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2017年8月12日 (土)

3重3元クォ-ク模型の束縛ポテンシャル(修士論文;その2)

(つづきです。)
 

§4. 2体系,3体系,および,4体系についての考察 

(3-3)式に基づいて,クォーク,反クォークのさまざまな複合系

質量準位を見積もるわけであるが,まず,最も簡単な2,3,4

体系についての共鳴粒子を考察してみよう。
 

()2体系と3体系 

まず,(2)を考えると, 

-~系では, 

qq~=v12{(1-a)Λ1Λ~2+b} 

=v12{(1-a)(C-21)/2+b}..(4-1)
 

-q系では, 

qq~=v12{(1+a)Λ1Λ~2+b} 

=v12{(1+a)(C-21)/2+b}..(4-2)
 

また,qqq系では, 

qqq(1+a)(12Λ1Λ2+v23Λ2Λ3+v31Λ3Λ1) 

+b(12+v23+v31) 

{(1+a)/2} 

×{12(2(1,2)21)+v23(2(2,3)21)+v12(2(3.1)21)} 

+b(12+v23+v31) ..(4-3)
 

qqq~系では, 

qqq~(1+a)12Λ1Λ2(1-a)(23Λ2Λ3+v31Λ3Λ1) 

+b(12+v23+v31)  ..(4-4) である。
 

そこで,現在,観測にかかっている通常のハドロンが 

クォーク-反クォーク対;(qq~)あるいは3つの 

クォーク系:(qqq)のみのカラー1重項共鳴粒子

のみであることを要求する。
 

つまり, qq~,qqqがC=0 のとき最小となり,その基底状態

での値をVqq~min,qqqminとおくとき, 

2M+Vqq~min0, 3M+Vqqqmin0 ..(4-5)となることを

要求するのである。Mは.もちろん,クォーク質量である。 

そうすれば,必要条件として,1-a>0,1+a>0 要求

される。
 

そしてC=0 でC2(1,2)=C2(2,3)=C2(3.1)4/3となるので, 

qq~min=v[{(1-a)/2}(21)+b]

{(4/3)(1-a)+b} 

qqqmin=v{(1+a)/2}(4/3)×33]

{2(1+a)3}..(4-6)
 

ここでvは,ijには最大の固有値があるが,その量子効果を無視

した近似を考えているのでvij自身のr=r0における最大値で

あると考えてよい。
 

(4-5),(4-6)をb,Mについて解けば, 

b=8/3、M=(2/3)(13)..(4-7) となる。
 

スカラーの1重項の寄与は系をつくる粒子の個数の増加に対して

2次的に増大する傾向を持つので,qq~,qqq以外の共鳴粒子

の質量準位を上げる効果と考えれば,好都合である。

そのためには,b>1とするのが望ましい。
 

そこで,このことと,1-a>0,1+a>0,および,M>0

考え合わせることによって, 0 <a<1/3..(4-8) 

のように,aの範囲を制限しなければならないことがわかる。
 

一方,こうした条件下でVqqを考えると,(4-2)ででv12

常に正であることから,系が反対称3重項をつくるとき最小

なる。
 

一般に,SU(3)のk重項状態でのVqq。。q.の固有値を

qq。。q(k)と書くことにすれば,qq(3*)212(3a-1)

が得られる。3a-1<0 ,これはv12=vのとき

最小となる。

すなわち, qqmin=Vqq(3)min)2(3a-1)

=-M。そこで,2M+Vqqmin ~ M..(4-9)
 

また,qq~,qqqのSU(3)cの高次の既約表現空間

の基底をなす状態を見積もると,qq~の8重項では, 

qq~(8)(15a+1)12/6 よりVqq~(8)min0 

であるから,2M+Vqq~(8)min 2..(4-10) 

である。
 

qqqの8重項(C=3)の状態は,粒子1.2が反対称

重項をつくっている状態:|(1.2)33>と粒子1.

が反対称3重項をつくっている状態:|(1.3) 32>の

重ね合わせで与えられる。
 

テンソル表現を用いて,これらの状態の変換性を調べると, 

{qqq(8/3)(12+v23+v31)}|(1.2)33 

=-{(1+a)/6}(412+v23-v31)}|(1.2)33 

{(1+a)/2}(23-v31)}|(1.3)32 

{qqq(8/3)(12+v23+v31)}|(1.3)32 

{(1+a)/2}(23-v12)}|(1.2)33 

{(1+a)/6}(431+v23-v12)}|(1.3)32
 

これから,固有値方程式を解くと.  

qqq(8){(15a-1)/6}(12+v23+v31) 

±{(1+a)/2}

(122+v232+v31 2-v1223-v2331-v3112)1/2
 

§3の最後の注釈からVqqq(8)が最小になるのは,12,23,3

1全てがv,2つがvで1つがゼロ,1つがvで2つがゼロ,

あるいは,全てがゼロのいずれかである。 

つまり.qqq(8)min.

