3重3元クォ－ク模型の束縛ポテンシャル(修士論文;その1)

今から約役40年前の私の院生時代の本当の研究課題は

QEDにおるアノマリー関連の問題である,などと自認

していましたが,それでは修士論文のテーマとしては

重荷過ぎて,当時の実力では,そうしたものを修了学年

内に書き上げることは不可能に近かったので,不本意

ながらクォークモデル関連の論文で,お茶を濁しました。
 

ブログ開始から11年,今さら匿名にしても無意味でしょう。
 

私は,1976年当時,26歳で,神戸大学の谷川(安孝)研究室に

在籍していて北添徹郎助教授の指導で書いた論文を提出し.

取りあえず奥の院は修了したのでした。
 

風のうわさでは,北添さんはその後,宮崎大学教授になられ

何やら素粒子論とはかけ離れた研究をしていた。

と聞きました。
 

私は,その後,当時自大学には博士過程がなかったので,他大学

の博士課程進学を希望し,谷川先生には推薦状を書いて頂きま

したが.２つまでしか書かない,と言われたので.厳選して２つ

を受けました。
 

しかし,いずれも落ちました。

　　当時は第２次？オイルショックで就職難の時代でしたが,

アルバイトで食いつなぎながら.もう1年聴講生という形で

同じ研究室に残らせてもらい,再び論文を書いて博士課程

受験を画策しましたが,うまくいかず,谷川先生らに会社

などへの就職を薦められ,1977年には東京で27歳で,遅い

サラリーマンとなりました。
 

当時,同じ研究室の同窓生は2名だけで,唯一同窓のＨ君は

1976年に広大理論研に合格してそこに行ったと聞きましたが

その後の消息は不明です。
 

さて,私が1976年に提出した拙い,恥ずかしい論文の控えを

ほぼ原文のまま,アップします。
 

論文は,内容が優れていれば長さではないと思いますが,学生

の卒業論文や学位論文の多くは長さで勝負みたいなところが

あり,私のはＡ4で16ページくらいしかなく,それでも本当は

明示の必要のない裏計算の経緯なども載せてページを稼いで

います。
　　(↑※一応,「素粒子論研究」1976年６月号)に

「Quark Molecule」という題名で投稿したレポート

もあります。)

　　しかし,ブログ記事としては長いと思うので,２回に分けて

連続アップにします。

　　以下は本文です。
 

「3重3元クォ－ク模型の束縛ポテンシャルについて」

 (1976年2月)
　 

§1.序文 

1973年,H.J.Lipkinは3重3元クォ－クを束縛して複合粒子を

つくる非常に強い相互作用がカラー・ベクトルグルオンの

交換相互作用に起因しているという仮説に基づいて,1つの

束縛ポテンシャルの模型を提示した。(参照(1))
 

それによると,現在,観測にかかっているハドロンの質量

が,クォークの質量と比較して無視できるほど小さいと

すれば,そうした質量スペクトルの領域でカラー1重項状態

の共鳴粒子のみが観測され,それゆえ,トライアリティがゼロ

の共鳴粒子しか見出され得ないという結論に達している。

　しかも,４体のトライアリティがゼロの複合系:ｑｑｑ~ｑ~

に関しては,カラー１重項の状態でも,もはや通常の中間子:

ｑｑ~が２個の散乱状態よりも安定な状態は実現され得ない

ので,結局,観測可能な領域での通常の中間子:ｑｑ~,および.

