摂動論のアノマリー(9）

　摂動論のアノマリーの続きです。
 

§2.4 Coordinate Space Calculation(座標空間の計算) 

これまでは,専ら,運動量空間での扱いでした。
 

しかし,前回で述べた(68)式:∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ) 

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ 

によって,座標空間でもWard恒等式のアノマリーが

単純な形で表わされ得る,ことが示されました。
 

この事実は,座標空間でもアノマリーの導出と,その解釈

が可能であるべきことを,示唆しています。
 

座標空間での論議を進めるに当たって,光子については

量子化されていないｃ-数の電磁場:Ａに話を限り,

軸性ベクトルカレント:ｊ⁵_μをspinor場:ψ~とψが離れた

時空点にある場の積とする近距離の"非局所カレント"

(bilocal current)の,局所極限とみなす,ことにします。
 

つまり,ｊ⁵_μ(ｘ)＝lim_ε→0ｊ⁵_μ(x,ε)..　(71ａ)

ただし,ｊ⁵_μ(ｘ,ε)＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2) 

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　　 ..(71ｂ)
 

ここで_,(71ｂ)の∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)は.線積分: 

∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξ_λＡ^λ(ξ)を意味します。
 

exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}は,ゲージ変換: 

ψ(ｘ)→ exp{－iｅ₀Λ(ｘ)}ψ(ｘ),かつ, 

Ａ^μ(ｘ)→Ａ^μ(ｘ)＋∂_μΛ(ｘ)　(72)

の下でのｊ⁵_μの不変性を保証するために必要な因子です。
 

この指数関数因子を,微小な正の数εの1次のオーダー 

まで展開し,さらに,運動方程式を用いてｊ⁵_μの4次元発散 

を計算します。
 

まず,ｊ⁵_μ(x,ε)＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2) 

×{1－iｅ₀ε_λＡ^λ(ｘ)}＋(εの2次以上の微小項)となり,
 

∂^μｊ⁵_μ(ｘ,ε)＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2) 

[－iｅ₀ε_λ∂^μＡ^λ(ｘ)

－iｅ₀{Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μｘ-ε/2)} 

＋2iｍ₀ｊ₅(ｘ,ε)＋(εの2次以上の微小項)
 

すなわち,∂^μｊ⁵_μ(x,ε)

＝ｊ⁵_μ(ｘ,ε)iｅ₀ε_λＦ^μλ(ｘ) 

＋2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)＋(εの2次以上の微小項).(73) 

を得ます。
 

※(注9-1):この結果は,電磁場Ａ^μ(ｘ)が線積分において,

経路依存であるから得られるのであって,しかも積分路が

直線分であることが本質的です。
 

以下に厳密に書き下します。
 

∂^μｊ⁵_μ(x,ε)＝{∂^μψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2) 

＋ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅∂^μψ(ｘ－ε/2)} 

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)} 

＋ψ~(ｘ＋ε/2)γ₅γ_μψ(ｘ－ε/2) 

∂^μexp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　です。
 

Dirac方程式:(iγ_μ∂^μ－ｅ₀γ_μＡ^μ－ｍ₀)ψ(ｘ)＝0 より,
　　γ_μ∂^μψ(ｘ)＝－iｍ₀ψ(ｘ)－iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)ψ(ｘ) 

∂^μψ~(ｘ)γ_μ＝iｍ₀ψ~(ｘ)＋iｅ₀ψ~(ｘ)γ_μＡ^μ(ｘ) 

　　故に, ∂^μψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2) 

＝iｍ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ₅ψ(ｘ－ε/2) 

＋iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2)Ａ^μ(ｘ＋ε/2), 

かつ,ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅∂^μψ(ｘ－ε/2) 

＝iｍ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ₅ψ(ｘ－ε/2) 

－iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2)Ａ^μ(ｘ－ε/2) 

です。
 

そこでｊ⁵(ｘ,ε)＝ψ~(ｘ＋ε/2)γ₅ψ(ｘ－ε/2) 

×exp{－iｅ₀∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　と置けば,

　　∂^μｊ⁵_μ(ｘ,ε)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε) 

＋iｅ₀ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2) 

{Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)

