摂動論のアノマリー(12）

摂動論のアノマリーの続きです。
 

※余談ですが,私の現在の満身創痍状態は,70近い高齢に

加え30年前から持病の糖尿病で今は血管がボロボロに

なってるせいだと思います。
 

最近,健康番組を見ていると,糖尿病は身体にとっては諸悪

の根源で,認知症の引き金になりやすく,また,高齢とともに

海馬が委縮して,記憶もまばらになっていくといわれますが,

　なぜか私は幸か不幸か,脳だけは以前に増してよく働いて

くれてるようです。

　線香花火が落ちて消える直前の輝きなのか？,はたまた

狂い咲きなのか？三振前の大当たりなのか？　という

ところでしょうが。。。

　ただし,残念なことに身体は動きませんし,さびしい

ことに五欲,煩悩は弱いです。※)
 

§3.3 Connection between γ₅ -Invaliance and a Conserved 

Axialvectot current in massless　Electrodynamics 

(γ₅ –不変性と質量ゼロの電磁力学における軸性ベクトル 

カレントの保存の間の関係)
 

さて,質量がゼロのスピノル電磁力学,すなわち,Lagrangian密度

が,Ｌ(ｘ)＝ψ~(ｘ)(iγ∇―ｍ₀)ψ(ｘ)－(1//4Ｆ_μν(ｘ)Ｆ^μν(ｘ) 

－ｅ₀Ａ^μ(ｘ)...(1)　で与えられる標準的なQEDで,

　荷電Fermion の質量がゼロ;ｍ₀＝0と仮定したケースにおいて,

軸性ベクトルの摂動三角グラフの効果を考察します。
 

この考察では,三角グラフがLagrangianの対称性と

保存カレ)ントの間の通常の理論的関係を破るという結論

に導く,ことが見出されます。
 

以前の議論におけるように,特異な現象がないとき成立する 

標準理論から始めます。
 

{Φ(ｘ)}＝{Φ₁(ｘ),φ₂(ｘ),..}と∂_λΦ}を,それぞれ,

正準場と,その時空座標による微分係数とし,場の理論

が次のLagrangian密度で記述されるとします。
 

すなわち,Ｌ(ｘ)＝Ｌ({Φ},{∂_λΦ})　.(88) です。
 

Ｌの不変性と保存カレントの関係を確立するために,

場に対して,次の無限小局所ゲージ変換を施します。
 

パラメータ:ｖ(ｘ)をｖ(ｘ)～ 0(無限小)として,

Φ_j(ｘ) → Φ_j(ｘ)＋ｖ(ｘ)Ｇ_j({Φ(ｘ)})..(89)です。
 

これに対応するカレント:ｊ^αをｊ^α＝－δＬ/δ(∂_αｖ) (90) 

で定義します。
 

このとき,場の運動を記述するEuler-Lagrange方程式 

を用いることによって.このカレントの４次元発散が, 

∂_αｊ^α＝－δＬ/δｖ ..(91)　で与えられることが 

容易にわかります。
 

※(注12-1):　(91)式を証明します。 

まず,Φ_j'＝Φ_j＋ｖ(ｘ)Ｇ_j({Φ})と置いて, 

Φ_jの変分をδΦ_j＝Φ_j'－Φ_j＝ｖ(ｘ)Ｇ_j({Φ}) 

と書きます。
 

すると,∂_λΦ_j'＝∂_λΦ_j＋∂_λＶ・Ｇ_j＋Ｖ・∂_λＧ_j 

より,δ(∂_λΦ_j)＝∂_λ(δΦ_j)＝∂_λＶ・Ｇ_j＋Ｖ・∂_λＧ_j 

です。
 

それ故,Φ_jの変分に対するＬの変分は, 

δＬ=Ｌ({Φ’},{∂_λΦ’})－Ｌ({Φ},{∂_λΦ}) 

＝(∂Ｌ/∂Φ_j)δΦ_j＋{∂Ｌ/∂(∂_λΦ)}δ(∂_λΦ_j) 

