摂動論のアノマリー(18）(第Ⅱ部:1)

  摂動論のアノマリーの続きです。
 

私的には２冊目のノートに移り,第Ⅱ部として第５章(§5) 

以下の一般化や,関連実験との比較検証の項目に入ります。
 

この２冊目ノートの開始年月日は1995年３月24日(月)となって

います。

　　§5. Generalization of our results:π⁰-decay

 other Ward identity Anomalirs
　　(我々の結果の一般化：π⁰崩壊, および,他のWard恒等式

　アノマリー)

　　これまでの我々の議論は,もっぱらQEDのVVA三角アノマリー

を取り扱ってきました。

(※ VVAとはvector-vector-axialvectorの略です。)
 

今からは,それらの結果を２つの方向に一般化します。
 

まず第１には,VVAアノマリーの結果を他の場の理論の

モデル (模型)に適用し,特に謂わゆる σ-モデルにおける

それを研究します。
 

このσ-モデルは正確な演算子恒等式として部分的保存 

(Partialy conserved axialvector–current:ＰＣＡＣ)の条件 

を満足します。

　　そして,先に導出された「低エネルギー定理」のこの種の

モデルへの拡張は,(π⁰ → 2γ decay)の崩壊率(decay rate)

の予測に導くことがわかります。

　　実験との比較結果は.分数電荷を持つクォークモデルに反する

証拠を生み出します。(※これは,今解読中のこのレポートが

書かれたのが1970年で,当時はカラー自由度の存在が重要視

されていなかったためでしょう。)
 

第２に,手短かに別の三角,四角,五角..diagramsを調べて, 

アノマリー(異常項),または正常なWard恒等式を持つか否か？

を調べます。
 

§5.1 The σ–models(σ-モデル or σ模型)
 

たった今,紹介したように, σ-モデルというのはＰＣＡＣ

が演算子関係式 として成立する場の理論のモデルの特殊な

ケースです。
 

我々は基本的に,三角diagramを通して２光子とcoupleできる 

電気的に中性の軸性ベクトルカレントに興味があります。
 

そこで荷電軸性ベクトルカレントが現われないσ-モデルの

不完全バージョンを考察します。
 

単純化されたモデルは,次のLagrangian密度:Ｌで,粒子場と

しては,陽子場:ψ(ｘ),中性π中間子場:π(ｘ),および,

スカラー中間子の場:σ(ｘ)のみを含みます。
 

すなわち,Ｌ＝ψ~{iγ_μ∂^μ－Ｇ₀(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅)}ψ 

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²} 

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²) 

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}－(μ₁²/2)(π²＋σ²),,(138)
 

(138)を書くに当たって,摂動論のあらゆるオーダーまでで, 

＜0|σ|0＞＝0..(139)となるように,σ-モデルが全体に 

平行移動された形式を選択しました。
 

※(注18-1):もしも,最初に選択した場σで

＜0|σ|0＞＝σ₀≠0 であった場合:σ → σ'＝σ－σ₀とずらし,

このσ'を改めてσとして選び直せば,＜0|σ|0＞＝0 とできます。

　(注18-1終わり※)
 

中性軸性ベクトルカレントは,位置に依存するゲージパラメータ 

ｖ(ｘ)を持つカイラルゲージ変換(第２種の変換;

局所ゲージ変換)によって生成されます。
 

この変換は, 

ψ → {1＋(i/2)γ₅ｖ}ψ,π → π－ｖ(ｇ₀^-1＋σ). 

