摂動論のアノマリー(15）

摂動論のアノマリーの続きです。

  前回記事の最後では,

  我々の切断手法を明白にするには,次には軸性ベクトルカレント

ｊ⁵_μ(ｘ)と擬スカラーカレント:ｊ⁵(ｘ)を導入し,それらの性質

を調べる段階です。

  まず,第１にこうしたカレントの全ての行列要素が,切断理論

の計算で有限になるかどうか？をチェックする必要があります。

　そして,この疑問の答えはyesです。すなわち,それら行列要素

は有限となり,１つの軸性ベクトル,または１つの擬スカラー

の頂点を含む基礎Fermionループの全てが,陽な引き算の必要

なく光子頂点へゲージ不変性を課すことによって,有限になる

という事実から,直ちに導かれます。

　と書いて終わりました。

　ここからの続きが今回の記事です。
 

こうして我々は直ちに,式(68):: 

∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)

＋{α₀/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ

が,我々の切断理論でも確かに満足されることを示す,

という続く問題へと向かうことができます。

　　これをなすために,2Ｆ個のFermion外線とＢ個のBoson外線

を持つｊ⁵_μを含む任意のFeynman振幅を考えます。

　　第２章(§2)で進めたように,diagramsを２つのカテゴリー

に分割します。

　　タイプ(ａ)とタイプ(ｂ)を,軸性ベクトル頂点:γ_μγ₅が, 

diagramを通過する2Ｆ個のFermion線の１つに接しているのか？ 

または,内部の閉ループに接しているのか？によって分けます。
 

典型的なタイプ(ａ)とタイプ(ｂ)のdiagramsを次図に示します。

タイプ(ａ)のdiagramsに対しては,丁度,第２章(§2)の(47)

～(49)におけるようにWard恒等式の導出は,γ_μγ₅を含む 

Fermion内線が伝播関数の代数的操作を純粋に含みます。
 

※(注15-1):「摂動論のアノマリー(5)で述べたことを

再掲します。

　(ａ)図の型の典型的な寄与は, 

Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(ｋ){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ_μγ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)} 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]×γ^(2ｎ) (・・・)}

(47）です。

　　これに,(ｐ－ｐ')^μを掛けて,それに, 

 {1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(ｐ－ｐ')γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)} 

＝{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ₀γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)} 

＋{1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ₅＋γ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}.(48) 

なる公式を用います。
 

頂点:Λ⁵_μへのグラフ型(ａ)の寄与(47)は, 

Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(k){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}γ_μγ₅{1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ^(2ｎ) (・・・)}　 

ですが,

　　これにＱ^μ＝(ｐ－ｐ')^μを掛け,代数的に順序を変えつつ, 

公式(48)を適用すると,

Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(ｋ){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ_μ0γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ^(2ｎ) (・・・)}
 

－(・・・)Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾γ₅ 

－γ₅Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾ (・・・)

.(49)　が得られます。

　(注15-1終わり※)
 

斜線のnlobへのFermion伝播関数の線に加わる光子伝播関数の 

４元運動量にわたる積分(p₁,..,ｐ_2nにわたる積分)は,正規化 

された場理論において全て収束するので,積分の内部での変数

のシフトのような代数的操作をしても安全(特異性なし)です。
 

再掲の式(49)は,Σ_k=1^2n-1{Π_j=1^k-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}] 

×[γ^(ｋ){1/(ｐ＋ｐ_k－ｍ₀)}(2ｍ_μ0γ₅){1/(ｐ'＋ｐ_k－ｍ₀)}] 

×Π_j=k+1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ^(2ｎ) (・・・)}
 

－(・・・)Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾γ₅ 

－γ₅Π_j=1^2n-1[γ^(j){1/(ｐ'＋ｐ_j－ｍ₀)}]γ⁽²ⁿ⁾ (・・・)
 

この右辺第1項は,発散計算のスタートのｊ⁵_μのタイプ(ａ)

のdiagramsに対応する2iｍ₀ｊ⁵のFeynman振幅へのタイプ(

ａ)の寄与を与えます。

　　残りの項は,ｊ⁵_μの同時刻交換関係からWard恒等式に

おいて生じるFermion外線運動量:ｐとｐ'を有する通常の

表面項を与えます。
 

こうしてタイプ(ａ)のdiagramsに関する限りのｊ⁵_μの発散

は,単に2iｍ₀ｊ⁵であって余分な項は存在しません。
 

次に,典型的なタイプ(ｂ)の寄与に向かいます。
 

これはつ次のように書けます。 

すなわち,Ｌ(Ｑ:γ_μγ₅;ｐ₁..ｐ_2n-1)(・・・)　です。
 

ただし,Ｌ(Ｑ;Γ;ｐ₁..ｐ_2n-1) 

＝∫ｄ⁴ｒ[Ｔr{Σ_k=1²ⁿΠ_j=1^k-1{γ^(j(ｒ＋ｐ₁－ｍ₀)^-1} 

×γ^(ｋ)(ｒ＋ｐ_ｋ－ｍ₀)^-1Γ(ｒ＋ｐ_k－Q－ｍ₀)^-1 

×Π_j=k+1²ⁿ{γ^(j(ｒ＋ｐ₁－Q－ｍ₀)^-1}..(118)　です。
 

ここで,いつものように,注意を閉ループに集中し,

diagramのそれ以外の残りの因子を(・・・)と略記

しました。

　　以前と同じ簡単な代数で(118)の発散は次のように

書けます。

　　すなわち, 

Ｌ(Ｑ:iＱ^μγ_μγ₅;ｐ₁..ｐ_2n-1)＝Ｌ(Ｑ;2iｍ₀γ₅;ｐ₁..ｐ_2n-1) 

