3重3元クォ－ク模型の束縛ポテンシャル(修士論文;その2)

(つづきです。)
 

§4. ２体系,３体系,および,４体系についての考察 

(3-3)式に基づいて,クォーク,反クォークのさまざまな複合系

の質量準位を見積もるわけであるが,まず,最も簡単な２,３,４

体系についての共鳴粒子を考察してみよう。
 

(ⅰ)２体系と３体系 

まず,Ｖ(2)を考えると, 

ｑ-ｑ~系では, 

Ｖ_qq~＝ｖ₁₂{(1－ａ)Λ₁Λ~₂＋ｂ} 

＝ｖ₁₂{(1－ａ)(Ｃ－2Ｃ₁)/2＋ｂ}..(4-1)
 

ｑ-ｑ系では, 

Ｖ_qq~＝ｖ₁₂{(1＋ａ)Λ₁Λ~₂＋ｂ} 

＝ｖ₁₂{(1＋ａ)(Ｃ－2Ｃ₁)/2＋ｂ}..(4-2)
 

また,ｑｑｑ系では, 

Ｖ_qqq＝(1＋ａ)(ｖ₁₂Λ₁Λ₂＋ｖ₂₃Λ₂Λ₃＋ｖ₃₁Λ₃Λ₁) 

＋ｂ(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁) 

＝{(1＋ａ)/2} 

×{ｖ₁₂(Ｃ₂^(1,2)－2Ｃ₁)＋ｖ₂₃(Ｃ₂^(2,3)－2Ｃ₁)＋ｖ₁₂(Ｃ₂^(3.1)－2Ｃ₁)} 

＋ｂ(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁)　..(4-3)
 

ｑｑｑ~系では, 

Ｖ_qqq~＝(1＋ａ)ｖ₁₂Λ₁Λ₂＋(1－ａ)(ｖ₂₃Λ₂Λ₃＋ｖ₃₁Λ₃Λ₁) 

＋ｂ(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁) 　..(4-4)　である。
 

そこで,現在,観測にかかっている通常のハドロンが 

クォーク-反クォーク対；(ｑｑ~）あるいは３つの 

クォーク系:(ｑｑｑ)のみのカラー１重項共鳴粒子

のみであることを要求する。
 

つまり, Ｖ_qq~,Ｖ_qqqがＣ＝0 のとき最小となり,その基底状態

での値をＶ_qq~^min,Ｖ_qqq^minとおくとき, 

2Ｍ＋Ｖ_qq~^min＝0,　3Ｍ＋Ｖ_qqq^min＝0　..(4-5)となることを

要求するのである。Ｍは.もちろん,クォーク質量である。 

そうすれば,必要条件として,1－ａ＞0,1＋ａ＞0 が要求

される。
 

そしてＣ＝0 でＣ₂^(1,2)＝Ｃ₂^(2,3)＝Ｃ₂^(3.1)＝4/3となるので, 

Ｖ_qq~^min＝ｖ[{(1－ａ)/2}(－2Ｃ₁)＋ｂ]

＝{(－4/3)(1－ａ)＋ｂ}ｖ 

Ｖ_qqq^min＝ｖ{(1＋ａ)/2}(－4/3)×3＋3ｂ]

＝{－2(1＋ａ)＋3ｂ}ｖ..(4-6)
 

ここでｖは,ｖ_ijには最大の固有値があるが,その量子効果を無視

した近似を考えているのでｖ_ij自身のｒ＝ｒ₀における最大値で

あると考えてよい。
 

(4-5),(4-6)をｂ,Ｍについて解けば, 

ｂ＝8ａ/3、Ｍ＝(2ｖ/3)(1－3ａ)..(4-7)　となる。
 

スカラーの1重項の寄与は系をつくる粒子の個数の増加に対して

２次的に増大する傾向を持つので,ｑｑ~,ｑｑｑ以外の共鳴粒子

の質量準位を上げる効果と考えれば,好都合である。

そのためには,ｂ＞1とするのが望ましい。
 

そこで,このことと,1－ａ＞0,1＋ａ＞0,および,Ｍ＞0 を

考え合わせることによって,　0 ＜ａ＜1/3..(4-8)　