ｇ₀^-1＋σ → ｇ₀^-1＋σ＋ｖπ　..(140)　

で与えられます。

(※注18-2);まず,ψ → {1＋(i/2)γ₅ｖ}ψ　より, 

ψ~ → ψ^＋{1－(i/2)γ₅ｖ}γ₀＝ψ~{1＋(i/2)γ₅ｖ}

です。

    ｖは微小(無限小)パラメータなので,ｖの２次以上を無視 

すると,ψ~iγ_μ∂^μψ 

→ ψ~{1＋(i/2)γ₅ｖ}(iγ_μ∂^μ){1＋(i/2)γ₅ｖ}ψ 

＝ψ~iγ_μ∂^μψ－(1/2)ψ~γ_μ(∂^μｖ)ψ です。

   また,－Ｇ₀ψ~(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅)ψ

→ －Ｇ₀ψ~{1＋(i/2)γ₅ｖ}[ｇ₀^-1＋σ＋ｖπ

＋i{π－ｖ(ｇ₀^-1＋σ)}γ₅]×{1＋(i/2)γ₅ｖ}ψ 

＝－Ｇ₀ψ~[ｇ₀^-1＋σ＋ｖπ＋i{π－ｖ(ｇ₀^-1＋σ)}γ₅]ψ 

－ｖＧ₀ψ~iγ₅(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅}ψ
 

＝－Ｇ₀ψ~(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅)ψ

－ｖＧ₀ψ~{π－i(ｇ₀^-1＋σ)γ₅}ψ 

－ｖＧ₀ψ~γ₅{i(ｇ₀^-1＋σ)－πγ₅}ψ 

＝－Ｇ₀ψ~(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅)ψ  です。
 

したがって,ψ~{iγ_μ∂^μ－Ｇ₀(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅)}ψ 

→ ψ~{iγ_μ∂^μ－Ｇ₀(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅)}ψ 

－(∂^μｖ)(1/2)ψ~γ_μψ　です。
 

また,σ → σ＋ｖπより.σ² → σ²＋2ｖσπ 

π → π－ｖ(ｇ₀^-1＋σ)より,π² → π²－2ｖπ(ｇ₀^-1＋σ)
 

故に,(σ²＋π²) → (σ²＋π²)－2ｖｇ₀^-1πであり, 

(σ²＋π²)² → (σ²＋π²)²－4ｖｇ₀^-1π(σ²＋π²) です。
 

そこで.λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²} 

→ λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}
   よって,この項は不変です。
 

一方,(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)

も,この変換では不変です。
 

さらに,－(μ₁²/2)(π²＋σ²)  

→ －(μ₁²/2)(π²＋σ²)＋ｖμ₁²ｇ₀^-1π　です。
 

∂^μπ － ∂^μπ－ｖ∂^μσ－(∂^μｖ)(ｇ₀^-1＋σ) 

∂^μσ → ∂^μσ＋(∂^μｖ)π＋ｖ∂^μπ　より,
 

(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²} 

→ (1/2){(∂π)²＋(∂σ)²} 

－(∂ｖ)(∂π)(ｇ₀^-1＋σ)＋(∂ｖ)(∂σ)π
 

したがって,Ｌのトータルの増分は, 

－ｖμ₁²ｇ₀^-1π－(∂^μｖ)

×[(1/2)ψ~γ_μψ＋ｇ₀^-1(∂_μπ)＋σ(∂_μπ)－(∂σ)π｣ 

です。

　　したがって.もしも,ｖμ₁²ｇ₀^-1πというｖの

１次項がないなら,∂^μｖ＝0 (ｖが定数)の大域的な

カイラルゲージ変換(第1種の変換)に対し,Ｌが不変

という対称性を持つことになります。

　　そこで,ｖの１事項がないケースなら「Noether定理」の応用

で対応カレントを.ｊ⁵_μ＝－δＬ/δ(∂^μｖ)で定義すると.

これは,∂^μｊ⁵_μ＝0 を満たす保存カレントです。
 

しかし,残念ながらＬは不変ではなく余分な項

(－ｖμ₁²ｇ₀^-1π)があるため,ここまで論じてきた質量:ｍ≠0

の場合の軸性ベクトルカレントの発散のケースと同じく.

