« 訃報!!平尾昌晃さん。 | トップページ | 科学論モドキ »

2017年7月27日 (木)

摂動論のアノマリー(17)(第Ⅰ部終了)

摂動論のアノマリーの続きです。

  §4.2.Explicit Second order Calculation

(摂動論の2次の要な計算):(※ 本節で第4省は終わり)

 

今度は摂動論の2次までで低エネルギー定理(131): 

~(0)=-2α/πを,陽にチェックする計算を

手短かに概説します。(※4章は本節が最後です。)
 

我々は,(γ5 -γσ-γρ )の三角グラフの6個の最低次の

輻射補正を計算します。そして,それらが,結局,相殺して

ゼロとなることを証明します。
 

最初のステップは.くり込まれた量:Γ~μ(,p'),Γ~5,p'), 

F'~(p)を計算することです。

(※もちろん,摂動の2次のみの計算です、)
 

これをなす最も簡明な方法は,次の手順です。
 

()切断:Λのある場のFeynmanルールを用いて,くりこまれて

いないΓμ,Γ5.F'を計算する。

() 次には,(6):

iF'(p)=∫d4exp(ipx)0|[ψ()ψ~(0)]|0>, 

(6):iF' μν()

=∫d4exp(iqx)0|[μ()ν(0)]|0
' 
(6);iF'(p) Γμ(,p')F'(p’) 

=-∫d4xd4exp(ipx)exp(ip'y) 

0|[ψ()μ(0)ψ~()]|0,

および, (12) =mなら,δm-Σ()0., 

式(13)::→ mなら,F'(p) → Z2/(-m). 

を用いて,くり込み定数:0,2を計算する。
 

() (132): 

F'~=limkΛ→∞2-1F',DF'~=limkΛ→∞3-1F' 

Γ~μlimkΛ→∞2Γμ, mΓ~5limkΛ→∞(m02Γ5) 

の処方を用いて,Λ → ∞の極限をとって,チルダ()

の量を見出す.

  
です。
 

この手法の摂動2次までの計算は次の通りです。 

Γ~λ(2) (,p')=γλ{2/(16π2)}01zdz∫01dy 

(2γλln[{22(1-z)μ2}}/] 

-NΛ/D-(22γλ1)/{22(1-z)μ2})
 

Γ5(2)(,p')=γ5{2/(16π2)}01zdz∫01dy 

(8γ5ln[{22(1-z)μ2}/] 

+γ5/D+(42γ52)/{22(1-z)μ2})
 

F'~(2)(p){-m-Σ(2)()}-1 

Σ(2)(){2/(16π2)}01zdz∫01dy 

(21ln[{22(1-z)μ2}}

/{-p2(1-z)+zm2(1-z)μ2}]+g2{2-P2(1-z)2}

/{-p2(1-z)+zm2(1-z)μ2} 

(221)/{22(1-z)μ2})..(134) 

です。
 

ただし,D=(2z-yz)2[(1-y)22(1-y)z]p'2 

2(1-y)2pp'+z22(1-z)μ2} です。  


  ここに,
λ=―2mγλ2{(1-z+yz)'-yz} 

×γλ{(1-yz)(1-y)'} 

4{(12yz)λ(12z+2yz)p'λ}
 

N=424{(1-yz)p-(1-y)zp'} 

×{(1-z+yz)p'-yzp}2(p-p')
 

1=z22zーp2,212, 

14m-,24m-2  ..(135)

です。

  また,
量;μ2は架空の仮想光子質量の平方で,各輻射補正

グラフの対数的赤外特異性を避けるために与えたものです。 

(※しかし,6つの輻射補正の和は項の相殺のために,結局

のところ全く赤外発散を持ちません。)
 

そして,我々の計算手法が正しいことのチェックとして,

まず,ベクトルカレントの通常のWard恒等式の2次の等式

が満足されることが示せます。


 すなわち,
(p-p')λΓ~λ(2) (,p')

=SF'~1(2)-1(p)-SF'~(2)~ -1(p') (136)の成立を

チェックします。


  同様に.恒等式:

02mΓ5(2)(,)+SF'~(2)^1(p) γ5 

+γ5F'~(2) -1(p') ..(137)が満たされることを 

示せます。

これはアノマリーのある軸性ベクトルのWard恒等式

(70):(p-p')μΓ5μ(,p') 

