摂動論のアノマリー(19）(第Ⅱ部:2)

  摂動論のアノマリーの項目:

§5.1 The σ–models(σ-モデル or σ模型)の続きです。
 

さらなる作業を進めるのために,ＰＣＡＣ方程式

(141ｂ):∂^μｊ⁵_μ＝－δＬ/δｖ＝－(μ₁²/ｇ₀)π を

次のように書き換えるのが便利とわかります。.
 

すなわち,∂^μｊ⁵_μ＝－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r..(144)

tと書きます。(※つまり,π＝(Ｚ₃^π)^1/2π^rでＺ₃^πとπ^r

を定義します。)
 

次に,π中間子の崩壊振幅:ｆ_πを次式で定義します。 

＜π(ｑ)|ｊ⁵_λ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ_λ/μ²)ｆ_π/√2.(145) 

ここで,μはπ中間子の質量です。

(※σモデルの完全版では,πの中で,中性軸性ベクトル

カレントが荷電アイソスピンパートナーを持つため, ｆ_π

は,荷電π中間子の弱い崩壊振幅に比例する量であること

がわかります。）
 

※(注19-1);前節で扱った,電気的に中性の軸性ベクトル

カレントだけでなく,荷電軸性ベクトルカレントと荷電中間子

を含む完全な(full)バージョンのσモデルは,荷電独立性

(強い相互作用のアイソスピン対称性)がこのモデルでも維持

されると仮定し,核子のアイソスピノル場:Ψ＝(ψ_p,ψ_n)^Ｔ,
 

および,π中間子のアイソベクトル場;π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔ

を含む系を考えます。σについては電気的に中性の

アイソスカラーとします。

　　π中間子の粒子状態は, 

|π^＋＞＝(|π₁＞＋i|π₂>)/√2, 

|π^－＞＝(|π₁＞－i|π₂>)/√2,|π⁰＞＝|π₃＞ 

で定義されます。
 

１粒子状態は,|π_ｋ＞＝(π_ｋ)^＋|0＞(ｋ＝1.2､3)のように, 

真空:|0＞に場の生成演算子(π_ｋ)^＋を作用させて得られる 

ので,

　　上の粒子状態の表現は,粒子の消滅演算子から成る場: 

π_ｋの表現としては,

π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2, π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,  

π⁰＝π₃と書けることを意味します。
 

今対象としているカイラルゲージ変換を,無限小の局所

ゲージパラメータｖ(ｘ)を,アイソ空間のベクトルｖ(ｘ)

として拡張し,一般化します。

この意味で前節では,π＝(π₁,π₂,π₃)^Ｔの中性成分:

π₃＝π⁰のみが,π₃ →π₃＋ｖ(ｇ₀^－1＋σ)と変換を受けた

のに」対して,これを.π → π＋ｖ(ｇ₀^－1＋σ) へと拡張

します。
 

これと連動して,アイソスピノル;Ψについては,Pauliの

スピン回転σ行列をアイソ空間ではτ＝(τ¹,τ²,τ³)と

表記して導入し,アイソ空間の3次元ベクトルの増分

パラメータｖを2成分スピノルの増分パラメータ(τｖ)

へと変換して,前節でスピノルのカイラルゲージ変換が,

ψ → {1＋(i/2)γ₅ｖ}ψであったのを,

Ψ→ {1＋{(i/2)γ₅(τｖ)}Ψ　へと拡張します。
 

σについては,σ → σ＋ｖπが,σ → σ＋(ｖπ)に

変わるだけとします。
 

Lagrangian密度:Ｌは,基本的に(138)で,ψをΨに,

πをπに書き換えるだけですが,ψとπが同時に変換を

受ける唯一の項:(－ψ~Ｇ₀iπγ₅ψ)については,これを

{－Ψ~Ｇ₀i(τπ)γ₅Ψ}に書き換えます。
 

よって,完全版σモデルでは, 

Ｌ＝Ψ~[iγ_μ∂^μ－Ｇ₀({ｇ₀^-1＋σ＋i(τπ)γ₅}]Ψ 

＋λ₀{4σ²＋4ｇ₀σ(σ²＋π²)＋ｇ₀²(σ²＋π²)²} 

＋(μ₀²/2)(2ｇ₀^-1σ＋σ²＋π²) 