のように,ａの範囲を制限しなければならないことがわかる。
 

一方,こうした条件下でＶ_qqを考えると,(4-2)ででｖ₁₂が

常に正であることから,系が反対称３^＊重項をつくるとき最小

となる。
 

一般に,ＳＵ(3)_ｃのｋ重項状態でのＶ_qq｡｡q.の固有値を

Ｖ_qq｡｡q(k)と書くことにすれば,Ｖ_qq(3*)＝2ｖ₁₂(3ａ－１)

が得られる。3ａ－１＜0 故,これはｖ₁₂＝ｖのとき

最小となる。

すなわち, Ｖ_qq^min＝Ｖ_ｑｑ(3＊)^min＝⁾2ｖ(3ａ－１)

＝－Ｍ。そこで,2Ｍ＋Ｖ_qq^min ～ Ｍ..(4-9)
 

また,ｑｑ~,ｑｑｑのＳＵ(3)_cの高次の既約表現空間

の基底をなす状態を見積もると,ｑｑ~の８重項では, 

Ｖ_qq~(8)＝(15ａ＋1)ｖ₁₂/6　よりＶ_qq~(8)^min＝ 0　

であるから,2Ｍ＋Ｖ_qq~(8)^min ～ 2Ｍ..(4-10)　

である。
 

ｑｑｑの8重項(Ｃ＝3)の状態は,粒子１.２が反対称

３^＊重項をつくっている状態:|(1.2)_3＊3＞と粒子１.３

が反対称３^＊重項をつくっている状態:|(1.3) _3＊2＞の

重ね合わせで与えられる。
 

テンソル表現を用いて,これらの状態の変換性を調べると, 

{Ｖ_qqq－(8/3)(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁)}|(1.2)_3＊3＞ 

＝－{(1＋ａ)/6}(4ｖ₁₂＋ｖ₂₃－ｖ₃₁)}|(1.2)_3＊3＞ 

＋{(1＋ａ)/2}(ｖ₂₃－ｖ₃₁)}|(1.3)_3＊2＞ 

{Ｖ_qqq－(8/3)(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁)}|(1.3)_3＊2＞ 

＝{(1＋ａ)/2}(ｖ₂₃－ｖ₁₂)}|(1.2)_3＊3＞ 

－{(1＋ａ)/6}(4ｖ₃₁＋ｖ₂₃－ｖ₁₂)}|(1.3)_3＊2＞
 

これから,固有値方程式を解くと.  

Ｖ_qqq(8)＝{(15ａ－1)/6}(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁) 

±{(1＋ａ)/2}

(ｖ₁₂²＋ｖ₂₃²＋ｖ₃₁ ²－ｖ₁₂ｖ₂₃－ｖ₂₃ｖ₃₁－ｖ₃₁ｖ₁₂)^1/2
 

§3の最後の注釈からＶ_qqq(8)が最小になるのは,ｖ₁₂,ｖ₂₃,ｖ₃

₁の全てがｖ,２つがｖで１つがゼロ,１つがｖで２つがゼロ,

あるいは,全てがゼロのいずれかである。 

つまり.Ｖ_qqq(8)^minは.

(15ａ－1)v/2,(27ａ－5)v/6,2ｖ(3ａ―１)/2,0 の４つの値

のうちの最小値より小さくはないことがわかります。
 

いずれの場合も.3Ｍ＝2ｖ(1－3ａ)をこれに加えて,系全体

の質量を見積もることができて, 

結局,3Ｍ＋Ｖ_qqq(8)^min≧(7/4)Ｍ.(4-11)　を得る。
 

ｑｑｑ-10重項では,

Ｖ_qqq(10)＝{(9ａ＋1)/3}(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁)}より, 

Ｖ_qqq(10)^min＝0, 3Ｍ＋Ｖ_qqq(10)^min≧)3Ｍ.(4-12)
 

さらに３体のトライアリティが1の系:ｑｑｑ~

を考える。
 

これは２つの独立な３重項,６^＊重項,および15重項を

形成することがわかる。

(※すなわち,３×３×３^＊＝３＋３＋６^＊＋15)
 

表現を用いて各多重項に対し,(4-4)のＶ_qqq~の固有値を

計算すると, 

Ｖ_qqq~(3)＝(8ａ/5)(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁)

