摂動論のアノマリー(8）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

前回は,軸性カレントのWardの恒等式が,軸性頂点を１つ含む 

三角グラフの摂動計算では,式(63): 

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ＋8π²ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρ

となり, 右辺の最後の項が,純粋に場理論から求められる恒等式

への余分な異常項＝アノマリーとして存在することがわかり,
 

これを引き算などの単純な操作で除去する試みは不可能であり, 

むしろ.これを本質的な存在と認めるべきである,という結論 

に到達した。というところで終わりました。
 

前回の記事は1976年当時のノートと,それに説明不足がある

のを,後の1995年に補足したノートを含めたものから原稿を

書きました。，
 

そして,日付によると,1995年の1月12日夜から13日未明

までの深夜に,ここまでの内容の理解が完了したようです。
 

そして,今回は,また主に1975年のノ－トからの引用です。

本講義の残りでは,当面の三角グラフに対して,常に表現:

Ｒ_σρμを用います。

　この方が,"正しい"軸性ベクトルWard恒等式を満足し,

異常項(アノマリー)を持たないように引き算された

表現:Ｒ'_σρμより,むしろ自然であると考えます。
 

ベクトルカレントのWard恒等式が,軸性ベクトルカレント

のWard恒等式よりも,先験的に神聖であるということは

決してない,と思われるので,この選択には,何らかの正当化

の言を要します。

　とりわけ,次のことに着目します。

　もしも,三角グラフが,ニュートリノ-反ニュートリノ対と

２つの光子の物理的相互作用を記述することを期待する

なら,ベクトルカレントの保存を強要する,ことは本質的な

ことです。

　２つの光子は,Ｊ＝1という状態には存在し得ないので,

νν~対のＪ＝1の状態から２光子の状態へという寄与は

消える必要があります。
 

※ (注8-1):2光子のＣ.Ｍ系(質量中心系(center of fmass)

＝重心系で考察します。

光子は,スピン１の自由度３の３次元空間ベクトルで表現

されますが,特に質量がゼロのベクトル粒子という性格から,

縦波自由度が除去されて,実は自由度が２の粒子です。
 

しかし.取りあえず,横波のみであることを忘れるとこれは,

３次元空間のベクトルで表現されます。
 

そこで２光子系の波動関数は,運動量表示で２階の3次元

テンソル:Ａ_ij(ｋ)(ｉ,ｊ＝1,2,3)で記述されます。２つの

添字は各々１つの光子のベクトル添字に対応します。
 

Ｃ.Ｍ系という意味は,0＝ｋ₁＋ｋ₂です。

故に,ｋ＝ｋ₁－ｋ₂＝2ｋ₁です。

　２光子がいずれも横波であるという条件を用いると, 

ｋⁱＡ_ij＝ｋ^jＡ_ij＝0 です。

　さらに光子は,粒子(状態)交換で対称なBose統計に従います。
 

光子の交換は,添字ｉとｊの交換と同時にｋ → －ｋを

意味 しますから,

Bose統計から,Ａ_ji(－ｋ)＝Ａ_ij(ｋ)　が要求されます。
 

つまり,座標系の反転は２階テンソルの向きを変えず,(極性) 

ベクトル.ｋの向きを変えます。

　一方,Bose統計は空間反転に対して全体としてのパリティが

＋1であることを要求するわけです。
 

３次元ベクトルのテンソル積として得られる２階テンソル:

Ａ_ijは,３×３＝1＋３＋５と,表現空間に分解され,それぞれ

スピン:Ｓ＝0,1,2 に対応します。

  １次元(Ｓ＝0)と５次元(Ｓ＝2)は対称テンソル,３次元

(Ｓ＝1) は反対称テンソルです。

そこで,これが意味するスピン波動関数部分のパリティは,

Ｓ＝0 とＳ＝2 の対称 テンソルなら,＋１でS=１の反対称

テンソルなら,－１です。
 

一方,軌道部分を考察すると,軌道角運動量をＬとすると

トータルの角運動量は,Ｊ＝Ｌ＋Ｓで与えられます。,

総角運動量が１の状態:つまり,Ｊ＝1となるためには,

(Ｌ,Ｓ)＝(1,0),(0,1),(1,1)(1,2)　の組合わせしか

ありません。

　よく知られているように,軌道部分のパリティは,

(－１)^Ｌで与えられますすから,

　スピンと軌道の積で全体としてのパリティが＋1

であるべき,というBose統計性の必要条件は,

(Ｌ,Ｓ)＝(1,0),(0,1),(1,2)のペアでは満足

され得ません。
 

残るのは,(Ｌ,Ｓ)＝(1.1)だけですが,
　ここで光子は質量のあるベクトル粒子のようなＳＯ(3)群

の自由度３の粒子ではなく,縦波の無い自由度２のＥ(2)群

に属することを考慮します。

　２光子系は,３×３＝1＋３＋５なる規約表現空間への

次元展開ではなく２×２＝1＋３と展開され.それぞれ,

Ｓ＝0,Ｓ＝2に対応し,Ｓ＝１をつくることはできません。
 

以上から,(Ｌ,Ｓ)＝(1.1)も有り得ないので,

結局,２光子系はＪ＝1の状態をつくることができない

ことがわかりました。　　　　　

　(注8-1終わり※)
 

