摂動論のアノマリー(7）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性カレントのWardの恒等式(46); 

(ｐ－ｐ')^μΛ⁵_μ(ｐ,ｐ') 

＝2ｍ₀Λ⁵(ｐ,ｐ')－Σ(ｐ)γ₅－γ₅Σ(ｐ') 

が ,三角グラフにおいても成立するなら, 

(62):－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρとなる 

べきなのに,
 

実際に,計算を実行すると, 

(63):－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ＋8π²ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρ 

となり,三角グラフの場合には,軸性カレントのWardの恒等式 

は成立せず,破れ(アノマリー)が存在することがわかりました。
 

しかし,(63)式を示す訳注を追加するには長くなり過ぎるため, 

ここで終わり次回に回します。
 

と書いて終わりました。
 

そこで,今回は(63)を証明する訳注(7-1)から始めます。
 

※(注7-1):Ｒ_σρμ(ｋ₁,ｋ₂) 

＝16π² [{－(ｋ₁ｋ₂)Ｉ₁₁＋(ｋ₂)²(Ｉ₂₀－Ｉ₁₀)}ｋ₁^τε_τσρμ 

－{(ｋ₁ｋ₂)Ｉ₁₁－(ｋ₁)²(Ｉ₀₂－Ｉ₀₁)}ｋ₂^τε_τσρμ 

－Ｉ₁₁ｋ_1ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋(Ｉ₂₀－Ｉ₁₀)ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ 

－(Ｉ₀₂－Ｉ₀₁)}ｋ_1σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ＋Ｉ₁₁ｋ_2σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ]
 

故に,(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ(ｋ₁,ｋ₂) 

＝－16π² [{－(ｋ₁ｋ₂)Ｉ₁₁＋(ｋ₂)²(Ｉ₂₀－Ｉ₁₀)}ｋ₁^τｋ₂^με_τσρμ 

－{(ｋ₁ｋ₂)Ｉ₁₁－(ｋ₁)²(Ｉ₀₂－Ｉ₀₁)}ｋ₁^μｋ₂^τε_τσρμ 

－{2(ｋ₁ｋ₂)Ｉ₁₁－(ｋ₂)²(Ｉ₂₀－Ｉ₁₀)－(ｋ₁)₂(Ｉ₀₂－Ｉ₀₁)} 

×ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρです。
 

よって,－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ(ｋ₁,ｋ₂)＝16π² 

{2(ｋ₁ｋ₂)Ｉ₁₁－(ｋ₂)²(Ｉ₂₀－Ｉ₁₀)－(ｋ₁)²(Ｉ₀₂－Ｉ₀₁)}

×ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρです。
 

ところが,

2(ｋ₁ｋ₂)Ｉ₁₁－(ｋ₂)²(Ｉ₂₀－Ｉ₁₀)－(ｋ₁)²(Ｉ₀₂－Ｉ₀₁)} 

＝∫₀¹ｄｘ∫₀^1-xｄｙ

{ｙ(1－ｙ)(ｋ₁)²＋ｘ(1－ｘ)(ｋ₂)²

＋2ｘｙｋ₁ｋ₂)} /{ｙ(1－ｙ)(ｋ₁)²＋ｘ(1－ｘ)( ｋ₂)²

＋2ｘｙ(ｋ₁ｋ₂)－ｍ₀²}]
 

＝∫₀¹ｄｘ∫₀^1-xｄｙ 

[1＋ｍ₀²/{ｙ(1－ｙ)(ｋ₁)²＋ｘ(1－ｘ)( ｋ₂)²

＋2ｘｙ(ｋ₁ｋ₂)－ｍ₀²}]＝1/2＋ｍ₀²Ｉ₀₀(ｋ₁ｋ₂)　

です。
 

したがって,－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ(ｋ₁,ｋ₂) 

＝8π²ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρ＋16π²ｍ₀²Ｉ₀₀(ｋ₁ｋ₂)ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρ 

が得られました。　　(注7-1終わり※)
 

§2.2 Impossibilitｙ of Eliminating the Anomaly by subtraction 

(引き算によってアノマリーを除去することが不可能なこと)
 

今度は,引き算(切断など)や,別の方法でＲ_σρμを再定義して 

(63)式のWard恒等式のアノマリーを削除したり、回避したり 

することが可能か否か？という問いが直ちに生じます。
 

(※このアノマリーの存在は,本質的なのか？,それとも 

見掛け上に過ぎないのか？という疑問が生じます。※)
 