－(12/7)(1－ａ)(ｖ₂₃＋ｖ₃₁)－(1/6)(1＋ａ)ｖ₁₂ 

±(1/4)[8(1－ａ)²(ｖ₃₁－ｖ₂₃)＋{2(1－ａ)ｖ₁₂

－(1－ａ)(ｖ₂₃＋ｖ₃₁)}²]^1/2, 

Ｖ_qqq~(6*)＝(2/3)(3ａ－1)ｖ₁₂＋(1/6)(15ａ＋1)(ｖ₂₃＋ｖ₃₁) 

Ｖ_qqq~(15)＝(1/8)(9ａ－1)ｖ₁₂＋(1/6)(15ａ＋1)(ｖ₂₃＋ｖ₃₁)
 

３重項については,ｖ₁₂,ｖ₂₃,ｖ₃₁の各々についてｖか0かの,

いずれかを割り当てる６通りの組み合わせを考えることに

よって, 

3Ｍ＋Ｖ_qqq~(3)^min ≧ｍｉｎ{(ｖ/4)(5－ａ)－(17ａ²－10ａ＋9)^1/2.

(ｖ/3)(1＋3ａ)}　..(4-13) 

これを見ると,0 ＜ａ＜1/3では3Ｍ＋Ｖ_qqq~(3)^min＞ 0では

あるが, 特に,1/9≦ａ＜1/3なら,3Ｍ＋Ｖ_qqq~(3)^min ≧Ｍとなる

ことがわかる。
 

また,６^＊重項,15重項については,容易にわかるように, 

3Ｍ＋Ｖ_qqq~(6*)^min ～ 2Ｍ, 3Ｍ＋Ｖ_qqq~(15)^min～3Ｍ..(4－14)

を得る。
 

(ⅱ)４体系 

1) まず,4体のトライアリティがゼロの系:ｑｑｑ~ｑ~

を考える。

１,２がクォーク,３,４が反クォークの粒子番号に

対応すると考えれば, 

Ｖ_qqq~q~＝(1＋ａ)(ｖ₁₂Λ₁Λ₂＋ｖ_3~4~Λ~₃Λ~₄) 

＋(1－ａ)(ｖ_13~Λ₁Λ~₃＋ｖ_24~Λ₂Λ~₄ ＋ｖ_14~Λ₁Λ~₄

＋ｖ_23~Λ₂Λ~₃)

＋(8ａ/3)( ｖ₁₂＋ｖ_3~4~＋ｖ_13~＋ｖ_24~ ＋ｖ_14~＋ｖ_23~).(4-15) 

である。
 

３×３×３^＊×３^＊＝１＋1＋８＋８＋８＋８＋10＋10^＊＋27

という既約分解が成立するので,カラー１重項(Ｃ＝0)の状態

は,２つの(直交はしないが)１次独立な１重項状態の線形結合

で表わされる。
 

Lipkin(参照[1])の記法に従って,それらを

α＞＝|(1,2)₁(3,4)₁＞,|β＞＝|(1,4)₁(2,3)₁＞で表わすこと

にする。
 

Ｕ_qqq~q~＝Ｖ_qqq~q~

－(8ａ/3)( ｖ₁₂＋ｖ_3~4~＋ｖ_13~＋ｖ_24~ ＋ｖ_14~＋ｖ_23~) とおけば, 

Ｕ_qqq~q~|α＞ 

＝(1/6){(1－ａ)ｕ₂－(1＋ａ)ｕ₃－8(1－ａ)ｕ₁}|α＞ 

＋(1/2){(1＋ａ)ｕ₃－(1－ａ)ｕ₂}|β＞ 

Ｕ_qqq~q~|β＞ 

＝(1/2){(1＋ａ)ｕ₃－(1－ａ)ｕ₁}|α＞ 

＋(1/6){(1－ａ)ｕ₁－(1＋ａ)ｕ₃－8(1－ａ)ｕ₂}|β＞

を得る。 

ここに,ｕ₁＝ｖ_13~＋ｖ_24~,ｕ₂＝ｖ_14~＋ｖ_23~,

ｕ₃＝ｖ₁₂＋ｖ_3~4~である。
 

したがって,Ｖ_qqq~q~の２つの固有値の内小さい方は 

Ｖ_qqq~q~(1)＝(8ａ/3)(ｕ₁＋ｕ₂＋ｕ₃)－(7/12)(1－ａ)(ｕ₁＋ｕ₂) 