20Γ5(,p')+SF'-1(p)γ5 

+γ5F' -1(p')i{α0/(4π)}~(.p') 

のp'=pのケースのくり込み後の式です。
 

(17-1):(136)Ward恒等式は, 

Λ~λ(,p')=Γ~λ(,p')-γλ と置けば, 

2次の項に対するものとして, 

(p-p')λΛ~λ(2)(,p')=Σ(2)()-Σ(2)(p') 

と書けます。

  
そして,Λ~λ(2)(,p'){2/(16π2)}01zdz∫01dy 

(2γλln[{22(1-z)μ2}}/]

-NΛ/D-(22γλ1)/{22(1-z)μ2}) です。
 

これらを具体的に計算すれば,私のノートでは11ページに

わたる 長い計算となりますが,確かに成立することを陽に

示すことができてはいます。
 

しかし,これを本ブログ記事に転記するのは割愛します。
 

(137)についても同様なのですが,これは私のノートでも

省略していました。     (17-1終わり※)
 

次のステップは,(134)(135)を次図の単純なSkelton三角形

 適用します。



  
これは最低次の三角グラフに,最初に与えた6つの輻射補正 

グラフをプラスするものです。

(↑ ※Skeltonなので最初の6つのグラフの頂点補正や自己

エネルギー補正は1点に縮められています。これら6つに,

補正なしグラフを加えた全てを表わしています。)
 

最後のステップはG~(12)をk1=k20 の近傍でTaylor

展開することです。

   何故なら,~(0)はこの展開で最初に消えない項で
あるからです。
 

一般のk1とk2に対する積分は,とても手に負えないものですが, 

この展開での主要なTaylor係数は,それほど複雑ではなく実行可能

で,ここでの証明にはそれで十分です、
 (2)((2)((2)(

いくつかの直線的な代数と積分により(131):~(0)=-2α/π

よって要求されるように,~(0)への輻射補正の寄与は,実際

に相殺されて消えることを示すことができます。
 

(17-2):輻射補正なしの単純三角グラフを,くり込まれた

量で評価すると, (e0→e,0 → m)

<γ(1,ε1)γ(2,ε2)|2imj5|0 

=G~()1ξ2τεξτσρε1σ*ε2ρ*(41020)-1/2 

2i0σρε1σ*ε2ρ*(i2)(2π)-4(41020)-1/2
 

ただし,(i2)(2π)-42mRσρ

2∫d4(2π)-4(1)r[{i/(1-m)}(ieγσ) 

{i/(-m)}(ieγρ){i/(2-m)}γ5].

,σρは定義されています。


 

そして,計算の結果,σρ=k1ξ2τεξτσρ1, 

18π2mI00(,)となることが示されました。
 

これから輻射補正なしの寄与では,G~(0)(0)=α/2π

あることを得ました。
 

以下では,因子;2imε1σ*ε2ρ*(41020)-1/2は除外して

考察します。

 そして
,6つのグラフの輻射補正のRσρ寄と同様な寄与因子

を順に,R1,2,..6とすれば,

(i2)(2π)-4{2/(16π2)}1 

=-2∫d4(2π)-4(1)

r[{i/(1-m)}(ieγσ){i/(-m)}(ieγρ){

i/(2-m)}Λ~5(r+k2.r-k1)].
 

(i2)(2π)-4{2/(16π2)}2 

=-2∫d4(2π)-4(1)

r[{i/(1-m)}(i0γσ){i/(-m)}(ieγρ)

{i/(2-m)(iΣ~(r-k2)γ5)]  

etc..です。

 
これらは,1,2,の多項式となり,1=k20 のまわりで

Taylor展開すると,1α,2αの係数はそれぞれ,

(∂Rj/∂k1α)00 ,(∂Rj/∂k2α)00 (j=1,2,..,6)です。


 
添字:00 (1,2)(0,0)を意味します。
 

そして,これらRjはの計算結果は

Cjk12)1ξ2τεξτσρなる形になるはずです。
 

そこで,例えば,1αの係数:(∂Rj/∂k1α)00.