＋(1/2){(∂π)²＋(∂σ)²}－(μ₁²/2)(π²＋σ²) 

です。
 

この場合,軸性ベクトルカレントもアイソベクトルで,

それを太字でｊ⁵_μと表わせば,ｊ⁵_μ＝－δＬ/(∂^μｖ) 

＝(1/2)Ψ~γ_μγ₅τΨ＋σ(∂_μπ)－π(∂_μσ)

＋ｇ₀^-1(∂_μπ).で与えられます。
 

そして,その4次元発散は, 

∂^μｊ⁵_μ＝－δＬ/δｖ＝－(μ₁²/ｇ₀)π　です。
 

中性のπ⁰に対する先の軸性カベクトルカレントｊ⁵_μ(ｘ)

は,今のｊ⁵_μ(ｘ)のアイソ第３成分です。
 

それを,ｊ⁵_μ⁽³⁾(ｘ)と表わし,式(145)の 

＜π(ｑ)|ｊ⁵_μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ_μ/μ²)ｆ_π/√2を 

＜π⁰(ｑ)|ｊ⁵_λ⁽³⁾|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ_μ/μ²)ｆ_π/√2

と書き直します。
 

前述したように,荷電π中間子場は,

π^＋＝(π₁－iπ₂)/√2,π^－＝(π₁＋iπ₂)/√2,であり,

粒子状態は,|π^＋＞＝|π₁＋iπ₂＞/√2,

|π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2　です。
 

π^－の崩壊におけるレプトン関連以外の因子:π^－→ 真空

という行列要素の向きを逆転させると,真空 → π^＋が対応

するはずです。つまり,|π^－＞＝|π₁－iπ₂＞/√2に対し,

＜π^－|＝＜π₁＋iπ₂|/√2　と考えられます。
 

そして,ｊ⁵_μ⁽³⁾ ＝(1/2)Ψ~γ_μγ₅τ₃Ψ＋σ(∂_μπ₃)

－π₃(∂_μσ)＋ｇ₀^-1(∂_μπ₃)ですが,これをアイソ回転する

ことにより,ｊ⁵_μ^(＋) ＝(1/2)Ψ~γ_μγ₅τ_－Ψ＋σ(∂_μπ^＋)

－π^＋(∂_μσ)＋ｇ₀^-1(∂_μπ^＋)となるはずです。

　　ただし,τ_－＝(τ¹－iτ²)/√2,π^＋＝(π₁―iπ₂)/√2 

そこで,＜π^－(ｑ)|ｊ⁵_μ^(＋)|0＞ 

＝＜{(π₁ ＋iπ₂)/√2}(ｑ)|(ｊ⁵_μ⁽¹⁾ －iｊ⁵_μ⁽²⁾)/√2|0＞ 

＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ_μ/μ²)ｆ_π/√2 となります。

ここで,ｋ＝1,2,3の各々のπ_kは同じｋのカレントｊ⁵_μ^(ｋ) 

とのみcoupleできて,ｋに関わらず, 

＜π_ｋ|ｊ⁵_μ^(ｋ)|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ_μ/μ²)ｆ_π/√2 

となる。という対称性を仮定しました。
 

因子:(－iｑ_μ)は,πの崩壊相互作用部分の行列要素が, 

＜π_i(ｑ)|ｇ₀^-1∂_μπ|0＞＝(2ｑ₀)^-1(－iｑ_μ)Ｆ(ｑ²)

なる形で与えられるという現象論的推論から出ます。
 

そして,σを含む項の寄与は,先に述べた通り,項がπと

交換するので,＜0|σ|0＞からゼロです。

(注19-1終わり※)
 

式(145):

＜π(ｑ)|ｊ⁵_μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(－iｑ_μ/μ²)ｆ_π/√2.