－∂^μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)}　です。
 

ここで,もしも∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)が積分経路に

独立な関数なら,最後の{　}因子はゼロとなることを

示します。

　　何故なら,∂^μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ) 

＝lim_ｈ→0{∫_{ｘ＋ｇλμｈ－ελ/2-ε/2}^{ｘ＋ｇλμｈ＋ελ/2}

－∫_ｘ－ε/2^ｘ＋+/2}ｄξＡ(ξ)]/ｈ 

＝Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)　です。
 

そこで,もし∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ)が積分経路に

独立な関数なら.正確に,

∂^μｊ⁵_μ(ｘ,ε)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ,ε)　が成立します。
 

これは,ベクトル解析のStokesの定理によれば,

Ａ^μの4次元rotation(回転::

rot^ν(Ａ^μ)＝∂^νＡ^μ－∂^μＡ^νが全てゼロの渦なし

ポテンシャル場(保存力場)で,スカラー場:φが存在

してＡ^μ＝－∂^μφと表現できる場合です。
 

しかし,よく知られているように静電場でなければ, 

ゼロでない,rot^ν(Ａ^μ)＝Ｆ_μνが存在して,それが

電場Ｅ,磁場Ｂを表わしています。

そこで,経路依存線積分の積分路を直線分:

ｌ^α＝{ｌ^α(τ){ｌ^α(τ)＝ｌ^α(0)＋ε^ατ,

ｌ^α(0)＝ｘ^α－ε^α/2,(0≦τ≦1)}と選択すると,

∫_ｘ－ε/2 ^ｘ＋ε/2ｄξＡ(ξ)＝ε_ν∫₀¹ｄτＡ^ν(ｌ(τ))
 

また,積分路を直線分:

Ｌ^α＝{Ｌ^α(τ)|Ｌ^α(τ)＝Ｌ^α(0)＋ε^ατ,

Ｌ^α(0)＝ｘ^α－δ^αμΔｘ＋－ε^α/2,(0≦τ≦1)} 

 と選択すると.

∫_{ｘ＋Δｘ－ε/2}^{ｘ＋Δｘ＋ε/2}ｄξＡ(ξ)

＝ε_ν∫₀¹ｄτＡ^ν(Ｌ(τ)) です。
 

∂^μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ) 

＝lim_Δｘ→0(ε_ν/Δｘ)

[∫₀¹ｄτＡ^ν(Ｌ(τ))－∫₀¹ｄτＡ^ν(ｌ(τ))] 

＝lim_Δｘ→0(ε_ν[∫₀¹ｄτ[{Ａ^ν(Ｌ(τ))－Ａ^ν(ｌ(τ))

/{Ｌ(τ)－ｌ(τ)}] 

＝ε_ν∂^μＡ^ν＋ε_νＯ(ε),
 

一方,Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)

＝ε_ν∂^νＡ^μ＋Ｏ(ε),

　　故に, Ａ^μ(ｘ＋ε/2)－Ａ^μ(ｘ－ε/2)

－∂^μ∫_ｘ-ε/2^ｘ＋+/2ｄξＡ(ξ) 

＝ε_ν{∂^νＡ^μ(ｘ)－∂^μＡ^ν(ｘ)}＋ε_νＯ(ε)
 

以上から,(73)式: 

∂^μｊ⁵_μ(x,ε)＝ｊ⁵_μ(x,ε)iｅ₀ε_λＦ^μλ(ｘ)

＋2iｍ₀ｊ⁵(x,ε)＋Ｏ(ε²) 

を得ました。　　(注9-1終わり※)
 

(73)の真空期待値をとると,単一の閉ループを通して,

軸性ベクトルカレントが,ｃ-数の任意個の光子外場

とcoupleする相互作用を記述する生成汎関数の発散

方程式を得ます。
 

すなわち,∂^μ＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)|0＞ 

＝iｅ₀＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

＋2iｍ₀＜0|ｊ⁵(x,ε)|0＞＋Ｏ(ε²)..　.(74)　

です。
 

この右辺の第1項は,形式的にはεのオーダーであり,

前の「摂動論のアノマリー4」において,

∂_μｊ⁵_μ(ｘ)＝ψ~(ｘ){iｍ₀＋iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}γ₅ψ(ｘ) 

