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2017年6月 8日 (木)

摂動論のアノマリー(7)

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性カレントのWardの恒等式(46); 

(p-p')μΛ5μ(,p') 

20Λ5(,p')-Σ()γ5-γ5Σ(p') 

,三角グラフにおいても成立するなら, 

(62):(1+k2)μσρμ20σρとなる 

べきなのに,
 

実際に,計算を実行すると, 

(63):(1+k2)μσρμ20σρ8π21ξ2τεξτσρ 

となり,三角グラフの場合には,軸性カレントのWardの恒等式 

は成立せず,破れ(アノマリー)が存在することがわかりました。
 

しかし,(63)式を示す訳注を追加するには長くなり過ぎるため, 

ここで終わり次回に回します。
 

と書いて終わりました。
 

そこで,今回は(63)を証明する訳注(7-1)から始めます。
 

(7-1):σρμ(1,2) 

16π2 [{(12)11(2)2(20-I10)}1τετσρμ 

{(12)11(1)2(02-I01)}2τετσρμ 

-I111ρ1ξ2τεξτσμ(20-I10)2ρ1ξ2τεξτσμ 

(02-I01)}1σ1ξ2τεξτρμ+I112σ1ξ2τεξτρμ]
 

故に,(1+k2)μσρμ(1,2) 

=-16π2 [{(12)11(2)2(20-I10)}1τ2μετσρμ 

{(12)11(1)2(02-I01)}1μ2τετσρμ 

{2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)} 

×k1ξ2τεξτσρ  です。
 

よって,(1+k2)μσρμ(1,2)16π2 

{2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)}

×1ξ2τεξτσρ  です。
 

ところが,

2(12)11(2)2(20-I10)(1)2(02-I01)} 

=∫01dx∫01-xdy

{(1-y)(1)2+x(1-x)(2)2

2xyk12)} /{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}]
 

=∫01dx∫01-xdy 

[1+m02/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}]1/2+m0200(12) 

です。
 

したがって,(1+k2)μσρμ(1,2) 

8π21ξ2τεξτσρ16π20200(12)1ξ2τεξτσρ 

が得られました。  (7-1終わり※)
 

§2.2 Impossibility of Eliminating the Anomaly by subtraction 

(引き算によってアノマリーを除去することが不可能なこと)
 

今度は,引き算(切断など),別の方法でRσρμを再定義して 

(63)式のWard恒等式のアノマリーを削除したり、回避したり 

することが可能か否か?という問いが直ちに生じます。
 

(※このアノマリーの存在は,本質的なのか?,それとも 

見掛け上に過ぎないのか?という疑問が生じます。※)
 

もちろん,この方法を実行した際,新たなタイプのアノマラス 

なモノ(異常項)を持ちこんでは意味がないことは,明らかです。
 

σρμのあるべき性質を保持するためには,引き算項は, 

次の性質を持つ必要があります。,
 

()成分が3つの共変添字を持つ,軸性テンソルでなければ

ならない。
 

()光子変数:1σ,2ρの交換に対して対称でなければ

ならない。
 

()運動量変数:1,2の多項式でなければならない。
 

この要請は,一般化されたユニタリ性(質量殻の外でもS演算子 

はユニタリであること)から導かれます。

 それによると,
σρμの外線変数に関する不連続性は

「Cutkoskyの法則」によって,中間状態に対する

Feynman振幅と関係付けられます。

 (※ 中西襄 著(培風館)「n場の量子論」p236~237
 

 によると,

 
Cutkoskyの法則」とは,

特異点のまわりの不連続性は,運動量示のFeynman 

積分において,縮約図(reduced-graph)の内線に対応する 

Feynman伝播関数を,それぞれそのまま,分母のデルタ関数 

の(2πi)倍に置き変えた得られる積分によって与えられる。」
 

という規則です。

 これは,外線変数が
全て実数であるときは正しいことが,
 

homology論を用いて示されていますが.複素数の場合は 

運動量積分をどう解釈するか?がまだ不明確です。※)
 

結局,(54)feynman積分は不連続性を除くと,収束するので 

σρμの不連続性吸収部分虚数部分はアノマリーを持たない 

ことがわかります。
 

(7-2):(54)のRσρμを示すFeynman積分式で,これを

複素数:q2複素関数と考え,複素q2平面の実軸より上の

領域が物理的領域であるとした式を,

(i02)(2π)-4σρμ(2iε) 