－(1/6)(1＋ａ)ｕ₃ 

－(1/4)[8(1－ａ)²(ｕ₁－ｕ₂)²＋{2(1＋ａ)ｕ₃

－(1－ａ)(ｕ₁＋ｕ₂)}₂]^1/2..(4-16)　となり, 

ｕ₁,ｕ₂,ｕ₃は,各々独立に0から2ｖを取り得る引数

と考えることができる。
 

これが最小となる５つの場合について調べると, 

① ｕ₁＝0でｕ₂＝2ｖ,ｕ₃＝0,またはｕ₂＝0,ｕ₃＝2ｖ

の場合:Ｖ_qqq~q~(1)＝(8ｖ/3)(3ａ―1) ～ －4Ｍ　より,

4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(1) ～ 0(4-17)となるが,これは2つのｑｑ~系が

互いに束縛されず,独立に中間子を構成して散乱状態を

つくっている場合だと考えられる。
 

② ｕ₁＝ｕ₂＝2ｖ,ｕ₃＝0 の場合: 

Ｖ_qqq~q~(1)＝(2ｖ/3)(21ａ―5) ゆえ,

 4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(1) ～ (2ｖ/3)(9ａ―1)

③　ｕ₂＝0であって,ｕ₁＝2ｖ,ｕ₃＝0,

またはｕ₁＝0,ｕ₃＝2ｖ の場合: 

Ｖ_qqq~q~(1)＝(9ｖ/3)(23ａ－3)

－(ｖ/2)(17ａ²－10ａ＋9)^1/2より, 

4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(1)

～ (7ｖ/6)(3ａ＋1)ｖ－(ｖ/2)(17ａ²－10ａ＋9)^1/2

④　ｕ₁＝ｕ₂＝ｕ₃＝2ｖ の場合: 

Ｖ_qqq~q~(1)＝(2ｖ/3)(6ａ―1), 

 4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(1) ＝8ａｖ

⑤　ｕ₁＝ｕ₂＝0,ｕ₃＝2ｖ の場合: 

Ｖ_qqq~q~(1)＝(－4ｖ/3)(1－3ａ) ～ －2Ｍ, 

 4Ｍ＋Ｖ_{qqq~q~(1) ～} 2Ｍ　である。 

これは2つのｑ-ｑ共鳴粒子(ｑｑ),(ｑ~ｑ~)の散乱状態

に対応している。

そこで,ｑｑ~,aるいはｑｑによる共鳴状態を除外すると, 

② ,③,④から,4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(1)≧ｍｉｎ{(2ｖ/3)(9ａ―1), 

(7ｖ/6)(6ａ－1)－(ｖ/2)(17ａ²－10ａ＋9)^1/2,8ａｖ}..(4-18) 

となることがわかる。
 

特に,1/9＜ａ＜1/3なら4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(1)＞0 ,

1/6＜ａ＜1/3なら中間子散乱状態を除くと,

4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(1)≧Ｍ　を得る。
 

次に８重項は,一般に4つの独立な状態の重ね合わせだから, 

１重項の場合と同じようにして,Ｕ_qqq~q~の固有値を求める

永年方程式をつくると,λを未知数として

＝0　..(4-19) となる。
 

しかし,この４次方程式を解くのはかなり面倒である。  

(※↑拡大しないと見えないかもしれないが,詳細は本題

には,あまり関係ありません。)

　そこで,§3の最後の議論に従って,ｖ_ijが 0,またはｖを取る

さまざまな場合について場合分けして,4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(8)の下限

を見積もることにする。
 

18通りの場合について,4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(8)を見積もると, 

それらは, 

4Ｍ,(ｖ/2)(13ａ＋3),(ｖ/6)(25ａ＋7),(ｖ/6)(33ａ＋7), 

(ｖ/3)(13－27ａ),(4ｖ/3)(1＋3ａ),(ｖ/3)(11ａ＋3), 

(3ｖ/2)(1－ａ),(ｖ/12)(41＋29ａ)－(ｖ/4)(41ａ²－14ａ＋9)^1/2, 

(ｖ/3)(5ａ＋7),ｖ(1－ａ),(ｖ/6)(11＋5ａ),(ｖ/6)(9－13ａ), 

2Ｍ,(2ｖ/3)(1＋ａ),(ｖ/3)(3－5ａ),2Ｍ,3Ｍ,　 

  以上であることがわかった。
 

ここで計算に必要な際には,-2/3 ≦ ＜Λ_iΛ_j＞≦1/3.  