j(12)2τεατσρ{∂Cj/(12)}

2α1ξ2τεξτσにおいて,1=2=0 とするもの

ですからゼロです。

 そこでk1,21次の係数は,全てゼロであることが

わかります。

 
一方,1α2βの係数:(2j/∂k1α∂k2β) 00, 

j(12)εαβσρ+なk1,2の1次以上の項)において

1=2=0 としたものなので,j(0)εαβσρとなり.これに

よるkの2次の項:j(0) 1α2βεαβσρはRjTaylor

展開で消えない最初の項です。
 

~(0)へのの寄与は,れをk1ξ2τεξτσρ(41020)-1/2

で割って,k10,20の極限を取って得られるるので,

1,2のこれ以上の高次の展開項寄与はゼロです。
 

以上から,6つ(2j/∂k1α∂k2β) 00を求めて総和

すると,相殺してゼロになることを示せばよいことが

わかります。

これら6つのグラフの寄与を計算して,これらが最終的

に相殺してゼロになることを,昔のノートには確かに示して

ありましたが,これにはノートの実に20ページにわたる冗長

な計算を要していました。

 
当時,45歳とはいえ,気持ちは今より若かったので根気が続い

のだろうと思います。さすがに,今さら詳細をfollowし,チェックしながら全部読み返す気にはならなかったので,これも割愛します。
 

(17-2終わり※)
 

この項目のノートでの終了期日は199533()となって 

いました。

 これで,A4ルーズりーフを閉じた私のファイルノート
1

119ページで終わり,次からは2冊目に入り,第5章以下の重要

な応用の記述に移ります。

 
そこで今日は少し急いで計算も省略しましたが,ここまで

で終わりにします。ここまでをシリーズの第Ⅰ部とし,

の「摂動論のアノマリー(18)からは第Ⅱ部という副題

を付ける予定です、
 

 (参考文献):Lectures on Elementary Particles and  

Quantum Field Theory(1970 Brandeis University  

SummerInstitute in Theoretical Physics) Volume

|

« 訃報!!平尾昌晃さん。 | トップページ | 科学論モドキ »

114 . 場理論・QED」カテゴリの記事

コメント

トシさん、すごいなあ。

投稿: マコトちゃん | 2017年7月31日 (月) 14時43分

真善美の探究【真善美育維】

【真理と自然観】

《真理》
結論から言って, 真偽は人様々ではない。これは誰一人抗うことの出来ない真理によって保たれる。
“ある時, 何の脈絡もなく私は次のように友人に尋ねた。歪みなき真理は何処にあるのかと。すると友人は, 何の躊躇もなく私の背後を指差したのである。”
私の背後には『空』があった。空とは雲が浮かぶ空ではないし, 単純にからっぽという意味でもない。私という意識, 世界という感覚そのものの原因のことである。この時, 我々は『空・から』という言葉によって人様々な真偽を超えた歪みなき真実を把握したのである。


我々の世界は質感。
また質感の変化からその裏側に真の形があることを理解した。そして我々はこの世界の何処にも居ない。この世界・感覚・魂(志向性の作用した然としてある意識)の納められた躰, この意識の裏側の機構こそが我々の真の姿であると気付いたのである。


《志向性》
目的は何らかの経験により得た感覚を何らかの手段をもって再び具現すること。感覚的目的地と経路, それを具現する手段を合わせた感覚の再具現という方向。志向性とは或感覚を具現する場合の方向付けとなる原因・因子が具現する能力と可能性を与える機構, 手段によって, 再具現可能性という方向性を得たものである。
『意識中の対象の変化によって複数の志向性が観測されるということは, 表象下に複数の因子が存在するということである。』
『因子は経験により蓄積され, 記憶の記録機構の確立された時点を起源として意識に影響を及ぼして来た。(志向性の作用)』
我々の志向は再具現の機構としての躰に対応し, 再具現可能性を持つことが可能な場合にのみこれを因子と呼ぶ。躰に対応しなくなった志向は機構の変化とともに廃れた因子である。志向が躰に対応している場合でもその具現の条件となる感覚的対象がない場合これを生じない。但し意識を介さず機構(思考の「考, 判断」に関する部分)に直接作用する物が存在する可能性がある。


