対称性の自発的破れと南部-Goldostone粒子（1)

唐突ですが,ゲージ粒子の交換によって相互作用が実現される,

または,粒子間に力が働くという理論の歴史的経緯をたどって

要約してみようという思い付きが湧いたので書いてみます。
 

このテーマについては,九後汰一郎著(培風館)

「ゲージ場の量子論(Ⅰ)(Ⅱ)」について,私が読解した履歴

を綴った1冊平均120頁6冊のノートがありますが,これを,全て

ブログ記事にするにはもう命の残り時間がないだろうと

思うので,
 

第6章「対称性の自発的破れ(Spontaneously broken symmmetry)」 

について書いた1999年2月(49歳)開始の４冊目もノートから, 

「対称性の自発的破れと南部-Goldstoneボソン」という 

テーマで記述した内容を抜粋したいと思います。
 

しかし,その前に前置きとして,本ブログで過去にゲージ場

関連について書いたいくつかの記事を振り返ってまとめて

みます。
 

まず,原子核の間に働く核力がπ中間子の交換相互作用に

よるという湯川秀樹によって提案されたモデルである,湯川

相互作用の理論の話から始めます。

(※2012年6/17から始まる過去のシリーズ記事: 

「強い相互作用(湯川相互作用)」を参照)
 

1935年,湯川によって,原子核の間に働く強い力・強い

相互作用を担う未発見の新粒子の存在が予言され.その後,

実際に1950年前後に,現在π中間子と呼ばれている粒子達

が発見されて,湯川理論の正当性が裏付けられました。
 

現在的に見れば,質量:μ＝ 135～140 MeVのπ中間子の

交換相互作用の寄与は.規格化等の因子を除けば,ｇを

πＮ頂点の結合定数とする.スカラー粒子型の伝播関数

×両頂点の因子:ｇ²/(ｑ²－μ²)　で与えられます。
 

仮想π中間子内線の4元運動量をｑ^μ＝(Ｅ_ｑ,ｑ)と表わす

とき,πのエネルギー;Ｅ_ｑが非相対論的レベル;Ｅ_ｑ＜＜μ

の場合には,上記因子は,ｇ²/(ｑ²－μ²) ～ －ｇ²/(ｑ²＋μ²)

と近似され,これは座標空間での表現に変換すると,核力の

湯川ポテンシャル:Ｖ(ｒ)＝－ｇ²exp(－μｒ)/(4πｒ)に一致

します。(ｒ＝|ｘ|です。)
 

古典力学でのポテンシャルの定義から,核子間に働く力をＦと 

するとＦ＝－∇Ｖです。こうして核力は湯川ポテンシャルＶ

によって与えられる力Ｆであるというのが,湯川理論でした。
 

湯川ポテンシャルは,ｒ＝1/μ＝ｈ_ｃ/(μｃ)(Compton波長) 

＝6×10^-27(Ｊ・sec)/[{140×10⁶×1.6×10^-19(Ｊ)}

{3×10⁸(ｍ/sec)}]～10^-14ｍ より,

中心からｒ～10^-14ｍ(＝Fermi半径)くらいの距離で,その

大きさが最大のときのexp(－μｒ)～1/ｅ～1/3程度に急減衰

することがわかります。
 

一般に,指数関数因子が1/ｅになる距離を力のレンジ

(到達範囲;range)と呼びます。
 

そこで,核力は,半径が約10^-8ｍくらいとされている原子の中

で,中心の極く近くの10^-14ｍくらいまでは,有意な引力として

作用して電磁力を上回り,一方,そこから距離が大きくなるに

つれて,Coulomb電磁力の斥力には対抗できなくなる,という

性質を持つ近接力です。
 

ヘリウム原子核(α粒子):⁴Ｈ_e²のように,ｐが2個とｎが2個

で構成され,これらが中心付近に凝集してできている場合,

ｐとｐの強い電磁斥力に抗して,破裂せず安定に存在して

いられるのは,Fermi半径程度の距離内に隣接している限り

核力という強大な引力があって,これが電磁斥力を上回って

いるためであると考えられます。
 

一方,光子のように質量μがゼロの粒子の交換なら,レンジ 

＝Compton波長は1/μ＝ｈ_ｃ/(μｃ)＝無限大であり,これの

交換によるポテンシャルＶはexp(－μｒ)＝1より,

静電Coulomb型のＶ(ｒ)＝ｇ²/(4πｒ)　です。
 

質量ゼロの光子(光；電磁波)の交換による相互作用は

静電近似のCoulomb相互作用のポテンシャル:

