摂動論のアノマリー(13）

摂動論のアノマリーの続きです。

  §3.4 Low Energy Theorem for 2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)

(2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)に対する低エネルギー定理)

　本章の最後に,アノマリ－のある軸性ベクトル発散の式 

(68):∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵ 

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ は, 

真空から2光子の,素朴な発散:2iｍ₀ｊ⁵の行列要素に

対する興味深い「低エネルギー定理」に誘導すること

を示します。

　まず,第１に,上の式(68)は輻射補正のない三角グラフを

想定し,下図に示すようなグラフの寄与を考慮せずに導出

されたこと,に着目します。

　次数を勘定すると,これらのグラフもまた外線の本数

は同じで,単純な最低次の三角グラフと同じく.運動量

の１次で発散します。
　(※ ↑ 部分グラフの自己エネルギー部分をくりこんて,

ｍ₀ → ｍ,ｅ₀ → ｅなどとした後も全体の三角グラフ

の１次発散は残ります。)

　それ故,これら自身も軸性ベクトルカレントの発散に

おけるアノマリーに寄与します。

　そうしたアノマリー項は,§2.2で,可能な引き算項に

ついて挙げた６つの条件を満足するLorentz擬スカラー

でなければなりません。

　そこで,これらも式(68)における右辺の最低次の三角

アノマリーと同一の形を持つ必要があることが容易に

わかる,と思います。

 そこで式(68)を次式に置き換えることによって三角

グラフの輻射補正に由来する三角アノマリーの可能性

を考慮に入れます。

　すなわち,∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵

＋{α₀/(4π)}(1＋Ｃ)Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ (100)

とします。

　以下,上記の式(100)を「低エネルギー定理」の基礎となる

式として用います。

　先に進むため,真空:|0＞と２光子状態:

|γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)＞による(68)の行列要素を取ります。

　２光子のKetベクトル:＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|の持つ

４元運動量ｋ₁,ｋ₂と偏光:ε₁^＋,ε₂^＋から形成できる唯一

の擬スカラーはｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρですから,

　(68),または(100)の各項の行列要素は全て,この表現形

を因子として含むはずです。

　そこで,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μｊ⁵_μ|0＞

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ(ｋ₁,ｋ₂) (101ａ)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＧ(ｋ₁,ｋ₂) (101ｂ)

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＨ(ｋ₁,ｋ₂).(101ｃ)

と書くことができます。

　ここで,Ｆ(ｋ₁,ｋ₂),Ｇ(ｋ₁,ｋ₂),Ｈ(ｋ₁,ｋ₂)はスカラー:

(ｋ₁)²,(ｋ₂)²,(ｋ₁ｋ₂)の関数ですが,光子は共に実光子

なので,(ｋ₁)²＝(ｋ₂)²＝0であり,結局,(ｋ₁ｋ₂)のみの

関数です。

　等式(100)の行列要素としての形は,Ｆ,Ｇ,Ｈによって

次のように単純な等式に書き直せます。

　Ｆ(ｋ₁,ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁,ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈｋ₁,ｋ₂) .(102)

です。

　この式(102)から[]亭エネルギー定理」を導出するため.,

次に定義する行列要素:

Ｍ_μ＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ⁵_μ|0＞

についての注目すべき運動学的性質を用います。

　前節で着目したように,Lorentz不変性,ゲージ不変性, 

Bose統計の要請は,Ｍ_μが次の一般形をとることを要求

します。

　　これについては「摂動論のアノマリー(6)」でのＲ_σρμ

　についての考察を参照します。

　　以下,煩雑さを避けるため,Ｍ_μを表現する係数を前に

Ｒ_σρμを表わすのに用いたのと,全く同じＡ_j(1,2、6)

で表わしますが,ここでは当然,前とは異なるものを

意味します。
 

Ｍ_μ＝ε₁^σ＊ε₂^ρ＊[Ａ₁ｋ₁^τε_τσρμ＋Ａ₂ｋ₂^τε_τσρμ 

＋Ａ₃ｋ_1ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋Ａ₄ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ 

＋Ａ₄ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋Ａ₅ｋ_1σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ 

＋Ａ₆ｋ_2σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ] .(103) 

と書くことができて

　 Ａ₁＝(ｋ₁ｋ₂)Ａ₃＋(ｋ₂)²Ａ₄,

Ａ₂＝(ｋ₁)²Ａ₅＋(ｋ₁ｋ₂)Ａ₆であり,

Ａ₃（ｋ₁,ｋ₂）=-Ａ₆（ｋ₂,ｋ₁）,

Ａ₄(ｋ₁,ｋ₂)＝－Ａ₅(ｋ₂,ｋ₁)　,.(104)

