ₀ｊ₅(ｘ) ,..(41),

ただし,ｊ⁵(ｘ)≡ψ~(ｘ)γ₅ψ(ｘ) 　..(42) 

を得ます。
 

※(注4-1): (iγ^μ∂_μ―ｍ₀)ψ(ｘ)

＝ｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)ψ(ｘ)より.

∂_μψ^＋(ｘ)(－iγ^μ＋)＝ψ^＋(ｘ){ｍ＋ｅ₀γ_μ^＋Ａ^μ(ｘ)}

です。

　故に,ψ~(ｘ)＝ψ^＋(ｘ)γ⁰であり,γ⁰γ^μ＋γ⁰＝γ^μですから 

∂_μψ~(ｘ)γ^μ＝ψ~(ｘ){iｍ₀＋iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}　です。
 

したがって,∂_μψ~(ｘ)γ^μγ₅ψ(ｘ) 

＝ψ~(ｘ){iｍ₀＋iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}γ₅ψ(ｘ)　です。
 

他方,iγ^μ∂_μψ(ｘ)＝{ｍ₀＋ｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}ψ(ｘ) 

ですから,
　ψ~(ｘ)γ^μγ₅∂_μψ(ｘ) 

＝ψ~(ｘ){iｍ₀－iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}γ₅ψ(ｘ)　です。
 

それ故, ∂_μｊ^5μ(ｘ) 

＝∂_μψ~(ｘ)γ^μγ₅ψ(ｘ)＋ψ~(ｘ)γ^μγ₅∂_μψ(ｘ) 

＝2iｍ₀ψ~(ｘ)γ₅ψ(ｘ)　となります。　　

　(注4-1終わり※)
 

次に,電磁カレントの頂点:Γ_μ(ｐ,ｐ’)を定義する

(6.ｃ)式:Ｓ_F'(ｐ) Γ_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝－∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ)

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ｊ_μ(0)ψ~(ｙ)]|0＞ 

　のアナロジーで,　軸性ベクトルカレント頂点,および,

擬スカラーカレントの頂点を次のように定義します。
 

すなわち,Ｓ_F'(ｐ)Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝－∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ｊ⁵_μ(0)ψ~(ｙ)]|0＞,

　および,Ｓ_F'(ｐ)Γ⁵(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝－∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ｊ⁵(0)ψ~(ｙ)]|0＞　..(43)

です。
 

式(33)の導出と同様,(43)から丁寧に計算すると,次のような 

単純な軸性ベクトルのWard-Takahasjiの恒等式が得られます。
 

(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ) γ₅＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ') ..(44)　です。
 

※(注4-2): 証明です。
 

まず,(ｐ－ｐ')^μＳ_F'(ｐ)Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

 ＝－(ｐ－ｐ')^μ∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ｊ⁵_μ(0)ψ~(ｙ)]|0＞ 

＝－(ｐ－ｐ’)^μ∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ)exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ｊ⁵(0)ψ~(ｙ)]|0＞　です。

そして,結局,(ｐ－ｐ')^μＳ_F‘(ｐ)Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')Ｓ'(ｐ’) 

＝i∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}exp(－iｐ'ｙ)

＜0| (Ｔ[ψ(0)∂^μｊ⁵_μ(ｘ)ψ~(ｙ)]＋δ(ｘ⁰)

Ｔ{[ｊ⁵₀(ｘ)ψ(0)]ψ~(ｙ)}

＋δ(ｘ⁰―ｙ⁰)Ｔ{ψ(0)[ｊ⁵₀(ｘ),ψ~(ｙ)]})|0＞ 

を得ます。
 

これらは通常のWard-Takahashi恒等式の証明:(注3-3)と同じ

であり,唯一異なるのはｊ_μ(ｘ)がｊ⁵_μ(ｘ)に置き換わって

いるだけです。
 

(注3-4)の交換関係:δ(ｘ⁰)[ｊ₀(ｘ)ψ(0)]＝－δ⁴⁽ｘ)ψ(0)

は,δ(ｘ⁰)[ｊ⁵₀(ｘ)ψ(0)]＝－δ⁴⁽ｘ)γ₅ψ(0)に置換され, 

δ(ｘ⁰－ｙ⁰)[ｊ₀(ｘ),ψ~(ｙ)] ＝δ⁴(ｘ－ｙ)ψ~(ｘ)は 

δ(ｘ⁰－ｙ⁰)[ｊ⁵₀(ｘ),ψ~(ｙ)] ＝－δ⁴(ｘ－ｙ)ψ~(ｘ)γ₅

に置換されます。
 

それ故,(ｐ－ｐ')^μＳ_F'(ｐ)Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ[ψ(0)∂^μｊ⁵_μ(ｘ)ψ~(ｙ){0＞] 

＋γ₅Ｓ_F'(ｐ)＋Ｓ_F'(ｐ')γ₅ですが,

　∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ₅(ｘ)　なので 

(ｐ－ｐ')^μＳ_F'(ｐ)Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝2iｍ₀Ｓ_F'(ｐ)Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＋γ₅Ｓ_F'(ｐ) ＋Ｓ_F'(ｐ')γ₅　　を得ます。
 

この両辺に,左からＳ_F'^-1(ｐ)を,右からＳ_F'^-1(ｐ') 

を掛けると,(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ) γ₅＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ') 　です。
 

(注4-2終わり※)　
 

途中ですが切りがいいので,いつもより短いながら,

ここで終わります。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ

訃報 ！！ムーアさん。能村さん。夢路さん。

まとめ記事ですみません。

宝塚出身の女優 月丘夢路さん,,時代劇プロデューサー 能村庸一さん

イギリスの俳優ロジャー・ムーア(Roger.G.Moore)さん。

の訃報です。

元宝塚娘役スターで女優の月丘夢路さんが去る5月3日,肺炎で亡くなられていたことが8日にわかりました。享年95歳でした。

→スポーツ報知

 元宝塚娘役スターで女優の月岡夢路さん死去　95歳　付

月丘さんは私より28歳も年上で,しかも私の家にTVが来たのは小学5年の10歳くらいですから,もう38歳くらいでしたでしょう。

いろいろなTVドラマでお姿を拝見していたた記憶がありますが,残念ながら幼かったこともあり,特に印象的思い出は無しです。

ご冥福を祈ります。合掌！！

元フジテレビプロデューサーの能村庸一さんが去る5月13日に左腎細胞ガンで亡くなれました。享年76歳でした。

→　朝日新聞デジタル　

元フジ能村庸一さん死去「鬼平犯科帳」プロデューサー.

　能村さんについては,普通のTVだけを見ていたころには全く知らなかったのですが.,新しモノ好きな自分は25年くらい前に,パラボラアンテナを買ってきて当時住んでいた10階建マンションの10Ｆの自屋のベランダに付けて,まだNHKとワウワウくらいしか放送が無かった時代にBSを見るようになり,

　いつの頃からか？,豊島ケーブルテレッビをはじめ,スカパー,やひかりテレビで特に「時代劇専門チャンネル」を見るという習慣ができました。

　.近年,その番組ゲストで,元気で親しみ深いお姿を拝見するようになったばかりでした。　まだお若い感じでしたのに,とても残念です。

ご冥福を祈ります。合掌！！

イギリスの俳優で,007ジェームズボンド役主演の3代目のロジャームーアさんが去る5月23日にンくなられたそうです。享年89歳でした。

→　BBCニュース

英俳優ロジャー・ムーアさん死去　ジェームズボンド役で有名

映画007シリーズのジェームズボンド役の3代目でした。

ガンの闘病でスイスの自宅療養中だったようです。

007は,私は映画館まで行って観たことはありませんが,TVの洋画劇場でショーン・コネリー以来,かなりの本数を誰が主役か？を意識しないで楽しく見ていたのですが,R。ムーアが印象的だったのは「私を愛したスパイ」でしょうか？

イイ男でしたね。。

ご冥福を祈ります。合掌！！

PS/ここのところ2週間くらい。。5月12日のにストレッチ体操の翌日から寝違いが原因なのか？首痛から頭痛になり,何日経たっても湿布膏薬や痛み止め錠剤も効果なく,かなり睡眠不足でしたが,

　やっと小康状態で首部分に疲労があるくらいになりました。

　私,,元々左の頸椎炎症モチで普通の寝違いでも簡単には治りません。

　数年前には整形外科でCTやX線の検査で頸椎にズレあることは,わかっても,手術は技術的に無理と言われていたので,注意していて首障害用の枕も持っています。

　今回も,その枕が無かったら,もっと辛かったかもしれません。

　こういう急性の痛みは,姿勢とか,寝姿とかが関係してるのは間違いないので,枕などは昔からいろいろと模索していました。。

　しかし,いくら評判が良くても貧乏ですから,高価なモノには全く手が出ないのが悩みのタネですネ。。

今,持っているのは安物の

　くらいです。。

　6000円くらいもするけれど,来月年金が入ったら,これ↑でも買おうかな。

。　　　　　　　　　　　　

摂動論のアノマリー(3）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

さて,前回記事では,次のように書いて終わりました。
 

再計測(rescaling)が,本当に自己エネルギー部分と頂点部分

を有限にするということの証明は,数学的帰納法に基づいて

成されます。
 

ｅの(ｎ－2)次のあらゆるグラフを.この手法で有限にする

と仮定し,それから,オーダー:ｎの再計測グラフの収束性を

示すわけです。

  次回は,上記証明の簡単なスケッチから入る予定です。

と書きました。

　ここからは今回です。

簡単に頂点部分と電子の自己エネルギー部分のケースにおける証明 

をスケッチします。
 

というのは,ここに含まれる論理は,単純で,かつ,後でアノマリー

を論じる際に,我々にとって有意義な概念を有しているからです。
 

光子の自己エネルギー部分:Πや伝播関数Ｄ_F'についての証明は,

重複発散の問題によって,複雑になるため,省略します。

　まず,頂点部分の繰り込み可能性を証明をするため,それが満足

すべき積分方程式の存在を示すことから始めます。
 

この方程式を表現するため,まず,電子-陽電子核(Kernel:積分核) 

Ｋ(ｐ',ｐ,ｑ)_αβ,γδを定義します。
 

これは,次図の形のあらゆるdiagramを表現しています。
 

ただし,図から外線の足となる伝播関数は除去され,また,

非連結diagramsや,次図の２つのケースのdiagramsは排除

されます。
 

Ｋの最低次の寄与は,次の形式です。 

Ｋ⁽⁰⁾(ｐ',ｐ,ｑ)_αβ,γδ ＝(iｅ₀²/ｑ²)(γ_μ)_αβ(γ^μ)_γδ..(20)
 

これは次図のdiagramに由来します。
:

この核:Ｋによって,次図のdiagram表現に従って, 

頂点部分の1つの積分方程式を書くことができます。

 

すなわち, 

Γ_μ(ｐ,ｐ’)_δγ＝(γ_μ) _δγ＋∫ｄ⁴ｑ(2π)^-4 

{Ｔr[iＳ_F'(ｐ＋ｑ)Γ_μ(ｐ＋ｑ,ｐ'＋ｑ)iＳ_F'(ｐ'＋ｑ)]}_βα 

×Ｋ(ｐ',ｐ,ｑ)_αβ,γδ...（21）

です。
 

これを,引数,積分変数や添字を,はずした行列積という

省略形で書けば,

Γ＝γ －∫ΓＳ_F'Ｓ_F'Ｋ.. （22）　です。
 

今の繰り込み可能性の証明には,この表現の方が,簡単,かつ

便利なので,以下,特に明記の必要がない限り,これを使います。
 

再スケールした核:Ｋ~を,Ｋ~＝Ｚ₂²Ｋ...(23)で定義すると,

式(22)は,Γ~_μ＝Ｚ₁γ_μ－∫Γ~_μＳ_F'~Ｓ_F'~Ｋ~...(24)

となります。
 

理論が,ｅの(ｎ―2)次まで有限である。と仮定したとき,

式(15)で定義した.繰り込み定数による再スケールが,ｎ次の

Γ~をも有限にすることを示したい。と考えます。
 

式(20)のＫの最低次が,

Ｋ⁽⁰⁾(ｐ',ｐ,ｑ)_αβ,γδ ＝(iｅ₀²/ｑ²)(γ_μ)_αβ(γ^μ)_γδ

であることから.Ｋ~の最低次は,

Ｋ⁽⁰⁾ → Ｋ~ ⁽⁰⁾,ｅ₀²→ｅ²のように繰り込まれた形に

書けるため,Ｋ~はｅ²のオーダーで始まるので,式(24):

Γ~_μ＝Ｚ₁γ_μ－∫Γ~_μＳ_F'~Ｓ_F'~Ｋ~.の右辺も. 