Ｖ(ｒ)＝κ/(4πｒ)　を与えます。
 

Coulomb力は,Ｆ＝－∇Ｖ＝{κ/(4πｒ²)}ｅ_ｒで与えられ,

これは中心からの距離ｒの逆２乗に比例する中心力です。

( ｅ_ｒ＝ｒ/ｒは原点(中心)から半径方向への動径単位

ベクトルを意味し,κ＞0なら斥力,κ＜0なら引力です。)
 

実際には,逆に,この光子交換の電磁相互作用のアナロジー

で中間子の交換による核力という発想が得られたはずです。
 

ところで,重力,万有引力のポテンシャルもまた,静近似で

電磁力と同じCoulomb型のＶ(ｒ)＝－Ｇ/ｒであって,距離

の逆２乗に比例する引力を示し,力のレンジは無限大です。
 

太陽からの引力が,光でも8分20秒もかかる1億4千万km以上 

離れた地球にまで十分作用して,約365日周期の公転軌道

を支配しています。

これほどの距離まで力が及ぶのは,量子論的には仲介して

交換される粒子(重力子？)の質量がゼロであるためと

考えられます。
 

ゲージ理論は,元々Dirac電子と電磁場の共存する

Lagrangian密度:

Ｌ＝ψ~γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ－ｍ₀)ψ－(i/4)Ｆ_μνＦ^μν 

が,ψ → exp{－iθ(ｘ)}ψ,Ａ_μ → Ａ_μ＋∂_μθなる局所

位相変換に対して不変である,という対称性(ゲージ不変性)

を持つことから,
 

Dirac電子の自由Lagrangian密度:

Ｌ₀＝ψ~γ^μ(i∂_μ－ｍ₀)ψが,ｘに依存する局所位相変換:

ψ → exp{－iθ(ｘ)ψに対して不変であるためには,連動

してＡ_μ → Ａ_μ＋ｅ^-1∂_μθなる変換を受ける質量ゼロの

ベクトル場:Ａ_μ(ｘ)が存在して

ψ~γ^μ(i∂_μ－ｅＡ_μ－ｍ₀)ψという形でcoupleすること

が十分条件になることがわかります。
 

このことから,こうした光子場(電磁場)をゲージ場

(gauge field),質量ゼロの光子をゲージ粒子と呼んだ

のでした。
 

そして,Yang-Mills(ヤンとミルズ)は,これを1個の

Dirac Fermionから多重スピノル場(multiplet):

Ψ＝[ψ₁,ψ₂,..,ψ_N]^Ｔ に対する位相変換に対する対称性

へと拡張しました。
 

すなわち,θ(ｘ)をＮ×Ｎ行列として,Ψの局所位相変換

を,Ψ → exp{－iθ(ｘ)}Ψとすると,

θ(ｘ)がHermite行列なら,これは,Ｕ＝exp{－iθ(ｘ)}と

置くと,Ψ →ＵΨ,Ｕ^＋＝Ｕ^-1のユニタリ変換です。
 

この変換では,双１次形式は,

Ψ~γ^μi∂_μΨ→ Ψ~γ^μi∂_μΨ 

＋Ψ~γ^μexp{iθ(ｘ)}(∂_μθ)exp{－iθ(ｘ)}Ψ　 

と変換されます。
 

先の,1次元のDirac電子と電磁場の謂わゆるＵ((1)変換の

対称性なら,積は全て可換なので,

exp{iθ(ｘ)}(∂_μθ)exp{－iθ(ｘ)}＝∂_μθであり,

Ａ_μ → Ａ_μ＋ｅ^-1∂_μθを満たす１1つのゲージ場: 