＋ψ~(ｘ)γ₅{iｍ₀＋iｅ₀γ_μＡ^μ(ｘ)}ψ(ｘ)

＝2iｍ₀ｊ₅(ｘ)...(41), 

ｊ⁵(ｘ)≡ψ~(ｘ)γ₅ψ(ｘ) 　..(42)　

　として.素朴にWard恒等式を導出したときには無視される

べきものでした。
 

しかし,摂動グラフとしての注意深い計算によれば,

＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)|0＞は,ε → ＋0 のとき,ε^-1のオーダー

で発散し,それ故,実際には右辺の第１項の

＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞因子は,有限な寄与をします。
 

詳細計算を実行すると, 

iｅ₀＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ) 

＝{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλ(ｘ) Ｆ^ξτ(ｘ)＋Ｏ(ε)..(75） 

となって,(68)の真空期待値に一致します。
 

こうしてアノマリーは運動方程式からのアプロ－チに

よっても得られることがわかります。
 

これは軸性ベクトルカレントに現われる特異な演算子積

を注意深く扱えばいえることです。
 

※(注9-2):ｊ⁵_μ(ｘ,ε)は,外場との相互作用があるので

真空期待値はゼロではなく,＜0|ｊ⁵_μ(ｘ,ε)ε_λ|0＞ 

＝＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2)ε_λ|0＞ 

×exp{－∫_ｘ－ε/2 ^ｘ＋ε/2ｄξＡ(ξ)}　ですが,

これのεの2次以上のオーダーを無視します。
 

＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2)|0＞ 

＝(γ_μγ₅)_αβ＜0|ψ~_α(ｘ＋ε/2)ψ_β(ｘ－ε/2)|0＞ 

＝－(γ_μγ₅)_αβ＜0|Ｔ[ψ_β(ｘ－ε/2)ψ~_α(ｘ＋ε/2)|0＞ 

＝－Ｔr{γ_μγ₅iＳ_F'(－ε)}
 

Fermion伝播関数:Ｓ_F'(ｘ－ｙ)を外場:Ａ^μ(ｘ)で展開

すると,自由Fermion伝播関数:Ｓ_F(ｘ－ｙ)がベキで出現

します。

　　まず,φ(ｘ)を,Klein-Gordon方程式(□＋ｍ₀²)φ(ｘ)＝0

を満たす自由複素スカラー場とすると,

その自由Feynman伝播関数Δ_F(ｘ)は,
 

iΔ_F(ｘ)＝＜0|Ｔ{φ(ｘ)φ^＊(0)}|0＞

＝＜0|θ(ｘ⁰)φ(ｘ)φ^＊(0)＋θ(－ｘ⁰)φ^＊(0)φ(ｘ)|0＞ 

＝θ(ｘ⁰)∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(－iｋｘ) 

＋θ(－ｘ⁰)∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(iｋｘ)

(ただし,ω_k＝(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2)　で与えられます。
 

そして,Ｓ_F(ｘ)は,Δ_F(ｘ)から

Ｓ_F(ｘ)＝(iγ_μ∂^μ＋ｍ₀)Δ_F(ｘ)と表わすこともできます。 

(※Green関数としては,(□＋ｍ₀²)Δ_F(ｘ)＝－δ⁴(ｘ)

ですから,(iγ_μ∂^μ－ｍ₀)Ｓ_F(ｘ)＝δ⁴(ｘ)です。)
 

iΔ^(＋)(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(－iｋｘ) 

と置くと,

iΔ^(＋)(ｘ)＝(2π)^-2∫₀^∞ｄｋ[{ｋ²(2ω_k)^-1exp(－iω_kｘ⁰)} 

×∫_-1¹ｄ(cosθ)exp(iｋｒcosθ） 

＝(2πi)^-1(4πｒ)^-1∫₀^∞ｄｋ[ｋexp(－iω_kｘ⁰) 

×{exp(iｋｒ)－exp(－iｋｒ)}/ω_k]
 

＝(2πi)^-1(4πｒ)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[ｋexp{－i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k] 