部分的保存(ＰＣＡＣ)のみです。
 

つまり,今の場合,∂^μｊ⁵_μ－δＬ/δｖ＝－μ₁ｇ₀^-1π　

であるからです。　　(注18-2終わり※)
 

さて,「摂動論のアノマリー(12)」においては,次のように

書きました。
 

※ 場:{Φ₁(,Φ₂..Φ_N}に対してパラメータ:ｖ(ｘ)が無限小 

の,次のような.無限小局所ゲージ変換を施します。
 

Φ_j(ｘ) → Φ_j(ｘ)＋ｖ(ｘ)Ｇ_j({Φ(ｘ)})..(89)
 

これに対応するカレント:ｊ^μを

ｊ^μ＝－δＬ/δ(∂_μｖ)(90) で定義します。
 

すると,ｊ^μ＝－δＬ/δ(∂_μｖ)＝－{∂Ｌ/∂(∂_μΦ)}Ｇ_j 

ですから,∂_μｊ^μ＝－∂_μ {∂Ｌ/∂(∂_μΦ)}Ｇ_j 

－{∂Ｌ/∂(∂_μΦ)}∂_μＧ_j＝－δＬ/δｖ を得ます。※
 

という内容を記述しました。　
 

この手法(Noetherの定理)を適用して得られるカレント: 

ｊ_μを,今の変換に対しては,ｊ⁵_μと表わすと,

次式を見出します。

　　すなわち,ｊ⁵_μ＝－δＬ/δ(∂^μｖ)

＝(1/2)ψ~γ_μγ₅ψ＋σ(∂_μπ)－π(∂_μσ)

＋ｇ₀^-1(∂_μπ). (141ａ),

∂^μｊ⁵_μ＝－δＬ/δｖ＝－(μ₁²/ｇ₀)..(141ｂ)　 

です。
 

※(注18-3):何故なら 

まず,,ｊ⁵_μ＝－δＬ/δ(∂^μｖ)＝－{∂Ｌ/∂(∂^μΦ)}Ｇ_j 

＝－[∂Ｌ/{∂(∂^μψ_α)}](iγ₅/2)ψ_α 

＋[∂Ｌ/{∂(∂^μπ)}](ｇ₀^-1＋σ)－∂Ｌ/{∂(∂^μσ)}]π 

＝－ψ~(iγ₅/2)ψ＋(ｇ₀^-1＋σ)(∂^μπ)－π(∂^μσ) 

です。

　　そして,∂_μｊ^μ＝－∂_μ {∂Ｌ/∂(∂_μΦ)}Ｇ_j

－{∂Ｌ/∂(∂_μΦ)}∂_μＧ_j＝－δＬ/δｖ

＝－μ₁²ｇ₀^-1π　です。　　

　　(注18-3終わり※)
 

こうして,σ-モデルは演算子恒等式としてPCACの条件を満足

する との先の言明通り,軸性ベクトルカレントの発散が正準

π場に比例 するという式を得ました。
 

再掲(138);Ｌ＝ψ~{iγ_μ∂^μ－Ｇ₀(ｇ₀^-1＋σ＋iπγ₅)}ψ 

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²} 

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²) 

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}－(μ₁²/2)(π²＋σ²) 

に現われる種々のパラメータは次のような意味を持って 

います。
 

(ⅰ)Ｇ₀は,くり込まれる前の中間子-核子の結合定数。 

(ⅱ)ｇ₀は(Ｇ₀/ｇ₀)がｍ₀によって核子の裸の質量:ｍ₀と 

関連付けられる。

(ⅲ)μ₁²はσとπの裸の伝播関数;(ｑ²－μ₁²＋iε)^－1に

現われる裸の中間子質量の平方である。
 

(ⅳ) 項:λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²}は

カイラル不変な中間子-中間子散乱相互作用である。 

(ⅴ) 項:(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²)は.カイラル不変な

相殺項(counterterm)であり,運動のEuler-Lagrange方程式

とσの(σ空間における)平行移動不変性から要求される

次式:

＜0|δＬ/δσ|0＞＝∂_λ＜0|δＬ/δ(∂_λσ)|0＞＝0

…(142)の成立を保証するために必要である。
 

この(142)と(139):＜0|σ|0＞＝0.からμ₀²は次の値を取る

ことがわかります。

すなわち,μ₀²＝＜0｜Ｇ₀ｇ₀ψ~ψ＋λ₀ {4ｇ₀²(3σ²＋π²)

＋4ｇ₀³σ(σ²＋π²)}|0＞..(143)　です。
 

※(注18-4):まず,式(142)の証明です。
 

σ場に関するEuler-Lagrange方程式は 

∂_λ{∂Ｌ/δ(∂_λσ)}－(∂Ｌ/∂σ)＝0　です。
 

故に,＜0|δＬ/δσ|0＞＝∂_λ＜0|δＬ/δ(∂_λσ)|0＞

です。

　　一方,平行移動不変性は.σの微小移動:σ→σ＋Δσに

対して,Ｌ→Ｌ＋ΔＬのとき,この性質を＜0|ΔＬ|0＞＝0

と表現すれば,＜0|δＬ/δσ|0＞＝0を意味します。

　　結局,

 ＜0|δＬ/δσ|0＞＝∂_λ＜0|δＬ/δ(∂_λσ)|0＞＝0

を得ます。

　　ところで,∂Ｌ/∂σ

＝－Ｇ₀ψ~ψ＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)² }

＋(ｇ₀^-1＋σ)μ₀²－μ₁²σ　です。
 

一方,∂Ｌ/δ(∂_λσ)＝∂^λσより, 

∂_λ{∂Ｌ/δ(∂_λσ)}＝∂_λ∂^λσ＝□σ　です。

(※;□は,D’Alembertuan(ダランベルシャン)=と呼ばれる

微分演算子で,□＝∂_λ∂^λ∂＝∂²/∂ｔ²－∇²です。)
 

故に,σについての Euler-Lagrange方程式: 

∂_λ{∂Ｌ/δ(∂_λσ)}－(∂Ｌ/∂σ)＝0　を書き下すと, 

□σ

＝－Ｇ₀ψ~ψ＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)² }

＋(ｇ₀^-1＋σ)μ₀²－μ₁²σ　です。
 

あるいは, □σ＋(μ₁²－μ₀²)σ 

＝－Ｇ₀ψ~ψ＋ｇ₀^-1μ₀²＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)

＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)²}　です。
 

そこで,＜0|δＬ/δ(∂_λσ)|0＞＝0は,□＜0|σ|0＞＝0

となり,大域的にこれが成立することは,＜0|σ|0＞が時空点

に依存しない定数であることを意味します。

　　そこで,これがゼロであるスキームを取れば,このことは,

＜0|σ(ｘ)|0＞＝0 と表わせます。
 

他方,＜0|δＬ/δσ|0＞＝ 0 は 

＜0｜－Ｇ₀ψ~ψ＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)

＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)²}＋(ｇ₀^-1＋σ)μ₀²－μ₁²σ|0＞＝ 0
 

つまり,－Ｇ₀＜0｜ψ~ψ|0＞＋4λ₀ｇ₀＜0|3σ²＋π²|0＞ 

＋4ｇ₀＜0|σ(σ²＋π²)|0＞＋ｇ₀^-1μ₀²＝ 0　です。
 

これから.式;(143):μ₀²＝＜0｜Ｇ₀ｇ₀ψ~ψ

＋λ₀ {4ｇ₀²(3σ²＋π²)＋4ｇ₀³σ(σ²＋π²)}|0＞ 

が得られます。

   こうして,μ₀²を含む項は,ψやσ,πの場の２次以上の

真空期待値を吸収して,

＜0|δＬ/δσ|0＞＝∂_λ＜0|δＬ/δ(∂_λσ)|0＞＝ 0, 

および,＜0|σ|0＞という条件を維持し,保証するために

必要であることがわかりました。　　　

  (注18-4終わり※)

