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2017年5月

2017年5月21日 (日)

摂動論のアノマリー(3)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

さて,前回記事では,次のように書いて終わりました。
 

再計測(rescaling),本当に自己エネルギー部分と頂点部分

を有限にするということの証明は,数学的帰納法に基づいて

成されます。
 

eの(n-2)次のあらゆるグラフを.この手法で有限にする

と仮定し,それから,オーダー:nの再計測グラフの収束性を

示すわけです。

 
次回は,上記証明の簡単なスケッチから入る予定です。

と書きました。

 ここからは今回です。

簡単に頂点部分と電子の自己エネルギー部分のケースにおける証明 

をスケッチします。
 

というのは,ここに含まれる論理は,単純で,かつ,後でアノマリー

論じる際に,我々にとって有意義な概念を有しているからです。
 

光子の自己エネルギー部分:Πや伝播関数DF'についての証明は,

重複発散の問題によって,複雑になるため,省略します。

 まず,頂点部分の繰り込み可能性を証明をするため,
それが満足

すべき積分方程式の存在を示すことから始めます。
 

この方程式を表現するため,まず,電子-陽電子核(Kernel:積分核) 

(p',,)αβ,γδを定義します。
 

これは,次図の形のあらゆるdiagramを表現しています。
 

ただし,図から外線の足となる伝播関数は除去され,また,

非連結diagrams,次図の2つのケースのdiagramsは排除

されます。
 

Kの最低次の寄与は,次の形式です。 

(0)(p',,)αβ,γδ (i02/2)(γμ)αβ(γμ)γδ ..(20)
 

これは次図のdiagramに由来します。
:

この核:Kによって,次図のdiagram表現に従って, 

頂点部分の1つの積分方程式を書くことができます。


 

すなわち, 

Γμ(,’)δγ(γμ) δγ+∫d4(2π)-4 

{r[iF'(p+q)Γμ(p+q,'+q)iF'(p'+q)]}βα 

×K(p',,)αβ,γδ   ...21

です。
 

これを,引数,積分変数や添字を,はずした行列積という

省略形で書けば,

Γ=γ -∫ΓSF'F'.. 22) です。
 

今の繰り込み可能性の証明には,この表現の方が,簡単,かつ

便利なので,以下,特に明記の必要がない限り,これを使います。
 

再スケールした核:~,~=Z22...(23)で定義すると,

(22)は,Γ~μ=Z1γμ-∫Γ~μF'~F'~~...(24)

となります。
 

理論が,eの(n―2)次まで有限である。と仮定したとき,

(15)で定義した.繰り込み定数による再スケールが,n次の

Γ~をも有限にすることを示したい。と考えます。
 

(20)のKの最低次が,

(0)(p',,)αβ,γδ (i02/2)(γμ)αβ(γμ)γδ

であることから.~の最低次は,

(0) → K~ (0),02→e2のように繰り込まれた形に

書けるため,~はe2のオーダーで始まるので,(24):

Γ~μ=Z1γμ-∫Γ~μF'~F'~~.の右辺も. 

Γ~,F'~,F'~,~(n-2)次の寄与を代入すること 

により,左辺にΓ~のn次までの.寄与を得ます。

すなわち, 

Γ~(n)μ=Z1(n)γμ-∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)...(25) 

です。
 

(3-1):(24)は摂動級数に展開すると 

Γ~(0)μ+Γ~(2)μ+Γ~(4)μ.. +Γ~(n-2)μ+Γ~(n)μ.. 

(1(0)+Z1(2)+Z1(4).. +Z1(n-2)+Z1(n)..)γμ 

-∫[(Γ~(0)μ+Γ~(2)μ+Γ~(4)μ.. +Γ~(n-2)μ+Γ~(n)μ..)

F'~SF'~ 

×(~(0)+K~(2)+K~(4).. +K~(n-2)+K(~n)..)]

であり,..
 

F'~=SF'~(0)+SF'~(2)+SF'~(4).. +SF'~(n-2)+SF'~(n)

..

ですから,両辺をeの同じオーダーで正しく等置すると, 

Γ~(n)μ=Z1(n)γμ-∫Γ~(n-2)F'~(0)F'~(0)~(0) 

-∫Γ~(n-4)F'~(2)F'~(0)~(0) 

-∫Γ~(n-4)F'~(0)F'(2)~(0) 

-∫Γ~(n-4)F'~(0)F'~(0)~(2) 

-∫Γ~(0)F'~(n-2)F'~(0)~(0) ;;

ですから,

 
実は
(25)式にはなりませんが,  

1(n)を除けば,今の正しく評価した式の右辺はeの(n-2)

までの有限と仮定したの有限和で表現されます。
 

ただし,Γ~とZ1のみ, 

Γ~=Γ~(0)μ+Γ~(2)μ+Γ~(4)μ.. +Γ~(n-2)μ+Γ~(n)μ.. 

1=Z1(0)+Z1(2)+Z1(4).. +Z1(n-2)+Z1(n).. 

という定義であり,
 

F'~(n-2),~(n^2),(n-2)次の単独項ではなく,

(n-2)までの項の総和という,別の定義であれば, 

(25)式は成立する。ので,

ここではそう解釈します。

 
(3-1終わり※)

 

すると,(15)(16)の再スケールの定義から, 

 Γ~(n)μ(,)|=m0 ..(26)です。
 

それ故, 

1(n)γμ=∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)|’=..(27) 

です。

 こうして,有限な既知量の和の積分として,1(n)
 

決まります。
 

この(27)式の右辺は,何の仮定もなく, 

「右辺の積分値が電子の質量殻上でγμの定数倍である。」 

という命題を含むというのは,注目に値することです。
 

(27)式の右辺は,無次元量mのLorentzテソル関数であり,

それ故, , 'が共にmで置き換えられる問題における唯一

Lorentzテソルであるγμに比例すると考えられます。
 

(27)(25):

Γ~(n)μ=Z1(n)γμ-∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)

に代入すると, 

Γ~(n)μ=∫Γ~(n-2)μF'~(n-2)F'~(n-2)~(n-2)|’=.. 

-∫Γ~(n-2)μF’~(n-2)F’~(n-2)~(n-2)., .(28) です。
 

ここまでくると,帰納法の仮定を用いて, 

(24);Γ~μ=Z1γμ-∫Γ~μ'~SF'~K~...に含まれる

全ての部分グラフに関わる積分が有限であること,を示す

のは容易なことです。
 

そこで,唯一の発散は,全ての内線を通る4元運動量が大きくなる 

とき.全ての積分に関連する対数発散です。
 

しかし,この全体としての発散は(28)のように単純な差を取れば, 

有限となるため, 結局,Γ~μ(n)は収束することがわかります。

したがって,頂点部分Γ~μは多重的に繰り込み可能であること, 

が確証されました。
 

我々の論旨において,着目すべき重要事は,全て(22)の積分方程式 

から話を進めたことです。
 

そして,これは,とにかく,頂点部分が,ベクトルカレントを意味する 

γμの形である,という特殊性には依存していないことです。

 

それ故,QEDにおける擬ベクトル(Axial-Vector)および,擬スカラー 

(Pseud-Scalar)による頂点でも22):Γμ=γμ -∫ΓμF'F'. 