です。

   軸性カレントの発散の行列要素は,(ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μに

比例します。

　　ここで６つの4元ベクトル:ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆによって

満足される恒等式を用います。

　　すなわち,(ａｆ)|ｂｃｄｅ|＋(ｂｆ)|ｃｄｅａ|

＋(ｃｆ)|ｄｅａｂ|＋(ｄｆ)｜ｅａｂｃ｜

＋(ｅｆ)｜ａｂｃｄ｜＝0　.(105)　です。

ただし,(ａｆ)＝ａ・ｆ(ａとｆのスカラー積) で

あり,|ａｂｃｄ｜＝ａ^ξｂ^τｃ^σｄ^ηε_ξτση etc.

です。

　　※注13-1) (105)を証明します。
 

まず,|ａｂｃｄ｜＝ａ^ξｂ^τｃ^σｄ^ρε_ξτσρ etc.は 

明らかに４元ベクト:ａ,ｂ,ｃ,ｄを列ベクトルとする

４×４行列の行列式に等しいです。

　　さらに,ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅを列ベクトルとする４×５行列

に,1行(ａ^μ,ｂ^μ_,ｃ^μ_,ｄ^μ_,ｅ^μ)を上に追加して５×5行列

をつくり,その行列式を展開すると,  

ａ^μ|ｂｃｄｅ|＋ｂ^μ|ｃｄｅａ|＋ｃ^μ|ｄｅａｂ| 

＋ｄ^μ｜ｅａｂｃ｜＋ｅ^μ｜ａｂｃｄ｜を得ます。

　　この展開前の５×5行列式は.μが,0,1,2,3のどれでも

行が一致するので,ゼロです。

　　そこで両辺にｆ_μを掛けてμで総和縮約すれば,

(ａｆ)|ｂｃｄｅ|＋(ｂｆ)|ｃｄｅａ|＋(ｃｆ)|ｄｅａｂ| 

＋(ｄｆ)｜ｅａｂｃ｜＋(ｅｆ)｜ａｂｃｄ｜＝0　

が得られます。　(注13-1終わり※),

　　さて,(ａｆ)|ｂｃｄｅ|＋(ｂｆ)|ｃｄｅａ|

＋(ｃｆ)|ｄｅａｂ|＋(ｄｆ)｜ｅａｂｃ｜

＋(ｅｆ)｜ａｂｃｄ｜＝0　においてａ＝ｆ＝ｋ₁,ｂ＝ｋ₂,

ｃ＝ｋ₁＋ｋ₂.ｄ＝ε₁^＊,ｅ＝ε₂^＊と置くことにより,
 

(ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μ

＝(Ａ₃－Ａ₆)(ｋ₁ｋ₂)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ(106)

を得ます。(※ここは本文をそのまま直訳しただけです。) 

※(注13-2):上の式(106)を証明します。

　　(103)のＭ_μを表わす式の両辺に(ｋ₁＋ｋ₂)^μを掛けて, 

実光子条件:(ｋ₁)²＝(ｋ₁)²＝0, および,光子の横波条件: 

ｋ₁ε₁^＊＝ｋ₂ε₂^＊＝0　を適用します。

　　このとき,例えばｋ₁^τｋ₁^σε_τσρμのように,ε_τσρμに

同じｋ₁が２個以上掛かった因子などはゼロと消えるため,
 

(ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μ 

＝(ｋ₁＋ｋ₂)^μ[ε₁^σ＊ε₂^ρ＊{Ａ₁ｋ₁^τε_τσρμ

＋Ａ₂ｋ₂^τε_τσρμ＋Ａ₃ｋ_1ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ

＋Ａ₄ｋ_2ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ＋Ａ₄ｋ₂^ρｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσμ

＋Ａ₅ｋ₁^σｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτρμ}]