＝－(4πｒ)^-1

(∂/∂ｒ)[(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[exp{－i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k] 

と書けます。
 

同様に,iΔ^(－)(ｘ)＝∫ｄ³ｋ(2π)^-3(2ω_k)^-1exp(iｋｘ) 

と置くと,

iΔ^(－)(ｘ)＝－(4πｒ)^-1(∂/∂ｒ) 

[(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k] 

です。
 

ところで,ｆ(ｘ)＝f(ｘ⁰,ｒ) 

＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄｋ[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/ω_k] とすると,
 

右辺＝(2π)^-1

∫_-∞^∞ｄｋ[exp{i(ω_kｘ⁰＋ｋｒ)}/(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2] 

であり,

　　ｋ＝ｍ₀sinｈφと置けば,ｄｋ＝ｍ₀cosｈφｄφ

で,(ｋ²＋ｍ₀²)^1/2＝ｍ₀cosｈφであり,ｋ:－∞ → ∞

は,φ:－∞ → ∞に対応するため,
 

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1

∫_-∞^∞ｄφ exp{iｍ₀(ｘ⁰cosｈφ＋ｒsinｈφ) 

となります。
 

ここで,さらに,λ＝ｘ²＝(ｘ⁰)²－ｒ²と置きます。
 

(ⅰ) ｘ⁰＞0 かつ,ｘ⁰＞ｒのとき, 

λ＞0 なので,ｘ⁰＝λ^1/2coshφ₀,ｒ＝λ^1/2sinhφ₀と置くこと 

ができて,

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφexp{iｍ₀λ^1/2cosｈ(φ＋φ₀)} 

＝π^-1∫₀^∞ｄφ exp(iｍ₀λ^1/2cosｈφ) です。
 

故に. ｆ(ｘ)＝(i/2)Ｈ₀[ｍ₀λ^1/2]

＝(i/2){Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]＋iＮ₀[ｍ₀λ^1/2]}　です。 

(※ Ｊ₀は0次Bessel関数,Ｎ₀は0次ＨNeumann関数, 

Ｈ₀は0次Hankel関数です。)
 

(ⅱ) ｘ⁰＞0 かつ,ｘ⁰＜ｒのとき, 

λ＜0 なので,ｘ⁰＝(－λ)^1/2sinhφ₀,ｒ＝(－λ)^1/2coshφ₀

と置くことができて,

ｆ(ｘ)＝(2π)^-1∫_-∞^∞ｄφexp{iｍ₀(－λ)^1/2sinｈ(φ＋φ₀)} 

故に. ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2] 

＝(i/2)Ｈ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2] 

＝(i/2){Ｊ₀([ｍ₀(－λ)^1/2]＋iＮ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]}　です。 

(※ Ｋ₀は,0次の第2種変形Bessel関数です。)
 

(ⅲ) ｘ⁰＜0 かつ,|ｘ⁰|＞ｒのとき, 

ｆ(ｘ)＝(－i/2)Ｈ₀[ｍ₀λ^1/2]

＝(－i/2){Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2]＋iＮ₀[ｍ₀λ^1/2]}
 

(ⅳ) ｘ⁰＜0 かつ,|ｘ⁰|＜ｒのとき, 

ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2] 　です。

　　結局, λ＝(ｘ⁰)²－ｒ²＞0 なら 

ｆ(ｘ)＝(－1/2)Ｎ₀[ｍ₀λ^1/2]＋(i/2)ε(ｘ₀)Ｊ₀[ｍ₀λ^1/2] 

λ＜0 なら,ｆ(ｘ)＝(1/π)Ｋ₀[(ｍ₀(－λ)^1/2]　

です。

   したがってiΔ^(＋)(ｘ)＝－(4πｒ)^-1(∂ｆ/∂ｒ)

＝(2π)^-1(∂ｆ/∂λ) 

＝{i/(4π)}ε(ｘ₀)δ(λ)＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)} 

{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]＋iε(ｘ₀)Ｊ₁[ｍ₀λ^1/2]} 

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}
 

同様に,iΔ^(－)(ｘ)