と同様な積分方程式が満たされると考えられます。
 

すなわち,Γμ5=γμγ5-∫Γμ5F'F', 

Γ5=γ 5-∫Γ5F'F'.. 29) です。
 

そして,前と同様に,帰納的論議によって,こうした頂点でも

上の式に現われるものについて,次のように繰り込まれた関数

(チルダ関数)を定義して与えることにより,掛け算的繰り込み

が可能であることが,示せます。
 

すなわち,Γμ5(,')=Z-1Γ~μ5(,'), 

Γ5(,')=Z-1Γ~ 5(,') ..(30)  

,チルダ関数を定義します。
 

さて,次には,電子の伝播関数;F'(p)に向かいます。
 

このとき,重複発散の問題が存在しますが,

こうした問題は,伝播関数と頂点部分の間に,Ward-Takahashi

の恒等式として知られている重要な関係を用いて,うまく回避

することができます。
 

Ward-Takahashiの恒等式に,ついては,既に証明抜きで使用

しましたが,これは,

(p-p')μΓμ(,’)=SF'-1(p)-SF'-1(p')

で与えられる関係式です。
 

これを証明するために(6): 

F'(p)Γμ(,')F'(p') 

=-∫d4xd4exp(ipx)exp(i')

0|[ψ()μ(0)ψ~()]|0

から始めます。

の両辺に,(p-p')μを掛けると,, 

 まず,(p-p')μF'(p)Γμ(,')F'(p') 

=-,(p-p')μ∫d4xd4exp(ipx)exp(i') 

0|{ψ()μ(0)ψ~()}|0 

=-(p-p')μ∫d4xd4exp{i('-p))exp(i') 

0|{ψ(0)μ()ψ~()}|0> 

です。
 

(3-2): x→―x,y→y-(y-x)と積分変数を置換 

するとき,∫d4xd4yは変わらず,
 

 exp(ipx)exp(i')0|{ψ()μ(0)ψ~()}|0 

exp(ipx)exp{i'(y―x)} 

0|{ψ(-x)μ(0)ψ~(y―x)}|0> ですが,

 
T積については,
平行移動のユニタリ変換:

ψ(-x)=U(-)ψ(0)-1(-x), 

および,ψ~(y-x)=U(-x)ψ~()-1(-) により, 

0|{ψ(-x)μ(0)ψ~(y-x)}|0 

=<0|{ψ(0)μ()ψ~()}|0>です。

 そして,
 exp(ipx)exp{i'(y―x)} 

exp{i('-p))exp(i')です。

 (3-2終わり※)
 

さらに,

最右辺=∫d4xd4exp{i('-p)}exp(i') 

i(/∂xμ)0|{ψ(0)μ()ψ~()}|0 

i∫d4xd4exp{i('-p)}exp(i')0| 

×([ψ(0)μμ()ψ~()]

+δ(0){[0()ψ(0)]ψ~()}

+δ(0―y0){ψ(0)[0(),ψ~()]})|0

となります。
 

(3-3):何故なら,(/∂xμ)を∂μと書くと, 

微分可能な任意のxの関数:()に対し, 

μ[exp{i('-p)}()] 

i('-p)μexp{i('-p)}() 

exp{i('-p)}{μ()}] です。

 

一方,4次元Gaussのの積分定理によって,

4(μ)=∫FdS(Sは4次元体積Vの3次元

表面境界)です。ただし,()exp{i('-p)}()

とします。
 

Vが全時空を示すなら,その境界である3次元閉曲面S

は無限遠に存在して,そこでは全ての場の量は急減衰して

ゼロになるため,4(μ)0ですから,
 

最初に書いた連鎖微分の式により,部分積分から事実上, 

('-p)μexp{i(-p)}() 

iexp{i('-p)}×{μ()} が成立します。

 

また,T積の定義から,{ψ(0)μ()ψ~()}

=T{ψ(0)ψ~()μ()} 

=θ(-y0)θ(0-x0)ψ(0)ψ~()μ() 

-θ(0-x0)θ(0)ψ~()μ()ψ(0) 

+θ(-x0)θ(0-y0)ψ(0)μ()ψ~() 

+θ(0)θ(-y0)μ()ψ(0)ψ~() 

-θ(0-y0)θ(0)ψ(0)μ()ψ~() 

-θ(0)θ(-x0)ψ~()ψ(0)μ()

です。
 

故に,(/∂xμ){ψ(0) ψ~()μ() } 

=T{ψ(0) ψ~()μμ()} 

-θ(-y0)δ(0-y0)ψ(0)ψ~()0() 

+δ(0-y0)θ(0)ψ~()0()ψ(0) 

+θ(0-y0)δ(0)ψ~()0()ψ(0) 

-δ(0)θ(0-y0)ψ(0)0()ψ~() 

+θ(-x0)δ(0-y0)ψ(0)0()ψ~() 

-δ(0) θ(-y0)0()ψ(0)ψ~() 

+θ(-x0)δ(0-y0)ψ(0)μ()ψ~() 

-δ(0-y0)θ(0)μ()ψ~()ψ(0) 

+θ(0)δ(0)ψ~()ψ(0)μ()
 

つまり, 

(/∂xμ){ψ(0) ψ~()μ() } 

=T{ψ(0) ψ~()μμ()} 

+δ(0){θ(-y0)[0(),ψ(0)]ψ~()

-θ(0)ψ~() [0(),ψ(0)]} 

+δ(0-y0){θ(-y0)ψ(0)[0(),ψ~()] 

-θ(0)[0(),ψ~()]ψ(0)}
 

=T{ψ(0)μμ()ψ~() }

+δ(0){[0(),ψ(0)]ψ~()} 

+δ(0-y0) {ψ(0)[0(),ψ~()]}

を得ます。
 

(3-3終わり※)
 

最右辺の第1項は,カレントの保存:(3):μμ0,

用いるとゼロであり,残る2つの項を正準反交換関係

を用いて評価すると

(p-p')μF'(p)Γμ(,')F'(p') 

=SF'(p')-SF'(p)..(32) 

です。

 

この,両辺に,左からSF'-1(p),右からSF'-1(p')を掛けると 

(p-p')μΓμ(,'’)=SF'-1(p)-SF'-1(p') ..(33) 

を得ます。これがWard-Takahashiの恒等式です。
 

(3-4):[AB,]=ABC-CAB=A{,}{.}Bより 

まず,δ(0)が掛かっているためx00の同時刻で. 

[0()ψα(0)][ψβ()ψβ(),ψα(0)] 

=ψβ(){ψβ(),ψα(0)}{ψβ() ψα(0)}ψβ() 

=-δ3()ψα(0) です。

 

また,δ(00-y0)が掛かっているため,0=y0の同時刻で, 

[0(),ψ~α()] [ψβ()ψβ(),ψ~α()] 

=ψβ(){ψβ(),ψγ()}γ0γα

{ψβ() ψγ()}γ0γαψβ() 

=δ3(-y)ψ~α()  です。
 

したがって,(p-p')μF'(p)Γμ(,')F'(p') 

i∫d4xd4exp{i('-p)}exp(i')0| 

×([ψ(0)μμ()ψ~()]+δ(0){[0()ψ(0)]ψ~()} 

+δ(0―y0){ψ(0)[0(),ψ~()]})|0> 
 

i∫d4xd4[exp{i('-p)}exp(i') 

δ4()0|{ψ(0)ψ~()}|0 

+δ4(x-y)0|{ψ(0)ψ~()}|0] 

i∫d4exp(i')0|{ψ(0)ψ~()}|0 

i∫d4exp(ipy)0|{ψ(0)ψ~()}|0 

=SF'(p')-SF’() です。

(3-4終わり※)
 

Ward-Takahashiの恒等式(33: 