そこで,Ｒ_σρμによって,上記の"Ｊ＝1の状態から２光子

への寄与は消えなければならない"という要求を表現

すると次の通りです。
 

νν~対の運動量:(ｋ₁＋ｋ₂)に対して,ｌ^μを

ｌ(ｋ₁＋ｋ₂)＝0 を満たす任意のスピン1の偏極ベクトル

とし,(ε₁,ｋ₁),(ε₂,ｋ₂)を,ε₁ｋ₁＝0,ε₂ｋ₂＝0,

(ｋ₁)²＝(ｋ₂)²＝0 を満足する光子変数とすれば,

ｌ^με₁^σε₂^ρＲ_σρμ＝0　が成立しなければならない。

.

ということです。

式(55):Ｒ_σρμ(ｋ₁,ｋ₂)
＝Ａ₁ｋ₁^τε_τσρμ＋Ａ₂ｋ₂^τε_τσρμ
＋Ａ₃ｋ_1ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋Ａ₄ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ
＋Ａ₄ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋Ａ₅ｋ_1σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ

＋Ａ₆ｋ_2σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ　

および,

(56):Ａ₁(ｋ₁,ｋ₂)＝－Ａ₂(ｋ₂,ｋ₁),Ａ₃(ｋ₁,ｋ₂)＝－Ａ₆(ｋ₂,ｋ₁),

Ａ₄(ｋ₁,ｋ₂)＝－Ａ₅(ｋ₂,ｋ₁)　

(57):Ａ₁＝(ｋ₁ｋ₂)Ａ₃＋(ｋ₂)²Ａ₄,Ａ₂＝(ｋ₁)²Ａ₅＋(ｋ₁ｋ₂)Ａ₆

(58):Ａ₃ｋ₁,ｋ₂)＝－16π²Ｉ₁₁(ｋ₁,ｋ₂),

Ａ₄ｋ₁,ｋ₂)＝16π²{Ｉ₂₀(ｋ₁,ｋ₂)－Ｉ₁₀(ｋ₁,ｋ₂)}

　によって与えられるＲ_σρμが,この条件:

ｌ^με₁^σε₂^ρＲ_σρμ＝0　を満足することが,実際に

Rosenbergによって,示されています。

(※これは,実際に容易にチェックできますが。。)

　一方,(65)の引き算項:Ｓ_σρμ＝4π²ε_τσρμ(ｋ₁－ｋ₂)^τは,

明らかにｌ^με₁^σε₂^ρＳ_σρμ＝0 を満たしません。
　それ故,Ｒ' _σρμ＝Ｒ_σρμ－Ｓ_σρμもまた,条件

ｌ^με₁^σε₂^ρＲ'_σρμ＝0 を満足しません。

　第２に,以下に見ることですが,Ward恒等式のアノマリー

と交換子のアノマリーの関係は,ベクトオルカレントの保存

(＝ゲージ不変性)が守られているときには,特に簡単な形式

をとります。

　最後に三角グラフのアノマリーの最も興味深い適用,つまり,

「π⁰崩壊の低エネルギー定理」は,三角グラフの定義が

用いられる方法に独立である,ということが後にわかります。

　そこで再び,(このケースには本質的ではないですが)

ゲージ不変性を守るという条件が,便利であることが

わかります。

　(↑※ 以上,§2.2「引き算によるアノマリー除去

　の不可能性」終わりです。※)

§2.3 Anomaly for General Axial-Vector current Matrix Element

(一般的軸性ベクトルカレントの行列要素のアノマリー)

　次に,三角グラフに対するアノマリーを伴うWard恒等式(63):

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ＋8π²ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρ

までで,やめた,グラフ的解析に戻ります。

　　明らかに,基本的な三角グラフに対するWard恒等式の破れ

　は, 下図のような型の任意のグラフdiagramに対してもWard

　恒等式の不成立を引き起こします。

　　下記のグラフにおいては,三角グラフから出てくる２つ

　の光子線が２Ｆ個のFermion線とＢ個のBoson線が出ているblob

の中に入っています。

　　上述の式(63),基本三角グラフの軸性カレントの発散に

対する式から,一般の場合の軸性ベクトルカレントの

Ward恒等式は軸性ベクトルカレントの４次元発散に

対する式(41):∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ₅(ｘ)を, 

∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ..(68)

で置き換えることによって簡単に記述されます。
 

式(68)は,ｊ⁵_μ,ｊ⁵,および,{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ

に対する次のようなFeynmanルールを用いて,容易に

証明されます。
 

ｊ⁵_μ(ｘ) ｐ←・←ｐ’ ⇔　γ_μγ₅ 

ｊ⁵(ｘ)　ｐ←・←ｐ’ ⇔ γ₅

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ_τρε_ξστρｋ₁,σ←・←ｋ₂,ρ  

⇔　(－2α₀/π)ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξστρ

ただし,α₀＝ｅ₀²/(4π)　です。
 

※(注8-2):頂点因子のうち,{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ

部分に対応する寄与を,Γ_σρ(－ｋ₁,ｋ₂)と書けば,
 

(2π)⁴δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂)(－i)(2π)^-3(4ω₁ω₂)^-1/2