＋∫ｄ⁴ｒ(Ｔr[γ₅Π_j=1^k-1{γ^(j(ｒ＋ｐ₁－ｍ₀)^-1] 

－γ₅Π_j=1²ⁿ{γ^(j(ｒ＋ｐ₁－Q－ｍ₀)^-1)1)..(119)
 

既に見たように,ｎ≧2のループに対しては,式(119)の残り

の積分は相殺して次のWard恒等式を得ます。
 

Ｌ(Ｑ:iＱ^μγ_μγ₅;ｐ₁..ｐ_2n-1)＝Ｌ(Ｑ;2iｍ₀γ₅;ｐ₁..ｐ_2n-1)

.(120)です。
 

再び, ｐ₁..ｐ_2n-1にわたる積分は,正規化場理論においては,

全て収束するため.(120)に誘導する操作は,,これら収束積分

の内部で全て遂行できます。

　　このことは.ｎ≧2のループを含むタイプ(ｂ)の部分が全て

通常の発散方程式;∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)に一致する

ことを意味します。
 

最後に,ループを,ただ１個だけ持つ,つまりｎ＝１­のdiagram

でループが,軸性ベクトル頂点を１個持つ三角形のケースを

考える必要があります。

　　今や,なじみ深いことですが,このdiagramはアノマリー

を持つWard恒等式へと導きます。
 

これは正規化されたQEDでは,素朴な発散式に,次の項を加える

ものです。

　　すなわち, {α₀^/(4π)}|Ｆ^ξσ(ｘ)＋Ｆ^Ｒξσ(ｘ)}

{Ｆ^τρ(ｘ)＋Ｆ^Ｒτρ(ｘ)}ε_ξστρ(121)　です。

ただし,α₀^＝ｅ₀^²/(4π)　です。

　　要するに,我々のdiagram的解析は,正規化された場の理論

における軸性ベクトルの発散の式が次のようになることを

示しています。

　　すなわち,∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ) 

＋{α₀^/(4π)}Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)ε_ξστρ

＋{α₀^/(4π)}ε_ξστρ 

×{Ｆ^ξσ(ｘ)Ｆ^Ｒτρ(ｘ)＋Ｆ^Ｒξσ(ｘ)Ｆ^τρ(ｘ)

＋Ｆ^Ｒξσ(ｘ)Ｆ^Ｒτρ(ｘ)}..(122) 　です。

　　(122)はＦ^Ｒを含む項を除いて,そして係数を中間くりこみ

電荷で表現していることを除いて.式(68)と同等です。

　　Ｆ^Ｒの項は,系が正規子(regulator)の場を陽に含むことから

生じています。

　　(68)との完全な同等性を見るため,本節で使用される中間

くりこみ電荷を第２章の非くり込み電荷(＝裸の電荷)と次式

によって関連付けます。
 

すなわち,ｅ₀^(Ｆ^ξσ)_{中間くり込み量}＝ｅ₀(Ｆ^ξσ)_{非くりこみ量}..(123)

です。

　　決定的な点はアノマリー項の係数が正確にα₀^/(4π)

であり,摂動論の高次に由来する未知の結合定数のベキ

を含まないということです。

　　たった今与えたdiagram的解析は,次のように簡潔に

言い換えることができます。

　　もしも,運動方程式を計算するのに,(116)の正規化された 

Lagrangian密度を使用し,軸性ベクトルカレントの発散を

素朴に計算するのに,それで導かれる運動方程式を用いる

なら,正規化されていない理論と同じく,

∂^μｊ⁵_μ(ｘ)＝2iｍ₀ｊ⁵(ｘ)..(124) を見出します。

そして、この(124)の右辺に余分な項が加わるとしたら,

それは素朴な導出が破れるような,特異なdiagram的な計算

にのみ由来するはずです。

　　しかし,正規化された場理論では,あらゆる仮想光子運動量

による積分は収束します。

　　それ故,そのQFDだけでは,diahram的な計算によっても,(124)

に付加項を与える特異性に導くことはできません。
 

,したがって,その破れ＝アノマチー項が本当に存在するなら

それは基本的な軸性ベクトルのループ自身の性質に関連しな

ければならず,他の内線伝播関数の自己エネルギーなど内部

の輻射補正の影響は含まないはずです。

　　ところが,これまで見たように,４つ以上の光子を含む軸性

ベクトル頂点を持つループは,正確に式(124)を満足します。
 

　したがって,基本的な三角グラフのみが,唯一の可能な

アノマリーの源である,と結論されます。

　　こうして,アノマリー項は三角グラフの特性のみに由来し

それは,通常のQEDのくり込み＝輻射補正の影響を受けない

ことがわかりました。

　　次は先述の「低エネルギー定理」もまた,輻射補正の

影響を受けない,ということを論じる予定ですが,長く

なると予想されるので.今日は短いですがここで

終わります。

　(参考文献):Lectures on Elementary Particles and

Quantum Field Theory(1970 Brandeis University

SummerInstitute in Theoretical Physics)　VolumeⅠ