摂動論のアノマリー(14)

  摂動論のアノマリーの続きです。
 

4. Absence of Radiative Correction 

(輻射補正の欠如).

今からは,前章-前節の最後で持ち上がった問題: 

「三角グラフヘの輻射補正はアノマリーのある

軸性ベクトルの発散方程式を,修正させるか否か？」 

ということを取り扱います。

   すなわち,式.(100):∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵ 

＋{α₀/(4π)}(1＋Ｃ)Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ  

における定数Ｃの値は何か？　

   そして式(110):Ｈ(0)＝2α₀/π.および,Ｇ(0)＝－2α₀/π

の「低エネルギー定理」は,どのように修正を受けるか？

ということを論じます。

   そして,結局,Ｃ＝0 であり,式(110)は摂動論のあらゆる 

オーダーで正確である,という著しい結果を見出します。
 

この結論は,基本的な三角グラフへの輻射補正は,

少なくとも５つの軸性頂点を持つ軸性ベクトルループ

を含み,それは最低次の軸性ベクトルの三角グラフに類似

せず,通常の,アノマリーのない軸性ベクトルWard恒等式

を真に満足する,ということに気付くことによって発見的

に理解できます。
 

そこで,仮想光子の運動量が固定されているとき,複雑な

輻射補正のグラフは,発散アノマリーを持ちません。
 

仮想光子の４元運動量は,基本的にこれらWard恒等式の

両辺にパラメータとして現われるので,仮想光子積分が,

あまりにもひどい発散をしない限り,Ward恒等式はこの

積分が実行された後でさえ成立し続けます。
 

本章の目的は,この発見的論旨を,より詳細な計算で

裏付け,三角グラフの輻射補正における通常のくり込み

可能な無限大によって何の問題も生じない,ことを示す

ことです。
 

§4.1.General Augument(一般的論旨)
 

最低次のアノマリーを持つ,軸性ベクトルの発散の式(68): 

∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵ 

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ  

および, 

「低エネルギ0定理」(110):

Ｈ(0)＝2α₀/π,Ｇ(0)＝－2α₀/π は厳密に

正しいことを,以下に示します。

   すなわち,これらは摂動論の,最低次だけでなく任意

のオーダーまで正しい式であること,が示されます。

一般的議論から始めます。

基本的な考え方は次の通りです。
 

前章で見たように掛け算因子:Ｚ₂(これは(68)右辺の素朴な

発散項の行列要素を有限にするくりこみ定数)は,式(68)左辺

の軸性ベクトルカレントの行列要素からは,

発散を除去できません。
 

そこで,(68)の全ての項を同時的に有限にする単純な再計量 

というものは存在しません。

　　それ故,くり込まれていない(故に発散する)場と質量,

結合定数を含んではいても,(68)を直接,扱うのが最も

簡単です。
 

これらの発散量の道具を,well-defined(無矛盾的定義)

にするため,質量:Λの光子のregulator場(正規子の場)

を導入することによって,QEDの切断版をつくります。
 

切断処法は,通常のくりこみプログラムが実行される

ことを許します。

　　電子の裸の質量:ｍ₀と波動関数のくり込み定数:Ｚ₂,

および,軸性ベクトル頂点のくり込み定数;Ｚ_Ａは,

くり込まれた電荷と質量,および,切断Λの確立した

関数となります。
 

切断の場の理論において,くり込まれていない量に

対する(68)の正当性を証明するのは直線的で簡単

です。
 

それから,なお,切断が存在するときの行列要素:

＜2γ|2ｍ₀ｊ⁵|0＞に対する「低エネルギー定理」を

導出し,最後に素朴な発散のくり込まれた行列要素に

対する「低エネルギー定理」を得るために切断Λを

無限大に近づけます。
 

さて,第１章で述べたQEDの通常のFeynmanルールを修正

することによって,切断を導入します。
 

新しいルールは,次のように読めます。
 

(ⅰ)運動量がｐの電子内線に対して因子：

i(ｐ－ｍ₀＋iε)^-1を付与し,各頂点には,(－iｅ₀γ_μ)

を付与する。

　　運動量がｑの各光子内線に対しては,通常付与する

伝播関数:(－iｇ_μν)/(ｑ²＋iε)を,切断regulator

の寄与を含めたもの;:

(－iｇ_μν){1/(ｑ²＋iε)－ 1/(ｑ²―Λ²＋iε)} 

＝(－iｇ_μν)(－Λ²)/{(ｑ²＋iε)(ｑ²―Λ²＋iε)}..(112) 

で置き換える。(光子伝播関数の正規化）
 

(ⅱ)下図の２頂点の真空偏極(vaccum polarization)ループ

に対する寄与を次式で与える。

すなわち,Π_μν⁽²⁾(ｑ)＝(－i)∫ｄ⁴ｋ(2π)^-4 

[Ｔr|γ_μ(ｐ－ｍ₀＋iε)^-1γ_ν(ｐ＋ｑ－ｍ₀＋iε)^-1}]

(113)　です。
 

このΠ_μν⁽²⁾(ｑ)が出現すれば,いつでもゲージ不変の

引き算項を用いることができます。

　　すなわち, 

Π_μν⁽²⁾(ｑ)=(－ｑ²ｇ_μν＋q_μq_ν){Π⁽²⁾(ｑ²)－Π⁽²⁾(0)}

(114)　です。
 

※(注14-1:上記の式(114)の説明です。

　　以前,既に「摂動論のアノマリ-(1)」で詳述したように,

真空偏極の２次の固有グラフの寄与;Π⁽²⁾_μν(ｑ)を単に

全てのオーダーの寄与を示すのと同じ記号でΠ_μν(ｑ)

と書けば,ゲージ不変性条件により,ｑ^μΠ_μν(ｑ)＝0,

かつ,ｑ^νΠ_μν(ｑ)＝0 です。
 

それ故,Π_μν(ｑ)＝(ｑ_μq_ν―ｑ²ｇ_μν)Π(ｑ²)　
　 と書けます。 Π_μν(ｑ)は２次発散しますがΠ(ｑ²)は

高々,対数発散です。
,

光子伝播関数;iＤ_F^μν(ｑ)＝(－iｇ^μν/ｑ²)の内線に

真空偏極グラフを挿入したあらゆるオーダーの寄与を

総和した級数和が,真の伝播関数: iＤ_F'^μν(ｑ)である

というのを図示すれば,

ですが,これの自己エネルギー固有部分を２次の真空

偏極の寄与.Π^μν(ｑ)}(に限定して,式に書き下せば,
 

iＤ_F'^μν(ｑ)＝(－iｇ^μν/ｑ²)

＋(－iｅ₀²/ｑ²){iΠ^μν(ｑ)}(－i/ｑ²) 

＋(－iｅ₀²/ｑ²){iΠ^μλ(ｑ)}(－i/ｑ²){iΠ_λ^ν(ｑ)}

×(－i/ｑ²)＋....　

　　です。
 

実際には寄与しないスカラー光子や縦波光子を無視

すると,Ｄ_F'^μν(ｑ)

＝(－ｇ^μν/ｑ²)＋{(ｅ₀²/ｑ²)Π^μ_λ(ｑ)Ｄ_F'^λν(ｑ),

　 故に, {ｑ²ｇ_μλ－ｅ₀²Π_μλ(ｑ)}Ｄ_F'^λ_ν(ｑ)

＝－ｇ_μνです。

　 これに,Π_μν(ｑ)＝(―ｑ²ｇ_μν＋ｑ_μq_ν)Π(ｑ²)

を代入すると,

{ｑ²ｇ_μλ－(－ｑ²ｇ_μλ＋ｑ_μｑ_λ)ｅ₀²Π(ｑ²)}

Ｄ_F'^λ_ν(ｑ)＝－ｇ_μνです。

   したがって,

 Ｄ_F'_μν(ｑ)＝－ｇ_μν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]

 ＋ｑ_μｑ^λｅ₀^２Π(ｑ²)/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]

 Ｄ_F'_λν(ｑ)　

 より.

