摂動論のアノマリー(20）(第Ⅱ部:3)

　さて,また摂動論のアノマリーの続きです。

 π⁰ → 2γ崩壊の評価からです。
 

§5.2 Low Energy Theorem for π⁰ –Decay 

(π⁰ 崩壊の低エネルギー定理)
 

(125)から(131)で見たように,アノマリーを持つWard恒等式 

は,素朴な発散の真空から2光子への行列要素として,正確な 

「低エネルギー定理」を与えます。
 

一方,(150):∂^μＪ ⁵_3μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ 

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.; (Ｓ＝Σ_jｇ_jＱ_j²) 

における素朴な発散:(ｆ_π/√2)π^0ｒは,π⁰の場なので,
 

この場合,「低エネルギー定理」は,π⁰中間子の質量が

ゼロでのoff-shellに外挿された π⁰ → 2γの振幅に

ついての命題を与えることになります。
 

π⁰ → 2γの振幅:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の標準定義は, 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂) 

.(153)　です。
 

※(注20-1):始状態(initial stare):|ｉ＞＝|π⁰ ＞から, 

終状態(final state):|ｆ＞＝|γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)＞ 

への散乱行列(Ｓ行列)要素Ｓ_fi,および,Ｓ^演算子は,

ユニタリ変換だけ異なる２つの完全系:incomibg漸近場

の状態と,outgoing漸近場の状態(散乱状態)を結び付ける

ものとして,

Ｓ_fi＝＜ｆ；out|ｉ ;in＞＝＜ｆ;in|Ｓ^|ｉ;in＞ 

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂); out|π⁰ ;in＞ 

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|Ｓ^|π⁰ ;in＞ 

と定義されます。

　(※子※Ｓ^演算子は,＜ｆ:in|＝＜ｆ；out|Ｓ＾で定義

されます。今の場合: |ｉ＞から|ｆ＞への遷移確率を示す

Ｓ_fiは,散乱行列要素というより,π⁰ → 2γの崩壊行列要素

です。)
 

そして,ＬＳＺの還元公式(Reduction Formula)から, 

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2 exp(－iｑｘ) 

(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞ 

と書けます。
 

incoming状態は,ｘ座標表示では,それぞれ, 

＜ｘ|π⁰ ;in＞＝(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2 exp(－iｑｘ) 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|ｘ＞^σρ 

＝(2π)^-3(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊₂^ρ＊exp(iｋ₁ｘ)εexp(iｋ₂ｘ) 

です。
 

そこで,Ｓ行列要素:Ｓ_fi,をｘ表示で, 

Ｓ_fi＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-9/2(2ｑ⁰)^-1/2exp{－i(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)ｘ} 

(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ)　と書きます。
 

そして(153)の＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂) 

の因子を.(2π)Ｓ_σρ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ) 

＝ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)と等置して,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂) 

＝(2π)(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ε₁^σ＊ε₂^ρ＊Ｓ(ｋ₁,ｋ₂:ｑ) 

とすれば,
 

Ｓ_fi＝(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-4 exp{i(ｋ₁＋ｋ₂)ｘ}

(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ) 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)_qπ^0ｒ|0＞　

となります。
 

それ故,(153)の＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)_qπ^0ｒ|0＞

は,Ｓ行列要素: 

Ｓ_fi＝(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞ 

から,|π⁰ ;in＞の波動関数因子:

(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ)を除いたFourier変換

＝運動量表示になっている,と考えられます。
 

(注20－1終わり※)
 

さて,「摂動論のアノマリー(16)」においては. 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μｊ⁵_μ|0＞ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ_Λ(ｋ₁ｋ₂).(125ａ) 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|2iｍ₀ｊ⁵|0＞ 

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＧ_Λ(ｋ₁ｋ₂) (125ｂ) 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|{α₀^/(4π)}

(Ｆ^ξσ＋Ｆ^Ｒξσ)(Ｆ^τρ＋Ｆ^Ｒτρ)ε_ξστρ|0＞

＝(4ｋ₁⁰ｋ₂⁰)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＨ_Λ(ｋ₁ｋ₂) 

(125ｃ)　と定義して,

　　係数:Ｇ_Λの くり込まれた量である (130):