(15a-1)v/2,(27a-5)v/6,2(3a―1)/2,0 の4つの値

のうちの最小値より小さくはないことがわかります。
 

いずれの場合も.3M=2(13)をこれに加えて,系全体

の質量を見積もることができて, 

結局,3M+Vqqq(8)min(7/4).(4-11) を得る。
 

qqq-10重項では,

qqq(10){(9a+1)/3}(12+v23+v31)}より, 

qqq(10)min0, 3M+Vqqq(10)min)3.(4-12)
 

さらに3体のトライアリティが1の系:qqq~

を考える。
 

これは2つの独立な3重項,6重項,および15重項を

形成することがわかる。

(※すなわち,3×3×3=3+3+615)
 

表現を用いて各多重項に対し,(4-4)のVqqq~の固有値を

計算すると, 

qqq~(3)(8/5)(12+v23+v31)

(12/7)(1-a)(23+v31)(1/6)(1+a)12 

±(1/4)[8(1-a)2(31-v23){2(1-a)12

(1-a)(23+v31)}2]1/2, 

qqq~(6*)(2/3)(3a-1)12(1/6)(15a+1)(23+v31) 

qqq~(15)(1/8)(9a-1)12(1/6)(15a+1)(23+v31)
 

重項については,12,23,31の各々についてvか0かの,

いずれかを割り当てる6通りの組み合わせを考えることに

よって, 

3M+Vqqq~(3)min ≧min{(/4)(5-a)(17210a+9)1/2.

(/3)(13)} ..(4-13) 

これを見ると,0 <a<1/3では3M+Vqqq~(3)min0では

あるが, 特に,1/9≦a<1/3なら,3M+Vqqq~(3)min ≧Mとなる

ことがわかる。
 

また,6重項,15重項については,容易にわかるように, 

3M+Vqqq~(6*)min 2, 3M+Vqqq~(15)min3..(414)

を得る。
 

()4体系 

1) まず,4体のトライアリティがゼロの系:qqq~~

を考える。

1,2がクォーク,3,4が反クォークの粒子番号に

対応すると考えれば, 

qqq~q~(1+a)(12Λ1Λ2+v3~4~Λ~3Λ~4) 

(1-a)(13~Λ1Λ~3+v24~Λ2Λ~4 +v14~Λ1Λ~4

+v23~Λ2Λ~3)

(8/3)( 12+v3~4~+v13~+v24~ +v14~+v23~).(4-15) 

である。
 

×3×3×3=1+1+8+8+8+8+101027

という既約分解が成立するので,カラー1重項(C=0)の状態

,2つの(直交はしないが)1次独立な1重項状態の線形結合

で表わされる。
 

Lipkin(参照[1])の記法に従って,それらを

α>=|(1,2)1(3,4)1,|β>=|(1,4)1(2,3)1>で表わすこと

にする。
 

qqq~q~=Vqqq~q~

(8/3)( 12+v3~4~+v13~+v24~ +v14~+v23~) とおけば, 

qqq~q~|α> 

(1/6){(1-a)2(1+a)38(1-a)1}|α> 

(1/2){(1+a)3(1-a)2}|β> 

qqq~q~|β> 

(1/2){(1+a)3(1-a)1}|α 

(1/6){(1-a)1(1+a)38(1-a)2}|β>

を得る。 

ここに,1=v13~+v24~,2=v14~+v23~,

3=v12+v3~4~ である。
 

したがって,qqq~q~の2つの固有値の内小さい方は 

qqq~q~(1)(8/3)(1+u2+u3)(7/12)(1-a)(1+u2) 

(1/6)(1+a)3 

(1/4)[8(1-a)2(1-u2)2{2(1+a)3

(1-a)(1+u2)}2]1/2 ..(4-16) となり, 

1,2,3,各々独立に0から2vを取り得る引数

と考えることができる。
 

これが最小となる5つの場合について調べると, 

 10でu22,30,またはu20,32

の場合:qqq~q~(1)(8/3)(3a―1) ~ -4M より,

4M+qqq~q~(1) ~ 0(4-17)となるが,これは2つのqq~系が

互いに束縛されず,独立に中間子を構成して散乱状態を

つくっている場合だと考えられる。
 

② u1=u22,30 の場合: 

qqq~q~(1)(2/3)(21a―5) ゆえ,

 4M+Vqqq~q~(1) (2/3)(9a―1)