　　＝Ａ₁|ｋ₁ε₁^＊ε₂^＊(ｋ₁＋ｋ₂)|＋Ａ₂|ｋ₂ε₁^＊ε₂^＊(ｋ₁＋ｋ₂)|

＝Ａ₁|ｋ₁ε₁^＊ε₂^＊ｋ₂|＋Ａ₂|ｋ₂ε₁^＊ε₂^＊ｋ₁| 

＝(Ａ₁－Ａ₂)|ｋ₁ε₁^＊ε₂^＊ｋ₂|　となります。

　　そして,Ａ₁＝(ｋ₁ｋ₂)Ａ₃＋(ｋ₂)²Ａ₄＝(ｋ₁ｋ₂)Ａ₃, 

Ａ₂＝(ｋ₁)²Ａ₅＋(ｋ₁ｋ₂)Ａ₆＝(ｋ₁ｋ₂)Ａ₆　ですから 

(ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μ＝(Ａ₃－Ａ₆) (ｋ₁ｋ₂)|ｋ₁ε₁^＊ε₂^＊ｋ₂| 

を得ます。

　　そして,|ｋ₁ε₁^＊ε₂^＊ｋ₂|＝ε₁^τ＊ε₂^σ＊ｋ₁^ξｋ₂^ρε_ξτσρ 

＝ε₁^τ＊ε₂^σ＊ｋ₁^ξｋ₂^ρε_ξτσρ

＝ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξσρτ 

＝ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρですから,結局,

式(106)が得られました。

　　どうも,本文に反して(106)を証明するだけなら,恒等式

(105)を使う必要はなかったようです。

　　　しかし,ちなみに,一応,ａ＝ｆ＝ｋ₁ｂ＝ｋ₂,

ｃ＝ｋ₁＋ｋ₂.ｄ＝ε₁^＊,ｅ＝ε₂^＊を式(105)に代入して

みると.(ｋ₁)²|ｋ₂(ｋ₁＋ｋ₂)ε₁^＊ε₂^＊|

＋(ｋ₂ｋ₁)|(ｋ₁＋ｋ₂)ε₁^＊ε₂^＊ｋ₁|

＋{(ｋ₁＋ｋ₂)ｋ₁}|ε₂^＊ε₁^＊ｋ₁ｋ₂|

＋(ε₁^＊ｋ₁^＊)|ε₂^＊ｋ₁ｋ₂(ｋ₁＋ｋ₂)|

＋(ε₂^＊ｋ₁)｜ｋ₁ｋ₂(ｋ₁＋ｋ₂)ε₁^＊|＝0　

です。

　　(ｋ₁)²＝(ｋ₁)²＝0, ｋ₁ε₁^＊＝ｋ₂ε₂^＊＝0　を用いると 

(ｋ₂ｋ₁)(|ｋ₂ε₁^＊ε₂^＊ｋ₁|＋|ｋ₂ε₁^＊ε₂^＊ｋ₁|

＋|ε₂^＊ε₁^＊ｋ₁ｋ₂|)＝0　です。

　　つまり,|ｋ₂ε₁^＊ε₂^＊ｋ₁|＋|ｋ₂ε₁^＊ε₂^＊ｋ₁|

 ＋|ε₂^＊ε₁^＊ｋ₁ｋ₂|を得ます。　　(注13-2終わり※)

　　さて,軸性ベクトルｊ⁵_μの(真空 → 2光子)の

行列要素:Ｍ_μは,

Ｍ_μ＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ⁵_μ|0＞ 

と定義されているので,

　　たった今証明した式(106): (ｋ₁＋ｋ₂)^μＭ_μ

＝(Ａ₃－Ａ₆)(ｋ₁ｋ₂)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ

は,(ｋ₁＋ｋ₂)^μ＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ⁵_μ|0＞ 

＝(Ａ₃－Ａ₆)(ｋ₁ｋ₂)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ 

を意味します。

　　一方,式(101ａ):＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μｊ⁵_μ|0＞ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ(ｋ₁,ｋ₂) 

の左辺:＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μｊ⁵_μ|0＞は, 

明らかに,上記の,

(ｋ₁＋ｋ₂)^μ＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|ｊ⁵_μ|0＞ 

の定数倍です。

　　つまり,

(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ(ｋ₁,ｋ₂) 

∝(Ａ₃－Ａ₆)(ｋ₁ｋ₂)ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ

です。

　　そして, Ｆ(ｋ₁,ｋ₂)は(ｋ₁ｋ₂)のみの関数なので,

これをＦ(ｋ₁ｋ₂)と書けば,Ｆ(ｋ₁ｋ₂) ∝ (ｋ₁ｋ₂)

と結論されます。

   故に,Ｆ(0)＝0..(108)　です。

   これは,素朴な発散の(真空 → 2光子)の行列要素: 

(101ｂ): ＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＧ(ｋ₁,ｋ₂) 