(p-p')μΓμ(,’)=SF'-1(p)-SF'-1(p') 

において,'=mとすると,F'-1(p')'-m=0 です。
 

それ故,

'-1(p)(p-p')μΓμ(,')|=m .(34) 

ですが,これによって,電子伝播関数SF'(p),頂点部分

Γμ(,')が決まれば,完全に決まることがわかります。
 

そして,頂点部分については,

Γ~μ(,')=Z1Γμ(,')から,Γ~μとZ1(n-2)

まで有限という帰納法の仮定から,それらはオーダーnまでも

有限になることを示して,繰り込み可能性を既に証明しました。
 

そこで,1-1F'(p)=Z2-1F'(p)=SF'~(p)も同じく, 

(n-2)次まで有限という仮定から,オーダーnまで有限で

あることが直ちに示されます。
 

ちなみに,(34)式は,さらに,=mの近傍で, 

2-1(p-m)~ SF'-1(p)|=m 

(p-p')μΓμ(,')|p=m ~Z1-1(p-m)..(35) 

なることを意味し,これからZ1=Z2が導かれますが, 

このことは,既に証明抜きで述べていたことで,それ以後は,

これを使用していました。
 

QEDの繰り込みを論じる際には,Ward-Takahashiの恒等式は 

有益で重要な役割を果たす,ことがわかります。

 

カレントの保存条件:(3):μμ0,および,(16)

繰り込み条件において, Ward-Takahashiの恒等式を導出

するに当たって,序文で言及した危険なタイプの操作を

一応無事に行ないました。
 

しかし,こうした操作は,正当化され, Ward-Takahashi

恒等式と頂点のカレント保存の他の帰結は,摂動論の

あらゆる次数で正しいことがわかります。
 

これは,言い換えると,頂点に関わるカレントが保存する

通常のQEDでは,幸い,Ward-Takahashiの恒等式のアノマリー

を生じないということです。
 

これで一応,やっと20年がかりで関わった第1章が終わり,

本題の「2.The VVA Triangle Anomaly」に入るわけです。
 

私のノートは,19951/5()に第1章を完了した後,2

20昔のノート「に戻る前に,19955月末までかかって

中西㐮 著(培風館)「場の量子論」から,

今は中西-Lautrap理論と呼ばれている「電磁場の共変的量子化」

に進み,最後には,Ward-Takahashiの恒等式,任意のゲ-ジで

成立することを示すところまで記述していました。

 

「電磁場の共変的量子化」については,本ブログの

過去記事で記述していたと記憶しているので,私自身

ちょっと調べてみます。


 (※PS:ありました。8年前で忘れてました。

 まずは,2009年6/5の過去記事:

電磁がの共変的量子(1)(中西ーLautrap理論」から回顧です。)
 

今日は,ここで終わります。

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics) Volume

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2017年5月16日 (火)

摂動論のアノマリー(2)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前に述べたように,ここからは,20年後の1995(45) 

追加ノートからです。 

(※しかし,開始頁の日付が199511()なので.実は 

まだ44歳でした。)
 

さて,前回記事では,次のように書いて終わりました。
 

「伝播関数と頂点部分を定義して図式化した理由は,あらゆるQED 

の紫外発散がこうした量の中に,存在しているからです。」
 

ここからが今回の,続き原稿です。
 

このことを見るため,1つのグラフの表面的な発散の次数が, 

D=4k-2b―f...(10) で与えられることに着目します。
 

ここに, 

b=光子の内線の個数, 

f=電子の内線の個数, 

k=内線運動量積分の個数  

です。
 

(2-1):光子内線1個ごとに,-2(2)次因子:

電子内線1個ごとに,(-m0)-1(1)次因子です。

また,ループ1個ごとに∫d4,,これは4次因子すが,

元運動量の保存から,qもpもループ積分変数lの

1次項を含むので,被積分関数としては,qの1次が

(2),pの1次が(1)次で,積分すると,+4次が

相殺されます。
 

よって,積分変数lの数がkなら,積分変数全体での

次数は,D=4k-2b―f です。(2-1終わり※)
 

さらに, 

n=頂点の個数, 

B=Boson外線の個数, 

F=Fermion外線の個数 ..(10.) 

とします。
 

すると,位相幾何学的関係から, 

F+2f=2,B+2b=n..(10.)

です。
 

(2-2):QEDではfermionの内線,外線の終点は,必ず,光子頂点 

であり,FermionやBosonの外線には終点しかありませんが,内線 

には,グラフの中に終点と同じ数の始点があります。
 

そこで,まず頂点の光子線(Boson)を無視すると,n個の頂点には, 

2n本の線がつながっいていて,その延べ2n個の他方の端点は, 

(F+f)個の終点,および,f個の始点のどれかに一致します。 

故に,F+2f=2nです。
 

一方, Fermion(電子線)を無視すると,n個の頂点には,

n本の光子線(Boson)がつながっいていて,もう1方の端点

(B+b)の終点,および,b個の 始点のどれかに一致

します。それ故,B+2b=nです。 

 (2-2終わり※)

 

これらの関係を用いれば, 

Dを上述の外線の個数で書き換えることができます。
 

D=43/2-B..11)です。
 

(2-3):QEDでは,ループの個数は,k=f+b-n+1

です。つまり,光子線とか電子線の区別なく,外線のついて

いない閉じた図形では,ループの個数は線の個数から頂点

の個数を引いて1加えたものに等しいです。

 この
関係,物理学はなく,図形の位相幾何学的な関係

であり,幾何学としては自明のことです。
 

そして,D=4k-2b―fに,k=f+b-n+1を代入

してkを消去すると,D=4k-2b―f=3f+2b-4n+4

です。
 

これに,f=n-F/2,2b=n-B を代入すると, 

D=43/2-Bが得られます。 (2-3終わり※)
 

そして,個々のFeynmanグラフの収束条件は,グラフ自身.および, 

そのグラフ内に含まれる,あらゆる部分グラフに対して,それぞれ 

の発散次数:Dを求めたとき,全てについてD<0となることです。
 

(11)から発散の危険性のあるD≧0のグラフは,
 

()電子のproperな自己エネルギー部分:Σ()(D=1), 

(),properな頂点:Γμ(,’)(D=0), 

()光子のproperな自己エネルギー部分:Π()(D=2), 

() 3つの光子のpoperな頂点(D=1):
 

そして,()properな光子光子散乱振幅(D=0)です。

 

このうち,()3つの光子頂点グラフは消えます。 

これは,光子の奇数頂点は荷電共役変換の下で奇(odd)である

からです。(Furryの定理

(2-4): 荷電共役(Charge cojugation)^に対する光子Aμ 

の変換性は,^μ()^-1=―Aμ()ですから,
 

0|r[μ()ν()λ()]|0 

=<0|r[^μ()ν()λ()^-1]|0 

=-<0|r[μ()ν()λ()]|0>=0 です。
 

(2-4終わり※)
 

また,光子のproperな自己エネルギ-については,D=2ですが 

(8.) Πμν()=-(2μν-qμν)Π(2)における

ように,(2μν-qμν)因子が形成され.これに運動量の

2つのベキが使用されます。
 

それ故,,光子の自己エネルギーの発散次数:Dは,

実質的には,Π(2)の次数として,有効発散次数;eff0

となります。

  
同様に,光子-光子散乱の内線運動量が4つの外線光子の

各々に対して,電磁場の強さ:μν()(μν-qνμ)