《思考》
『思考は表象である思と判断機構の象である考(理性)の部分により象造られている。』
思考〔分解〕→思(表象), 考(判断機能)
『考えていても表面にそれが現れるとは限らない。→思考の領域は考の領域に含まれている。思考<考』
『言葉は思考の領域に対応しなければ意味がない。→言葉で表すことが出来るのは思考可能な領域のみである。』
考, 判断(理性)の機能によって複数の中から具現可能な志向が選択される。


《生命観》
『感覚器官があり連続して意識があるだけでは生命であるとは言えない。』
『再具現性を与える機構としての己と具現を方向付ける志向としての自。この双方の発展こそ生命の本質である。』

生命は過去の意識の有り様を何らかの形(物)として保存する記録機構を持ち, これにより生じた創造因を具現する手段としての肉体・機構を同時に持つ。
生命は志向性・再具現可能性を持つ存在である。意識の有り様が記録され具現する繰り返しの中で新しいものに志向が代わり, その志向が作用して具現機構としての肉体に変化を生じる。この為, 廃れる志向が生じる。

*己と自の発展
己は具現機構としての躰。自は記録としてある因子・志向。
己と自の発展とは, 躰(機構)と志向の相互発展である。志向性が作用した然としてある意識から新しい志向が生み出され, その志向が具現機構である肉体に作用して意識に影響を及ぼす。生命は然の理に屈する存在ではなくその志向により肉体を変化させ, 然としてある意識, 世界を変革する存在である。
『志向(作用)→肉体・機構』


然の理・然性
自己, 志向性を除く諸法則。志向性を加えて自然法則になる。
然の理・然性(第1法則)
然性→志向性(第2法則)


【世界創造の真実】
世界が存在するという認識があるとき, 認識している主体として自分の存在を認識する。だから自我は客体認識の反射作用としてある。これは逆ではない。しかし人々はしばしばこれを逆に錯覚する。すなわち自分がまずあってそれが世界を認識しているのだと。なおかつ自身が存在しているという認識についてそれを懐疑することはなく無条件に肯定する。これは神と人に共通する倒錯でもある。それゆえ彼らは永遠に惑う存在, 決して全知足りえぬ存在と呼ばれる。
しかし実際には自分は世界の切り離し難い一部分としてある。だから本来これを別々のものとみなすことはありえない。いや, そもそも認識するべき主体としての自分と, 認識されるべき客体としての世界が区分されていないのに, 何者がいかなる世界を認識しうるだろう?
言葉は名前をつけることで世界を便宜的に区分し, 分節することができる。あれは空, それは山, これは自分。しかして空というものはない。空と名付けられた特徴の類似した集合がある。山というものはない。山と名付けられた類似した特徴の集合がある。自分というものはない。自分と名付けられ, 名付けられたそれに自身が存在するという錯覚が生じるだけのことである。
これらはすべて同じものが言葉によって切り離され分節されることで互いを別別のものとみなしうる認識の状態に置かれているだけのことである。
例えて言えば, それは鏡に自らの姿を写した者が鏡に写った鏡像を世界という存在だと信じこむに等しい。それゆえ言葉は, 自我と世界の境界を仮初に立て分ける鏡に例えられる。そして鏡を通じて世界を認識している我々が, その世界が私たちの生命そのものの象であるという理解に至ることは難い。鏡を見つめる自身と鏡の中の象が別々のものではなく, 同じものなのだという認識に至ることはほとんど起きない。なぜなら私たちは鏡の存在に自覚なくただ目の前にある象を見つめる者だからである。
そのように私たちは, 言葉の存在に無自覚なのである。言葉によって名付けられた何かに自身とは別の存在性を錯覚し続け, その錯覚に基づいて自我を盲信し続ける。だから言葉によって名前を付けられるものは全て存在しているはずだと考える。
愛, 善, 白, 憎しみ, 悪, 黒。そんなものはどこにも存在していない。神, 霊, 悪魔, 人。そのような名称に対応する実在はない。それらはただ言葉としてだけあるもの, 言葉によって仮初に存在を錯覚しうるだけのもの。私たちの認識表象作用の上でのみ存在を語りうるものでしかない。
私たちの認識は, 本来唯一不二の存在である世界に対しこうした言葉の上で無限の区別分割を行い, 逆に存在しないものに名称を与えることで存在しているとされるものとの境界を打ち壊し, よって完全に倒錯した世界観を創り上げる。これこそが神の世界創造の真実である。
しかし真実は, 根源的無知に伴う妄想ゆえに生じている, 完全に誤てる認識であるに過ぎない。だから万物の創造者に対してはこう言ってやるだけで十分である。
「お前が世界を創造したのなら, 何者がお前を創造した?」
同様に同じ根源的無知を抱える人間, すなわち自分自身に向かってこのように問わねばならない。
「お前が世界を認識出来るというなら, 何者がお前を認識しているのか?」
神が誰によっても創られていないのなら, 世界もまた神に拠って創られたものではなく, 互いに創られたものでないなら, これは別のものではなく同じものであり, 各々の存在性は虚妄であるに違いない。
あなたを認識している何者かの実在を証明できないなら, あなたが世界を認識しているという証明も出来ず, 互いに認識が正しいということを証明できないなら, 互いの区分は不毛であり虚妄であり, つまり別のものではなく同じものなのであり, であるならいかなる認識にも根源的真実はなく, ただ世界の一切が分かちがたく不二なのであろうという推論のみをなしうる。