Ｇ~(ｋ₁ｋ₂)＝lim_ｋΛ→∞Ｇ_Λ(ｋ₁ｋ)に対して 

「低エネルギー定理」(131):Ｇ~(0)＝－2α/π　

を得ました。

　　この,(125)～(131)と,

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂)

を比較すると,上記「低エネルギー定理」は,

Ｇ~(0)＝μ^-2(ｆ_π/√2)Ｆ^π(0)＝Ｓ(－2α/π)..(154ａ) 

すなわち,Ｆ^π(0)＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π) ..(154ｂ) 

を意味することがわかります。
 

※(注20-2):何故なら, 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞_{(ｋ1＋ｋ2)2＝0} 

＝{－(ｋ₁＋ｋ₂)²＋μ²)} 

×＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞_{(ｋ1＋ｋ2)2＝0} 

＝＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)| μ²π^0ｒ|0＞_{(ｋ1＋ｋ2)2＝0}

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(0)

です。
 

ところが,式(150):∂^μＪ ⁵_3μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ 

＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.から, 

μ²π^0ｒ＝(√2μ²/ｆ_π)∂^μＪ ⁵_3μ－(√2μ²/ｆ_π)Ｓ{α₀/(4π)} 

Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.  です。
 

よって,μ²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞_{(ｋ1＋ｋ2)2＝0}  

＝(√2μ²/ｆ_π)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μＪ ⁵_3μ|0＞_{(ｋ1＋ｋ2)2＝0} 

－(√2μ²/ｆ_π)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|Ｓ{α₀/(4π)} 

Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ|0＞ _{(ｋ1＋ｋ2)2＝0}です。
 

それ故,(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(0) 

＝(Ｓ√2 /ｆ_π)(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＧ~(0)
 

何故なら,明らかに∂^μＪ ⁵_3μ|0＞＝0なので, 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|∂^μＪ ⁵_3μ|0＞_{(ｋ1＋ｋ2)2＝0}＝0　です。
 

したがって,定理:Ｇ~(0)＝－2α/πより, 

(√2μ²/ｆ_π)Ｆ^π(0)＝ＳＧ~(0)＝Ｓ(－2α/π) 

あるいは,Ｆ^π(0)＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π) 

が得られます。　(注20-2終わり※)
 

※(注20-3):前の注釈の内容を見ると,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²

のとき,Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)＝Ｆ^π(μ²/2)＝0 となりそうですが, 

実際には,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞　は, 

(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ²に極を持つ,と考えられるため,この

質量殻の上でのＦ^π,つまりＦ^π(μ²/2)は一般にゼロには

なりません。
 

しかし,＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞は 質量殻外の 

(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0 には極を持たないので.(ｋ₁＋ｋ₂)²＝0 

のとき,(ｋ₁＋ｋ₂)²＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＧ~(ｋ₁ｋ₂)

(ｋ₁＋ｋ₂)²はゼロです。 (注20-3終わり※)
 

π⁰ → 2γ の崩壊行列要素は, 

Ｓ_fi＝(□_x＋μ²)＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂);in|π^0ｒ(ｘ)|0＞ 

＝i∫ｄ⁴ｘ(2π)^-4 exp{i(ｋ₁＋ｋ₂)ｘ}

(2π)^-3/2(2ｑ⁰)^-1/2exp(－iｑｘ) 

＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)_qπ^0ｒ|0＞　

で与えられます。,
 

そして.＜γ(ｋ₁,ε₁)γ(ｋ₂,ε₂)|(□＋μ²)π^0ｒ|0＞ 

＝(4ｋ₁₀ｋ₂₀)^-1/2ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^σ＊ε₂^ρ＊ε_ξτσρＦ^π(ｋ₁ｋ₂) 

であったので,式(154ｂ) 

Ｆ^π(0)＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π)は,低エネルギー

では π⁰ → 2γの振幅が,直接:(150):

∂_μＪ ⁵_3μ＝(ｆ_π/√2)π^0ｒ＋Ｓ{α₀/(4π)}Ｆ^ξσＦ^τρε_ξστρ.