もちろん,この方法を実行した際,新たなタイプのアノマラス 

なモノ(異常項)を持ちこんでは意味がないことは,明らかです。
 

Ｒ_σρμのあるべき性質を保持するためには,引き算項は, 

次の性質を持つ必要があります。,
 

(ⅰ)成分が３つの共変添字を持つ,軸性テンソルでなければ

ならない。
 

(ⅱ)光子変数:ｋ_1σ,ｋ_2ρの交換に対して対称でなければ

ならない。
 

(ⅲ)運動量変数:ｋ₁,ｋ₂の多項式でなければならない。
 

この要請は,一般化されたユニタリ性(質量殻の外でもＳ演算子 

はユニタリであること)から導かれます。

　それによると,Ｒ_σρμの外線変数に関する不連続性は

「Cutkoskyの法則」によって,中間状態に対する

Feynman振幅と関係付けられます。

　(※　中西襄 著(培風館)「ｎ場の量子論」ｐ236～237 

　によると,

　「Cutkoskyの法則」とは,

「特異点のまわりの不連続性は,運動量示のFeynman 

積分において,縮約図(reduced-graph)の内線に対応する 

Feynman伝播関数を,それぞれそのまま,分母のデルタ関数 

の(2πi)倍に置き変えた得られる積分によって与えられる。」
 

という規則です。

　これは,外線変数が全て実数であるときは正しいことが, 

homology論を用いて示されていますが.複素数の場合は 

運動量積分をどう解釈するか？がまだ不明確です。※)
 

結局,(54)のfeynman積分は不連続性を除くと,収束するので 

Ｒ_σρμの不連続性吸収部分虚数部分はアノマリーを持たない 

ことがわかります。
 

※(注7-2):(54)のＲ_σρμを示すFeynman積分式で,これを

複素数:ｑ²の複素関数と考え,複素ｑ²平面の実軸より上の

領域が物理的領域であるとした式を,

(－iｅ₀²)(2π)^-4Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε) 

＝2∫ｄ⁴ｒ(2π)^-4(－1)Ｔr[{i/(ｒ＋ｋ₁－ｍ₀)}(－iｅ₀γ_σ) 

{i/(ｒ－ｍ₀)}(－iｅ₀γ_ρ){i/(ｒ－ｋ₂－ｍ₀)}(γ_μγ₅)＋iε]

と書きます。

よって,Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε) ＝2∫ｄ⁴ｒ

(Ｔr{(ｒ＋ｋ₁＋ｍ₀)γ_σ(ｒ＋ｍ₀)γ_ρ(ｒ－ｋ₂＋ｍ₀)γ_μγ₅} 

/[{(ｒ＋ｋ₁)²－ｍ₀²}(ｒ²－ｍ₀²){(ｒ－ｋ₂)²－ｍ₀²}＋iε])　

です。
 

この複素共役を取ると,

Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)＝Ｒ_σρμ^＊(ｑ²＋iε)＝2∫ｄ⁴ｒ

(Ｔr{(ｒ＋ｋ₁＋ｍ₀) γ_σ(ｒ＋ｍ₀)γ_ρ(ｒ－ｋ₂＋ｍ₀)γ_μγ₅}^＊ 

/[{(ｒ＋ｋ₁)²－ｍ₀²}(ｒ²－ｍ₀²){(ｒ－ｋ₂)²－ｍ₀²}－iε])　

です。

　(＋iε)の付加は,外向き散乱状態(out-stateｓ)の境界条件 

を持つ伝播関数である遅延(Retarded)Green関数に対応し,
 

(－iε)は,内向き散乱状態(in-states)の境界条件を持つ 

伝播関数である先進(Advancsd)Green関数に対応します。

ところが, 前に見たように,,

Ｔr{(ｒ＋ｋ₁＋ｍ₀)γ_σ(ｒ＋ｍ₀)}γ_ρ(ｒ－ｋ₂＋ｍ₀)(γ_μγ₅)} 

は展開すると,4iε_ασρμを係数とするような純虚数なので 

Ｔr{(ｒ＋ｋ₁＋ｍ₀) γ_σ(ｒ＋ｍ₀)γ_ρ(ｒ－ｋ₂＋ｍ₀)(γ_μγ₅)}^＊ 

＝－Ｔr{(ｒ＋ｋ₁＋ｍ₀) γ_σ(ｒ＋ｍ₀)γ_ρ(ｒ－ｋ₂＋ｍ₀)(γ_μγ₅)} 

です。
 

故に,Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)＝Ｒ_σρμ^＊(ｑ²＋iε) 