重粒子:ｑｑｑ以外に余分の共鳴粒子(Exotic particle)は

見出され得ないことが示されている。
 

しかし,これは束縛ポテンシャルの空間依存性がクーロン型

や調和振動子型のように,２粒子間の距離の変化に対して,

十分緩やか,かつ単調であるという仮定に基づいた近似に

よって示されることであった。
 

クォーク複合系がこうした緩やかで単調な中心力ポテンシャル

によって束縛されていると考えたときには,非相対論的量子力学

でよく知られているように,系の振動エネルギーと回転エネルギー

の大きさの程度がほぼ同一となり,

　通常のハドロンがｑｑ~,またはｑｑｑの基底状態,および,その

回転励起状態のみで分類し尽くされる,という事実に矛盾した

結果を招くことになってしまう。
 

そこで,クォークが何らかの構造を持ち,そのために

ポテンシャル の空間依存性が分子型,つまり,２粒子間の有限な

距離で極値をとるような型になると考えれば,この困難は解消

されるように見える。
 

ところが,最近のDolgov-Okun-Zakharovの論文(参照[2])に

よれば,Lipkinの提唱したものと同じ型のポテンシャルで,その

空間依存部分を分子型にすると,クォーク,反クォークの４体型

,あるいは５体の複合系で,通常のハドロンより低い質量スペクトル

を持つ共鳴粒子が存在しなければならないことがわかる。
 

こうした困難をカラー以外の自由度の効果を考えることなく, 

解決することが,この論文の目的である。
 

§3以下に示すように,カラーＳＵ(3)群＝ＳＵ(3)_cの８重項 

ベクトルグルオンの他に８重項スカラーグルオン,および,  

１重項スカラーグルオン,を交換する相互作用を導入すると
 

ポテンシャルの空間部分を分子型として,通常のハドロン 

領域には,ｑｑ~,ｑｑｑｑのカラー１重項の共鳴粒子しか 

出現し得ないという結論を引き出すことができる。
 

§2.Dolgov-Okun-Zakahrovの論文(参照[2])の概観 

クォーク,反クォークの任意のｎ体系に対して,Lipkinの提唱

したポテンシャルの型式は,

 Ｖ＝(1/2)Σ_i≠jｖ_ijΛ_i^σΛ_ｊ^σ..(2-1)　
 

ここで,Λ_i^σ(σ＝1.2...8)はｉ番目のクォーク(反クォーク)

に作用するＳＵ(3)の8個の生成元演算子,あるいは,その行列

表現である。
 

(2-1)においてｖ_ij (ｒ)が常に正で,有限な距離:ｒ＝ｒ₀において, 

極大値:ｖをとるような分子型ポテンシャルの場合を考えてみよう。
 

クォーク-反クォーク対:ｑｑ~や,３つのクォーク:ｑｑｑ

に 対しては,このＶは,

Ｖ_qq~＝ｖ₁₂Λ₁^σΛ₂^σ＝(ｖ₁₂/2)(Ｃ－2Ｃ₁),..(2-2ａ) Ｖ_qqq＝ｖ₁₂Λ₁^σΛ₂^σ＋ｖ₂₃Λ₂^σΛ₃^σ＋ｖ₃₁Λ₃^σΛ₁^σ 

＝(ｖ₁₂/2){Ｃ₂^(1,2)－2Ｃ₁}＋(ｖ₂₃/2){Ｃ₂^(2,3)－2Ｃ₁} 

＋(ｖ₃₁/2){Ｃ₂^(3,1)－2Ｃ₁}　　..(2-2ｂ)　となる。
 

ここに,Ｃ,Ｃ₁,Ｃ₂は,それぞれ,全系,1粒子,の2粒子の 

２次の)Casimir演算子である。
 

(2-2)を見れば,Ｖ_qq~,Ｖ_qqqは共にＣ＝0で最小になり,それは

さらに,ｖ₁₂＝ｖ,あるいは,ｖ₁₂＝ｖ₂₃＝ｖ₃₁＝ｖのとき最小値

をとることがわかる。
 

それらの最小値をＶ_qq~^min,Ｖ_qqq^min,と書けば,

Ｖ_qq~^min＝－ｖＣ₁,Ｖ_qqq^min＝－(3/2)ｖＣ₁となる。
 

そこでクォーク質量ＭをＭ＝ｖＣ₁/2＝(2/3)ｖ..(2-3) 