Γ~,Ｓ_F'~,Ｓ_F'~,Ｋ~の(ｎ－2)次の寄与を代入すること 

により,左辺にΓ~のｎ次までの.寄与を得ます。

すなわち, 

Γ~⁽ⁿ⁾_μ＝Ｚ₁⁽ⁿ⁾γ_μ－∫Γ~^(n-2)_μＳ_F'~^(n-2)Ｓ_F'~^(n-2)Ｋ~^(n-2)...(25) 

です。
 

※(注3-1):(24)は摂動級数に展開すると 

Γ~⁽⁰⁾_μ＋Γ~⁽²⁾_μ＋Γ~⁽⁴⁾_μ＋.. ＋Γ~^(n-2)_μ＋Γ~⁽ⁿ⁾_μ＋.. 

＝(Ｚ₁⁽⁰⁾＋Ｚ₁⁽²⁾＋Ｚ₁⁽⁴⁾＋.. ＋Ｚ₁^(n-2)＋Ｚ₁⁽ⁿ⁾＋..)γ_μ 

－∫[(Γ~⁽⁰⁾_μ＋Γ~⁽²⁾_μ＋Γ~⁽⁴⁾_μ＋.. ＋Γ~^(n-2)_μ＋Γ~⁽ⁿ⁾_μ＋..)

Ｓ_F'~Ｓ_F'~ 

×(Ｋ~⁽⁰⁾＋Ｋ~⁽²⁾＋Ｋ~⁽⁴⁾＋.. ＋Ｋ~^(n-2)＋Ｋ^(~n)＋..)]

であり,..
 

Ｓ_F'~＝Ｓ_F'~⁽⁰⁾＋Ｓ_F'~⁽²⁾＋Ｓ_F'~⁽⁴⁾＋.. ＋Ｓ_F'~^(n-2)＋Ｓ_F'~⁽ⁿ⁾

＋..

ですから,両辺をｅの同じオーダーで正しく等置すると, 

Γ~⁽ⁿ⁾_μ＝Ｚ₁⁽ⁿ⁾γ_μ－∫Γ~^(n-2)Ｓ_F'~⁽⁰⁾ Ｓ_F'~⁽⁰⁾Ｋ~⁽⁰⁾ 

－∫Γ~^(n-4)Ｓ_F'~⁽²⁾Ｓ_F'~⁽⁰⁾Ｋ~⁽⁰⁾ 

－∫Γ~^(n-4)Ｓ_F'~⁽⁰⁾ Ｓ_F'⁽²⁾Ｋ~⁽⁰⁾ 

－∫Γ~^(n-4)Ｓ_F'~⁽⁰⁾ Ｓ_F'~⁽⁰⁾Ｋ~⁽²⁾ 

－∫Γ~⁽⁰⁾Ｓ_F'~^(n-2)Ｓ_F'~⁽⁰⁾Ｋ~⁽⁰⁾ －;;

ですから,

　実は(25)式にはなりませんが,  

Ｚ₁⁽ⁿ⁾を除けば,今の正しく評価した式の右辺はｅの(ｎ－2)次

までの有限と仮定した量の有限和で表現されます。
 

ただし,Γ~とＺ₁のみ, 

Γ~＝Γ~⁽⁰⁾_μ＋Γ~⁽²⁾_μ＋Γ~⁽⁴⁾_μ＋.. ＋Γ~^(n-2)_μ＋Γ~⁽ⁿ⁾_μ＋.. 

Ｚ₁＝Ｚ₁⁽⁰⁾＋Ｚ₁⁽²⁾＋Ｚ₁⁽⁴⁾＋.. ＋Ｚ₁^(n-2)＋Ｚ₁⁽ⁿ⁾＋.. 

という定義であり,
 

Ｓ_F'~^(n-2) や,Ｋ~^{(n^2)}は,(ｎ－2)次の単独項ではなく,

(ｎ－2)次までの項の総和という,別の定義であれば, 

(25)式は成立する。ので,

ここではそう解釈します。

　(注3-1終わり※)

すると,(15)と(16)の再スケールの定義から, 

 Γ~⁽ⁿ⁾_μ(ｐ,ｐ)|_ｐ＝ｍ＝0　..(26)です。
 

それ故, 

Ｚ₁⁽ⁿ⁾γ_μ＝∫Γ~^(n-2)_μＳ_F'~^(n-2)Ｓ_F'~^(n-2)Ｋ~^(n-2)|_{ｐ＝ｐ’=ｍ}..(27) 

です。

　こうして,有限な既知量の和の積分として,Ｚ₁⁽ⁿ⁾が 

決まります。
 

この(27)式の右辺は,何の仮定もなく, 

「右辺の積分値が電子の質量殻上でγ_μの定数倍である。」 

という命題を含むというのは,注目に値することです。
 

(27)式の右辺は,無次元量ｍのLorentzテソル関数であり,

それ故, ｐ, ｐ'が共にｍで置き換えられる問題における唯一

のLorentzテソルであるγ_μに比例すると考えられます。
 

(27)を(25)式:

Γ~⁽ⁿ⁾_μ＝Ｚ₁⁽ⁿ⁾γ_μ－∫Γ~^(n-2)_μＳ_F'~^(n-2)Ｓ_F'~^(n-2)Ｋ~^(n-2)

に代入すると, 

Γ~⁽ⁿ⁾_μ＝∫Γ~^(n-2)_μＳ_F'~^(n-2)Ｓ_F'~^(n-2)Ｋ~^(n-2)|_{ｐ＝ｐ’=ｍ}.. 

－∫Γ~^(n-2)_μＳ_F’~^(n-2)Ｓ_F’~^(n-2)Ｋ~^(n-2)., .(28)　です。
 

ここまでくると,帰納法の仮定を用いて, 

(24);Γ~_μ＝Ｚ₁γ_μ－∫Γ~_μＳ'~Ｓ_F'~Ｋ~...に含まれる

全ての部分グラフに関わる積分が有限であること,を示す

のは容易なことです。
 

そこで,唯一の発散は,全ての内線を通る4元運動量が大きくなる 

とき.全ての積分に関連する対数発散です。
 

しかし,この全体としての発散は(28)のように単純な差を取れば, 

有限となるため, 結局,Γ~_μ⁽ⁿ⁾は収束することがわかります。

したがって,頂点部分Γ~_μは多重的に繰り込み可能であること, 

が確証されました。
 

我々の論旨において,着目すべき重要事は,全て(22)の積分方程式 

から話を進めたことです。
 

そして,これは,とにかく,頂点部分が,ベクトルカレントを意味する 

γ_μの形である,という特殊性には依存していないことです。

それ故,QEDにおける擬ベクトル(Axial-Vector)および,擬スカラー 

(Pseud-Scalar)による頂点でも22):Γ_μ＝γ_μ －∫Γ_μＳ_F'Ｓ_F'Ｋ. 

と同様な積分方程式が満たされると考えられます。
 

すなわち,Γ_μ⁵＝γ_μγ⁵－∫Γ_μ⁵Ｓ_F'Ｓ_F'Ｋ, 

Γ⁵＝γ ⁵－∫Γ⁵Ｓ_F'Ｓ_F'Ｋ.. （29）　です。
 

そして,前と同様に,帰納的論議によって,こうした頂点でも

上の式に現われるものについて,次のように繰り込まれた関数

(チルダ関数)を定義して与えることにより,掛け算的繰り込み

が可能であることが,示せます。
 

すなわち,Γ_μ⁵(ｐ,ｐ')＝Ｚ_Ａ^-1Γ~_μ⁵(ｐ,ｐ'), 

Γ⁵(ｐ,ｐ')＝Ｚ_Ｐ^-1Γ~ ⁵(ｐ,ｐ')　..(30)　 

で,チルダ関数を定義します。
 

さて,次には,電子の伝播関数;Ｓ_F'(ｐ)に向かいます。
 

このとき,重複発散の問題が存在しますが,

こうした問題は,伝播関数と頂点部分の間に,Ward-Takahashi

の恒等式として知られている重要な関係を用いて,うまく回避

することができます。
 

Ward-Takahashiの恒等式に,ついては,既に証明抜きで使用

しましたが,これは,

(ｐ－ｐ')^μΓ_μ(ｐ,ｐ’)＝Ｓ_F'^-1(ｐ)－Ｓ_F'^-1(ｐ')

で与えられる関係式です。
 

これを証明するために(6ｃ)式: 

Ｓ_F'(ｐ)Γ_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝－∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ)

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ｊ_μ(0)ψ~(ｙ)]|0＞

から始めます。

この両辺に,(ｐ－ｐ')^μを掛けると,, 

 まず,(ｐ－ｐ')^μＳ_F'(ｐ)Γ_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝－,(ｐ－ｐ')^μ∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ{ψ(ｘ)ｊ_μ(0)ψ~(ｙ)}|0＞ 

＝－(ｐ－ｐ')^μ∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ)exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ{ψ(0)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ)}|0＞　

です。
 

※(注3-2): ｘ→―ｘ,ｙ→ｙ－(ｙ－ｘ)と積分変数を置換 

するとき,∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙは変わらず,
 

 exp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ)＜0|Ｔ{ψ(ｘ)ｊ_μ(0)ψ~(ｙ)}|0＞ 

→ exp(－iｐｘ)exp{－iｐ'(ｙ―ｘ)} 

＜0|Ｔ{ψ(－ｘ)ｊ_μ(0)ψ~(ｙ―ｘ)}|0＞　ですが,

　Ｔ積については,平行移動のユニタリ変換:

ψ(－ｘ)＝Ｕ(－ｘ)ψ(0)Ｕ^-1(－ｘ), 

および,ψ~(ｙ－ｘ)＝Ｕ(－ｘ)ψ~(ｙ)Ｕ^-1(－ｘ) により, 

＜0|Ｔ{ψ(－ｘ)ｊ_μ(0)ψ~(ｙ－ｘ)}|0＞ 

＝＜0|Ｔ{ψ(0)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ)}|0＞です。

　そして, exp(－iｐｘ)exp{－iｐ'(ｙ―ｘ)} 

＝exp{i(ｐ'－ｐ)ｘ)exp(－iｐ'ｙ)です。

　(注3-2終わり※)
 

さらに,

最右辺＝∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}exp(－iｐ'ｙ) 

i(∂/∂ｘ^μ)＜0|Ｔ{ψ(0)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ)}|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}exp(－iｐ'ｙ)＜0| 

×(Ｔ[ψ(0)∂^μｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ)]

＋δ(ｘ⁰)Ｔ{[ｊ₀(ｘ)ψ(0)]ψ~(ｙ)}

＋δ(ｘ⁰―ｙ⁰)Ｔ{ψ(0)[ｊ₀(ｘ),ψ~(ｙ)]})|0＞

となります。
 

※(注3-3):何故なら,(∂/∂ｘ^μ)を∂_μと書くと, 

微分可能な任意のｘの関数:ｆ(ｘ)に対し, 

∂_μ[exp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}ｆ(ｘ)] 

＝i(ｐ'－ｐ)_μexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}ｆ(ｘ) 

＋ exp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}{∂_μｆ(ｘ)}]　です。

一方,4次元Gaussのの積分定理によって,

∫_Ｖｄ⁴ｘ(∂_μＦ)＝∫_ＳＦｄＳ(Ｓは4次元体積Ｖの3次元

表面境界)です。ただし,Ｆ(ｘ)＝exp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}ｆ(ｘ)

とします。
 

Ｖが全時空を示すなら,その境界である３次元閉曲面Ｓ

は無限遠に存在して,そこでは全ての場の量は急減衰して

ゼロになるため,∫_Ｖｄ⁴ｘ(∂_μＦ)＝0ですから，
 

最初に書いた連鎖微分の式により,部分積分から事実上, 

(ｐ'－ｐ)_μexp{i(ｐ’－ｐ)ｘ}ｆ(ｘ) 

＝iexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}×{∂_μｆ(ｘ)}　が成立します。

また,Ｔ積の定義から,Ｔ{ψ(0)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ)}

＝Ｔ{ψ(0)ψ~(ｙ)ｊ_μ(ｘ)} 

＝θ(－ｙ⁰)θ(ｙ⁰－ｘ⁰)ψ(0)ψ~(ｙ)ｊ_μ(ｘ) 

－θ(ｙ⁰－ｘ⁰)θ(ｘ⁰)ψ~(ｙ)ｊ_μ(ｘ)ψ(0) 

＋θ(－ｘ⁰)θ(ｘ⁰－ｙ⁰)ψ(0)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ) 

＋θ(ｘ⁰)θ(－ｙ⁰)ｊ_μ(ｘ)ψ(0)ψ~(ｙ) 

－θ(ｘ⁰－ｙ⁰)θ(ｙ⁰)ψ(0)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ) 

－θ(ｙ⁰)θ(－ｘ⁰)ψ~(ｙ)ψ(0)ｊ_μ(ｘ)

です。
 

故に,(∂/∂ｘ^μ)Ｔ{ψ(0) ψ~(ｙ)ｊ_μ(ｘ) } 

＝Ｔ{ψ(0) ψ~(ｙ)∂_μｊ_μ(ｘ)} 

－θ(－ｙ⁰)δ(ｘ⁰－ｙ⁰)ψ(0)ψ~(ｙ)ｊ₀(ｘ) 

＋δ(ｘ⁰－ｙ⁰)θ(ｘ⁰)ψ~(ｙ)ｊ₀(ｘ)ψ(0) 

＋θ(ｘ⁰－ｙ⁰)δ(ｘ⁰)ψ~(ｙ)ｊ₀(ｘ)ψ(0) 

－δ(ｘ⁰)θ(ｘ⁰－ｙ⁰)ψ(0)ｊ₀(ｘ)ψ~(ｙ) 

＋θ(－ｘ⁰)δ(ｘ⁰－ｙ⁰)ψ(0)ｊ₀(ｘ)ψ~(ｙ) 

－δ(ｘ⁰) θ(－ｙ⁰)ｊ₀(ｘ)ψ(0)ψ~(ｙ) 

＋θ(－ｘ⁰)δ(ｘ⁰－ｙ⁰)ψ(0)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ) 

－δ(ｘ⁰－ｙ⁰)θ(ｙ⁰)ｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ)ψ(0) 

＋θ(ｙ⁰)δ(ｘ⁰)ψ~(ｙ)ψ(0)ｊ_μ(ｘ)
 

つまり, 

(∂/∂ｘ^μ)Ｔ{ψ(0) ψ~(ｙ)ｊ_μ(ｘ) } 

＝Ｔ{ψ(0) ψ~(ｙ)∂_μｊ_μ(ｘ)} 

＋δ(ｘ⁰){θ(－ｙ⁰)[ｊ₀(ｘ),ψ(0)]ψ~(ｙ)

－θ(ｙ⁰)ψ~(ｙ) [ｊ₀(ｘ),ψ(0)]} 

＋δ(ｘ⁰－ｙ⁰){θ(－ｙ⁰)ψ(0)[ｊ₀(ｘ),ψ~(ｙ)] 

－θ(ｙ⁰)[ｊ₀(ｘ),ψ~(ｙ)]ψ(0)}
 

＝Ｔ{ψ(0)∂_μｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ) }

＋δ(ｘ⁰)Ｔ{[ｊ₀(ｘ),ψ(0)]ψ~(ｙ)} 

＋δ(ｘ⁰－ｙ⁰) Ｔ{ψ(0)[ｊ₀(ｘ),ψ~(ｙ)]}

を得ます。
 

(注3-3終わり※)
 

最右辺の第1項は,カレントの保存:(3):∂_μｊ^μ＝0,

を用いるとゼロであり,残る2つの項を正準反交換関係

を用いて評価すると

(ｐ－ｐ')^μＳ_F'(ｐ)Γ_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝Ｓ_F'(ｐ')－Ｓ_F'(ｐ)..(32)　

です。

この,両辺に,左からＳ_F'^-1(ｐ),右からＳ_F'^-1(ｐ')を掛けると 

(ｐ－ｐ')^μΓ_μ(ｐ,ｐ'’)＝Ｓ_F'^-1(ｐ)－Ｓ_F'^-1(ｐ') ..(33) 

を得ます。これがWard-Takahashiの恒等式です。
 

※(注3-4):[ＡＢ,Ｃ]＝ＡＢＣ－ＣＡＢ＝Ａ{Ｂ,Ｃ}－{Ａ.Ｃ}Ｂより 

まず,δ(ｘ⁰)が掛かっているためｘ⁰＝0の同時刻で. 

[ｊ₀(ｘ)ψ_α(0)]＝[ψ^＋_β(ｘ)ψ_β(ｘ),ψ_α(0)] 

＝ψ^＋_β(ｘ){ψ_β(ｘ),ψ_α(0)}－{ψ^＋_β(ｘ) ψ_α(0)}ψ_β(ｘ) 

＝－δ³(ｘ)ψ_α(0) です。

また,δ(ｘ⁰⁰－ｙ⁰)が掛かっているため,ｘ⁰＝ｙ⁰の同時刻で, 

[ｊ₀(ｘ),ψ~_α(ｙ)] ＝[ψ^＋_β(ｘ)ψ_β(ｘ),ψ~_α(ｙ)] 

＝ψ^＋_β(ｘ){ψ_β(ｘ),ψ^＋_γ(ｙ)}γ⁰_γα

－{ψ^＋_β(ｘ) ψ^＋_γ(ｙ)}γ⁰_γαψ_β(ｘ) 

＝δ³(ｘ－ｙ)ψ~_α(ｘ)　　です。
 

したがって,(ｐ－ｐ')^μＳ_F'(ｐ)Γ_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝i∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}exp(－iｐ'ｙ)＜0| 

×(Ｔ[ψ(0)∂^μｊ_μ(ｘ)ψ~(ｙ)]＋δ(ｘ⁰)Ｔ{[ｊ₀(ｘ)ψ(0)]ψ~(ｙ)} 

＋δ(ｘ⁰―ｙ⁰)Ｔ{ψ(0)[ｊ₀(ｘ),ψ~(ｙ)]})|0＞　
 

＝i∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙ[exp{i(ｐ'－ｐ)ｘ}exp(－iｐ'ｙ) 

δ⁴(ｘ)＜0|Ｔ{ψ(0)ψ~(ｙ)}|0＞ 

＋δ⁴(ｘ－ｙ)＜0|Ｔ{ψ(0)ψ~(ｘ)}|0＞] 

＝i∫ｄ⁴ｙexp(－iｐ'ｙ)＜0|Ｔ{ψ(0)ψ~(ｙ)}|0＞ 

＋i∫ｄ⁴ｙexp(－iｐｙ)＜0|Ｔ{ψ(0)ψ~(ｙ)}|0＞ 

＝Ｓ_F'(ｐ')－Ｓ_F’(ｐ)　です。

(注3-4終わり※)
 

Ward-Takahashiの恒等式（33: 

(ｐ－ｐ')^μΓ_μ(ｐ,ｐ’)＝Ｓ_F'^-1(ｐ)－Ｓ_F'^-1(ｐ') 

において,ｐ'＝ｍとすると,Ｓ_F'^-1(ｐ')＝ｐ'－ｍ＝0　です。
 

それ故,

Ｓ'^-1(ｐ)＝(ｐ－ｐ')^μΓ_μ(ｐ,ｐ')|_ｐ’＝ｍ.(34) 

ですが,これによって,電子伝播関数Ｓ_F'(ｐ)は,頂点部分

Γ_μ(ｐ,ｐ')が決まれば,完全に決まることがわかります。
 

そして,頂点部分については,

Γ~_μ(ｐ,ｐ')＝Ｚ₁Γ_μ(ｐ,ｐ')から,Γ~_μとＺ₁が(ｎ－2)次

まで有限という帰納法の仮定から,それらはオーダーｎまでも

有限になることを示して,繰り込み可能性を既に証明しました。
 

そこで,Ｚ₁^-1Ｓ_F'(ｐ)＝Ｚ₂^-1Ｓ_F'(ｐ)＝Ｓ_F'~(ｐ)も同じく, 

(ｎ－2)次まで有限という仮定から,オーダーｎまで有限で

あることが直ちに示されます。
 

ちなみに,(34)式は,さらに,ｐ＝ｍの近傍で, 

Ｚ₂^-1(ｐ－ｍ)～ Ｓ_F'^-1(ｐ)|_ｐ＝ｍ 

＝(ｐ－ｐ')^μΓ_μ(ｐ,ｐ')|_{p＝ｐ’＝ｍ}～Ｚ₁^-1(ｐ－ｍ)..(35) 