＝－2∫ｄ⁴ｒ

(Ｔr{(ｒ＋ｋ₁＋ｍ₀) γ_σ(ｒ＋ｍ₀)γ_ρ(ｒ－ｋ₂＋ｍ₀)(γ_μγ₅)} 

/[{(ｒ＋ｋ₁)²－ｍ₀²}(ｒ²－ｍ₀²){(ｒ－ｋ₂)²－ｍ₀²}－iε] 

です。
 

したがって, 

＜γ(－.ｋ₁,ε₁),γ(－.ｋ₂,ε₂)out|ｊ⁵_μ(0)|0 ＞ 

＝(2π)^-3(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2(－iｅ₀²)(2π)^-4ε₁^ρε₂^σ

Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)　と書くと,
 

(2π)^-3(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2(iｅ₀²)(2π)^-4ε₁^ρε₂^σ

Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)

＝－＜γ(－.ｋ₁,ε₁),γ(－.ｋ₂,ε₂)in|ｊ⁵_μ(0)|0 ＞ 

となります。
 

これらを,辺々加えると,

(2π)^-3(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2(－iｅ₀²)(2π)^-4ε^ρε^σ 

×{Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)－Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)} 

＝<γ(－.ｋ₁,ε₁),γ(－.ｋ₂,ε₂)out|ｊ⁵_μ(0)|0 > 

－<γ(－.ｋ₁,ε₁),γ(－.ｋ₂,ε₂)in|ｊ⁵_μ(0)|0 >
 

一方, Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)＝4∫₀¹ｄｘ∫₀^1-xｄｙ∫ｄ⁴ｌ

[Ｔr(・・・)/{ｌ²－ｘ(1－ｘ)(ｋ₁)²}＋ｙ(1－ｙ)(ｋ₂)²

＋2ｙｘ(ｋ₁ｋ₂)－ｍ₀²＋iε}³]
 

Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)

＝－ 4∫₀¹ｄｘ∫₀^1-xｄｙ∫ｄ⁴ｌ[Ｔr(・・・) 

/{ｌ²－ｘ(1－ｘ)(ｋ₁)²}＋ｙ(1－ｙ)(ｋ₂)²

＋2ｙｘ(ｋ₁ｋ₂)－ｍ₀²－iε}³]
 

Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)－Ｒ_σρμ(ｑ²－iε) 

＝4Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)＝2iＩm[Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)] 

＝4∫₀¹ｄｘ∫₀^1-xｄｙ∫ｄ⁴ｌＴr(・・・) 

×[{ｌ²－ｘ(1－ｘ)(ｋ₁)²}＋ｙ(1－ｙ)(ｋ₂)²

＋2ｙｘ(ｋ₁ｋ₂)－ｍ₀²＋iε}^-3 

＋{ｌ²－ｘ(1－ｘ)(ｋ₁)²}＋ｙ(1－ｙ)(ｋ₂)²

＋2ｙｘ(ｋ₁ｋ₂)－ｍ₀²－iε}^{^-3}]
 

不連続性は,対数発散する項(多価関数性)によるため, 

そうした項の寄与を計算すると. 

∫ｄ⁴ｌ[ｌ²/{ｌ²＋ｆ(x,ｙ,ｋ₁,ｋ₂)＋iε}³ 

＋ｌ²/{ｌ²＋ｆ(x,ｙ,ｋ₁,ｋ₂)－iε}³] 

＝∫ｄ⁴ｌ[1/{ｌ²＋ｆ(x,ｙ,ｋ₁,ｋ₂)＋iε}² 

＋1/{ｌ²＋ｆ(x,ｙ,ｋ₁,ｋ₂)－iε}²]＋(収束する項) 

となります。
 

そして, ∫ｄ⁴ｌ[1/{ｌ²＋ｆ(x,ｙ,ｋ₁,ｋ₂)＋iε}² 

 ＋1/{ｌ²＋ｆ(x,ｙ,ｋ₁,ｋ₂)－iε}²] 

