摂動論のアノマリー(11）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

§3.2.Radiative Correction to　ν_lｌ scattering 

(ν_lｌ散乱への輻射補正)
 

式(81):Ｚ₂Γ⁵_μ(ｐ,ｐ') 

＝γ_μγ⁵{1－(3/4)(α₀/π)² ln(Λ²/ｍ₀²)}＋α₀×(有限値) 

＋α₀²×(有限値)＋Ｏ(α₀³)

の応用として.

  ν_lｌ散乱(ｌはlepoton(軽粒子；μまたはｅ)の輻射補正 

を考えます。

式(40):で見たように,Fielz変換の後では,ν_lｌ散乱を

記述する局所カレントーカレントLagrangianは,

次のようになります。 

(Ｇ/√2){μ~γ_λ(1－γ₅)μν_μ~γ^λ(1－γ₅)ν_μ 

＋ｅ~γ_λ(1－γ₅)ｅν_e~γ^λ(1－γ₅)ν_ｅ}　..(83)

これの輻射補正は,ニュートリノカレントには触れず,

単に荷電レプトンのカレント:μ~γ_λ(1－γ₅)μと,

ｅ~γ_λ(1－γ₅)ｅの輻射補正を計算することで

得られます。

　　これら,略記した,μとｅのＶ-Ａカレントを,改めて 

ｕ_(μ)~γ_λ(1－γ₅)ｕ_(μ), ｕ_(ｅ)~γ_λ(1－γ₅)ｕ_(ｅ) 

と詳細形で表わすと,

　輻射補正することは,これらのカレントを 

ｕ_(μ)~Ｚ₂^(μ)[Γ^(μ)_λ－Γ^(μ)5_λ)ｕ_(μ) ,および, 

ｕ_(ｅ)~Ｚ₂^(ｅ)[Γ^(ｅ)_λ－Γ^(ｅ)5_λ)ｕ_(ｅ).(84) 

に置き換えることに相当します。
 

これを見るため,まず,「摂動論のアノマリー(1)」において,

列挙したFeymanルールの項目(ⅲ):を再掲載すると,

各光子の外線に因子:ε_μ√Ｚ₃を対応付ける。

ここにε_μは光子の偏極4元ベクトルであり,Ｚ₃は光子波動関数

のくり込み定数である。

　各電子外線にはグラフに入ってくるものに,√Ｚ₂ｕ(ｐ,ｓ), 

それから出ていくものに,√Ｚ₂ｕ~(ｐ,ｓ)を対応させる。
 

陽電子の外線はｕの代わりにｖを用いるだけの違いである。
 

Ｚ₂は電子波動関数のくり込み定数である。
 

非連結泡グラフの挿入や,外線の電子線や光子線への自己

エネルギーの挿入は除く。

　です,

　(84)は,これに由来する波動関数のくり込み定数Ｚ₂^(μ,ｅ)₂

と Properな頂点:Γ^(μ,ｅ)_λ,Γ^(μ,ｅ)5_λを伴なう形式です。
 

既に,通常のベクトルカレントのWard恒等式から,

Ｚ₂^(μ)Γ^(μ)_λ,Ｚ₂^(ｅ)Γ^(ｅ)_λは有限であることを知って

います。

　一方,式(81)によれば,Ｚ₂^(μ,ｅ)Γ^(μ,ｅ)5_λ

＝γ_λγ₅[1－(3/4)(α₀/π)²ln(Λ²/ｍ₀²)]＋α₀×(有限値)