＝(∂Ｌ/∂Φ_j)ｖ・Ｇ_j({Φ}) 

＋{∂Ｌ/∂(∂_λΦ)}(∂_λｖ・Ｇ_j＋ｖ・∂_λＧ_j) 

で与えられます。
 

一方,δＬ/δＶ＝{Ｌ(ｖ＋δｖ)－Ｌ(ｖ)}/δｖ 

＝(∂Ｌ/∂Φ_j)Ｇ_j＋{∂Ｌ/∂(∂_λΦ_j)}(∂_λＧ_j) 

です。
 

そして,カレントの定義により, 

ｊ^α＝－δＬ/δ(∂_αｖ)＝－{∂Ｌ/∂(∂_αΦ)}Ｇ_jですから, 

∂_αｊ^α＝－∂_α {∂Ｌ/∂(∂_αΦ)}Ｇ_j－{∂Ｌ/∂(∂_αΦ)}∂_αＧ_j 

です。
 

ここで.Euler-Lagrange方程式: 

∂_α{∂Ｌ/∂(∂_αΦ_j)}－(∂Ｌ/∂Φ_j)＝0 を用いると, 

∂_αｊ^α＝－(∂Ｌ/∂Φ)Ｇ_j－{∂Ｌ/∂(∂_αΦ_j)}∂_αＧ_j 

を得ます。
 

この最右辺は,確かに,上記の(－δＬ/δｖ)に一致

していることがわかります。　(注12-1終わり※)
 

特に(89):Φ_j(ｘ) → Φ_j(ｘ)＋ｖ(ｘ)Ｇ_j({Φ(ｘ)}) 

のゲージ変換でｖ(ｘ)＝ｖ(一定)であるとき∂_αｖ＝0 

で,これは局所ゲージ変換(local gauge transformation) 

ではなく大域ゲージ変換(global transformation)です。
 

特に,大域ゲージ変換に対してＬが不変で,δＬ/δｖ＝0 

のとき,カレントは,ｊ^α＝－{∂Ｌ/∂(∂_αΦ)}Ｇ_jで与えられ 

∂_αｊ^α＝0　が成立します。(Noetherの定理)
 

そこで,Lagrangiian:Ｌを不変に保つ任意の連続変換に, 

１つの保存カレントが対応します。
 

そして,容易に証明できるように,カレントｊ^αと関わる 

チャージをＱ(ｔ)＝∫ｄ³ｘｊ⁰(ｘ,ｔ)とすると,

これは次の性質を持ちます。
 

すなわち,ｄＱ(ｔ)/ｄｔ＝0。。（92ａ）,および, 

[Ｑ,Φ_j(ｘ)]＝iＧｊ(ｘ)..(92ｂ)　です。 

チャージ:Ｑは運動の恒量(constant)です。
 

※(注12-2) ∂_αｊ^α＝0　は,3次元空間のベクトル解析表現 

では,謂わゆる連続の方程式;∂ｊ⁰/∂ｔ＋divｊ＝0　を意味 

します。

　　故に,ｄＱ/ｄｔ＝(ｄ/ｄｔ)∫ｄ³ｘｊ⁰(ｘ,ｔ) 

＝－∫ｄ³ｘ(divｊ)＝－∫_S＝∞ｊｄＳ＝0　が

得られます。

　　次に,ｊ⁰＝－{∂Ｌ/∂(∂₀Φ_j)}Ｇ_jですが, 

正準理論では,π_j＝∂Ｌ/∂(∂₀Φ)_jはΦ_jの

正準共役運動量(Canonical conjugate momentum) 

であり,正準量子化は,これらが同時刻正準交換関係: 

[π_j(ｘ,ｔ),Φ_k(ｙ,ｔ)]＝－iδ_jkδ³(ｘ－ｙ)

を満たすという,量子条件を課すことでなされます。
 

そこで,ｊ⁰(ｘ)＝－π_j(ｘ)Ｇ_j(ｘ)ですから, 

[ｊ⁰(ｘ,ｔ),Φ_j(ｙ,ｔ)]＝iＧ_j(ｘ,ｔ)δ³(ｘ－ｙ)