＝－∫_{ｆ(x,ｙ,ｋ1,ｋ2)}^∞ｄｃ(∂/∂ｃ) 

∫ｄ⁴ｌ[{1/(ｌ²＋ｃ＋iε)²＋1/(ｌ²＋ｃ―iε)²}] 

＝2∫_{ｆ(x,ｙ,ｋ1,ｋ2)}^∞ｄｃ 

∫ｄ⁴ｌ[{1/(ｌ²＋ｃ＋iε)³＋1/(ｌ²＋ｃ―iε)³}] 

＝－2∫_{ｆ(x,ｙ,ｋ1,ｋ2)}^∞ｄｃ

[π²/{2i(ｃ＋iε)}－π²/{2i(ｃ－iε)}] 

＝2επ²∫_{ｆ(x,ｙ,ｋ1,ｋ2)}^∞ｄｃ{(1/(ｃ²＋ε²))(ε→ ＋0 )
 

これは明らかに収束します。つまり.Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)の

複素ｑ²平面の実軸上の不連続性は有限値に収束します。
 

有限値に収束する積分においては,これに,－(ｋ₁＋ｋ₂)^μ

を掛けて∫ｄ⁴ｒ積分を実行する際,ｒの原点を有限値だけ,

ずらしても,結果は不変なはずです。
 

したがって, －(ｋ₁＋ｋ₂)^μＩm[Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)] 

＝2ｍ₀Ｉm[Ｒ_ρσ(ｑ²＋iε)]　が成立します。

すなわち,この有限な不連続性はアノマリーを持ちません。
 

このことから,適切な引き算項をＳ_σρμ(ｑ²＋iε)と置くと, 

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μ[Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)－Ｓ_σρμ(ｑ²＋iε)] 

＝2ｍ₀Ｒ_ρσ(ｑ²＋iε)  ですから,  

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＩm[Ｓ_σρμ(ｑ²＋iε)]＝0

が得られます。
 

また,Cutkoskiルールが信頼できるとすれば, 

次図のグラフの内線でreducedグラフを作ると考えて,

1/{(ｒ＋ｋ₁)²－ｍ₀²}

→ 2πiθ(－ｒ⁰－ｋ₁⁰)δ((ｒ＋ｋ₁)²－ｍ₀²)　
 

1/{(ｒ－ｋ₂)²－ｍ₀²}

 → 2πiθ(ｒ⁰－ｋ₂⁰)δ((ｒ－ｋ₂)²－ｍ₀²)　

です。
 

この置き換えで不連続性は, 

(2π)^-3(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2(－iｅ₀²)(2π)^-4ε₁^ρε₂^σ 

×[Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)－Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)] 

＝(－iｅ₀²)(2π)^-4×2∫ｄ⁴ｒ

[θ(ｒ⁰＋ｋ₁⁰)δ((ｒ＋ｋ₁)²－ｍ₀²)θ(－ｒ⁰＋ｋ₂⁰)

δ((ｒ－ｋ₂)²－ｍ₀²)(2πi)²{1/(ｒ²－ｍ₀²)} 

×Ｔr{(ｒ＋ｋ₁＋ｍ₀) γ_σ(ｒ＋ｍ₀)γ_ρ(ｒ－ｋ₂―ｍ₀)(γ_μγ₅)}]
 

＝(－iｅ₀²)(2π)^-4(－１)(2π)²×2∫ｄ⁴ｐ₁ｄ⁴ｐ₂

θ(ｐ₁⁰)δ(ｐ₁²－ｍ₀²)θ(ｐ₂⁰)δ(ｐ₂²－ｍ₀²) 

δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｋ₁＋ｋ₁){(ｐ₁＋ｋ₁)²－ｍ₀²)}^-1 

×Ｔr{(ｐ₁＋ｍ₀) γ_σ(ｐ₁－ｋ₁＋ｍ₀)γ_ρ(ｐ₂－ｍ₀)(γ_μγ₅)}]
 

＝(－iｅ₀²)(－2)∫ｄ³ｐ₁ｄ³ｐ₂{ｍ₀²/(ｐ₁⁰ｐ₂⁰)}^1/2(2π)^-6 

(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｋ₁＋ｋ₁)(2ｍ₀)^-2 

Ｔr{(ｐ₁＋ｍ₀)γ_σ(ｐ₁－ｋ₁＋ｍ₀)^-1γ_ρ(ｐ₂－ｍ₀)(γ_μγ₅)}]
 