＝{－i/(4π)}ε(ｘ₀)δ(λ)＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)} 

{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]＋iε(ｘ₀)Ｊ₁[ｍ₀λ^1/2]} 

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]}
 

故に,iΔ_F(ｘ)＝＜0|Ｔ{φ(ｘ)φ^＊(0)|0＞ 

＝θ(ｘ⁰)iΔ^(＋)(ｘ)＋θ(－ｘ⁰)iΔ^(－)(ｘ)なので,
 

iΔ_F(ｘ)＝＝{i/(4π)}δ(λ) ＋θ(λ){ｍ₀/(8πλ^1/2)} 

{Ｎ₁[ｍ₀λ^1/2]＋iε(ｘ₀)Ｊ₁[ｍ₀λ^1/2]} 

＋θ(－λ){ｍ₀/(4π²(－λ)^1/2)}{Ｋ₁[ｍ₀λ^1/2]} 

を得ます。
 

数学公式によれば,Ｊ₁[ｚ]＝ｚ/2－1/2)(ｚ/2)³＋Ｏ(ｚ⁵) 

Ｎ₁[ｚ]＝－1/(4πｚ)＋{ｚ/π－(1/π)(ｚ/2)³}ln(ｚ/2) 

＋(Ｃ/π){ｚ－(ｚ/2)³}＋Ｏ(ｚ⁵ lnｚ)＋Ｏ(ｚ⁵) 

Ｋ₁[ｚ]＝{ｚ＋(1/2)(ｚ/2)³}ln(ｚ/2)＋(Ｃ/2){ｚ－(ｚ/2)³} 

＋1/(4ｚ)＋Ｏ(ｚ⁵)です。

　　これから, 

iΔ_F(ｘ)＝＝{i/(4π)}δ(λ)－1/(4π²λ)

－{iｍ₀²/(16π)}θ(λ)＋{ｍ₀²Ｃ/(8π²)

＋{ｍ₀²/(8π²)}ln(ｍ₀|λ|^1/2/2)＋Ｏ(|λ|^1/2ln|λ|)
 

よって,Ｓ_F(ｘ)＝(iγ_μ∂^μ＋ｍ₀)Δ_F(ｘ) 

＝2iγ_μｘ^μ[{1/(4π)}δ’(λ)＋1/(4π²iλ²)

－{ｍ₀²/(16π)}δ(λ)－{iｍ₀²/(16π²λ)}

＋Ｏ(|λ|^-1/2ln|λ|)]

＋ｍ₀{1/(4π)}δ(λ)－1/(4π²iλ)－{ｍ₀²/(16π)}θ(λ) 

＋{ｍ₀²Ｃ/(8π²)－{iｍ₀²/(8π²)}ln(ｍ₀|λ|^1/2/2)

＋Ｏ(|λ|^1/2ln|λ|)　です。

以上から, Ｓ_F(ｘ)はｘ^μ→ 0 のとき, 

ｘ^μ(1/λ²)～ 1／ｘ³のように挙動することが,

わかりました。
 

普通に光子の外場Ａ^μ(ｘ)とだけ相互作用する

iＳ_F'(ｘ)を,Ａ^μ(ｘ)とiＳ_F(ｘ)で摂動展開すると,
 

 iＳ_F'(ｘ－ε/2,ｘ＋ε/2)＝iＳ_F'(－ε) 

＝iＳ_F(―ε) 

＋(－iｅ₀)∫ｄ⁴ｙ[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ_αiＳ_F(ｙ－ｘ―ε/2)

Ａ^α(ｙ)]＋(－iｅ₀)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｚ[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ_α

iＳ_F(ｙ－ｚ)γ_βＳ_F(ｚ―ε/2)Ａ^α(ｙ)Ａ^β(ｚ)]

＋Ｏ(lnε)
 

上述のように,Ｓ_F(ｘ―ε/2,ｘ＋ε/2)＝Ｓ_F(―ε)