を形成するために用いられ,,このグラフの有効発散奇数は

eff=-4となり,実際には高次に収束します。

  
これで,QEDのグラフで発散があれば,それは常に自己エネルギー

と頂点部分に関わることを証明したことになります。

  
そこで,次には,任意のグラフの発散を研究し,それを除去する

手法を述べる段階にきました。

 
1つの任意グラフが与えられたとします。
 

その,あらゆる自己エネルギーや頂点部分を1点に縮めること

によって得られる新しいグラフを,そのSkeltonグラフと定義

します。

  これをなすに当たって,0=m-δmとします。

ここに,mは物理的質量(衣を着た質量)であり,δmは電子の

自己エネルギーの一部として扱います。

 よって,Skeltonに現われる電子の伝播関数は全て
(-m)-1

の形とします。

 こうして,縮めた点を全て単なる1として無視すると,

明らかに,Skeltonグラフに対応する計算値は常に有限です。
 

したがって,もしも自己エネルギー部分と頂点部分を有限に

する方法を案出できたなら,縮めた点を無視する代わりに,
 

Skeltpn上の有限な自己エネルギー部分と頂点部分への

適切な挿入を行うことにより,元のグラフに対応する計算値

という意味で有限項を得ることができる。」

 
と考えられます。
 

そうして,3つ以上の足を持つSkeltonに対する,挿入は.常に

重複しないやり方で為すことができて,その手法は単純です。
 

しかし,足が2つのSkelton(電子-光子自己エネルギーグラフ自身) 

においては,必然的に,次の図のような重複した頂点の挿入を含む

状況 が出現します。

 これは,繰り込み可能性の証明をする上では,困難を与えるものです。

 

自己エネルギー部分,および,頂点部分を有限にするための手法は 

以下の通りです。
 

まず,第1に,δm=m-,0を,次のように選びます。
 

すなわち,=mなら,δm-Σ()0..(12)

と選択して,F'(p),が物理的質量mに等しいとき,

そこに極を持つことを保証します。
 

そこで,→ mなら,F'(p) → Z2/(-m)..(13) 

です。 ここで,2.電子波動関数の繰り込み定数です。
 

同様に,質量殻の近傍での光子の伝播関数の挙動を調べること

によって,光子の波動関数の繰り込み定数Z3を定義します。

 すなわち,
 

2  0 なら,D'μν() → -Z3μν/2(縦波光子項)

....(14) です。
 

そして,質量殻の上にある電子線を持つ頂点の運動量遷移:

q=p'-pがゼロの極限を調べることで,頂点の繰り込み定数:

1を定義します。
 

すなわち,Γμ(,)==Z1-1γμ..(15) とします。
 

くりこみの処法は,自己エネルギーを持つ伝播関数や頂点関数. 

および,裸の電荷e0,繰り込まれた関数:F~() F~μν() 

Γμ~(,p'),および,繰り込まれた(物理的)電荷:eで再定義

できるように,再スケールすることから成ります。
 

すなわち,

F'(p)=Z2 F'~(p),  

F'μν()=Z3F'~μν(), 

Γμ(,p')=Z1 -1Γμ~(,p') 

0=Z1/231/2       ...(16)
 

これによって,チルダ()をつけた関数を定義し,

これらを,「繰り込まれた関数」と呼びます。
 

注目すべき事は,上式(16),物理的電荷:eと質量:mによって 

チルダ関数を表示するために用いられるとき,4元運動量p,p' 

の任意の値に対し,これらチルダ関数を有限値に導くことです。
 

したがって,全ての無限大は繰り込み定数Z1,2,3の中に 

「繰り込まれて」除去される。という形になります。
 

さらに,カレント保存の結果としてZ1=Z2  ..(17) 

を得ます。
 

※(注2-5):何故なら,カレントの保存は,Ward-Takahashi恒等式: 

(p-p')μΓμ(,p')=SF'-1(p)-SF'-1(p')を意味し,

これに,素朴で自明な恒等式: 

 (p-p')μγμ=SF-1()-SF-1(p')を並列して,電子の 

質量殻上:=mで,比較すれば,Z1=Z2を得ます。


(注2-5終わり※)

 

(16)の自己エネルギーや頂点部分の外線の足を除去したもの

,Skeltonグラフに代入したとき,

Feynmanルールの項目(ⅰ)によれば,外線における自己エネルギー

omitされ,Skelton繰り込まれた自己エネルギ-と頂点の挿入

を作ることで,それぞれ,自己エネルギ-, 頂点の繰り込み定数の

挿入数乗の,Skeltonの積因子倍の計算値を得ます。
 

その因子は,明らかに, 

(1/231/2)-n23=Z2f-n3-n/2..(18)  

です。

 ただし,n,f,bは,それぞれ,1つのグラフ(blob)に
ついて,

(10.b)で与えた,頂点の個数,Fermion(電子)内線の個数,

Boson(光子)内線の個数です。
 

ここで,前に与えた 位相幾何学的関係;(10.):

F+2f=2, および,B+2b=nを用いれば,上記因子は, 

2f-n3-n/2=Z2-F/23-B/2. ..(19) と書けます。
 

これは,正確に外線波動関数因子:√Z2.,および,√Z2のベキ乗

で与えられる積因子と相殺します。( Feynmanルールの項目()参照)
 

こうして,(16)の再スケールによって,我々のFeynmanルールは,

常に有限な,繰り込まれた散乱行列要素:に誘導されること

がわかります。

 
再計測(rescaling),本当に自己エネルギーと頂点部分を有限

にするということの証明は,数学的帰納法に基づいて成されます。 

eの(n-2)次のあらゆるグラフを.この手法で有限にする。と

仮定し,それから,オーダー:nの再計測グラフの収束性を示す

わけです。
 

切りもいいし,今日は,ここで終わります。 

次回は,まず,上記証明の簡単なスケッチから入る予定です。
 

(参照文献):「Lectures on Elementary Particles

and Quantum Field Theory」 

(1970 Brandeis University SummerInstitute

in Theoretical Physics) Volume

PS:TVによると,「相棒」の水谷豊さんが映画監督をして,

「40年来の夢がかなった。」と述べておられました。

 凡人の私など
の40年来の夢は,かなうことなく終わりそうです。

まあ,夢は,「夢の途中」にある方がシアワセだ。。などと,

思うこともありますネ。。。

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2017年5月12日 (金)

摂動論のアノマリー(Perturbation Theory Anomaly)(1)

科学記事の新しいテーマというか,実は,1975(25)頃の

懐かしい素粒子論研究室の学生時代のノートからです。
 

1976年の卒業(=修了)時に,拙い間に合わせの論文とは別に,

ヒョッとしたら自分の終生の専門課題になるカモと思って

いたモノ:

Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory

(1970 Brandeis University SummerInstitute

 in Theoretical  Physics) 

素粒子論夏の学校の講義録:通称:Brandeis Lectures Vpl.1

StephanL.Adlerによる講義:

(標題)Perturbation Theory Anomaly(摂動論のアノマリー)