です。
 

 一方, Ｒ_σρμが,それ自身のみでユニタリ性を満たすとすれば, 

ε₁^σε₂^ρ(－iｅ₀²)(2π)^-4

[Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)－Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)] 

＝<γ(－.ｋ₁,ε₁), γ(－.ｋ₂,ε₂)out|ｊ⁵_μ(0)|0 > 

－<γ(－.ｋ₁,ε₁), γ(－.ｋ₂,ε₂)in|ｊ⁵_μ(0)|0 >
 

＝Σ_{±ｓ1,±ｓ2}∫ｄ⁴ｐ₁ｄ⁴ｐ₂ 

{<γ(－.ｋ₁,ε₁),γ(－.ｋ₂,ε₂)out|ｅ^－(ｐ₁,ｓ₁)ｅ^＋(ｐ₂,ｓ₂)out> 

－<γ(－.ｋ₁,ε₁),γ(－.ｋ₂,ε₂)in|ｅ^－(ｐ₁,ｓ₁)ｅ^＋(ｐ₂,ｓ₂)out>}

×<ｅ^－(ｐ₁,ｓ₁)ｅ^＋(ｐ₂,ｓ₂)out|ｊ⁵_μ(0)|0 >
 

＝－iΣ_{±ｓ1,±ｓ2}∫ｄ³ｐ₁ｄ³ｐ₂(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｋ₁＋ｋ₁)

<ｅ^－(ｐ₁,ｓ₁)ｅ^＋(ｐ₂,ｓ₂)out|Ｔ^|γ(－.ｋ₁,ε₁),

γ(－.ｋ₂,ε₂)out>^＊

×<ｅ^－(ｐ₁,ｓ₁)ｅ^＋(ｐ₂,ｓ₂)out|ｊ⁵_μ(0)|0 >
 

故に, 

(－iｅ₀²)(2π)^-4[Ｒ_σρμ(ｑ²＋iε)－Ｒ_σρμ(ｑ²－iε)] 

＝(－iｅ₀²)(－2)∫ｄ³ｐ₁ｄ³ｐ₂{ｍ₀²/(ｐ₁⁰ｐ₂⁰)}^1/2(2π)^-6 

(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｋ₁＋ｋ₁)Σ_{±ｓ1,±ｓ2} 

ｖ~(ｐ₂,ｓ₂)iγ_σ(－i)(ｐ₁＋ｋ₁－ｍ₀)γ_ρｕ(ｐ₁,ｓ₁) 

ｕ~(ｐ₁,ｓ₁)γ_μγ₅ ｖ(ｐ₂,ｓ₂) 

＝(－iｅ₀²)(－2)∫ｄ³ｐ₁ｄ³ｐ₂{ｍ₀²/(ｐ₁⁰ｐ₂⁰)}^1/2(2π)^-6 

(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｋ₁＋ｋ₁)(2ｍ₀)^-2 

×Ｔr{(ｐ₂－ｍ₀) γ_σ(ｐ₁＋ｋ₁－ｍ₀)^-1γ_ρ(ｐ₁＋ｍ₀)(γ_μγ₅)}]
 

 ＝(－iｅ₀²)(－2)∫ｄ³ｐ₁ｄ³ｐ₂{ｍ₀²/(ｐ₁⁰ｐ₂⁰)}^1/2(2π)^-6 

(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｋ₁＋ｋ₁)(2ｍ₀)^-2 

×Ｔr{(ｐ₁＋ｍ₀) γ_σ(ｐ₁＋ｋ₁－ｍ₀)^-1γ_ρ(ｐ₂―ｍ₀)(γ_μγ₅)}]
 

です。
 

こうして２つの方法で求めたＲ_σρμの不連続性が完全に 

一致しました。
 

そこで,Ｒ_σρμはＳ_σρμを差し引くことなく一般化された

ユニタリ性を満たします。これと,

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＩm[Ｓ_σρμ(ｑ²＋iε)]＝0 から,

Ｉm[Ｓ_σρμ(ｑ²＋iε)]＝0

と考えてよいと思われます。
 

以上から, Ｓ_σρμは複素ｑ²平面,および,複素ｋ₁²平面,

複素ｋ₂²平面での整関数(entire function:複素平面上の任意

の点で正則な関数)であることがわかります。
 

したがって,無限遠点での真性特異性を除外すれば,

Ｓ_σρμは多項式となる必要があります。
 

(※ｚの多項式は無限遠点ｚ＝∞にのみ特異点(極)を持つ

整関数:収束半径が∞の無限ベキ展開可能な関数exp(ａｚ)