ε^σ(ｋ₁)ε^ρ(ｋ₂)Γ_σρ(－ｋ₁,ｋ₂)

＝(－i){α₀/(4π)}ε^σ(ｋ₁)ε^ρ(ｋ₂)ε_ξατβ 

∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｆ^ξα(ｘ)Ｆ^τβ(ｘ)]｜ｋ₁,σ；ｋ₂,ρ＞
 

ただし,Ｆ^μν(ｘ)＝∂^νＡ^μ(ｘ)－∂^μＡ^ν(ｘ),

Ａ^ν(ｘ)＝∫ｄ³ｋ{(2π)³(2ω)}^-1/2 

{ａ^μ(ｋ)ex(－iｋｘ））＋ａ^＋μ(ｋ)exp(iｋｘ)}　であり,
 

｜ｋ₁,σ；ｋ₂,ρ＞＝ａ^＋ρ(ｋ₁)ａ^＋σ(ｋ₂)|0＞　です。
 

交換関係は,

[ａ^α(ｋ₂),ａ^β(ｋ₂)]＝[ａ^＋α(ｋ₁),ａ^＋β(ｋ₂)]＝0, 

[ａ^α(ｋ₁),ａ^＋β(ｋ₂)]＝δ³(ｋ₁－ｋ₂)ｇ^αβです。
 

故に,(－i){α₀/(4π)}ε^σ(ｋ₁)ε^ρ(ｋ₂)ε_ξατβ 

∫ｄ⁴ｘ＜0|Ｔ[Ｆ^ξα(ｘ)Ｆ^τβ(ｘ)]｜ｋ₁,σ；ｋ₂,ρ＞
 

＝(－i){α₀/(4π)}ε^σ(ｋ₁)ε^ρ(ｋ₂)ε_ξατβ

(2π)⁴δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂){(2π)⁶(4ω₁ω₂)}^-1/2 

{(－iｋ₁^αｇ^ξ_σ＋iｋ₁^ξｇ^α_σ)( －iｋ₂^αｇ^τ_ρ＋iｋ₂^τｇ^α_ρ) 

＋(－iｋ₁^αｇ^τ_σ＋iｋ₁^τｇ^α_σ)( －iｋ₂^αｇ^ξ_ρ＋iｋ₂^ξｇ^α_ρ)}
 

＝(2π)⁴δ⁴(ｋ₁＋ｋ₂)(－i){{(2π)⁶(4ω₁ω₂)}^-1/2

ε^σ(ｋ₁)ε^ρ(ｋ₂){α₀/(4π)}(―8)ε_ξστρｋ₁^ξｋ₂^τ,
 

したがって,座標表示の{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ 

の寄与は,Γ_σρ(－ｋ₁,ｋ₂)＝(－2α₀/π)ｋ ₁^ξｋ₂^τε_ξστρ 

と×という結果が得られました。　　　

　　(注8-2終わり※)
 

こうしたFeynmanルールを用いると, 

基本三角グラフについては 

∂_μｊ^5μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ₅(ｘ)　に対しての, 

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρという形のWard恒等式 

の代わりに.
 

－(ｋ₁＋ｋ₂)^μＲ_σρμ＝2ｍ₀Ｒ_σρ 

＋{(2π)⁴/(iｅ₀²)}(－i)(－2α₀/π)ｋ ₁^ξｋ₂^τε_ξστρ 

＝2ｍ₀Ｒ_σρ＋8π²ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρ

という形のアノマリー項のあるWard恒等式(63)が得られます。
 

(68)式:∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ) 

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ 

を用いると,軸性ベクトル頂点に対するWard恒等式が 

どのように変わるか？を容易に見ることができます。
 

そのため,Ｆ~(ｐ,ｐ')を次式で定義します。
 

すなわち,Ｓ_F'(ｐ)Ｆ~(ｐ,ｐ')Ｓ_F'(ｐ') 

＝∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙexp(iｐｘ)exp(－iｐ'ｙ) 

＜0|Ｔ[ψ(ｘ)Ｆ^ξσ(0)Ｆ^τρ(0)ε_ξστρψ~(ｙ)]|0＞..(69) 

です。
 

このとき,(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ')

＋Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F' ^-1(ｐ')－i{α₀/(4π)}Ｆ~(ｐ.ｐ')

　..(70)
 

これが(44)式:(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F' ^-1(ｐ')

にとって代わる式です。
 

切りがいいので,今日はここで終わります。
 

次回は,今の考察に引き続く,

§2.4 Coordinate Space Calculation(座標空間の計算)

という項目に入る予定です。
 

(参照文献):Lectures on Elementary Particles 

 and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