のアノマリー項に比例することを示しています。
 

したがって,もしもアノマリー項をゼロとしてomitしたら, 

(154ｂ)の代わりに,Ｆ^π(0)＝0 (155)が得られると予測され

ます。しかし,これは,実験事実に反して,π⁰ → 2γの崩壊

が禁止されることを意味します。
 

ここで.手短かに,(154ｂ)が示唆することのいくつかを

論じます。

　　(ⅰ)(154ｂ)によって予測されるπ⁰の崩壊実験の崩壊率は 

パラメータＳに依存します。そして,このＳは,素Fermi粒子

の電荷Ｑと軸性結合定数ｇによって決まります。

(※ Ｓ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j² です。)
 

ＳＵ(3)のクォークモデルでは,それは中間子の交換によって

相互作用するFermi粒子:(ψ₁,ψ₂,ψ₃)＝(ｐ,ｎ,λ)なる基本

３粒子の組から成り,その結合定数は,

(ｇ₁,ｇ₂,ｇ₃)＝(1/2,－1/2,0)　です。
 

電磁カレントのＵ-スピン不変性から,基本粒子:(ψ₁,ψ₂,ψ₃)

の電荷は,(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)というパターンを持ちます。
 

※(注20-4):現在(2017年)のところでは,ハドロンを構成する基本

粒子クォークはフレーバー(Flabour)自由度として,３種ではなく

６種:ｕ,ｄ,ｓ,ｃ,ｔ,ｂ(up,down,strange,charm,top,bottom)が

存在する,とされていますが,1970年当時は,そのうちの３個:

ｕ,ｄ,ｓだけで基本クォークが構成されると予想されており,

それらｕ,ｄ,ｓをｐ,ｎ,λと表記る習慣でした。
 

そこで,３成分のΨをΨ=(ｐ,ｎ,λ)^Ｔなる縦成分表示で記述

します。

このＳＵ(3)対称性を仮定した,σモデルでのカイラル回転の

無限小局所ゲージ変換は,Ψについては. 

Ψ→ {1＋(i/2)γ₅Σ_ａ=1⁸λ^ａｖ^ａ(ｘ)}Ψであり,これに対応

する,８成分軸性ベクトルカレントは, 

ｊ^5ａ_μ＝(1/2)Ψ~γ_μγ₅λ^ａΨ

＋σ∂_μφ^ａ-φ^ａ∂_μσ＋ｇ₀^-1∂_μπ⁰ 

(ａ＝1,2,。。,8)です。
 

ここで,λ^ａはアイソスピンＳＵ(2)の(τ¹,τ²,τ³)に対応

する,ＳＵ(3)変換群の生成子(ｇenerator)で,３×３行列

表現です。

そして,Φ＝(φ₁,φ₂,..φ₈)は対応する８中間子です。
 

相互作用Hamiltonian密度: Ｈ_intは, 

－Ｌ_int＝Ｈ_int＝i(Ｇ√2)Ψ~γ₅ＭΨ~　で与えられます。
 

ただし,Ｍは中間子(mesons)を行列要素とする３×３

行列で,Ｍ＝λΦ＝Σ_ａ=1⁸(λ^ａφ_ａ)を意味します。

(※Ｍはトレースレスです。)
 

π⁰＝φ₃ なので,Ｈ_intにおいて,π⁰がcoupleできる部分を

陽に書くと,i(Ｇ√2)(ｐ~,ｎ~,λ~)γ₅(λ³φ₃)(ｐ,ｎ,λ)^Ｔ

です。

　　そして

,

ですから,ｊ^{5 3}_μ＝(1/2)ｐ~γ_μγ₅ｐ－(1/2)ｎ~γ_μγ₅ｎ

＋σ∂_μπ⁰－π⁰∂_μσ＋ｇ₀^-1∂_μπ⁰です。

　　(※※ ちなみに荷電πなら,例えば,π^－＝|ｎｐ~＞であり, 

そのπ^－場は(φ₁＋iφ₂)/√2で与えられます。
 

そこで,Ｈ_intの関連する部分は, 

i(Ｇ√2)(ｐ~,ｎ~,λ~)γ₅(λ¹φ₁₁＋λ²φ₂)(ｐ,ｎ,λ)^Ｔ

のみであり,対応する軸性ベクトルカレントは, 

ｊ^5－_μ＝(ｊ^{5 1}_μ＋iｊ^{5 2}_μ)/√2 

＝(1/√2)ｎ~γ_μγ₅ｐ＋√2(σ∂_μπ^－－π^－∂_μσ)