-4/3 ≦＜Λ_iΛ~_j＞≦1/6 を用いた。
 

そこで, 4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(8)^minは,これら18個の値のうちの

最小値より小さくはないことがわ0かる。
 

このことから直ちに,0＜ａ＜1/3のとき,

4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(8)^min≧Ｍ　..(4-20)　を得る。
 

10重項,10^＊重項や,27重項では,Ｖ_qqq~q~の固有値は容易に計算

できる。 

Ｖ_qqq~q~(10)

＝(8ａ/3)( ｖ₁₂＋ｖ_3~4~＋ｖ_13~＋ｖ_24~ ＋ｖ_14~＋ｖ_23~) 

＋{(1＋ａ)/3}(ｖ₁₂－2ｖ_3~4~)

＋{(1－ａ)/6}(ｖ_13~＋ｖ_14~＋ｖ_23~＋ｖ_24~) 

Ｖ_qqq~q~(10*)

＝(8ａ/3)( ｖ₁₂＋ｖ_3~4~＋ｖ_13~＋ｖ_24~ ＋ｖ_14~＋ｖ_23~) 

＋{(1＋ａ)/3}(ｖ_3~4~－2ｖ₁₂)

＋{(1－ａ)/6}(ｖ_13~＋ｖ_14~＋ｖ_23~＋ｖ_24~) 

Ｖ_qqq~q~(27)

＝(8ａ/3)( ｖ₁₂＋ｖ_3~4~＋ｖ_13~＋ｖ_24~ ＋ｖ_14~＋ｖ_23~) 

＋{(1＋ａ)/3}(ｖ₁₂＋ｖ_3~4~)

＋{(1－ａ)/6}(ｖ_13~＋ｖ_14~＋ｖ_23~＋ｖ_24~).(4-21)

となる。
 

したがって,Ｖ_qqq~q~(10)^min＝Ｖ_qqq~q~(10*)^mon＝－Ｍ.

Ｖ_qqq~q~(27)^min＝0,　すなわち,

4Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(10)^min＝４Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(10*)^mon ～ 3Ｍ.  

４Ｍ＋Ｖ_qqq~q~(27)^min ～ 4Ｍ 　...(4-22)

を得る。
 

2) 次に,４体のトライアリティが１の系:ｑｑｑｑ

を考える。 

Ｖ_qqqq

＝(1＋ａ)(ｖ₁₂Λ₁Λ₂＋ｖ₁₃Λ₁Λ₃＋ｖ₂₄Λ₂Λ₄ ＋ｖ₁₄Λ₁Λ₄ 

＋ｖ₂₃Λ₂Λ₃＋ｖ₃₄Λ₃Λ₄) 

＋(8ａ/3)( ｖ₁₂＋ｖ₃₄＋ｖ₁₃＋ｖ₂₄ ＋ｖ₁₄＋ｖ₂₃)..(4-23)
 

§3の最後の論旨から,これの最小固有値は６つのｖ_ij

のうち,いくつかが 0,残りがｖをとるという,さまざまな場合

の最小固有値よりも小さくはないことがわかっている。
 

そこで,各場合について逐一固有値の大きさを評価すると,

ｑｑｑ~ｑ~の場合と同様な方法により,下限を計算できる。
 

① 全てがｖのとき,  

4Ｍ＋Ｖ_qqqq≧(2ｖ/3)(9ａ＋1)
 

② １つだけ 0 で残りのｖ_ijがｖのとき, 

4Ｍ＋Ｖ_qqqq≧(ｖ/3)(9ａ＋1)
 

③ ４つがｖで２つが 0 のとき, 

4Ｍ＋Ｖ_qqqq≧ｖ((1＋ａ)
 