＋α₀²×(有限値)＋Ｏ(α₀³)  .(85)であり,

　これは軸性ベクトルの三角グラフの存在のために,ν_ｅｅと

ν_μμの散乱への輻射補正が摂動論の４次で発散することを

意味します。

　この結果は,μ崩壊やν_ｅ＋ｅ,ν_μ＋μの散乱への輻射補正

が摂動のあらゆるオーダーで有限である,という事実とは,

際立って対照的になっています。
 

2つのケース(同値変形であるFielz変換前後の形式)の決定的

な違いは,もちろん,

　μ-数(＝Ｎ_μ＋Ｎ_νμ)とｅ-数(＝Ｎ_ｅ＋Ｎ_νe)の別々に保存する

ため,,カレント;μ~_λ(1－γ₅)μと,ｅ~γ_λ(1－γ₅)ｅとは異なり

カレント:μ~γ_λ(1－γ₅)ｅは,閉電子ループや閉μ-粒子ル－プ

とcoupleできず,

　それ故,面倒な三角グラフは存在しないということです。
 

ν_l＋ｌの散乱における輻射補正,に対して,2つの観方を

取ることができます。
 

1つの観点は,既知のことですが,とにかく,レプトン的 

弱い相互作用の局所カレント-カレント理論が正しい

はずがない,ということです。

　　何故なら,この理論は高エネルギーでユニタリでない

行列要素に導くこと,そして,そのことから高次の弱い

相互作用の効果として,発散する結果を得るからです。
 

そこで,満足できる弱い相互作用の理論を与えるのために,

式(83):(Ｇ/√2){μ~γ_λ(1－γ₅)μν_μ~γ^λ(1－γ₅)ν_μ 

＋ｅ~γ_λ(1－γ₅)ｅν_e~γ^λ(1－γ₅)ν_ｅ} 

における必要な修正がν_lｌ散乱の無限輻射補正の欠陥を 

救うことが完全に可能となります。
 

これは上記の(83)が次式に置き換わるよう有効Lagrangian

の散乱項:ν_ｅμ,ν_μｅを導入することができれば可能です。
 

すなわち,(Ｇ/√2){μ~γ_λ(1－γ₅)μ－ｅ~γ_λ(1－γ₅)ｅ} 

{ν_μ~γ^λ(1－γ₅)ν_μ－ν_e~γ^λ(1－γ₅)ν_ｅ}..(86)　です。
 

これは,式(68)での面倒で余計なアノマリー項が,裸の質量ｍ₀ 

には独立であり,それ故,上記(86)においてμ粒子と電子の項 

の間で,それらアノマリーが相殺して消えるように作用します。
 

つまり,軸性カレントの4次元発散のWard恒等式は, 

∂^λ{μ~γ_λγ₅μ－ｅ~γ_λγ₅ｅ} 

＝2iｍ₀^(μ)μ~γ₅μ－2iｍ₀^(ｅ)ｅ~γ₅ｅ..(87)　

となります。
 

式(76)～(79)のアノマリーのない場合の論議を

上の(87)に適用すれば,この輻射補正が有限であること

が示されます。
 

これで何が生じるのか？というと,全ν_ｅｅ散乱振幅に

おいて,ｅ-三角グラフとμ-三角グラフが,互いに逆符号

として寄与するため,アノマリーは正規化されて消える

という主張です。

　実験的に,ν_ｅｅの弾性散乱を調べることによって,式(86)

と式(87)を区別して,どちらが現実に近いか？を見ることは

可能です。

しかし,現在の実験の限界上では,なお,結果は(86)と矛盾

しないものですが,非常に限定的になりつつあります。
 

※(注11-1):現在では,ニュートリノ以外の荷電レプトンは

μ粒子,ｅ(電子)の他に,τ粒子が存在することがわかって

います。

　これらの粒子の電荷は,素電荷ｅを単位として全て(－1)です。
 

一方,軸性カレントの三角アノマリーは,ループをつくる粒子

の電荷に比例しており,その相殺はレプトンの寄与だけでは

不可能と考えられています。

　そこで,ハドロンを構成する３世代のクォークを考慮に入れます。

それは,(ｕ,ｄ)(アップ,ダウン)(ｃ,ｓ)(チャーム,ストレンジ),

(ｔ,ｂ)(トップ,ボトム)です。

これらは,それぞれ,(2/3,－1/3)の電荷を持って　います。

　そして,現実にはカラー自由度の３があるので,電荷の総和

は(＋３)です。
 

これらに,レプトンの３世代:(ｅ,ν_ｅ),(μ,ν_μ) (τ,ν_τ)

が対応していて,電荷はそれぞれ,(－1,0)で総和は(－３)です。
 

また,それぞれの粒子には電荷が反対符号の反粒子も存在します。
 

いずれにしろ.全ての三角グラフのアノマリーの寄与は,

トータルでは,相殺され消えます。

この相殺は,クォークにカラー自由度が無かったり,レプトン

に３世代が無いなら,成立しません。

そして,例えばν_ｅｅ散乱でアノマリーが寄与しない理由は,

その散乱振幅に,摂動の中間状態としてｅやν_ｅだけでなく,

あらゆる可能な素粒子の三角ループが介在するFeymanグラフ

の寄与が総和されてゼロになることである,と考えられます。
 

こうしたことを最初に指摘したのは,確かｔ'Hooftであった 

と記憶しています。

　こんなことは,ネットででも,チョッと調べればわかること 

でしょうが,最近,歳のせいか,認知症や老人性のウツ病のケ

があるのか？ブログ原稿書きのときには,自分の参照中の

ノート以外の記憶にあることを調べるのも億劫で面倒くさい。

という心境です。もう先は長くないかも？？　　　

　(注11-1終わり※)

　まだ,いつもより短かいですが,次の項目: 

§3.3 Connection between γ₅ -Invaliance and a Conserved 

Axial-vectot current in massless　Electrodynamics 

(γ₅ –不変性と質量ゼロの電磁力学における軸性ベクトル 

カレントの保存の間の関係)
 

は,これまでとは,一見,全く別とも思われる論題を考察する 

ので今日はここで終わります。

　次回は§3.3に入る予定です。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory

　(1970 Brandeis University SummerInstitute in

Theoretical Physics)　VolumeⅠ