なることを意味し,これからＺ₁＝Ｚ₂が導かれますが, 

このことは,既に証明抜きで述べていたことで,それ以後は,

これを使用していました。
 

QEDの繰り込みを論じる際には,Ward-Takahashiの恒等式は 

有益で重要な役割を果たす,ことがわかります。

カレントの保存条件:(3):∂_μｊ^μ＝0,および,(16)の

繰り込み条件において, Ward-Takahashiの恒等式を導出

するに当たって,序文で言及した危険なタイプの操作を

一応無事に行ないました。
 

しかし,こうした操作は,正当化され, Ward-Takahashiの

恒等式と頂点のカレント保存の他の帰結は,摂動論の

あらゆる次数で正しいことがわかります。
 

これは,言い換えると,頂点に関わるカレントが保存する

通常のQEDでは,幸い,Ward-Takahashiの恒等式のアノマリー

を生じないということです。
 

これで一応,やっと20年がかりで関わった第1章が終わり,

本題の「2.The VVA Triangle Anomalｙ」に入るわけです。
 

私のノートは,1995年1/5(木)に第1章を完了した後,第2章

の20年昔のノート「に戻る前に,1995年5月末までかかって

中西㐮 著(培風館)「場の量子論」から,

今は中西-Lautrap理論と呼ばれている「電磁場の共変的量子化」

に進み,最後には,Ward-Takahashiの恒等式が,任意のゲ－ジで

成立することを示すところまで記述していました。

「電磁場の共変的量子化」については,本ブログの

過去記事で記述していたと記憶しているので,私自身

ちょっと調べてみます。

　(※PS:ありました。8年前で忘れてました。

　まずは,2009年6/5の過去記事:

「電磁がの共変的量子(1)(中西ーLautrap理論」から回顧です。)
 

今日は,ここで終わります。

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ

摂動論のアノマリー(2）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前に述べたように,ここからは,20年後の1995年(45歳)の 

追加ノートからです。 

(※しかし,開始頁の日付が1995年1月1日(日)なので.実は 

まだ44歳でした。)
 

さて,前回記事では,次のように書いて終わりました。
 

「伝播関数と頂点部分を定義して図式化した理由は,あらゆるQED 

の紫外発散がこうした量の中に,存在しているからです。」
 

ここからが今回の,続き原稿です。
 

このことを見るため,１つのグラフの表面的な発散の次数が, 

Ｄ＝4ｋ－2ｂ―ｆ...(10ａ)　で与えられることに着目します。
 

ここに, 

ｂ＝光子の内線の個数, 

ｆ＝電子の内線の個数, 

ｋ＝内線運動量積分の個数　　

です。
 

※(注2-1):光子内線１個ごとに,ｑ^-2の(－2)次因子:

電子内線１個ごとに,(ｐ－ｍ⁰)^-1の(－1)次因子です。

また,ループ１個ごとに∫ｄ⁴ｌ,で,これは４次因子すが,

４元運動量の保存から,ｑもｐもループ積分変数ｌの

１次項を含むので,被積分関数としては,ｑの１次が

(－2)次,ｐの１次が(－1)次で,積分すると,＋４次が

相殺されます。
 

よって,積分変数ｌの数がｋなら,積分変数全体での

次数は,Ｄ＝4ｋ－2ｂ―ｆ　です。(注2-1終わり※)
 

さらに, 

ｎ＝頂点の個数, 

Ｂ＝Boson外線の個数, 

Ｆ＝Fermion外線の個数　..(10.ｂ) 

とします。
 

すると,位相幾何学的関係から, 

Ｆ＋2ｆ＝2ｎ,Ｂ＋2ｂ＝ｎ..(10.ｃ)

です。
 

※(注2-2):QEDではfermionの内線,外線の終点は,必ず,光子頂点 

であり,FermionやBosonの外線には終点しかありませんが,内線 

には,グラフの中に終点と同じ数の始点があります。
 

そこで,まず頂点の光子線(Boson)を無視すると,ｎ個の頂点には, 

2ｎ本の線がつながっいていて,その延べ2ｎ個の他方の端点は, 

(F＋ｆ)個の終点,および,ｆ個の始点のどれかに一致します。 

故に,Ｆ＋2ｆ＝2ｎです。
 

一方, Fermion線(電子線)を無視すると,ｎ個の頂点には,

ｎ本の光子線(Boson線)がつながっいていて,もう1方の端点

は(Ｂ＋ｂ)個の終点,および,ｂ個の 始点のどれかに一致

します。それ故,Ｂ＋2ｂ＝ｎです。　

　(注2-2終わり※)
 

これらの関係を用いれば, 

Ｄを上述の外線の個数で書き換えることができます。
 

Ｄ＝4－3Ｆ/2－Ｂ..（11）です。
 

※(注2-3):QEDでは,ループの個数は,ｋ＝ｆ＋ｂ－ｎ＋1

です。つまり,光子線とか電子線の区別なく,外線のついて

いない閉じた図形では,ループの個数は線の個数から頂点

の個数を引いて1を加えたものに等しいです。

　この関係は,物理学はなく,図形の位相幾何学的な関係

であり,幾何学としては自明のことです。
 

そして,Ｄ＝4ｋ－2ｂ―ｆに,ｋ＝ｆ＋ｂ－ｎ＋1を代入

してｋを消去すると,Ｄ＝4ｋ－2ｂ―ｆ＝3ｆ＋2ｂ－4ｎ＋4

です。
 

これに,ｆ＝ｎ－Ｆ/2,2ｂ＝ｎ－Ｂ を代入すると, 

Ｄ＝4－3Ｆ/2－Ｂが得られます。　(注2-3終わり※)
 

そして,個々のFeynmanグラフの収束条件は,グラフ自身.および, 

そのグラフ内に含まれる,あらゆる部分グラフに対して,それぞれ 

の発散次数:Ｄを求めたとき,全てについてＤ＜0となることです。
 

式(11)から発散の危険性のあるＤ≧0のグラフは,
 

(ａ)電子のｐroperな自己エネルギー部分:Σ(ｐ)(Ｄ＝1), 

(ｂ),properな頂点:Γ_μ(ｐ,ｐ’)(Ｄ＝0), 

(ｃ)光子のｐroperな自己エネルギー部分:Π(ｑ)(Ｄ＝2), 

(ｄ) 3つの光子のpoperな頂点(Ｄ＝1):
 

そして,(ｅ)properな光子-光子散乱振幅(Ｄ＝0)です。

このうち,(ｄ)の3つの光子頂点グラフは消えます。 

これは,光子の奇数頂点は荷電共役変換の下で奇(odd)である

からです。(※Furryの定理

※(注2-4): 荷電共役(Charge cojugation)Ｃ^に対する光子Ａ^μ 

の変換性は,Ｃ^Ａ_μ(ｘ)Ｃ^^-1＝―Ａ_μ(ｘ)ですから,
 

＜0|Ｔr[Ａ_μ(ｘ)Ａ_ν(ｙ)Ａ_λ(ｚ)]|0＞ 

＝＜0|Ｔr[Ｃ^Ａ_μ(ｘ)Ａ_ν(ｙ)Ａ_λ(ｚ)Ｃ^^-1]|0＞ 

＝－＜0|Ｔr[Ａ_μ(ｘ)Ａ_ν(ｙ)Ａ_λ(ｚ)]|0＞＝0　です。
 

(注2-4終わり※)
 

また,光子のproperな自己エネルギ－については,Ｄ＝2ですが 

式(8.ｂ) Π_μν(ｑ)＝－(ｑ²ｇ_μν－ｑ_μｑ_ν)Π(ｑ²)における

ように,(ｑ²ｄ_μν－ｑ_μｑ_ν)因子が形成され.これに運動量の

２つのベキが使用されます。
 

それ故,,光子の自己エネルギーの発散次数:Ｄは,

実質的には,Π(ｑ²)の次数として,有効発散次数;Ｄ_eff＝0

となります。

　　同様に,光子-光子散乱の内線運動量が4つの外線光子の

各々に対して,電磁場の強さ:Ｆ_μν(ｑ)＝(ｑ_μｑ_ν－ｑ_νｑ_μ)

を形成するために用いられ,,このグラフの有効発散奇数は

Ｄ_eff＝－4となり,実際には高次に収束します。

　　これで,QEDのグラフで発散があれば,それは常に自己エネルギー

と頂点部分に関わることを証明したことになります。

　　そこで,次には,任意のグラフの発散を研究し,それを除去する

手法を述べる段階にきました。

　1つの任意グラフが与えられたとします。
 

その,あらゆる自己エネルギーや頂点部分を１点に縮めること

によって得られる新しいグラフを,そのSkeltonグラフと定義

します。

　　これをなすに当たって,ｍ₀＝ｍ－δｍとします。

ここに,ｍは物理的質量(衣を着た質量)であり,δｍは電子の

自己エネルギーの一部として扱います。

　よって,Skeltonに現われる電子の伝播関数は全て(ｐ－ｍ)^-1

の形とします。

　こうして,縮めた点を全て単なる１として無視すると,

明らかに,Skeltonグラフに対応する計算値は常に有限です。
 

したがって,もしも自己エネルギー部分と頂点部分を有限に

する方法を案出できたなら,縮めた点を無視する代わりに,
 

「Skeltpn上の有限な自己エネルギー部分と頂点部分への

適切な挿入を行うことにより,元のグラフに対応する計算値

という意味で有限項を得ることができる。」

　と考えられます。
 

そうして,３つ以上の足を持つSkeltonに対する,挿入は.常に

重複しないやり方で為すことができて,その手法は単純です。
 

しかし,足が２つのSkelton(電子-光子自己エネルギーグラフ自身) 

においては,必然的に,次の図のような重複した頂点の挿入を含む

状況 が出現します。

　これは,繰り込み可能性の証明をする上では,困難を与えるものです。
 

自己エネルギー部分,および,頂点部分を有限にするための手法は 

以下の通りです。
 

まず,第１に,δｍ＝ｍ－,ｍ₀を,次のように選びます。
 

すなわち,ｐ＝ｍなら,δｍ－Σ(ｐ)＝0..(12)

と選択して,Ｓ_F'(ｐ)は,ｐが物理的質量ｍに等しいとき,

そこに極を持つことを保証します。
 

そこで,ｐ → ｍなら,Ｓ_F'(ｐ) → Ｚ₂/(ｐ－ｍ)..(13)　

です。 ここで,Ｚ₂は.電子波動関数の繰り込み定数です。
 

同様に,質量殻の近傍での光子の伝播関数の挙動を調べること

によって,光子の波動関数の繰り込み定数Ｚ₃を定義します。

　すなわち, 

ｑ² → 0 なら,Ｄ'^μν(ｑ) → －Ｚ₃ｇ^μν/ｑ²＋(縦波光子項)

....(14) です。
 

そして,質量殻の上にある電子線を持つ頂点の運動量遷移:

ｑ＝ｐ'－ｐがゼロの極限を調べることで,頂点の繰り込み定数:

Ｚ₁を定義します。
 

すなわち,Γ_μ(ｐ,ｐ)｜_ｐ=ｍ＝Ｚ₁^-1γ_μ..(15)　とします。
 

くりこみの処法は,自己エネルギーを持つ伝播関数や頂点関数. 