によって与えると,カラー１重項の中間子:ｑｑ~,重粒子

:ｑｑｑの質量は,Ｍに比して無視できるほど小さくなる。
 

一方,４体のトライアリティがゼロの系:ｑｑｑ~ｑ~で

２つのクォークと２つの反クォークが図-1のように,一辺

がｒ₀の正方形の頂点を構成しているような特殊な配置を

考えると,

,

Ｖ_qqq~q~＝ｖ(Λ₁^σΛ₃^σ＋Λ₁^σΛ₄^σ＋Λ₂^σΛ₃^σ＋Λ₂^σΛ₄^σ) 

＋ｖ₁₂Λ₁^σΛ₂^σ＋ｖ₃₄Λ₃^σΛ₄^σ 

＝(ｖ/2)(Ｃ－4Ｃ₁)＋(1/2)(ｖ₁₂－ｖ){Ｃ₂^(1,2)－2Ｃ₁} 

＋(1/2)(ｖ₃₄－ｖ){Ｃ₂^(3,4)－2Ｃ₁}..(2-4)となる。
 

これは,ｑ₁,ｑ₂~,および,ｑ₃,ｑ₄~が,それぞれ６重項

をつくり,全体として１重項をつくるようなカラー状態: 

つまり, Ｃ₂^(1,2)＝Ｃ₂^(3,4)＝10/3,かつ,Ｃ＝0であるような 

状態で最小になるが,このことから, 

4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~^min≦(1/6)((ｖ₁₂＋ｖ₃₄－2ｖ) ..(2-5) 

が得られる。
 

(2-5において,ｖ₁₂＜ｖ,ｖ₃₄＜ｖが明らかなので,結局, 

ｑｑｑ~q~の共鳴状態では4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~^min＜0となって

しまう。

　同様なことは5体,あるいは6体に対しても生じ.結局,

(2-1)のようなポテンシャルモデルでｖ_ijを分子型に選ぶ

と,中間子:ｑｑ~,重粒子:ｑｑｑよりも小さい共鳴の存在

を余儀なくされる。
 

これがDolgov-Okun-Zakharovの得た結論である。
 

§3.新しい束縛ポテンシャルの導入と複号共鳴粒子状態 

クォークの質量,および,束縛エネルギーが,通常の

ハドロンの質量に比して極端に大きく,束縛状態では

クォークの内部運動エネルギーが相当小さいと考えた

ときには非相対論的近似が有効である。
 

そして,１つの仮想グルオンを交換する全ての摂動の２次

のグラフの寄与の総和で与えられる２次の散乱振幅を１次

のポテンシャル散乱の散乱振幅,つまり,Born近似による

散乱振幅と対応させることによって,束縛ポテンシャルを

近似的に与えることができる。
 

すなわち,まず,クォークの複合系を束縛する

超強力相互作用のハミルトニアン密度:Ｈ_int(ｘ)

として,次の形式のものを導入する。
 

Ｈ_int(ｘ)≡ｇ_V：Ψ~_α(ｘ)γ^μ(Λ^σ)_αβＡ^σ_μ(ｘ)Ψ_β(ｘ) 

＋ｇ_SΨ~_α(ｘ)(Λ⁰)_αβＢ^σ(ｘ)Ψ_β(ｘ)：..(3-1)
 

　ここに,Ψ(ｘ)はカラー・クォークの,Ａ(ｘ),Ｂ(ｘ)

は,カラー・グルオンの場を定める演算子,  

(Λ^σ)_αβ(σ＝1,2,..,8;α,β＝1,2,3)は,ＳＵ(3)_ｃ

の 生成元の3×3表現行列要素,また,(Λ⁰)_αβ＝δ_αβ

である。
 

(3-1)で与えられるＨ_intに従って,始状態:|ｉ＞から

終状態: |ｆ＞に弾性散乱を受けるときの振幅の2次の近似

を非相対論的ポテンシャルに対応づける:
 

{(－i)²/2!}∫ｄ⁴ｘｄ⁴ｙ＜ｆ|Ｔ{Ｈ_int(ｘ)Ｈ_int(ｙ)}|ｉ＞/<0|Ｓ|0> 

～ (－2πi)δ(Ｅ_f－Ｅ_i)∫ｄ³ｘｄ³ｙ(2π)^-6 

exp{i(ｐ₁ｘ＋ｐ₂ｙ－ｐ₁'ｘ―ｐ₂'ｙ)} 

[χ_2’^＋ｗ^＋(ｓ₂')χ_1'^＋ｗ^＋(ｓ₁')Ｖ(ｘ,ｙ)χ₁ｗ(ｓ₁)χ₂ｗ(ｓ₂)]