   Ｄ_F'_μν(ｑ)＝―ｇ_μν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]
　 ＋(ｑ_μｑ_νに比例する項)という形を得ます。

　 右辺最後の縦波光子項は,計算には寄与しないので

　無視して,

 Ｄ_F'_μν(ｑ)＝―ｇ_μν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}]　

   です。

   対数発散するΠ(ｑ²)から,ｑ²をシフトしたものを

引けば有限になるので,Π~(ｑ²)＝Π(ｑ²)－Π⁾(0)

 とすれば,これは有限です。

   くり込んだ光子伝播関数Ｄ_F'~_μν(ｑ)を,右辺で

  Π(ｑ²)の代わりに,Π~(ｑ²)で置き換えたもので

  与えて,Ｄ_F'~_μν(ｑ)

 ＝―ｇ_μν/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π~(ｑ²)}] 

 とします。　　　(注14-1終わり※)
 

　さて,次図のような４つ以上の頂点を持つ真空偏極ループ

  は,カレントの保存条件を課して計算されます。

    既に見たように,さらなる引き算の必要なく,

 これらを有限にできます。

    ※(注14-2);「摂動論のアノマリー(2)」で示した

  ように.発散次数をＤとすると,これは,まず,内線

  により,ｂ＝光子の内線の個数,ｆ＝電子の内線の

  個数,ｋ＝内線運動量積分の個数として,
    Ｄ=4ｋ－2ｂ―ｆと書けます。

    さらに,この同じＤは,ｎ＝頂点の個数,Ｂ＝boson

 外線の個数,Ｆ＝fermion外線の個数とすると内線

   にも頂点ｎにも関係なく,Ｄ＝4－3Ｆ/2－Ｂ

   となります。これが次数勘定定理でした。

    そこで,上の2つのグラフでは,光子外線

 がＢ＝４Ｂ＝６でfermion外線は共に,Ｆ＝0

 なので,Ｄ＝0,Ｄ＝－２ です。
　　
　いずれにしろ,カレント保存条件(＝ゲージ不変性条件)

 から,少なくとも次数2が消費されて減るので実質的な

発散次数をＤ_effとすると,Ｄ_eff≦Ｄ－2となりＤは負と

なる のでこれ以上の引き算などの操作はしなくても,

収束します。   (注14-2終わり※)

  　(ⅲ)いつものように,各内線積分としてループ変数:ｌにわたる 

　因子:∫ｄ⁴ｌ(2π)-4が存在し,Fermionループであればさらに,

 因子:(－1)が加わる。
 

　(ⅳ)結合定数:ｅ₀^と,電子の裸の質量:ｍ₀,波動関数のくり込み

　因子:Ｚ₂を,くり込まれた量である電荷:ｅ,質量:ｍ,および

　切断:Λの関数として固定するため,第1章で概説した標準的

　反復くり込み手法を用いる。

　　このとき,有限なΛに対しては,量:ｅ₀^,ｍ₀,Ｚ₂は,全て

　有限となる。その理由は,光子伝播関数の正規化(および,

 ゲージ不変性)が,あらゆる頂点,伝播関数の自己

　 エネルギー部分:たとえば次図のようなΠ_μν⁽²⁾(ｑ)以外

　の全ての光子自己エネルギー部分を有限にするからです。
　　そして１方,自己エネルギー:Π_μν⁽²⁾(ｑ)²⁾自身も,既に

　陽な引き算で有限化されています。

    ここでｅ^₀はｅ₀と同じではなく,これらは次式で関係

　付けられていることに注意します。

 ｅ₀^²＝ｅ₀²/{1＋ｅ₀^２Π(0)}..(115)　です。

　　つまり,ｅ₀^は,謂わゆる中間くり込み電荷で,裸の電荷

　の最低次の真空偏極とその反復に関わる発散のみを除去

　することにより得られるものです。
 

※(注14-3): 私の学んだBjorken-DrellのVol.1のテキスト 

では発散回避については,最低次の真空偏極のみのくり込み

だけという趣旨で,光子のくり込み定数をＺ₃として,

中間くり込みでなく最終くり込みの物理的電荷をｅが,

 ｅ＝Ｚ₃^1/2ｅ₀,という形になるとされていました。

   光子伝播関数;

Ｄ_F'_μν(ｑ)＝(－ｇ_μν)/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(ｑ²)}] 

は,ｑ² → 0 では,
　Ｄ_F’_μν(ｑ)＝(－ｇ_μν)/[ｑ²{1＋ｅ₀^２Π(0)}] 