のＧ(ｋ₁,ｋ₂)を,
 

演算子:{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρの行列要素, 

つまり,(101ｃ): 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＨ(ｋ₁,ｋ₂) 

のＨ(ｋ₁,ｋ₂)に関係付ける「低エネルギー定理」

を与えます。

   すなわち,先の式(102):

Ｆ(ｋ₁,ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁,ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈｋ₁,ｋ₂) 

が成立しますが,これを,

Ｆ(ｋ₁ｋ₂)＝Ｇ(ｋ₁ｋ₂)＋(1＋Ｃ)Ｈｋ₁ｋ₂) 

と書けば,0＝Ｆ(0)＝Ｇ(0)＋(1＋Ｃ)Ｈ(0)　

が得られます。

　　したがって,Ｇ(0)＝－(1＋Ｃ)Ｈ(0)　..(109) です。
 

摂動論のゼロでない最低次では,Ｃは無視されます。 

(※何故ならＣは三角グラフの高次補正の輻射補正係数です。)
 

Ｈ(0)は「摂動論のアノマリー(8)」で与えた,ｊ⁵_μ,₀ｊ⁵,および

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρに対するFeynmanルール: 

ｊ⁵_μ(ｘ) ｐ←ｐ' ⇔　γ_μγ₅ 

ｊ⁵(ｘ)　 ｐ←ｐ' ⇔ γ₅ 

{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ_τρε_ξστρ ｋ₁,σ←ｋ₂,ρ  

⇔　(－2α₀/π)ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξστρ 

から評価することができて,

Ｈ(0)＝2α₀/πです。故にＧ(0)＝－2α₀/π..(110)

です。

　　※(注13-3:何故なら,ｋ₁,ｋ₂→ 0 の低エネルギー2光子

の極限で上記のFeynmanルールから,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2(－2α₀/π)ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξστρ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＨ(0)

と掛けるので,Ｈ(0)＝2α₀/π　を得ます。

　　そして,Ｇ(0)＝－(1＋Ｃ)Ｈ(0)であり,ｋ₁,ｋ₂→ 0

の低エネルギー２光子の極限では,Ｃ＝0 ですから,

Ｇ(0)＝－2α₀/π です。　(注13-3終わり※)

Ｇ(0)に対するこの結果は,もちろん,大した面倒も

なく,直接,式(61):Ｒ_σρ＝ｋ₁^ξｋ₂^τε_ξτσρＢ₁,

Ｂ₁,＝8π²ｍ₀Ｉ₀₀(ｋ₁,ｋ₂)　に与えられたＧに対する

最低次の表現から導出できます。

　　すなわち,Ｇ(0)

＝[iε₁^＊σε₂^＊ρ(－iｅ₀²)(2π)^-4(2ｍ₀Ｒ_σρ)

/ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ]_{k1,k2→ 0}

＝ｅ₀²(2π)^-4(2ｍ₀Ｂ₁) _{k1,k2→ 0}

＝－ｅ₀²/(2π²)＝－2α₀/π..　(111)
　

となることがわかります。
 

※(注13-4):何故なら, 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＧ(ｋ₁ｋ₂) 

は,ｋ₁,ｋ₂→ 0 の低エネルギー極限では,
 

この最低次の寄与の表現:

(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2iε₁^σ＊ε₂^ρ＊(－iｅ₀²)(2π)^-4(2ｍ₀Ｒ_σρ) 

に等しいからです。　　(注13-4終わり※)
 

しかしながら,次節で詳細に見るように,「低エネルギー定理」 

の本当の重要性は,Ｇ(0)に対する式(110)は.あらゆる輻射補正 

を注意深く考慮に入れても,なお",正確に正しい"ということ

です。(※ただし,Ｇ(0)＝－2α₀/πではなくＧ(0)＝－2α/π

が正しいのですが。。)

　　これで第３章が終わったので,今日はここまでです。

　　参照ノートの日付は1995年1/26(水)です。2/1の私の

45歳の誕生日直前です。

　　お金になる研究者などの仕事のためとかならともかく,

もっと人生イロイロあるのに,いい年をして何を真面目

に勉強してたんだか？ 。まったく。。。
　(※ 柔肌の熱き血潮に触れも見で,さみしからずや,

道を説く君(与謝野晶子)。。。)

　さて,次回は,第４章,Absence of Radiative Corrections

(輻射補正の欠如)に入る予定です。

　(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory

(1970) Brandeis University SummerInstitute in

Theoretical Physics)　VolumeⅠ