の発散を取り,(144):∂^μｊ⁵_μ＝－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r

を代入して,＜π^－(ｑ)|π^r |0＞＝(2ｑ₀)^-1/2を用いる

と次式を得ます。
 

すなわち,－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2＝ｆ_π/√2..(146)です。
 

※(注19-2):(146)の証明です。 

(145)から,4次元発散を取ると, 

＜π(ｑ)| ∂^μｊ⁵_μ|0＞＝(2ｑ₀)^-1/2(ｑ²/μ²)ｆ_π/√2

です。何故なら.＜0|ａ^(ｑ)ａ^^＋(ｑ)∂^μexp(iｑｘ)|0＞

から(iｑ^μ)因子が出てくるからです。
 

そして,πが実粒子(外線)で,ｑ²＝μ²なら 

＜π(ｑ)|∂^μｊ⁵_μ|0＞_ｑ2＝μ2＝(2ｑ₀)^-1/2ｆ_π/√2　

です。
 

この右辺は,丁度,∂^μｊ⁵_μ＝－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r

を,＜π(ｑ)|と真空:|0＞で挟んだものに等しく,

＜π^－(ｑ)|π^r |0＞＝(2ｑ₀)^-1/2より,これは,

－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2＜π^－(ｑ)|π^r|0＞

＝－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2 (2ｑ₀)^-1/2 に等しいことが

わかります。

　　つまり,－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2 (2ｑ₀)^-1/2

＝(2ｑ₀)^-1/2ｆ_π/√2 　を得ます。　

　　(注19－2終わり※)
 

そこで,式(144):∂^μｊ⁵_μ＝－(μ₁²/ｇ₀)(Ｚ₃^π)^1/2π^r

のくり込み定数は除去されて,このＰＣＡＣ方程式を

完全に物理量だけで書き表わせます。 

すなわち,∂_μｊ⁵_μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒ..(147)　です。
 

※(注19-3)ＰＣＡＣの意味とｆ_πの意味
 

(岩波講座)現代物理学の基礎(11)「素粒子論」より 

|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞　と展開します。
 

崩壊:π^－→μ^－＋ν_e~は,第１項の振幅と見ても,第２項

の振幅で見ても同じであると仮定します。

(つまり,|π^-＞の{μν~＞への崩壊は,|ＮＮ~＞の中間状態

を通しての反応以外にはないと考えるわけです。)
 

|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞, 

かつ, |π^－(ｑ)＞＝Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞

であって右辺第1項も第2項も同一とします。
 

右辺の第１項は,現象論的相互作用:

ａ_π(∂^μπ){μ~γ_μ(１－γ₅)ν}による摂動

Hamiltonian:Ｈ_π→μνの１次近似の崩壊振幅であり,

これは ＜Ｈ_π→μν＞

＝(Ｇ/√2)∫ｄ⁴ｘ＜0|∂^μπ^ー|π^－(ｘ)＞ 

×{μ~(ｘ)γ_μ(１－γ₅)ν(ｘ)}なる計算式で評価

されます。
 

ここで,＜0|∂^μπ^ー|π^－(ｘ)＞

＝(2π)^-3/2(2ｑ₀)^-1(iｑ^μ)ａ_πで係数:ａ_πを定義して

おきます。

　　この現象論的弱い相互作用での最低次近似

によるπ^－→μ^－＋ν_e~の崩壊率の計算結果と実験値

の比較,1/τ_π→μν＝{Ｇ²ａ_π²/(8πμ)}(ｍ_μ/μ)²

～ 3.84×10⁷sec^-1 によって,ａ_πの大きさが,

|ａ_π|～ 0.97μと評価されます。 

(ここで,μはπの質量,ｍ_μはμの質量です。)

(※※ 本ブログの2016年3/21の過去記事; 

「弱い相互作用の旧理論(Fermi理論)(12)」では,

荷電π中間子の崩壊について記述しました。

 