当時,何故か,個人的に興味を覚えて指導教官抜きで勉強

したものを記事としてアップします。
 

以前から,これは是非ブログにアップしたい。と思ってはいた

ものの,掲載すべき,複雑なFeynmanダイアグラムの図が多く,

私の原稿書きのスキルでは敷居が高い。と考えて敬遠して

いました。

 しかし,
まあ,ヒマなことだし何とかじっくりとトライして

 みます。温故知新です。。。

 
赤外発散論文の詳解記事と同じく,翻訳+解説というう

構図です。

 心臓,足,目と体は不自由で,いうこときかないのですが,

脳というか頭だけはますます元気で海馬も健康らしく

ウン十年前に勉強したコトなども,スラスラ思い出し,

経験のせいか当時より理解は深いようです。

申し訳けないのですが,何の役にも立たないクソジジイ

なのに,身体介護など他人の世話にもなり,精神的な

ストレス的にはフリーなので,できることだけ,好きなコト

をしています。
 

(標題)Perturbation Theory Anomaly(摂動論のアノマリー) 

1.Introduction and Revies of Perturbation Theory 

(序文と摂動論のレビュー)
 

この講義の目的は,「繰り込まれた摂動論」の最近の発展を研究

することです。

 「繰り込まれた摂動論(Renormalized Perturbation Teory)
 

という課題は,今では古いものですが,うまく発展してきて

います。
 

大部分のLagrangian場理論模型に対して,繰り込みの

手続き,全てのオーダーでの繰り込み可能性の証明は,

既に与えられています。
 

 ここで論じる予定の新しい方面は,カレント代数

(current algebra)において最近の仕事の焦点となってきた

ものであり,それは大いに,"Wardの恒等式"とカレントを含む

Bjorken極限を用いています。
 

その両方共,通常Lagrangian場理論において生じるタイプの

T積(時間順序積)に関する叙述です。 

こうした叙述のいくつかは,幾分ナイーブな高次発展量の

形式的扱い(書く換え)によって得られるため,こうした書き換え

が実際に正しいものかどうか? を問うのは,当然のことです。
 

 現在のところ.場の理論における計算に,何らかの一般的方法

が存在しないので,特殊なLagrangian場理論模型においてさえ,

この問いに答える一般的方法はありません。

 
しかし,「繰り込まれた摂動論」の枠組内で,この問いを検討

することは可能であるし,啓発的です。

  
この「繰り込まれた摂動論」には既に明確な計算法が存在し

具体的な答が得られることがわかっています。

こうした足跡は,ここ数年間に何人かの論文著者(研究者)

よって追跡されましたが,これについて,以下に詳細に記述

します。
 
 

そして,結論の示すところは,「摂動論では多くのケースで,通常

の単純な取扱いは破れている(破綻している),あるいは,修正を

必要とするか?または,アノマリー(Anomalies:量子異常項)

生じる。」 ということです。
 

こうしたアノマリーとその性質は,いくつかのカレント代数の

計算において重要な示唆を与えるだけでなく,それ自身興味深い

数理物理学の問題です。
 

§1.1.Review of Quantum Electrodynamics

 and Renomalization Theory

(量子電磁力学と繰り込み理論のレビュー)
 

我々は摂動論のアノマリーの研究を,

QED(Quantum Electrodynamics:量子電磁力学),なじみ深い

ケースで,通常の繰り込み理論の概観を与えることから始めます。
 

QEDは我々に興味深い多くのアノマリーを与えてくれます。 

そして「ベクトルグルオンの準力学

(Quasi- Mechanics of vector gluons)を持つクォーク模型や

σ-模型 のような,他の物理的に興味深いケースへの一般化は,

一般原理よりも,むしろ.詳細についての問題を含む,こと

発見しています。
 

さて,QEDLagrangian密度, 

()=ψ~()(iγ∇―m0)ψ()(1//4μν()μν() 

-e0μ()...(1) で与えられます。
 

ここで,ψ()は電子の場(spinor field:スピノル場)であり, 

μ()は光子の場(vector field):ベクトル場)です。
 

μν()=∂νμ-∂μν,電磁場の強

(電場E,および,磁場B)を示す2階テンソルです。
 

ただし,γ∇=γννであり,-e0,0はそれぞれ,電子の

裸の電荷,裸の質量です。(※ m00,00 です。 )
 

このLagrangianから,作用原理()変分原理)に基づく

Euler-Lagrange方程式として,次の場の運動方程式が

得られます。
 

(iγ∇―m0)ψ()=e0γμμ()ψ(). 

νμν()=e0μ()   ...(2)  

ただし,μ()=ψ~()γμψ() 

です。
 

μ()について,μμを計算し,この"同一時空点"における

2つの場の演算子積に対し,通常の微分の連鎖公式を適用しても

何ら微妙な困難などは生じない。と仮定すると, 

μμ=∂μψ~γμψ+ψ~γμμψ 

=ψ~(i0i0γμμ) ψ+ψ~(i0i0γμμ)ψ 

0 ..(3)  

を得ます。
 

これは通常のカレント保存の方程式(連続の方程式)です。
 

最後に,スピノル場の正準反交換関係(同時刻),次式です。 

{ψα(,),ψβ(,)}=δαβδ()..(4) 

α,βはスピノル[成分の添字です。
 

もしも,Feynmanゲージを用いるなら,光子場の正準交換関係は, 

[μ(,),∂Aν(,)/∂t]iμνδ()..(5) 

です。
 

(1)(5)QEDの基本方程式です。
 

こうした方程式を取り扱う通常の手法は.もちろん,運動量空間

を考えて0のべキで摂動級数に展開することです。
 

これから.よく知られた計算のFeynmanルールが導かれます。 

これを次に要約します。
 

()運動量pを持った電子の内線にi/(-m0iε),

各頂点(vertex)に因子(i0γμ)を対応させる。

(=γp=γμμ etc.です。) 

運動量qの各光子線の内線には(1μν)/(2iε)

を対応させる。
 

() Fermionループに対しては,因子(1)を付加し,

ループの運動量変数lにわたって内線積分として∫d4/(2π)4

が存在する。
 

()各光子の外線に因子:εμ√Z3を対応付ける。 

ここにεμは光子の偏光偏極4元ベクトルであり,3は光子

波動関数の繰り込み定数である。

各電子外線にはグラフに入ってくるものに,√Z2(,)を,

それから出てゆくものに,√Z2~(,)を対応させる。
 

陽電子の外線にはuの代わりにvを用いるだけの違いである。
 

2は電子波動関数の繰り込み定数である。
 

被連結泡グラフの挿入や,外線の電子線や光子線への

自己エネルギーの挿入は除く。
 

こうしたルールを用いて,任意のプロセスに対し,摂動の任意

次数のFeynman振幅:をつくることができます。
 

よく知られているように,繰り込み(Renormalization)によって

除去すべき発散に遭遇します。

 この手続きを今から簡明にスケッチします。 

電子の伝播関数(propagator);F'(),光子伝播関数:

F'μν(), 頂点部分:Γμ(,')を次のように定義します。

iF'(p)

=∫d4exp(ipx)0|[ψ()ψ~(0)]|0..(6) 

iF'μν()

=∫d4exp(iqx)0|[μ()ν(0)]|0;;(6)

F'(p) Γμ(,')F'(p') 

=-∫d4xd4exp(ipx)exp(-i')

0|[ψ()μ(0)ψ~()]|0>...(6)

です。
 

これらは次のようなFeynman-diagramの表現を持ちます。
 

最後の頂点部分はproperなグラフである,としています。

 
まり,単一のラインを切断することでは,2つの互いに素な

部分グラフに分割することはできない,という意味です。

 次図は,それぞれ,電子と光子の自己エネルギー部分です。

blob(陰影部)のみで両端の線は含みません。

電子の伝播関数と光子の伝播関数は,次のようなdiagrams

によって定義されます。

これらは,properな電子の自己エネルギー部分-iΣ(p)

,proper光子の自己エネルギー部分ie02Πωγ(q)に

よって表現されます。
 

電子伝播関数については,

 

あるいは,式で書けば,

iF' iFiF(iΣ)(iF)

iF (iΣ)(iF)(iΣ)(iF)..