＝Ｚ₃Ｄ_Fμν(ｑ)＝Ｚ₃Ｄ_F'~_μν(ｑ)

に一致するというのがＺ₃の満たすべき条件でした。

  これは,Ｚ₃＝1/{1＋ｅ₀^２Π(0)}を意味します。
 

Ｚ₃＝1/{1＋ｅ₀^２Π(0)}＝ｅ²/ｅ₀²より,

ｅ²＝ｅ₀²/{1＋ｅ₀^２Π(0)}を得ます。

今の場合は,このｅがｅ₀^と定義されている

ようです。　(注14-3終わり※)
 

(ｖ)各電子外線と各光子外線にそれぞれ,波動関数のくり込み

因子:Ｚ₂^1/2,Ｚ₃^1/2＝ｅ/ｅ₀を付与する。
 

このルール:(ⅰ)～(ⅴ)の単純なセットは,通常のQEDの行列要素 

を有限にします。
 

これらのルールを,それらに次の正規化されたLagrangian密度 

(Regulated Lagrangian density):Ｌ^Ｒに対するFeynmanルール 

であることに着目ことにより,コンパクトに要約できます。
 

すなわち,Ｌ^Ｒ(ｘ)＝Ｌ₀^Ｒ(ｘ)＋Ｌ_Ｉ^Ｒ(ｘ) 

Ｌ₀^Ｒ(ｘ)＝ψ~(ｘ)(iγ_μ∂^μ－ｍ₀)ψ(ｘ)

－(1/4)Ｆ_μν(ｘ)Ｆ^μν(ｘ)＋(1/4)Ｆ^Ｒ_μν(ｘ)Ｆ^Ｒμν(ｘ)

－(1/2)Λ²Ａ^Ｒ_μ(ｘ)Ａ^Ｒμ(ｘ).

Ｌ_Ｉ^Ｒ(ｘ)＝－ｅ₀^ψ~(ｘ)(iγ_μψ(ｘ){Ａ^μ(ｘ)＋Ａ^Ｒμ(ｘ)}  

＋Ｃ⁽²⁾{Ｆ_μν(ｘ)＋Ｆ^Ｒ_μν(ｘ)}{Ｆ^μν(ｘ)＋Ｆ^Ｒμν(ｘ)}(116) 

です。

  ここでＡ^Ｒ_ν(ｘ)は,質量:Λの正規化ベクトルメソン場であり 

Ｆ^Ｒ_μν(ｘ)＝∂_νＡ^Ｒ_ν(ｘ)－∂_μＡ^Ｒ_ν(ｘ)は正規化場の強さ

のテンソルです。
 

※(注14-4):ψに対するEuler-Lagrange方程式, 

∂^μ{∂Ｌ^Ｒ/∂(∂^μψ_α)}－∂Ｌ^Ｒ/∂ψ_α＝0　から 

∂^μ(ψ~iγ_μ)_α＋ｍ₀ψ~_α

＋ｅ^₀(ψ~γ_μ)_α{Ａ^μ(ｘ)＋Ａ^Ｒμ(ｘ)}＝0　

　整理すると, 

[iγ_μ∂^μ－ｍ₀－ｅ^₀γ_μ{Ａ^μ(ｘ)＋Ａ^Ｒμ(ｘ)}]

ψ(ｘ)＝0　です。
 

一方,Ａ^λに対するEuler-Lagrange方程式は. 

∂^μ{∂Ｌ^Ｒ/∂(∂^μＡ^λ)}－∂Ｌ^Ｒ/∂Ａ^λ＝0　

ですが,
 

(－1/4)Ｆ_μν(ｘ)Ｆ^μν(ｘ) 

＝(－1/4)ｇ_μαｇ_νβ(ｘ)(∂^βＡ^α－∂^αＡ^β)

(∂^νＡ^μ－∂^μＡ^ν)なので,

∂^μ{∂Ｌ^Ｒ/∂(∂^μＡ^λ)}＝∂^μＦ_μλ(ｘ)

です。

　∂^μＦ_μλ(ｘ)＋ｅ^₀ψ~(ｘ)γ_λψ(ｘ) 