および,裸の電荷ｅ₀を,繰り込まれた関数:Ｓ_F~(ｐ) Ｄ_F~_μν(ｑ) 

Γ_μ~(ｐ,ｐ'),および,繰り込まれた(物理的)電荷:ｅで再定義

できるように,再スケールすることから成ります。
 

すなわち,

Ｓ_F'(ｐ)＝Ｚ₂ Ｓ_F'~(ｐ),  

Ｄ_F'_μν(ｑ)＝Ｚ₃Ｄ_F'~_μν(ｑ), 

Γ_μ(ｐ,ｐ')＝Ｚ₁ ^-1Γ_μ~(ｐ,ｐ') 

ｅ₀＝Ｚ₁ｅ/Ｚ₂Ｚ₃^1/2...(16)
 

これによって,チルダ(～)をつけた関数を定義し,

これらを,「繰り込まれた関数」と呼びます。
 

注目すべき事は,上式(16)が,物理的電荷:ｅと質量:ｍによって 

チルダ関数を表示するために用いられるとき,４元運動量ｐ,ｐ' 

の任意の値に対し,これらチルダ関数を有限値に導くことです。
 

したがって,全ての無限大は繰り込み定数Ｚ₁,Ｚ₂,Ｚ₃の中に 

「繰り込まれて」除去される。という形になります。
 

さらに,カレント保存の結果としてＺ₁＝Ｚ₂..(17) 

を得ます。
 

※(注2-5):何故なら,カレントの保存は,Ward-Takahashi恒等式: 

(ｐ－ｐ')^μΓ_μ(ｐ,ｐ')＝Ｓ_F'^-1(ｐ)－Ｓ_F'^-1(ｐ')を意味し,

これに,素朴で自明な恒等式: 

 (ｐ－ｐ')^μγ_μ＝Ｓ_F^-1(ｐ)－Ｓ_F^-1(ｐ')を並列して,電子の 

質量殻上:ｐ＝ｐ’＝ｍで,比較すれば,Ｚ₁＝Ｚ₂を得ます。

(注2-5終わり※)
 

式(16)の自己エネルギーや頂点部分の外線の足を除去したもの

を,Skeltonグラフに代入したとき,

Feynmanルールの項目(ⅰ)によれば,外線における自己エネルギー

はomitされ,Skeltonに繰り込まれた自己エネルギ－と頂点の挿入

を作ることで,それぞれ,自己エネルギ－, 頂点の繰り込み定数の

挿入数乗の,Skeltonの積因子倍の計算値を得ます。
 

その因子は,明らかに, 

(Ｚ₁/Ｚ₂Ｚ₃^1/2)^ｎＺ_１^-nＺ₂^ｆＺ₃^ｂ＝Ｚ₂^f-nＺ₃^ｂ-n/2..(18)  

です。

　ただし,ｎ,ｆ,ｂは,それぞれ,１つのグラフ(blob)について,

(10.ｂ)で与えた,頂点の個数,Fermion(電子)内線の個数,

Boson(光子)内線の個数です。
 

ここで,前に与えた 位相幾何学的関係;(10.ｃ):

Ｆ＋2ｆ＝2ｎ, および,Ｂ＋2ｂ＝ｎを用いれば,上記因子は, 

Ｚ₂^f-nＺ₃^ｂ-n/2＝Ｚ₂^-Ｆ/2Ｚ₃^-Ｂ/2. ..(19)　と書けます。
 

これは,正確に外線波動関数因子:√Ｚ₂.,および,√Ｚ₂のベキ乗

で与えられる積因子と相殺します。(※ Feynmanルールの項目(ⅲ)参照)
 

こうして,(16)の再スケールによって,我々のFeynmanルールは,

常に有限な,繰り込まれた散乱行列要素:Ｍ に誘導されること

がわかります。

　再計測(rescaling)が,本当に自己エネルギーと頂点部分を有限

にするということの証明は,数学的帰納法に基づいて成されます。 

ｅの(ｎ－2)次のあらゆるグラフを.この手法で有限にする。と

仮定し,それから,オーダー:ｎの再計測グラフの収束性を示す

わけです。
 

切りもいいし,今日は,ここで終わります。 

次回は,まず,上記証明の簡単なスケッチから入る予定です。
 

(参照文献):「Lectures on Elementary Particles

and Quantum Field Theory」 

(1970 Brandeis University SummerInstitute

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ

ＰＳ:ＴＶによると,「相棒」の水谷豊さんが映画監督をして,

「40年来の夢がかなった。」と述べておられました。

　凡人の私などの40年来の夢は,かなうことなく終わりそうです。

まあ,夢は,「夢の途中」にある方がシアワセだ。。などと,

思うこともありますネ。。。

摂動論のアノマリー(Perturbation Theory Anomaly)(1）

科学記事の新しいテーマというか,実は,1975年(25歳)頃の

懐かしい素粒子論研究室の学生時代のノートからです。
 

1976年の卒業(＝奥の院修了)時に,拙い間に合わせの論文

とは別に,ヒョッとしたら自分の終生の専門研究の課題に

なるカモと思っていたモノ:

　lectures on Elementary Particles and Quantum

Field Theory,(1970 Brandeis University SummerInstitute

 in Theoretical  Physics)

＝素粒子論夏の学校の講義録:通称:Brandeis Lectures の

Vol.1の,Stephan。L.Adlerによる講義:

(標題)Perturbation Theory Anomaly(摂動論のアノマリー)

　に当時,何故か,個人的興味を覚えて指導教官抜きで勉強した

ものを記事としてアップします。

　以前から,これは是非ブログにアップしたい。と思っていた

ものの,掲載すべき,複雑なFeynmanダイアグラムの図が多く,

私の原稿書き,図描きのスキルでは敷居が高い,と考えて敬遠

していました。

　しかし,まあ,ヒマなことだし何とかじっくりとトライして

みます。。。温故知新です。

　今までアップしてきた赤外発散論文の詳解記事と同じく,

翻訳＋解説という構図です。(※赤外発散のシリーズ記事

も別に終わるわけじゃなく続けるつもりですが。。)

　心臓,足,目と体は不自由で,いうこときかないのですが,

脳というか,頭だけはますます元気で何故か海馬も健康

らしくウン十年前に勉強したコトなどスラスラ思い出し,

長い思考体験のせいか？読み返していて当時よりも深く

理解できるようです。

　世間様には申し訳けないのですが,何の役にも立たない

クソジジイなのに,身体介護や看護など他人の世話にも

なり,精神的ストレス的には比較的フリーなので,できる

ことだけ,好きなコトだけをして生きてます。
 

(標題)Perturbation Theory Anomaly(摂動論のアノマリー) 

1.Introduction and Revies of Perturbation Theory 

(序文と摂動論のレビュー)
 

この講義の目的は,「繰り込まれた摂動論」の最近の発展を研究

することです。

　「繰り込まれた摂動論(Renormalized Perturbation Teory)」 

という課題は,今では古いものですが,うまく発展してきて

います。
 

大部分のLagrangian場理論模型に対して,繰り込みの

手続きと,全てのオーダーでの繰り込み可能性の証明は,

既に与えられています。
 

　ここで論じる予定の新しい方面は,カレント代数

(current algebra)において最近の仕事の焦点となってきた

ものであり,それは大いに,"Wardの恒等式"とカレントを含む

Bjorken極限を用いています。
 

その両方共,通常Lagrangian場理論において生じるタイプの

Ｔ積(時間順序積)に関する叙述です。

こうした叙述のいくつかは,幾分ナイーブな高次発展量の

形式的扱い(書く換え)によって得られるため,こうした書き換え

が実際に正しいものかどうか？　を問うのは,当然のことです。
 

　現在のところ.場の理論における計算に,何らかの一般的方法

が存在しないので,特殊なLagrangian場理論模型においてさえ,

この問いに答える一般的方法はありません。

　しかし,「繰り込まれた摂動論」の枠組内で,この問いを検討

することは可能であるし,啓発的です。

　　この「繰り込まれた摂動論」には既に明確な計算法が存在し

具体的な答が得られることがわかっています。

こうした足跡は,ここ数年間に何人かの論文著者(研究者)に

よって追跡されましたが,これについて,以下に詳細に記述

します。
　 

そして,結論の示すところは,「摂動論では多くのケースで,通常

の単純な取扱いは破れている(破綻している),あるいは,修正を

必要とするか？または,アノマリー(Anomalies:量子異常項)を

生じる。」　ということです。
 

こうしたアノマリーとその性質は,いくつかのカレント代数の

計算において重要な示唆を与えるだけでなく,それ自身興味深い

数理物理学の問題です。
 

§1.1.Review of Quantum Electrodynamics

　and Renomalization Theory

(量子電磁力学と繰り込み理論のレビュー)
 

我々は摂動論のアノマリーの研究を,

QED(Quantum Electrodynamics:量子電磁力学)の,なじみ深い

ケースで,通常の繰り込み理論の概観を与えることから始めます。
 

QEDは我々に興味深い多くのアノマリーを与えてくれます。

そして「ベクトルグルオンの準力学

(Quasi- Mechanics of vector gluons)」を持つクォーク模型や

σ-模型 のような,他の物理的に興味深いケースへの一般化は,

一般原理よりも,むしろ.詳細についての問題を含む,ことを

発見しています。
 

さて,QEDのLagrangian密度Ｌは, 

Ｌ(ｘ)＝ψ~(ｘ)(iγ∇―ｍ₀)ψ(ｘ)－(1//4Ｆ_μν(ｘ)Ｆ^μν(ｘ) 

－ｅ₀Ａ^μ(ｘ)...(1)　で与えられます。
 

ここで,ψ(ｘ)は電子の場(spinor field:スピノル場)であり, 

Ａ^μ(ｘ)は光子の場(vector field):ベクトル場)です。
 

Ｆ^μν(ｘ)＝∂_νＡ_μ－∂_μＡ_νは,電磁場の強さ

(電場Ｅ,および,磁場Ｂ)を示す2階テンソルです。
 

ただし,γ∇＝γ^ν∂_νであり,－ｅ₀,ｍ₀はそれぞれ,電子の

裸の電荷,裸の質量です。(※ ｍ₀＞0,ｅ₀＜0　です。 )
 

このLagrangianから,作用原理()変分原理)に基づく

Euler-Lagrange方程式として,次の場の運動方程式が

得られます。
 

(iγ∇―ｍ₀)ψ(ｘ)＝ｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)ψ(ｘ). 