そこでは,今のａ_πは,単にａと表記され|ａ|～ 0.87μ

または,|ａ|～ 0.93μと評価されました。
 

|ａ|は,1つの核子あたりのπ中間子の雲の 存在

確率振幅を意味する量と考えられています。※※)
 

レプトンカレントの因子:{μ~γ_μ(１－γ₅)ν}を,Ｌ^_μ

で表わせば,π^－→μ^－＋ν_e~の崩壊振幅は, 

＜μν~|Ｌ^_μ{0＞＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂^μπ^ー)|π^－＞

＜π^－|π^－(ｑ)＞と表わされます。
 

これが,|π^－(ｑ)＞＝|π^－＞|π^－＞|π^－(ｑ)＞ 

＋Σ_ＮＮ~|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞における右辺

第1項の寄与です。

　　一方,第2項の寄与は,Σ_ＮＮ~＜μν~|Ｌ^_μ{0＞ 

＜0|(Ｇａ_π/√2)(∂^μπ^ー)|ＮＮ~＞＜ＮＮ~|π^－(ｑ)＞ 

＝＜μν~|Ｌ^_μ{0＞

＜0|(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)(Ｇａ_π/√2)ｊ⁵_μ(ｘ)|π^－(ｑ)＞ 

です。

πの方のカレント相互作用の寄与:(Ｇａ_π/√2)(∂^μπ^ー)

が.軸性ベクトルカレント部分 ;

(Ｇａ_π/√2)(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)ｊ⁵_μ(ｘ)のみに対応すると見るのは

π^-が擬スカラーなので,相互作用:∂^μπ^ーは軸性ベクトル

であり,そこでＮのＶ－Ａ弱カレントのＡのみの寄与に相当

すると考えられるからです。
 

それ故,第1項＝第2項という仮定が満たされるためには, 

ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖとして,ａ_π＜0|∂^μπ^ー|π^－(ｑ)＞ 

＝ｒ_Ａ＜0|ｊ⁵_μ(ｘ) |π^－(ｑ)＞　が必要十分です。
 

この式の左辺の4次元発散を取れば,  

ｒ_Ａ＜0|∂_μｊ⁵_μ(ｘ) |π^－(ｑ)＞

＝ａ_π＜0|□π^ー|π^－(ｑ)＞＝－ａ_πμ²＜0|π^ー|π^－(ｑ)＞

となります。
 

ここで,自由π中間子の運動方程式:(□＋μ²)π^－＝0

を用いました。
 

それ故,ｆ_π/√2＝－ａ_πμ²/ｒ_Ａ（ｒ_Ａ＝ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ） 

と置けば,∂_μｊ⁵_μ＝(ｆ_π√2)π^－なる式を得ます。
 

これが,荷電π中間子でなく中性のπ⁰中間子の場合は 

∂_μｊ⁵_μ＝(ｆ_π/√2)π⁰ですから,これで定義された

ｆ_πが上のそれと同じなら,これは荷電πの崩壊率に

比例します。　　　<注19-3終わり※)
 

ここまでは電磁場の存在しないσモデルを論じてきました。 

電磁場を含めるためには.Lagrangianに次の2項を加える

だけでいいです。

すなわち,Ｌに－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν －ｅ₀ψ~_ｐγ_μψ_ｐＡ^μ.. 

(148)の２項を加えます。
 

すると,三角グラフの存在のために,式(147)のＰＣＡＣの

方程式:∂_μｊ⁵_μ＝(ｆ_π/√2)π^ｒは次のように修正されます。
 

∂_μｊ⁵_μ

＝(ｆ_π/√2)π^ｒ＋(1/2){α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ(149)

です。

　　この右辺のアノマリー項の因子(1/2)は,単に,式(141ａ): 

ｊ⁵_μ＝(1/2)ψ~γ_μγ₅ψ＋σ(∂_μπ)－π(∂_μσ)