③ u20であって,12,30,

またはu10,32v の場合: 

qqq~q~(1)(9/3)(23a-3)

(/2)(17210a+9)1/2より, 

4M+Vqqq~q~(1)

(7/6)(3a+1)v-(/2)(17210a+9)1/2

④ u1=u2=u32v の場合: 

qqq~q~(1)(2/3)(6a―1), 

 4M+Vqqq~q~(1) =8av

⑤ u1=u20,32v の場合: 

qqq~q~(1)(4/3)(13) ~ -2, 

 4M+Vqqq~q~(1) 2M である。 

これは2つのq-q共鳴粒子(qq),(~~)の散乱状態

対応している。

そこで,qq~,aるいはqqによる共鳴状態を除外すると, 

 ,,④から,4M+Vqqq~q~(1)≧min{(2/3)(9a―1), 

(7/6)(6a-1)(/2)(17210a+9)1/2,8av}..(4-18) 

となることがわかる。
 

特に,1/9<a<1/3なら4M+Vqqq~q~(1)0 ,

1/6<a<1/3なら中間子散乱状態を除くと,

4M+Vqqq~q~(1)≧M を得る。
 

次に8重項は,一般に4つの独立な状態の重ね合わせだから, 

重項の場合と同じようにして,qqq~q~の固有値を求める

永年方程式をつくると,λを未知数として

=0 ..(4-19) となる。
 

しかし,この4次方程式を解くのはかなり面倒である。  

(※↑拡大しないと見えないかもしれないが,詳細は本題

には,あまり関係ありません。)

 
そこで,§3の最後の議論に従って,ij0,またはvを取る

さまざまな場合について場合分けして,4M+Vqqq~q~(8)の下限

を見積もることにする。
 

18通りの場合について,4M+Vqqq~q~(8)を見積もると, 

それらは, 

4,(/2)(13a+3),(/6)(25a+7),(/6)(33a+7), 

(/3)(1327),(4/3)(13),(/3)(11a+3), 

(3/2)(1-a),(/12)(4129)(/4)(41214a+9)1/2, 

(/3)(5a+7),(1-a),(/6)(115),(/6)(913), 

2,(2/3)(1+a),(/3)(35),2,3,  


  以上であることがわかった。

 

ここで計算に必要な際には,-2/3 ≦ <ΛiΛj>≦1/3.  

-4/3 ≦<ΛiΛ~j>≦1/6 を用いた。
 

そこで, 4M+Vqqq~q~(8)min,これら18個の値のうちの

最小値より小さくはないことがわ0かる。
 

このことから直ちに,0<a<1/3のとき,

4M+Vqqq~q~(8)min≧M ..(4-20) を得る。
 

10重項,10重項や,27重項では,qqq~q~の固有値は容易に計算

できる。 

qqq~q~(10)

(8/3)( 12+v3~4~+v13~+v24~ +v14~+v23~) 

{(1+a)/3}(1223~4~)

+{(1-a)/6}(13~+v14~+v23~+v24~) 

qqq~q~(10*)

(8/3)( 12+v3~4~+v13~+v24~ +v14~+v23~) 

{(1+a)/3}(3~4~212)

+{(1-a)/6}(13~+v14~+v23~+v24~) 

qqq~q~(27)

(8/3)( 12+v3~4~+v13~+v24~ +v14~+v23~) 

{(1+a)/3}(12+v3~4~)

+{(1-a)/6}(13~+v14~+v23~+v24~).(4-21)

となる。
 

したがって,qqq~q~(10)min=Vqqq~q~(10*)mon=-M.

qqq~q~(27)min0, すなわち,

4M+Vqqq~q~(10)min=4M+Vqqq~q~(10*)mon 3.  

4M+Vqqq~q~(27)min 4M  ...(4-22)

を得る。
 

2) 次に,4体のトライアリティが1の系:qqqq

を考える。 

qqqq

(1+a)(12Λ1Λ2+v13Λ1Λ3+v24Λ2Λ4 +v14Λ1Λ4 

+v23Λ2Λ3+v34Λ3Λ4) 

(8/3)( 12+v34+v13+v24 +v14+v23)..(4-23)
 

§3の最後の論旨から,これの最小固有値は6つのvij

のうち,いくつかが 0,残りがvをとるという,さまざまな場合

の最小固有値よりも小さくはないことがわかっている。
 

そこで,各場合について逐一固有値の大きさを評価すると,

qqq~~の場合と同様な方法により,下限を計算できる。
 

 全てがvのとき,  

4M+Vqqqq(2/3)(9a+1)
 