【真善美】
真は空(真の形・物)と質(不可分の質, 側面・性質), 然性(第1法則)と志向性(第2法則)の理解により齎される。真理と自然を理解することにより言葉を通じて様々なものの存在可能性を理解し, その様々な原因との関わりの中で積極的に新たな志向性を獲得してゆく生命の在り方。真の在り方であり, 自己の発展とその理解。

善は社会性である。直生命(個別性), 対生命(人間性), 従生命(組織性)により構成される。三命其々には欠点がある。直にはぶつかり合う対立。対には干渉のし難さから来る閉塞。従には自分の世を存続しようとする為の硬直化。これら三命が同時に認識上に有ることにより互いが欠点を補う。
△→対・人間性→(尊重)→直・個別性→(牽引)→従・組織性→(進展)→△(前に戻る)
千差万別。命あるゆえの傷みを理解し各々の在り方を尊重して独悪を克服し, 尊重から来る自己の閉塞を理解して組織(なすべき方向)に従いこれを克服する。個は組織の頂点に驕り執着することはなく状況によっては退き, 適した人間に委せて硬直化を克服する。生命理想を貫徹する生命の在り方。

美は活活とした生命の在り方。
『認識するべき主体としての自分と, 認識されるべき客体としての世界が区分されていないのに, 何者がいかなる世界を認識しうるだろう? 』
予知の悪魔(完全な認識をもった生命)を否定して認識の曖昧さを認め, それを物事が決定する一要素と捉えることで志向の自由の幅を広げる。予知の悪魔に囚われて自分の願望を諦めることはなく認識と相互作用してこれを成し遂げようとする生命の在り方。


《抑止力, 育維》
【育】とは或技能に於て仲間を自分たちと同じ程度にまで育成する, またはその技能的な程度の差を縮める為の決まり等を作り集団に於て一体感を持たせること。育はたんなる技能的な生育ではなく万人が優秀劣等という概念, 価値を乗り越え, また技能の差を克服し, 個人の社会参加による多面的共感を通じて人間的対等を認め合うこと。すなわち愛育である。

【維】とは生存維持。優れた個の犠牲が組織の発展に必要だからといっても, その人が生を繋いで行かなければ社会の体制自体が維持できない。移籍や移民ではその集団のもつ固有の理念が守られないからである。組織に於て使用価値のある個を酷使し生を磨り減らすのではなく人の生存という価値を尊重しまたその機会を与えなければならない。

真善美は生命哲学を基盤とした個人の進化と生産性の向上を目的としたが, 育と維はその最大の矛盾たる弱者を救済することを最高の目的とする。

投稿: 無明寺 | 2017年7月31日 (月) 14時42分

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.f.cocolog-nifty.com/t/trackback/71281/71252226

この記事へのトラックバック一覧です: 摂動論のアノマリー(17)(第Ⅰ部終了):

« 訃報!!平尾昌晃さん。 | トップページ | 科学論モドキ »