摂動論のアノマリー(10）

摂動論のアノマリーの続きです。第３章に入ります。
 

3.Consequence of the Triangle Anomaly 

(三角グラフアノマリーからの帰結)
 

これまでの節で見出された,軸性ベクトルの4次元発散 

におけるアノマリーからのいくつかの帰結を調べます。
 

このアノマリーの存在が軸性ベクトル頂点のくり込みと,

γ₅-対称性 を取り扱うべき標準的結果において,変化を

生ぜしめることを見るつもりです。
 

そしてまた,(68)式:∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ) 

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ 

から,その一般化が,π⁰の崩壊の興味深い物理的暗示

を与える,真空から2光子への行列要素である,素朴な

発散の2iｍ₀ｊ⁵に対する1つの「低エネルギー定理」

が導かれることを見出すつもりです。
 

§3.1.Renormalization of Axial-Vector Vertex 

(軸性ゲクトル頂点のくり込み)
 

まず,くり込みの下での軸性ベクトル頂点の挙動の解析から 

始めます。
 

思い起こすと, 

式(30):Γ_μ⁵(ｐ,ｐ')＝Ｚ_Ａ^-1Γ~_μ⁵(ｐ,ｐ'),および, 

Γ⁵(ｐ,ｐ')＝Ｚ_Ｐ^-1Γ~⁵(ｐ,ｐ')　 

によって,軸性ベクトル頂点と擬スカラー頂点の両方は

,掛け算的にくり込み可能で、それぞれのくり込み定数:

Ｚ_ＡとＺ_Ｐを有します。

　ここで,これらのくり込み定数が電子波動関数のくり込み

定数:Ｚ₂と同じか,あるいは簡単に関連付けられるか否か？

を検討します。
 

まず,第一に,式(44):(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')

＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ')＋Ｓ_F'^-1(ｐ) γ₅＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ')

 の素朴なWard恒等式から導かれる解答を見出し,

　　それから,式(70):(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')

＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ')＋Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F' ^-1(ｐ')

－i{α₀/(4π)}Ｆ~(ｐ.ｐ') 

におけろように,アノマリーを考慮すると,その解答が,

どのように変化するか？を見ることにします。
 

無限大のくり込み定数:ｍ₀,Ｚ₂,Ｚ_Ａ,Ｚ_Ｐについて,厳密な

方法で論じるために,Feyman規則に切断:Λを導入する

標準的な手法に従うことにします。
 

そこで,くり込み定数は,最後にΛ→∞へと発散させる

Λの有限関数となります。
 

これをなすべき切断を導入する多くの異なる手法があります。
 

１つの特殊な方法は次節で詳細に叙述します。
 

外線運動量が切断に比して小さいままであるような, 

低エネルギー定理のタイプの問題のみを扱う限り,

どのように切断が導入されるか？という手法の詳細

には無関係に論じることができます。
 

特に,外線運動量がゼロに近づき,他方,切断Λが∞

になるという計算では,極限の順序の不明確さは,

全く関係ありません。
 

一方,外線運動量が∞に近づくようなBjorken極限

の計算においては.外線運動量は切断より.はるかに

小さいままか,切断よりはるかに大きくなるか？

になります。
 

先に進むために,まず,上述の素朴な軸性ベクトル

Ward恒等式(44):において,ｐ'＝ｐと置くことから

始めます。このとき,左辺の軸性ベクトル頂点項は

消えます。
 

すなわち,0＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ)＋Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅

＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ)ですが,この両辺に電子波動関数の

くり込み定数:Ｚ₂を掛けます。
 

2ｍ₀Ｚ₂Γ⁵(ｐ,ｐ)

＝－{Ｚ₂Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋Ｚ_２γ_５Ｓ_Ｆ'^-１(ｐ)} 

＝－{Ｓ_F'~^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ''~^-１(ｐ)} ..(76)
 

(※ 何故なら,Ｓ_F'(ｐ)＝Ｚ₂Ｓ_F'~(ｐ)なので  

,Ｓ_F'~^-1(ｐ)＝Ｚ₂ Ｓ_F' ^-1(ｐ)です。)
 