Ａ_μ(ｘ)の存在だけで不変性を保つには十分でしたが,
 

一般に,位相因子が非可換なＮ次元のΨの場合,変換で

不変となるためには,

Ａ_μ － Ａ_μ＋ｅ^-1exp{iθ(ｘ)}(∂_μθ)exp{－iθ(ｘ) 

のような.より複雑なゲージ変換を受けるＮ個の質量ゼロ

のベクトルBosenのゲージ場:

Ａ_μ＝[Ａ⁽¹⁾_μ,Ａ⁽²⁾_μ..,Ａ^(Ｎ)_μ]を必要とするという理論

を,Yang-Millsが初めて提案したのです。
 

特にゲージ対称性変換:Ｕが,ＳＵ(Ｎ)群に属する場合,

対称性を定義するゲージ変換:Ψ →ＵΨ＝exp{－iθ(ｘ)}Ψ

は,Ｎ×Ｎ行列:θ(ｘ)なる表現を,ＳＵ(Ｎ)の(Ｎ²－1)個の

独立な生成子のＮ×Ｎ行列表現:λ^ａ(ａ＝1.2,..,のＮ²－1)

と,改めて同じ記号で表わしたＮ-パラメ－タ: 

θ＝[θ₁,θ₂,..,θ_N]の線型結合:Σ_ａλ^ａθ_ａで置き換えた

形式でΨ → exp{－iΣ_ａλ^ａθ_ａ(ｘ)}Ψ　と書けます。
 

引数θを陽に書いて,ＵをＵ(θ)＝exp{－iΣ_ａλ^ａθ_ａ(ｘ)}

と表わせば,上記の位相変換はΨ → Ｕ(θ)Ψと書けます。
 

特に,θ_a(ｘ)がｘの関数でない定数の大局的変換で,

しかも無限小の場合:θ_ａ＝ε_ａ(ａ＝1.2,..,のＮ²－1)と

書くと,Ｕ(ε)＝exp(－iΣ_ａλ^ａε_ａ)＝1－iΣ_ａλ^ａε_ａで

あり,その共役(逆)は,Ｕ^＋(ε)＝exp(iΣ_ａλ^ａε_ａ)

＝1＋Σ_ａλ^ａε_ａです。

　そこで,もしも,i[Ｑ^ａ^,ψ_α(ｘ)]＝－(λ^ａ)_αβψ_sβｘ)を

成立させるHermite演算子:Ｑ^ａ^が存在すれば, 

(1＋iε_ａＱ^ａ^)ψ_α(ｘ) (1－iε_ａＱ^ａ^) 

＝ψ_α(ｘ)－(ε_ａλ^ａ)_sαβψ_β(ｘ)

＝(1－(ε_ａλ^ａ) _αβψ_β(ｘ)　となります。
 

これは,exp(iΣε_ａＱ^ａ^)Ψ(ｘ)exp(－iΣε_ａＱ^ａ^)

＝Ｕ(ε)Ψ(ｘ)　を意味し,無限小のεを有限な定数

パラメータθに戻しても, 

exp(iΣθ_ａＱ^ａ^)Ψ(ｘ)exp(－iΣε_ａＱ^ａ^)＝Ｕ(ε)Ψ(ｘ) 

が成立します。
 

よって,Ｕ^(θ)＝exp(－iΣθ_ａＱ^ａ^)とおくとき,Ψ(ｘ)が

単なる波動関数でなく,状態ベクトル:|Φ＞に作用する量子化

された粒子の場の演算子を意味する場合,
 

exp(iΣθ_ａＱ^ａ^)Ψ(ｘ)exp(－iΣε_ａＱ^ａ^)＝Ｕ(ε)Ψ(ｘ)

は,任意の量子状態:|Φ＞が,|Φ＞ →|Φ'＞＝Ｕ^(θ)|Φ＞

なる変換を受けるとき,場の行列要素(期待値):