やsin(ｚ)なども整関数ではありますが。。)　　

(注7-3終わり※) 
 

条件(ⅳ):もし,Ｕ,Ｖ,Ｗは任意として 

ｋ₁＝ξＵ,ｋ₂＝ξＵ＋ξＶ＋Ｗと置いて,ξ→∞とするとき, 

引き算項:Ｓ_σρμは悪くても(lnξ)のベキ乗のξ倍で発散

しなければなりません。
 

この要求はWeinbergの定理から導かれます。
 

すなわち,Feynman-diagramの外線運動量が上述のような形で 

∞に近づくとき,最大ベキは,ξ^ＤmaxでありＤ_maxは,そのdiagram 

とその全ての部分diagramsの表面的発散が最大の次数です。
 

そして,この三角グラフでは,Ｄ_max＝1です。
 

Ｒ_σρμは,既にWeinbergの定理と無矛盾な漸近的挙動を持って 

いるのでＳ_σρμもまた,そうでなければなりません。
 

※(注7-4):Ｒ_σρμ(ｋ₁,ｋ₂) 

＝Ａ₁ｋ₁^τε_τσρμ＋Ａ₂ｋ₂^τε_τσρμ 

＋Ａ₃ｋ_1ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋Ａ₄ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ 

＋Ａ₄ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋Ａ₅ｋ_1σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ 

＋Ａ₆ｋ_2σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμであり,
 

Ａ₁(ｋ₁,ｋ₂)＝－Ａ₂(ｋ₂,ｋ₁),Ａ₃(ｋ₁,ｋ₂)＝－Ａ₆(ｋ₂,ｋ₁), 

Ａ₄(ｋ₁,ｋ₂)＝－Ａ₅(ｋ₂,ｋ₁), 

Ａ₁＝(ｋ₁ｋ₂)Ａ₃＋(ｋ₂)²Ａ₄,Ａ₂＝(ｋ₁)²Ａ₅＋(ｋ₁ｋ₂)Ａ₆
 

そこでｋ₁＝ξＵ,ｋ₂＝ξＵ＋ξＶ＋Ｗと置いて, 

ξ→∞とするとき, 

Ｏ(Ｒ_σρμ)＝Ｏ(ξ³Ａ₃) or Ｏ(ξ³Ａ₄)であり. 

Ａ₃＝－16π²Ｉ₁₁(ｋ₁,ｋ₂) 

＝－16π²∫₀¹ｄｘ∫₀^1-xｄｙ 

[ｘｙ/{ｙ(1－ｙ)(ｋ₁)²＋ｘ(1－ｘ)( ｋ₂)²

＋2ｘｙ(ｋ₁ｋ₂)－ｍ₀²}³なので.

Ｏ(Ａ₃)＝Ｏ(ξ^-2lnξ)です。
 

したがって,Ｏ(Ｒ_σρμ)＝Ｏ(ξlnξ)　(注7-4終わり※)
 

将来参照するため,Ｖ＝0でｋ₁＋ｋ₂は有限, 

ξ→∞のときの, Ｒ_σρμを評価すると,
 

Ｒ_σρμ(ｋ₁＝ξＵ,ｋ₂＝－ξＵ＋(ｐ－ｐ')) 

→ －8π²ξＵ^τε_τσρμ＋Ｏ(lnξ)．．(64)

となることに着目しておきます。
 

※(注7-5):　何故なら, 

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ＋8π²ｋ₁^ηｋ₂^τε_ητσρ
 

Ｗ＝ｋ₁＋ｋ₂＝(ｐ－ｐ’)で, 

－Ｗ^μＲ_σρμ＝8π²(ξＵ)^η(－ξＵ＋Ｗ)^τε_ητσρ 

＋16π₂ｍ₀²ξＵ)^η(－ξＵ＋Ｗ)^τε_ητσρＩ₀₀(ｋ₁,ｋ₂)
 

－Ｗ^μＲ_σρμ＝8π²Ｕ^ηＷ^τξε_ητσρ＋Ｏ(lnξ)
 