(76)の右辺の,－{Ｓ_F'~ ^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'~ ^-１(ｐ)}

は,くり込まれた伝播関数Ｓ_F'~(ｐ)の定義から,大きい

Λの極限で,切断Λに無関係に有限であるとされる量

なので,左辺の2ｍ₀Ｚ₂Γ⁵(ｐ,ｐ)もまた,有限です。
 

一方,第1章で見たように,一般のｐ,ｐ'に対する

Γ⁵(ｐ,ｐ')は,くり込み定数Ｚを掛けることにより,

Ｚ_ＰΓ⁵(ｐ,ｐ')が有限になります。
 

故に,Ｚ_ＰとＺ₂は,有限因子を除いて同一と

結論できます。2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ＝有限値　　..(77)
 

次に,くり込まれた電子伝播関数,(光子伝播関数,

ベクトル頂点)の表現式(16)::

Ｓ_F'(ｐ)＝Ｚ₂ Ｓ_F'~(ｐ),

Ｄ_F’_μν(ｑ)＝Ｚ₃Ｄ_F'~_μν(ｑ), '

Γ_μ(ｐ,ｐ')＝Ｚ₁ Γ_μ~(ｐ,ｐ'),

₀＝Ｚ₁ｅ/Ｚ₂Ｚ₃^1/2 および,

軸性ベクトル頂点,擬スカラー頂点の表現式(30): 

Γ_μ⁵(ｐ,ｐ')＝Ｚ_Ａ^-1Γ~_μ⁵(ｐ,ｐ'), 

Γ⁵(ｐ,ｐ')＝Ｚ_Ｐ^-1Γ~⁵(ｐ,ｐ') を

素朴な軸性ベクトルWard恒等式: 

(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ) γ₅＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ')に代入して,

両辺にＺ_Ａを掛けます。
 

すると, 

(ｐ－ｐ')^μΓ~⁵_μ(ｐ,ｐ') 

＝(Ｚ_Ａ/Ｚ₂){(2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ)Γ~⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'~^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'~^-1(ｐ')}..(78) 

を得ます。
 

これを切断Λで偏微分してみます。
 

くり込まれた量を,チルダ(～)の付いた関数で表現

しているので,,れらは大きいΛの極限で,切断Λに

独立に有限であり,これらをΛで微分するとゼロです。
 

それ故,0 ＝(∂/∂Λ)[(Ｚ_Ａ/Ｚ₂){(2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ)Γ~⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'~^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'~^-1(ｐ')}]..(79) 

を得ます。
 

(77)式 :2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ＝有限値 を用いると, 

(∂/∂Λ) {(2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ)Γ~⁵(ｐ,ｐ')

＋Ｓ_F'~^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'~^-1(ｐ')}＝0

ですから,

　　結局,(∂/∂Λ)(Ｚ_Ａ/Ｚ₂)＝0　...(80)

つまり, Ｚ₂/Ｚ_Ｐ＝有限値　です。
 

軸性頂点のくり込み因子Ｚ_Ａ,および,Ｚ_Ｐ,および,有限な

因子を除いて,それぞれ,Ｚ₂,および,2ｍ₀Ｚ²に等しいこと

になります。
 

ここで,厳密には正しくない,素朴なWard-恒等式(44) 

(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ) γ₅＋γ₅Ｓ_F'^-1(ｐ')を

補正された正しいWard-恒等式:(70):

(ｐ－ｐ')^μΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝2ｍ₀Γ⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F' ^-1(ｐ')

－i{α₀/(4π)}Ｆ~(ｐ.ｐ')に置き換えると,ここまで

のくり込み定数についての結論も 部分的に修正される

べきです。
 

最後の頂点のアノマリー項:Ｆ^ξσＦ^τρε_ξσρτに対する 

Feynman規則を蒸し返すと,運動量遷移がゼロ,

つまり,ｋ₁＝－ｋ₂のとき,交換反対称の運動量遷移項:

ｋ₁ξｋ₂^τε_ξσρτεは消えます。

そこでｐ'＝ｐ のときは付加項:Ｆ~(ｐ.ｐ')が消えます。
 

その結果,ｐ'＝ｐのときの素朴なWard恒等式による式

(76) :2ｍ₀Ｚ₂Γ⁵(ｐ,ｐ)

＝－{Ｚ₂Ｓ_F'^-1(ｐ)γ₅＋Ｚ_２γ₅Ｓ_Ｆ'^-１(ｐ)} 

＝－{Ｓ_F'~^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'~^-１(ｐ)} 

および,(76)からの帰結である(77)

:2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ＝有限値

は,なお正しい式です。
 

よって,アノマリーが存在するときでも,

2ｍ₀Ｚ₂Γ⁵(ｐ,ｐ)は有限です。
 

一方,前のΛで微分した式(79): 

 0 ＝(∂/∂Λ)[(Ｚ_Ａ/Ｚ₂){(2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ)Γ~⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'~^-1(ｐ)γ₅＋γ₅Ｓ_F'~^-1(ｐ')}] 

を,式(79ａ)と番号を付け直し,
 

これの修正を, 

0 ＝(∂/∂Λ)[(Ｚ_Ａ/Ｚ₂){(2ｍ₀Ｚ₂/Ｚ_Ｐ)Γ~⁵(ｐ,ｐ') 

＋Ｓ_F'~^-1(ｐ) γ₅＋γ₅Ｓ_F'~^-1(ｐ')}] 

＋(∂/∂Λ)[{－iα₀/(4π)}Ｚ_ＡＦ~(ｐ.ｐ')].(79ｂ) 

とすることができます。
 

Ｆ~に比例する余分な項の存在は,式(80):

(∂/∂Λ)(Ｚ_Ａ/Ｚ₂)＝0 による前の結論の,(Ｚ_Ａ/Ｚ₂)

とＺ₂Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')が有限であるということ,を引き出す

ための妨げとなります。
 

我々はＺ₂を掛けた後でさえ,なお,軸性ベクトル頂点:

Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')には発散する項が残ることを予想します。
 

そうした項は,摂動論のα₀²のオーダーで,上図の

三角グラフの結果として,最初に現われます。
 

これは,式(64)を用いて,容易に対数発散することが

わかります。
 

※(注10-1):「摂動論のアノマリー(7)」においては, 

Ｕ,Ｖ,Ｗは任意としてｋ₁＝ξＵ,ｋ₂＝ξＵ＋ξＶ＋Ｗと 

置いて,ξ→∞とするときのＲ_σρμの挙動に対する必要条件 

を述べました。
 

そして,特に,将来の参照のため,Ｖ＝0 のときに 

（ｋ₁＋ｋ₂＝有限＝ｐ'－ｐの下で, 

ξ→∞ のときの,Ｒ_σρμを評価すると, 

Ｒ_σρμ(ｋ₁＝ξＵ,ｋ₂＝－ξＵ＋(ｐ－ｐ') 

→ －8π²ξＵ^τε_τσρμ＋Ｏ(lnξ)．．(64)  

となることに着目しておきます。
 

と書きました。
 

実際,三角グラフを含むｅ₀の４次の頂点の寄与は, 

∫ｄ⁴ｋ₁(2π)^-4(－iｅ₀γ^σ)(－i)(ｋ₁²＋iε)^-1(iｅ₀²)

(2π)^-4 Ｒ_σρμ(ｋ₁,ｋ₂)(－i)(ｋ₂²＋iε)^-1(－iｅ₀γ^ρ)

(ｐ－ｋ₂－ｍ₀＋iε)^-1
 

＝(2π)^-8(－8π²ｅ₀⁴)ε_τσρμγ^σγ^ρ 

∫ｄ⁴ｋ₁[(ｋ₁²＋iε)^-1ｋ₁^τ{(－ｋ₁＋ｐ’－ｐ)²＋iε}^-1 

(ｐ－ｋ₂＋ｍ₀＋iε)/{(ｐ－ｋ₂)²－ｍ₀²＋iε}]　