  μ₀²の効果は,(これ自身,形式的には２次発散しますが)摂動論

の各オーダーでっ条件:＜0|σ|0＞＝0　を維持できるように

下図のような型のtadpole diagramsを除去することです。
 ※(注18-5):相互作用Hamiltonian密度:Ｈ_intは, 

Ｈ_int＝－Ｌ_intであたえられます。

これは,－4λ₀ｇ₀σ(σ²＋π²)と－μ₀²ｇ_0-¹σという

σの３次,と１次の項を持つため,一般には,

＜0|Ｈ_int|σ＞≠ 0 が成立すると思われ,σの１本の

外線から真空が生み出されるという.謂わゆるtadpole

になります。

　　そこで,－＜0|4λ₀ｇ₀σ(σ²＋π²)|σ＞が,λ₀を適切に選択

することにより,―＜0|μ₀²ｇ_0-¹σ|σ＞を相殺してtadpoleを

除去すると期待できます。
 

これによって,＜0|Ｈ_int|σ＞＝0 とするとき,これは

σの生成,消滅の両Fourier成分を持つ,σのincoming漸近場:

σ_inによって,１粒子っ状態を|σ＞＝σ_in|0＞と書けば,

＜0|Ｈ_int(ｘ)|σ＞＝＜0|Ｈ_int(ｘ)σ_in(ｘ)|0＞＝0　を

意味します。

　　これから,

＜0|Ｔ[Ｈ_in(ｔ₁)Ｈ_in(ｔ₂).. Ｈ_in(ｔ_ｎ)σ_in(ｘ)|0＞＝0 

つまり,＜|Ｓσ_in |0＞となり,摂動のあらゆるオーダーで 

＜0|σ|0＞＝0　が保証されます。
 

同じ意味ですが,0＝＜0|δＬ/δσ|0＞ 

＝＜0｜－Ｇ₀ψ~ψ＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)

＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)²}＋(ｇ₀^-1μ₀²－σ(μ₁²－μ₀²)σ|0＞

　　と,EulerpLagrange方程式:□σ＋(μ₁²－μ₀²)σ 

＝－Ｇ₀ψ~ψ＋ｇ₀^-1μ₀²＋λ₀{8σ＋4ｇ₀(3σ²＋π²)

＋4ｇ₀²σ(σ²＋π²)²}により, □＜0|σ｜0＞＝0 と(139)

の規約:＜0|σ|0＞＝0 が同時に満たされるよう,(143)の

ようにμ₀²が選択されたのでした。
 

(注18-5終わり※)

　　μ₀²の相殺項は同時に中間子:π,σの自己エネルギーの

２次の発散部分を除去することも容易にわかります。

(※π,σの自己エネルギーは,発散するのは陽子の真空偏極

ですが,その寄与:Π(ｐ²)はπ,σの質量がゼロでないので光子

のようなゲージ不変性が存在せず,確かに２次発散量が生じます。

そこでμ₁²からμ₀²を引いて物理的質量にします。)

　　その結果,Lagrangianに現われる残りの裸の量(Ｇ₀,ｇ₀,μ₁)

は波動関数のくり込み同様,せいぜい対数的に発散します。

そのため,この理論は.QED以上に特異にはなりません。

　　さて,今日は途中ですが,１記事として,これ以上続けると,

長過ぎると思われるので.ここで終わります。
 

 (参考文献):Lectures on Elementary Particles and Quantum 

Field Theory(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ

　　ＰＳ:世界水泳も終わり,今度は世界陸上を見て,この

ところ毎日,夜も寝ないで昼寝してます。

いやー,ヒマ人ですね。

　　でも,次は見られるかどうか？これが見納めカモ。。

ということで。。

　　８/５(土)の夜は，雨天じゃなかったので,おそらく

ナイアガラの仕掛け花火が有名な「いたばし花火大会」

があったと思います。(埼玉側だと「戸田花火」かな？)

　　歩けた頃には都営三田線西台駅から歩いて20分,荒川河原

まで行って楽しみました。2006と2007年に行って以来10年,

なつかしいですネ。

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