∂_νＦ^μν(ｘ)＝ｅ₀ｊ^μ(ｘ) 　　...(2)　 

ただし,ｊ^μ(ｘ)＝ψ~(ｘ)γ^μψ(ｘ)　

です。
 

ｊ^μ(ｘ)について,∂_μｊ^μを計算し,この"同一時空点"における

２つの場の演算子積に対し,通常の微分の連鎖公式を適用しても

何ら微妙な困難などは生じない。と仮定すると, 

∂_μｊ^μ＝∂_μψ~γ^μψ＋ψ~γ^μ∂_μψ 

＝ψ~(iｍ₀＋iｅ₀γ_μＡ^μ) ψ＋ψ~(－iｍ₀－iｅ₀γ_μＡ^μ)ψ 

＝0　..(3)　　

を得ます。
 

これは通常のカレント保存の方程式(連続の方程式)です。
 

最後に,スピノル場の正準反交換関係(同時刻)は,次式です。 

{ψ_α(ｘ,ｔ),ψ^＋_β(ｙ,ｔ)}＝δ_αβδ^３(ｘ－ｙ)..(4) 

α,βはスピノル[成分の添字です。
 

もしも,Feynmanゲージを用いるなら,光子場の正準交換関係は, 

[Ａ_μ(ｘ,ｔ),∂Ａ_ν(ｙ,ｔ)/∂ｔ]＝－iｇ_μνδ^３(ｘ－ｙ).(5) 

です。
 

式(1)～(5)がQEDの基本方程式です。
 

こうした方程式を取り扱う通常の手法は.もちろん,運動量空間

を考えてｅ₀のべキで摂動級数に展開することです。
 

これから.よく知られた計算のFeynmanルールが導かれます。 

これを次に要約します。
 

(ⅰ)運動量ｐを持った電子の内線にi/(ｐ－ｍ₀＋iε)を,

各頂点(vertex)に因子(－iｅ₀γ_μ)を対応させる。

(※ｐ＝γｐ＝γ_μｐ^μ etc.です。) 

運動量ｑの各光子線の内線には(－1ｇ_μν)/(ｑ²＋iε)

を対応させる。
 

(ⅱ) Fermionループに対しては,因子(－1)を付加し,

ループの運動量変数ｌにわたって内線積分として∫ｄ⁴ｌ/(2π)⁴

が存在する。
 

(ⅲ)各光子の外線に因子:ε_μ√Ｚ₃を対応付ける。 

ここにε_μは光子の偏光偏極4元ベクトルであり,Ｚ₃は光子

波動関数の繰り込み定数である。 

各電子外線にはグラフに入ってくるものに,√Ｚ₂ｕ(ｐ,ｓ)を,

それから出てゆくものに,√Ｚ₂ｕ~(ｐ,ｓ)を対応させる。
 

陽電子の外線にはｕの代わりにｖを用いるだけの違いである。
 

Ｚ₂は電子波動関数の繰り込み定数である。
 

被連結泡グラフの挿入や,外線の電子線や光子線への

自己エネルギーの挿入は除く。
 

こうしたルールを用いて,任意のプロセスに対し,摂動の任意

次数のFeynman振幅:Ｍをつくることができます。
 

よく知られているように,繰り込み(Renormalization)によって

除去すべき発散に遭遇します。

 この手続きを今から簡明にスケッチします。 

電子の伝播関数(propagator);Ｓ_F'(ｐ),光子伝播関数:

Ｄ_F'^μν(ｑ), 頂点部分:Γ_μ(ｐ,ｐ')を次のように定義します。 

iＳ_F'(ｐ)

＝∫ｄ⁴ｘexp(iｐｘ)＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ψ~(0)]|0＞..(6ａ) 

iＤ_F'^μν(ｐ)

＝∫ｄ⁴ｘexp(iｑｘ)＜0|Ｔ[Ａ^μ(ｘ)Ａ^ν(0)]|0＞;;(6ｂ) 

Ｓ_F'(ｐ)Γ_μ(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝－∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ)

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)ｊ_μ(0)ψ~(ｙ)]|0＞...(6ｃ)

です。
 

これらは次のようなFeynman-diagramの表現を持ちます。
 

最後の頂点部分はproperなグラフである,としています。

　つまり,単一のラインを切断することでは,２つの互いに素な

部分グラフに分割することはできない,という意味です。

　次図は,それぞれ,電子と光子の自己エネルギー部分です。

(※ ,blob(陰影部)のみで両端の線は含みません。)

電子の伝播関数,光子の伝播関数は,diagram的には,

properな電子の自己エネルギー部分:－iΣ(ｐ)と,properな

光子の自己エネルギー部分:iｅ₀²Π_ωγ(ｑ)によって表現

されます。

電子伝播関数については,

あるいは,式で書けば,

iＳ_F' ＝iＳ_F＋iＳ_F(－iΣ)(iＳ_F)

＋iＳ_F (－iΣ)(iＳ_F)(－iΣ)(iＳ_F)＋..

です。
 

こうした総和によって,右辺を初項が iＳ_F(ｐ)＝i/(ｐ－ｍ₀)

,公比が,{－iΣ(ｐ)}iＳ_F(ｐ)＝Σ(ｐ)Ｓ_F(ｐ)

＝Σ(ｐ)/(ｐ－ｍ₀)の「収束する」等比級数と見ることにより, 

無限等比級数の和として,

Ｓ_F'(ｐ)＝1/{ｐ－ｍ₀－Σ(ｐ)}..(7)

が得られます。
 

同様に光子伝播関数に対しては

式で書けば,

iＤ_F'^μν＝iＤ_F^μν＋iＤ_F^μν(iｅ₀²Π_λσ)(iＤ_F^σν)} 

＋iＤ_F^μλ(iｅ₀²Π_λσ)(iＤ_F^σω)(iｅ₀²Π_ωγ)(iＤ_F^γν)＋.

です、
 

さらにＤ_F^μνを陽に書くと,  

iＤ_F'^μν(ｑ)

＝(－iｇ^μν/ｑ²)＋(－iｅ₀²/ｑ²){iΠ^μν(ｑ)}(－i/ｑ²) 

＋(－iｅ₀²/ｑ²){iΠ^μλ(ｑ)}(－i/ｑ²){{iΠ_λ^ν(ｑ)}(－i/ｑ²)

＋..　

となります。
 

そこで,実際には寄与しない,スカラー光子や縦光子を無視すると, 

Ｄ_F'^μν(ｑ)＝(－ｇ^μν/ｑ²)＋{(ｅ₀²/ｑ²)Π^μ_λ(ｑ)Ｄ_F'^λν(ｑ),

または,

Ｄ_F'_μν(ｑ)＝(－ｇ_μν/ｑ²)＋(ｅ₀²/ｑ²)Π_μλ(ｑ)Ｄ_F'^λ_ν(ｑ)

と書けます。
 

これから,{ｑ²ｇ_μλ－ｅ₀²Π_μλ(ｑ)}Ｄ_F’^λ_ν(ｑ)＝－ｇ_μν

です。
 

ここで,次の図のようなグラフ方程式が成立すると考えると, 

iｅ₀²Π_μν(ｑ) 

＝(－iｅ₀²)(－i)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

Ｔr[γ_μiＳ_F'(ｋ)(ｋ－ｐ)^νΓ_ν(ｋ,ｋ＋ｑ)iＳ_F'(ｋ＋ｑ)] 

です。
 

これから,ｑ^νΠ_μν(ｑ) 

＝i∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

Ｔr[γ_μiＳ_F'(ｋ)[ｋ－(ｋ＋ｑ)]^νΓ_ν(ｋ,ｋ＋ｑ)iＳ_F'(ｋ＋ｑ)]
 

ここでＷ-Ｔ恒等式(Ward-Takahashi Identity): 

(ｋ－ｐ)^νΓ_ν(ｋ,ｐ)＝Ｓ_F'(ｋ)^-1－Ｓ_F'(ｐ)^-1を用いると,
 

ｑ^νΠ_μν(ｑ) 

＝－i∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

Ｔr[γ_μｑ^νＳ_F'(ｋ){Ｓ_F'(ｋ)^-1－Ｓ_F'(ｋ＋ｑ)^-1}Ｓ_F'(ｋ＋ｑ)] 

＝－i∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4Ｔr[γ_μＳ_F'(ｋ＋ｑ)－Ｓ_F'(ｋ)]

です。
 

それ故,もしも－i∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4Ｔr[γ_μＳ_F'(ｋ)]が発散

せず有限値に留まるなら,積分変数ｋを,ｋ → (ｋ＋ｑ)とシフト

して変数置換しても,その値は同じはずですが,実際には紫外発散

します。

運動量空間の原点のシフトが結果を変えないように,繰り込み

処法の適切な切断による正則化がなされた,という仮定すると,

ｑ^νΠ_μν(ｑ)＝0　なる式に到達します。
 

添字μとνの交換対称性から,ｑ^μΠ_μν(ｑ)＝0も明らかです。
 

したがって,{ｑ²ｇ_μλ－ｅ₀²Π_μλ(ｑ)}Ｄ_F’^λ_ν(ｑ)＝－ｇ_μν

から,Ｄ_F'_νμν(ｑ) 

＝－ｇ_μνＤ_F’(ｑ)＋(縦光子部分＝ｑ_μ,ｑ_νに比例する項)

..(8ａ)という形を仮定することができて,
 

Π_μν(ｑ)＝(－ｑ²ｇ_μν＋ｑ_μｑ_ν)Π(ｑ²)　(8ｂ)
 

そして結局,Ｄ_F'(ｑ)＝1/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]　(9)

が得られます。
 

伝播関数と頂点部分を定義した理由は,QEDのあらゆる

紫外発散量が,こうした量の中に存在しているからです。
 

※(注1-1)Π_１(ｑ₂)は,ｑのみに依存する2階のLorentz共変

テンソルですから,Π_μν(ｑ)＝g_μνΠ₂(ｑ²)＋ｑ_μｑ_νΠ₂(ｑ²)

という一般形を持つはずです。
 

そこで,ｑ^μΠ_μν(ｑ)＝0から,ｑについて,恒等的に, 

ｑ^ν{Π_１(ｑ²)＋ｑ²Π_１(ｑ²)}＝0が成立することがわかります。
 

それ故, Π_１(ｑ²)＝－ｑ²Π₂(ｑ²)ですから, Π₂(ｑ²)を 

単にΠ(ｑ²)と各ことにすれば,(8ｂ)式; 

Π_μν(ｑ)＝(－ｑ²ｇ_μν＋ｑ_μｑ_ν)Π(ｑ²) 

が得られます。
 

そこで,{ｑ²ｇ_μλ－ｅ₀²Π_μλ(ｑ)}Ｄ_F'^λ_ν(ｑ)＝－ｇ_μν 

は,{ｑ²ｇ_μλ－(－ｑ²ｇ_μλ＋ｑ_μｑ_λ)ｅ₀²Π(ｑ²)}Ｄ_F'^λ_ν(ｑ)

＝－ｇ_μνとなります。
 

つまり,ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)} Ｄ'_μν(ｑ) 

＝－ｇ_μν＋ｑ_μｑ_λｅ₀^２Π(ｑ²)Ｄ_F'^λ_ν(ｑ)ですから, 

一般に ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}≠0として 

Ｄ_F'_μν(ｑ)＝－ｇ_μν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}] 

＋ｑ_μｑ^λｅ₀^２Π(ｑ²)/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]Ｄ_F'_λν(ｑ)

です。
 

ｑ_μｑ^λＤ_F'_λν(ｑ)＝－ｑ_μｑ^λ/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}] 

＋ｑ_μｑ^λｑ_σｅ₀^２Π(ｑ²)Ｄ_F'_σν(ｑ)/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]より, 

[1－ｅ₀^２Π(ｑ²)/{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]×ｑ_μｑ^λＤ_F'_λν(ｑ) 

＝－ｑ_μｑ_ν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}] 

ｑ_μｑ^λＤ_F'_λν(ｑ)＝－ｑ_μｑ_ν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}] 
 

以上から,  

Ｄ_F'_μν(ｑ)＝―ｇ_μν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)} 

－ｑ_μｑ_νｅ₀²/[(ｑ²)²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]　という一般形式

を得ました。　　(注1-1.終わり※)
 