がε^μ／{(－ε)²}²の陽に挙動することから,ｋを積分の

個数,ｆをFermion伝播関数の個数とするとき,次数勘定定理

に寄与する発散時数Ｄは,Ｄ＝４ｋ－3ｆとなります。

これは,Ｄ＞0ならε^μ→ 0 のとき収束し,Ｄ＝0 ならlnε

のように発散し,Ｄ＝-1,-2,－3.なら,それぞれ,ε^-1,ε^-2,

ε^-3..と挙動するのを意味するのは明らかです。
 

ただし,＜0|ψ~(ｘ＋ε/2)γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2)|0＞ 

＝－Ｔr{γ_μγ₅iＳ_F'(－ε)}　ですが,

左辺＝＜0|ｊ⁵_μ(ｘ,ε)|0＞ 

＝(1/2)＜0|[ψ~(ｘ＋ε/2),γ_μγ₅ψ(ｘ－ε/2)]|0＞で

この右辺の真空:|0＞で挟んだ場の交換子は,最低次

では,正規積(normal-producy)を取る定義となっていて

その寄与はゼロになり,

　　それ故,摂動展開の第1項のＳ_F(－ε),すなわち,ε→0

でのtadpoleは,＜0|ｊ⁵_μ(ｘ,ε)|0＞には寄与しません。
 

あるいは,実際に計算しても, 

Ｓ_F(－ε)＝∫ｄ⁴ｐ(2π)^-4 exp(iｐε)/(ｐ－ｍ₀)ですが 

Ｔr{γ_μγ₅/(ｐ－ｍ₀)}＝0より,

－Ｔr{γ_μγ₅iＳ_F(－ε)}＝0　なので,明らかに,

－Ｔr{γ_μγ₅iＳ_F'(－ε)}には寄与しません。
 

また,Ｏ(lnε)も,＜0|ｊ⁵_μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞因子では,

ε→0で,ε^λＯ(lnε)→ 0 なので消えます。
 

さらに,第３項

＝(－iｅ₀)²∫ｄ⁴ｙｄ⁴ｚ[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)γ_αiＳ_F(ｙ－ｚ) 

γ_βＳ_F(ｚ―ε/2)Ａ^α(ｙ)Ａ^β(ｚ)]ですが,

＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)全体の荷電共役不変性から,

この項は寄与しないとわかります。
 

具体的にはｊ⁵_μ(x,ε)は荷電共役変換Ｃ^に対して偶で,

一方,外電磁場:Ａ^μ(ｘ)は荷電共役に対して奇etc.ですが

ここでは,詳細を省略します。

　　残るのは,第２項＝(－iｅ₀)∫ｄ⁴ｙ 

[iＳ_F(ｘ―ε/2―ｙ)Ａ(ｙ)iＳ_F(ｙ－ｘ―ε/2)Ａ^α(ｙ)] 

＝iｅ₀ ∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 [exp(iｐε)exp(iｑｘ) 

×{(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1}] 

です。
 

それ故,＜0|ｊ⁵_μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞ 

＝－Ｔr{ε^λγ_μγ₅iＳ_F'(－ε)} 

＝(－iｅ₀)Ｔr[ε^λγ_μγ₅

∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 exp(iｐε)exp(iｑｘ) 

(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1]

＋Ｏ(εlnε)
 

＝ｅ₀Ｔr[γ_μγ₅∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^-8 exp(iｐε)exp(iｑｘ)  

(∂/∂ｐ^λ){(ｐ＋ｑ/2－ｍ₀)^-1Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2－ｍ₀) ^-1}] 

＋Ｏ(εlnε)　です。
 

したがって,lim_ε→0＜0|ｊ^5μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞ 

＝ｅ₀∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑ(2π)^{- 3}exp(iｐε)exp(iｑｘ) 

(∂/∂ｐ^λ)Ｔr[γ_μγ₅(ｐ＋ｑ/2＋ｍ₀)Ａ(ｑ)(ｐ－ｑ/2＋ｍ₀) 

 {(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1]
 

＝4iｅ₀ ε_αβγδｇ^α_μ∫ｄ⁴ｑ(2π)^{- 4}exp(iｑｘ)ｑ^δＡ^γ(ｑ) 

∫ｄ⁴ｐ(2π)^{- 4}(∂/∂ｐ^λ)

[ｐ^β(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1] 