です。
 

こうした総和によって,右辺を初項が iF()i/(-m0)

,公比が,{iΣ()}iF()=Σ()F()

=Σ()/(-m0)の「収束する」等比級数と見ることにより,

無限等比級数の和として,

F'(p)1/{-m0-Σ()}..(7)

が得られます。
 

同様に光子伝播関数に対しては

式で書けば,

iF'μνiFμνiFμν(i02Πλσ)(iFσν)} 

iFμλ(i02Πλσ)(iFσω)(i02Πωγ)(iFγν).

です、
 

さらにDFμνを陽に書くと,  

iF'μν()

(iμν/2)(i02/2){iΠμν()}(i/2) 

(i02/2){iΠμλ()}(i/2){{iΠλν()}(i/2)

.. 

となります。
 

そこで,実際には寄与しない,スカラー光子や縦光子を無視すると, 

F'μν()(-gμν/2){(02/2)Πμλ()F'λν(),

または,

F'μν()(-gμν/2)(02/2)Πμλ()F'λν()

と書けます。
 

これから,{2μλ-e02Πμλ()}Fλν()=-gμν

です。
 

ここで,次の図のようなグラフ方程式が成立すると考えると, 

i02Πμν() 

(i02)(i)∫d4(2π)-4 

r[γμiF'()(k-p)νΓν(,k+q)iF'(k+q)] 

です。
 

これから,νΠμν() 

i∫d4(2π)-4 

r[γμiF'()[k-(k+q)]νΓν(,k+q)iF'(k+q)]
 

ここでW-T恒等式(Ward-Takahashi Identity): 

(k-p)νΓν(,)=SF'(k)-1-SF'(p)-1を用いると,
 

νΠμν() 

=-i∫d4(2π)-4 

r[γμνF'(k){F'(k)-1-SF'(k+q)-1}F'(k+q)] 

=-i∫d4(2π)-4r[γμF'(k+q)-SF'(k)]

です。
 

それ故,もしも-i∫d4(2π)-4r[γμF'()]が発散

せず有限値に留まるなら,積分変数kを,k → (k+q)とシフト

して変数置換しても,その値は同じはずですが,実際には紫外発散

します。

運動量空間の原点のシフトが結果を変えないように,繰り込み

処法の適切な切断による正則化がなされた,という仮定すると,

νΠμν()0 なる式に到達します。
 

添字μとνの交換対称性から,μΠμν()0も明らかです。
 

したがって,{2μλ-e02Πμλ()}Fλν()=-gμν

から,F'νμν() 

=-gμνF’()(縦光子部分=qμ,νに比例する項)

..(8)という形を仮定することができて,
 

Πμν()(-q2μν+qμν)Π(2) (8)
 

そして結局,DF'(q)1/[2{1+e0Π(2)}] (9)

が得られます。
 

伝播関数と頂点部分を定義した理由は,QEDのあらゆる

紫外発散量,こうした量の中に存在しているからです。
 

(1-1)Π(2),qのみに依存する2階のLorentz共変

テンソルですから,Πμν()gμνΠ2(2)+qμνΠ2(2)

という一般形を持つはずです。
 

そこで,μΠμν()0から,qについて,恒等的に, 

ν{Π(2)+q2Π(2)}0が成立することがわかります。
 

それ故, Π(2)=-q2Π2(2)ですから, Π2(2) 

単にΠ(2)と各ことにすれば,(8)式; 

Πμν()(-q2μν+qμν)Π(2) 

が得られます。
 

そこで,{2μλ-e02Πμλ()}F'λν()=-gμν 

,{2μλ(-q2μλ+qμλ)02Π(2)}F'λν()

=-gμν となります。
 

つまり,2{1+e0Π(2)} 'μν() 

=-gμν+qμλ0Π(2)F'λν()ですから, 

一般に q2{1+e0Π(2)}0として 

F'μν()=-gμν/[2{1+e0Π(2)}] 

+qμλ0Π(2)/[2{1+e0Π(2)}]F'λν()

です。
 

μλF'λν()=-qμλ/[2{1+e0Π(2)}] 

+qμλσ0Π(2)F'σν()/[2{1+e0Π(2)}]より,

[1-e0Π(2)/{1+e0Π(2)}]×qμλF'λν() 

=-qμν/[2{1+e0Π(2)}]

μλF'λν()=-qμν/[2{1+e0Π(2)}]
 

以上から,  

F'μν()=―gμν/[2{1+e0Π(2)} 

-qμν02/[(2)2{1+e0Π(2)}] という一般形式

を得ました。  (1-1.終わり※)
 

 .私の1975年~1976年当時のノートは,ここで中途半端に終わり,

次に,いきなり第2章の,2.The VVA Traiangle Anomaly」へと

飛んでいます。

 
まあ,学生時代とは,そうしたもので,理解が不十分でも,1

は既に明らかになっているコトの確認に過ぎないし,それよりも

早く当時最先端の本題に入って,新しい発見への研究に取り掛か

らないと,いつまでも序文当たりに拘泥してマゴマゴしていては,

時代に乗り遅れる。というワケです。
 

しかし,私はわからないことを放置して取り敢えず先に進む

ということが平気な,"器用なこと"ができるタイプじゃなく,

 
結局,プロの研究者
にはなれず,普通の会社に就職して後,

世間も私自身もバブルが終わり,プータローになってから,

また,趣味で勉強を続けようとしたため,20年後の1995

頃から,この間を埋めるノートを作り,これに挟んでその頃

やっと読了したのでした。

 
私は,普通ではない変態的性格で,言わば執念のようなモノ

でしょうか?40年後の今も,また,蒸し返しています。
 

というわけで,ここで一旦終わり次回は,1995年(45歳)の

ノートの内容に続きます。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory (1970 Brandeis University Summer

Institute in Theoretical Physics) Volume

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2017年5月 9日 (火)

赤外発散の論文(1961)の詳解(8)

   赤外発散論文詳解の続きです。
 

()非赤外実光子項の詳細 

(Detailed non-infrares real photon terms)

の続きです。

 
散乱の微分断面積を与える(2.22): 

dσ/dε=exp{lim k02α(B+B~)}(dσ^/dε) 

におけるBとB~の赤外項について論じてきました。
 

(dσ^/dε),散乱の微分断面積の,非赤外部分で 

(2.21):dσ^/dε={1/(2π)}-dyexp(iyε+D) 

 ×[β~0+Σm=1(1/!)∫Πm=1n3m exp(iykm)

 βn~(1,..n)/m] です。
 

これらの式において,前回は,実光子数:n0のdσ0^/dε 

の項を論じましたが,

ここからは,n=1の項:dσ1^/dεの記述に向かいます。

これは,dσ1^/dε=∫1<ε31{β1~(1)/1} 

{1/(2π)}-dyexp(i(ε-k1)+D) ..(2.51) 

です。

  β1~は実光子放出からの項を含む断面積因子です。

  
(2.15):ρ~n(1,..,n)=~(1)..~(n)β~0
   
+Σi=1n~(1)..~(i-1)~(i+1)β~1(i) 

+Σi=1n~(i)β~n-1( 1,..,i-1,i+1,..n)
  +
β~n(1,..,n),


   
よび,
  
~(i)は,図3の().()に対応して,
赤外寄与を

 全て含み,β~jは赤外発散の寄与を含みません。


 