 つだけ 0 で残りのvijがvのとき, 

4M+Vqqqq(/3)(9a+1)
 

 つがvで2つが 0 のとき, 

4M+Vqqqq≧v((1+a)
 

 つがvで残りが 0 のとき, 

4M+Vqqqq≧M  

最小値Mをとるのは,1重項重粒子とクォークの散乱状態

である。
 

 つがv,残りの4つが 0 のとき,  

4M+Vqqqq2
 

 つがvで残りの全てが 0 のとき,  

4M+Vqqqq3
 

 全てのvij0 のとき, 

4M+Vqqqq4

以上から,0<a<1/3のとき, 

4M+Vqqqqmin≧min{(/3)(9a+1),}..(4-24) 

そこで,質量準位の下限はaを適当に選ぶことによって十分

大きい値になり得ることがわかる。
 

3) 最後に,4体のトライアリティが2の系:

qqqq~については, 

qqqq~(1+a)(12Λ1Λ2+v23Λ2Λ3+v31Λ3Λ1 ) 

(1-a)(14~Λ1Λ~4+v24~Λ2Λ~4+v34~Λ3Λ~4) 

(8/3)(12+v23+v31+v14~+v24~+v34~)..(4-25)
 

これの最小固有値もまた,qqqqminと全く同じ場合分けに

よって下限を見積もることができる。
 

すなわち,同じように7つの場合について,4M+Vqqqq~

の下限を計算すると,/3)(9a+1),(/3)(9a+1),

③v(1-a),④M,⑤M,2,4M が得られる。

 ここで,,⑤では,最小値Mを取るには,それぞれ

 カラー1重項重粒子と反クォークq~,および,3重項

 のqqと中間子qq~の散乱状態, の場合である。

 以上からqqqq~の場合にもやはり,0<a</3なら,

 4M+Vqqqq~ min≧min{(/3)(9a+1),}..(4-26)

 である。

§5 一般の系(- クォーク・反クォーク系)に関しての推論

§4で,2,3,4体の-クォーク・反クォーク系のあらゆる共鳴状態

を考察した結果,4体系までに関する限り,aを適当に選べばMに

比して無視できる質量スペクトルの領域で中間子qq~,重粒子

qqqというカラー1重項粒子しか存在し得ないことを知った。

体以上の系でも,同様な考察によって逐一検討することは,

原理的には可能であるが非常に複雑となるであろう。

そこで,全てのnq個のクォークと,q^個の反クォークとが存在

する一般の系で,共鳴粒子の状態を全ての粒子が十分密に近接

して配置されている状態と捉えることによって,共鳴粒子状態

のポテンシャル,および,質量準位の大きさを見積もる方法を

考える。

つまり, 中間子qq~,重粒子qqq,その他qq,qqq~,

qqq~q~等,さまざまの共鳴粒子の散乱状態を除いて,そのほか

に安定な状態が存在すれば,

それが,nq+nq^個のクォーク,反クォーク全体系による共鳴粒子

状態であって,そうした状態では全てのクォーク,あるいは

反クォークは相互にrq前後の距離で近接していると考える

である。

そうするとvijの平均として<v>をくくり出す近似が

(3-3)適用できる。つまり,

(q,q~)|(1+a)/2}<v>

×{Σi=,j=q,i≠jΛiΛ+Σi=~,j=q~,i≠jΛ~iΛ~j}

(1-a)<v>Σi=,j=q~,i≠jΛiΛ~j

(8/3)(<v>/2)Σ≠j1 .と書ける。

この式は,全体系, q個のクォーク系,q~個の反クォーク系,

に対する2次のCasimir演算子:,q,q~を用いて容易に

変形されて,(q,q~)|(1+a)/2}<v>C

+a<v>(q+Cq~)

{(1-a)/2}<v>(q+nq~)1

(4/3)(<v>(q+nq~)(q+nq~1).(5-1)

となる。

ここで,Σi=,j=q~,i≠jΛiΛ~j(1/2)(C-Cq-Cq~)

を用いた。

(5-1)を見れば,やはり,,q,q~が小さいほど,

つまり,既約表現の次元が低いほど,ポテンシャルも低くなる

傾向にあることが明白である。

(5-1)のV(q,q~)が最も小さくなるのはC=0,かつ,

q=Cq~0 が可能なときであり,そのとき系全体の

つくる共鳴粒子の質量をμ(q,q~)とおけば,

μ(q,q~) (q,+nq~)M+Vmin(q,q~)