が得られます。
 

ところで,∫ｄ⁴ｐ{∂ｆ(ｐ)/∂ｐ^λ}は, 

もしもｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³)を,ｐ⁰＝iｐ⁴として,

ｐ^μ＝(ｐ¹,ｐ²,ｐ³,ｐ⁴)と書いてEuclid化し,４次元

のGauss積分定理を適用すると,積分領域を半径Ｒの

４次元球の内部として,∫ｄ⁴ｐ{∂ｆ(ｐ)/∂ｐ^λ}

＝（i2π²Ｒ²){ｐ_λ＜ｆ(ｐ)＞}_|ｐ|＝Ｒを得ます。
 

ただし,|ｐ|＝Ｒは,Minkowski空間では,ｐ²＝－Ｒ²

を意味し,＜ｆ(ｐ)＞は半径Ｒの球面上のｆ(ｐ)の

平均値を意味します。
 

故に,∫ｄ⁴ｐ(2π)^{- 4} 

(∂/∂ｐ^λ)[ｐ^β{(ｐ＋ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1{(ｐ－ｑ/2)²－ｍ₀²}^-1] 

＝lim_R→∞[(i2π²Ｒ²)Ｒ_λＲ^β(－Ｒ²－ｍ0²)^-2](2π)^{- 4} 

＝iｇ_λ^β/(32π²)　を得ます。

　　(※ ここで,対称性からlim_R→∞(Ｒ^μＲ^ν/Ｒ²)＝(1/4)ｇ^μν

となることを用いました。 )

　　一方,∫ｄ⁴ｑ(2π)^{- 4}exp(iｑｘ)ｑ^δＡ^γ(ｑ)＝i∂^δＡ^γ(ｘ)

です。

　　したがって,lim_ε→0＜0|ｊ⁵_μ(ｘ,ε)ε^λ|0＞ 

　＝－iｅ₀ε_μλγδ{∂^δＡ^γ(ｘ)}/(8π²)

 ＝－iｅ₀ ε_μλξηＦ^ξη/(16π²)　と書けます。

　　以上から, lim_ε→0＜0|∂^μｊ⁵_μ(ｘ,ε)|0＞

 ＝2iｍ₀ lim_ε→0＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞

　＋{ｅ₀²/(16π²)}ε_μλξηＦ^μλＦ^ξη

 ＝2iｍ₀ lim_ε→0＜0|ｊ⁵(ｘ,ε)|0＞

　＋{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλＦ^ξηとなり,

　　先の(74)式:∂^μ＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)|0＞

 ＝iｅ₀＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)

 ＋2iｍ₀＜0|ｊ⁵(x,ε)|0＞＋Ｏ(ε²).
　 

　および,(75)式:iｅ₀＜0|ｊ⁵_μ(x,ε)ε_λ|0＞Ｆ^μλ(ｘ)　 

　＝{α₀/(4π)}ε_μλξηＦ^μλ(ｘ) Ｆ^ξτ(ｘ)＋Ｏ(ε) 

　が確かに証明されました。　　(注9-2終わり※)
　

今から,約40年前の1975～1976年当時のノートは,ここで

終わっています。

　　本当はこれからが本題で当時もノートをつくる時間は

なくても.結論まで読んで,内容の理解はしていたはずです。
 

長くなったし,切りがいいので,今日はここで終わります。 

次からは,第３章で,1995年のノートに移ります。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles

 and Quantum Field Theory
　　(1970 Brandeis University SummerInstitute

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ

　ＰＳ:他人事ではなく,いつ突然命が終わって,このブログも

最後の更新になるかもしれません。

　できるだけ,心残りが無いようにということで,他人様に

見せようというより日記として.残せるだけの懐古的記録

を自己満足的につづる綴るのが惰性となっています。

　昨年の6月に入院したとき,6/16日に右足の膝から下を切断

する手術をする。というのを断って10日ごろ退院してから

入院せずに,1年が経ちました。

　　医者は糖尿病で足を切断した人の平均余命は1年くらい

と言っていたので,切断しなければ,どのくらい？と

聞いたら私の場合は同じくらいでしょ。

と言っていたけど。。

　もう1年経ったぞ。。まったくぅ。。。

　そういえば明日は外来で病院に行く日だった。