..(3-2)
 

これによって,Ｖ(ｘ,ｙ)を束縛ポテンシャルとして定義する

ことにする。

ここに,ｗ(ｓ)は4成分Diracスピノルの大成分,つまり

スピン波動関数であり,χはＳＵ(3)_ｃの基本表現に

おけるカラー波動関数である。
 

また,プライムは終状態に,プライムの無いものは始状態

に対応しているものとする。

ＳＵ(3)_ｃの8個の生成元演算子:Λ^σ,および,単位演算子:

Λ⁰の反クォークを基底とする行列表現の要素を,便宜上,

(Λ~^σ)_αβ,および,(Λ~⁰)_αβと置くことにすれば,全ての

2次のFeynman図と,それに対応する振幅は次のようになる。
 

① ｑ-ｑ散乱について,非相対論的極限で考えられるものは ,

(ａ)ｇ_V²(χ_1’^＋Λ₁^σχ₁)(χ_2’^＋Λ₂^σχ₂)(ｕ^＋(ｓ₁’)ｕ(ｓ₁))

(ｕ^＋(ｓ₂’)ｕ(ｓ₂))×(伝播関数依存部分) 

(ｂ)ｇ_S²(χ_1’^＋Λ₁^σχ₁)(χ_2’^＋Λ₂^σχ₂)(ｕ^＋(ｓ₁’)ｕ(ｓ₁))

(ｕ^＋(ｓ₂’)ｕ(ｓ₂))×(伝播関数依存部分) 

(ｃ)ｇ_S’²(χ_1’^＋Λ₁⁰χ₁)(χ_2’^＋Λ₂^oχ₂)(ｕ^＋(ｓ₁’)ｕ(ｓ₁))

(ｕ^＋(ｓ₂’)ｕ(ｓ₂))×(伝播関数依存部分)
 

② ｑ-ｑ~散乱では,上式でＳＵ(3)_ｃの生成元行列:ΛをΛ~でΛ⁰

をΛ⁰~で.Pauliスピノル:ｕ(ｓ)をｖ(ｓ)で置き換えたものが

得られる。

 

(ａ)ｇ_V²(χ_1’^＋Λ₁^σχ₁)(χ_2’^＋Λ~₂^σχ₂)(ｕ^＋(ｓ₁’)ｕ(ｓ₁))

(ｕ^＋(ｓ₂’)ｕ(ｓ₂))×(伝播関数依存部分) 

(ｂ)ｇ_S²(χ_1’^＋Λ₁^σχ₁)(χ_2’^＋Λ~₂^σχ₂)(ｕ^＋(ｓ₁’)ｕ(ｓ₁))

(ｕ^＋(ｓ₂’)ｕ(ｓ₂))×(伝播関数依存部分) 

(ｃ)ｇ_S’²(χ_1’^＋Λ₁⁰χ₁)(χ_2’^＋Λ~₂^oχ₂)(ｕ^＋(ｓ₁’)ｕ(ｓ₁))

(ｕ^＋(ｓ₂’)ｕ(ｓ₂))×(伝播関数依存部分) 