＜Φ₁|Ψ(ｘ)|Φ₂＞は,

＜Φ₁'|Ψ(ｘ)|Φ₂'＞＝＜Φ₁|Ｕ^^＋(θ)Ψ(ｘ)Ｕ^(θ)|Φ₂＞ 

＝Ｕ(θ)＜Φ₁|Ψ(ｘ)|Φ₂＞に変換されるという対応原理を

意味すると解釈されます。
 

これは,場の演算子の変換としては,

Ｕ^^＋(θ)Ψ(ｘ)Ｕ^(θ)＝Ｕ(θ)Ψ(ｘ),または,

Ｕ^(θ)Ψ(ｘ)Ｕ^^＋(θ)＝Ｕ(θ)^-1Ψ(ｘ) 

を意味するわけです。(※:行列:Ｕ(θ)＝exp(－iΣ_ａλ^ａθ_ａ)

と演算子Ｕ^(θ)＝exp{－iΣ_ａθ_ａＱ^{ａ^}}の混同に注意)
 

2008年2/29の過去記事「ネーターの定理と場理論」によれば 

Ｎ個の古典場の系:φ＝{Φ₁,φ²,..,φ_Ｎ}のLagranjian 密度 

をＬ(φ,φ_d,ｔ)とするとき,(φ_d＝∂₀φ＝ｄφ /ｄｔ)  

φ_j(ｘ)→φ_j(ｘ)＋δφ_jなる微小変換

(※δφ_jはｘによらない大局的変化)に対してＬが不変なら

カレントをｊ_μ(ｘ)＝_jδＬ/δ(∂^μΦ)で定義するとき,

カレントの保存;∂^μｊ_μ＝0　が成立します。 

(Noether(ネーター)の定理)
 

そこで,Ｑ＝∫ｄ³ｘｊ₀(ｘ)と置けば,ｄＱ/ｄｔ＝0　です。 

このとき,Ｑは運動の恒量といわれます。
 

系のLagrangian は,Ｌ＝∫ｄ³ｘＬ(φ,φ_d,ｔ)です。 

φ_i(ｘ)の共役運動量をπ_i(ｘ)＝∂Ｌ/∂φ_jd,で定義し,系の 

Hamiltonianを,Ｈ＝∫ｄ³ｘ(Σ_jπ_ｊφ_jd ―Ｌ)で定義します。
 

すると,Ｈamiltonの正準方程式 {Ｈ,φ_j}_P.B＝ｄφ_j/ｄｔ. 

{Ｈ,π_j}_P.B＝ｄπ_j/ｄｔが成立します、 

ただし { , }_P.Bはポアソン括弧式(Poisson Bracket)です。
 

これを用いると,{Ｑ,φ_j}_P.B.＝－δφ_jが得られます。
 

そして,古典論と量子論の間には{ｕ,ｖ}_P.B＝－i[ｕ.ｖ]

という対応原理が成立します。(※Diracによる対応原理)
 

これを適用すると量子論的には,{Ｑ,φ_j}_P.B.＝－δφ_jは 

l[Ｑ^{^},φ_j]_.＝δφ_jとなりますが,これはＨamiltonの正準方程式

を量子化した条件として同時刻正準交換関係の条件:

[φ_i(ｘ,ｔ).π_j(ｙ,ｒ)]＝iδ_ijδ³(ｘ－ｙ)に読み換えること

で 得られる関係式です、
 

そこで,ＳＵ(Ｎ)群について独立に(Ｎ²-1)個の運動の恒量演算子 

Ｑ^ａ^(ａ＝1,2,..,Ｎ²－1)が存在して,l[Ｑ^{ａ^},ψ_α]_.＝δ^ａψ_α 

＝(λ^ａ)_αβψ_βを満たす。という一般論が成り立ち, 

Ｑ^ａ^(ａ＝1,2,..,Ｎ²－1)は量子論における演算子の変換の意味 

でのＳＵ(Ｎ)の生成子です。
 

Ψ → exp{－iθ}Ψという位相変換に対する不変性を考えたので 

カレント:ｊ^ａ_μ(ｘ)＝_jδＬ/δ(∂^μψ)は,ベクトルカレント

であり, Ｑ^ａ^はスカラーでしたが,Ψ → exp{－iγ₅θ}Ψの

ようにをγ₅を含むカイラル位相変換に対する不変性であれば 

ｊ^ａ_μ(ｘ)＝_jδＬ/δ(∂^μψ)は軸性ベクトルカレントで,

Ｑ^ａ^は擬スカラー演算子です。
 

さて,ここからは,話が重複する部分があるかもしれませんが, 

最初に書いたように,九後さんの著書「ゲージ場の量子論」

について私的に読書し解釈したノートからの抜粋です。
 

Ｎ個の場:φ＝{Φ₁,φ₂,..,φ_Ｎ}からなる系がにおいて

系が対称性を持つ条件としてのLagrangian密度:

Ｌ(φ,∂φ)の不変性の要求は,元々は作用積分;

Ｓ＝∫ｄ⁴ｘＬ(φ,∂φ) で記述される系が,

連続パラメータの大局的変換群:Ｇの下で不変であるという

対称性のために要求される条件です。
 

このとき,「Noetherの定理」から,群Ｇの独立な生成子:

Ｔ^Ａの各々に対して保存するカレントｊ^Ａ_μ (∂^μｊ^Ａ_μ＝0)

が存在して,そのチャージをＱ^Ａ＝∫ｄ³ｘｊ^Ａ₀(ｘ,ｔ)で

定義すれば,これは場:φに対して

i[Ｑ^Ａ,φ_i]＝δ^Ａφ_i＝－i(Ｔ^Ａ)_ijφ_j (Ａ＝1.2.．．，dimＧ)