 .私の1975年～1976年当時のノートは,ここで中途半端に終わり,

次に,いきなり第2章の,「2.The VVA Traiangle Anomaly」へと

飛んでいます。

　まあ,学生時代とは,そうしたもので,理解が不十分でも,第1章

は既に明らかになっているコトの確認に過ぎないし,それよりも

早く当時最先端の本題に入って,新しい発見への研究に取り掛か

らないと,いつまでも序文当たりに拘泥してマゴマゴしていては,

時代に乗り遅れる。というワケです。
 

しかし,私はわからないことを放置して取り敢えず先に進む

ということが平気な,"器用なこと"ができるタイプじゃなく,

　結局,プロの研究者にはなれず,普通の会社に就職して後,

世間も私自身もバブルが終わり,プータローになってから,

また,趣味で勉強を続けようとしたため,約20年後の1995年

頃から,この間を埋めるノートを作り,これに挟んでその頃

やっと読了したのでした。

　私は,普通ではない変態的性格で,言わば執念のようなモノ

でしょうか？約40年後の今も,また,蒸し返しています。
 

というわけで,ここで一旦終わり次回は,1995年(45歳)の

ノートの内容に続きます。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory (1970 Brandeis University Summer

Institute in Theoretical Physics) VolumeⅠ

赤外発散の論文(1961)の詳解（8）

   赤外発散論文詳解の続きです。
 

(ｅ)非赤外実光子項の詳細 

(Detailed non-infrares real photon terms)

の続きです。

 散乱の微分断面積を与える(2.22)式: 

ｄσ/ｄε＝exp{lim _k→02α(Ｂ＋Ｂ~)}(ｄσ^/ｄε) 

におけるＢとＢ~の赤外項について論じてきました。
 

(ｄσ^/ｄε)は,散乱の微分断面積の,非赤外部分で 

(2.21)：ｄσ^/ｄε＝{1/(２π)}∫_-∞^∞ｄｙexp(iｙε＋Ｄ) 

 ×[β~₀＋Σ_m=1^∞(1/ｍ!)∫Π_m=1ⁿｄ³ｋ_m exp(－iｙｋ_m)

 β_n~(ｋ₁,..ｋ_n)/ｋ_m] です。
 

これらの式において,前回は,実光子数:n＝0のｄσ₀^/ｄε 

の項を論じましたが,

ここからは,ｎ＝1の項:ｄσ₁^/ｄεの記述に向かいます。

これは,ｄσ₁^/ｄε＝∫^ｋ1<εｄ³ｋ₁{β₁~(ｋ₁)/ｋ₁} 

{1/(２π)}∫_-∞^∞ｄｙexp(iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ)　..(2.51) 

です。

　　β₁~は実光子放出からの項を含む断面積因子です。

　　(2.15)式:ρ~_n(ｋ₁,..,ｋ_n)＝Ｓ~(ｋ₁)..Ｓ~(ｋ_n)β~₀＋Σ_i=1ⁿＳ~(ｋ₁)..Ｓ~(ｋ_i-1)Ｓ~(ｋ_i+1)β~₁(ｋ_i) 

＋Σ_i=1ⁿＳ~(ｋ_i)β~_n-1( ｋ₁,..,ｋ_i-1,ｋ_i+1,..ｋ_n)
　　＋β~_n(ｋ₁,..,ｋ_n),

    および,
　　Ｓ~(ｋ_i)は,図３の(ａ).(ｂ)に対応して,赤外寄与を

 全て含み,β~_jは赤外発散の寄与を含みません。

 

(※ ただし,ρ,Ｓ(ｋ_i),β_jは行列要素の因子

でしたが,ρ~,Ｓ~(ｋ_i),β~は行列要素の絶対値の

２乗に比例する断面積の因子であることに注意!! ※）

と書きましたが,その後で述べたように,β₁~(ｋ₁)内

ではＥ'は,(Ｅ－ε)よりも.むしろ,(Ｅ－ｋ₁)に等しく

設定されます。
 

このとき,次のような量:Ｇ₁を定義すると便利です。 

すなわち,Ｇ₁(ｋ₁) ＝ｋ₁∫ｄΩβ₁~(ｋ₁)..(2.52)です。
 

この因子:Ｇ₁(ｋ₁)は,ｋ₁＝0で有限です。
 

さて,再掲載(2.51):

ｄσ₁^/ｄε＝∫^ｋ1<εｄ³ｋ₁{β₁~(ｋ₁)/ｋ₁} 

{1/(２π}∫_-∞^∞ｄｙexp(iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ)
 

における,ｙにわたる積分は,(2.46)から(2.50)まで

と同じ手順で取り扱うことができます。ただし,(2.48)

の後で記述した適切な変数置換を除く手順です。

　　今回は.ｒ＝－iｙεの代わりに,ｒ＝－iｙ(ε―ｋ₁)

と置きます。

　　すると,(2.42)Ｉ(αＡ,ε)

＝{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄｙ[exp(iｙε＋Ｄ)]. 

の代わりに次式を得ます。
 

{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄｙexp{iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ} 

＝{ε/(ε－ｋ₁)}^αAＩ(αＡ,ε)..(2.53)　

です。

 ※(注8-1):以下.上式の証明です。 

(証明)(2.53)の左辺の積分においても, 

まず,(2.42)の計算と同じく, 

(2.43):Ｄ＝αＡ∫₀^εｄｋ[{exp(－iｙｋ)－1}/ｋ.] 

で与えられるＤを,

(2.46):Ｄ^＝Ｄ＋αＡ∫_ε^∞ｄｋ{exp(－iｙｋ)/ｋ} 

に置き換えて計算します。

双方とも,ＤをＤ^に置換しても同じです。
 

そして, (2.48:Ｄ^＝αＡ{－Ｃ－ln(εｙ)－iπ/2}です。
 

{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄｙexp{iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ^} 

＝{1/(2π)}exp{－αＡ(Ｃ＋iπ/2)} 

×∫_-∞^∞ｄｙ[exp{iｙ(ε－ｋ₁)}/(εｙ)^αＡ]です。
 

ｒ＝－iｙ(ε―ｋ₁)と置くと.(ε―ｋ₁)ｙ＝iｒで, 

(iｒ)^αＡ＝{(ε－ｋ₁)ｙ}^αＡ＝(εｙ)^αＡ{(ε－ｋ₁)/ε)^αＡ 

であり,ｄｙ＝iｄｒ/(ε―ｋ₁)ですから, 

∫_-∞^∞ｄｙ[exp{iｙ(ε－ｋ₁)}/(εｙ)^αＡ] 

＝(－i)^αＡ{ε/(ε－ｋ₁)/ε}^(1＾αＡ) 

∫_i∞^-i∞ｄｒ{exp(－ｒ)/ｒ^αＡ}
 

したがって,

{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄｙexp{iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ^} 

＝{1/(2πε)}{1/(－i) ^(1-αＡ)}exp{－αＡ(Ｃ＋iπ/2₁)} 

{ε/(ε－ｋ₁)}^(1-αＡ)∫_i∞^-i∞ｄｒ{exp(－ｒ)/ｒ^αＡ} 

です。
 

一方,(2.49)式は. 

Ｉ＝{1/(2πε)}{1/(－i)^(1-αＡ)}exp {－αＡ(Ｃ＋iπ/2)} 

×∫_i∞^-i∞ｄｒ{exp(－ｒ)/ｒ^αＡ}.ですが.これを改めて, 

Ｉ(αＡ,ε)と記述することにすれば, 

{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄｙexp{iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ^} 

＝{ε/(ε－ｋ₁)}^(1-αＡ) Ｉ(αＡ,ε)　です。　(証明終わり)

(注8-1終わり※)

　それ故,(2.51)で.Ｄ → Ｄ^とした式,ｄσ₁^/ｄε
　＝∫^ｋ1<εｄ³ｋ₁{β₁~(ｋ₁)/ｋ₁}

×{1/(２π)}∫_-∞^∞ｄｙexp(iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ^),

と,(2..52)式]Ｇ₁(ｋ₁) ＝ｋ₁∫ｄΩβ₁~(ｋ₁),

　および, (2.44)式:Ｉ(αＡ,ε)＝(αＡ/ε)Ｆ[αＡ]

によって,

　　ｄσ₁^/ｄε＝(αＡ/ε)Ｆ[αＡ]

 ∫₀^εｄｋ₁Ｇ₁(ｋ₁){ε/(ε－ｋ₁)}^(1-αＡ)(2.54)

が得られます。

　　そして,上の積分が収束することを保証する条件:

(αＡ)≧0 を示すことができます。

　　(2.53)式:{1/(2π)}∫_-∞^∞ｄｙexp{iｙ(ε－ｋ₁)＋Ｄ}

＝{ε/(ε－ｋ₁)}^αAＩ(αＡ,ε)　により,
　 (2.54)における電子のエネルギー損失:εは.

総エネルギー:が(ε―ｋ₁)の,"(ｄｋ/ｋ)光子"の一束と,

Ｇ₁(ｋ₁)因子に寄与するエネルギーがｋ₁の"ｄｋ光子"

の一束に,分けられているように見えます。

　“(ｄｋ/ｋ)光子"による因子は.(ε－ｋ₁)^(αＡ-1)ですが, 

このため,これを因子に持つ被積分関数は,ｋ₁がεに 

近づくとき,強く減衰します。

　　このことから,Ｇ₁(ｋ₁)を,Ｇ₁(ε)のまわりに,

展開する近似が有効ではないか？と誘導されます。

これを実行した結果,(2.54)式: ｄσ₁^/ｄε 

＝(αＡ/ε)Ｆ[αＡ]∫₀^εｄｋ₁Ｇ₁(ｋ₁){ε/(ε－ｋ₁)}^(1-αＡ) 

　が,次の近似式: 

　ｄσ₁^/ｄε＝Ｆ[αＡ] 

×[Ｇ₁(ε)＋(αＡε)/(αＡ＋1)(ｄＧ₁/ｄε)_ｋ1＝ε＋..] 

.(2.55)になります。
 

※(注8-2):以下,上式の証明です。 

(証明) Ｇ₁のTaylor展開を行うと, 

Ｇ₁(ｋ₁)＝Ｇ₁(ε)＋(ｋ₁－ε)(ｄＧ₁/ｄε)_ｋ1＝ε 

＋(1/2)(ｋ₁－ε)²(ｄ²Ｇ₁/ｄε²)_ｋ1＝ε＋…,

です。

　そして,∫₀^εｄｋ₁{ε/(ε－ｋ₁)}^(1-αＡ)

＝[－ε^(1-αＡ)(ε－ｋ₁)^αＡ/(αＡ)] ₀^ε 

＝ε/(αＡ)であり,∫₀^εｄｋ₁[{ε/(ε－ｋ₁)}^(1-αＡ)(ｋ₁－ε)] 

＝[－ε^(1-αＡ)(ε－ｋ₁)^(αＡ＋1)/(αＡ＋1) ]₀^ε

＝ε²/(αＡ＋1)　です。
 

これから(2.55)が従います。　(証明終わり) 

(注8-2終わり※)
 

(2.55)を再掲載すると,ｄσ₁^/ｄε＝Ｆ[αＡ] 

×[Ｇ₁(ε)＋(αＡε)/(αＡ＋1)(ｄＧ₁/ｄε)_ｋ1＝ε＋..] 