＋√2ｇ₀^-1∂_μπ⁰と書けます。　※※)
 

次に,Ｕ-スピンというのは,ＳＵ(3)対称性群のＩ-スピン 

(アイソスピン)とは異なるＳＵ(2)部分群で,これは電荷演算子

Ｑ^と可換な変換なので,その生成子;Ｕ_j^(ｊ＝1,2,3)は,

[Ｕ_j^,Ｑ^]＝0 を満たします。
 

Ｑ^は３×３行列表示として対角化可能で,その対角要素

を (Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)とすると,Ｕ_jＱＵ_j＝Ｑから,Ｑ₂＝Ｑ₃を

得ます。

  一方, Ｉ-スピンからはｐ,ｎがI=1/2の,I₃＝1/2,－1/2の 

状態で,Ｂをバリン数,Ｙをハイパーチャージとすると

ｐ,ｎの核子Ｎでは「Ｙ＝Ｂ＝1,Ｑ＝I₃＋Ｙ/2という性質

があるので.Ｑ₂＝Ｑ₁－1です。
 

そこで,(ｐ,ｎ,λ)の電荷が

(Ｑ₁,Ｑ₂,Ｑ₃)＝(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)と書けるわけです。
　　(注20-4終わり※)
 

クォークのパターン電荷:(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)において,

主流モデルの分数電荷クォークでは,Ｑ＝2/3より,

(Ｑ,Ｑ－1,Ｑ－1)＝(2/3,－1/3.－1/3)なので,

Ｓ＝Σ_jｇ_ｊＱ_j²＝1/6です。
 

一方, Ｑ＝１やＱ＝0の整数荷電を仮定すると,Ｓ＝±1/2

です。
 

ここで,π⁰の崩壊率(＝1/崩壊寿命)について次の公式が

あります。

すなわち,τ^-1＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²)|²..(157)　です。
 

※(注20-5):上の(157)の証明です。
 

反応体積をＶ,時間をＴとすると,単位体積当たりの遷移速度

は,|Ｓ_fi|²/(ＶＴ) 

＝(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)(2π)^-9(８ｋ₁⁰ｋ₂⁰Ｅ_q)^-1|Ｆ^π(μ²/2)|² 

×Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ|²　

で与えられます。
 

何故なら,まず,Ｓ_fiは4運動量保存の因子:

(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を含み,ＶＴ＝(2π)⁴δ⁴(0)と同定

されるので|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)は,(2π)⁴δ⁴(ｑ－ｋ₁－ｋ₂)を１個

含みます。

　　そしてπ⁰ →2γ反応では,Ｓ_fiが規格化因子;

(2π)^-3/2(2ｋ₁⁰)^-1/2,(2π)^-3/2(2ｋ₂⁰)^-1/2,(2π)^-3/2(2Ｅ_ｑ)^-1/2

を持つため,これは|Ｓ_fi|²/(ＶＴ)には,

(2π)^-9(８ｋ₁⁰ｋ₂⁰Ｅ_q)^-1の寄与です。
 

そして,(ｋ₁＋ｋ₂)²＝μ² のときｋ₁²＝ｋ₂²＝0 より,

ｋ₁ｋ₂＝μ²/2なので係数:Ｆ^π(ｋ₁ｋ₂)の寄与は,実は

Ｆ^π(μ²)ではなく,Ｆ^π(μ²/2)　です。
 

そして,π⁰の静止系を想定すると,ｑ^μ＝(Ｅ_q,ｑ)=(μ,0)