④ ３つがｖで残りが 0 のとき, 

4Ｍ＋Ｖ_qqqq≧Ｍ　 

最小値Ｍをとるのは,１重項重粒子とクォークの散乱状態

である。
 

⑤ ２つがｖ,残りの4つが 0 のとき,  

4Ｍ＋Ｖ_qqqq≧2Ｍ
 

⑥ １つがｖで残りの全てが 0 のとき,  

4Ｍ＋Ｖ_qqqq≧3Ｍ
 

⑦ 全てのｖ_ijが 0 のとき, 

4Ｍ＋Ｖ_qqqq≧4Ｍ

以上から,0＜ａ＜1/3のとき, 

4Ｍ＋Ｖ_qqqq^min≧ｍｉｎ{(ｖ/3)(9ａ＋1),Ｍ}..(4-24) 

そこで,質量準位の下限はａを適当に選ぶことによって十分

大きい値になり得ることがわかる。
 

3) 最後に,４体のトライアリティが２の系:

ｑｑｑｑ~については, 

Ｖ_qqqq~＝(1＋ａ)(ｖ₁₂Λ₁Λ₂＋ｖ₂₃Λ₂Λ₃＋ｖ₃₁Λ₃Λ₁ ) 

＋(1－ａ)(ｖ_14~Λ₁Λ~₄＋ｖ_24~Λ₂Λ~₄＋ｖ_34~Λ₃Λ~₄) 

＋(8ａ/3)(ｖ₁₂＋ｖ₂₃＋ｖ₃₁＋ｖ_14~＋ｖ_24~＋ｖ_34~)..(4-25)
 

これの最小固有値もまた,Ｖ_qqqq^minと全く同じ場合分けに

よって下限を見積もることができる。
 

すなわち,同じように7つの場合について,4Ｍ＋Ｖ_qqqq~

の下限を計算すると,①/3)(9ａ＋1),②(ｖ/3)(9ａ＋1),

③ｖ(1－ａ),④Ｍ,⑤Ｍ,⑥2Ｍ,⑦4Ｍ　が得られる。

　ここで,④,⑤では,最小値Ｍを取るには,それぞれ

　カラー１重項重粒子と反クォークｑ~,および,３^＊重項

　のｑｑと中間子ｑｑ~の散乱状態,　の場合である。

　以上からｑｑｑｑ~の場合にもやはり,0＜ａ＜/3なら,

 4Ｍ＋Ｖ_qqqq~ ^min≧ｍｉｎ{(ｖ/3)(9ａ＋1),Ｍ}..(4-26)

 である。

§5　一般の系(ｎ - クォーク・反クォーク系)に関しての推論

§4で,２,３,4体の-クォーク・反クォーク系のあらゆる共鳴状態

を考察した結果,４体系までに関する限り,ａを適当に選べばＭに

比して無視できる質量スペクトルの領域で中間子ｑｑ~,重粒子

ｑｑｑというカラー1重項粒子しか存在し得ないことを知った。

５体以上の系でも,同様な考察によって逐一検討することは,

原理的には可能であるが非常に複雑となるであろう。

そこで,全てのｎ_q個のクォークと,ｎ_q^個の反クォークとが存在

する一般の系で,共鳴粒子の状態を全ての粒子が十分密に近接

して配置されている状態と捉えることによって,共鳴粒子状態

のポテンシャル,および,質量準位の大きさを見積もる方法を

考える。

つまり, 中間子ｑｑ~,重粒子ｑｑｑ,その他ｑｑ,ｑｑｑ~,

ｑｑｑ~q~等,さまざまの共鳴粒子の散乱状態を除いて,そのほか

に安定な状態が存在すれば,

それが,ｎ_q＋ｎ_q^個のクォーク,反クォーク全体系による共鳴粒子

状態であって,そうした状態では全てのクォーク,あるいは

反クォークは相互にｒ_q前後の距離で近接していると考える

のである。

そうするとｖ_ijの平均として＜ｖ＞をくくり出す近似が

(3-3)に適用できる。つまり,

Ｖ(ｎ_q,ｎ_q~)～|(1＋ａ)/2}＜ｖ＞

×{Σ_{i=ｑ,ｊ＝ｑ,i≠ｊ}Λ_iΛ＋Σ_{i=ｑ~,ｊ＝ｑ~,i≠ｊ}Λ~_iΛ~_j}

＋(1－ａ)＜ｖ＞Σ_{i=ｑ,ｊ＝ｑ~,i≠ｊ}Λ_iΛ~_j

＋(8ａ/3)(＜ｖ＞/2)Σ_≠ｊ1 .と書ける。

この式は,全体系, ｎ_q個のクォーク系,ｎ_q~個の反クォーク系,

に対する２次のCasimir演算子:Ｃ,Ｃ_ｎq,Ｃ_ｎq~を用いて容易に

変形されて,Ｖ(ｎ_q,ｎ_q~)～|(1＋ａ)/2}＜ｖ＞Ｃ

＋ａ＜ｖ＞(Ｃ_ｎq＋Ｃ_ｎq~)