です。

　　したがって,

[Ｑ,Φ_j(ｙ,ｔ)]＝∫ｄ³ｘ[ｊ⁰(ｘ,ｔ),Φ_j(ｙ,ｔ)] 

＝iＧ_ｊ(ｙ,ｔ),　つまり ,[Ｑ,Φ_j(ｘ)]＝iＧ_ｊ(ｘ)

が成立します。　(注12-2終わり※)
 

※(注12-3):変換の無限小パラメータ:ｖが一定の大域

ゲージ変換は第1種ゲージ変換,ｖが時空点ｘの関数である

ｖ＝ｖ(ｘ)のときの局所ゲージ変換は第2種ゲージ変換と

呼ばれる,ことがあります。

　　普通に,ゲ^―ジ変換に対して不変というと第2種ゲージ変換

に対する不変性を指すことが多く,この変換に対してＬが

不変なとき,系はゲージ対称性を持つといいます。

　　しかし,Noether定理が成立してカレントの保存則を得る

には,第1種ゲージ変換に対してLが不変であれば十分です。
 

もっとも,第2種ゲージ変換に対してLが不変であれば, 

特別な場合として,第1種ゲージ変換に対してLが不変な 

ことは明らかですから,第2種ゲージ変換に対してLが不変 

なら,同じカレント:ｊについて保存則が成立し運動の恒量 

としてチャージ:Ｑが存在します。
 

しかし,逆は成立しません。第1種ゲージ変換に対して系が

不変(Ｌが不変)であるとしても,第2種ゲージ変換に対して

系が不変であるとは限りません。
 

例えば,大域的な座標原点の平行移動(時空点の平行移動)

に対して系が不変(Ｌが不変)な場合,保存チャージとして

場の4元運動量;Ｐ_μ=(Ｐ⁰,Ｐ)を得ます。
 

しかし,一般に,局所的平行移動については,この系は不変性

を保てないではない,ことが多いです。
 

通常は,一様な平行移動不変性＝空間の一様性(＝座標原点

の位置の取り方の自由)から運動の恒量として運動量;Ｐ^μ

が,回転(ブースト)対称性＝空間の等方性(座標軸の向き

の取り方の自由)から角運動量:Ｍ^μνが得られます。
 

しかし,余談ですが,巨大個数の気体分子が容器の中に密閉

されていて.内部で衝突を繰り返して熱平衡にあるような

熱力学,統計力学の対象となるような系では,空間の一様性

も等方性も満たされず,ただ.時間の一様性のみ存在して,

運動の恒量としては,系のエネルギ－:Ｅ＝Ｐ⁰だけが存在

します。

　　そこで,統計力学を規定するのには,系の運動量Ｐも角運動量

Ｍも寄与せず,関係するのはＥのみです。　

　　(注12-3終わり※)
 

さて,本文の最後の式;[Ｑ,Φ_j(ｘ)]＝iＧ_ｊ(ｘ)..(92ｂ)

はＱが,ｖ＝一定のゲ－ジ変換の生成子(generator)をなす

ことを示しています。

※(注12-4):任意の状態ベクトル:|α＞に対して,ゲ－ジ変換 

を与えるユニタリ変換をパラメータ:ｖの関数としてＵ(ｖ) 

とすると,この変換は,状態空間では,|α＞ → Ｕ(ｖ)|α＞

なることを意味します。
 

任意の|α＞,|β＞に対して,場Φ_jの行列要素は 

＜α|Φ_j(ｘ)|β＞ → ＜α|Ｕ^＋(ｖ)Φ_j(ｘ)Ｕ(ｖ)|β＞ 

と変換されます。
 

これが,古典物理との対応原理を満たします。
 

すなわち,ｖが無限小のとき,

＜α|Φ_j(ｘ)|β＞ → ＜α|Ｕ^＋(ｖ)Φ_j(ｘ)Ｕ(ｖ)|β＞ 

＝＜α|Φ_j(ｘ)＋ｖＧ_j({Φ(ｘ)})|β＞　です。
 

|α＞,|β＞は任意なので,

Ｕ^＋(ｖ)Φ_j(ｘ)Ｕ(ｖ)＝Φ_j(ｘ)＋ｖＧ_j({Φ(ｘ)})ですが,

[Ｑ,Φ_j(ｘ)]＝iＧ_ｊ(ｘ)を代入すると, 

Φ_j(ｘ)－iｖ[Ｑ,Φ_j(ｘ)]＝(1－iｖＱ)Φ_j(ｘ)(1＋iｖＱ)