－4Ｃ⁽²⁾∂^μ{Ｆ_μλ(ｘ)＋Ｆ^Ｒ_μλ(ｘ)}＝0 

ここで,∂^μＦ_μλ(ｘ)＝－□Ａ_λ＋∂_μ∂_λＡ_μ

を用います。
 

Feynmanゲージ;∂_μＡ_μ＝0,∂_μＡ^Ｒ_μ＝0

を取ると,∂^μＦ_μλ(ｘ)＝－□Ａ_λ,また,

∂^μＦ^Ｒ_μλ(ｘ)＝－□Ａ^Ｒ_λ 

結局,□Ａ_μ(ｘ)－4Ｃ⁽²⁾ □{Ａ_μ(ｘ)＋Ａ^Ｒ_μ(ｘ)} 

＝ｅ^₀ψ~(ｘ)γ_μψ(ｘ)＝ｅ^₀ｊ_μ(ｘ)　

を得ます。
 

最後に,Ａ^Ｒλに対するEuler-Lagrange方程式,: 

∂^μ{∂Ｌ^Ｒ/∂(∂^μＡ^Ｒλ)}－∂Ｌ^Ｒ/∂Ａ^Ｒλ＝0　より, 

－(□＋Λ²)Ａ^Ｒ_μ(ｘ)－4Ｃ⁽²⁾ □{Ａ_μ(ｘ)＋Ａ^Ｒ_μ(ｘ)} 

＝ｅ^₀ψ~(ｘ)γ_μψ(ｘ)です。

(※Ｌ^Ｒ(ｘ)に1/2(∂^νＡ^Ｒ_ν)²を加えると,付帯条件として

の∂^νＡ^Ｒ_ν＝0　も得られます。)　　(注14-4終わり※)

Ｃ⁽²⁾∝Π⁽²⁾(0)を含む項は,,式(114):Π_μν⁽²⁾(ｑ) 

＝(－ｑ²ｇ_μν＋q_μq_ν){Π⁽²⁾(ｑ²)－Π⁽²⁾(0)}の2つ

の真空偏極ループの陽な引き算を実行する,対数的に

無限大のcounterter-term(相殺項)です。
 

式:(116）は,正規子(regulator)の自由場のLagrangian密度

が通常とは反対の符号で構成されています。
 

それ故, Ａ^Ｒ正常共役運動量の儒号が反対で 

[Ａ^Ｒ_μ(ｘ,ｔ), ∂Ａ^Ｒ_ν(ｙ,ｔ)/∂ｔ]＝iｇ_μνδ³(ｘ－ｙ)

(117)ですが,これはＡ_μに対して与えた正準交換関係:

(5):[Ａ_μ(ｘ,ｔ),∂Ａ_ν(ｙ,ｔ)/∂ｔ]

＝－iｇ_μνδ^３(ｘ－ｙ) とは符号が反対です。
 

伝播関数の符号が交換関係の符号から直接導かれるので, 

正規子の裸の伝播関数は式(112): 

(－iｇ_μν){1/(ｑ²＋iε)－ 1/(ｑ²―Λ²＋iε)} 

＝(－iｇ_μν)(－Λ²)/{(ｑ²＋iε)(ｑ²―Λ²＋iε)}. 

で要求されるように光子の裸の伝播関数と符号が反対

です。
 

我々の切断手法を明白にするには,次には軸性ベクトル

カレント:ｊ⁵_μ(ｘ)と擬スカラーカレント:ｊ⁵(ｘ)を

導入し,それらの性質を調べる段階です。

　　まず,第1にこうしたカレントの全ての行列要素が,

切断理論の計算で有限になるかどうか？をチェック 

する必要があります。

そして,この疑問の答えはyesです。すなわち,それら

行列要素は有限となり,１つの軸性ベクトル,または

１つの擬スカラーの頂点を含む基礎Fermionループの

全てが,陽な引き算の必要なく光子頂点へゲージ不変性

を課すことによって,有限になる.という事実から,直ち

に導かれます。
 

途中ですが長くなったので.今日はここまで終わります。
 

(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory(1970 Brandeis University

SummerInstitute in Theoretical Physics)　VolumeⅠ