＋ｇ₀^-1(∂_μπ)　の最初の核子項に現われる因子(1/2)を

反映したものです。

　　適切に正規化された(くり込まれた)Feynmanルールを

導入し,前章までの論旨を同様に実行することにより,(149)

が電磁相互作用と強い相互作用の両方の摂動論のあらゆる

オーダーまで正しいことを示すことができます。
 

言いかえると,三角グラフへの如何なる仮想光子,

仮想中間子の輻射補正も,アノマリー項の係数を変える

ことはありません。
 

上述の考察の全ては,直接,σモデルのたった今考察した

アイソスピンのＳＵ(2)(ｐ,ｎ)系や,ハドロンの全対称性;

ＳＵ(3)(ｐ,ｎ、λ)への一般化へと拡張することが

できます。

　　ＳＵ(3)のケースには,Ψは３成分(ψ₁,ψ₂,ψ₃)^Ｔに

置き換えられ,スカラーー中間子σと擬スカラー中間子は

,9重項粒子(nonet:1重項＋8重項)で置き換えられ,軸性

ベクトルカレントｊ⁵_μは８成分の軸性ベクトルカレント

Ｊ⁵_μとなり,π⁰に対応するのは,その第３成分;Ｊ ⁵_3μ

となります。
 

π⁰に対してのアノマリーを持つＰＣＡＣ方程式は,

このとき,次式になります。 

∂_μＪ ⁵_3μ

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.(150) 

です。　ただし,Ｓ＝Σ_jｇ_jＱ_j²　です。
 

π^0ｒはくり込まれた中性π中間子の場,Ｑ_jはＪ ⁵_3μの

中に素粒子場として現われるｊ番目のFermion の電荷,

ｇ_jは,その結合定数です。

　　つまり,Ｊ ⁵_3μ＝Σ_jｇ_jψ~_jγ_μγ₅ψ_j＋(中間子項)..(151) 

です。

　　(150)は,再び,摂動論のあらゆる有限オーダーまでで正しい

式です。

　　Ｓに対する表現:Ｓ＝Σ_jｇ_jＱ_j²の解釈は,アノマリーの

総係数が個々の素Fermi粒子を全て巻き込む各々の三角グラフ

の寄与の総和によることを意味します。

　　式(150):∂^μＪ ⁵_3μ

＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ 

は,素朴な発散:Ｄ⁵₃(＝電磁場のないときの∂^μＪ ⁵_3μ)

が正準なπ中間子の場によるものでないようなモデル

にも拡張されます。

　　第４章(§4)の論旨は,基本的に,素朴な発散の乗法的

くり込み可能性に依存していたので,式; 

∂^μＪ ⁵_3μ＝Ｄ⁵₃＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ

(152)は,素朴な発散:Ｄ⁵₃が乗法的くり込み可能な任意の

くり込まれた場の理論にいて,正しいと予測されます。
 

(76)～(79)の論旨によって,素朴な発散の乗法的くり込み

可能性は電磁場がないときは(Ｚ_Ａ/Ｚ₂)が有限であること

を示しているので,

　　電磁場がないときに有限な(ｇ_Ａ/ｇ_Ｖ)を持つ任意くり込み

可能な場理論において,電磁効果が付加されても.式(152)が

正確であると述べることにより,上述の言明を再び表明する

ことができます。
 

π中間子として滑らかに挿入された場があって,π中間子

が,その質量殻の近傍にある限り,式(152)でＤ⁵₃を

(ｆ_π/√2)π^0ｒに置き換えるのが有効と思われます。

　　こうして,(152):

∂_μＪ ⁵_3μ＝Ｄ⁵₃＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ. 

は,特殊な場理論モデルでなく,より一般的なクラスの

モデルでも正確なＰＣＡＣ方程式と考えられます。
 

さて,これで§5.1が終わり,次に

§5.2：π⁰崩壊の低エネルギー定理の項目に入るところまで

きたので,今日はここで終わります。

　　(参考文献):Lectures on Elementary Particles and Quantum 

Field Theory(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