です。

　　したがって,ｖ～ 0では,Ｕ(ｖ)＝1＋iｖＱ ～ exp(iｖＱ)

です。ｖが無限小でないときは,Ｕ(ｖ)＝exp(iｖＱ)で,

このＱを数学では,Lie群の元であるユニタリ変換:Ｕ(ｖ)

のLie代数といい,物理学では,ゲージ変換の生成子

(generator)といいます。
 

Ｕ(ｖ)がユニタリ(Unitary)演算子:, 

つまり,Ｕ^＋(ｖ)＝exp(－iｖＱ^＋)＝Ｕ^-1(ｖ)＝exp(－iｖＱ) 

なので,Ｑ^＋＝Ｑとなり,Ｑはエルミート(Hermite)演算子です。
 

これはＱの期待値が実数であることを意味します。
 

(注12-4終わり※)

　　次に,質量ゼロの電磁力学のケースに特殊化し,
　　変換;(89):Φ_j(ｘ) → Φ_j(ｘ)＋ｖ(ｘ)Ｇ_j({Φ(ｘ)}) 

　が,スピノル場:ψ(ｘ)に対するゲージ変換;

 ψ(ｘ) → {1＋iγ₅ｖ(ｘ)}ψ(ｘ)>..(93)である場合

 を考えます。

　　この変換はQEDのLagrangian(1):

 Ｌ(ｘ)＝ψ~(ｘ)(iγ∇―ｍ₀)ψ(ｘ)－(1//4Ｆ_μν(ｘ)Ｆ^μν(ｘ) 

　－ｅ₀Ａ^μ(ｘ)で,ｍ₀＝0としたものを,ｖが定数のとき不変に

　保ちます。

　　そこでカレントを計算すると,ｊ^α＝－δＬ/δ(∂_αｖ)

 ＝－{∂Ｌ/∂(∂_αψ)}γ₅ψ＝ψ~γ^αγ₅ψ..(94）です。

　　これは,既に論じてきた軸性ベクトルカレント:ｊ^5αに

　一致するので,式:(68):∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)

 ＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ に従えば,
　 

∂_αｊ^α＝{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ..(95) 

を満たすはずです。
 

それ故,正準定式化と運動方程式を用いて得られた式(91): 

∂_αｊ^α＝－δＬ/δｖ が,この場合には破れています。
 

つまり,軸性ベクトルの三角グラフの存在のために,たとえ

質量ゼロの電磁力学のLagrangian(そして摂動論のあらゆる

次数)が不変であろうと,γ₅-変換(＝Chiral変換)と関わる

軸性ベクトルカレントは保存しないことがわかります。
 

しかしながら,γ₅-変換に対応するNoetherの保存カレント

が存在しないときでさえ,なお,(92):ｄＱ/ｄｔ＝0,

[Ｑ,Φ_j(ｘ)]＝iＧ_ｊ(ｘ)の性質を持つ,変換の生成子:

Ｑ＝Ｑ~⁵が存在する,ことがわかります。

これは興味深いことです。
 

このことを見るために,修正カレント:ｊ~⁵_μを次のように 

定義します。

　　すなわち,

ｊ~⁵_μ(ｘ)＝ｊ⁵_μ(ｘ)－(α₀/π)Ａ^ξ(∂^ρＡ^τ)ε_ξμτρ.(96)

です。

　　これは,

(95):∂^μｊ⁵_μ＝{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ 

を用いると,保存条件:∂^μｊ~⁵_μ(ｘ)＝0..(97)　