(2/3)(v-<v>)(13)(q,+nq~)

(4/3)a<v>(q+nq~)(q+nq~1)..(5-2)

が得られる。

0<<v><v,0<a<1/3であるから,<v>がnq,q~

の増加に対して減少する可能性を考慮しても, q+nq~4

では,aの選び方如何でμ(q,q~)をMと比較して無視

できない程の大きさにできることは明白である。

(参考文献):

[1] H.J.Lipkin : Phys,Lett;45B(1973)p267

{2} A.D.Dolgov,L.B.Okun and V.I.Zakharov:Phys.Lett 49B(1974)p455

[3] H.J.Lipkin : Phys,Lett. 58B(1975)p97

[4] M.V.Han and Y.Nambu : Phys.Rev.139B(1965)p1005

[5] O.W.Greenberg and D.Zwanziger:Phys.Rev,150(1966)p1177


今日は,自己の思い出だけの拙い論文の晒しモノだけでした。

PS:2007年12/28の10年前の過去記事:

「新しいタイプの中間子(谷川先生の思い出)」で,

次のように書いたのを思い出しました。

※ どうも世事に疎いのですが,1976年の私の修士論文「Quark Molecule」

の中でそれとなく予測していたエキゾチックな素粒子(exotic particles)

の1種,"4体クォーク=(クォーク2個+反クォーク2個)"の

カラーSU(3)の反対称1重項(シングレット:siglet)の共鳴状態 ,

または束縛状態から成る新しい型の中間子)がこの10月にKEK

(つくば市の高エネルギー加速器研究機構)で見つかったらしい

ですね。。(↑「KEKプレス(Bell実験で新種の中間子を発見)」)

 例えば,フレイバーとしてアップクォーク=uの1種だけから構成される4体クォーク中間子なら,u~をuの反粒子の表記として, uuu~u~ なる電気的に中性な素粒子が考えられますね。

 何か質量がヘリウム(4He2)くらいもある重い粒子だそうな。。

 私の学生時代の30年以上も前の加速器じゃ無理ですね。

 それにしてもボソン(Boson)という理由だけで,こんな重い粒子も中間子と呼んでいいのでしょうか?

10年前に書いた記事の転載でした。※)

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115. 素粒子論」カテゴリの記事

コメント

こんにちは。カテ違いで申し訳ありませんが、6月26日にコメントを差し上げた者ですが、一部を修正したコメントを、もう一度だけ御批評を頂きたいのですが、(④を導く根拠に①②を用い、③は④を補強)、どのように思われますか。

① 『遺伝子DNAは誰が作ったのか』

 地球上の全ての生命に遺伝子DNAが組み込まれていますが、1mとか2mとかの長さがあり、4種の塩基配列は複雑精巧で、自己修復機能まで有します。

 こんなものが自然や偶然に出来るわけが有りません。作ったのは「遠い未来の人間」です。

② 『物質(原子)は誰が作ったのか』

 地球上の物質(原子)は百余り有りますが、陽子・中性子・電子の3者で構成され、それ以外の構成は存在しないし、規則性とか法則性に支配されています。

 中性子は中性子線を内包し、特定の物質(原子)もα線とかβ線などを放射して崩壊し、電子は電荷を内包しています。

 こんな複雑な物が自然や偶然で出来るわけが有りません。原子を作ったのは「遠い未来の人間」です。

 (uクォークとかdクォークとか中性子のβ崩壊で発生する陽子や電子ニュートリノなどの難しい話ではなく、単に『こんなもの(原子)が自然や偶然に出来上がるものか』ということを、お尋ねしております。)

③ 宇宙の始まりが無機であったとしても、進化の途上で有機(生命とか生活機能)が生まれ、さらに彼らが多様な進化を遂げたうえで、人間や様々なものが作り出された可能性は否定されるものでしょうか。

 (胎児の成長過程で一時的に見られる「尾っぽ」とか「指の水かき」は進化の記憶でしょうか。)

④ 『私たちは人工的に作られた肉体を使って、人工的に作られた「場」で生活をしていますが、実は、今の世界は実在しない虚構であり、実在する本当の自分は「DNAや原子を合成する科学を持った遠い未来」(真実の世界)にいます。』という発想は、(無限回の問答は抜きにして)、成り立つでしょうか。

 (平行宇宙だとか重畳宇宙だとか「メビウスの輪」だとかの難しい解釈ではなく、もっとシンプルで単純な答えが見つからないものでしょうか)。

投稿: どう思われますか | 2017年8月14日 (月) 12時50分

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