となり
 

光子伝播関数において,紫外切断:Λを

(ｋ²＋iε)^-1→(ｋ²＋iε)^-1－(ｋ²－Λ²＋iε)^-1 

によって導入すると,

　上記のｋ＝ｋ₁についての積分では,

ｋ₁→∞のとき,(分母)～ ｋ₁⁶,(分子) ～ｋ₁²であり,

これに∫ｄ⁴ｋ₁が掛かる際,発散次数:Ｄは,トータル

で,Ｄ＝0 となるので,積分結果はＯ[ln(Λ²/ｍ₀²)]の

対数発散と結論されます。　　

(注10-1終わり※)
 

発見的味方では,この発散はＺ₂を掛けることによっては

除去されないと見えます。何故なら,Ｚ₂はベクトルカレント

のみ保存する理論から得られるもぼであり,軸性ベクトルの

三角アノマリーの存在については,その理論では"未知"である

からです。
 

光子の伝播関数:(－iｇ_μν)/(ｑ²＋iε)を, 

(－iｇ_μν){1/(ｑ²＋iε)－1/(ｑ²－Λ²＋iε)}に

置き換えることによって,切断を導入すると,

次式を見出します。
 

Ｚ₂Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝γ_μγ⁵{1－(3/4)(α₀/π)²ln(Λ²/ｍ₀²)} 

＋α₀×(有限値)＋α₀²×(有限値)＋Ｏ(α₀³)..(81)

です。
 

※(注10-2):上の(81)を証明します。
: 

アノマリーが無い場合,α₀の１次,２次(＝ｅ⁰の２次,４次) 

の輻射補正は,下図の通りであり,

　これの計算結果は,Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝γ_μγ⁵＋α₀×(有限値)

＋α₀²×(有限値)＋Ｏ(α₀³)＋(Ｚ₂^-1－1)γ_μγ⁵　つまり, 

Ｚ₂Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝γ_μγ⁵＋α₀×(有限値)＋α₀²×(有限値)

＋Ｏ(α₀³)で与えられます。
 

これに,先のα₀の２次の(有限項)＋無限大(切断Λの関数)

の三角グラフの寄与が加わります。
 

この寄与は,{－α₀²/(2π⁴)}ε_τσρμγ^σγ^ρ 

∫ｄ⁴ｋ₁[(ｋ₁²＋iε)^-1ｋ₁^τ{(ｋ₁－ｐ’＋ｐ)²＋iε}^-1 

(ｐ－ｋ₂＋ｍ₀)/{(ｐ－ｋ₂)²－ｍ₀²＋iε}]　

で与えられます。,
 

そして,積分項＝2!∫ｄｘｄｙｄｚ∫ｄ⁴ｋ₁  

δ(1－ｘ－ｙ－ｚ)ｋ₁^τ(ｐ－ｋ₂＋ｍ₀)  

/[(ｋ₁²－λ²)ｘ＋{(ｋ₁－ｐ'＋ｐ)²－λ²}ｙ 

＋{(ｐ－ｋ₂)²－ｍ₀²}ｚ＋iε]³ 

とFeynman積分で表現されます。
 

　これをまず,ｚで積分すると,ｚ＝1－ｘ－ｙであり, 

分母の[　]の中は. 

ｋ₁²＋2ｋ₁{ｐｙ－ｐ'(1－ｘ)}＋ｐ'²(1－ｘ) 

＋(ｐ²－2ｐｐ')ｙ－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－λ²(ｘ＋ｙ) 

となります。
 

これは,積分変数をｌ＝ｋ₁＋{ｐｙ－ｐ’(1－ｘ)}に

変数置換すると, 

ｌ²＋ｐ’²ｘ(1－ｘ)＋ｐ²ｙ(1－ｙ)―2ｐｐ’ｘｙ 

－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－λ²(ｘ＋ｙ)　となります。
 

一方,分子の因子は,ｋ₁^τ＝ｌ^τ－{ｐ^τｙ－ｐ'^τ(1－ｘ)} 

ｐ－ｋ₂＋ｍ₀＝－ｌ＋ｐｙ＋ｐ'ｘ＋ｍ₀となります。
 

結局,積分項＝2!∫ｄｘｄｙ∫ｄ⁴ｌ

[ｌ^τ－{ｐ^τｙ－ｐ'^τ(1－ｘ)}(－ｌ＋ｐｙ＋ｐ'ｘ＋ｍ₀)