を得る。
 

ここで,(Λ^σ)_αβと(Λ~^σ)_αβ,(Λ⁰)_αβと(Λ~⁰)_αβの関係

を明らかにさせておこう。
 

カラー・クォークｑ_αの場の演算子をΨ_α^としたとき,

Λ^^σをＳＵ(3)_ｃの生成元演算子とすれば,交換関係は簡単な

考察によって評価できて, 

[Λ^^σ,Ψ_α^^＋]＝(Λ^σ)_αβΨ_β^^＋と書けるので, 

|ｑ_α＞＝Ψ_α^^＋|0＞,|ｑ~_α＞＝Ψ_α^|0＞,Λ^^σ｜0＞＝0

から,(Λ~^σ)_αβ＝－(Λ^σ)_βα＝－(Λ^σ)^T_αβを得る。
 

同様な考察から,(Λ~⁰)_αβ＝－(Λ⁰)_βα＝－δ_αβも得らえる。
 

以上の考察から,８重項ベクトルグルオン,８重項スカラー

グルオン,１重項スカラーグルオンの交換による非相対論的

束縛ポテンシャルの模型として,次のような一般形が得られる。
 

すなわち,任意個数ｎのクォーク反クォーク複号系の

総ポテンシャルをＶ(ｎ)で記述すれば, 

Ｖ(ｎ)＝|(1＋ａ)/2}{Σ_{i=ｑ,ｊ＝ｑ,i≠ｊ}ｖ_ijΛ_iΛ_j

＋Σ_{i=ｑ~,ｊ＝ｑ~,i≠ｊ}ｖ_ijΛ~_iΛ~_j} 

＋(1－ａ)Σ_{i=ｑ,ｊ＝ｑ~,i≠ｊ}ｖ_ijΛ_iΛ~_j＋(ｂ/2)Σ_≠ｊｖ_ij.(3-3)

と書ける。
 

ここで, ｖ_ijは,ｉ,ｊ間の距離ｒ_ijのみに依存する因子である。
 

ａ,ｂはそれぞれ,８重項スカラーグルオン,１重項スカラー

グルオンのポテンシャルへの寄与に対応した実定数である。 

また,感嘆のために,Λ_i^σΛ_j^σをΛ_iΛ_jと略記した。
 

ところで,ｎ体共鳴粒子状態が存在するとすれば,それは必ず,

このＶ(ｎ)の固有状態でなければならないことは明らかである。
 

こうしたＶ(ｎ)の固有値のうちで最小の値を与える状態,

つまり,ｎ体系の基底状態は,零点振動などの量子効果を無視

した近似では,ｎ(ｎ＋１)/2個のｖ_ijのうち,いくつかがその

上限値をとり,残りのものが下限値を取るような粒子配置に

おいて実現されることが以下の簡単な考察からわかる。
 

すなわち,ｎ体波動関数のカラー状態だけを指定する部分だけ

は任意に固定しておいて,カラー波動関数のみによるＶ(ｎ)の

期待値を考えると,

　これは. |(1＋ａ)/2}{Σ_{i=ｑ,ｊ＝ｑ,i≠ｊ}ｖ_ij＜Λ_iΛ_j＞

＋Σ_{i=ｑ~,ｊ＝ｑ~,i≠ｊ}ｖ_ij＜Λ~_iΛ~_j＞} 

＋(1－ａ)Σ_{i=ｑ,ｊ＝ｑ~,i≠ｊ}ｖ_ij＜Λ_iΛ~_j>

＋(ｂ/2)Σ_≠ｊｖ_ijというｖ_ijに関する１次関数となる。
 

したがって,この式でｖ_ijの各々を独立変数として扱えると

仮定すれば,

係数:(1＋ａ)＜Λ_iΛ_j＞＋ｂ.(1＋ａ)＜Λ~_iΛ~_j＞＋ｂや,

(1－ａ)＜Λ_iΛ~_j＞＋ｂの正,負に応じて,ｖ_ijの下限,上限を

割り当てることによって問題としているカラー状態における

最小の固有値が得られるはずである。
 

もちろん, ｖ_ijの全てを独立にとれるわけではなく実際の

粒子配置で考える際には,基底状態のポテンシャルが,ｖ_ij

を全て独立として扱った場合のＶ(ｎ)の最小期待値よりは

小さくはない,ことを述べられるにすぎない。
 

しかし,この論旨に基づいて基底状態におけるポテンシャル

の固有値の下限を見積もることができる。
 

以下の議論では,ｖ_ijは原点から単調増加して,ある有限

な距離:ｒ_ij＝ｒ₀で極大値をとるような形をしていると

考え,さらに常に正であるとする。(下図-4)

(つづく)