を満足することがわかります。

　　このｊ~⁵_μ(ｘ)は保存しますが,これは明らかに電磁場

のゲージの取り方に依存するため,観測可能なカレント

演算子ではありません。
　 (※電場,磁場など,電磁力学で実際に観測される量は

ゲージ不変であることが必要です。※)

　※(注12-5)

ｊ~⁵_μ(ｘ)＝ｊ⁵_μ(ｘ)－(α₀/π)Ａ^ξ(∂^ρＡ^τ)ε_ξμτρ 

なので,ゲージ変換:

Ａ^ξ(ｘ) → Ａ'^ξ(ｘ)＝Ａ^ξ(ｘ)＋∂_ξΛ, 

かつ,ψ(ｘ) → ψ'(ｘ)＝exp{iｅ₀Λ(ｘ)}ψ(ｘ)

を考えると,

　　まず,ψ~(ｘ) → ψ'~(ｘ)＝ψ~(ｘ)exp{iｅ₀Λ(ｘ)}

です。

　　それ故,ψ~γ_μγ₅ψ → ψ'~γ_μγ₅ψ'＝ ψ~γ_μγ₅ψ, 

つまり,ｊ⁵_μ ← ｊ'⁵_μ＝ｊ⁵_μですから,ｊ⁵_μはゲージ不変 

です。また,よく知られているように,場の強さは, 

Ｆ^τρ → Ｆ'^τρ＝Ｆ^τρを満たします。
 

しかし,Ａ^ξ(∂^ρＡ^τ)ε_ξμτρ＝(1/2)Ａ^ξＦ^τρε_ξμτρですが 

Ａ^ξＦ^τρ → Ａ'^ξＦ^τρ≠Ａ^ξＦ^τρであり,これはゲージ不変 

ではありません。　　(注12-5終わり※)
 

それでも,ｊ~⁵_μに関連するチャージを,

Ｑ~⁵＝∫ｄ³ｘｊ~⁵₀(ｘ)とすると,これは,

Ｑ~⁵＝∫ｄ³ｘ{ψ^＋γ₅ψ＋(α₀/π)Ａ(∇×Ａ)} 

と書けて,ゲージ不変であり,それ故観測可能量(observable)

です。
 

※(注12-6):ｊ~⁵₀＝ψ^＋γ₅ψ－(α₀/π)Ａ^ξ(∂^ρＡ^τ)ε_ξ0τρ 

＝ψ^＋γ₅ψ＋(α₀/π)ε_ijkＡⁱ(∂^ｊＡ^k) 

＝ψ^＋γ₅ψ＋(α₀/π)Ａ(∇×Ａ)　です。
 

そして,Ｂ＝∇×Ａは磁場であり明らかにゲージ不変です。
 

また,Ａ → Ａ＋∇Λに対して,Ａ(∇×Ａ)＝ＡＢ  

→ (Ａ＋∇Λ)Ｂ＝ＡＢ＋(∇Λ)Ｂ＝ＡＢ＋∇(ΛＢ)－∇Ｂ 

ですが,∇Ｂ＝0,かつ,∫ｄ³ｘ∇(ΛＢ)＝0 より 

∫ｄ³ｘＡ(∇×Ａ)はゲージ不変です。　

　(注12-6終わり※)
 

Ｑ~⁵については,(97):∂^μｊ~⁵_μ(ｘ)＝0.により

ｄＱ~⁵/ｄｔ＝0 が成立し,また,生成子の条件:[

Ｑ~⁵,ψ(ｘ)]＝－γ₅ψ(ｘ)　が満たされます。
 

これは,スピノル場の同時刻正準反交換関係: 

{ψ_α(ｘ,ｔ),ψ^＋_β(ｙ,ｔ)}_＋＝δ_αβδ³(ｘ－ｙ)

を用いて容易にチェックできます。
 

切りがいいし,今日はここで終わります。
 

次回は,第3章の最終節である,§3.4 Low Energy Theorem  

for 2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)(低エネルギー定理)に入ります。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory

(1970 Brandeis University SummerInstitute in

Theoretical Physics)　VolumeⅠ