です。そこで,ｋ₁＝－ｋ₂＝ｋとおくと,ｋ＝|ｋ|＝μ/2,

です。故に,ｋ₁⁰＝ｋ₂⁰＝ｋ＝μ/2です。
 

よってｋの向きを3軸(ｚ軸)に取って,ｋ＝ｋｅ₃と

すると,ｋ₁^ξｋ₂^τでゼロでないのは,ξ＝0,τ＝3か,

ξ＝3,τ＝0  のみです。

さらに,ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ＝2ｋ²ε_{0 3σρ}において

ε₁,ε₂は横波を示すのでε₁ｋ＝ε₂ｋ＝0,より,ゼロでない

のは,(σ,ρ）＝(1,2),(2,1)のみで,このときε₁^＊σε₂^＊ρ

＝1です。
 

結局,Σ_ε1,ε2|ｋ₁^ξｋ₂^τε₁^＊σε₂^＊ρε_ξτσρ|² 

＝|2ｋ²ε_{0 312}|²＋|2ｋ²ε_{0 321}|²＝8ｋ⁴を得ます。
 

全空間Ｖに1個のπ⁰が存在するという規格化を考慮 

して,π⁰１個当たりの崩壊確率を求めると 

τ^-1＝(1/2!)∫ｄ³ｋ₁ｄ³ｋ₂{Ｖ|Ｓ^fi|²/(ＶＴ)} 

＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²　を得ます。
 

(1/2!)は2光子の区別不可能性に起因する因子です。
 

(会用命終わり)　　(注20-5終わり※)
 

こうして,(157)の修正式:

τ_-1＝(μ³/64π)|Ｆ^π(μ²/2)|²において,Ｆ^π(μ²/2)を

Ｆ^π(0)で近似すると.π⁰崩壊の崩壊率の(近似)計算値と

して,次の値が得られます。
 

すなわち,Ｓ＝1/6のなら τ^-1＝0.8 eＶ..(158ａ) 

Ｓ＝±1/2なら　 τ^-1＝7.4 eＶ..(158ｂ)　です。
 

一方,Rosenfeldによって引用されたπ⁰崩壊の崩壊率

の実験値は,次の通りです。
 

すなわち,τ_exp ^-1＝(1.12±0.22)×10¹⁶ sec^-1

＝(7.37±1.5) eＶ..(159)です。

(※ 現在での実験値は,τ_exp ^-1＝(7.48±0.32) eＶ)
 

また,もしも最近のPrimakoff効果の実験が,上記の

Rosenfeld平均を含む初期の実験より信頼できるなら,

τ_exp ^-1が11ｅＶにもなるという結果もあります。
 

とにかく,この結果からは,Ｓ＝1/6の分数電荷クォーク

は強く排斥され,他方,Ｑ＝１やＱ＝0の整数電荷クォーク

からの予測値は実験と満足のいく一致を見る,という結果

を得ました。
 

※(注20-6):現在の見地では,クォークにはフレーバー自由度

とは独立にカラー自由度:３があってＳＵ(3)_ｃ対称性を持つ

ことがわかっており,これにより,Ｓ＝(1／6)×３＝1/2と

なるため,逆に整数電荷では過剰で分数電荷モデルの方が有望

でほぼ確定的です。　(注20-6終わり※)
 

さて,(158ｂ)と(159)の明白で劇的な一致は,幾分偶発的な

ことです。この一致を偶発的と見るのは,逆に,実験での崩壊率

の不確かさと,ＰＣＡＣ論旨に含まれると予想される10～20％

の外挿誤差の存在のためです。
 

例えば,もしも,(154ｂ):

Ｆ^π(0)＝(－α/π)(2Ｓ)(√2μ²/ｆ_π)のｆ_πに実験値をあてる

代わりに,Goldberger-Treimanの関係: 

√2μ²/ｆ_π ～ ｇ_V/(Ｍ_Nｇ_Ａ)..(160),

(Ｍ_N:核子Ｎの質量,ｇ_Ｖ:πＮ結合定数 ～ 13.6, 

ｇ_Ａ:核子軸性カレントの結合定数 ～ 1.22)

を代入するならＳ＝±1/2の理論的予測は20％増加して

τ^-1 ＝ 9.1 eＶとなります。
 

いずれにしろ,実験結果との比較は,|Ｓ|＝1/2を示唆して

います。
 

途中ですが,以下は長くなるので今日はここで終わります。

　 (参考文献):Lectures on Elementary Particles and Quantum  

Field Theory(1970 Brandeis University SummerInstitute  

in Theoretical Physics)　VolumeⅠ