－{(1－ａ)/2}＜ｖ＞(ｎ_q＋ｎ_q~)Ｃ₁

＋(4ａ/3)(＜ｖ＞(ｎ_q＋ｎ_q~)(ｎ_q＋ｎ_q~－1).(5-1)

となる。

ここで,Σ_{i=ｑ,ｊ＝ｑ~,i≠ｊ}Λ_iΛ~_j＝(1/2)(Ｃ－Ｃ_ｎq－Ｃ_ｎq~)

を用いた。

(5-1)を見れば,やはり,Ｃ,Ｃ_ｎq,Ｃ_ｎq~が小さいほど,

つまり,既約表現の次元が低いほど,ポテンシャルも低くなる

傾向にあることが明白である。

(5-1)のＶ(ｎ_q,ｎ_q~)が最も小さくなるのはＣ＝0,かつ,

Ｃ_ｎq＝Ｃ_ｎq~＝0 が可能なときであり,そのとき系全体の

つくる共鳴粒子の質量をμ(ｎ_q,ｎ_q~)とおけば,

μ(ｎ_q,ｎ_q~) ～ (ｎ_q,＋ｎ_q~)Ｍ＋Ｖ^min(ｎ_q,ｎ_q~)

＝(2/3)(ｖ－＜ｖ＞)(1－3ａ)(ｎ_q,＋ｎ_q~)

＋(4/3)ａ＜ｖ＞(ｎ_q＋ｎ_q~)(ｎ_q＋ｎ_q~－1)..(5-2)

が得られる。

0＜＜ｖ＞＜ｖ,0＜ａ＜1/3であるから,＜ｖ＞がｎ_q,ｎ_q~

の増加に対して減少する可能性を考慮しても, ｎ_q＋ｎ_q~≧4

では,ａの選び方如何でμ(ｎ_q,ｎ_q~)をＭと比較して無視

できない程の大きさにできることは明白である。

(参考文献):

[1] H.J.Lipkin : Phys,Lett;45B(1973)p267

{2} A.D.Dolgov,L.B.Okun and V.I.Zakharov:Phys.Lett 49B(1974)p455

[3] H.J.Lipkin : Phys,Lett. 58B(1975)p97

[4] M.V.Han and Y.Nambu : Phys.Rev.139B(1965)p1005

[5] O.W.Greenberg and D.Zwanziger:Phys.Rev,150(1966)p1177

今日は,自己の思い出だけの拙い論文の晒しモノだけでした。

ＰＳ:2007年12/28の10年前の過去記事:

「新しいタイプの中間子(谷川先生の思い出)」で,

次のように書いたのを思い出しました。

※ どうも世事に疎いのですが,1976年の私の修士論文「Quark Molecule」

の中でそれとなく予測していたエキゾチックな素粒子（ｅｘｏｔｉｃ particles）

の１種,"４体クォーク＝(クォーク２個＋反クォーク２個)"の

カラーSU(3)の反対称１重項(シングレット:siglet)の共鳴状態 ,

または束縛状態から成る新しい型の中間子)がこの10月にＫＥＫ

(つくば市の高エネルギー加速器研究機構）で見つかったらしい

ですね。。(↑「KEKプレス（Bell実験で新種の中間子を発見）」)

　例えば,フレイバーとしてアップクォーク＝ｕの１種だけから構成される４体クォーク中間子なら,ｕ~をｕの反粒子の表記として, uuu~u~ なる電気的に中性な素粒子が考えられますね。

　何か質量がヘリウム(⁴He₂)くらいもある重い粒子だそうな。。

　私の学生時代の30年以上も前の加速器じゃ無理ですね。

　それにしてもボソン(Boson)という理由だけで,こんな重い粒子も中間子と呼んでいいのでしょうか？

10年前に書いた記事の転載でした。※)