を満たします。
 

作用積分の対称性は,基底状態＝真空の対称性である場合も 

あれば,そうでない場合もあります。これは標記的に 

ⅰ) Ｑ^Ａ｜0＞＝0　ⅱ) Ｑ^Ａ｜0＞≠0　の2通りの場合 

として表現されます。
 

Ｑ^Ａ＝∫ｄ³ｘｊ^Ａ₀(ｘ,ｔ)は,全ｘ空間にわたる積分であり 

時間ｔについてもｄＱ^Ａ/ｄｔ＝0　を満たします。 

そこで,これは時空における平行移動で不変:[Ｐ_μ,Ｑ^Ａ]＝0  

です。
 

場理論における真空は,Ｐ_μ｜0＞＝0　を満たすものと定義 

されているため,[Ｐ_μ,Ｑ^Ａ]＝0から,Ｐ_μＱ^Ａ｜0＞＝0

が従います。
 

故に.Ｑ^Ａ｜0＞は,｜0＞と同じく運動量:Ｐ_μのＰ_μ＝0

の固有状態です。スペクトル:Ｐ_μ＝0を持つ基底状態は,真空

のみで縮退はないのでｃを定数として,Ｑ^Ａ｜0＞＝ｃ｜0＞　

と書けます。
 

それ故,ｃ＝＜0|Ｑ^Ａ｜0＞＝∫ｄ³ｘ＜0|ｊ^Ａ₀(ｘ)｜0＞

ですが,真空の並進不変性:Ｐ_μ｜0＞＝0 は, 

＜0|ｊ^Ａ₀(ｘ)｜0＞＝＜0|ｊ^Ａ₀(0)｜0＞を意味します。
 

そこで,ｃ＝∫ｄ³ｘ＜0|ｊ^Ａ₀(ｘ)｜0＞の右辺の被積分関数

は４元ベクトルであって,かつ座標系の平行移動に対して

不変な定数ベクトル量です。
 

定数で,かつ,Lorentz変換のベクトル量というのは

ゼロベクトル以外には有り得ないので,ｃ＝0と結論されます。
 

したがって,先にⅱ) Ｑ^Ａ｜0＞≠0　の場合もあると

書きましたが,これは,既に無矛盾な理論の物理量Ｑ^Ａとしては

,有り得ないことです。
 

変換群Ｇの全ての生成子Ｔ^Ａ(Ａ＝1.2.．．，dimＧ)について

,対応するチャージ:Ｑ^Ａが,ⅰ)Ｑ^Ａ｜0＞＝0 を満たして明白

に,無矛盾な対称性が存在している場合,系は「Wigner相にある」

といいます。
 

一方,いくつかのＱ^Ａについては,ⅱ)Ｑ^Ａ｜0＞≠0を満たす

ものも混在している場合,この系は

「南部-Goldstone相にある」といいますが,このとき,もはや

Ｇの対称性は部分的に破れているはずです。
 

系が「南部-Goldstone相」にあって,

ⅰ)Ｑ^Ａ｜0＞＝0 を満たすＱ^Ａに対応する生成子:Ｔ^Ａを

"破れていない生成子" ⅱ)Ｑ^Ａ｜0＞≠0 を満たすＱ^Ａに対応

する生成子:Ｔ^Ａを"破れた生成子"と呼ぶことにします。
 

“破れていない生成子"同士のつくる交換子は,また 

“破れていない生成子"を与えるため,"破れていない生成子" 

の線形結合の全体は群ＧのLie代数:Ｇ の部分代数Ｈ を構成 

します。
 

この部分代数:Ｈ に対応するＧの部分群をＨと書き,

ＨをＧの“破れていない部分群”と呼びます。
 

ここで無矛盾でない量,いわば,明白に存在するとはいえない

量Ｑ^Ａによる条件Ｑ^Ａ｜0＞≠0 を対称性の自発的破れが起こって

いる条件として採用するのは,論理矛盾で不適切と思われるので

より適切な表現を探します。
 

そのため,時空点ｘの近傍の有限領域のHeisenberg場で

書かれた.ある局所化演算子;Φ(ｘ)を与え,これのＱ^Ａ

による変換が, 

ｉ[Ｑ^Ａ,Φ(ｘ)]＝i∫ｄ³ｙ[ｊ^Ａ₀(ｙ),Φ(ｘ)]

＝δ^ＡΦ(ｘ) となるものを考えます。
 

これならＱ^Ａ自身が存在しないときでも,この変換性を最左辺 

を無視した,i∫ｄ³ｙ[ｊ^Ａ₀(ｙ),Φ(ｘ)]＝δ^ＡΦ(ｘ)で 

置き換えれば,Φ(ｘ)の定義域が点ｘの近傍の有限領域のみ 

なので,交換関係:[ｊ^Ａ₀(ｙ),Φ(ｘ)]は.ｙがｘのこの近傍 

領域にあるときにのみゼロでないため,その∫ｄ³ｙ積分は 

無矛盾と考えられます。
 

そこで, Ｑ^Ａの存在そのものが曖昧な場合でも

i[Ｑ^Ａ,Φ(ｘ)]を,∫ｄ³ｙ[ｊ^Ａ₀(ｙ),Φ(ｘ)]の意味に解釈

して,Ｑ^Ａに関わる自発的破れを,

＜0|i[Ｑ^Ａ,Φ(ｘ)]|0＞＝＜0|δ^ＡΦ(ｘ)|0＞≠0 

を満たす局所化演算子,Φ(ｘ)が少なくとも1つは存在する

という条件で定義します。
 

演算子Φ(ｘ)は,系のLagrangian密度:

Ｌ(φ,∂φ)(φ＝{Φ₁,φ₂,..,φ_Ｎ})を構成する"

素"Heisenberg場:φ_j(ｘ)そのものである必要はなく, 

一般にｘの近傍の有限領域:Ｄ_ｘにおける{φ_j(ｘ)}_ｙ∈Ｄｘ

の並進不変な多項式であればいいです。
 

並進不変な演算子とは,

Φ(ｘ)＝exp(iＰｘ)Φ(0)exp(－iＰｘ)が満たされるという

意味です。
 

そして,Ｑ^Ａがスカラーの場合は,Φ(ｘ)をスカラー場の

演算子に限っても十分です。
 

長くなりそうなので,今日は一旦ここで終わります。
 

参考文献: 

１.J,D,Bjorken and S.D.Drell

"Relativistic Quantum Mechanics"(McGrawHill) 

1. 九後汰一郎 著「ゲージ場の量子論(Ⅱ)」(培風館)