(※ ただし,ρ,(i),βjは行列要素の因子

でしたが,ρ~,~(i),β~は行列要素の絶対値の

2乗に比例する断面積の因子であることに注意!! ※)

と書きましたが,その後で述べたように,β1~(1)

ではE'は,(E-ε)よりも.むしろ,(E-k1)に等しく

設定されます。
 

このとき,次のような量:1を定義すると便利です。 

すなわち,1(1) =k1∫dΩβ1~(1)..(2.52)です。
 

この因子:1(1),10で有限です。
 

さて,再掲載(2.51):

dσ1^/dε=∫1<ε31{β1~(1)/1} 

{1/(2π}-dyexp(i(ε-k1)+D)
 

における,yにわたる積分は,(2.46)から(2.50)まで

と同じ手順で取り扱うことができます。ただし,(2.48)

の後で記述した適切な変数置換を除く手順です。

  今回は.r=-iyεの代わりに,
r=-i(ε―k1)

と置きます。

  
すると,(2.42)(αA,ε)

{1/(2π)}-dy[exp(iyε+D)]. 

の代わりに次式を得ます。
 

{1/(2π)}-dyexp{i(ε-k1)+D} 

{ε/(ε-k1)}αA(αA,ε)..(2.53) 

です。

 (8-1):以下.上式の証明です。 

(証明)(2.53)の左辺の積分においても, 

まず,(2.42)の計算と同じく, 

(2.43):D=αA∫0εdk[{exp(iyk)1}/.] 

で与えられるDを,

(2.46):^=D+αA∫εdk{exp(iyk)/} 

に置き換えて計算します。

双方とも,DをD^に置換しても同じです。
 

そして, (2.48:^=αA{-C-ln(εy)iπ/2}です。
 

{1/(2π)}-dyexp{i(ε-k1)+D^} 

{1/(2π)}exp{-αA(C+iπ/2)} 

×∫-dy[exp{i(ε-k1)}/(εy)αA]です。
 

r=-i(ε―k1)と置くと.(ε―k1)y=irで, 

(i)αA{(ε-k1)}αA(εy)αA{(ε-k1)/ε)αA 

であり,dy=idr/(ε―k1)ですから, 

-dy[exp{i(ε-k1)}/(εy)αA] 

(i)αA{ε/(ε-k1)/ε}(1^αA) 

i-idr{exp(-r)/αA}
 

したがって,

{1/(2π)}-dyexp{i(ε-k1)+D^} 

{1/(2πε)}{1/(i) (1-αA)}exp{-αA(C+iπ/21)} 

{ε/(ε-k1)}(1-αA)i-idr{exp(-r)/αA} 

です。
 

一方,(2.49)式は. 

I={1/(2πε)}{1/(i)(1-αA)}exp {-αA(C+iπ/2)} 

×∫i-idr{exp(-r)/αA}.ですが.これを改めて, 

(αA,ε)と記述することにすれば, 

{1/(2π)}-dyexp{i(ε-k1)+D^} 

{ε/(ε-k1)}(1-αA) (αA,ε) です。 (証明終わり)

(8-1終わり※)

 
それ故,(2.51).D → D^とした式,dσ1^/dε
 
=∫1<ε31{β1~(1)/1}

×{1/(2π)}-dyexp(i(ε-k1)+D^),

,(2..52)式]G1(1) =k1∫dΩβ1~(1),


 
および,
 (2.44):(αA,ε)(αA/ε)[αA]

によって,

  
dσ1^/dε
(αA/ε)[αA]

 0εdk11(1){ε/(ε-k1)}(1-αA)(2.54)

が得られます。

  
そして,上の積分が収束することを保証する条件:

(αA)0 を示すことができます。

  
(2.53):{1/(2π)}-dyexp{i(ε-k1)+D}

{ε/(ε-k1)}αA(αA,ε) により,
 
(2.54)における電子のエネルギー損失:εは.

エネルギー:(ε―k1),"(dk/)光子"の一束と,

1(1)因子に寄与するエネルギーがk1の"dk光子"

の一束に,分けられているように見えます。

 
“(dk/)光子"による因子は.(ε-k1)(αA-1)ですが, 

このため,これを因子に持つ被積分関数は,1がεに 

近づくとき,強く減衰します。

  
このことから,1(1),1(ε)のまわりに,

展開する近似が有効ではないか?と誘導されます。

これを実行した結果,(2.54): dσ1^/dε 

(αA/ε)[αA]0εdk11(1){ε/(ε-k1)}(1-αA) 

 が,次の近似式: 

 dσ1^/dε=F[αA] 

×[1(ε)(αAε)/(αA+1)(dG1/dε)1=ε..] 

.(2.55)になります。
 

(8-2):以下,上式の証明です。 

(証明) 1Taylor展開を行うと, 

1(1)=G1(ε)(1-ε)(dG1/dε)1=ε 

(1/2)(1-ε)2(21/dε2)1=ε…,

です。


 
そして,0εdk1{ε/(ε-k1)}(1-αA)

[-ε(1-αA)(ε-k1)αA/(αA)] 0ε 

=ε/(αA)であり,0εdk1[{ε/(ε-k1)}(1-αA)(1-ε)] 

[-ε(1-αA)(ε-k1)(αA+1)/(αA+1) ]0ε

=ε2/(αA+1) です。
 

これから(2.55)が従います。 (証明終わり) 

(8-2終わり※)
 

(2.55)を再掲載すると,dσ1^/dε=F[αA] 

×[1(ε)(αAε)/(αA+1)(dG1/dε)1=ε..] 

ですが,
 

1,1(1) =k1∫dΩβ1~(1)なので,

1(ε)自身,既にαの1次のオーダーです。
 

(※ G1はαの1次の因子を含み、実際上のケースでは,

また,F~1です。何故なら,β1~(1)は実光子1個の

放出に関わる因子であり,赤外光子の寄与:αB~

分離した残りの非赤外光子項を意味する,と定義されて

いる量なので,αB~と同じくαの1次の項です。※)
 

(2.55),残りのG1因子の微分展開項は,1内の

単一の"dk光子"に加えて赤外光子の効果をも

含みます。
 

この§2の残りでは,ε≦(/2)のケースに限定します。
 

この場合,上記の微分項は,(αε2/)のオーダーなので 

無視できます。

 他方,ε>(/2)のケースは§3()で論じる
異なる扱い

を要求します。
 

(8-3):何故εを(/2)で分けるなのか?は. 

正直よくわかりません。
 

電子のCoulomb場での制動輻射(Bremsstrahlung)では, 

電子の散乱立体角をΩfとして,摂動の2次の微分断面積 

.dσ/dΩf(dσ/dΩf)elastic

×(2α/π)π(max/min)
 

×(4/3)β2sin2(θ/2)+O[β2] (非相対論的:.) 

または,×ln(q2/2)1+O[2/2] (超相対論的:.)

で与えられます。

ただし,2(f-pi)2~ -42sin2(θ/2)であり. 