特に,Ｗ^μ＝―ｇ^μ_λと置けば,  

Ｒ_σρλ＝－8π²Ｕ^ηξε_ηλσρ＋Ｏ(lnξ)　
 

すなわち,Ｒ_σρμ＝－8π²Ｕ^ηξε_ημσρ＋Ｏ(lnξ) 

を得ます。　　　(注7-5終わり※)
 

(ⅴ)引き算項は,質量と同じ次元(単位)を持つ

必要があります。 

(※ｋ₁,ｋ₂の次元が質量Ｍなので,[Ｒ_σρμ]＝Ｍ³[Ｉ₁₁] 

＝Ｍ³Ｍ^-2＝Ｍ　です。)
 

(ⅵ)引き算項はベクトルカレントの保存を満足する

必要があります。 

(※ｋ₁^σＲ_ρμ＝ｋ₂^ρＲ_ρμ＝0 → ｋ₁^σＳ_σρμ＝ｋ₂^ρＳ_σρμ＝0 )
 

しかし,実際に,これら6つの条件の全てを満足する引き算項

を見出すのは不可能であることがわかります。

これを見るのは容易です。
 

最初の5つの条件は,(ｋ₁－ｋ₂)^τε_τσρμに比例する項

によってのみ満足されます。

しかしながら,この項は条件(ⅵ)を満足しません。

つまり,Ｒ'_σρμ＝Ｒ_σρμ＋4π²(ｋ₁－ｋ₂)^τε_τσρμ

と置けば,軸性カレントのアノマリー（異常項）のない

次のWardの恒等式を満たすもの:Ｒ'_σρμを定義できます。
 

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ'_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ．．(65) 

しかし,これは,ベクトルカレントの保存を破ります。
 

ｋ₁^σＲ'_σρμ＝－4π²ｋ₁^σｋ₂^τε_τσρμ 

ｋ₂^ρＲ'_σρμ＝π²ｋ₂^ρｋ₁^τε_τσρμ．．(66) 

です。
 

Ｓ_σρμ＝－4π²(ｋ₁－ｋ₂)^τと置けば,カレントの保存

は破るが,アノマリーのないWardの恒等式をなすことに

成功した全ての理由は,,一方の発散アノマリー:

－ｋ₁^μＳ_σρμがもう1つのそれ,－ｋ₂^μＳ_σρμに置き換

わることです。
 

同様に,射影演算子を次のように導入して, 

Ｒ"_σρμ

＝(ｇ_μν－ｑ_μｑ_ν/ｑ²)Ｒ^ν_σρ＋(ｑ_μ/ｑ²)2ｍ₀Ｒ_σρ 

(ｑ＝－(ｋ₁＋ｋ₂) 

Ｒ⁽³⁾_σρμ

＝(ｇ_σξ－ｋ_1σｋ_1ξ/ｋ₁²)(ｇ_ρη－ｋ_2ρｋ_2η/ｋ₂²)Ｒ^ξη_σρ 

(67) と定義すれば 
 

Ｒ_σρ＝－8π²ｍ₀ｋ₁^ξｋ₂^τＩ₀₀ ε_ττσρより 

ｑ^μＲ"_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ,

－(ｋ₁＋ｋ₂) Ｒ⁽³⁾_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ が満たされ, 

ｋ₁^σＲ"_σρμ＝ｋ₂^ρＲ"_σρμ＝0,  

ｋ₁^σＲ⁽³⁾_σρμ＝ｋ₂^ρＲ⁽³⁾_σρμ＝0,も成立する

のですが,(1/ｑ²)や,(1/ｋ₁²)) (1/ｋ₂²)の導入により,

疑似運動学的特異性が導かれ,(ⅲ)多項式性(整関数性)

が破れます。
 

結局,アノマリーは,式(63):－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ 

＝2ｍ₀Ｒ_σρ＋8π²ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρ,それだけから,

存在するのではなく,上述の6つの要請の全てを同時的

に満足する再定義での三角グラフの寄与を見出すこと

が不可能であるという事実から,確かに存在するわけ

です。
 

アノマリーのカメレオン的性質を正しく評価する

ことに失敗すると,いくつかの文献におけるように,

アノマリーは除去できる.という誤った主張に帰着

します。
 

アノマリーは簡単に引き算で除去できるものでなく,

本質的存在であるという結論を得ました。
 

切りがいいので,今日はここで終わります。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