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m0)}(i0γσ) 

{i/(-m0)}(i0γρ){i/(2-m0)}(γμγ5)iε]

と書きます。

よって,σρμ(2iε) 2∫d4

(r{(1+m0)γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε]) 

です。
 

この複素共役を取ると,

σρμ(2iε)=Rσρμ(2iε)2∫d4

(r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)γμγ5} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε]) 

です。

 (+iε)の付加は,外向き散乱状態(out-states)の境界条件 

を持つ伝播関数である遅延(Retarded)Green関数に対応し,
 

(-iε)は,内向き散乱状態(in-states)の境界条件を持つ 

伝播関数である先進(Advancsd)Green関数に対応します。

ところが, 前に見たように,,

r{(1+m0)γσ(+m0)}γρ(2+m0)(γμγ5)} 

は展開すると,4iεασρμを係数とするような純虚数なので 

r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

=-Tr{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

です。
 

故に,σρμ(2iε)=Rσρμ(2iε) 

=-2∫d4

(r{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2+m0)(γμγ5)} 

/[{(r+k1)2-m02}(2-m02){(r-k2)2-m02}iε] 

です。
 

したがって, 

<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0  

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ

σρμ(2iε) と書くと,
 

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ

σρμ(2iε)

=-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0  

となります。
 

これらを,辺々加えると,

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ερεσ 

×{σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)} 

=<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0 > 

-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0 >
 

一方, σρμ(2iε)401dx∫01-xdy∫d4

[r(・・・)/{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}3]
 

σρμ(2iε)

=- 401dx∫01-xdy∫d4[r(・・・) 

/{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}3]
 

σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε) 

4σρμ(2iε)2im[σρμ(2iε)] 

401dx∫01-xdy∫d4lTr(・・・) 

×[{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}-3 

{2-x(1-x)(1)2}+y(1-y)(2)2

2yx(12)-m02iε}^-3]
 

不連続性は,対数発散する項(多価関数性)によるため, 

そうした項の寄与を計算すると. 

∫d4[2/{2+f(x,,1,2)iε}3 

+l2/{2+f(x,,1,2)iε}3] 

=∫d4[1/{2+f(x,,1,2)iε}2 

1/{2+f(x,,1,2)iε}2](収束する項) 


となります。

 

そして, ∫d4[1/{2+f(x,,1,2)iε}2 

 1/{2+f(x,,1,2)iε}2] 

=-∫(x,,1,2)dc(/∂c) 

∫d4[{1/(2+c+iε)21/(2+c―iε)2}] 

2(x,,1,2)dc 

∫d4[{1/(2+c+iε)31/(2+c―iε)3}] 

=-2(x,,1,2)dc

[π2/{2i(c+iε)}-π2/{2i(c-iε)}] 

2επ2(x,,1,2)dc{(1/(2+ε2))(ε→ +0 )
 

これは明らかに収束します。つまり.σρμ(2iε)

複素q2平面の実軸上の不連続性は有限値に収束します。
 

有限値に収束する積分においては,これに,(1+k2)μ

を掛けて∫d4r積分を実行する際,rの原点を有限値だけ,

ずらしても,結果は不変なはずです。
 

したがって, (1+k2)μm[σρμ(2iε)] 

20m[ρσ(2iε)] が成立します。

 

すなわち,この有限な不連続性はアノマリーを持ちません。
 

このことから,適切な引き算項をSσρμ(2iε)と置くと, 

(1+k2)μ[σρμ(2iε)-Sσρμ(2iε)] 

20ρσ(2iε)  ですから,  

(1+k2)μm[σρμ(2iε)]0

が得られます。
 

また,Cutkoskiルールが信頼できるとすれば, 

次図のグラフの内線でreducedグラフを作ると考えて,

1/{(r+k1)2-m02}

2πiθ(-r0-k10)δ((r+k1)2-m02) 
 

1/{(r-k2)2-m02}

  2πiθ(0-k20)δ((r-k2)2-m02) 