(dσ/dΩf)elastic,単純なCouloomb散乱の断面積で 

これは,(2α2){1-β2sin2(θ/2)}/{42β2sin4(θ/2)}

です。
 

この過程のdσ/dΩf,dΩf 2πd(cosθ)で積分 

すると,∫dk/kによる因子:ln(max/min)を除去しても 

明らかに,α2以上のオーダーであり 

 dG1(ε)/dk1

 ∫dΩβ1~(1)+ε∫cΩ(dβ1~/dk1), 

 で,この右辺の第2項はεの高次なので効かず

.1,2,明らかにα2/Eのオーダーです。

 (p2β 2 ~E2より)  (8-3終わり※)
 

 dσm^/dε(m>1)のような,より高次の項も

 同様にして解析できます。
 

 後に§3()で示されることですが,こうした項は

 次のような オーダーです。

 すなわち,dσm^/dε ~ αm-1(ε/) m-1(dσ1^/dε)

 (2.56)です。

 
しかし,dσm^/dεにおける他の因子についての知識

ないので,Σm(dσm^/dε)の収束性を確かめること

できません。

m=1より高次はαごとに減じ,高次の計算はひどく

困難です。そこで摂動論の通常の意図として,収束性に

関する我々の完全な無知にも関わらず,m>1の項は

ここでは無視します。


 そうすれば,(2.22),(2.41),(2.44),(2.55)は赤外因子

を含む微分断面積を与えてくれます。
 

そして,ε<(/2)に対して断面積は簡単化されて

次のようになります。 

dσ/dε=F[αA]exp{2α(B+B~)}

{(αA/ε)β0~+G1(ε)}.(2.57) です。
 

{ }の中の量は,(dk/)の寄与と,残りのG1に分離された

制動輻射に対する通常の表現です。

こうして,エネルギー損失:ε≦(/2)の電子散乱に対する

微分だ面積,本質的にエネルギーεの1光子を放出する

断面積に,多重軟光子の寄与を示す指数関数因子を掛けた

ものになります。

 ()エネルギー分解能:ΔEの電子散乱 

(Electron Scattering with Energy Resolution ΔE)
 

エネルギー:E'=E-εのポテンシャル散乱電子

の検出は,常にいくつかの実験誤差を伴うに違い

ありません。

  1つの重要なケースでは,0≦ε≦ΔEで,ΔEが

検出器のエネルギー分解能であるような散乱です。
 

この場合の散乱断面積は,

σ=∫0ΔE(dσ/dε)dε..(2.58) です。
 

これは,ΔE≦(/2),高エネルギー散乱に対する陽な形

を与えてくれます。
 

(2.57);dσ/dε=F[αA]exp{2α(B+B~)}

{(αA/ε)β0~+G1(ε)} 

,(2.31); 2αA(B+B~)=-(αA/2)ln(EE'/ε2) 

{α/(2π)}ln(2pp'/2)によって,
 

σ=∫0ΔEdε[[αA] 

×exp[(αA/2)ln(EE'/ε2){α/(2π)}ln(2pp'/2)] 

×{(αA/ε)β0~+G1(ε)}..(2.59)

を得ます。
 

この式の指数関数とAはE'=E-ε,によってεに依存します。 

また,前に指摘したように,p'は,β0~の中ではεの関数では 

ありません。
 

,我々は,ε依存性が陽に示される3つの場所を除き,(2.59) 

の被積分関数において,あらゆるE'をEに置き換えます。
 

こうすることで導入される誤差はαε/Eのオーダーです。
 

こうした後に,この積分を実行すると次式が得られます。 

σ=∫0ΔEdε[[αA]exp[{α/(2π)}ln(2pp'/2)]] 

×{(αA/ε)β0~exp[-αAln(/ΔE) 

+∫0ΔEdεG1(ε) exp[-αAln(/ε)}..(2.60)
 

この(2.60)の右辺の{ }の中の第1項は,弾性散乱の断面積

;β0~(※§2()で論じた有限な輻射補正を含む),軟光子

を表現する因子との積です。そして,ΔE≦(/2)なら

右辺の{ }の中の第2項のG1項は第1項より,因子:

~α(ΔE/)ln(/)だけ小さいことがわかります。
 

いくつかの型の項がG1(ε)に含まれています。 

()磁気モーメント相互作用)(※(2.37)の後の議論を参照), 

これは光子が外線から放出されるときです。

()内線の光子の放出, 

()内線中のkの寄与 

です。
 

磁気モーメントの寄与()は制動輻射の微分断面積中

のk/Eに比較できるオーダーの項ですから,弾性散乱

のβ0~項と比較して~α(ΔE/)ln(/)です。

これらの見積もりはe+e→e+eのようなプロセスによって 

評価し直す必要があります。そこでは1つのe粒子は実験室中

で静止していて,E=mです。
 

()()の結合効果は本論文の付録から粗く見積もること

ができて.多くても寄与はα(ΔE/)ln(/)に比較できる

オーダーです。
 

散乱がほとんど弾性散乱に近いケースには,1(ε)をG1(0)

に置き換えることができます。それ故評価は容易です。

(※文献(16)参照)
 

反跳ポテンシャルからの"dk/k光子”の放出は,前の扱い

.更なる補正を与えますが,反跳効果は,大抵の場合無視

できます。(※文献(17)参照)
 

それは,電子とポテンシャル源の間の大きな質量差のためです。 

しかしながら,高エネルギーの電子-陽子散乱などでは反跳は

重要になります。こうした反跳効果は§3()で論じる予定

です。
 

電子のポテンシャル散乱の議論を閉じるに当たって,(2.60)

の総断面積σへ寄与する種々の項の数値的評価が役に立つ

でしょう。
 

E ~ 100 MeV,ΔE ~ 5 MeV,そしてpp'~ EE'なら,

F[αA]は0.99,結合指数関数は0.73,(2.40)へのβ~への

有限仮想光子補正は,およそ,7%だけの増加です。
 

そして,1は無視できます。

 指数関数減衰効果;0.73は展開
の中のα2項の寄与:(~ +0.03)

を含むことに注意してください。

我々は,軟光子の指数関数にHY含まれない他のα2寄与

,因子:(ΔE/)2だけ小さいと信じています。
 

以上でやっと論文の§2が終わりました。途中で付録A

にも脱線しましたが。。
 

ノートの終了日付は20034/4()となっています。
 

これで,本文の全55ページ中の23ページの翻訳と解説

終わりました。(Pending中の箇所が残っていること

忘れてはいませんが。。)

さらに,付録と参考文献の19ページがあり,付録はまだ

一部の紹介が終わっただけです。

しかし、いつまで経っても完遂する予定です。
 

実は,一昨日から何故かぼやけていた視界がはっきりしてきて,

自己の過去ノ-トを読むことができたので,原稿がはかどった

のですが,毎日一時的なもので,時間が経過すると,また瞳孔

を開く眼薬を打った時のように,相変わらず視界がぼやけます。

(※どうも貧血が進んでいることが見えなくなる原因らしいです。

その上に低血糖があるときは,さらに網膜の酸欠で見えなくなる

ようです。しかし,ということは網膜の視神経が完全に犯されて

いるわけではないと思うので,視力を回復できるかもしれません。)
 

今日はここまでです。まだまだ続ける予定です。

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2017年5月 5日 (金)

訃報!!元横綱 佐田の山さん

大鵬・柏戸時代の大関から横綱になった佐田の山さんが去る4月27日に肺炎で亡くなられたそうです。享年79歳でした。

日刊スポーツ → 第50代横綱佐田に山死去,79歳

l「佐田の山」の画像検索結果

当時,佐田の山の他に,小兵の栃の海や強かった印象がある豊山という大関がいたと記憶してますが。。豊山だけ名大関と言われてましたが,横綱にはなれませんでしたね。

 強すぎた大鵬の影に隠れてましたが,佐田の山も強かったです。

ご冥福をお祈りします。合掌!!

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