/[ｌ²＋・・－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－λ²(ｘ＋ｙ)]³ですが,

発散(Ｄ＝0の対数発散)に寄与するのは,分子の項のうち,

ｌ^τl-＝－ｌ^τｌ^ζγ_ζのに比例する項のみです。
 

既に光子伝播関数に赤外切断:λを導入した,

1/[ｌ²＋・・－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－λ²(ｘ＋ｙ)]³  

の因子を,さらに紫外切断:Λをも導入した, 

1/[ｌ²＋・・－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－λ²(ｘ＋ｙ)]³  

－1/[ｌ²＋・・－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－Λ²(ｘ＋ｙ)]³ｌ²－・・・]³ 

に置き換えると.

　Λ→∞のときに対数発散する,

 {－α₀²/(2π⁴)}ε_τσρμγ^σγ^ρ 

∫ｄ⁴ｋ₁[(ｋ₁²＋iε)^-1ｋ₁^τ{(ｋ₁－ｐ’＋ｐ)²＋iε}^-1 

(ｐ－ｋ₂＋ｍ₀)/{(ｐ－ｋ₂)²－ｍ₀²＋iε}]の部分は,
 

{－iα₀²/(4π²)}ε_τσρμγ^σγ^ργ^τ∫₀¹ｄｘｄｙ 

_l(ln[ｌ²＋・・－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－λ²(ｘ＋ｙ)] 

－ln[ｌ²＋・・－ｍ₀²(1－ｘ－ｙ)－Λ²(ｘ＋ｙ)]) 

～{－iα₀²/(4π²)}ε_τσρμγ^τγ^σγ^ρ(1/2)ln(ｍ₀²/Λ²)
 

＝－{3α₀²/(4π²)}γ_μγ₅ln(Λ²/ｍ₀²) 

となるこという結論が得られます。
 

したがって,Γ⁵_μ(ｐ,ｐ')＝γ_μγ₅＋α₀×(有限値)

＋α₀²×(有限値)＋Ｏ(α₀³)＋(Ｚ₂^-1－1)γ_μγ⁵

－{3α₀²/(4π²)}γ_μγ₅ln(Λ²/ｍ₀²)　です。
 

故に,Ｚ₂Γ⁵_μ(ｐ,ｐ’)＝(γ_μ＋Λ~_μ)γ₅

－{3α₀²/(4π²)}γ_μγ₅ln(Λ²/ｍ₀²) 

＝γ_μγ₅[1－{3α₀²/(4π²)}ln(Λ²/ｍ₀²)]

＋α₀×(有限値)＋α₀²×(有限値)＋Ｏ(α₀³)

が得られました。　

(注10-2終わり※)
 

(上日証明した式'81)と同じことですが, 

Ｚ_Ａ＝Ｚ₂[1＋(3/4)(α₀/π)²ln(Λ²/ｍ₀²)＋Ｏ(α₀³)]..(82) 

です。

 (※つまり,[Ｚ₂/{1－(3/4)(α₀/π)²ln(Λ²/ｍ₀²)

＋Ｏ(α₀³)}]Γ×⁵_μ(ｐ,ｐ')＝Ｚ_ＡΓ⁵_μ(ｐ,ｐ')

　予想通り,アノマリーがあると,

Λ→∞で.(Ｚ_Ａ/Ｚ₂)→∞という計算結果でした。
 

今日はここで終わります。

次は§3.2のレプトンの散乱の評価に入ります。

 (参考文献):Lectures on Elementary Particles 

and Quantum Field Theory 

(1970 Brandeis University SummerInstitute

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