です。
 

この置き換えで不連続性は, 

(2π)-3(41020)-1/2(i02)(2π)-4ε1ρε2σ 

×[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

(i02)(2π)-4×2∫d4

[θ(0+k10)δ((r+k1)2-m02)θ(-r0+k20)

δ((r-k2)2-m02)(2πi)2{1/(2-m02)} 

×Tr{(1+m0) γσ(+m0)γρ(2―m0)(γμγ5)}]
 

(i02)(2π)-4(-1)(2π)2×2∫d4142

θ(10)δ(12-m02)θ(20)δ(22-m02) 

δ4(1+p2+k1+k1){(1+k1)2-m02)}-1 

×Tr{(1+m0) γσ(11+m0)γρ(2-m0)(γμγ5)}]
 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

r{(1+m0)γσ(11+m0)-1γρ(2-m0)(γμγ5)}]
 

です。
 

 一方, σρμ,それ自身のみでユニタリ性を満たすとすれば, 

ε1σε2ρ(i02)(2π)-4

[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

=<γ(.1,ε1), γ(.2,ε2)out|5μ(0)|0 > 

-<γ(.1,ε1), γ(.2,ε2)in|5μ(0)|0 >
 

=Σ±s1,±s2∫d4142 

{<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)out|(1,1)(2,2)out> 

-<γ(.1,ε1),γ(.2,ε2)in|(1,1)(2,2)out>}

×<e(1,1)(2,2)out|5μ(0)|0 >
 

=-iΣ±s1,±s2∫d3132(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)

<e(1,1)(2,2)out|^|γ(.1,ε1),

γ(.2,ε2)out>

×<e(1,1)(2,2)out|5μ(0)|0 >
 

故に, 

(i02)(2π)-4[σρμ(2iε)-Rσρμ(2iε)] 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)Σ±s1,±s2 

~(2,2)iγσ(i)(11-m0)γρ(1,1) 

~(1,1)γμγ5 (2,2) 

(i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

×Tr{(2-m0) γσ(11-m0)-1γρ(1+m0)(γμγ5)}]
 

 (i02)(2)∫d3132{02/(1020)}1/2(2π)-6 

(2π)4δ4(1+p2+k1+k1)(20)-2 

×Tr{(1+m0) γσ(11-m0)-1γρ(2―m0)(γμγ5)}]
 

です。
 

こうして2つの方法で求めたRσρμの不連続性が完全に 

一致しました。
 

そこで,σρμはSσρμを差し引くことなく一般化された

ユニタリ性を満たします。これと,

(1+k2)μm[σρμ(2iε)]0 から,

m[σρμ(2iε)]0

と考えてよいと思われます。
 

以上から, σρμは複素q2平面,および,複素k12平面,

複素k22平面での整関数(entire function:複素平面上の任意

の点で正則な関数)であることがわかります。
 

したがって,無限遠点での真性特異性を除外すれば,

σρμ多項式となる必要があります。
 

(※zの多項式は無限遠点z=∞にのみ特異点()を持つ

整関数:収束半径が∞の無限ベキ展開可能な関数exp(az)

sin()なども整関数ではありますが。。)  


(7-3終わり※)
 
 

条件():もし,,,Wは任意として 

1=ξU,2=ξU+ξV+Wと置いて,ξ→∞とするとき, 

引き算項:σρμは悪くても(lnξ)のベキ乗のξ倍で発散

しなければなりません。
 

この要求はWeinbergの定理から導かれます。
 

すなわち,Feynman-diagramの外線運動量が上述のような形で 

∞に近づくとき,最大ベキは,ξmaxでありDmax,そのdiagram 

とその全ての部分diagramsの表面的発散が最大の次数です。
 

そして,この三角グラフでは,max1です。
 

σρμ,既にWeinbergの定理と無矛盾な漸近的挙動を持って 

いるのでSσρμもまた,そうでなければなりません。
 

(7-4):σρμ(1,2) 

=A11τετσρμ+A22τετσρμ 

+A31ρ1ξ2τεξτσμ+A42ρ1ξ2τεξτσμ 

+A42ρ1ξ2τεξτσμ+A51σ1ξ2τεξτρμ 

+A62σ1ξ2τεξτρμであり,
 

1(1,2)=-A2(2,1),3(1,2)=-A6(2,1), 

4(1,2)=-A5(2,1), 

1(12)3(2)24,2(1)25(12)6
 

そこでk1=ξU,2=ξU+ξV+Wと置いて, 

ξ→∞とするとき, 

(σρμ)=O(ξ33) or (ξ34)であり. 