ですが,
 

Ｇ₁は,Ｇ₁(ｋ₁) ＝ｋ₁∫ｄΩβ₁~(ｋ₁)なので,

Ｇ₁(ε)自身が,既にαの1次のオーダーです。
 

(※ Ｇ₁はαの1次の因子を含み、実際上のケースでは,

また,Ｆ～1です。何故なら,β₁~(ｋ₁)は実光子1個の

放出に関わる因子であり,赤外光子の寄与:αＢ~を

分離した残りの非赤外光子項を意味する,と定義されて

いる量なので,αＢ~と同じくαの1次の項です。※)
 

(2.55)の,残りのＧ₁因子の微分展開項は,Ｇ₁内の

単一の"ｄｋ光子"に加えて赤外光子の効果をも

含みます。
 

この§2の残りでは,ε≦(Ｅ/2)のケースに限定します。
 

この場合,上記の微分項は,(αε²/Ｅ)のオーダーなので 

無視できます。

　他方,ε＞(Ｅ/2)のケースは§3(ａ)で論じる異なる扱い

を要求します。
 

※(注8-3):何故εを(Ｅ/2)で分けるなのか？は. 

正直よくわかりません。
 

電子のCoulomb場での制動輻射(Bremsstrahlung)では, 

電子の散乱立体角をΩ_fとして,摂動の2次の微分断面積 

は.ｄσ/ｄΩ_f＝(ｄσ/ｄΩ_f)_elastic

×(2α/π)ｆπ(ｋ_max/ｋ_min)
 

×(4/3)β²sin²(θ/2)＋Ｏ[β²]　(非相対論的:Ｎ.Ｒ) 

または,×ln(－q²/ｍ²)－1＋Ｏ[ｍ²/ｑ²] (超相対論的:Ｅ.Ｒ)

で与えられます。

ただし,ｑ²＝(ｐ_f－ｐ_i)²～ －4Ｅ²sin²(θ/2)であり. 

(ｄσ/ｄΩ_f)_elasticは,単純なCouloomｂ散乱の断面積で 

これは,(Ｚ²α²){1－β²sin²(θ/2)}/{4ｐ²β²sin⁴(θ/2)}

です。
 

この過程のｄσ/ｄΩ_fを,ｄΩ_f ～ 2πｄ(cosθ)で積分 

すると,∫ｄｋ/ｋによる因子:ln(ｋ_max/ｋ_min)を除去しても 

明らかに,α²以上のオーダーであり 

　ｄＧ₁(ε)/ｄｋ₁

 ＝∫ｄΩβ₁~(ｋ₁)＋ε∫ｃΩ(ｄβ₁~/ｄｋ¹)＋, 

　で,この右辺の第2項はεの高次なので効かず

.第1項,第2項は,明らかにα²/Ｅのオーダーです。

 (※ p²β ² ～Ｅ²より）　　(注8-3終わり※)
 

　ｄσ_m^/dε(ｍ＞1)のような,より高次の項も

 同様にして解析できます。
 

　後に§3(ａ)で示されることですが,こうした項は

　次のような オーダーです。

　すなわち,ｄσ_m^/dε ～ α^m-1(ε/Ｅ) ^m-1(ｄσ₁^/ｄε)

　(2.56)です。

　しかし,ｄσ_m^/dεにおける他の因子についての知識

がないので,Σ_m(ｄσ_m^/dε)の収束性を確かめること

はできません。

ｍ＝1より高次はαごとに減じ,高次の計算はひどく

困難です。そこで摂動論の通常の意図として,収束性に

関する我々の完全な無知にも関わらず,ｍ＞1の項は

ここでは無視します。

　そうすれば,(2.22),(2.41),(2.44),(2.55)は赤外因子

を含む微分断面積を与えてくれます。
 

そして,ε＜(Ｅ/2)に対して断面積は簡単化されて

次のようになります。 

ｄσ/ｄε＝Ｆ[αＡ]exp{2α(Ｂ＋Ｂ~)}

{(αＡ/ε)β₀~＋Ｇ₁(ε)}.(2.57)　です。
 

{　}の中の量は,(ｄｋ/ｋ)の寄与と,残りのＧ₁に分離された

制動輻射に対する通常の表現です。

こうして,エネルギー損失:ε≦(Ｅ/2)の電子散乱に対する

微分だ面積は,本質的にエネルギーεの1光子を放出する

断面積に,多重軟光子の寄与を示す指数関数因子を掛けた

ものになります。

　(ｆ)エネルギー分解能:ΔＥの電子散乱 

(Electron Scattering with Energy Resolution ΔＥ)
 

エネルギー:Ｅ'＝Ｅ－εのポテンシャル散乱電子

の検出は,常にいくつかの実験誤差を伴うに違い

ありません。

　　1つの重要なケースでは,0≦ε≦ΔＥで,ΔＥが

検出器のエネルギー分解能であるような散乱です。
 

この場合の散乱断面積は,

σ＝∫₀^ΔＥ(ｄσ/ｄε)ｄε..(2.58)　です。
 

これは,ΔＥ≦(Ｅ/2)で,高エネルギー散乱に対する陽な形

を与えてくれます。
 

(2.57);ｄσ/ｄε＝Ｆ[αＡ]exp{2α(Ｂ＋Ｂ~)}

{(αＡ/ε)β₀~＋Ｇ₁(ε)} 

と,(2.31); 2αＡ(Ｂ＋Ｂ~)＝－(αＡ/2)ln(ＥＥ'/ε²) 

＋{α/(2π)}ln(2ｐｐ'/ｍ²)によって,
 

σ＝∫₀^ΔＥｄε[Ｆ[αＡ] 

×exp[－(αＡ/2)ln(ＥＥ'/ε²)＋{α/(2π)}ln(2ｐｐ'/ｍ²)] 

×{(αＡ/ε)β₀~＋Ｇ₁(ε)}..(2.59)

を得ます。
 

この式の指数関数とＡはＥ'＝Ｅ－ε,によってεに依存します。 

また,前に指摘したように,ｐ'は,β₀~の中ではεの関数では 

ありません。
 

今,我々は,ε依存性が陽に示される3つの場所を除き,(2.59) 

の被積分関数において,あらゆるＥ'をＥに置き換えます。
 

こうすることで導入される誤差はαε/Ｅのオーダーです。
 

こうした後に,この積分を実行すると次式が得られます。 

σ＝∫₀^ΔＥｄε[Ｆ[αＡ]exp[{α/(2π)}ln(2ｐｐ'/ｍ²)]] 

×{(αＡ/ε)β₀~exp[－αＡln(Ｅ/ΔＥ) 

＋∫₀^ΔＥｄεＧ₁(ε) exp[－αＡln(Ｅ/ε)}..(2.60)
 

この(2.60)の右辺の{　}の中の第1項は,弾性散乱の断面積

;β₀~(※§2(ｄ)で論じた有限な輻射補正を含む)と,軟光子

を表現する因子との積です。そして,ΔＥ≦(Ｅ/2)なら

右辺の{　}の中の第2項のＧ₁項は第1項より,因子:

～α(ΔＥ/Ｅ)ln(Ｅ/ｍ)だけ小さいことがわかります。
 

いくつかの型の項がＧ₁(ε)に含まれています。 

(ⅰ)磁気モーメント相互作用)(※(2.37)の後の議論を参照), 

これは光子が外線から放出されるときです。

(ⅱ)内線の光子の放出, 

(ⅲ)内線中のkの寄与　

です。
 

磁気モーメントの寄与(ⅰ)は制動輻射の微分断面積中

のｋ/Ｅに比較できるオーダーの項ですから,弾性散乱

のβ₀~項と比較して～α(ΔＥ/Ｅ)ln(Ｅ/ｍ)です。

これらの見積もりはｅ＋ｅ→ｅ＋ｅのようなプロセスによって 

評価し直す必要があります。そこでは1つのｅ粒子は実験室中

で静止していて,Ｅ＝ｍです。
 

(ⅱ)と(ⅲ)の結合効果は本論文の付録から粗く見積もること

ができて.多くても寄与はα(ΔＥ/Ｅ)ln(Ｅ/ｍ)に比較できる

オーダーです。
 

散乱がほとんど弾性散乱に近いケースには,Ｇ₁(ε)をＧ₁(0)

に置き換えることができます。それ故評価は容易です。

(※文献(16)参照)
 

反跳ポテンシャルからの"ｄｋ/ｋ光子”の放出は,前の扱い

に.更なる補正を与えますが,反跳効果は,大抵の場合無視

できます。(※文献(17)参照)
 

それは,電子とポテンシャル源の間の大きな質量差のためです。 

しかしながら,高エネルギーの電子-陽子散乱などでは反跳は

重要になります。こうした反跳効果は§3(ｄ)で論じる予定

です。
 

電子のポテンシャル散乱の議論を閉じるに当たって,(2.60)

の総断面積σへ寄与する種々の項の数値的評価が役に立つ

でしょう。
 

Ｅ ～ 100 MeV,ΔＥ ～ 5 MeV,そしてｐｐ'～ ＥＥ'なら,

Ｆ[αＡ]は0.99,結合指数関数は0.73,(2.40)へのβ~への

有限仮想光子補正は,およそ,7％だけの増加です。
 

そして,Ｇ₁は無視できます。

　指数関数減衰効果;0.73は展開の中のα²項の寄与:(～ ＋0.03)

を含むことに注意してください。

我々は,軟光子の指数関数にＨＹ含まれない他のα²寄与

は,因子:(ΔＥ/Ｅ)²だけ小さいと信じています。
 

以上でやっと論文の§2が終わりました。途中で付録Ａ

にも脱線しましたが。。
 

ノートの終了日付は2003年4/4(金)となっています。
 

これで,本文の全55ページ中の23ページの翻訳と解説が

終わりました。(Pending中の箇所が残っていることも

忘れてはいませんが。。)

さらに,付録と参考文献の19ページがあり,付録はまだ

一部の紹介が終わっただけです。

しかし、いつまで経っても完遂する予定です。
 

実は,一昨日から何故かぼやけていた視界がはっきりしてきて,

自己の過去ノ－トを読むことができたので,原稿がはかどった

のですが,毎日一時的なもので,時間が経過すると,また瞳孔

を開く眼薬を打った時のように,相変わらず視界がぼやけます。

(※どうも貧血が進んでいることが見えなくなる原因らしいです。

その上に低血糖があるときは,さらに網膜の酸欠で見えなくなる

ようです。しかし,ということは網膜の視神経が完全に犯されて

いるわけではないと思うので,視力を回復できるかもしれません。)
 

今日はここまでです。まだまだ続ける予定です。

訃報！！元横綱 佐田の山さん

大鵬・柏戸時代の大関から横綱になった佐田の山さんが去る４月27日に肺炎で亡くなられたそうです。享年79歳でした。

日刊スポーツ　→　第50代横綱佐田に山死去,79歳

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当時,佐田の山の他に,小兵の栃の海や強かった印象がある豊山という大関がいたと記憶してますが。。豊山だけ名大関と言われてましたが,横綱にはなれませんでしたね。

　強すぎた大鵬の影に隠れてましたが,佐田の山も強かったです。

ご冥福をお祈りします。合掌！！