3=-16π211(1,2) 

=-16π201dx∫01-xdy 

[xy/{(1-y)(1)2+x(1-x)( 2)2

2xy(12)-m02}3 なので.

(3)=O(ξ-2lnξ)です。
 

したがって,(σρμ)=O(ξlnξ) (7-4終わり※)
 

将来参照するため,V=0で1+k2は有限, 

ξ→∞のときの, σρμを評価すると,
 

σρμ(1=ξU,2=-ξU+(p-p')) 

→ -8π2ξUτετσρμ+O(lnξ)..(64)

となることに着目しておきます。
 

(7-5): 何故なら, 

(1+k2)μσρμ20σρ8π21η2τεητσρ
 

W=k1+k2(p-p’), 

-Wμσρμ8π2(ξU)η(-ξU+W)τεητσρ 

16π202ξU)η(-ξU+W)τεητσρ00(1,2)
 

-Wμσρμ8π2ητξεητσρ+O(lnξ)
 

特に,μ=―gμλと置けば,  

σρλ=-8π2ηξεηλσρ+O(lnξ) 
 

すなわち,σρμ=-8π2ηξεημσρ+O(lnξ) 

を得ます。   (7-5終わり※)
 

()引き算項は,質量と同じ次元(単位)を持つ

必要があります。 

(※k1,2の次元が質量Mなので,[σρμ]=M3[11] 

=M3-2=M です。)
 

()引き算項はベクトルカレントの保存を満足する

必要があります。 

(※k1σρμ=k2ρρμ0 → k1σσρμ=k2ρσρμ0 )
 

しかし,実際に,これら6つの条件の全てを満足する引き算項

を見出すのは不可能であることがわかります。

これを見るのは容易です。
 

最初の5つの条件は,(1-k2)τετσρμに比例する項

によってのみ満足されます。

しかしながら,この項は条件()を満足しません。

つまり,R'σρμ=Rσρμ4π2(1-k2)τετσρμ

と置けば,軸性カレントのアノマリー(異常項)のない

次のWardの恒等式を満たすもの:R'σρμを定義できます。
 

(1+k2)μR'σρμ20σρ..(65) 

しかし,これは,ベクトルカレントの保存を破ります。
 

1σR'σρμ=-4π21σ2τετσρμ 

2ρR'σρμ=π22ρ1τετσρμ  ..(66) 

です。
 

σρμ=-4π2(1-k2)τと置けば,カレントの保存

は破るが,アノマリーのないWardの恒等式をなすことに

成功した全ての理由は,,一方の発散アノマリー:

1μσρμがもう1つのそれ,-k2μσρμに置き換

わることです。
 

同様に,射影演算子を次のように導入して, 

R"σρμ

(μν-qμν/2)νσρ(μ/2)20σρ 

(q=-(1+k2) 

(3)σρμ

(σξ-k1σ1ξ/12)(ρη-k2ρ2η/22)ξησρ 

(67) と定義すれば 
 

σρ=-8π201ξ2τ00 εττσρ より 

μR"σρμ20σρ,

(1+k2) (3)σρμ20σρ が満たされ, 

1σR"σρμ=k2ρR"σρμ0,  

1σ(3)σρμ=k2ρ(3)σρμ0,も成立する

のですが,(1/2),(1/12)) (1/22)の導入により,

疑似運動学的特異性が導かれ,()多項式性(整関数性)

が破れます。
 

結局,アノマリーは,(63):(1+k2)μσρμ 

20σρ8π21ξ2τεξτσρ,それだけから,

存在するのではなく,上述の6つの要請の全てを同時的

に満足する再定義での三角グラフの寄与を見出すこと

が不可能であるという事実から,確かに存在するわけ

です。
 

アノマリーのカメレオン的性質を正しく評価する

ことに失敗すると,いくつかの文献におけるように,

アノマリーは除去できる.という誤った主張に帰着

します。
 

アノマリーは簡単に引き算で除去できるものでなく,

本質的存在であるという結論を得ました。
 

切りがいいので,今日はここで終わります。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics) Volume

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